Universidad Distrital francisco Jos de Caldas

Probabilidad y Estadstica

Sergio David Moya Hilarin- Sergio.moyah89@hotmail.com

20112007098

1. Introduccin

Los experimentos se conciben de manera que los resultados del espacio muestral son de tipo cualitativos o cuantitativos. Es por ello que las distribuciones de probabilidad indica toda la gama de valores que pueden resultar de un experimento. Sin embargo las distribuciones de probabilidad, constituye una herramienta fundamental para la prospectiva de eventos, puesto que se puede disear un escenario de acontecimientos futuros considerando las tendencias actuales de diversos fenmenos que afecten el experimento.

Realmente las distribuciones de probabilidad describen los fenmenos aleatorios de la vida real, como por ejemplo la eficacia de un nuevo frmaco en los pacientes que lo usaron, o los productos que pueden ser defectuosos o no defectuosos en una lnea de produccin. Por ello la variable aleatoria proporciona un medio matemtico para relacionar cualquier resultado con una medida cuantitativa.

2. Objetivos

Objetivo General

Identificar la variable discreta y continua, asocindola con los respectivos problemas propuestos.

Objetivos Especficos

Estimar la esperanza y varianza matemtica de la respectiva variable discreta o continua.

Definir y verificar su f.m.p, y f.d.a.

Describir las diferentes caractersticas de las variables y calcular las probabilidades de los ejercicios propuestos.

Establecer las propiedades de la funcin de distribucin de probabilidad acumulada de una variable aleatoria discreta y continua.

3. Variables aleatorias.

3.1. Binomial Negativa

Sea un escenario binomial en que se observa una secuencia de ensayos independientes; la probabilidad de xito en cada ensayo es constante e igual a p. En lugar de fijar el nmero de ensayos en n y observar el nmero de xitos, supngase que se continan los ensayos hasta que han ocurrido exactamente r xitos. En este caso, la variable aleatoria es el nmero de ensayos necesarios para observar r xitos. De nuevo nos concentramos en intentos independientes e idnticos, cada uno de los cuales conduce a uno de dos resultados: xito o fracaso. La probabilidad p de xito sigue siendo igual de un intento a otro. La distribucin maneja el caso donde estamos interesados en el nmero de intento en el que ocurre el primer xito. Qu pasa si estamos interesados en conocer el nmero de intento en el que ocurre el xito segundo, tercero o cuarto? La distribucin que se aplica a la variable aleatoria Y igual al nmero del intento en el que ocurre el rsimo xito (r = 2, 3, 4, etc.) es la distribucin binomial negativa.

Los pasos siguientes se asemejan estrechamente a los de la seccin anterior. Seleccionemos valores fijos para r y, y, y consideremos los eventos A y B, donde

A = {los primeros (y 1) intentos contienen (r 1) xitos}

Y

B = {el intento y resulta en un xito}.

Como suponemos que los intentos son independientes, se deduce que A y B son eventos independientes y las suposiciones previas implican que P(B) = p. Por tanto,

p(y) = p(Y = y) = P(A B) = P(A) P(B).

Observe que P(A) es 0 si (y 1) < (r 1) o, de igual manera, si y < r. Si y r, implica que la distribucin de probabilidad es:

Sea x+r, el nmero de ensayos independientes necesarios para alcanzar, de manera exacta,r-xitos en un experimento binomial donde la probabilidad de xito en cada ensayo es p. Se dice entonces que x es una variable binomial negativo con funcin de probabilidad

3.1.2. Esperanza

Fig 1. Demostracin matemtica de la esperanza de la distribucin binomial negativa

Ec 1: Esperanza de la distribucin binomial negativa

3.1.3. Varianza

Si y

Teniendo en cuenta que

=

Ec 2: Varianza de la distribucin binomial negativa

3.1.4. Ejemplos:

En la serie de campeonatos de la NBA, el equipo que gane 4 de 7 juegos ser el ganador. Suponga que los equipos A y b se enfrentan en los juegos de campeonato y que el equipo A tiene una probabilidad de 0.55 de ganarle al equipo B.

