filtrations de type hasse-arfet monodromie -adique yves andre´ table des mati`eres introduction 1...

FILTRATIONS DE TYPE HASSE-ARF ET MONODROMIE� -ADIQ UE

YVES ANDRE

TABLE DES MATIERES

Introduction 11. Filtrationsparlespentesdanslescategoriestannakiennes 52. PolygonesdeNewtonet filtrationsdeHasse-Arf 93. ExemplesdefiltrationsdeHasse-Arf 104. Inductionet inductiontensorielle 145. Un theoremedestructurepourlesfiltrationsdeHasse-Arf 186. Le contexte � -adique 247. Le theoremedemonodromielocale� -adique 28AppendiceA. Surlesdimensionsderepresentationsirreductibles 32References 33

INTRODUCTION

Le principalproposde cetarticleestd’appliquerla theoriedeChristol-Mebkhouta la demonstrationde la “conjecturede monodromielocale � -adique”deCrew.

0.1. Si � estun corpsfini de caracteristique� , la structuredu groupedeGalois �� "!#�� estplus compliqueequ’en carac-teristique$ , et partant,la theoriedesesrepresentationsenestplusriche.

Dansle casdesrepresentations% -adiques(continues,dedimensionfinie,avec %'&� � ) ou, ce qui revient au meme,desfaisceauxetales % -adiquessur ( �*),+ �-��.�� , le theoremede monodromielocale de Grothendieckaf-firme que l’inertie / � �10�2�� agit de maniere quasi-unipotente: unsous-grouped’indice fini agit de maniereunipotente; en d’autrestermes,la representationdel’inertie devient extensionitereederepresentationstri-vialessi on remplace3�-��4�.�� par uneextensionfinie separableconvenable(engeneralnonabelienne).

Date: 28 juin 2001.1

2 YVES ANDRE

Dans[13], Crew conjectureun analogue� -adiquedece theoreme,pourles 5 -isocristauxsurconvergentssur ( �*),+ �-��4�.�� , et metenvaleursonim-portance.

Cesisocristauxsurconvergents“locaux” sont,en langageplus concret(maisqui obscurcitun peul’analogieavec les faisceauxetales% -adiques),desmodulesdifferentiels6 surle corpsdifferentiel798 desfonctionsanaly-tiquesborneessurune“mince” couronne:;�=<?>A@CB�D� derayoninterieur > nonprecise, a coefficientsdansuncorpsE completpourunevaluationdiscrete� -adiquedecorpsresiduel� .

Un point techniqueimportantdansla conjecturedeCrew estle passagede 7 8 a l’anneauF desfonctionsanalytiquesnonnecessairementborneessurunecouronne:G�=<?>A@CB�D� derayoninterieurnonprecise.

Touteextensionfinie separablede �� donnenaissancea uneexten-sionfinie de 7H8 et de F respectivement,et la conjectureaffirme quesi 6admetunestructuredeFrobenius,alors 6 estquasi-unipotent, i.e. devientextensionitereedemodulesdifferentielstriviauxsuruneextensionfinie deF provenantd’une extensionfinie separablede �-��4�.�� . Cetteconjecture“explique” les isocristauxsurconvergentssur ( �*),+ �-��.�� admettantunestructurede Frobeniusen termesdesrepresentations� -adiquesde ��dontl’imagedel’inertie estfinie.

Le passagede 7 8 (enfaveurchezDwork-Robba)a F etaitaussila cledesprogresremarquablesqueChristolet Mebkhoutont effectuesdansl’ etudedesequationsdifferentielles� -adiques,avecpourmotivationla conjecturedel’indice deRobba.L’unedeleursinnovationsmajeuresestla theoriedes“pentes� -adiques”desmodulesdifferentielssur F (definiesen termedeconvergencedesolutionsendiverspointsgeneriques).Commeapplicationde leur theoremede l’indice, ils obtiennentunepropriete d’integralite a laHasse-Arfpourla filtration parlespentes� -adiques.

C’est la l’outil essentieldontnousnousservonspourdemontrerla con-jecturedeCrew, sousla formerenforceesuivante(et sanssupposer� fini).

0.1.1.Theoreme. Tout moduledifferentieldepresentationfinie sur F ad-mettantune structure de Frobeniuspossedeune basede solutionsdansFJI�DLK MONP�Q< , ou FJI estl’extensionfinie etalede F issued’uneextensionfinieseparableconvenablede �-��4�.�� .0.2. Plusieursauteursontetudiel’analogieentrela filtration parlespentes� -adiqueset la filtration desrepresentations� -adiquesde � �� a inertiefinie donneeparlesgroupesderamificationsuperieurs,cf. [23],[35],[14], etontnote lesdivergencesavecla filtration parlespentes(Turrittin, Levelt,...)desmodulesdifferentielssurlesseriesformellesencaracteristique$ .

Notreapprocheestdifferenteet resolument“structuraliste”.

FILTRATIONS DE TYPE HASSE-ARFET MONODROMIE R -ADIQUE 3

On rencontredeuxtypesgenerauxdefiltrationsdansdiversessituationstannakiennesconcretes: cellesdu type “pentesfrobeniusiennes”,qui secomportent“additivement” pour le produit tensoriel,et qui ont ete for-maliseesparSaavedra[28, IV] ; etcellespourlesquellesle produittensorieldedeuxobjetsdepentesS'T estdepentes SUT (c’est le casdesfiltrationsmentionneesplushaut).

Nous formalisonsce secondtype de filtration par les pentes,dansunecategorietannakiennequelconque.On peutattachera tout objetsonpoly-gonedeNewtonsuivantla recetteclassique.Danstouslesexemplesinteres-sants,il s’avere que le polygonede Newton de tout objet est a sommetsentiers.Nous appelonsfiltration de type Hasse-Arfune filtration par lespentesayantcettepropriete remarquable.

Enpratique,commel’illustre l’exempleorigineldela filtration deHasse-Arf sur les representationsfinies d’un groupede Galois local, on disposeen outre de fonctorialites (changementsde basefinis) verifiant certainescompatibilitespartiellesvis-a-visdesfiltrations,qui enrichissentbeaucoupla theorie.Nousadaptonsunepart de ce formalismeau casdesfiltrationsdetypeHasse-Arfabstraites.

Onobtientalorsunesituationou interferentla theoriedesrepresentations(aspecttannakien),la combinatoire(integralite despolygonesdeNewton),et destransferts(changementsdebasefinis). Cettesituationestrigide. Onpeutdemontrer, souscertaineshypothesessur les objetsde dimensionun,un theoremede structuregeneral (5.2.1) qui est la principale innovationtechniquedel’article.

Ce theoremen’a rien de “ � -adique” : la possibilite de l’appliquer auxisocristauxsurconvergentsreposeessentiellementsurlesresultatsdeChristol-Mebkhout.A posteriori, le theoremedemonodromielocale � -adique0.1.1permetde retrouver et comprendrebeaucoupde leursenoncesde manieregaloisienne,et memed’aller plusloin dansl’analysedesmodulesdifferen-tiels irreductibles( V 7).

0.3. Mentionnonspourfinir deuxapplicationsdu theoremeci-dessus.Lapremiere,envisageeparCrew commeapplicationdesaconjecture,estunenouvelle preuve de la finitude de la cohomologie� -adique(apres cellesde Mebkhoutet de Berthelot).Etant donne l’usage fait de la theorie deChristol-Mebkhoutdansla preuvede0.1.1,onnepeutdirequecettepreuvesoit independantedecellede [25], maiselle estd’esprit assezdifferent,etoffre d’autresperspectivessur le programmede completer la preuve desconjecturesdeWeil parvoiepurement� -adique.

La deuxiemeapplicationa trait a la theorie de Fontainedesrepresen-tations � -adiquesd’un corpslocal � -adique E . Dansun travail recentre-marquable[5], Berger associea touterepresentationW “de De Rham” un

4 YVES ANDRE

moduledifferentiel 6 sur l’anneauF muni d’unestructuredeFrobenius,etmontreentreautresque W estpotentiellementsemistablesi 6 estquasi-unipotent(un pasanterieurimportantetait le theoremede surconvergencede[7]). En combinantcetteconstructionavecle theoreme0.1.1,on obtientunepreuve de la conjecture de Fontaine(qu’on peutaussivoir commeunanalogue� -adiquedutheoremedemonodromielocale% -adiquedeGrothen-dieckencaracteristiquemixte [17]) :

TouterepresentationdeDeRhamestpotentiellementsemistable.

X�Y�Z\[^]�_Y�Y�ZP`�a2bdc4Y�bCeAY�Zf]Ag2bQZ\`�Y c�Y�hCc4YiZ4a2bdcfeAbAYj_Y�k�a2lme,c�[a�bn],Yi`�Y�llmY�ZP],Y[2] o a�peqeQb`�a2bdc4r�Y�stY�h,Y�ufvQlY9vAeAc�gwc�[xyvAr�a2vOa�Z,_YGvQg2r;z|{�}iY�~A�C�Aa2eAc�_Y�c�g2[�cHuf[^Z�g�e�~Qg�b�]#� Y�Z�Z4g2[^��{��2Y�r�Y�sufY�r�`�[YG�-r�eAbAai��A[^g�r�Y�lmlma�c=c�a\Y�c;�*[mY�r�r4Y\��a2lmufY��G],Y�u �Lg�k2a2[mr�x�a�r=c�Y�ufY�bdcHY�bQ`�a2eAr�g��_Y�pg�lmY�ZrA_Y�]A[��Y�r�Y�b,�"b��dY�b�u � Y�h,vAlm[^��e"g�bdc�lmY�lm[mY�b\g�k2Y�`�lY�c4r�g�k�g2[mlA],Y�X�{,�-Y�r��2Y�r�Y�c�l^g9`�a�bw��Y�`�c4eAr�Y�],Y�A{ s�} {�¡Aa�bdc�g�[mbAY2{��2Y\lmY�Z¢r4Y�ufY�r�`�[mY�g�e"Z4Z4[ �#g2bQZ=[��deAY\£9{��r�Y�¤9��v"a�eAr;lmY�eAr�ZH`�a2ufufY�bdc�g�[mr�Y�ZZ4eAr�lmY�c�Y�hCc4Y2{


1. FILTRATIONS PAR LES PENTES DANS LES CATEGORIES

TANNAKIENNES

1.1. Onformaliseici quelquesproprietesdesfiltrationsparlespentesren-contreesdansdiverscontextes(voir [18, II] pour le cadredifferentiel,[19,I] pourle cadredesrepresentationsgaloisiennes% -adiques).

