física ii - termodinâmica e ondas (sears & zemansky) - 12ª edição (exercícios)

7/21/2019 fsica ii - termodinmica e ondas (sears & zemansky) - 12 edio (exerccios)

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Capitulo 12 Grav i tao 25

1 0 1 4 m

ffo:'2

' i / fSO-1SO-2

SO-4SO-5

SO-16O-19SO-20

Keck/ UCLA M o c t i cCenter Group

sobre um corpo particular, a fora gravitacional resultante sobreesse corpo dada pela soma vetorial de todas as foras gravita-cionais exercidas pelos outros corpos sobre o corpo em particular. A i n t e r ao gravitacional entre dois corpos que possuemd i s t r i bu ies de massa com simetria es f r i ca , tais como planetasou estrelas, a mesma que existiria se toda a massa dos corposestivesse concentrada no centro de cada corpo. (Veja os exemplos 12.1-12.3 e 12.10.)

Gm[m2 (12.1)

Figura 12.30 Esta imagem mostra o m o v i m e n t o deestrelas nocentro denossa galxia durante um perodo de nove anos. Anal isando essas rbi taspor meio da terceira lei de Kepler, vemo s que as estrelas esto se mo vendoa o r edo r de umobjeto no vis vel cuja massa cerca de 3,7 X 106 vezesma i o r do que a massa do Sol. A escala indica uma distncia de 1014 m(670 vezes a distncia daTerra aoSol) do centro da galxia.

T = lira3'2 2 3VGwJx logo4 t t a

GT 'A c o n c l u s o e x t r a d a desse c l c u l o que o misterio

so objeto negro no centro da g a l x i a possui uma massa de7,3 X 10 3 6 kg, ou seja, 3,7 milhes de vezes a massa doS o l . Apesar disso, o b s e r v a e s com r a d i o t e l e s c p i o s mostram que ele possui um raio de no mais do que cerca de1 0 " m, c o m p a r v e l d i s t n c i a da Terra ao Sol. Essaso b s e r v a e s sugerem que esse objeto de massa elevada,compacto, um buraco negro com um raio de Sch warzschildde 1,1 X 10 1 0 m. Os a s t r n o m o s esperam a p e r f e i o a r ar e s o l u o de suas o b s e r v a e s de modo a poderem realmente ver o horizonte de eventos desse buraco negro.

Outras linhas de pesquisa sugerem que haveria buracos negros ainda maiores, de massa IO 9 vezes maior do quea do Sol, nos centros de outras g a l x i a s . Os estudos observacionais e t e r i c o s de buracos negros de todos os tamanhos continuam sendo uma r e a fascinante de pesquisas,tanto na f s i c a quanto na astronomia.Teste sua c o m p r e e n s o da S e o 12.8 Se o Sol sofrerum colapso e formar um buraco negro, que efeito esse acontecimento teria sobre a rbi ta da Terra? (i) a rbi ta encolheria; ( i i ) arbi ta se expandiria; ( ii i) a rbi ta permaneceria do mesmo tamanho. I

ResumoLei da gravitao de Newton: Quaisquer dois corpos de m,em 2 , separados por uma d i s t nc i a r, so mutuamente a t r a dos porf o r as inversamente proporcionais a r2. Essas f o r as formamum par de a o e r e a o e obedecem terceira lei de Newton.Quando dois ou mais corpos exercem a t r aes gravitacionais

g (1 sobre 2)

Fora gravitacional, peso e energia potenciai gravitacional: Opeso p de um corpo a fora gravitacional resultante decorrenteda ao de todas as foras gravitacionais exercidas pelos outroscorpos do universo sobre o corpo considerado. Nas v iz inhanasda superf cie da Terra (massa mTe raio RT), o peso basicamentedado pela fora gravitacional da Terra. A energia potencial gravitacional U de dois corpos de massas m e mT separados por umadis tncia r inversamente proporcional a r. A energia potencialnunca positiva; ela igual a zero somente quando os dois corpos es t o separados por uma distncia infinita. (Veja os exemplos12.4 e 12.5.)

GmTmP = F t = ^j-Kj(peso na superf cie da Terra) (12.3)

Gm 1R T2 C2.4)

( ace l e r ao da gravidade na superf cie da Terra)

U

/MN)

Gm Tm

Massa daTerra mT

(12.9)

r - K T ( X 106m)rbitas: Quando um satl i te se move ao longo de uma rbita circular, a ace l e r ao cen t r pe ta fornecida pela a t r ao gravitaciona l da Terra. As t rs leis de Kepler descrevem o caso mais geral:uma rbi ta el pt ica de um planeta em torno do Sol ou um satl i teem torno de seu planeta. (Veja os exemplos 12.6-12.9.)


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26 FSICA II

Gm-T

(velocidade em uma rbita circular)2nr / r 2irr^ 2

v V GmT \ am

(12.10)

(12.12)(perodo em uma rbita circular)

Caso uma distribuio de massa com simetriaesfr ica , sem rotao e que apresente uma resultante M possuaum raio menor do que o raio de Schwarzschild, Rs, tal corpodenomina-se buraco negro. A interao gravitacional impede oescape de qualquer tipo de mat r ia , incluindo a luz, do interior daesfera com raio Rs. (Veja o Exemplo 12.11.)

2G M(raio de Schwarzschild)

(12.30)

0 - .

Se todo o corpo estiver dentro doraio de Schwarzschild, Rs = 2GM/cesse corpo um buraco negro.

Principais termosle i da g rav i ta o , 1constante gravitacional, 2energia potencial gravitacional, 8velocidade de escape, 9rbitas fechadas, 11rbitas abertas, 11semi-eixo maior, 14excentricidade, 14peso real, 20peso aparente, 20buraco negro, 22raio de Schwarzschild. 23horizonte de eventos. 23

Resposta Pergunta Inicial do Cap t u l oQuanto menor o raio orbital r de um sa t l i te , maior a sua velocidade orbital v, conforme a Equao (12.10). Assim, uma p a r t cu la perto do lado interno dos anis de Saturno possui uma velocidade maior do que uma partcula perto do lado externo dosanis .

Respostas s Perguntas dos Testes de Compreenso12.1 Resposta: (v) Pela Equao (12.1), a fora gravitacional doSol (massa mx) sobre um planeta (massa m2) a uma distncia rtem mdulo F g = Gmx m2/r2. Comparado Terra, Saturno possuium valor de r2 que 102 = cem vezes maior e um valor de m 2 que tambm cem vezes maior. Portanto, a. fora que o Sol exercesobre Saturno tem o mesmo mdulo que a fora exercida pelo Solsobre a Terra. A acelerao de um planeta igual fora resultante dividida pela massa do planeta: como Saturno possui cemvezes mais massa do que a Terra, a sua acelerao 1/100 daacelerao da Terra.12.2 Resposta: (iii), (i), (ii), (iv) Pela Equao (12.4), a acelerao da gravidade na superfcie de um planeta de massa mP e raioR P igual a gP = Gm PIR P . Ou seja, gP diretamente proporcional massa do planeta e inversamente proporcional ao quadrado deseu raio. Segue-se que, comparado ao valor de g na superfcie daTerra, o valor de gP em cada planeta (i) 2/22 = 1/2 do valor deg; ( i i ) 4/4 2 = 1/4 do valor de g; ( i i i ) 4/2 2 = 1 vez o valor de g ou seja, igual; e ( iv) 2/42 = 1/8 do valor de g.12.3 Resposta: sim. Isso possvel porque a gravidade e a velocidade de escape na superfcie dependem de diferentes formas damassa mP e raio RP do planeta. O valor de g na superfcie GmPlR P 2, enquanto a velocidade de escape ^J2Gm p I R? . Para oplaneta Saturno, por exemplo, m P cerca de cem vezes a massada Terra e RP cerca de dez vezes o raio da Terra. O valor de g diferente do que na Terra por um fator (100)/(10) 2 = 1 (isto , o mesmo que na Terra), enquanto a velocidade de escape maior por um fator = 3,2. Lembre-se de que a gravidade nasuperfcie revela as condies junto superfcie do planeta,enquanto a velocidade de escape (que lhe diz quo rpido preciso viajar para escapar para o infinito) depende das condies emtodos os pontos entre a superfcie do planeta e o infinito. Tendoem vista que Saturno possui muito mais massa do que a Terra, osseus efeitos gravitacionais so significativos em distncias muitomaiores, e sua velocidade de escape maior.12.4 Resposta: (ii) AEquao (12.10) mostra que, em uma rbitade raio menor, a espaonave apresenta uma maior velocidade. Otrabalho negativo realizado pela resistncia do ar reduz a energiamecnica total, E = K + U; a energia cintica K aumenta (torna-se mais positiva), mas a energia potencial gravitacional U d i m i nui (torna-se mais negativa) muito mais.12.5 Resposta: (iii) AEquao (12.17) indica que o perodo orbital T proporcional potncia 3/2 do semi-eixo maior a. Assim,o perodo orbital do Cometa X maior do que o do Cometa Y porum fator de 4 3 / 2 = 8.12,8 Resposta: no. Nossa anlise mostra que existe uma foragravitacional de valor zero dentro de uma casca esfrica oca.Dessa forma, os visitantes do interior de um planeta oco ficariamsem peso e no poderiam ficar em p nem caminhar pela superf cie interna do planeta.


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Captulo 12 Gravi tao 2712,7 Resposta: (iv) Ao analisar a E q u a o (12.27), vimos que adiferena entre a ace l e r ao da gravidade no equador e nos p los v21 RT. Como esse planeta possui o mesmo raio e, portanto, amesma circunferncia que a Terra, a velocidade em seu equadordeve ser dez vezes a velocidade no equador da Terra. Logo,v2 I RT IO2 = cem vezes maior do que na Terra, ou 100(0,0339 m/s

2

) = 3,39 m/s2

. A a c e l e r a o da gravidade nosp l o s 9,80 m/s2, enquanto no equador drasticamentemenor: 9,80 m/s 3,39 m/s 2 = 6,41 m/s2. Pode-se demonstrar que, se esse planeta precisasse girar 17,0 vezes mais r p i do do que a Terra, a a c e l e r a o da gravidade no equador seriazero e objetos soltos sairiam voando da superf cie do equador!S 2 8 Resposta: (iii) Se o Sol se transformasse em um buraco negro(o que, segundo o nosso conhecimento das estrelas, imposs vel) ,ele teria a mesma massa, porm um raio muito menor. Como aatrao gravitacional exercida pelo Sol sobre a Terra no dependedo raio do Sol, a rbita da Terra no seria afetada.

Q u e s t e s para d i s c u s s oQI2.1 Um estudante escreveu: "A nica razo pela qual a ma caino sentido da Terra em vez de a Terra subir no sentido da m a quea massa da Terra muito maior do que a massa da ma e, portanto,ela exerce uma atrao muito maior". Por favor, comente.Q12.2 Um planeta executa uma rbi ta circular com per odo T aoredor de uma estrela. Se uma estrela com t rs vezes a massa daprimeira estrela estivesse em rbi ta, mesma d i s t nc i a , o novoper odo (em termos de T) seria (a) 3T, (b) TV3 ( C ) T,(d ) TA/3 O U (e) F/3Q12.3 Se todos os planetas tivessem a mesma densidade mdia ,como a ace l e r ao da gravidade na superf cie de um planetadependeria do seu raio?Q12.4 Cem gramas de manteiga na Terra possuem a mesma quantidade de manteiga que cem gramas de manteiga em Marte? Oque voc dir ia sobre um quilograma de manteiga? Explique.Q12.5 O Exemplo 12.2 ( Seo 12.1) mostra que a ace l e r ao decada esfera produzida pela fora gravitacional inversamenteproporcional massa da respectiva esfera. E nto , como v o c explica que qualquer corpo caindo nas v iz inhanas da superf cieterrestre possui a mesma ace l e r ao da gravidade?Q12.6 Quando a a t r ao gravitacional entre voc e o Sol maior:ao meio-dia ou meia-noite? Explique.Q12.7 Visto que a Lua constantemente atrada pela fora gravitacional da Terra, por que ela no se choca contra a Terra?Q12.8 Imagine que o Sol tivesse uma massa igual ao dobro damassa atual. Qual seria o efeito produzido sobre seu peso naTerra, medido quando voc fica em p sobre uma ba lana demola? Explique sua resposta.Q12.9 O Sol puxa a Lua com uma fora duas vezes maior do quea fora de a t r ao entre a Terra e a Lua. E nto , por que o Sol noafasta a Lua da Terra?Q 12,10 Conforme vimos no Cap tu lo 7 {Fsica /), a energiapotencial gravitacional dada por U = mgy, sendo positiva paraum corpo de massa m acima da superf cie terrestre (y = 0).Por m, neste cap tu lo , a energia potencial gravitacional dadapor U = GmTm/r, que negativa para um corpo de massa macima da superf cie terrestre (r = RT). Como voc pode conciliaressas duas des cr i es da energia potencial gravitacional aparentemente i ncompat ve i s ?

