fisica - gravitacion universal.docx

8/16/2019 Fisica - Gravitacion Universal.docx

1/29

INGENIERIA CIVILUNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL

1

INTRODUCCIÓN

Desde la más remota antigüedad se sabe que los cuerpos caen porque una fuerza losatrae hacia abajo: el peso. Sin embargo pasó mucho tiempo hasta que los físicos lograronunificar la explicación de este fenómeno tan familiar con la del mo imiento de los cuerposcelestes !"una# Sol $ planetas%# que tambi&n se conocía desde la antigüedad pero cu$acausa 'ltima se ignoraba. (l primer a ance importante se debió a )alileo# quien obser ó

que si se descuentan los efectos de la resistencia del aire# cerca de la superficie de la*ierra todos los cuerpos caen con la misma aceleración g # cualquiera sea su tama+o $ elmaterial que los compone . De acuerdo con la ,, "e$ de la Dinámica

F - ma ! . %

"uego si todos los cuerpos caen con igual aceleración la fuerza que la pro ee# es decir el peso # debe ser proporcional a su masa# o sea F - P / m . "a constante de proporcionalidadno puede ser otra que g # luego

P - mg ! .0%

"a ! . % $ la ! .0% son formalmente semejantes# pero expresan conceptos mu$ diferentes."a ,, "e$ dice que la aceleración es proporcional a la fuerza !que se supone conocida comodato del problema% e in ersamente proporcional a la masa# lo que implica que la masa esuna medida de la inercia . (n cambio la ! .0% establece un hecho nue o no contenido en la,, "e$: que el peso es proporcional a la masa# es decir que el origen del peso está en lamasa. (ste resultado no es tri ial# ni es consecuencia de las tres le$es de la Dinámica: esun hecho experimental nue o que pro iene de la obser ación de )alileo. (n efecto#combinando ! . % $ ! .0% se obtiene

a - g ! .1%

,ndependientemente de la masa $ de los materiales que componen los cuerpos. Ser proporcional a la masa es la característica distinti a de la fuerza gra itatoria $ de lasfuerzas inerciales. 2inguna otra fuerza de la naturaleza es proporcional a la masa# por ejemplo las fuerzas el&ctricas son proporcionales a la carga el&ctrica.


2/29


2

GRAVITACIÓN UNIVERSAL

"a Ley de Gravitación Universal fue descubierta por 2e3ton# cuando le ca$ó una manzanaen la cabeza mientras hacia una siesta debajo de un manzano. 4or este hecho 2e3ton lepregunto al manzano 56manzano# si la manzana cae# quizá todos los cuerpos en el7ni erso se atraen entre sí de la misma forma como la manzana fue atraída por la *ierra89.

omo el manzano nada le respondió# 2e3ton comenzó a trabajar sobre eso hasta quedescubrió la Ley de Gravitación Universal # que publicó en ;


3/29


3

(l signo menos en la F G indica que la fuerza es de atracción# dirigida desde m % hacia m $# esdecir es opuesta a la dirección radial hacia fuera# desde la masa m $ que ejerce la fuerzasobre m % > en los cálculos su alor num&rico es siempre positi o. (n este punto se debetener presente que:? "a constante uni ersal G no se debe confundir con el ector g # que ni es uni ersal ni esconstante.? "a le$ de gra itación uni ersal no es ecuación de definición de ninguna de las ariablesfísicas contenidas en ella.? "a le$ de gra itación uni ersal expresa la fuerza entre partículas. Si se quiere determinar la fuerza gra itacional entre cuerpos reales# se los debe considerar formado por unconjunto de partículas $ usar cálculo integral.? "as fuerzas de gra itación entre partículas son parejas de acción $ reacción.

. =7(@AB )@BC,*B , 2B" E 4(S .