Cul es la probabilidad de que el equipo A gane la serue de 6 juegos?

Cul es la probabilidad de que el equipo A gane la serie?

A) b*(6;4,0.55)=

B) b*(4;4,0.55)+ b*(5;4,0.55)+ b*(6;4,0.55)+ b*(7;4,0.55)= 0.0915+0.01647+0.185+0.166=0.6083

PROPUESTO

Una gran acumulacin de bombas usadas contiene 20% que necesitan ser reparadas. Una trabajadora de mantenimiento es enviada a esas bombas con tres juegos de piezas de reparacin. Ella selecciona bombas al azar y las prueba una por una. Si la bomba funciona, la separa para usarla ms adelante, pero, si no funciona, utiliza uno de los conjuntos de reparacin en la bomba. Suponga que lleva 10 minutos probar una bomba que est en buenas condiciones y 30 minutos para probar y reparar una bomba que no funciona. Encuentre la media y la varianza del tiempo total que tarda la trabajadora para usar sus tres equipos de reparacin

Denotemos con Y el nmero del intento en el que se localiza la tercera bomba que no funciona. Se deduce que Y tiene una distribucin binomial negativa con p=.2. Entonces, y . Debido a que se requieren otros 20 minutos para reparar cada bomba defectuosa, el tiempo total necesario para usar los tres equipos de reparacin es:

3.2. POISSON

Se llama tambin la distribucin de los eventos raros pues se usa como aproximacin a la binomial cuando el tamao de muestra es grande y la proporcin de xitos es pequea. Esos intervalos de medida pueden referirse a; tiempo, reas, volumen etc.

Como ejemplos se puede usar la distribucin de Poisson para los siguientes casos:

El nmero de errores de ortografa que uno comete al escribir una nica pgina.

El nmero de llamadas telefnicas en una central telefnica por minuto.

El nmero de defectos por metro cuadrado de tela.

El nmero de estrellas en un determinado volumen de espacio.

Las caractersticas ms sobresalientes de esta distribucin son:

La distribucin de Poisson tiene la particularidad de que la esperanza y la varianza son iguales.

El espacio muestral en un modelo de Poisson se genera por un nmero muy grande (puede considerarse infinito) de repeticiones de un experimento cuyo modelo de probabilidad es el de Benorulli, con probabilidad de xito muy pequea. Por esta razn se le suele llamar de eventos raros. Las repeticiones del experimento de Bernoulli se realizan en cada uno de los puntos de un intervalo de tiempo o espacio. La probabilidad de que se tenga dos o ms xitos es en el mismo punto del intervalo es cero. El nmero promedio de xitos en un intervalo es una constante , que no cambia de intervalo a intervalo.

La distribucin de Poisson se puede ver de manera grfica con firma asimtrica positiva como sucede con la distribucin binomial. Sin embargo, al ir aumentando los valores de , va adquiriendo la tpica forma de campana de Gauss. A continuacin podemos ver algunos ejemplos de grficos con distintos valores de :

3.2.1. Ecuacin Funcin de la Distribucin de Poisson

Donde x es un entero positivo.

Esta expresin se puede obtener tomando los limites cuando n tiende a , p tiende a 0 y np permanece constante e igual a , de la funcin de probabilidad de la distribucin de una variable binomial.

Definicin: Sea una variable aleatoria que representa el nmero de eventos aleatorios independientes que ocurren a una rapidez constante sobre el tiempo o el espacio. Se dice entonces que la variable aleatoria tiene una distribucin de Poisson con funcin de probabilidad

Aun cuando no hay una forma nica de seleccionar los subintervalos y por tanto no conocemos

ni n ni p, parece razonable que cuando dividimos la semana en un nmero mayor de n subintervalos, disminuye la probabilidad p de un accidente en uno de estos subintervalos ms cortos. Haciendo = np y tomando el lmite de la probabilidad binomial cuando n S q , tenemos

Fig 2. Demostracin funcin de la distribucin de poisson.