Q12.11 Um planeta se move com velocidade constante em umarbi ta circular em torno de uma estrela. Em uma rbi ta completa,o trabalho total realizado pela fora gravitacional da estrela sobreo planeta positivo, negativo ou nulo? Qual seria a resposta aessa pergunta no caso de uma rbi ta el pt ica ao longo da qual avelocidade no constante? Explique suas respostas.Q12.12 A velocidade de escape de um corpo depende da d i r eo emque ele l anado da superfcie terrestre? Explique. Sua respostadepende do fato de incluir ou no o efeito da res is tncia do ar?012.13 Quando um projtil disparado verticalmente de baixo paracima da superfcie terrestre, o que ocorreria se sua energia mecn i ca total (cint ica mais potencial) fosse: a) menor do que zero? b)maior do que zero? (Em cada caso, despreze a res is tncia do ar eos efeitos gravitacionais do Sol, da Lua e dos outros planetas.)Q12.14 Verifique se a af i rmao seguinte correta: "Na aus nc iada res is tncia do ar, a trajetria de um projt i l nas v iz inhanas dasuperf cie terrestre uma elipse, e no uma par bo la" .Q12.1S A Terra es t mais pr x ima do Sol em novembro do que emmaio. Em qual desses meses a velocidade da Terra maior?Explique.Q12.16 Uma empresa de comunicaes deseja colocar um satlite emrbita de modo que ele sempre sobrevoe a Terra ao longo do paralelo 45 (latitude norte de 45) . Ouseja, o plano da rbita no passa pelocentro da Terra. Essa rbita seria poss vel? Explique por qu .Q12.17 Em qual ponto de uma rbi ta el pt ica a ace l e r ao m x i ma? Em qual ponto ela m n i m a ? Justifique suas respostas.Q 12.18 Considere uma viagem da Terra at a Lua e a viagem devolta da Lua at a Terra. Em qual viagem o gasto de combus t ve l maior? Explique.Q12.19 Como seria enunciada a terceira lei de Kepler na hiptese deuma rbita circular, casoa le i de Newton da gravi tao fosse alteradade modo que a fora fosse inversamente proporcional a r ? Essaalterao modificaria as outras duas leis de Kepler? Explique.Q12.20 Na rbi ta el pt ica do cometa Halley, indicada na Figura12.21a, a gravidade do Sol faz o cometa cair aproximando-se doSol do aflio para o per i l io . Por m, qual o efeito r es pons ve lpelo afastamento do cometa do per il io at o afl io?Q 12.21 Muitas pessoas acreditam que astronautas em rbi ta nosentem seu peso porque es t o "fora da a t r ao terrestre". Qualdeveria ser a d i s t nc i a entre uma e s p a o n a v e e a Terra para queela realmente ficasse fora da inf luncia do campo gravitacional daTerra? Caso a es paonave ficasse realmente fora da a t r ao terrestre, ela poderia permanecer em rbi ta? Explique. Qual averdadeira r azo pela qual astronautas em rbi ta sentem como seestivessem sem peso?Q12.22 Como parte do treinamento para poder permanecer emrbi ta, os astronautas pilotam um av io que voa ao longo de umat rajetr ia parabl ica como um projtil em queda l ivre. Expliquecomo a s ens ao existente nesse caso a mesma que a experimentada em rbi ta quando o peso aparente igual a zero.

E x e r c c i o sSeo 12.1 Lei de N e w t o n da g r a v i t a o12.1 Calcule a razo da fora de atrao gravitacional entre o Sol e aLu a e a fora entre a Terra e a Lua. (Suponha que a distncia da Luaao Sol seja aproximadamente a mesma distncia da Terra ao Sol.) Usedados do Apnd ice F. E mais preciso dizer que a Lua est em rbitaao redor da Terra ou que a Lua est em rbita ao redor do Sol?


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28 FS ICA II12.2 Expe r i nc ia de Cavendish. Para usar a balana de Cavendishmostrada na Figura 12.4, suponha que m, = 1.10 kg, m2 25,0kg e a haste que conecta os pares de possui 30,0 cm de comprimento. Se, em cada par, m, e m2 esto a 12,0 cm de dis tnciade centro a centro, encontre a) a fora resultante e (b) o torqueresultante (em re lao ao eixo de ro tao) na parte ro ta tr ia doaparelho, (c) Voc acha que o torque na parte (b) seria suficientepara girar facilmente a haste? Sugira modos de aperfe ioar a sensibilidade do experimento.12.3 A que dis tncia de uma pequena esfera de 100 kg uma part cula teria de ser colocada para que a esfera atra sse a part culaco m a mesma fora que a Terra? Esse experimento poderia serefetivamente realizado? Por q u ?12.4 Duas esferas uniformes, cada uma com massa M e raio R,esto em contato. Qual o m d u lo da fora de atrao gravitaciona l entre elas?12.5 Uma nave espacial in terp lanetr ia passa em um ponto doesp ao no qual a fora de atrao gravitacional da Terra sobre anave cancela a fora de atrao gravitacional do Sol sobre a nave.a) Qual a dis tncia entre a nave e o centro da Terra? Use dadosdo Apndice F. b) Assim que houver atingido o ponto encontradono item (a), a esp ao n av e poderia desligar seus motores e ficarpairando l indefinidamente? Explique.12.6 a) Qual o m d u lo , a d i reo e o sentido da fora gravitacional resultante exercida pelas outras esferas sobre a esfera uniforme de 0,100 kg indicada na Figura 12.31 ? Os centros das trsesferas esto sobre a mesma linha reta. b) De acordo com a terceira lei de Newton, a esfera de 0,100 kg exerce foras iguais eopostas com o mesmo m d u l o encontrado na parte (a) sobre cadaum a das outras duas esferas?

5.0 kg 0,100 kg10,0 kg

- 0,400m - - 0,600 m -Figura 12.31 Exerccio 12.6.

12.7 Um homem adulto tpico possui massa igual a 70 kg . Qual afora que a Lua cheia exerce sobre esse homem quando ela estdiretamente sobre ele a uma dis tncia de 378000 km? b) Compareessa fora com a fora exercida sobre o homem na Terra.12.8 Uma massa pontual de 8,0 kg e outra massa pontual de 15,0kg so mantidas fixas a 50,0 cm de dis tncia . Uma part cula demassa m solta de um ponto entre as duas massas a 20,0 cm damassa de 8,0 kg ao longo da linha que conecta as duas massasfixas. Ache o m d u l o , a d i reo e o sentido da ace le rao da part cu la .12.9 Determine o m d u lo , a direo e o sentido da fora gravitacional resultante exercida pelo Sol e pela Terra sobre a Lua quando a Lua est em cada uma das posies indicadas na Figura12.32. (Note que a figura no est desenhada em escala. Suponhaque o Sol esteja no plano da rbita da Lua em torno da Terra,embora esse caso seja raro.) Use dados do Ap n d ice F.

(a)Lu a

(b )

Terra O ( */ \ TLua 1Terra

SolI

So l

( 0

(-'*)Terra

Lu a OSo l

Figura 12.32 Exerccio 12.9.12.10 Quatro massas idnticas de 800 kg cada so colocadas noscantos de um quadrado cujo lado mede 10,0 cm. Qual a foragravitacional resultante (mdulo , d ireo e sentido) sobre umadas massas em virtude das outras t rs?12.11 Uma part cula de massa 3m est localizada a 1,0 m de outrapart cula de massa m. a) Onde v o c deve colocar uma terceiramassa M de modo que a fora gravitacional resultante sobre Mem virtude das duas massas seja exatamente zero? b) O equil br iode M estvel ou ins tvel (i) em pontos ao longo da linha queconecta m e 3m, e ( i i ) em pontos ao longo da linha que passa porM e perpendicular linha que conecta m e 3m?12.12 As massas pontuais m e 2m esto situadas ao longo do eixox, com m na origem e 2m em x = L . Uma terceira massa pontualM deslocada ao longo do eixo x. (a) Em que ponto a fora gravitacional resultante sobre A em virtude das duas outras massas igual a zero? (b) Desenhe o componente x da fora resultantesobre M em virtude de me 2m, supondo que as grandezas dire ita sejam positivas. Inclua as regies x


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Captulo 12 Grav i tao 29acelerao da gravidade na superfcie de Vnus, b) Se uma pedrapesa 75,0 N na Terra, qual seria o seu peso na superfcie deVn u s?12.17 Titnia , a maior lua do planeta Urano, possui um raio iguala 1/8 do raio da Terra e massa igual a 1/1.700 da massa da Terra.a) Qual a acelerao da gravidade na superfcie de Titnia?b) Qual a densidade mdia de Titnia? (Esse valor menor doque a densidade mdia das rochas, uma evidncia em favor dahiptese de que Titnia seja basicamente consti tu da por gelo.)12.18 Ria, uma das luas de Saturno, possui raio igual a 765 km ea acelerao da gravidade na sua superfcie igual a 0,278 m/s 2.Calcule sua massa e sua densidade md ia .12.19 Calcule a fora da gravidade exercida pela Terra sobre umastronauta de 75 kg que est consertando o Te le sc p io EspacialHubble a 600 km acima da superfcie da Terra, e depois compareesse valor com o peso dele na superfcie da Terra. Diante do seuresultado, explique por que dizemos que os astronautas no tmpeso quando orbitam a Terra em um satlite, tal como u m n ib u sespacial. Isso se deve ao fato de a atrao gravitacional da Terraser to pequena a ponto de poder ser desprezada?12.20 Estrelas de nutrons, como a que se localiza no centro daNebulosa do Caranguejo, t m aproximadamente a mesma massaque nosso Sol, mas um dimetro muito menor do que o Sol. Sev o c pesasse 675 N na Terra, qual seria o seu peso na superfciede uma estrela de nutrons que possusse a mesma massa denosso Sol e um dimetro de 20 km?12.21 Usando-se uma balana de Cavendish para a medida daconstante gravitacional G, verificou-se que uma esfera uniformede 0,400 kg atrai outra esfera uniforme de 0,00300 kg com umafora igual a 8,0 X 1 0 ~ 1 0 N quando a d is tncia entre os centrosdestas esferas igual a 0,0100 m. A acelerao da gravidade nasuperfcie da Terra igual a 9,80 m/s 2, e o raio da Terra igual a6.380 k m . Calcule a massa da Terra usando esses dados.12.22 Explorando E u r o p a . H fortes indcios de que Europa, umsatlite de Jpiter, tenha um oceano lquido sob a superfcie degelo. Muitos cientistas acham que deveramos enviar u m m d u loespacial para l em busca de vida. Antes de lan-lo , deveramostestar o mdulo sob as condies de gravidade na superfcie deEuropa. U m modo de fazer isso colocar o mdulo na extremidade de um brao rotativo em um satlite orbitando ao redor daTerra. Se o brao possuir 4,25 m de comprimento e girar ao redorde uma extremidade, em que velocidade angular (em rpm) eledeveria girar para que a acelerao do mdulo espacial fosse amesma que a acelerao da gravidade na superfcie de Europa? Amassa de Europa 4,8 X I O 2 2 kg e seu di m etro 3.138 km .Seo 12.3 Energ ia potenc ia l g rav i tac iona l12.23 O aster ide Dactyl , descoberto em 1993, possui um raio deapenas 700 m e massa aproximadamente igual a 3,6 X 1 0 12 k g.Use os resultados do Exemplo 12.5 (Seo 12.3) para calcular avelocidade de escape para um objeto na superfcie de Dactyl.Poderia um a pessoa atingir essa velocidade apenas caminhando?12.24 Massa de um cometa. Em 4 de julho de 2005, a espaonave Deep Impact da NASA lanou um proj t i l sobre a superf c iedo Cometa Tempel 1. Esse cometa tem um dimetro de cerca de9,0 km. Observaes dos fragmentos provocados pelo impacto nasuperf c ie revelaram a liberao de poeira do cometa com umavelocidade bastante reduzida, de cerca de 10 m/s. (a) Supondoum a forma esfr ica , qual a massa desse cometa? (Sugesto:Veja o Exemplo 12.5 na Seo 12.3.) (b) A que distncia do cen