On se donneune categorie tannakienne¥ sur un corps ¦ . Par sous-categorietannakiennede ¥ , onentendratoujoursunesous-categoriestricte-mentpleinecontenantl’unit e § , stableparsous-quotient(ausensde ¥ ), par¨

, © et dualite ª .On se donneun systemedecroissant,indexe par T¬«®°¯.± , de sous-

foncteurs ¦ -lineairesexacts 5 ².³ du foncteuridentiquede ¥ .Cesendofoncteursdefinissentun systemed’endofoncteurs¦ -lineaires

exacts ´ > ³ �µ�4K ¶?·¸�¹°ºQ» ³ 5 ² º ��!"5 ².³ pour T½¼¾$�@ et

´ > ± �À¿�Á|!O5 ² ±(pourverifier l’exactitude,on peutremarquerquecommetout objet 6 estde longueurfinie, on a K ¶ ·¸�¹½ºA» ³ 5 ² º ��6Â�q�Ã5 ².Ä ��6Â� pour ÅUÆ¬T conve-nable).

Onnote ¥yÇ ³ la sous-categoriepleinede ¥ formeedesobjetssurlesquels51².³ s’annule.C’est une categorieabelienne,en vertu de l’exactitudede5 ².³ .Faisonsenoutreleshypothesessuivantes: pour tous 6È@wÉ «ËÊ�ÌQ�4¥Í� et

tout T°ÎÏ$ , ona5�Ð9Ñ��ÒK ¶ ·¸�¹ ³ ¯.±�5 ².³ estle foncteurnul,5�Ð¢Ó��ÒK ¶ ·¹�ÔÒº ².³ 5 ² º �È5 ².³ ,5�Ð¢Õ��Ö5 ².³ ��§��9�À$ ,5�Ð�×d�Ö5 ².³ ��6Â�G�À5 ².³ �4ÉØ�9�'$��Ù 5 ².³ ��6 ©ÚÉÛ�9�'$�Ü5�Ð¢Ý��Ö5 ².³ ��6Â�G�À$��-Ù 5 ².³ ��6 ª �9�È$�ÜAlors les ¥*Ç ³ formentunsystemecroissantdesous-categoriestannakiennesde ¥ , dontla reunionestegalea ¥ . Notonsquela conditionde“continuitea droite” 5�Ð�Ó�� setraduitpar:

¥yÇ ³ � Þº ².³ ¥yÇ º Ü1.1.1.Definition. Un systemedefoncteurs5 ².³ commeci-dessusseraap-peleunefiltrationpar lespentesde ¥ Ñ .Commetout objet 6 de ¥ est de longueurfinie, sa filtration 5 ².³ ��6Â�n’a qu’un nombrefini de sauts T*±d@�T�Ñ2@CÜCÜCÜ (tels que

´ > ³2ß ��6Â�À&� $.� , quiàon prendragardea nepasconfondrecettenotionaveccellede á -filtration introduite

dans[28, IV.2.1],qui n’a rien avoir.

6 YVES ANDRE

definissentles pentesde 6 . Il est parfois utile de convenir que $ est depente¹ â .

1.1.2.Remarque. Les conditions 5�Ð�×d� et 5�Ð�Ý�� setraduisentpar : si lespentesde 6 et É sont SãT , il enestdememedespentesde 6 ©ÏÉ°@�6'ªet É½ª .

1.1.3.Lemme. On a une decompositioncanonique, fonctorielle, de toutobjet 6 � ¨ ´ > º ��6Â� , et 5 ².³ ��6Â�J� ¨ º ².³

´ > º ��6Â� . Pour äå&�æT , on açéèAêJë � ´ > ³ ��6Â��@ ´ > º ��6ì��9�'$ .

Demonstration.Dela condition 5�Ð�Ý�� , ontire,parsymetrie,que > ³ ��6ì�G�$îíqÙ ´ >Q³��6 ª �ï�ð$ . Soit T*± la pluspetitepentede 6 . Par recurrencesurla longueurde 6 , il suffit, pourla premiereassertion,demontrerquelaprojection 6 Ô Ô ´ >"³�ñC��6Â� admetunesection.

Consideronsle monomorphisme > ³ ñC��6ì��ªnò Ô 6'ª . Sonimageestpure-mentde pente T*± , donc le compose

´ > ³2ñ ��6Â��ªóò Ô 6'ª Ô Ô ´ > ³�ñ ��6'ª�� estencoreun monomorphisme.En passantaudual,on trouve quele compose� ´ >Q³2ñ��6 ª �� ª ò Ô 6 Ô Ô ´ >Q³�ñC��6ì� estun epimorphisme,d’ou la premiereassertion.

La secondeassertionresultedelaet deceque

´ > ³ ´ > º ��6ì�;�È$ . ô1.1.4.Corollair e. Toutobjetindecomposablede ¥ n’a qu’uneseulepente.ô1.2. Onsupposemaintenant¥ munied’un foncteurfibreõ÷ö ¥ Ô W ),+�ø ÜNotons� le ¦ -groupeaffine ùûú�ü�ý õ . Par la theorietannakienne,le systemedes ¥yÇ ³ definit un systemedecroissantde sous-groupefermes normaux�1².³ûþn� , tels que � Ç ³ ö �æ��!O� ².³ ÿ� ùïú�ü ý õ � ë�� Ü Pour TÈ�æ$ , on ecritplutot ��± que � Ç.± (puisqu’il n’y a pasde pentenegative).Terminologie:� ² ± estle “sous-groupesauvage”, et ��± le “quotientmodere”.

On a õ ��6Â� �� ¨ º Ç ³ õ � ´ > º ��6ì��Þ � ².³ �ÂBì� par 5�Ð9Ñ��@

tandisquela condition 5�Ð¢Ó�� setraduitpar:(1� � ².³ � �º ².³ � ² º (adherencedeZariski dela reunion)Ü

1.2.1.Remarques. a) Si ¥ I � ¥ est unesous-categorietannakienne,larestrictiona ¥�I de la filtration par les pentesde ¥ definit unefiltration de


ùïú�ü ý õ � ë�� qui n’estautrequela filtration parl’imagedes� ².³ parl’ epimor-phismecanonique�U�Èùïú�ü ý õ Ô ùûú�ü ý õ � ë � ( ¥ IÇ ³ �È¥*Ç ³�� ¥ I ).

b)Soit ¦ I !"¦ uneextensionfinie.Onaunenotiond’extensiondesscalaires¥ � ø � a la Saavedracf. [28, III.1] : c’est la categoriedes ¦�I -modulesdans¥ Ó ; ¥ � ø � estnaturellementequivalentea � )��ø � ��J© ø ¦ I � , etonaunfonc-teur 6 �Ô 6 ©Ï¦ I de ¥ vers ¥ � ø � . Si ¥ estmunied’unefiltration par lespentes,il existe uneuniquefiltration par les pentes¥ � ø � compatibleavecce foncteur: les pentesd’un ¦ I -moduledans ¥ sont les pentesde l’objetde ¥ sous-jacent.Les groupes� ².³ø � correspondantsne sontautresqueles� ².³ © ø ¦ I .1.2.2.Notation. Pourtout T½¼÷$ , onpose � � ³ �åÞºQ» ³ � ² º ÜCesontdessous-groupesfermesnormauxde � , et on a lesproprietessui-vantes:

Þ³,² ± � � ³ �ãB#@æ� ².³ � �º ².³ � � º �� T½ÎÏ$|@Â� ².³ � � � ³ � T°¼Ú$�@

�� Þ³C² º ² ± � � º �À� � ³ (continuite a gauche),

(G(fBQ� pourtout 6 « Ê�ÌQ��¥q� et tout TØ¼'$ , la sous-representationtrivialeõ ��6Â� �� estfacteurdirectde õ ��6ì� entantquerepresentationde � � ³ .Cettedernierecondition(“semi-simplicitepourla valeurpropre B ”) vient

decequepourtout T½¼÷$ ,õ ��6Â� �� ¨ ºA» ³ õ � ´ > º ��6ì��admet

¨ º ¯ ³ õ � ´ > º ��6ì�� commesupplementairestablesous� � ³ .1.2.3.Theoreme. La donneed’unefiltrationpar lespentes ��5 ².³ � ³ ¯.± sur¥ equivauta celled’unefiltrationdecroissanteseparee �4� � ³ þ��1� ³C² ± pardessous-groupesfermesnormauxverifiant lesconditions�� et (G(fBQ� .Demonstration. Pour toutefiltration par les pentes,on vient de voir quesystemedes � � ³ definisen1.2.2verifient lesconditionsdu theoreme.Ob-servonsenoutreque 5 ².³��6Â� estdetermineparõ �45 ².³ ��6Â��;��C� õ ��6Â� Ô õ ��6Â� � � � �ou õ ��6Â� � � �� designel’espacequotientdesco-invariants(qui est canoni-quementisomorphea l’espacedesinvariantspuisquece dernieradmetunsupplementairestable).

si !#"%$&! estseparable,')(+*-,/. peutaussisedecrirecommel’enveloppepseudo-abeliennedela categorieobtenuea partir de ' enetendantlesscalairesa ! " , cf. [3, 5.3.2].