"a fuerza con que la *ierra atrae a los cuerpos cerca de la superficie terrestre se definiócomo el peso del cuerpo# P mg . (sta es la fuerza gra itacional F G entre el cuerpo demasa m $ la *ierra de masa M T # separados una distancia entre sus centros r / T 0 " #donde / T es el radio de la *ierra $ " es la altura de m sobre el suelo. ,gualando lasexpresiones de las fuerzas P $ F G se obtiene:

(sta ecuación permite calcular el alor de la aceleración de gra edad g a cualquier altura " sobre la superficie# $a que se conoce G1 la M T $ el / T . De esta ecuación se obser a que g disminu$e con la altura. (n la tabla F. se muestra la ariación de g con la latitud G $ con laaltura " !en la 7ni ersidad de oncepción# el gra ímetro del bser atorio )eod&sico*ransportable ,ntegrado# *,) # ubicado allá arriba en los cerros permite medir las

ariaciones de g en el no eno decimal# estas ariaciones son principalmente por efecto dela atracción gra itacional de la "una%.

*abla .


4/29


4

"a aceleración de gra edad g tambi&n aríacon la latitud debido a que la *ierra no es una esfera#es un elipsoide achatado le emente en los polos# demanera que el radio ecuatorial es 0 Hm ma$or que el radio polar# alor peque+o comparado con elradio medio de la *ierra de ;1;I.JI Hm. "a *ierra no es un cuerpo rígido# tiene un

comportamiento plástico. 4or efecto de la rotación terrestre# la aceleración centrípetadisminu$e desde el ecuador# donde es máxima# hacia los polos# donde se anula#produciendo una ma$or fuerza centrípeta en zonas ecuatoriales# que 5estira9 a la *ierrahacia afuera más que en zonas polares# por eso la *ierra es achatada en los polos. (stotiene como consecuencia que la aceleración de gra edad no apunte directamente hacia elcentro de la *ierra# sino que está le emente des iada de la dirección ertical. "a des iaciónmáxima que tiene g de la ertical es de KJL9 a JMN de latitud# $ la ariación del alor de g en superficie es menos que L.M O# por lo que se puede considerar constante.

0. (2(@),B 4 *(2 ,B" D( "B =7(@AB )@BC,*B , 2B".

7na partícula de masa m que se encuentre sobre la superficie terrestre# mo i&ndose entredos puntos cualesquiera# está bajo la influencia de la fuerza gra itacional# cu$a magnitudes:

(l cambio de energía potencial de la partícula de masa m se define como el trabajonegati o realizado por la fuerza gra itacional# en este caso:

@eemplazando en esta expresión la fuerza gra itacional# para calcular la energía potencialgra itacional de la partícula de masa m# se obtiene:


5/29


5

omo el punto de referencia inicial para la energíapotencial es arbitrario# se puede elegir en r - P# donde la fuerza gra itacional !$ laaceleración de gra edad% es cero. on esta elección se obtiene la energía potencialgra itacional general para una partícula de masa m ubicada a una altura r medida desde elcentro de la *ierra:

! .0%

"a energía potencial gra itacional entre partículas aría en Q r # $ es negati a porque lafuerza gra itacional es de atracción $ se ha tomado la energía potencial como cero cuandola separación entre las partículas es infinita. omo la fuerza gra itacional es de atracción#

un agente externo debe realizar trabajo positi o para aumentar la separación entre laspartículas. (l trabajo produce un aumento de la energía potencial cuando las dos partículasestán separadas# esto significa que 2 g se uel e menos negati a cuando r aumenta.

(sta ecuación es general $ ale para cualquier par de partículas de masas m $ $ m% separadas una distancia r1 $ extenderse a un sistema que contenga arias partículas# enese caso la energía total del sistema es la suma sobre todos los pares de partículas#entonces para dos partículas se tiene:

%.$. 3elocidad de escape

Suponga que un objeto de masa m se lanza erticalmente hacia arriba desde la superficieterrestre con una elocidad v i# como se muestra en la figura. 4odemos utilizar consideraciones de energía para encontrar el alor mínimo de la elocidad inicial con lacual el objeto escapará del campo gra itacional de la *ierra. "a ecuación anterior nos


6/29


6

brinda la energía total del objeto en cualquier punto cuando se conocen su elocidad $distancia desde el centro de la *ierra.