tro do cometa estar um fragmento quando houver perdido (i )90,0% de sua energia cintica in ic ia l na superf c ie ; e ( i i ) toda aenergia cintica que possua na superf c ie?12.25 Use os resultados do Exemplo 12.5 (Seo 12.3) para calcular a velocidade de escape para uma espaonave sair a) dasuperfcie de Marte; b) da superfcie de Jpiter. Use dados doApndice F. c) Por que a velocidade de escape n o depende damassa d a e sp ao n av e?12.26 De z dias aps seu lanamento para Marte em dezembro de1998, a espaonave M ars Climate Orbiter (massa igual a 629 kg)estava a uma distncia de 2,87 X IO 6 km da Terra e se deslocavaco m velocidade igual a 1,20 X 10 4 km/h em re lao Terra.Nesse momento, qual era a) a energia cintica da espaonave emrelao Terra e b) a energia potencial gravitacional do sistemaesp ao n av e -Te r ra?Seo 12.4 Movimento de sat l i tes12.27 Qual deve ser a velocidade orbital de um satlite que descreve uma rbita circular de raio igual a 780 km acima da superfcie terrestre?12.28 Misso Aura. Em 15 de julho de 2004, a NASA lan o u ae sp ao n av e Au ra para estudar o clima e a atmosfera da Terra.Esse sa t l i te fo i colocado em uma rbita 705 km acima da superfcie da Terra. Suponha uma rbita circular, (a) Quantas horasleva para esse satlite completar uma rbita? (b) Com que velocidade (em quilmetros) a espaonave Aura es t se movendo?12.29 Suponha que a rbita da Terra ao redor do Sol seja circular.Use o raio orbital e o perodo orbital da Terra fornecidos noAp n d ice F para calcular a massa do Sol.12.30 Estao Espacial Internacional {International SpaceStation). A Es tao Espacial Internacional completa 15,65 revolues por dia em sua rbita ao redor da Terra. Supondo uma rbitacircular, a que altura acima da Terra se encontra esse sa t l i te?12.31 Deimos, uma das luas de Marte, possui cerca de 12 km dedimetro e 2 ,0 X 1 0 15 kg de massa. Suponha que voc tenha sidoabandonado sozinho em Deimos e queira jogar beisebol co mv o c mesmo. Voc seria o arremessador e o rebatedor ao mesmotempo! (a) Com que velocidade v o c teria de arremessar um abola de beisebol para que ela entrasse em rbita circular umpouco acima da superfcie e retornasse a voc para que pudesserebat- la? Voc acha que poderia realmente arremessar a bola aessa velocidade? (b ) Quanto tempo (em horas) depois de arremessar a bola v o c deveria se preparar para rebat- la? Haveriamuita " a o " nesse jogo de beisebol?Seo 12.5 As le is de Kepler e o mo vim ent o de p lanetas12.32 Planeta Vulcano. Suponha que houvesse sido descobertoum planeta entre o Sol e Mercrio, com uma rbita circular de raioigual a 2/3 do raio orbita l mdio de Mercrio . Qual seria o perodoorbital desse planeta? (Antigamente acreditava-se que esse planeta existisse, para explicar a precesso da rbita de Mercrio .Chegou-se mesmo a batiz-lo de Vulcano, embora hoje em dia nose tenha nenhuma evidncia de que ele realmente exista. A precesso de Mercrio explicada pela relatividade geral.)12.33 A estrela R ho 1 Cancri est a uma distncia de 57 anos-luzda Terra e possui massa igual a 0,85 da massa do Sol. Verificou-seque existe um planeta descrevendo uma rbita circular em tornode Rho 1 Cancri co m raio igual a 0,11 do raio da rbita da Terraem torno do Sol. a) Qual a velocidade orbital e b) o perodoorbital do planeta de Rho 1 Cancri?


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12.34 Em m a r o de 2006, foram descobertos dois pequenos satlites orbitando P l u t o , um deles a uma d i s t nc i a de 48000 km eo outro a 64000 km. J se sabia que Plu to pos s u a um grandesatl i te , Caronte, orbitando a 19600 km com um per odo orbitalde 6,39 dias. Supondo que os satl i tes no se afetem um aooutro, encontre os per odos orbitais dos dois satl i tes sem usar amassa de Plu to .12.35 a) Use a Figura 12.19 para mostrar que a d i s t nc i a entre oSo l e um planeta no per il io igual a (1 X e)a, a d i s t nc i a entreo Sol e um planeta no aflio igual a (1 + e)a e, portanto, a somadessas duas d i s t nc i as igual a 2a. b) Plu to chamado de planeta externo, p o r m , durante o per il io em 1989 ele estava quase100 m i l h e s de qu i lmet r os mais perto do Sol do que Netuno. Ossemi-eixos maiores das rbi tas de Plu to e de Netuno s o , respectivamente, 5,92 X I O 1 2 me 4,50 X I O 1 2 m , e as respectivas excentricidades so 0,248 e 0,010. Ache a menor d i s t nc i a entre o Sole Plu to e a maior d i s t nc i a entre o Sol e Netuno. c) Depois dequantos anos do per il io de Plu to em 1989 Pluto es tar novamente no per i l io?12.36 Jpi te r quente. Em 2004, as t r nomos relataram a descoberta de um planeta to grande quanto Jpi ter orbitando muitoperto da estrela H D 179949 ( da o termo "J p i t e r quente"). A r b i ta exatamente a dis tncia de M e r c r i o a nosso Sol, e o planetaleva apenas 3,09 dias para completar uma rbi ta (suponha que arbi ta seja circular), (a) Qual a massa da estrela? D a sua resposta em quilogramas e como um ml t ip lo da massa de nosso Sol.b) Qual a velocidade (em km/s) com que esse planeta se move?12.37 A e s p a o n a v e Helios B pos s u a uma velocidade de 71 km/squando ela estava a 4,3 X 107 km do Sol. a) Prove que ela noestava em uma rbi ta circular em torno do Sol. b) Prove que suarbi ta em torno do Sol era fechada e, portanto, el pt ica.*Seo 12.6 Dist r ibu io esfr i ca de massa12.38 Uma casca esfr ica, uniforme, de massa igual a 1000 kg,possui um raio de 5,0 m. (a) Ache a fora gravitacional que essacasca exerce sobre uma massa pontual de 2,0 kg colocada nasseguintes d i s t nc i as do centro da casca: (i) 5,01 m, ( i i ) 4,99 m,( i i i ) 2,72 m. (b) Desenhe um grf ico qualitativo do m d u l o dafora gravitacional que essa esfera exerce sobre uma massa pontual m em funo da d i s t nc i a r de m do centro da esfera. Incluaa r eg i o de r = 0 a r * .12.39 Uma esfera sl ida, uniforme, de massa igual a 1000 kg,possui um raio de 5,0 m. (a) Ache a fora gravitacional que essaesfera exerce sobre uma massa pontual de 2,0 kg colocada nasseguintes d i s t nc i as do centro da esfera: (i ) 5,01 m e ( i i ) 2,50 m.(b ) Desenhe um grf ico qualitativo do m d u l o da fora gravitacional que essa esfera exerce sobre uma massa pontual m emf uno da d i s t nc i a r de m do centro da esfera. Inclua a r eg i o der = 0 a r .12.40 Uma barra delgada uniforme possui massa M e comprimento L . Uma pequena esfera uniforme de massa m situada a umad i s t nc i a x de uma das extremidades da barra ao longo do eixo dabarra (Figura 12.34). a) Calcule a energia potencial gravitacionaldo sistema barra-esfera. Considere a energia potencial gravitaciona l igual a zero quando a d i s t nc i a entre a barra e a esfera forigual ao inf ini to. Mostre que o resultado se reduz ao esperadoquando x for muito maior do que L . (Sugesto: Use o desenvolvimento em sr ie de po tnc ias da funo ln(l + x) indicado noA p n d i c e B.) b) Use a r e l ao Fx = dU/dx para achar o m d u

lo e a d i r eo da fora gravitacional exercida pela barra sobre aesfera (veja S e o 7.4). Mostre que o resultado se reduz ao esperado quando x for muito maior do que L .

M

Figura 12.34 Exerccio 12.40 e Problema 12.84.12.41 Considere o corpo em forma de anel indicado na Figura12.35. Uma par t cu l a de massa m colocada a uma d i s t nc i a x docentro do anel ao longo de seu eixo e perpendicularmente ao seuplano, a) Calcule a energia potencial gravitacional U desse sistema. Considere a energia potencial gravitacional igual a zeroquando os dois objetos estiverem muito distantes, b) Mostre queo resultado da parte (a) se reduz ao esperado quando x for muitomaior do que o raio a do anel. c) Use a r e l ao Fx = dUldx paraachar o m d u l o e a d i r eo da fora gravitacional exercida peloanel sobre a par t cula, d) Mostre que o resultado da parte (c) sereduz ao esperado quando x for muito maior do que a. e) Quaiss o os valores de Ue de F, quando x = 0? Explique por que essesresultados fazem sentido.

"OmFigura 12.35 Exerccio 12.41 e Problema 12.83.*Seo 12.7 Peso aparente e r o t a o da Terra12.42 O peso do Papai Noel no Plo Norte, determinado pela leitura de uma b a l a n a de molas, igual a 875 N. Qual seria aleitura do peso dele nessa b a l a n a no equador, supondo que aTerra fosse esfericamente s imt r i ca?12.43 A a c e l e r a o da gravidade no p lo norte de Netuno aproximadamente igual a 10,7 m/s2. Netuno possui massa igual a 1,0X I O 2 6 k g e raio igual a 2,5 X I O 4 k m e gira uma vez em tornode seu eixo em 16 h. a) Qual a fora gravitacional sobre umobjeto de 5,0 kg no p lo norte de Netuno? b) Qual o peso aparente do mesmo objeto no equador de Netuno? (Note que a"s uper f c i e" de Netuno gasosa, e no sl ida, de modo que impos s ve l ficar em p sobre ela.)*Seo 12.8 B u r a co n e g r o12.44 Miniburacos negros. Os c o s m l o g o s especulam que buracos negros do tamanho de um pr ton poderiam ter se formadodurante os primeiros dias do Big Bang, quando o universo teveincio. Se tomarmos o d imet r o de um prton como 1,0 X 10" m,qual seria a massa de um miniburaco negro?12.45 A que f rao do raio atual o raio da Terra deveria ser reduzido para que ela se tornasse um buraco negro?12.46 a) Mostre que um buraco negro atrai um objeto de massa mco m uma fora igual a mc 2R s/(2r 2), onde r a d i s t nc i a entre oobjeto e o centro do buraco negro, b) Calcule o m d u l o da foragravitacional exercida por um buraco negro que possua o raio deSchwarzschild igual a 14,0 mm sobre um corpo de 5,0 kg situado


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Captulo 12 Gravi tao 31a uma dis tncia de 3000 km do buraco negro, c) Qual a massadesse buraco negro?12.47 No nc leo da V i a L c t e a . Os as t r n o mo s observaram umobjeto pequeno com massa elevada no centro da nossa galxia , aVi a Lc tea (veja S e o 12.8).Giram em torno desse objeto materiais d is t r ib u d o s ao longo de um anel; o d ime t ro desse anel aproximadamente igual a 15 anos-luz e sua velocidade orbital aproximadamente igual a 200 km/s. a) Determine a massa desseobjeto. D a resposta em quilogramas e em massas solares (amassa solar uma unidade de massa igual massa do Sol), b)O b s e r v a e s de estrelas, bem como teorias das estruturas estelares, sugerem que imp o ss v e l que uma n ica estrela possuamassa maior do que 50 massas solares. Esse objeto com massaelevada seria co n s t i tu d o por uma n ica estrela? c) Muitos astrnomos acreditam que esse objeto no centro da Via Lc tea sejaum buraco negro. Caso seja, qual deveria ser o seu raio deSchwarzschild? Um buraco negro desse tamanho caberia nointerior da rbita da Terra em torno do Sol?12.48 Em 2005, foi anunciada a descoberta de um grande buraconegro na g a lx ia Markarian 766. Esse buraco negro p o ssu a blocos de mat r ia completando uma rbita a cada 27 horas e moven-do-se a 30000 km/s. a) A que dis tncia do centro do buraco negroesto esses blocos? b) Qual a massa desse buraco negro, supondo rbitas circulares? D a resposta em quilogramas e como umm l t ip lo da massa do nosso Sol. c) Qual o raio do horizonte deeventos desse buraco negro?