8 YVES ANDRE

Passonsa la reciproque.On sedonneunefiltration � � ³ þ1� commedansle theoreme.Pour tout TÂÎ®$ , on pose � ².³ � 0 º ².³ � � º . Ils for-mentaussiunefiltration decroissantesepareepardessous-groupesfermesnormaux,et verifient l’analoguede la condition (G(\B"� (en fait l’image de� ².³ dans�21�� õ ��6Â�� s’identifiea l’image del’un des � � º ). Puisque� ².³estnormaldans � , �3��C� õ ��6Â� Ô õ ��6Â� � � � � est � -stable,doncs’identi-fie a õ �451².³��6Â�� pour un sous-objet5 ².³��6ì� de 6 . On obtientainsi unfoncteur6 �Ô 5 ².³ ��6Â� .

Comptetenu de (G(\B"� , la formation desco-invariantsest exacte,donc6 �Ô õ ��5 ².³ ��6ì�� estexact,etfinalement6 �Ô 5 ².³ ��6Â� estexactpuisqueõ estfideleetexact.Lesconditions5�Ð9Ñw� et 5�Ð�Õ�� sontclairementremplies.La condition 5�Ð¢Ó�� setraduit par ( � , qui estavec la definition ci-dessus

de � ².³ unetautologie: 0 Ä�².³ � � Ä � 0 º ².³ 0 Ä�² º � � Ä . Quanta 5�Ð�×d� et5�Ð�Ý�� , ellessuiventdecequela sous-categoriepleinede ¥ formeedesob-jets 6 tels que � ².³ agissetrivialementsur õ ��6Â� estunesous-categorietannakienne,cequi estclair.

Il est aussiclair que cetteconstruction �4� � ³ �4�Ô �451².³Q� est inverseagauchedela construction��5 ².³ �5�Ô �4� � ³ � de1.2.2.Il resteavoir quec’estaussiun inversea droite,cequi revient a voir que

� � ³ � ÞºA» ³�Ä�² º � � Ä Ü

L’inclusion � estclaire; il s’agit de montrerl’inclusion opposee.C’est laqu’intervientla condition �� : � � ³ � ÞºQ» ³ � � º

. On conclutdu fait que

� � º 56 0 Ä�² º � � Ä . ô1.2.4.Corollair e. On a lesinclusions:¨ ºA» ³

´ > ³ ��6Â��© ´ > º �4ÉØ� � ´ > ³ ��6 ©÷ÉÛ�w@´ > ³ ��6ì��© ´ > ³ ��ÉÛ� � ¨ º Ç ³´ > º ��6 ©÷ÉÛ�w@¨ ºA» ³ � çéèAê � ´ > ³ ��6Â��@ ´ > º ��ÉÛ� ¨ çéèAê � ´ > º ��6Â�w@ ´ > ³ ��ÉÛ�� ´ > ³ � çéèAê ��6È@wÉØ��w@çéèQê � ´ > ³ ��6Â�w@ ´ > ³ ��ÉÛ�� ¨ º Ç ³´ > º � çéèAê ��6À@wÉØ��wÜ

Demonstration.Par 5�Ð�×�� et 5�Ð�Ý�� , on a´ > ³ ��6ì��© ´ > º ��ÉÛ� � ¨ Ä Ç87:9�; � ³=< º ´ > Ä ��6 ©ÚÉÛ�w@çéèQê � ´ > ³ ��6Â�w@ ´ > º ��ÉÛ�� ¨ Ä Ç87>9?; � ³=< º ´ > Ä � çéèAê ��6È@�ÉØ��@d’ou les deuxiemeet quatrieme inclusionsdu corollaire. Demontronslapremiere (la troisiemeest analogue).On a � õ � ´ >Q³#��6ì�� $ et


� õ � ´ > º �4ÉØ�� õ � ´ > º ��ÉÛ�� si äÃÆ T . On a donc � õ � ´ > ³ ��6Â�f©´ > º �4ÉØ�� ¬$ , d’ou

´ > ³ ��6Â�G© ´ > º ��ÉØ� � ´ > ³ � ´ > ³ ��6Â�G© ´ > º ��ÉØ�� .ô1.2.5.Remarque. Les � � ³ etantdessous-groupesnormauxnonnecessai-rementcaracteristiques,ondoit prendregardeaufait quela filtration parlespentesn’estpasnecessairementinvarianteparauto-equivalencede ¥ . Onatoutefoisle

1.2.6.Sorite. Touteauto-equivalencede ¥ qui estnaturellementisomor-pheau © -foncteuridentiquerespectela filtration par lespentes.En parti-culier, si ú ö ¥ Ô ¥�I estuneequivalencedecategoriestannakiennes,et sion munit ¥ I dela filtration par lespentesinduitepar ú , tout quasi-inverserespectelesfiltrationspar lespentes.

2. POLYGONES DE NEWTON ET FILTRATIONS DE HASSE-ARF

2.1. PolygonesdeNewton. Soit ¥ unecategorietannakiennesur ¦ munied’unefiltration parlespentes�451².³O� . Soit 6 un objetde ¥ . Soientcommeci-dessusT�@�@�¿��'$�@dB�ÜdÜCÜ�@ lespentesde 6 , rangeesdansl’ordre croissant.

On definit le polygonedeNewton É°Ðq��6Â� commel’enveloppeconvexedans Ó ¯.± despoints �BA @ ±DC ¶ · ´ > ³?E ��6Â��@FA @ ± T-G C ¶ · ´ > ³?E ��6Â��w@�¿GÎÏ$ , auxquelson joint parconventionl’axevertical.

L’ordonnee du sommetle plus a droite (i.e. d’abscissemaximale)deÉ½ÐÍ��6Â� s’appellela hauteurdu polygonedeNewton.

2.1.1.Lemme. La regle 6 �Ô É°Ðq��6Â� s’etenden un homomorphismeÉ½Ð du groupede Grothendieck EÍ±,��¥q� (pour les suitesexactes)vers legroupeattache au monoıde additif dessous-ensemblesconvexespolygo-nauxde Ó ¯.± . Enoutre É°Ðq��6'ª �H�'É½ÐÍ��6Â� .

C’est clair, comptetenude l’exactitudede

´ > ³ et de la propriete 5�Ð�Ý��desfiltrationsparlespentes. ô2.1.2.Lemme. La regle 6 �Ô H ��ú�ü ) ú*>��4É½ÐÍ��6Â�� s’etenden un homo-morphisme H É½Ð ö EÍ±,��¥Í� Ô qui determinecompletementla filtrationpar lespentes.

Noter quepar 1.1.4,tout indecomposable6 a uneseulepente,donneepar H É½ÐÍ��6Â��! C ¶ ·j��6Â� . Par Krull-Schmidt, il est alors clair que H É°Ðdeterminecompletementla filtration parlespentes. ô

10 YVES ANDRE

2.2. Filtrations de Hasse-Arf.

2.2.1.Definition. Une filtration de typeHasse-Arf- ou plus brievement:filtration de Hasse-Arf- estunefiltration par les pentestelle quetouslespolygonesdeNewtonsoienta sommetsdans I Ó .

Cetteproprieted’integralitejoueunroleessentieldanslasuite.Onnoteraquedansle casd’unefiltration deHasse-Arf,lespentesde tout objetsontdesnombresrationnels.

2.2.2.Lemme. Supposonsdonneeunefiltration par les pentes��5 ².³ � sur¥ . Lesconditionssuivantessontequivalentes:a) �45 ².³ � estunefiltrationdeHasse-Arf,b) pourtoutobjet 6 , la hauteurdupolygonedeNewtonde 6 estunentier.c) H É°Ð esta valeursdans J .d) pour tout objet irr eductible 6 , le produit de la pentede 6 par la di-mensionde 6 estunentier.

Demonstration. En vertude2.1.1, � � equivaut a l’int egralite du polygonede Newton desobjets irreductibles,ce qui se traduit indifferemmentparÌC�w@ + � ou Á � . ô

Noussuggeronsaulecteurdelire l’appendicepourvoir unemanifestationdela rigidite qu’imposecettecondition“combinatoire”dansle cassimpleou lespentes&�'$ sontnonentieres.

3. EXEMPLES DE FILTRATIONS DE HASSE-ARF

3.1. Representationsgaloisiennesfinies. Il s’agit de l’exemplede basequi justifie la terminologieprecedente.Soit E estun corpshenselienpourunevaluationdiscretea corpsresiduel� parfait d’exposantcaracteristique� . On adessuitesexactesB Ô / Ô ��K �'��E �� !"E � Ô ��.�� =�?� !#�*� Ô B

B Ô LãÔ / Ô M�N�OPRQTSVU � J N9Ô Bou L estun pro-� -groupe(donctrivial si � � B ). On a /'� � KWYX , ou E[Z �estl’henselisestrict de E .

On considereici ��Kï@4/ et L commeschemasen groupesprofinis con-stantssur ¦ , desortequelesobjetsde � )��ø �4�2K�� sontdesrepresentationsd’imagefinie pardefinition.

Soient � � ³ K þÍ�2K les groupesde ramificationde E en numerotationsuperieure(cf. [29]). Alors par le theoremedeHasse-Arf(et via la propo-sition 1.2.3), les groupes � � ³ K munissent� )��ø ��K�� d’une filtration deHasse-Arf.La hauteurdu polygonede Newton d’une representationW de


�2K s’appellele conducteurdeSwande W , cf. [19]. Le theoremedeHasse-Arf equivauta dire quec’esttoujoursun entierÕ .

Les groupes� ².³K sontaussiparfoisnotes � � ³]\ K . Notonsquele grouped’inertie � � ± K n’estpaspris encomptepar le formalismedesfiltrationsparlespentes: lespentesnedistinguentpasentreextensionsnon ramifieesetextensionsmoderementramifiees.