(n la superficie de &sta v i v $ r i / T . uando el objeto alcanza su altura máxima# v f * $r f r m4) . Debido a que la energía total del sistema es constante# al reemplazar estascondiciones se obtiene:

Bl despejar v % ise obtiene:

(n consecuencia# si se conoce la elocidad inicial# esta expresión puede usarse paracalcular la altura máxima h# puesto que sabemos que h r m4) + / T . Bhora tenemos laposibilidad de calcular la elocidad mínima que el objeto debe tener en la superficieterrestre para escapar de la influencia del campo gra itacional del planeta. Bl iajar a esta

elocidad mínima# el objeto puede alcanzar 5ustamente el infinito con una elocidad finaligual a cero. Bl establecer r m4) - P en la ecuación anterior $ tomando v i v esc # que se llamala elocidad de escape# obtenemos:


7/29


7

Bd ierta que esta expresión para v esc es independiente de la masa del objeto. (n otraspalabras# una na e espacial tiene la misma elocidad de escape que una mol&cula.

Bdemás# el resultado es independiente de la dirección de la elocidad# siempre que latra$ectoria no intersecte la *ierra. Si al objeto se le da una elocidad inicial igual a v esc # suenergía total es igual a cero. (sto puede erse cuando r - P# la energía cin&tica del objeto$ su energía potencial son ambas cero. Si v i es más grande que v esc # la energía total esma$or que cero $ el objeto tiene un poco de energía cin&tica residual en r - P. 4or 'ltimo#usted debe obser ar que las ecuaciones anteriores pueden aplicarse a objetos lanzadosdesde cualquier planeta. (s decir# en general# la elocidad de escape desde cualquier planeta de masa M $ radio / es:

"as elocidades de escape para los planetas# la "una $ el Sol laspuede calcular como ejercicio. "os alores arían de $.$ -m,s para 4lutón acasi '$6 -m,s para el Sol. (stos resultados# junto con algunas ideas de la teoría cin&tica delos gases# explican por qu& algunos planetas tienen atmósferas $ otros no. 7na mol&culade gas tiene una energía cin&tica promedio que depende de su temperatura. 4or consiguiente# las mol&culas más ligeras# como el hidrógeno $ el helio# tienen una elocidadpromedio más alta que las partículas más pesadas a la misma temperatura. uando la

elocidad de las mol&culas más ligeras no es mucho menor que la elocidad de escape#

una fracción significati a de ellas tiene oportunidad de escapar del planeta# dejándolo aeste sin atmósfera. (ste mecanismo explica tambi&n porque la *ierra retiene mu$ poco lasmol&culas de hidrógeno $ helio en su atmósfera# en tanto que las mol&culas más pesadascomo el oxígeno $ nitrógeno no escapan tan fácilmente.

1. (" BR4 )@BC,*B , 2B".

uando 2e3ton publicó por primera ez su teoría de la gra itación# para suscontemporáneos fue difícil aceptar la idea de un campo de fuerza que pudiera actuar atra &s de una distancia. Se preguntaban cómo era posible que dos masas interactuaranaun cuando no estu ieran en contacto entre sí. Bunque el propio 2e3ton no pudoresponder a esta pregunta# su teoría fue ampliamente aceptada debido a que explicó demanera satisfactoria el mo imiento de los planetas.

7n planteamiento alternati o en la descripción de la interacción gra itacional# por lo tanto#es introducir el concepto de un campo gravitacional que cubre cada punto en el espacio.

uando una partícula de masa m se sit'a en un punto donde el campo es el ector g # lapartícula experimenta una fuerza F g mg . (n otras palabras# el campo ejerce una fuerzasobre la partícula. 4or lo tanto# el campo gra itacional se define por medio de


8/29


8

(s decir# el campo gra itacional en un punto en el espacio es igual a la fuerza gra itacionalexperimentada por una masa de prueba situada en el punto# di idido por la masa deprueba. 4or ejemplo# considere un objeto de masa m cerca de la superficie terrestre. "afuerza gra itacional sobre el objeto está dirigida hacia el centro de la *ierra $ tiene unamagnitud mg . 4uesto que la fuerza gra itacional sobre el objeto tiene una magnitudGM T m,r % !donde MT es la masa de la *ierra%# el campo g a una distancia r del centro de la*ierra es

Donde r7 es un ector unitario que apunta radialmente hacia fuera de la *ierra# $ el signomenos indica que el campo apunta hacia el centro terrestre# como en la figura. Bd iertaque los ectores de campos en diferentes puntos que circundan la *ierra arían tanto endirección como en magnitud. (n una región peque+a cercana a la superficie de la *ierra# elcampo hacia abajo g es aproximadamente constante $ uniforme. "a ecuación anterior es

álida en todos los puntos fuera de la superficie terrestre# suponiendo que la *ierra esesf&rica. (n la superficie terrestre# donde r / T 1 g tiene una magnitud de 8.6 N,-g .