Problemas12.49 Trs esferas uniformes esto fixadas nas p o s i es indicadasna Figura 12.36. a) Determine o m d u l o , a d i reo e o sentido dafora sobre uma part cula de 0,0150 kg situada no ponto P. b) Seessas esferas estivessem nas profundezas do esp ao sideral e umapart cula de 0,0150 kg fosse libertada do repouso a 300 m da or igem ao longo de uma reta a 45 abaixo do eixo Ox, qual seria avelocidade da part cula quando ela atingisse a origem?

W g _ _ Q 2 , 0 k g

0,50 mX0,50 m

Figura 12.36 Problema 12.4912.50 Uma esfera uniforme de massa igual a 60,0 kg mantida fixaco m seu centro na origem e uma segunda esfera uniforme demassaigual a 80,0 kg mantida fixa com seu centro no ponto x = 0, y= 3,0 m. a) Determine o m d u l o , a d i reo e o sentido da foragravitacional resultante produzida por essas esferas sobre umaterceira esfera uniforme com massa igual a 0,500 kg situada noponto x = 4,0 m, y = 0. b) Em que ponto, sem ser o inf in i to , aterceira esfera deve ser colocada para que a fora gravitacionalresultante que atua sobre ela seja igual a zero?12.51 a) Mostre que a fora gravitacional exercida pelas duasgrandes estrelas do Exemplo 12.3 (Seo 12.1) sobre a estrela

menor no dirigida para o ponto situado no meio da dis tnciaentre as estrelas maiores, b) Suponha que as duas estrelas maioresconstituam um n ico corpo rgido, como se estivessem ligadaspo r uma haste de massa d esp rez v e l . Calcule o torque exercidopela estrela pequena sobre esse corpo rgido em r e lao a um p iv situado no seu centro de massa, c) Explique como o resultado daparte (b) mostra que o centro de massa n o coincide com o centrode gravidade. Por que no h essa co in c id n c ia?12.52 Em um dado instante, a Terra, a Lua e uma esp ao n av e demassa igual a 1.250 kg ocupam os vrt ices de um t r ingulo equil tero de lado igual a 3,84 X IO 5 k m . a) Determine o m d u l o , ad i reo e o sentido da fora gravitacional resultante exercida pelaTerra e pela Lua sobre a esp ao n av e . Descreva a d i reo em termos do n g u lo a partir da linha que l iga a Terra com a esp ao n a ve . Faa um diagrama mostrando a Terra, a Lua, a esp ao n av e eo vetor fora, b) Qual seria o trabalho m n i m o que v o c deveriarealizar para afastar a esp ao n av e at uma dis tncia inf in i ta daTerra e da Lua? Despreze os efeitos gravitacionais produzidospelo Sol e pelos outros planetas.12.53 Realiza-se uma experincia nas profundezas do espao sidera l com duas esferas uniformes de mesmo raio, uma com massaigual a 25,0 kg e a outra com massa igual a 100,0 kg. As esferaspossuem raios de mesmo tamanho, r = 0,20 m, e so liberadas apartir do repouso com seus centros a 40,0 m de dis tncia . Elas aceleram uma ao encontro da outra em virtude da atrao gravitacionalentre elas. Despreze outras foras gravitacionais alm da existenteentre as esferas, a) Explique por que existe co n se rv ao domomento linear, b) Quando a dis tncia entre seus centros for iguala 20,0 m, calcule i) a velocidade de cada esfera e i i ) o m d u lo davelocidade relativa da ap ro x imao entre as duas esferas, c) Qual a dis tncia entre o ponto ocupado pelo centro da esfera de 25,0 kge o ponto no qual as superfcies das duas esferas colidem?12.54 Suponha que a rbita da Lua em torno da Terra seja circular.A partir do p e r o d o orbital de 27,3 dias, calcule a dis tncia da Luaao centro da Terra. Suponha que o movimento da Lua seja determinado unicamente pela fora gravitacional que a Terra exercesobre ela, e use a massa da Terra indicada no A p n d i c e F.12.55 Satlites geossncronos. Muitos satlites se movem em umcrculo no plano equatorial da Terra. Eles esto a uma altura tal quesempre permanecem sobre um mesmo ponto da Terra, a) Ache aaltura desses satlites acima da superfcie terrestre. (Esse tipo derbita denominado geossncrona.) b) Faa um diagrama paramostrar que um receptor a uma latitude norte superior a 81,3 Nn o pode receber sinais de rdio emitidos por esse tipo de satlite.12.56 Um m d u l o espacial de massa igual a 12500 kg est emuma rbita circular 5,75 X 105 sobre a superf c ie de um planeta.O p e r o d o da rbita 5800 s. Os astronautas no m d u l o medemo d ime t ro do planeta e o b tm 9,60 X IO6. O m d u l o espacialpousa no p lo norte do planeta. Qual o peso de um astronautade 85,6 kg ao descer superf c ie do planeta?12.57 Qual a velocidade de escape de um aster ide com d i m e tr o de 300 km e com uma densidade igual a 2500 kg/m3?12.58 a) Os as te r id e s possuem densidades da ordem de 2500 kg/m 3 e raios variando de 470 km at menos do que um q u i l me t ro .Supondo que o as te r id e possua uma dis tr ibuio de massa comsimetria esfr ica , estime o raio do maior aster ide do qual v o cpoderia escapar simplesmente pulando da superf c ie dele.


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(Sugesto: Vo c pode estimar a velocidade mxima do seu pulorelacionando-a altura mxima que voc atinge quando pula nasuperf c ie terrestre.) b) Europa, uma das quatro maiores luas deJpiter , possui u m raio igual a 1570 km. A acelerao da gravidade em sua superfcie igual a 1,33 m/s 2. Calcule sua densidad e md ia .12.59 a) Suponha que voc esteja no equador da Terra e observeum sat l i te passando bem em cima de sua cabea e movendo-sede oeste para leste no cu. Exatamente 12,0 horas depois, voc vesse satlite sobre sua cabea outra vez. A que distncia da superfcie da Terra est a rbita do satlite? (b) Voc v outro satlitebem em cima de sua cabea e seguindo de leste para oeste. Essesatlite est novamente sobre sua cabea em 12,0 horas. A quedistncia da superfcie da Terra est a rbita desse sa t l i te?12.60 O Planeta X gira, do mesmo modo que a Terra, ao redor deum eixo que passa po r seus p lo s norte e sul, e perfeitamenteesfr ico . Um astronauta que pesa 943,0 N na Terra pesa 915,0 Nno plo norte do Planeta X , e apenas 850,0 N em seu equador. Adistncia do plo norte ao equador 18850 k m , medidos ao longoda superfcie do Planeta X. a) Qual a durao do dia no PlanetaX? b) Se um satlite de 45000 kg for colocado em uma rbitacircular 2000 k m acima da superfcie do Planeta X , qual ser oseu perodo orbital?12.61 Existem duas equaes a partir das quais voc pode calcularuma variao da energia potencial gravitacional U do sistema constitudo por um corpo de massa m e a Terra. Uma delas U = mgy(Equao (7.2) Fsica I). A outra U = GmTm/r (Eq u ao(12.9)). Como mostramos na Seo 12.3, a primeira equao correia somente quando a fora gravitacional fo r constante ao longoda variao de altura Ay . A segunda sempre correta. N a realidade,a fora gravitacional nunca exatamente constante ao longo dequalquer variao de altura, p o rm, quando a variao for pequena,podemos desprez-la . Calcule a diferena de U usando as duas frmulas para uma diferena de altura h acima da superfcie terrestree ache o valor de h paia o qual a Equao (7.2) fornece um erro de1% . Expresse esse valor de h como uma frao do raio da Terra, eobtenha tambm seu valor n u mr ico .12.62 A sua espaonave, o Andarilho Errante, pousa no misterioso planeta Mongo. Como engenheiro e cientista-chefe, voc efe-tua as seguintes medidas: um a pedra de massa igual a 2,50 kgjogada para cima a partir do solo retorna ao solo em 8,0 s; a circunferncia de Mongo no equador 2,0 X 10 5 e no existe atmosfera significativa em Mongo. O comandante da nave, Cap i toCo n fu so , pede as seguintes informaes: a) Qual a massa deMongo? b) Se o Andarilho Errante entrar em uma rbita circular30000 k m acima da superfcie de Mongo, quantas horas a navelevar para completar uma rbita?12.63 Calcule a d iferena percentual entre o seu peso emSacramento, perto do nvel do mar, e no topo do Monte Everest,8.800 m acima do nvel do mar.12.64 N o Exemplo 12.5 (Seo 12.3), desprezamos os efeitos gravitacionais da Lua sobre a espaonave que se deslocava entre aTerra e a Lua. Na realidade, devemos in c lu i r t amb m o efeito daLua sobre a energia potencial gravitacional. Para este problema,despreze o movimento da Terra e da Lua. a) Chamando de R Loraio da Lua e de R -^ a d is tncia entre a Terra e a Lua, ache a energi a potencial gravitacional do sistema part cula-Terra e do sistema p a r t cu la -Lu a quando uma partcula de massa m est a uma

distncia r do centro da Terra. Considere a energia potencial gravitacional igual a zero quando a d is tncia entre os corpos fo rinfinita, b) Existe um ponto na linha que une a Terra com a Luapara o qual a fora gravitacional resultante igual a zero. Use aex p re s so deduzida na parte (a) e dados d o Ap n d ice F para calcular a d is tncia entre este ponto e o centro da Terra. Com quevelocidade deve uma espaonave ser lanada da superf c ie daTerra para que ela consiga apenas atingir esse ponto, sem ir alm?c) Caso u ma e sp ao n av e fosse lanada da superfcie da Terra emdireo Lua com velocidade igual a 11,2 km/s, com que velocidade ela atingiria a superfcie da Lua?12.65 Uma espaonave sem tr ipulao descreve uma rbita circular em torno da Lua, observando a superfcie da Lua de umaaltura de 50,0 k m (ver o A pn dice F ). Para surpresa dos cientistasna Terra, devido a uma falha eltrica um dos motores da espaonave deixa de funcionar, fazendo sua velocidade diminuir 20 ,0m/s. Caso nada seja feito para corrigir sua rbita, com que velocidade (em km/h) a espaonave atingiria a superfcie da Lua?*12.66 Qual seria a durao de um dia (isto , o tempo n ecess r iopara a Terra completar uma ro tao em torno do seu eixo), se ataxa de rotao da Terra fosse tal que g = 0 no equador?12.67 Martelo em queda. U m martelo co m massa m largado deum a altura h acima da superfcie da Terra. Essa altura no necessariamente pequena em co mp arao ao raio da Terra R T.Desprezando a resistncia do ar, deduza uma expresso para avelocidade v do martelo quando ele atinge a superfcie da Terra.Essa ex p re s so deve envolver h, R T e m T, a massa da Terra.12.68 a) Calcule o trabalho n ecess r io para lanar uma espa onave de massa m da superfcie da Terra (massa m T e raio R T) e coloc-la em uma rbita terrestre baixa, isto , uma rbita cuja alturaacima da superfcie da Terra seja menor do que R T. (Como exemplo, a Estao Espacial Internacional est em uma rbita terrestre baixa a uma altura de 400 km, que muito menor do que R T= 6.380 k m. ) Despreze a energia cintica que a espaonave possui na superfcie da Terra em virtude da rotao da Terra, b)Calcule o trabalho adicional mn imo n ecess r io para fazer a espaonave se deslocar da rbita terrestre at uma dis tncia muitogrande da Terra. Despreze os efeitos gravitacionais do Sol, daLua e dos outros planetas, c) Justifique a seguinte afirmao "emtermos de energia, uma rbita terrestre baixa est na metade dadis tncia a t a borda do universo".12.69 Desejamos lanar uma espaonave da superfcie da Terra demodo que ela tambm escape do sistema solar, a) Calcule a velocidade relativa ao centro da Terra com a qual ela deve ser lanada.Considere os efeitos gravitacionais do Sol e da Terra e inclua o efeito da velocidade orbital da Terra, mas despreze a resistncia do ar.b) A rotao da Terra pode auxiliar a atingir esta velocidade de escape. Calcule a velocidade que a espaonave deve possuir em re lao superfcie da Terra se a espaonave for lanada da Flrida noponto indicado na Figura 12.37. A rotao da Terra em torno do seueixo e seu movimento orbital em torno do Sol possuem o mesmosentido de rotao. Em Cabo Canaveral um lanamento ocorre nalatitude de 28,5 ao norte do equador, c) A European Space Agency(ESA) utiliza uma plataforma de lanamento na Guiana Francesa(imediatamente ao norte do Brasil), situada a 5,15 ao norte doequador. Com que velocidade em relao superfcie da Terra deveuma espaonave ser lanada da plataforma de lanamento naGuiana Francesa para que ela escape do sistema solar?