3.2. Representations % -adiques. Ici on prend ¦ � 3^ N ( % &� � ), et Ecommeci-dessus.On considerela categorietannakienne� )��`_Tacb�d ��K�!�3^ N �desrepresentations% -adiquesdu groupecompact��K , c’est-a-diredesre-presentationsdansun 3^ N -espacede dimensionfinie qui proviennentderepresentationscontinuesdefiniessur uneextensionfinie non preciseede^ N . On note � )��e_Tacb�d ��/�!\3^ N � la categorietannakiennequ’on obtientenap-pliquant le © -foncteur � )gfFh �`i . C’est une sous-categorie tannakiennede� )��e_Tacb�d ��/�! 3^ N � (si � estfini, on peutla voir commela sous-categoriedesrepresentationsadmettant“unestructuredeFrobenius”).

Lesgroupesderamificationde ��K definissentunefiltration deHasse-Arfsur � )��e_Tacb�d ��/\!\3^ N � , etudieeendetail dans[19].

Un argumentde compacite bien connumontreque L agit toujours atraversun groupefini (cf. [19, 1.10]). Une versiondu theoremede mono-dromie locale % -adiquede Grothendieck[32, App.] s’enonceainsi : sup-posonsque�Yj�� aucuneextensionfinie de � necontienttouteslesracinesdel’unit ed’ordreunepuissancede % . (C’estevidemmentle cassi � estfini).

Alors tout objetde � )�� e_Tacb�d ��/�!\3^ N � estquasi-unipotent, i.e. la restrictionde la representationa un sous-groupeouvert de / estunipotente(et agit atraversle facteurJ N del’inertie moderee).

Si e � estle groupetannakiensur 3^ N associe au foncteur“espacesous-jacent”,desorteque � )��`_Tacb�d ��/�! 3^ N � ÿ � )�� 0kml e � , ondeduitdecetheoremeque e �ìÿ� /onqp�9�@ e � ² ± ÿ � Lcomme 3^ N -groupesaffines.La filtration � e � � ³ � correspondevidemmentacellede / parl’isomorphismeprecedent.

3.3. Modules diff erentiels sur un corps local d’ egale caracteristiquenulle. Soit ¦ ��.�� un corpsde seriesformellessur un corps ¦ de carac-teristiquenulle. Soit 6rq�4¦ ��.��!O¦1� la categorietannakiennesur ¦ des¦ ��.��2Dtss � < -modulesde ¦ ��.�� -dimensionfinie.u

recemment,AbbesetSaitoont defini unefiltration parlespentessur v5wBx * ozy#{ �sans

l’hypotheseque | soitparfait [1], maisil n’estpasclair quecesoitunefiltration deHasse-Arf.

12 YVES ANDRE

La theorieformelle desmodulesdifferentiels(Turrittin, Levelt...) asso-cie fonctoriellementa toutobjetde 6�q�4¦ ��4�.��!O¦n� unefiltration selonlespentes,cf. [18, II]. La hauteurdu polygonede Newton d’un objet 6 de6rÍ��¦ ��.��!O¦1� s’appellel’ irr egularite (formelle)de 6 , cf. [22]. C’esttoujoursun entier(elle s’interpretecommeun indice).

Onobtientainsiunefiltration deHasse-Arfsur 6rÍ��¦ ��.��!O¦1� . Lastruc-turedesgroupes� � ³ estetudieeendetail dans[18, II].

Dansloc. cit. , Katzconstruitaussiuneextensioncanoniquedetoutobjetde 6�q�4¦ ��4�.��!O¦n� en un moduledifferentielsur } Ñ�~�� $|@ â�� , d’ou unfoncteurfibre canoniqueõ'ö 6rÍ��¦q��4�.��!O¦n� Ô W ),+2ø enprenantla fibreaupoint B .3.4. Modulesdiff erentielssur descouronnes� -adiques. Soit E uncorpslocal - ou plusgeneralementun corpsmaximalementcomplet× - d’inegalescaracteristiques.On note � le corpsresidueldecaracteristique� ¼UB .

Soit F � F�K < � l’anneau(integre)des fonctionsanalytiquesdansuncouronnenon circonferenciee :G��< >A@CB�D� de diametreinterieurnon preciseÝ .Soit 6rÍ�=F !OE � la categorie tannakiennesur E des F D ss � < -modulesdepresentationfinie sur F . On peutmontrerque tout tel moduleesten faitautomatiquementlibredetypefini sur F ([2, 2]).

On considerela sous-categoriepleine 6r�(f�=Fj!"E � de 6rÍ�=Fj!OE � for-meedesmodulesdifferentielssolublesvers le bord exterieur, i.e. dont lerayonde convergenceau point generiquede module � tendvers B avec � .Il est facile de voir que c’est une sous-categorie tannakienne,stableparextension.�

On doit a Christol et Mebkhout[10],[11, 2] la constructiond’une fil-trationde typeHasse-Arfsur 6r�(��Fj!OE � : la filtration par lespentes� -adiques.

Le facteur > ².³ ��6ì� estcaracterise par la propriete suivante: pour tout�JÆUB suffisammentprochede B , le rayondeconvergencedetoutesolutionde

´ > ².³ ��6Â� nonnulleaupointgeneriquedemodule� est � Ñ \ ³ .La hauteurdu polygone de Newton de 6 s’appelle l’ irr egularite � -

adiquede 6 . C’est toujoursun entier(elle s’interpretecommeun indice,fait beaucoupplusprofondquedansle casformel).�

L’un desprincipauxobjectifsde cet article estd’etudierles groupes� � ³ danscettesituation(en fait pour unesous-catgorietannakiennecon-venable).Toutefois,donnersensa cesgroupesn’est pasimmediatcar onnedisposepasa priori d’un foncteurfibre sur 6r�(f�=Fj!OE � . Nousauronsrecoursau procede suivant.Soit ¦ � 3E unecloturealgebriquede E , et�

i.e. tel quetouteintersectiondedisquesemboıtesnonvidesestnonvide.�Cetanneaudifferentielapparaıt danslestravauxdeRobba(e.g. [26, 2], [27, 3.11]).


posonsF 0K �ÀFU©�K 3E . Onvoit immediatementque E estalgebriquementfermedansF , donc F 0K estintegre.

Soit 6rÍ�=Fì0K ! 3E � la categoriedesFì0K Dtss � < -modulesdepresentationfiniesur F 0K . Tout objet de 6rÍ�=F 0K ! 3E � provient par extensiondesscalairesd’un objet de 6rÍ�=F ©3K�1P!t1\� pour une extension finie convenable1�!OE . On deduit de ce qui precedequ’il est libre sur F 0K . La categorie6rÍ�=F 0K ! 3E � esttannakiennesur 3E .

Onaunesous-categorietannakienne6r�(f�=F 0K ! 3E � formeedesmodulesdifferentielssolublesaubordexterieur. La filtration parlespentes� -adiquesn’estpassensibleauxextensionsfiniesdesscalaires,doncsetransportesansproblemeenunefiltration deHasse-Arfde 6r�(f�=F 0K ! 3E � .

Pour tout > «�<t$|@CB�D , soit 6rq��:G��< >A@CB�D��! 3Eó� la categorietannakiennesur3E desmodulesdifferentielsde presentationfinie sur � ��:G�=<?>A@CB�D� (commeci-dessus,un tel moduleestautomatiquementlibre sur � ��:G��< >A@CB�D� , cf. [2]).Soit 6rÍ�=F 0K ! 3E �B� �/�� < Ñ�� la sous-categoriepleinede 6rÍ�=F 0K ! 3E � formeedesobjets6 telsquetoutobjetdela sous-categorietannakienneÆÚ6 ¼ de6rÍ�=F 0K !�3E � engendreepar 6 proviennentd’objetsde 6rÍ��:G��< >A@CB�Dm��! 3E � .On voit immediatementque les 6rÍ�=F 0K ! 3E � � �/�� < Ñ�� forment un systemecroissantdesous-categoriestannakiennesde 6rq��F 0K ! 3E � .3.4.1.Lemme. 6rÍ�=F 0K ! 3E � estreuniondes 6�q��F 0K ! 3E �� < Ñ�� .Demonstration. Tout objet 6 de 6�q��F 0K ! 3E � provient d’un objet 6 �6rÍ��:G��< >A@CB�Dm��! 3E � pour > assezprochede B . Soit ÆÚ6 � ¼ la sous-categorietannakiennede 6rq��F 0K !�3E � � �/�� < Ñ�� engendreepar 6 � . Pour >1ÆÚ>AIyÆìB , onaalorsdes © -foncteursnaturelsexactsfidelesÆÏ6 � ¼ Ô Æ¾6 � � ¼ Ô Æ¾6 ¼�@qui permettentdeconstruire,apartir d’un foncteurfibrefixe õ sur ÆÚ6 ¼ ,desfoncteursfibrescompatiblesõ � sur les Æ 6 � ¼ . Cecidonnelieu a unsystemedecroissantùïú�ü ý õ � desous-groupesfermesde �21�� õ ��6ì�� . Un telsystemeestnecessairementstationnaire,et on a alors ùûú�ü ý õ ��ùûú�ü ý õ � ,donc ÆÏ6 � ¼ ÿ � ÆÏ6 ¼ , pour > assezprochede B . ô

Soit � b une suite de points de 3E ordonnes par valeurs absolues� � b � Æ B non decroissantestendantvers B . La sous-categorie tannaki-enne 6�q��F 0K ! 3E � � �� t� � < Ñ�� de 6rq��F 0K ! 3E � est neutralisee par le fonc-teur 5 b < 7 fibre en ��7 , pour n’importe quel

ê Î � . D’ailleurs, par latheorie tannakienne,5 b < 7 est isomorphea 5 b < b . On fixe un tel isomor-phisme.On noteprovisoirement� b < 7 le 3E -groupeaffine ùïú�ü ý 5 b < 7 . Ona donc un isomorphisme� b < 7�ÿ� � b < b . Commela restrictionde 5�7 < 7 a6rÍ�=F 0K ! 3E � � �/� � �� < Ñ�� n’estautreque 5 b < 7 , onaunepimorphisme��7 < 7 ÔÔ � b < 7 . Soit � b < 7 ö ��7 < 7 Ô Ô � b < 7 ÿ � � b < b l’ epimorphismecompose.On

14 YVES ANDRE

note � �ÒK ¶?·¸�¹ b � b < b le E -groupeaffine limite de ce systemeprojectif fil-trant d’epimorphismes.On a alorsun systemeinductif d’equivalencesdecategorietannakiennes6rÍ�=F 0K ! 3E �� /� � �� < Ñ�� ÿ� � )�� 0K � b < bet,enpassanta la limite, uneequivalence: 6rq��F 0K ! 3E � ÿ � � )�� 0K �n@ d’ouuneneutralisationde 6rÍ�=F 0K ! 3E � .�

Soient H un entier Î B , et � un automorphismecontinude 3E relevantl’automorphisme��Ô �#� W de 3� . Il y aun uniqueautomorphisme� -lineaire� Z de FÃ�µF�K < � tel que ��Ô �2� W . On dit qu’un objet 6 de 6rÍ�=F 0K ! 3E �admetunestructure deFrobeniusd’ordre H (resp.unestructuredeFrobe-nius)si ��Z 6 ÿ � 6 (resp.pour H nonprecise).