Si observamos que todos los trminos de la derecha del lmite tienden a 1 entonces:

3.2.2. Funcin de Distribucin Acumulativa:

La probabilidad de que una variable aleatoria de Poisson sea menor o igual a un valor de x se determina por la funcin de distribucin acumulativa:

3.2.3. Esperanza de poisson

La media o esperanza y la varianza, se obtienen mediante el mismo procedimiento, tomando los limites cuando n tiende a , p tiende a 0 y np tiende a .

Sin embargo se puede ver de otra forma para demostrar este hecho, como se mostrara a continuacin, ya que la distribucin de Poisson se basa en la serie de , se tendr para la esperanza:

:

Ec 3: Esperanza de la distribucin Poisson.

3.2.4. Varianza de poisson

Por propiedades de la varianza se tiene que:

Adems de que;

Ahora sea:

, entonces;

Ec 4: Varianza de la distribucin Poisson.

3.2.5. Ejemplos

Durante un experimento de laboratorio el nmero de promedio de partculas radioactivas que pasan a travs de un contador en un milisegundo es 4. Cul es la probabilidad que entren 6 particulas al contador en un milisegundo dado?

Propuesto

Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por da. Cules son las probabilidades de que reciba?:

A. Cuatro cheques sin fondo en un da dado?

B. 10 cheques sin fondos en cualquiera de dos consecutivos?

Solucin:

A. x= variable que nos define el nmero de cheques sin fondo que llegan al banco en un da cualquiera= 0, 1, 2,3etc.

x=6 cheques sin fondo por da:

B. x= 6 cheques por da * 2 das = 12 cheques

3.3. HIPERGEOMTRICA

Para entender correctamente la definicin de la distribucin Hipergeomtrica es necesario analizar un caso prctico, puesto que muchas veces es difcil realizar pruebas con reposicin o reemplazamiento, un ejemplo en el que esto se puede observar es en el control de calidad de ciertos productos puesto que si se pierde un elemento aprobado no es posible hacer una reposicin directamente, de esta manera se plantea entonces una prueba sin reposicin donde los elementos de la muestra son tomados todos a la vez y no individualmente o donde el elemento seleccionado no se reintegra al experimento o a la muestra nuevamente.

Una de las diferencias que se encuentran entre la distribucin geomtrica y la binomial es que en sta ltima se realiza un muestreo con reemplazo e independencia de pruebas o ensayos y en la primera se realiza un muestreo sin reemplazo y sin independencia entre pruebas o ensayos.

Para definir una distribucin Hipergeomtrica se debe considerar un conjunto de N objetos que contiene:

K objetos clasificados como xitos y

N K objetos clasificados como fallas

Donde se toma una muestra de tamao n, al azar (sin reemplazo) de entre N objetos, donde:

K N ; y; n N

Los parmetros de la distribucin hipergeomtrica son:

N: Tamao de la poblacin.

K: Nmero de elementos de N con una caracterstica o propiedad especfica (xitos).

n: Tamao de la muestra aleatoria extrada.

3.3.1. Funcin de probabilidad de la distribucin hipergeomtrica.

Sea la variable aleatoria X el nmero de xitos en la muestra. Entonces, X tiene una distribucin hipergeomtrica funcin de probabilidad hipergeomtrica

Funcin de Distribucin acumulativa

3.3.2. Esperanza de Hipergeomtrica

Para poder determinar la esperanza se con los parmetros anteriormente mencionados: n,N y m se tiene

Usando las identidades

Se obtiene:

Donde Y es una variable aleatoria hipergeomtrica con parmetros n-1, N-1 y K-1. Tomando k=1 se tiene:

Si el valor de k se cambia por k=2 en la ecuacin de se obtiene:

Ya que:

Ec 5: Esperanza de la distribucin hipergeomtrica.

3.3.3. Varianza de Hipergeomtrica

Podemos decir que:

Reemplazando P=nK/N y usando la identidad,

Se tiene que:

Ya que N es un nmero grande en comparacin con n, la relacin es aproximadamente = 1

Ec 6: Varianza de la distribucin hipergeomtrica.