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Captulo 12 Gravi tao 33

Figura 12.37 Problema 12.69.

*12.70 Gravidade no interior da Te r r a . Ache a fora gravitaciona l que a Terra exerce sobre uma massa de 10,0 kg se ela forcolocada nos seguintes locais. Consulte a Figura 12.9 e suponhaum a densidade constante em todas as r eg i e s interiores (manto,n c leo externo, n c leo interno), mas no a mesma densidade emtodas essas r eg i e s . Use o grfico para estimar a densidade m d i ade cada r eg io , a) Na superf c ie da Terra; b) na superf c ie externado ncleo externo liquefeito; c) na superf c ie do n c leo internos l id o ; (d) no centro da Terra.12.71 Lacunas de Kirkwood . Centenas de milhares de aster idesgiram em torno do Sol no interior do cinturo de asterides, quese estende desde uma dis tncia do Sol de 3 X 1 0 8 km at cerca de5 X 1 0 8 k m . a) Ache o perodo orbita l (em anos) para i) um aster id e na parte interna do cin turo e i i ) um aster ide na parte externa do cin turo . Considere rbitas circulares, b) Em 1867 o astrnomo americano Daniel K i r k w o o d notou diversas lacunas nacontinuidade do cin turo no interior das quais existem relativamente poucos aster ides . Agora sabemos que essas lacunas deKirkwood so causadas pela atrao gravitacional de Jpiter , omaior planeta do sistema solar, que completa uma volta em tornodo Sol a cada 11,86 anos. Como exemplo, se o aster ide possusseum pero do orbita l igual metade do p e r o d o de Jpiter, 5,93 anos,cada rbita estaria p r x ima da de Jpiter e sofreria uma forte atrao gravitacional deste planeta. Essa atrao, atuando continuamente em rbitas vizinhas, poderia fazer alguns aster ides sa remda lacuna de K i r k w o o d . Use essa hiptese para determinar o raioda rbita da lacuna de Kirk wo o d . c) Uma de diversas outras lacunas de K i r k w o o d surgiu a uma dis tncia do Sol para a qual operodo orbital igual a 0,400 do p e r o d o de Jpiter. Explique porque ocorre essa lacuna e calcule o raio dessa lacuna deK i r k w o o d .12.72 Quando um satlite descreve uma rbita suficientementebaixa, ele sofre arraste do ar da atmosfera terrestre. Como a forade arraste do ar produz um trabalho negativo (a fora de arraste doar possui sentido contrr io ao do movimento), a energia mecn icadiminui . De acordo com a Eq u ao (12.13), quando E diminui(torna-se mais negativa) o raio r da rbita d iminui . Se o arraste doar for suficientemente pequeno, a rbita pode ser considerada circular com uma diminuio contnua do raio. a) De acordo com aEq u ao (12.10), quando o raio r de uma rbita circular diminui , avelocidade orbital v do satlite aumenta. Comov o c pode conciliaresse resultado com o fato de que a energia mecn ica diminup.(Sugesto: E a fora de arraste do ar a nica fora que realiza trabalho sobre o satlite quando o raio da rbita diminui?) b) Devido fora de arraste do ar o raio da rbita circular diminui de r para r Ar, onde o valor positivo r muito menor do que A r. A massado satlite igual a m. Mostre que o aumento da velocidade orbital dado por Au = + ( A r / 2 ) V G m T / r 3 ; que a variao da energiacintica dada por AK = + (GnijmUr 2) Ar; que a variao da

i -UFF-NDC - DBT - B ib l i o t eca do A t e r r a d oLO UNIVERSITRIO DE VOLTA REDONDAi Exemplar

energia potencial gravitacional dada por AU 2AK = (Gnijmlr 2) Ar; e que a fora de arraste do ar produz um trabalhodado por W = (GmjmUr 2) Ar Interprete esses resultados combase em seus co men t r io s da parte (a), c) Um satlite com massaigual a 3000 kg est inicialmente em uma rbita circular a 300 kmacima da superf c ie da Terra. Sua altura d imin u i para 250 km,graas fora de arraste do ar. Calcule a velocidade orbita l in i cia l ; o aumento da velocidade orbita l ; a energia mecn ica in ic ia l ;a v a r iao da energia c in t ic a ; a v a r iao da energia potencialgravitacional; a variao da energia m e c n i c a e o trabalho realizado pela fora de arraste do ar. d) Um sa t l i te passa a se moverem uma altura to baixa que ele se queima e seus restos se espalham na superf c ie da Terra. O que ocorreu com a sua energiam e c n i c a inicial?12.73 Estre la b inr ia - massas iguais. Duas estrelas id n t ic a s ,cada uma com massa M, giram em torno do centro de massa dasduas estrelas. Cada rbita circular e possui raio R, de modo queas duas estrelas esto sempre em lados opostos do crculo , a)Ache a fora gravitacional de uma estrela sobre a outra, b) Achea velocidade orbital de cada estrela e o p e r o d o da rbita , c) Qualdeve ser a energia n ecess r ia para separar as duas estrelas at umadistncia infinita?12.74 Estrela binria - massas diferentes. Duas estrelas, umaco m massa M , e a outra commassa M2, descrevem uma rbita circular em torno do centro de massa delas. A estrela de massa Mxpossui uma rbita com raioR\, e a estrela de massa M2 possui umarbita com raio R2. a) Mostre que a razo entre os raios orbitais dasduas estrelas inversamente proporcional razo entre suas massas, ou seja, mostre que R\IR 2 = M 2IM V b) Explique por que asduas estrelas possuem o mesmo perodo orbita l e mostre que operodo T dado por c) As duas estrelas de um certo sistema deestrela binria descrevem rbitas circulares. A primeira estrela,Alf a , possui velocidade orbital igual a 36,0 km/s. A outra estrela,Beta, possui velocidade orbital igual a 12,0 km/s. O perodo orbita l igual a 137 d. Calcule a massa de cada uma das duas estrelas, d)Presume-se que um dos melhores candidatos a buraco negro seencontre no sistema binrio denominado A0620-0090. Os dois corpos desse sistema s o uma estrela laranja, V616 Monocerotis, e umcorpo compacto que parece ser um buraco negro (Figura 12.22). Operodo orbital do binrio A0620-0090 igual a 7,75 horas.Estima-se que a massa de V616 Monocerotis seja igual a 0,67 veza massa do Sol, e que a massa do buraco negro seja igual a 3,8vezes a massa do Sol. Supondo que as rbitas sejam circulares,calcule o raio da rbita e a velocidade orbital de cada um dessescorpos. Compare suas respostas com o raio orbital e com a velocidade da Terra em sua rbita em torno do Sol.12.75 Os cometas descrevem rbitas e l p t icas em torno do Solco m elevadas excentricidades. Se um cometa possui velocidadeigual a 2,0 X IO 4 m/s, quando sua d is tn c ia ao centro do Sol igual a 2,5 X 10" m, qual sua velocidade quando sua dis tnciaao centro do Sol igual a 5,0 X 10 10 m?12.76 A medida que Marte percorre sua rbita e l p t ica em tornodo Sol, sua dis tncia mais p r x ima do centro do Sol (no peri l io) igual a 2,067 X 1011 m , e sua d is tn c ia mx im a ao centro do Sol(no aflio) igual a 2,492 X 10" m. Se a velocidade orbital deMarte no aflio igual a 2,198 X IO 4 m/s, qual sua velocidadeorbital no peri l io? (Despreze a inf luncia dos outros planetas.)


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34 FS ICA II12.77 Considere uma e s p a o n a v e percorrendo uma rbi ta el pt icaem torno da Terra. Em seu ponto inferior, ou perigeu de sua rbita, ela es t a uma altura de 400 km acima da superf cie terrestre;em seu ponto superior, ou apogeu de sua rbi ta, ela es t a umaaltura de 4000 km acima da superf cie terrestre, a) Qual o per o do da rbi ta da e s p a o n a v e ? b) Usando a c o n s e r v a o do momento angular, ache a r azo entre a velocidade no perigeu e a velocidade no apogeu, c) Usando a cons er vao da energia, ache avelocidade no perigeu e a velocidade no apogeu, d) Desejamosfazer a e s p a o n a v e escapar completamente da Terra. Se os motores dos foguetes forem acionados durante o perigeu, quanto avelocidade deve aumentar para atingir esse objetivo? E se osmotores forem acionados durante o apogeu? Qual o ponto darbi ta mais eficiente para se usar?12.78 O planeta Urano possui raio igual a 25560 km e a ace l e r aoda gravidade em sua superf cie nos p los igual a 11,1 m/s2. Sualua Miranda (descoberta por Kuiper em 1948) descreve uma r b i ta circular em torno de Urano a uma altura de 104000 km acimada superf cie deste planeta. Miranda possui massa igual a 6,6 XI O 1 9 k g e um raio igual a 235 km. a) Calcule a massa de Mirandausando os dados anteriores, b) Calcule o m d u l o da ace l e r ao deMiranda em sua rbi ta em torno de Urano, c) Calcule a acelera o da gravidade na superf cie de Miranda, d) Suas respostas dositens (b) e (c) significam que um objeto l anado a 1 m acima dasuperf cie de Miranda no lado voltado para Urano cairia paracima em r e l ao a Miranda? Explique.12.79 Uma e s p a o n a v e de 3000 kg descreve uma rbi ta circular auma altura de 2000 km acima da superf cie de Marte. Qual otrabalho realizado pelos motores da e s p a o n a v e para t r ans por t -la at uma rbi ta circular com raio igual a 4000 km?12.80 Um dos cometas mais brilhantes que apareceram no s cu loX X foi o cometa Hyakutake, que passou nas proximidades do Solem torno de 1996. Estimou-se em 30000 anos o p e r o d o orbitaldeste cometa. Calcule o semi-eixo maior da rbi ta desse cometa.Compare o resultado com a d i s t nc i a md ia entre o Sol e Plu toe com a d i s t nc i a da estrela mais p r x i m a do Sol , A l f a Centauro,situada a uma d i s t nc i a da Terra aproximadamente igual a 4,3anos-luz.12.81 Planetas no so uniformes por dentro. Normalmente eless o mais densos no nc leo e sua densidade vai decrescendo dedentro para fora at a superf cie. Modele um planeta esfericamen-te s imt r i co , de mesmo raio que a Terra, tendo uma densidade qued iminu i linearmente com a dis tncia a partir do centro. Suponhaque a densidade seja 15,0 X 103 kg/m3 no n c l e o e 2,0 X 103 kg/m 3 na superf cie. Qual a ace l e r ao da gravidade na superf ciedesse planeta?12.82 Um fio uniforme de comprimento L e massa M es t curvadoem s emic r cu lo . Calcule o mdulo , d i r eo e sentido da foragravitacional que o fio exerce sobre uma par t cu l a de massa msituada no centro da curvatura do s emic r cu lo .*12.83 Um corpo com forma de anel fino possui raio a e massa M.U m a esfera uniforme de raio R e massa m colocada com seucentro situado a uma d i s t nc i a x direita do centro do anel, sobrea linha que une os centros perpendicular ao plano do anel (Figura12.35). Qual a fora gravitacional que a esfera exerce sobre ocorpo em forma de anel? Mostre que o seu resultado se reduz aoesperado quando x for muito maior do que a.