D’apresuntheoremedeChristol-Mebkhout(cf. [11,6]), lasous-categoriepleine 6r�5q��F 0K ! 3E � de 6rÍ�=F 0K ! 3E � formeedesobjetsadmettantunestructuredeFrobeniusestenfait unesous-categorietannakienne,stableparextension(ce theoremedevient d’ailleurs facile si on se limite a la sous-categoriede 6rÍ�=F 0K ! 3E � formeedesobjetssemisimples,cf. [2, 5.3. rem.a]). Par un argumentbien connudu a Dwork, 6r�5q��F 0K ! 3E � esten faitunesous-categoriede 6r�(f��F 0K ! 3E � . Insistonssurle fait queseulel’exis-tenced’une structure de Frobeniusestpriseen comptedansla definitionde 6r�5Í�=F 0K ! 3E � , etnonla structuredeFrobeniuselle-meme,i.e. le choixd’un isomorphisme�>�Z 6 ÿ � 6 .

3.5. En revanche,le formalismedespentesfrobeniusiennesattacheesaux5 -cristauxne rentrepasdansle formalismedesfiltrations par les pentesetudiedanscetarticle: d’unepart,lespentespeuventetrenegatives,d’autrepartlesconditions5�Ð�×d� et 5�Ð¢Ý2� nesontpassatisfaites.Enfait, ces“pentes”rentrentdansle formalismedeSaavedrades © -filtrations� .

4. INDUCTION ET INDUCTION TENSORIELLE

4.1. Rappels,cf. [20, 10.3]. Soitç

un groupe.Soit � ¡ b un sous-groupedu groupedespermutationsde � B#@&¢|@CÜCÜCÜ-@£� � . Le produit envolute ¥¤ ç

estle produitsemi-directde avecç b

, agissantparpermutationdesfacteurs; explicitement,�Ø«q �r¡ b agit par�>¦ Ñ � H Ñ�@CÜdÜCÜ�@ H b �V�½� � HR§ � Ñ @CÜCÜCÜ�@ H`§ � b ��Ü

Supposonsqueç

soit sous-grouped’indice fini � d’un groupe� . Alorsle choix d’un ensembleordonne ¨�Ñ�@CÜCÜCÜ�@�¨ b de representantsdesclassesa©

commemel’a fait observerJ.Sauloy, lespentesrencontreesdansla theoriedesmod-ulesaux ª -differencess’ecartentdememeduformalismedecetarticle(ets’apparententenfait auxpentesfrobeniusiennes).


droitemoduloç

definit un homomorphismeinjectif� Ô ¡ b ¤ ç ö ´ �Ô �R«QÜ?��¨ ¦ Ñ§&¬ � Ñ ´ ¨�Ñ2@CÜCÜdÜ�@�¨ ¦ Ñ§&¬ � b ´ ¨ b �w@ou �R« estla permutationdefinieparla conditionqueles ¨ ¦ Ñ§ ¬ � @ ´ ¨8@�« ç

.Cet homomorphismene dependqu’a automorphismeinterieurpres du

choixdes8@ .Fixons un anneaude base ù . Par ù -representationd’un groupe,nous

sous-entendonsquele ù -modulesous-jacentest libre de type fini. Soit Wune ù -representationde

ç. Alors on munit W b d’une representationdu

produitenvolute ¡ b ¤ ç enposant�� ¦ Ñ Ü?� H Ñ�@dÜCÜCÜ�@ H b ��#Ñ2@CÜCÜCÜ�@£ b �9� � HR§ � Ñ § � Ñ @CÜCÜCÜ-@ HR§ � b § � b ��ÜSarestrictiona � estune ù -representationde � , appelee induitede W , etnotee ®¯�-Á �° ��Wn� .

Dememe,onmunit W ý b d’unerepresentationde ¡ b ¤ ç enposant��>¦ Ñ Ü?� H Ñ�@dÜCÜCÜ�@ H b ��#Ñ�©'ÜCÜdÜA©± b �9� HR§ � Ñ § � Ñ ©'ÜdÜCÜ,© HR§ � b § � b ÜSarestrictiona � estune ù -representationde � , appeleetenseur-induitedeW , et notee ý ®¯�-Á �° ��W1� .

Cesconstructionssontcompatiblesa tout changementdebaseù Ô ù I ,et sontfonctoriellesen W .

4.2. Quelquespropri etes,cf. [4, 3.3,3.15], [20, 10.3].

1) � )gf °� D�®¯�-Á �° ��W ��< ÿ� ¨ @ P b@ P Ñ³² ß W;@´� )gf °� D ý ®¯�-Á �° ��W ��< ÿ� © @ P b@ P Ñ³² ß W ,ou ² ß Wµ�o¨8@|©¾W estla representationconjugueede W par ¨8@ .2) Si

çestnormaldans� , onaun isomorphismecanonique®8��Á �° ��W1�-©3µ¶®8��Á �° �B· � ÿ � ¨ @t®¯�-Á �° � ² ß WÀ©3µ¸·ã�

Cetteproprieteseprouveal’aidedutheoremededecompositiondeMackey,cf. [4, 3.3.5].En iterant,on trouve

�B®¯�-Á �° ��W1�� ý b ÿ � ¹@»º <½¼½¼½¼¾< @ �]¿ º ®¯�-Á �° �� ÀG P Ñ <½¼½¼½¼ b ¦ Ñ ² ß E W1�-©¾W1�dont ®¯��Á �° �B� )gf °� � ý ®¯��Á �° ��W1�� estunfacteurdirect.Si � estinversibledansù , ý ®¯��Á �° ��W1� estfacteurdirect de cedernier � -module([4, 3.6.9]),doncfacteurdirectde �B®¯�-Á �° ��W1�� ý b .

3) Soitç I unsous-grouped’indice � d’un groupe� I . Soient� ö � Ô � I

unhomomorphismedegroupesinduisantunhomomorphismeÁ ö ç Ô ç Iet un isomorphisme��! ç Ô � I ! ç I . Choisissonsdesrepresentants8@4@�¨ I@compatiblesqui secorrespondentsous � . Soit W�I une ù -representationde

16 YVES ANDREç I , etnotonsÁÂ�d��W I � la representationdeç

(demememodulesous-jacent)via Á .

Alors onadesisomorphismescanoniques

®8��Á �° ��Á � ��W I �� ÿ � � � �B®¯��Á � �° � ��W I ��w@ ý ®¯�-Á �° ��Á � ��W I �� ÿ� � � � ý ®¯�-Á � �° � ��W I ��ÜCetteproprieteseprouveendeuxtemps.Si � estsurjectif,le resultatest

immediat(voir aussiloc. cit. 10.3.2.(4)).Si � est injectif, cela resultedutheoremedeMackey, dansle casd’uneseuledoubleclasse(etdesaversionmultiplicative,cf. loc. cit. 10.3.3).Le casgenerals’obtientparcomposition.

4.3. Variante “alg ebrique”. La propriete 3) ci-dessusjointe a la compat-ibilit e de l’induction et de la tenseur-inductiona tout changementde baseù Ô ù I permetde transposercesconstructionsdu cadredesgroupesab-straitsaucadredesschemasengroupesaffines.

Plusprecisement,soient � un schemaen groupesaffine sur ù etç

unsous-schemaen groupesferme tel quele quotient ��! ç

soit representableparun ù -schemafini constantderang � (i.e. par ��( �*),+ ù�� b ). Alors a touteù -representationW de

ç, on peutattachersoninduite ®8��Á �° ��Wn� (resp.sa

tenseur-induite ý ®¯�-Á �° ��W � ) qui estune ù -representationde � de modulesous-jacentW b (resp. W ý b ). Lesproprietesci-dessusvalentencoredanscecadre.

Dansla suite ¦µ�Àù seraun corpsdecaracteristiquenulle.

Si W estunerepresentationsemisimpledeç

, ®¯�-Á �° ��Wn� et ý ®¯�-Á �° ��W1� sontalorsdesrepresentationssemisimplesde � (cf. loc. cit. 10.3.4).

4.4. Le cas normal. On supposeen outre queç

est normal dans � , eton identifie le groupequotient ��! ç

a un ¦ -sous-groupeconstantde ¡ b .On peutdoncidentifier � a un sous-groupeferme de ��! ç ¤ ç �Ã¡ b ¤ ç .Notonsque l’application

´ �Ô �R« « ��! ç �Ä¡ b de 4.1 n’est autrequel’action partranslationagauchede � sur ��! ç

.