9/29


9

PROBLEMAS RESUELTOS:

% 7n sat&lite de 1LL Hg describe una órbita circular alrededor de la *ierra a una altura igualal radio terrestre. alcular:

a% la rapidez orbital del sat&lite.b% su período de re olución.c% la fuerza gra itacional sobre el sat&lite.d% comparar su peso en la órbita con su peso en la superficie de la *ierra.

Solución:

a% (l sat&lite de masa m 9 # se mantiene en órbita por la acción de la fuerza gra itacional#que act'a como fuerza centrípeta# es decir FG F& # entonces se igualan las expresionesde ambas fuerzas:


10/29


10

b% (l sat&lite completa una uelta en torno a la *ierra a la altura de 0@ * mo i&ndose con larapidez anterior# entonces:

c% "a fuerza gra itacional en la órbita corresponde al peso del sat&lite en ese lugar# secalcula como sigue:


11/29


11

d% 4ara hacer esta comparación# calculamos su peso en tierra.

0% calcular la energía total para un sat&lite de masa m# que se mue e en una órbita circular con rapidez tangencial constante # a una altura r desde el centro de la *ierra.

Solución :

"a energía total del sat&lite es la suma de la energía cin&tica más la potencial# que es

constante# reemplazando los alores correspondientes de cada energía# se tiene:

4ero se debe calcular la elocidad del sat&lite# como la órbita es circular aplicando la

segunda le$ de 2e3ton al sat&lite de masa m# considerando que la fuerza gra itacional esla fuerza centrípeta necesaria para mantener al sat&lite en órbita#


12/29


12

se obser a que la energía total es negati a en el caso de órbitas circulares. )eneralizandoeste resultado al sistema solar# la energía total del sistema Sol planeta es una constantedel mo imiento.

1% alcular la elocidad de escape de la *ierra para una na e espacial de MLLL Hg $determine la energía cin&tica que debe tener en la superficie terrestre para escapar del

campo gra itacional de la *ierra.

Solución:

7tilizando la ecuación anterior con MT :.86)$*%; -g $ /T '.


13/29


13

J% (ncontrar la fuerza gra itacionalejercida por la barra sobre m.

M% (ncuentre la fuerza gra itacional que ejerce un casquete esf&rico de masa R sobre unamasa m situada en 4


14/29


14

LEYES DE KEPLER

. 4@,R(@B "(E D( (4"(@

"a primera "e$ de epler la podemos describir de la siguiente manera:

&ada planeta gira alrededor del 9ol descri=iendo una ór=ita el ptica y el 9ol se encuentraen uno de los focos de dicha elipse.

4ara entender mejor la descripción anterior amos a re isar algunos conceptosrelacionados a la elipse# con los cual podremos entender qu& significa que la órbita de unplaneta sea elíptica.

. 4arámetros de una elipse(je ma$or $ eje menor

7na elipse tiene dos ejes# el eje ma$or $ el eje menor pero# en matemáticas es más com'nusar los semiejes# los cuales corresponden a la mitad de los ejes.


15/29


15

(l semieje ma$or es un t&rmino mu$ importante# aquí lo amosa denotar con la letra a !min'scula% aunque# en el ideo se usó la B !ma$'scula% paradenotarlo. (ste t&rmino se usa mucho en las expresiones matemáticas de la elipse.

Foco !" una "li# "

7na elipse tiene dos puntos llamados focos que se encuentran sobre el eje ma$or. 7sandolos focos amos a esquematizar de una forma sencilla la definición matemática de unaelipse. 4rimero# amos a suponer que tenemos dos cla os en una tabla. Si con un hilohacemos un aro $ el aro lo hacemos pasar por los dos cla os $ tambi&n por un lápizcolocado sobre la tabla# entonces podemos dibujar una elipse# solo tenemos que ir girandoel lápiz alrededor de los cla os manteniendo tenso el hilo.