3.3.4. Ejemplos

Lotes con 40 componentes cada uno que contengan 3 o ms defectuosos se consideran inaceptables. El procedimiento para obtener muestras de lote consiste en seleccionar 5 componentes al azar y rechazar el lote si se encuentra un componente defectuoso Cul es la probabilidad de, que en la muestra, se encuentre exactamente un componente defectuoso si en el lote hay 3 defectuosos?

Slo el 30% de las veces que detecta un lote mal (con 3 componentes defectuosos).

Propuesto:

Un lote de piezas contiene 100 de un proveedor local de tubera, y 200 de un proveedor del mismo material, pero de otro estado. Si se eligen cuatro piezas al azar y sin reemplazo, Cul es la probabilidad que todas provengan del proveedor local?

Solucin:

Sea X el nmero de partes en la muestra que son del proveedor local. Entonces, X tiene una distribucin hipergeomtrica y la probabilidad pedida es P(X=4).

Cul es la probabilidad de que al menos una pieza de la muestra sea del proveedor local?

Calcule la varianza y la esperanza del ejercicio anterior:

Primero se debe calcular la razn entre los xitos y la cantidad de objetos totales

P=K/N= 100/300

E(X)=(4)*(1/3)=1.33

V(x)=1.33*(1-1/3)*(276/279)= 0.879

3.4. GAMMA

Una variable aleatoria (v.a.) es simplemente una funcin que describe los resultados de un experimento. En el curso de probabilidad encontramos que existen indicadores que simetra (o asimetra) de distribuciones de probabilidad de una v.a., para esto nos podemos apoyar en la distribucin Gamma.

Los intervalos de tiempo entre mal funcionamiento de motores de aviones poseen una distribucin de frecuencia sesgada, al igual que los intervalos de llegada en una fi la de espera en las cajas de un supermercado (esto es, la fi la de espera para llegar a la caja a pagar). Del mismo modo, los intervalos de tiempo para completar una revisin de mantenimiento para un motor de automvil o de avin poseen una distribucin de frecuencia sesgada. La poblacin asociada con estas variables aleatorias posee con frecuencia funciones de densidad que son modeladas de manera adecuada por una funcin de densidad gamma.

En la funcin de densidad la Earlang, el parmetro r aparece como r! Para definir una variable aleatoria Gamma se requiere generalizar la funcin factorial.

Para X>0 y r=1,2,3,..,

3.4.2. Funcin de densidad de probabilidad

La variable aleatoria X con funcin de densidad de probabilidad dada por la ecuacin (11) tiene una distribucin Gamma con parmetros > 0 y r > 0.

Para X>0.

Funcin de Distribucin Acumulada

la funcin de distribucin acumulada no es ms que la integral desde menos infinito hasta un valor x el cual es hasta donde queremos determinar la acumulacin.

3.4.3. Esperanza.

Ec 7: Varianza de la distribucin Gamma.

3.4.4. Varianza

Ec 8: Varianza de la distribucin Gamma.

3.4.5. Ejemplos.

Supngase que cierta pieza metlica se romper despus de sufrir dos ciclos de esfuerzo. Si estos ciclos ocurren de manera independiente a una frecuencia promedio de dos por cada 100 horas, obtener la probabilidad de que el intervalo de tiempo se encuentre hasta que ocurre el segundo ciclo.

a. Dentro de una desviacin estndar del tiempo promedio.

Solucin:

Tenemos que r = 2, = 1=50; = 0;02. Planteando la funcin de distribucin acumulada

(2)=

Vemos que

Para x>0

Para solucionar el ejercicio:

3.5. WEIBULL

La distribucin Weibull es una familia de distribuciones con dos parmetros fundamentales:

parmetro de la forma.

parmetro de la escala.

Esta distribucin es una funcin de densidad de probabilidad que nos permite tener diversas aplicaciones en la ingeniera (confiabilidad de materiales).

Fue establecida con base en evidencia emprica para demostrar que el esfuerzo al que se someten los materiales puede modelarse de manera adecuada.