Onnoteaussiç

l’imagedeç Ô �21��W1� , 3� l’imagede � Ô �21��W b �

(representationinduite), 3ç l’image deç

dans 3� , ý 3� l’image de � Ô�Å1��W ý b � (representation© -induite),et enfin ý 3ç l’imagedeç

dans 3� .

4.4.1.Lemme. a) On a desplongementsnaturels

3�Âò Ô ��! ç ¤ ç @ ý 3�ìò Ô ��! ç ¤ ç Üb) Si C ¶?·�W ÎìB (resp.C ¶ ·ÖW ¼'B ), cesplongementsinduisentdesisomor-phismes 3��!�3ç ÿ� ��! ç

(resp. 3��!�3ç ÿ� ý 3��! ý 3ç ) ;


c) On a destrianglescommutatifsnaturelsd’epimorphismes� ¹�Ô 3� ç ¹�Ô 3çÆ Ç Æ Çý 3� ý 3ç Ü

Demonstration.a)estimmediat.b) suit decequesi C ¶ ·�W�ÎðB (resp. C ¶?·�W ¼ B ), l’action de ¡ b sur W b(resp.W ý b ) parpermutationdesfacteursestfidele.c) resultedeceque ý ®¯�-Á �° ��W � estfacteurdirectde �B®¯�-Á �° ��W1�� ý b . ô4.5. Un cas particulier. Supposons

çsimpleÈ , et supposonsque ��! ç

soit le groupecyclique N a % elements,avec %f�� premier. Rappelonsquedansle produitenvolute N ¤ ç , N agit sur

ç Nparpermutationcirculaire

desfacteursç

. Notons � @�@ � @�G les projectionsdeç N

sur le ¿ -emefacteur(resp.surle produitdes¿ -emeet É -emefacteurs).

Commenc¸onsparunevariantedu lemmedeGoursat.

4.5.1.Lemme. Soitç I un sous-groupeferme de N ¤ ç contenudans

ç N,

stablesousl’action interieurede N , et tel que� Ñd� ç I �9� ç. Alors

ç I � ç Noubien

ç I estungroupedela forme� � H �r�HÑC� H �w@F��Ó,� H �w@dÜCÜCÜ�@F� N � H �� H « ç � ÿ � çou les �ÊG sontdesautomorphismesde

ç.

Demonstration.La stabilitedeç I sous N entraıneimmediatementqueles� GA� ç I �H� ç

pourchaqueÉ . D’apresle lemmedeGoursat,� ÑËG estsurjectivea moinsque � ÑËG"� ç I � nesoit le graphed’un automorphisme�ÊG . La stabilitede

ç I sousle groupesimple N entraınequececiarrivesimultanementpourtout É½&�ãB , ou n’arrivepouraucunÉé&�ãB . ô

On supposeWÖ&�'$ .

4.5.2.Proposition. a) Sousles hypothesesprecedentes,on est dansl’undesdeuxcassuivants:Cas I) 3� �Ì N ¤ ç

(produit en volute); sesseulssous-groupesfermesnormauxsont BO@ ç N @ 3� .CasII) 3�Â�Í N Ü ç (produit semi-direct); si le produitn’estpasisomorphea un produitdirect,sesseulssous-groupesfermesnormauxsont BO@ ç @ 3� .

Danslesdeuxcas,il n’y a pasdechaınedesous-groupesfermesnormauxde 3� delongueur ¼oÎ ( B et 3� etantcompris).

b) Si C ¶?·ÖW ¼'B , ona 3�Â� ý 3� . Dansle casI), si W estunerepresenta-tion absolumentirr eductiblede

ç, alors ý ®¯��Á �° ��W � estunerepresentation

absolumentirr eductiblede � (etmemedeç

).Ïi.e. n’admettantaucunsous-groupefermenormaldistinctde Ð et delui-meme.

18 YVES ANDRE

Demonstration.a) On saitque 3��! 3ç ÿ � N (lemme4.4.1).Donc 3ç estunsous-groupefermede N ¤ ç stablepar N . Dela formule � )gf °� D�®8��Á �° ��W1��< ÿ�¨ ² ß4W , on deduitque � Ñd� 3ç �� ç

. On deduitdu lemmeprecedentqu’onestdansl’un descasI) ou II). Soit � I un sous-groupeferme normalnontrivial de 3� . Alors

ç I � � I � ç Nestun sous-groupeferme normalnon

trivial de 3ç stablesousl’action interieurede N . Commeç

est simple,� Ñd� ç I � � çou B . On terminela classificationdessous-groupesfermes

normauxenappliquantdenouveaule lemmeprecedent.b) Montronsquel’on nepeutavoir simultanement 3ç � ç N

et ý°3ç � ç,

ou vice-versa.La secondepossibilite estexclue par le point + � du lemme4.4.1: on a un epimorphisme 3ç Ô Ô ý 3ç . Cepoint et le lemmeprecedentexcluent en fait aussila premiere possibilite : en effet, le noyau

ç N Ôý 3ç � çseraitun sous-groupeferme normalde

ç N( &� B#@�&� ç N

), stableparpermutationcirculairedes% facteurs,cequi estimpossible.

Pourla derniereassertiondeb), onremarquequesi W estunerepresenta-tionabsolumentirreductiblede

çdedimension¼ÈB , � )gf °� D ý ®¯�-Á �° ��W1��< ÿ �© ² ß W estunerepresentationabsolumentirreductiblede

ç N. ô

Remarquonsquecommeç

estsimple, le groupedesautomorphismesexterieursÊ�ú�ü2� ç � estfini (si

çestinfini, c’estun theoremeclassiquesur

lesgroupesalgebriquessemisimples).

4.5.3.Lemme. Placons-nousdansle casII) de la propositionprecedente.Supposonsenoutreque % nedivisepas

� Ê�ú�ü2� ç � � . Alors Wãÿ� � )gf °� �B· �9�� )gf 0° 0� �B· � pour unerepresentationabsolumentirr eductibleconvenable·de 3� , et 3� estisomorpheau produitdirect N n ç

.

Demonstration.L’hypotheseentraınequel’action N9Ô ùïú�ü2� ç � definissantle produit semi-directs’effectueparautomorphismesinterieurs,doncpro-vient d’un homomorphisme NfÔ ç

puisqueç

estsimple.On peutdoncenrichir la representationW en une representation· de 3� (absolumentirreductibletout comme W ) via NïÔ ç

, dont l’image n’estautrequeç

.Quitte a composercet homomorphisme3� Ô Ô 3ç � ç

avec un automor-phismede 3ç , onobtientuneretractionde 3ç ò Ô 3� . ô

5. UN THEOREME DE STRUCTURE POUR LES FILTRATIONS DE

HASSE-ARF

Dansl’exempleclassiquedesrepresentationsgaloisiennes,l’efficaciteduformalismedesgroupesderamificationvient engrandepartiede la possi-bilit edefaireuneextensionfinie ducorpsdebase(lemmedeHerbrand,etcÜCÜCÜ ). Enparticulier, pouruneextensionmoderementramifiee 1�!OE d’indicederamification� , on a � � b ³ Ñ �'� � ³ K � � Ñ .


NousallonsadapterunepartiedeceformalismedechangementdebaseaucasdesfiltrationsdetypeHasse-Arfabstraites.

5.1. Cadre.�Onfixeunensemble} denombrespremiers(eventuellementvide).On

supposequel’ensemble} I desnombrespremiersn’appartenantpasa } estinfini. On pose ÒJ �ÔÓ � � M�N£ÕÖ Ó J N .�

On sedonneun groupeprofini / . On supposeque / s’inscrit dansunesuiteexacte B Ô×LãÔ / Ô ÒJ �ÔÓ � Ô Bou L estun pro-} -groupeØ . (En pratique,/ serale grouped’inertie d’uncorpshenselienE pourunevaluationdiscretea corpsresiduel� parfait, desorteque

� } � �À$ ou B ; si } estvide, L esttrivial.)Tout sous-grouped’indice fini de ÒJ �+Ó � , en particulier l’image de tout

sous-groupeouvert Ù de / , estdela forme �ÊÚHÜ ÒJ �+Ó � , donccanoniquementisomorphea ÒJ �ÔÓ � . Pourtout � premiera } , la preimagede � ÒJ �+Ó � dans Ùestnotee Ù � b , de sorteque Ù\!8Ù � b ÿ � JG!t�:J . Noter quesi Ù estnormaldans / , Ù � b l’est aussi(commeintersectionde Ù et de la preimagede�Ê�ÊÚ ÒJ �+Ó � ).�

Soit ¦ � 3¦ un corpsalgebriquementclosdecaracteristiquenulle.Onconsidere/ comme¦ -schemaengroupesaffineconstant,dememequesessous-groupesouverts.

On sedonneun epimorphismede ¦ -groupesaffines� Ô Ô /�ÜPourtout sous-groupeouvert normal Ù þ\/ , on pose�2Úó� ��n h Ù . Pourtoute inclusion Ù�I � Ù de sous-groupesouvertsnormauxde � , on noteÛ Ú � Ú ö �2Ú � � �2Ú l’inclusion correspondante.Onadoncunsystemeinductifdecategoriestannakiennesneutralisees

� )�� ø � Ô ÜCÜdÜ Ô � )��ø �ÅÚ4ÜÞÝß � ß P`à ��á ß �á ßÔ � )�� ø �ÅÚ � ÜCÜCÜindexe par les sous-groupesouvertsnormauxde / . On a par ailleursdesfoncteurs®¯�-Á � ß� ß � et ý ®¯�-Á � ß� ß � qui vontdansl’autresens.

On peut identifier � )��ø Ù (resp. � )��ø ÒJ �ÔÓ � ) a la sous-categorietanna-kiennede � )�� ø �ÅÚ formeedesrepresentationsW tellesque Û �Ú � Ú ��W1� (resp.Û �Ú � � � Ú ��Wn� ) soit isomorphea §¯â�ã ä4å pour Ù I convenable(resp.pour � pre-mier a } convenable).æ

Une telle suiteexactesescindepour raisonde cardinalite (cf. [31, 5.9.cor. 1]), maispeuimporteici.