16/29


16

"as posiciones de los cla os son los focos de la elipse. Ratemáticamente lo anterior significa que cada uno de los puntos de la elipse debe cumplir con la siguiente condición."a suma de la distancia entre los focos !=%# la distancia entre un foco $ un punto dado dela elipse !T% $ la distancia entre el otro foco $ dicho punto !@%# es constante. (s decir#siempre a a ser la misma distancia. (n el ejemplo esa distancia es simplemente lalongitud del hilo que se usó para hacer el aro.

E$c"n%&ici!a!

4ara tener una idea de que tan alargada es una elipse se usa el t&rmino excentricidad. 7nade las formas de expresar la excentricidad es

a

C =ε

Donde a es el semieje ma$or $ & es la distancia entre un foco $ el centro de la elipse."a excentricidad de una elipse es ma$or entre más alargada sea &sta $ su alor siempre aa estar entre cero $ uno. B medida que la excentricidad disminu$e el eje ma$or de la elipsedisminu$e $ el alor de tambi&n. Si la excentricidad es igual a cero entonces el centro dela elipse coincide con los focos $ tenemos una circunferencia. (se caso lo expresamosmatemáticamente como:

0=C

(ntonces:


17/29


17

00

=a

"o cual# precisamente indica que una elipse con excentricidad igual a cero es equi alente aque la distancia entre un foco $ el centro sea cero.

(n t&rminos de la excentricidad !(%# la distancia mínima al Sol es( )ε −= 1min ar

Donde a es el semieje ma$or. "a distancia máxima es( )ε += 1max ar

(l punto más cercano es el afelio $ el más lejano es el perihelio.

.0. (xcentricidad de la órbita de la *ierra.

*ierraSol

omo ejemplo del uso de la excentricidad de las órbitas# amos a er el caso de la órbitade la *ierra. "a excentricidad de la órbita de la *ierra es de L.L I. De acuerdo a ladefinición que dimos anteriormente esto quiere decir que

017.0==a

C ε

donde es la distancia entre el centro de la elipse $ el foco $ a es el semieje ma$or. 4or lotanto

aC 017.0=

(sto quiere decir que la distancia entre el centro de la elipse $ el foco es mu$ peque+acomparada con el semieje ma$or. (sto isualizamos dibujando una elipse en la que elsemieje ma$or es de L cm. Bhora# amos a er cual sería la distancia entre el foco $ el

centro de la elipse. Ratemáticamente esto lo podemos expresar de la siguiente manera


18/29


18

cma 10=

on base en la igualdad entre $ a podemos calcular el alor de # el cual resulta ser

cmC 10017.0 ×=

cmC 17.0=

mmC 7.1=

(s decir el alor de # la distancia entre el foco $ el centro de la elipse# es deaproximadamente dos milímetros. (sta distancia es mu$ peque+a comparada con el ejema$or. Si dibujamos la elipse parece una circunferencia. (ntonces# podemos decir que laórbita de la *ierra# aunque es elíptica# se aproxima mucho a una circunferencia.

0. S()72DB "(E D( (4"(@

"a segunda "e$ de epler se puede expresar de la siguiente manera:

La l nea !ue une al 9ol con un planeta =arre 4reas iguales en tiempos iguales.

4ara entender mejor esta le$ amos a tomar dos áreas iguales# una del lado derecho de laelipse# es decir del lado del foco $ otra área del lado izquierdo de la elipse# donde esta elfoco 0 $ amos a suponer que el Sol está en el foco .


19/29


19

Si comparamos los segmentos de elipse que recorre el planeta podemos notar lo siguiente:uando el planeta está más cercano al Sol recorre un arco ma$or que en el otro extremo

de la elipse. Si recordamos que ambos arcos se recorren en el mismo tiempo entonces# es

claro que cerca del Sol la elocidad del planeta es ma$or que cuando está más lejos. "oanterior lo podemos decir de manera simplificada como:

La velocidad de un planeta es mayor cuando est4 cerca del 9ol !ue cuando le5os.

1. *(@ (@B "(E D( (4"(@

(sta le$ expresa# mediante una ecuación# la relación que ha$ entre el período de unplaneta alrededor del Sol $ el semieje ma$or de su órbita.