Al igual que las distribuciones gamma y exponencial, la distribucin de Weibull funciona para estimar la vida til y la fiabilidad que genera determinado componente en un sistema.

Esta distribucin se puede identificar mediante los parmetros , y .

Las principales caractersticas para identificar y utilizar dicha distribucin son:

Interpretacin y caracterizacin de componentes:

Modelamiento de componentes dentro de un sistema.

Anlisis de la vida til de un sistema.

Estimacin de la relacin tiempo - falla.

Prevencin de fallas en materiales.

La Distribucin est dada por la siguiente funcin de densidad.

Dnde los parmetros son:

- parmetro de forma, es el indicador de mecanismo de falla.

- parmetro de escala, vida caracterstica.

- parmetro de localizacin, vida mnima.

3.5.2. Funcin de densidad.

La funcin de densidad est dada por

Donde las unidades de los parmetros son:

adimencional.

tienen las mismas unidades tales como horas, ciclos, miles, entreotros.

Funcin de distribucin acumulativa

La funcin de distribucin acumulativa est dada por:

Para los F(X) 0

Lo que nos conduce a:

Para los f(x) 1, > 0 (Espacio Paramtrico)

Demostracin de la densidad de pareto

1.

2.

3.

4.

5.

As se comprueba que es una funcin de densidad.

3.5.3. Funcin Acumulativa de pareto

La funcin acumulativa de pareto se obtiene de la primicia de la funcin de densidad.

1.

2.

3.

Entonces la funcin acumulativa de pareto es:

4.

Si x >

Aqu hay que aclarar que representa la proporcin de personas en la poblacin con ingresos mayores que x.

3.5.4. Esperanza.

En este punto demostraremos como se expresa la Esperanza.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Ec 11: Esperanza de la distribucin de pareto.

3.5.5. Varianza.

En este punto demostraremos como se expresa la varianza.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Ec 12: Varianza de la distribucin de pareto.

3.5.6. Ejemplos

Las rentas salariales anuales en cierto sector econmico (X, en miles de euro) es una magnitud distribuida segn un modelo de Pareto con salario mnimo 9 y =2,4

Se desea conocer el salario en el sector y la proporcin de asalariados que percibe de 18.000 ao .

Puesto que X sigue una distribucin de Pareto se tiene que el salario esperado viene dado por:

=

=1-0,81= 0,19

4. Conclusiones

La distribucin hipergeomtrica es fundamental en el estudio de muestras en poblaciones pequeas, as como en el clculo de probabilidades de, juegos de azar, adems tiene gran utilidad en el control de calidad y en diferentes procesos experimentales en los que no es posible retornar a la situacin de partida

La distribucin Gamma no se usa con frecuencia para el modelamiento de sistemas fsicos, sin embargo el caso especial, es decir, la distribucin de Earlang es de gran ayuda para experimentos aleatorios.

La distribucin de Pareto aunque tiene una gran aplicacin en economa tambin puede tener aplicaciones en otras disciplinas como Fluidos y en la sociologa.

La distribucin Pareto se caracteriza por que la mayor parte de la riqueza de un sistema econmico siempre tiende a ser acaparada por un sector muy pequeo de la poblacin.

5. BIBLIOGRAFA

Walpole, Ronald. Probabilidad y estadstica para ingeniera y ciencias. Novena edicin. Pearson.

Wackerly, Dennis. Estadstica Matemtica con aplicaciones. Sptima edicin. Cengage Learning.

[3]Douglas C. Montgomery, George C. Runger, Probabilidad y Estadstica Aplicadas a la Ingeniera (2da ed.), McGraw Hill.

[4]Distribucin hipergeomtrica. Universidad de Valencia [online].disponible en: http://www.uv.es/ceaces/base/modelos%20de%20probabilidad/hipergeometrica.htm

[5] La distribucin de Poisson Paper, Martnez Gmez, Mnica, Martnez Gmez, Mnica, [online], disponible en: http://riunet.upv.es/bitstream/handle/10251/7937/Distribucion%20Poisson.pdf