20 YVES ANDRE�Enfinonsupposeles � )��ø �ÅÚ muniesdefiltrationsdeHasse-Arf��5 ².³ �

avec lesconditionsdecompatibilite suivantes: pour tout Ù (normal),toutT , et tout � premiera } , èQê � Ñ2�Ö5 ² b ³èç Û �Ú � � � < Ú � Û �Ú � � � < Ú ç 5 ².³ @ èQê � Ód� il existeuneequivalencedecategoriestannakiennes� Ú � � � < Ú ö � )��ø �ÅÚ ÿ � � )��ø � Ú � � �

compatibleauxfiltrationsdeHasse-Arfé .5.1.1.Remarque. En termesdesfiltrations �� ³ Ú � attacheesauxfiltrationsdeHasse-Arfet par le dictionnairetannakien,cesconditionss’ecriventdemaniereequivalente:

èQê � I Ñ � Û Ú � � � < Ú �4� � b ³ Ú � � � �H�'� � ³ Ú , èQê � I Ó � il existe un isomorphisme� Ú � � � < Ú ö � Ú � � � ÿ � �2Ú envoyant� � ³ Ú � � � sur � � ³ Ú .

(Heuristiquement,cesdeux conditionssont les machoiresd’un etauquiforcel’existencedepentesfractionnaires,deslors qu’il y a despentesnonnulles.)

5.2. Le theoremedestructure. Rappelonsqu’uncaractered’un ¦ -groupeaffineestunhomomorphismedecegroupeaffineversp�7 (oucequi revientaumeme,unerepresentationdedimensionB sur ¦ ). Rappelonsaussiqueleradicalestle plusgrandsous-groupefermenormalconnexepro-resoluble.

Pourunerepresentationde � ou �2Ú , nousemploieronsdemaniereinter-changeablelesexpressions“moderee” et “depente$ ”.

5.2.1.Theoreme. a) On fait leshypothesessupplementairessuivantessurlescaracteresde �2Ú , pour tout sous-groupeouvertnormal Ù de / :ê Ñ�� tout caractered’ordrefini de �2Ú provientd’un caracterede Ù ,ê Ó�� tout caractere modere d’ordre fini de �2Ú provient d’un caractere duquotient ÒJ �+Ó � de Ù , et reciproquement,ê Õ�� touterepresentationirr eductiblemodereede �2Ú estdedimensionun,i.e. estun caractere.

Alors leshomomorphismescanoniques��!)� ��Áy�� Ô×ë ±A�4�1� Ô /sontdesisomorphismes.Deplusle sous-groupesauvage � ² ± estextensiondu pro-} -groupe L par un groupepro-resolubleconnexe, et le quotientì

on n’imposeaucunerelationentreí�îï8ð�ñ�ò¾ó ï et ôËîï8ð½ñ�òËó ï .


modere ��± � ��!"� ² ± estextensiondu pro-} I -groupe ÒJ �+Ó � par un groupepro-resolubleconnexe.

b) On supposeenoutreque¦Å� ü�� pour toutê

, il existeau plus uneclassed’isomorphismed’exten-sionsitereesÉ27 de § dedimension

êdans� )��ø � ,®¯�-Á � toutobjetindecomposablede � )��ø � estdela forme W ©óÉ27 , ou W

estirr eductible.

Alors la composanteneutre de � ² ± estun pro-tore, et ��± estun groupedontla composanteneutre estun pro-tore, ou bienle produit de pè9 par untel groupe.

c) Enfin,si deplusê ×d� tout caracterede �2Ú estd’ordrefini,

alors � ² ± ÿ� L @ et � ÿ � / ou /õnöp�9 .Demonstration.a)Nousprocedonsencinqetapes,dontlesprincipalessont2) et 4).

1) Examinonsd’abordl’ epimorphismeë ±A�� Ô Ô / . Pourmontrerquec’estun isomorphisme,il suffit demontrerquepourtouterepresentation�ou � agit a traversun groupefini, � agit enfait a travers/ .

Notons � à le groupefini ® ê �� Ô �Å1�� . Le systeme des sous-groupes� à Ú de � à (indexeparle systemeordonnefiltrant dessous-groupesnormauxouverts Ù de / ) est stationnaire.Fixons Ù pour lequel � à Ú estminimum.Il s’agit devoir que � à Ú �µB .

Supposonsle contraire,et soitç

un quotientsimple de � à Ú . Alors lafiltration de

çparlesimagesdes� ².³Ú n’a qu’unsaut,cequi entraınequeles

irreductibles&�Ò§ de la sous-categorie � )��ø çde � )��ø �2Ú sontpurement

d’unepenteT (qui peutetrenulle).Nousallonsmontrerqueç

estabelien.Le casde pente $ resultede l’hypotheseê Õd� . On va doncserestreindre

aucas TË&�Â$ . Par la vertudesfiltrationsdeHasse-Arf,le nombreT�Ü C ¶ ·÷Westun entier ¼¾$ .

2) Siç

est non-abelien, il existe une representationirreductible W dedimension¼'B ; elle estfidelepuisque

çestsimple.

Soit % unnombrepremier «[}�I nedivisantpas� Ê�ú�ü2� ç � � , ni C ¶?·�W niT�Ü C ¶ ·ÒW (les“cotes” du polygonedeNewton). Il enexistepuisque} I est

infini.Gracea èQê � Ód� , commenc¸ons par transferer le problemesur Ù � N au

moyen de � �Ú � l � < Ú . On voit doncç

commel’image deç � � Ú � l � dans�Å1��W1� .

Consideronsla representationinduite ®¯�-Á � ß° ��W � . Onestdansla situationd’applicationde 4.5.2et 4.5.3,dont on reprendles notations(avec �2Ú au

22 YVES ANDRE

lieu de � ). Dansl’un oul’autredescasI), II), il n’y apasdechaınedesous-groupesfermes normauxde 3� de longueur ¼÷Î ( B et 3� etantcompris).Il suit que la filtration de 3� par les imagesdes � ².³ au plus deux sauts.On a Û �Ú � l � < Ú �B®¯�-Á � ß° ��W1��qÿ� ¨ ² ß�W , d’ou l’on deduit par èQê � Ñ�� que Ty!Q%estl’un d’entreeux.Quantauxrepresentationsde 3� sefactorisantpar N ,leur restrictiona

çest triviale; donc, toujourspar èQê � Ñ2� , l’autre saut

est $ . Autrementdit, dansla categorietannakienne� )��ø 3� engendreepar®¯�-Á � ß° ��W � , on nerencontrequelespentesTy!Q% et $ ; ona 3� � ³ Õ�N � 3ç .Examinonsle casI) de 4.5.2 : l’objet ý ®¯�-Á � ß° ��W1� de � )��ø 3� estalors

irreductiblede dimension ¼åB . Par ê Õ�� , sapenteestdoncnon nulle. Ellevaut donc Ty!Q% . Comme % ne divise ni C ¶?·ÖW ni T�Ü C ¶ ·ÖW , donc pasnonplus T�Ü C ¶ ·À� ý ®¯��Á � ß° ��W1��9�ÈT�Ü?� C ¶?·�W1� N , c’estimpossiblepar2.2.2.

Examinonsle casII) : l’hypotheseque %1& � Ê�ú�ü2� ç � � entraıneque W estdela forme � )gf 0° 0� �c·ã� , pourun objet · irreductiblede � )�� ø 3� dedimension¼åB , cf. 4.5.3.Par ê Õd� , la pentede · estdoncnon nulle. Elle vaut doncT�!A% . Or c’estimpossiblepar2.2.2puisque% & � T�Ü C ¶?·ø· �ÃT�Ü C ¶?·�W .

3) On tire decequi precedequeç

esten fait cycliqued’ordrepremier.Il endecoulequela representationirreductibleW estdedimensionB . L’hy-pothese ê Ñ�� contreditalors le choix initial du sous-groupeÙ . On conclutquel’homomorphismeë ±A�� Ô / estun isomorphisme.

4) Examinonsa presentl’ epimorphisme��!)� ��Á��4�1� Ô Ô ë ±A�� . Pourmontrerquec’estun isomorphisme,il suffit demontrerquepour toutere-presentation� ou � agit a travers ��!)� ��Áy�� , � agit en fait a traversungroupefini.

D’apres l’ etapeprecedente,on sait qu’il existe un sous-groupeouvertnormal Ù÷þ\/ tel quel’image de �ÅÚ dans�21�� Û �Ú < h �� soit connexe. Quittea remplacer/ par Ù , on peut donc supposerl’image de � dans �21��connexe.Il s’agit devoir qu’elleesttriviale.

Supposonsle contraire,et soitç

un quotient simple de cette image.Puisque

çest simple, la filtration de

çn’a qu’un cran,ce qui entraıne

quelesirreductibles&�ã§ dela sous-categorie� )�� ø çde � )�� ø � sontpure-

mentd’unepenteT (qui nepeutetrenulle envertude ê Õ�� ). Commeç

estnon-abelien(puisque� ��Áy�� agit trivialement),il existeunerepresentationirreductible W dedimension¼ðB ; elle estfidelepuisque

çestsimple.La

suitedela demonstrations’effectuecommeen2), et meneaunecontradic-tion.

5) On conclutdecequi precedequela suite

B Ô � ��Á��4�1� Ô � Ô / Ô Bestexacte,cequi prouve la premierepartiedel’assertion� � .


Passonsa la secondepartiede �� . Le radicalduquotientmodere ��± n’estautrequel’imageduradicalde � . Onendeduitque��±�!t� �.Áy�4��±d� s’identifieauquotientde / parl’image /f² ± de � ² ± dans/ .