( )22

3

4π m M G

T a +

=

T - tiempo que tarda un planeta en dar una uelta alrededor del Sol !perodo%M - masa del Solm -masa de un planeta dadoa-semieje de la órbita de dicho planetaG -constante de gra itación

3.1 Aproximación para el caso m


20/29


20

(ntonces# por la ecuación de la *ercera "e$ de epler tenemos las dos siguientesigualdades

312 2

1 4a GM T π

=

$

322 2

2 4a GM T π

=

4or lo tanto3 3

1 2

2 2

1 2

a a

T T =

,maginemos que el planeta 0 está a una distancia que es igual a M eces la distancia delplaneta # es decir

2 15a a=

Bhora# amos a calcular el periodo 0 en t&rminos del periodo # para lo cual escribimos laecuación anterior de la siguiente manera

2 32 22 3

1 1

T aT a

=

Sustitu$endo2 15a a=

en la ecuación anterior resulta

( ) 32 122 3

1 1

5aT T a

=

(ntonces

2 32 12 3

1 1

125125

T aT a

= =

2

1

125T

T =

2

1

11.2T

T =

"o cual lo podemos escribir como#

2 111.2T T =


21/29


21

(sto quiere decir que el planeta da .0 ueltas alrededor del Sol en el tiempo que elplaneta 0 da una uelta. 4or lo tanto# el periodo de un planeta que está más cercano al Soles en menor que el periodo de un planeta que está más lejos del Sol.

3.3 Expresión de la Tercera Ley usando años terrestres y unidades astronómicas.

"a *ercera "e$ de epler nos puede ser ir para calcular la distancia de un planeta al Sol siconocemos el período de dicho planeta. omo esta ecuación es álida para cualquier planeta entonces es álida para la *ierra. (s importante mencionar que se define la unidaastronómica ! 7B% como la distancia media entre el Sol $ la *ierra# que es de ML millonesde Hm. Si tomamos los alores de la *ierra en la ecuación de la *ercera "e$ de epler tenemos que:

2

33

)1(

)1(2 año

UA

T

a=

(ntonces# podemos calcular la distancia al Sol de cualquier otro planeta en 7B con solosaber su período de rotación alrededor del Sol. *enemos que la ecuación queda como

23 T a =

Donde a está dada en unidades astronómicas $ T está dado en a+os terrestres. (sto sepuede expresar de la siguiente manera:

2l tiempo !ue tarda un planeta en dar una vuelta al 9ol1 elevado al cuadrado1 es igual al semie5e mayor de su ór=ita al cu=o.

3. C!lculo de la distancia de "aturno al "ol.

B partir de la ecuación anterior# podemos calcular el semieje de la órbita de cualquier

planeta. 4or ejemplo# el período de rotación de Saturno alrededor del Sol es de 0F.M a+os. B partir del alor de dicho período# podemos calcular el semieje ma$or de la órbita deSaturno

4artimos de la ecuación23

S S T a =

$ sustituimos el período de Saturno !

S T

%


22/29


22

23 )5.29(=S a

(s decir#3 2)5.29(=S a

"o anterior significa que ele amos 0F.M al cuadrado $ despu&s calculamos la raíz c'bicadel resultado. (ntonces# el semieje ma$or de la órbita de Saturno es

UAaS

5.9=

4ara obtener el resultado en Hilómetros solo multiplicamos por el alor de U> dada enHilómetros ! 7B - ML LLL LLL -m? . (ntonces

km xa S 0000001505.9=

kma S 0000004251=

7sando el semieje ma$or podemos calcular la distancia entre Saturno $ el Sol para algunaposición dada de su órbita.

3.# La mínima y la m!xima distancia del cometa $alley al "ol.

"as "e$es de epler se aplican no solo a los planetas sino tambi&n a otros cuerpos delsistema solar. (l período del cometa Ualle$ es de I; a+os# amos a calcular el semiejema$or de su órbita. Bplicamos la *ercera "e$ de epler dada en 7B $ a+os terrestres.(ntonces tenemos que

( ) 23 76=a

alculando la raíz c'bica de ambos lados de la igualdad tenemos que

( )3 276=a

"o cual resulta en

UAa 94.17=

"a excentricidad de la órbita del cometa Ualle$ es


23/29


23

967.0=ε

4odemos calcular la distancia mínima entre el cometa Ualle$ $ el Sol $ tambi&n la distanciamáxima.