* 12.84 Uma barra uniforme delgada possui comprimento L emassa M. Calcule o m d u l o da fora gravitacional que a barraexerce sobre uma par t cu l a de massa m situada ao longo do eixoda barra a uma d i s t nc i a x de uma de suas extremidades (Figura12.34). Mostre que o seu resultado se reduz ao esperado quandox for muito maior do queL .* 12.85 Perfuramos um tnel da superfcie at o centro da Terra(Figura 12.25). Como no Exemplo 12.10 ( Seo 12.6), considere ahiptese bastante irreal de que a densidade da Terra seja constante.C om essa apr ox imao , a fora gravitacional exercida sobre umobjeto de massa m no interior da Terra situado a uma dis tncia r docentro da Terra possui m d u l o dado por F g = GmTmr/Rj3 (comodeduzido no Exemplo 12.10) e aponta para o centro da Terra, a)Deduza uma expr es s o para a energia potencial gravitacional U(r)do sistema objeto-Terra em funo da dis tncia entre o objeto e ocentro da Terra. Considere a energia potencial gravitacional igual azero quando o objeto est no centro da Terra, b) Se um objeto fosselibertado dentro do tnel na superfcie terrestre, qual seria sua velocidade quando ele atingisse o centro da Terra?

Problemas desafiadores12.86 a) Quando um corpo descreve uma rbita circular de raio rem torno da Terra (massa m T ) , o per odo da rbi ta igual a T (dadopela E quao (12.12)) e a velocidade orbital igual a v (dada pelaE q u a o (12.10)). Mostre que, quando o corpo se move em umarbita circular de raio r + Ar sendo Ar


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Captulo 12 Grav i tao 35

gencia a rbi ta de um dos planetas e cujo aflio tangencia a r b i ta do outro planeta. Os foguetes so acionados brevemente narbi ta de partida para colocar a e s p a o n a v e na rbi ta de transfer nc i a ; a seguir, a e s p a o n a v e viaja at atingir o planeta desejado.Depois, os foguetes so novamente acionados para colocar ae s p a o n a v e na mesma rbi ta em torno do Sol descrita pelo planeta do destino, a) Para uma viagem da Terra at Marte, qual deveser a d i r eo e o sentido em que o foguete deve ser disparado naTerra e em Marte: no sentido do movimento ou no sentido opostoao movimento? E no caso de uma viagem de Marte at a Terra?b) Quanto tempo entre os disparos dos foguetes levaria uma viage m de ida da Terra at Marte? c) Para atingir Marte a partir daTerra, o l a n a m e n t o deve ser cronometrado de modo que Martedeve estar no local exato de sua rbi ta quando a t rajetr ia dae s p a o n a v e tangencia a rbi ta do planeta em torno do Sol. Qualdeve ser o ngu lo entre a d i r eo do l a n a m e n t o e a d i r eo dalinha que une o Sol com Marte e da linha que une o Sol com aTerra? Use dados do A p n d i c e F.

Figura 12.38 Problema desafiador 12.87.12.88 F o r a s de m a r nas v i z i n h a n a s de um buraco negro.U m a astronauta no interior de uma e s p a o n a v e , que a protegedas r a d i a e s perigosas, descreve uma rbi ta em torno de umburaco negro a uma d i s t nc i a de 120 km do seu centro. O buraconegro possui massa igual a 5,0 vezes a massa do Sol e um raiode Schwarzschild igual a 15,0 k m . A astronauta es t posicionadano interior da e s p a o n a v e de tal modo que uma de suas orelhasde 0,030 kg es t 6,0 cm mais afastada do centro do buraco negrodo que o centro de massa da e s p a o n a v e e a outra orelha es t 6,0cm mais p r x i m a , a) Qual a t ens o entre suas orelhas? A astronauta poderia suportar essa fora ou seria rasgada por ela? (Uma

vez que o corpo inteiro da astronauta descreve a r b i t a com amesma velocidade angular, por causa da d i f e r ena entre os raios,uma das orelhas se move com velocidade maior do que a outraorelha. Portanto, sua cabea dever exercer foras sobre as orelhas para m a n t - l a s na rbi ta. ) b) O centro de massa da sua cabea es t situado no mesmo ponto do seu centro de gravidade?Explique.*12.89 A massa M es t uniformemente d i s t r i bu da ao longo de umdisco de raio a. Determine o m d u l o , a d i r eo e o sentido dafora gravitacional entre o disco e a par t cu l a de massa m local i zada a uma d i s t nc i a x acima do centro do disco (Figura 12.39).O seu resultado se reduz a uma expr es s o correta quando x assume valores muito elevados? (Sugesto: Div ida o disco em an i sfinos concn t r i cos infinitesimais; a seguir, use a expr es s o deduzida no Problema 12.41 para a fora gravitacional de cada anel eintegre o resultado para achar a fora total.)

mT

Figura 12.39 Problema desafiador 12.89.* 12.90 A massa M es t uniformemente dis t r ibuda ao longo de umalinha de comprimento igual a 2L. Uma par t cula de massa m estlocalizada a uma dis tncia a acima do centro da linha sobre suabissetriz ortogonal (Ponto P da Figura 12.40). Ache os componentes perpendiculares e paralelos linha da fora gravitacional que alinha exerce sobre a par t cula. O seu resultado se reduz a umaexpr es s o correta quando a assume valores muito elevados?

' 1a

\< L L >|[ . ,.lMFigura 12.40 Problema desafiador 12.90.


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60 F SIC A II

Quase todo mundo provavelmente j assistiu ao f i l m edo colapso da ponte p n s i l Tacoma Narrows, ocorrido em1940 (Figura 13.29). Esse acontecimento geralmente citado como um exemplo de r e s s o n n c i a provocada pelovento, p o r m existem d v i d a s sobre a a d e q u a o dessad e n o m i n a o . O vento no precisa variar periodicamentec o m uma f r e q u n c i a p r x i m a da f r e q u n c i a natural daponte. O ar que passava pela ponte era turbulento e produz i a v r t i c e s de ar com uma f r e q u n c i a regular que dependiada velocidade do vento. E p o s s v e l que essa f r e q u n c i atenha atingido um valor p r x i m o da f r e q u n c i a de resson n c i a da ponte. Entretanto, o desastre pode ter sido causado por uma v i b r a o mais s u t i l denominada oscilaoauto-excitada, na qual as f o r a s a e r o d i n m i c a s produzidaspelo vento estacionrio soprando na ponte tendiam a desl o c - l a para a l m da p o s i o de e q u i l b r i o em momentose m que ela j estava se afastando da p o s i o de e q u i l b r i o .Isso seria como se houvesse uma f o r a de amortecimentodada pelo termo - bvx na E q u a o (13.40), p o r m com umsinal c o n t r r i o ao dessa e q u a o . Em vez de drenar a energ i a m e c n i c a para fora do sistema, essa f o r a c o n t r r i a aoamortecimento bombearia energia para dentro do sistema,fazendo as o s c i l a e s crescerem at ati ngi r uma amplitudedestrutiva. Nesse caso, a e q u a o diferencial aproximadaseria dada pela E q u a o (13.41) com o sinal do termo binvertido, e a s o l u o dessa e q u a o seria dada pelaE q u a o (13.42) com o sinal positivo no expoente. V o c percebe como isso pode ser p r o b l e m t i c o ? Para prevenirtais desastres, os engenheiros aprenderam a fazer c l c u l o sa e r o d i n m i c o s e de estrutura para estabilizar uma pontep n s i l .Teste sua c o m p r e e n s o da S e o 13.8 Quando submetido a uma fora propulsora com uma f r equnc ia p r x ima suaf r equnc ia natural, um oscilador com amortecimento muito fracoapresenta uma resposta muito maior do que o mesmo osciladorco m amortecimento mais forte. Quando submetido a uma forapropulsora com uma f requncia muito maior ou muito menor doque sua f requncia natural, qual oscilador apr es en ta r uma resposta maior: (i) aquele com amortecimento muito fraco ou (i i)aquele com amortecimento mais forte? I

ResumoMovimento peridico: O movimento per idico aquele que serepete em um ciclo definido. Ele ocorre quando o corpo possui umapos i o de equi l br io es tvel e uma fora restauradora que atuasobre o corpo quando ele deslocado da sua pos i o de equi l br io.O per odo T o tempo necessr io para completar um ciclo. A freq u n c i a / o nmer o de ciclos por unidade de tempo. A f requnciaangular co 2n vezes a frequncia. (Veja o Exemplo 13.1.)

T

o) = 2irf '-

1

2t t

(13.1)

(13.2)

x=A x = 0 x = Ay J y k y L

l,mg

Movimento h a r m n i c o simples: Quando a f o r a resultantefo r uma f o r a restauradora Fx diretamente proporcional aodeslocamento x, o movimento denomina-se movimento harm n i c o simples ( M H S ) . Em muitos casos, essa c o n d i o satisfeita se o deslocamento a parti r do e q u i l b r i o for pequeno . A f r e q u n c i a angular, a f r e q u n c i a e o p e r o d o em MHSn o dependem da amplitude, apenas da massa m e da constante da mola k. O deslocamento, a velocidade e a a c e l e r a oem MHS so f u n e s senoidais do tempo; a amplitude A e o n g u l o de fase da o s c i l a o so determinados pela p o s i oi n i c i a l e velocidade do corpo. (Veja os exemplos 13.2, 13.3,13.6 e 13.7.)

F = -kxFx ka x = = xm m

2TT 2TT V m1 mT = - = 2TTJ f V *

x = A cos (cot + 4>)

(13.3)

(13.4)

(13.10)

(13.11)

(13.12)

(13.13)

Energia no movimento harm n ico simples: A energia se conservano M H S . A energia total pode ser expressa em termos da constanteda mola k e da amplitude A. (Veja os exemplos 13.4 e 13.5.)

E = mv: + kx2 = kA 2 = constante2 2 2Energia = K + V

(13.21)


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Captulo 13 Movimento per id ic o 61

Movimento harmnico simples angular: No movimento harmnico angular, a frequncia e a frequncia angular so relacionadasao momento de inrcia I e constante de toro k.

112TT V / (13.24)

Roda catarina Mola

Torque da mola r-se opeao deslocamento angular 0.

Pndulo simples: Um pndulo simples constitudo por umamassa pontual m presa extremidade de um fio sem massa decomprimento L . Seu movimento aproximadamente harmnicosimples para amplitudes suficientemente pequenas, portanto afrequncia angular, a frequncia e o perodo dependem apenas deg e L , no da massa ou da amplitude. (Veja o Exemplo 13.8.)

(13.32)

(13.33)

(13.34)

Oscilaes amortecidas: Quando uma fora amortecedora proporcional velocidade Fx =bvx atua em um oscilador harmnico,o movimento denomina-se oscilao amortecida. Se b < 2co = \/kjm (subamortecimento), o sistema oscila com umaamplitude cada vez menor e uma frequncia angular o)' menor doque seria sem o amortecimento. Se b = 2 co = \Zkjm (amortecimento crtico) ou se b > 2 co = \fk\m (superamortecimento),ento o sistema ao ser deslocado retorna ao equilbrio sem oscilar.

osco t

b2Am2

(13.42)

(13.43)

1 /((.-(i/M,

IftftA 7- 57-V h - 0,1, fan b - 0.4, km

Oscilaes foradas e ressonncia: Quando uma fora propulsora que varia senoidalmente atua sobre um oscilador harmnicoamortecido, o movimento resultante denomina-se oscilao forada. A amplitude dada em funo da frequncia angular wd dafora propulsora, e atinge um pico quando a frequncia da forapropulsora possui um valor prximo da frequncia da oscilaonatural do sistema. Esse fenmeno denomina-se ressonncia.

A =

~m~g sn'\fkmS c o s (

Pndulo fsico: Um pndulo fsico qualquer corpo suspenso emum eixo de rotao. A frequncia angular, a frequncia e o perodo, para oscilaes de pequena amplitude, so independentes daamplitude; dependem somente da massa m, da distncia d do eixode rotao ao centro de gravidade e do momento de inrcia / emtorno do eixo de rotao. (Veja os exemplos 13.9 e 13.10.)

(13.38)

(13.39)

V{ k - mcol)2 + b2cod2 (13.46)

5Fm/k4F m x/ *iF mx /k2Fm/kFmta/k

0,2Jkmb = 0,4, kmb = 0,7,

k i = l,0vfanb = 2,0, kmOJdjO>

Principais termosamortecimento, 56amortecimento crtico, 57amplitude, 37ngulo de fase, 43ciclo, 37crculo de referncia, 40deslocamento, 37fasor, 40fora propulsora, 58fora restauradora, 37frequncia angular natural, 58frequncia angular, 37frequncia, 37movimento harmnico simples (MHS), 38movimento peridico (oscilao), 36
http://zkjm/http://zkjm/http://fk/mhttp://fk/mhttp://fk/mhttp://zkjm/


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62 F S I C A II

o sc i la o amortecida, 56oscilao forada, 58oscilador h a rm n ico , 39pndulo f s ico , 54p n d u lo simples, 52p e r o d o , 37r e s so n n c ia , 59subamortecimento, 57superamortecimento, 57

Resposta Pergunta Inicial do C a p t u l oNenhuma das respostas. O re lgio continuaria marcando o tempocorretamente. Se a massa de sua haste for pequena a ponto depoder ser desprezada, en to o p n d u lo um p n d u lo simples eseu p e r o d o independente da massa [veja a E q u a o (13.34)]. Sea massa do p n d u lo for inc lu da , o p n d u lo um pndulo f s ico .Dobrar sua massa m faz com que seu momento de inrc ia / tamb m seja dobrado, logo a r azo I/m permanece inalterada e op e r o d o T = IrrVlJmgd [Eq u ao (13.39)] no se altera.Respostas s Perguntas dosTestes de C o m p r e e n s o13.1 Respostas: (a) x < 0, (b) x > 0, (c) x < 0, (d) x > 0, (e) x = 0,(f) x > 0. A Figura 13.2 mostra que o componente resultante noeixo Oxda fora Fx e da acelerao ax so ambos positivos quandox < 0 (logo, o corpo deslocado para a esquerda e a mola comprimida); quando x > 0, Fx e ax so ambas negativas (assim o corpo deslocado para a direita, e a mola esticada). Portanto, x e axsempre apresentam sinais opostos. Isso verdade quer o objetoesteja se movendo para a direita (vx > 0), quer para a esquerda (vx< 0), ou mesmo se no estiver se movendo (vx = 0), j que a foraexercida pela mola dependeapenas do fato de ela estar comprimidaou esticada, e de que comprimento. Isso explica as respostas de (a)at (e). Se a acelerao for nula como em (f), a fora resultantet amb m deve ser nula e, assim, a mola no deve estar comprimidanem esticada; logo, x = 0.13.2 Respostas: (a)A > 0,10 m, < 0; (b) A > 0,10 m, tp > 0. Emambas as s i tuaes, a velocidade inicial v 0x no eixo Oxem t - 0 no nula. Portanto, pela E q u a o (13.19), a amplitude A =\ /XQ+ (V 0X/CO 2) maior do que a coordenada inicial no eixo Oxx 0 =0,10 m. Pela Eq u ao (13.18), o ngulo de fase dado por tf>- are tg (-VOJCXQ), sendo positivo se a grandeza -v 0xJcox 0 (o argumento da funo arco tangente) for positivo, e negativo se -v 0Jcox 0fo r negativo. Na parte (a) x0 e v0 so ambos positivos, portanto-v0x/oix0 < 0 e cp < 0. Na parte (b), x0 positivo e v0x negativo,portanto -V 0JIX 0 > 0 e > 0.13.3 Respostas: (a) (iii), (b) (v). Para aumentar a energia total E =ifc42de um fator 2, a amplitude A deve ser aumentada de um fator

. Como se trata de um MHS, a variao da amplitude noexerce nenhum efeito sobre a frequncia.13.4 Resposta: (i). O p e r o d o de oscilao de um corpo de massam suspenso em uma mola de fora constante k dado porT = 2ir\/m/k, a mesma expresso que usamos para um corpopreso a uma mola horizontal. Nem m nem k variam quando o aparelho levado a Marte, portanto o p e r o d o no se altera. A nicadiferena que, na p o s io de equil br io , a mola ir se esticar deum comprimento menor em Marte do que na Terra, devido gravidade menor.

13.5 Resposta: no . Assim como ocorre com um objeto oscilandoem uma mola, na posio de equil br io a velocidade do peso dopndulo no varia momentaneamente (isso ocorre quando a velocidade m x i m a , portanto sua derivada zero nesse momento).Entretanto, a direo do movimento varia, porque o peso do pndulo executa uma trajetria circular. Assim, o peso deve ter umcomponente da acelerao perpendicular ao deslocamento e orientado para o centro do crculo (ver Seo 3.4). Para produzir essaacelerao na posio de equil br io quando a mola est na vertical,a fora de tenso para cima nessa posio deve ser maior do que opeso do p n d u lo . Isso produz uma fora resultante para cima sobreo peso do p n d u lo e uma acelerao para cima na direo do centroda trajetria circular.13.6 Resposta: (i). O p e r o d o de um p n d u lo f s i co dado pelaE q u a o (13.39), T = iTTWljmgd. A d i s t n c i a d = L do p i v ao centro de gravidade a mesma para a barra e para o p n d u lo simples, assim como a massa m. Isso significa que, paraqualquer n g u l o de deslocamento, o mesmo torque restauradorage tanto sobre a barra quanto sobre o p n d u l o simples.Entretanto, a barra possui um momento de i n r c i a maior:4arra= \m{2L)2 = \m e / p j l d u i = mL 2 (toda a massa do p n dulo est a uma dis tncia L do piv) . Logo, a barra possui ump e r o d o maior.13.7 Resposta: (ii). As oscilaes so subamortecidas com umaamplitude decrescente em cada ciclo de oscilao , como mostradona Figura 13.26. Se as oscilaes no fossem amortecidas, elascontinuariam indefinidamente com a mesma amplitude. Se elasfossem amortecidas criticamente ou superamortecidas, o nariz nooscilaria para cima e para baixo, e sim retornaria suavemente posio de equilbrio original, sem ultrapass-la .13.8 Resposta: (i). A Figura 13.28 mostra que a curva daamplitude em fu n o da f r eq u n c ia angular da fo ra propulsora ascendente em todas as f r eq u n c ia s medida que a constante de amortecimento b d i m i n u i . Logo, para valores fixos dek e m, o oscilador com o menor amortecimento (menor valorde b) a p r e s e n t a r a maior resposta diante de qualquer f r eq u n ci a da fora propulsora.Q u e s t e s para d i s c u s s oQ13.1 Um objeto est se movendo na extremidade de uma mola comum MHS de amplitude A. Se a amplitude for dobrada, o que acontececo m a distncia total que o objeto percorre em um perodo? O queacontece com o perodo? O que acontece com a velocidade mx imado objeto? Discuta como essas respostas esto relacionadas.Q13.2 Fo rn ea diversos exemplos da vida cotidiana de movimentos que possam ser aproximadamente considerados h a r m n i c o ssimples. Em que aspectos eles diferem do MHS?

Um d iap aso ou um dispositivo semelhante usado para afinar um instrumento musical executa um movimento h a rm n icosimples? Por que essa questo essencial para os m s ico s?Q13.4 Uma caixa contendo uma pedrinha presa a uma molaideal horizontal e est oscilando em uma mesa de ar sem atrito.Quando a caixa atinge a sua d is tn c ia mx ima do ponto de equil br io , a pedrinha subitamente i ad a na vertical sem que a caixaseja movida. Diga quais das seguintes grandezas au men ta ro ,d imin u i ro ou p e rman ece ro inalteradas no movimento subsequente da caixa: (a) frequncia ; (b) p e r o d o ; (c) amplitude; (d) aenergia c in t ic a mx ima da caixa; (e) a velocidade m x i m a dacaixa. Justifique cada resposta.


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Capitulo 13 M o v i m e n t o p e r i d i c o 63

Q13.5 Se uma certa mola uniforme fosse cortada em duas partesiguais, qual seria a constante da mola de cada metade? Justifiquesua resposta. Usando-se a mesma massa na extremidade, qual seriaa diferena entre a f requncia do MHS da metade da mola e a frequnc ia da mola inteira?Q!3.6 A anl ise do MHS feita neste cap tulo no levou em consider ao a massa da mola. Como a massa da mola altera as caractersticas do movimento?QT3.7 Dois corpos idnt icos sobre um trilho de ar es to ligados poruma mola ideal. A os c i l ao desse sistema constitui um MHS?Explique. Como esse per odo pode ser comparado com o de umn ico corpo preso a uma mola cuja outra extremidade est presa aum objeto fixo? Explique.Q13.8 Voc capturado por marcianos, levado para a nave deles eposto para dormir. Voc acorda algum tempo depois e se v trancado em uma sala pequena, sem janelas. Tudo o que os marcianos lhedeixaram seu relgio digi tal de pulso, o anel da sua escola e a sualonga corrente de prata. Explique como voc pode verificar seainda es t na Terra ou foi levado para Marte.Q13.9 O sistema indicado na Figura 13.17 montado em um elevador. O que acontece com o per odo do movimento (aumenta,diminui ou permanece constante) se o elevador (a) es t subindocom acelerao igual a 5,0 m/s2; (b) es t subindo com velocidadeconstante de 5,0 m/s; e (c) est descendocomace l e r ao igual a 5,0m/s2. Justifique suas respostas.Q13.10 Se um pndu lo possui um per odo de 2,5 s na Terra, qualseria o seu per odo em uma es tao espacial em rbita ao redor daTerra? Se uma massa suspensa em uma mola vertical possui umper odo de 5,0 s na Terra, qual seria o seu per odo na es tao espacial? Justifique todas as suas respostas.Q l 3 . l l Um pndu lo simples montado em um elevador. O queacontece com o per odo do movimento (aumenta, d iminu i ou permanece constante) se o elevador (a) est subindo com aceleraoigual a 5,0 m/s2; (b) est subindo com velocidade constante de5.0 m/s; (c) est descendo com acelerao igual a 5,0 m/s2 e (d) estdescendo com acelerao igual a 9,8 m/s2. Justifique suas respostas.Q13.12 Explique o que voc deve fazer com o comprimento de umpndulo simples para: a) dobrar sua frequncia; b) dobrar seu per odo ; c) dobrar sua f requncia angular.Q13.13 Se um relgio de pndu lo for transportado ao topo de uma-ontanha, ele se atrasar ou adiantar, supondo que mostrasse ahora certa na base da montanha? Justifique sua resposta.Q13.14 Quando a amplitude de um pndu lo simples aumenta, seuper odo aumenta ou diminui? For nea um argumento qualitativo;n o se baseie na E q u a o (13.35). Seu argumento t a m b m seriavlido para um pndulo f s ico?Q13.15 Por que um co com pernas curtas (como o da r aachihuahua) caminha com passos mais velozes do que um co compernas altas (como o co d inamar qus ) ?Q13.16 Em que ponto do movimento de um pndu lo simples a=r.>o no fio atinge o valor m x i m o ? E o valor m n i m o ? Em cadacaso, explique o raciocnio usado na resposta.Q13.17 Um padr o de tempo pode ser baseado no per odo de umcerto pndu lo - padr o? Quais seriam as vantagens e as desvanta-jens desse padr o em relao ao padr o atual de tempo discutidona Seo 1.3?Q 13.18 Em um pndu lo simples, distinga claramente entre co (a elocidade angular) e to (a f requncia angular). Qual constante equal var ivel?