"a distancia mínima es( )ε −= 1min ar

Sustitu$endo alores tenemos que

( )967.0194.17min −=r

UAr 592.0min =

"a distancia máxima es( )967.0194.17max +=r

UAr 288.35max =

omo podemos er# de los resultados anteriores# ha$ una gran diferencia entre la distanciamínima $ la distancia máxima. (sto se debe# precisamente# a que la excentricidad de laórbita del cometa Ualle$ es mu$ grande.

3.% C!lculo de la masa del "ol.

7no de los parámetros que aparece en la *ercera "e$ de epler representa a la masa del

Sol ! M %# (ntonces podemos calcularla. 4ara esto# partimos de la siguiente expresión de la

*ercera "e$ de epler

22

3

4π M G

T

a=

4rimero pasamos

24π al otro lado de la igualdad# despu&s pasamos G $ entonces queda

M sola de un lado de la igualdad


24/29


24

M GT

a=

2

324 π

4ara la *ierra conocemos bien estos datos los cuales escribimos a continuación:kma 000000150=

añoT 1=

Sustitu$endo estos alores tenemos que la masa del Sol es

( ) g x M 33102=

PREOBLEMAS RESUELTOS:

% 7n sat&lite de LL g de masa describe una órbita circular a 0LL m de la superficieterrestre.

a% alcular su elocidad orbital

b% 6Tu& le pasaría si por efecto del rozamiento el sat&lite a perdiendo energía8 E enparticular 6Tu& le ocurriría a su elocidad angular8

c% 4eriodo

d% (nergía potencial# cin&tica $ total del sat&lite

e% (nergía necesaria para ponerlo en órbita

f% Celocidad necesaria para que escape del campo gra itatorio

Datos: R*-M#F


25/29


25


26/29


26

0% alcula el momento angular de la *ierra respecto al centro del Sol# despreciando elmo imiento de rotación de la *ierra sobre sí misma $ considerando a la órbita de la *ierracomo circular. Datos: R* - ;. L 0J Hg> r órbita - #M. L< Hm

Solución:

"a elocidad de traslación de la *ierra alrededor del Sol es:

onsiderando a la *ierra $ al Sol como objetos puntuales $ suponiendo que la órbita de la*ierra es circular alrededor del Sol# entonces el ector de posición $ el ector elocidad dela *ierra respecto al Sol son siempre perpendiculares. 4or tanto# el momento angular de la*ierra respecto del Sol es un ector perpendicular al plano de la órbita del planeta# cu$omódulo es:

1% "a *ierra en su perihelio está a una distancia de JI millones de Hilómetros del Sol $lle a una elocidad de 1L#1 HmQs. 6 uál es la elocidad de la *ierra en su afelio# si dista

M0 millones de Hilómetros del Sol8Solución:

"a dirección de la fuerza con la que act'a el Sol sobre la *ierra coincide con la direccióndel ector de posición de la *ierra respecto del Sol# por lo que el momento angular de la*ierra respecto del Sol permanece constante a lo largo de toda la tra$ectoria.


27/29


27

Bplicando la definición de momento angular $ como el ector de posición es perpendicular a la elocidad# se tiene:

Sustitu$endo:

CONCLUSIONES


28/29


28

Uasta la actualidad se han producido una serie de descubrimientos astronómicosrelacionados con la le$ de la gra itación que han puesto de manifiesto su carácter uni ersal. Bsí# por ejemplo# el descubrimiento de nue os planetas a partir de lasperturbaciones que producen en las órbitas de los planetas $a conocidos: lasirregularidades en la órbita de 7rano# descubierto en I< por Uerschel# condujeron aldescubrimiento de 2eptuno en


29/29


BLIBLIOGRAF'A

http:QQ333.inaoep.mxQolimpiadaQportalfilesQfileQ"e$esYdeY epler!0%.pdf http:QQ3330.udec.clQ/jinzunzaQfisicaQcapF.pdf

http:QQ3ebs.ono.comQmariadoloresmarinQ4D=Q=0bY0 Y,)Y)7.pdf

http:QQ333.fis.puc.clQ/jalfaroQfizL 0 QclasesQgra itacion.pdf

http:QQ333.fis.puc.clQ/rbenguriQ ap;O0

fisica - gravitacion universal.docx

Documents