Q13.19 Um corpo preso a uma mola fixa ideal e oscila sobre umtrilho de ar horizontal, sem atrito. Uma moeda est em cima docorpo e oscila com ele. Em que pontos do movimento a fora deatrito sobre a moeda maior? Em que ponto menor? Justifiquesuas respostas.Q13.20 Ao projetar uma estrutura em uma regio propensa ocorrncia de terremotos, qual deve ser a relao entre a f requncia daestrutura e a f requncia t pica de um terremoto? Por qu? A estrutura deve possuir um amortecimento grande ou pequeno?E x e r c c i o sSeo 13.1 Causas da osc i lao13.1 A corda de um piano emite um l m d i o vibrando com umafrequncia primria igual a 220 Hz. a)Calcule o per odo e a frequnciaangular, b) Calcule a f requncia angular de uma soprano emitindoum l uma oitava acima, que igual a duas vezes a f requncia dacorda do piano.13.2 Se um objeto sobre uma superfcie horizontal, sem atrito, preso a uma mola, deslocado e depois libertado, ele ir oscilar. Seele for deslocado 0,120 m da sua pos i o de equi l br io e libertadoco m velocidade inicial igual a zero, depois de 0,800 s verifica-seque o seu deslocamento de 0,120 m no lado oposto e que eleultrapassou uma vez a pos i o de equi l br io durante esse intervalo.Ache (a) a amplitude, (b) o per odo , (c) a f requncia.13.3 A extremidade de um diapaso executa 440 vibraes completasem 0,500 s. Calcule a frequncia angular e o per odo do movimento.13.4 O deslocamento de um objeto oscilando em funo do tempo mostrado na Figura 13.30. Quais s o (a) a f requncia; (b) a amplitude; (c) o per odo ; (d) a f requncia angular desse movimento?

x (cm)

Figura 13.30 Exerccio 13.4.Seo 13.2 M o v i m e n t o h a r m n i c o s i m p l e s13.5 A pea de uma mquina es t se movendo em MHS com umaf requncia igual a 5,0 Hz e amplitude igual a 1,80 cm. Quantotempo leva para a pea ir de x = 0 at x = -1,80 cm?13.6 Em um laboratr io de fsica, voc liga um planador de umtrilho de ar com 0,200 kg extremidade de uma mola ideal commassa desprezvel e inicia a osci lao. O tempo decorrido entre oinstante em que o cavaleiro ultrapassa a pos i o de equi l br io e asegunda vez que ele ultrapassa esse ponto igual a 2,60 s. Calculeo valor da constante da mola.13.7 Quando um corpo de massa desconhecida ligado a uma molaideal cuja constante igual a 120 N / m , verifica-se que ele oscilaco m uma frequncia igual a 6,0 Hz. Ache a) o per odo, b) a frequnci a angular, c) a massa do corpo.13.8 Quando uma massa de 0,750 kg oscila em uma mola ideal, af requncia igual a 1,33 Hz. Qual ser a f requncia se 0,220 kgforem adicionados massa original, e (b) subtrados massa or iginal? Tente resolver este problema sem achar a constante da mola.13.9 Um oscilador har mnico possui massa de 0,500 kg e umamola ideal cuja constante igual a 140 N / m . Ache a) o per odo , b)a f requncia, c) a f requncia angular das osci laes .
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64 F S I C A II

13.10 Arrancada. A corda de um violo vibra com uma frequnciaigual a 440 Hz. Um ponto em seu centro se move com MHS comamplitude igual a 3,0 mm e um ngulo de fase igual a zero. a)Escreva uma eq u ao para a posio do centro da corda em funodo tempo, b) Quais so os valores m x i m o s dos m d u lo s da velocidade e da acelerao do centro da corda? c) A derivada da acelerao em re lao ao tempo pode ser chamada de 'arrancada'.Escreva uma eq u ao para a arrancada do centro da corda em fun o do tempo e calcule o valor m x i m o do m d u lo da arrancada.13.11 Um bloco de 2,0 kg sem atrito est preso a uma mola idealcuja constante igual a 300 N / m . Em t = 0 a mola no est comprimida nem esticada, e o bloco se move no sentido negativo com12,0 m/s. Ache a) a amplitude, b) o n g u lo de fase. c) Escreva umaeq u ao para a posio em funo do tempo.13.12 Repita o Exerccio 13.11, porm suponha que em t = 0 o blocopossua velocidade - 4,0 m/s e deslocamento igual a +0,200 m.13.13 A ponta da agulha de uma mq u in a de costura se move comM H S ao longo de um eixo Ox com uma frequncia igual a 2,5 Hz.E m t = 0 os componentes da posio e da velocidade so , respectivamente, +1,1 cm e -15 cm/s. a) Ache o componente da aceleraoda agulha para t = 0. b) Escreva equaes para os componentes daposio , da velocidade e da acelerao do ponto considerado emfuno do tempo.13.14 Um objeto executa um movimento h a rm n ico simples comperodo de 1200 s e amplitude igual a 0,600 m. Em t = 0 o objetoest em x = 0. Qual a dis tncia entre o objeto e a posio deequil br io quando t = 0,480 s?13.15 Pesando astronautas. Este processo tem sido realmenteusado para 'pesar' astronautas no espao. Uma cadeira de 42,5 kg presa a uma mola e deixada oscilar livremente. Quando vazia, acadeira leva 1,30 s para completar uma vibrao. Mas com umaastronauta sentada nela, sem apoiar os ps no ch o , a cadeira leva2,54 s para completar um ciclo. Qual a massa da astronauta'.'13.16 Um objeto de 0,400 kg em MHS possui uma ace le raoa x = -2,70 m/s2 quando x = 0,300 m. Qual a d u rao de umao sc i la o ?13.17 Sobre um trilho de ar sem atrito, horizontal, um corpo oscilana extremidade de uma mola ideal de constante 2,50 N/cm. Ogrfico da Figura 13.31 mostra a acelerao do corpo em funo dotempo. Encontre (a) a massa do corpo; (b) o deslocamento m x i m odo corpo a partir do ponto de equil br io ; (c) a fora mxima que amola exerce sobre o corpo.

ax (m/s2)

Figura 13.31 Exerccio 13.17.13.18 Uma massa de 0,500 kg oscilando em uma mola tem a velocidade em funo do tempo dada por vx(t) = (3,60 cm/s) sen[(4,71 s~') - 77 / 2 ] . Qual (a) o p e r o d o ; (b) a amplitude; (c) aacelerao mxima da massa; (d) a constante da mola?13.19 Uma massa de 1,50 kg oscilando em uma mola tem o deslocamento em funo do tempo dado pela eq u ao

x (t) = (7,40 cm) cos [(4,16 s"1)? - 2,42].

Encontre (a) o tempo de uma vibrao completa; (b) a constante damola; (c) a velocidade m x i m a da massa; (d) a fora mxima sobrea massa; (e) a posio , velocidade e acelerao da massa em t =1,00 s; (f) a fora sobre a massa nesse instante.13.20 Um objeto executa um movimento h a rm n ico simples comperodo de 0,300 s e amplitude igual a 6,0 cm. Em t = 0 o objetoest instantaneamente em repouso em x = 6,0 cm . Calcule o tempoque o objeto leva para ir de x = 6,0 cm at x = -1,50 cm.Seo 13.3 Energ ia no m o v i m e n t o h a r m n i c o s i m p l e s13.21 Um diapaso projetado para medir 392 Hz possui a extremidade dos dois ramos do garfo vibrando com uma amplitude de0,600 mm. a) Qual a velocidade m x i m a da extremidade de umramo? b) Uma mosca (Musca domestica) de massa igual a0,0270 g est pousada na extremidade de um dos ramos. A medidaque o ramo vibra, qual a energia cintica mxima da mosca?Suponha que a massa da mosca possua efeito desprezvel sobre afrequncia da oscilao .13.22 Um oscilador h a rm n ico possui frequncia w e amplitude A.a) Quais so os valores dos m d u lo s da posio e da velocidadequando a energia potencial elst ica for igual energia cintica?(Suponha que U = 0 no equil br io . ) b) Quantas vezes isso ocorreem cada ciclo? Qual o intervalo de tempo entre duas ocorrnciasconsecutivas? c) No momento em que o deslocamento igual aA/ 2 , qual a frao da energia total do sistema referente energiacintica e a qual frao corresponde energia potencial?13.23 Um corpo de 0,500 kg, ligado exUemidade de uma molaideal de constante k = 450 N / m , executa um movimento h a rm n icosimples com amplitude igual a 0,040 m. Calcule: a) a velocidadem x i m a do cavaleiro; b) a velocidade do cavaleiro quando ele estno ponto x = - 0,015 m; c) o m d u lo da acelerao mxima docavaleiro; d) a acelerao do cavaleiro quando ele est no pontox = - 0,015 m; e) a energia mecn ica total do cavaleiro quando eleest em qualquer ponto.13.24 Uma animadora de torcidas faz seu pompom oscilar emM H S com uma amplitude 18,0 cm e frequncia igual a 0,850 Hz.Ache: a) o m d u lo da velocidade e da acelerao mxima; b) om d u lo da velocidade e da acelerao quando a coordenada dopompom x = +9,0 cm; c) o tempo necessrio para ele se deslocarda posio de equil br io at o ponto x = 12,0 cm a partir do equil brio, d) Quais das grandezas solicitadas nas partes (a), (b) e (c)podem ser obtidas usando-se o mto d o da energia da Seo 13.3 equais no podem? Explique.13.25 Para a s i tuao descrita na parte (a) do Exemplo 13.5, qualdeveria ser o valor m da p o ro de massa de vidraceiro para que aamplitude depois da coliso seja igual metade da amplitude or iginal? Para esse valor de m, qual a frao da energia mecn icaoriginal convertida em calor?13.26 U m brinquedo de 0,150 kg executa um movimento harmnicosimples na extremidade de uma mola horizontal com uma constantek = 300 N / m . Quando o objeto est a uma distncia de 0,012 m daposio de equilbrio, verifica-se que ele possui uma velocidadeigual a 0,300 m/s. Quais so a) a energia mecnica total do objetoquando ele est em qualquer ponto; b) a amplitude do movimento;c) a velocidade mx ima atingida pelo objeto durante o movimento?13.27 Voc observa um objeto movendo-se em MHS. Quando oobjeto deslocado at 0,600 m direita de sua posio de equil brio, sua velocidade igual a 2,20 m/s para a direita, e sua acelera o igual a 8,40 m/s para a esquerda. A que dis tncia mxima


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Captulo 13 M o v i m e n t o p e r i d i c o 65

desse ponto ir o objeto se mover antes de parar momentaneamente e depois r eco mea r a se mover para a esquerda?13.28 Em uma mesa horizontal, sem atrito, uma caixa com o ladosuperior aberto de massa igual a 5,20 kg suspensa em uma molaideal horizontal de constante igual a 375 N / m . Dentro da caixa huma pedra de 3,44 kg. O sistema est oscilando com uma amplitude de 7,50 cm. Quando a caixa alcana sua velocidade mx ima ,a pedra subitamente iada na vertical da caixa sem tocar nela.Encontre (a) o perodo e (b) a amplitude do movimento resultante dacaixa, (c) Sem fazer nenhum clculo, diga se o novo perodo maiorou menor do que o inicial. Como voc sabe disso?13.29 Dentro de um veculo de testes da Nasa, uma bola de 3,50 kg puxada por uma mola horizontal ideal fixa a uma mesa livre deatrito. A constante da mola 225 N / m . O veculo tem uma acelera o constante igual a 5,0 m/s2, e a bola no est oscilando. Derepente, quando a velocidade do veculo chegou a 45,0 m/s, seusmotores so desligados, o que elimina a sua acelerao, mas no asua velocidade. Calcule (a) a amplitude e (b) a frequncia das oscilaes resultantes da bola. (c) Qual ser a velocidade mx ima dabola em re lao ao veculo?Seo 13.4 A p l i ca e s do m o v i m e n t o h a r m n i c o s i m p l e s13.30 Um orgulhoso pescador de guas marinhas profundas pendura um peixe de 65,0 kg na extremidade de uma mola ideal de massadesprezvel . O peixe estica a mola de 0,120 m. a) Qual a constante da mola? Se o peixe for puxado para baixo e libertado, b) qual o perodo da oscilao do peixe? (c) Que velocidade mx ima elealcanar?13.31 Um corpo de 175 g sobre um trilho de ar horizontal, sematrito, preso a uma mola fi

física ii - termodinâmica e ondas (sears & zemansky) - 12ª edição (exercícios)

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