TouterepresentationW de � provenantd’unerepresentationdu quotient��±w!)� ��Á��4��±2� estsemisimpleet d’imagefinie. Par ê Õ�� , elle estsommedi-rectedecaracteresmoderesde � . Soit W unerepresentationirreductiblede��±w!)� ��Á��4��±2� . Par ê Õ�� , cetterepresentationprovient d’un caracteremodere(d’ordrefini) de � , qu’on peutidentifier a descaracteres(d’ordre fini) de/�!2/f² ± d’aprescequi precede.Onconclutalorspar ê Ó2� que/\!�/�² ± � ÒJ �ÔÓ � ,doncque/f² ± � L . Ceciacheve la preuvedea).

b) L’hypothese¦2� ü�� entraınequelessommesfiniesd’extensionsitereesde § formentunesous-categorietannakiennede � )��ø � isomorphea W ),+�øou a � )��ø p�9 . L’hypothese®¯�-Á � impliquequetouterepresentationde � estsommedirectefinie d’une representationdu quotientde � parsonradicalunipotent,tensoriseeavecuneextensionitereede § , d’ou le resultatpar ledictionnairetannakien,encombinantavec �� .

c) Comptetenudecequi precede,il suffit demontrerquesousla condi-tion ê ×�� , le radicalde � coıncideavecle radicalunipotent.Or cecisetestesur lesquotientsdedimensionfinie de � . On seramenecommeaupas4)aucasou cesquotientssontconnexes.L’assertionestalorsclaire. ô

5.3. Premiers exemples.1) Dans l’exemple3.1 desrepresentationsga-loisiennesd’un corpsstrictementhenselien, èAê � Ñ�� et èQê � Ó2� sont sa-tisfaitesde memequetoutesles conditionsdu theoreme,maisce derniern’apporterien : �ì� / .

2) Dansl’exemple3.2desrepresentations% -adiqueslocales,le theoremes’appliquepour e � maisil nedonneriendeplusquele theoremedemono-dromielocale % -adiquedeGrothendieck,d’ailleursequivalenta la conditionê ×d� danscettesituation.

3) Dansl’exemple3.3desmodulesdifferentielssur ¦ ��.�� , on retrouveunepartiedesresultatsdeKatz [18]. Voici comment.

On prendpour / le groupede Galois absolude ¦ ��.�� (qui coıncideavec le grouped’inertie puisque¦ estsuppose algebriquementclos; on a}Â��ù ). On adonc/ ÿ � ÒJ , et toutouvert Ù estdela forme / � b ÿ � ÒJ .

Soit õ le foncteurfibre canoniquedeKatz sur 6rq�4¦ ��.��!O¦1� (cf. 3.3),et posons�µ�'ùïú�ü ý õ . Commecefoncteurestconstruitcommela fibre en

24 YVES ANDREB del’extensioncanonique,onaun carre commutatifpourtout �Û¼Ú$6�q�4¦ ��4� Ñ Õ b ��!O¦1� úÂûP¹Q¹*¹CÔ � )�� ø � h � � �

ý`ü �Ô�½ý �Ô� ø �?�� ºzþ � ?Vÿ�� Ü Ý� � � � � ÿ��6rq�4¦ ��.��!O¦1� úÂûP¹Q¹*¹CÔ � )��ø �ÍÜLa sous-categoriede 6rÍ��¦ ��.��!O¦1� formee des objetsqui deviennenttriviauxparramificationkummerienne� �Ô � b d’ordre � nonprecise s’en-voie sur � )��ø / , et correspond,dualement,a un epimorphisme� Ô / .Il est bien connuqu’une telle ramification Û �h � � � h multiplie les pentespar� ([18, 2.2.11.2]).Le changementde variable � �Ô � Ñ Õ b induit un iso-morphisme6rÍ��¦q��4�.��!O¦n� ÿ� 6rÍ��¦q��4� Ñ Õ b ��!O¦n� decategoriestannaki-ennescompatibleaux filtrations par les pentes,qui se transporteen uneequivalence�8�h � � � < h . Enfin, lesconditionsê Ñ2�w@ ê Ó��@ ê Õ��w@�¦Å� ü��w@£®8��Á � du theo-remesontsatisfaites(maispas ê ×C� ).

Comme } estvide, le theorememontreque � ² ± estun pro-tore(con-nexe).Dans[18, 2.6.5],Katz identifiesongroupedescaracteresaugroupeabelien ¦q��4�.��!O¦JD�D �Q<?< .

6. LE CONTEXTE � -ADIQUE

6.1. Nousnousplaconsmaintenantdanslecadre3.4desmodulesdifferen-tiels sur des couronnes� -adiques.Nous allons commencerpar montrercommentil semouledansle cadre5.1.�

On prendpour / le grouped’inertie du corpslocal 3�-��.�� ou 3� estlecorpsresiduel(algebriquementclosdecaracteristique� ) de 3E , etpour L legrouped’inertie sauvage.Ona donc }Â� � � � .�

On prend¦µ� 3E . Consideronsdenouveaule foncteurfibreõ � õ h ö 6rÍ�=F 0K ! 3E � Ô W ),+ 0Kconstruiten 3.4, attache a une suite de points � b fixee. En posant � �ùïú�ü ý õ , õ induit doncuneequivalencedecategoriestannakiennes6rÍ�=F 0K ! 3E � Ô � )�� 0K �ÍÜPosons

� � � ùïú�ü ý õ � �� i Õ 0K @ e � � ùïú�ü ý õ � �� e ��i Õ 0K . On a alorsdesepimorphismescanoniques� Ô Ô � � Ô Ô e �n@etdesequivalencesdecategoriestannakiennescompatibles6r�(��F 0K !�3E � Ô � )�� 0K � �Í@ 6r�5Í�=F 0K !�3E � Ô � )�� 0K e �nÜLafiltration parlespentes� -adiquessetransporteenunefiltration deHasse-Arf de � )�� 0K � � (et desasous-categorietannakienne� )�� 0K e � ).


6.2. Construisonsa presentun epimorphismee � Ô Ô / . Cela revient aconstruireunesous-categorietannakienne

6r�5Í�=F 0K ! 3E � h � 6r�5q��F 0K ! 3E �tellequelegroupedes© -automorphismesde õ restreintacettesous-categories’identifiea / .

Pournousraccrocherala litt eraturesurcesujet[16][23][24][34][35][36],noussupposeronsdesormaisque E esta valuationdiscrete.

Il decoulede cettehypotheseque le sous-anneau7H8n�®7 8K < � de F desfonctionsqui sontborneesversle bordexterieurestenfait un corps.C’estmemeun corpshenselien(muni dela normesup),decorpsresiduel�-��.�� .Touteextensionfinie separablede �-��4�.�� estdela forme � I ��4� I �� etsereleveenuneextensionfinie nonramifiee 7 8K � < � � de 7 8K < � . Onprendragardeacequel’ equationliant � I a � estengeneralfort complexe; onpeuttoutefoischoisir,et nouschoisirons,� I desorteque � soit un polynomesanstermeconstanten � I .

A touteextensionfinie separable� I ��4� I ��!#�-��.�� , il corresponduneex-tensionetalefinie F�K � < � � de F�K < � de memedegre. En passanta la lim-ite, on associea touteextensionfinie separablede 3�� - c’est-a-dire atout sous-groupeouvert Ù � / - uneextensionetalefinie F 0K < � ß de F 0K < �de memedegre. Une telle extensiona unestructurecanoniqued’objet de6rÍ�=F 0K ! 3E � , et appartienten fait a 6��5Í�=F 0K ! 3E � (l’automorphisme�de F 0K < � seprolongeenun automorphismede F 0K < � ß encorenote � ).

La sous-categorietannakienne6r�5q��F 0K ! 3E � h estformeedesobjetsde6r�5q��F 0K !�3E � qui deviennenttriviauxparpassagede F 0K < � a F 0K < � ß , pourune extension F 0K < � ß attachee commeci-dessusa un sous-groupeouvertnormal Ùóþ;/ nonprecise.

Onpeutaussiprocederenassociantatoutobjet W de � )�� 0K / (onrappellequ’il s’agit de representationsfinies) un objet 6 ��WÍ� de 6r�5q��F 0K !�3E � hdefini par

6 ��WÍ�H� �=F 0K < � ß © 0K Wn� h(admettantla structuredeFrobeniusinduitepar � ), cequi donnelieu a un© -foncteur, dontun quasi-inverseestdonnepar

Wq��6Â�9� ��F 0K < � ß © ��i� ý 6Â� � ÜCedernierestcanoniquementisomorpheala restrictionde õ a 6r�5Í�=F 0K ! 3EØ� h(via lesoperations“fibre en � b ”).6.3. Pourtout sous-groupeouvertnormal ÙóþG/ , posons

�2Ú½�À� n h Ù�@ e �ÅÚ°� e � n h ÙPÜ

26 YVES ANDRE

Nousallonsmunirchaque� )�� 0K e �2Ú d’unefiltration deHasse-Arf,detellesortequelescompatibilites èAê � Ñ2�w@D èQê � Ó�� soientsatisfaitesÑ�± .

Soit Ù�I � Ù un autre sous-groupeouvert normal de / . L’operation© ��i ý ß F 0K < � ß � definit un © -foncteurexact

É �Ú � Ú ö 6rq��F 0K < � ß ! 3E � Ô 6rÍ�=F 0K < � ß � ! 3E �w@qui serestreintenun © -foncteurexactencorenote

É �Ú � Ú ö 6r�5Í�=F 0K < � ß ! 3E � Ô 6r�5Í�=F 0K < � ß � ! 3E ��@ cf. [34, 3.2]ÜLa sous-categorietannakiennede 6�q��F 0K < � ß !�3E � formeedesobjetsqueÉ �Ú � Ú trivialiseestcontenuedans 6r�5Í�=FÂ0K < � ß ! 3E � etequivalentea � )�� 0K Ù\!8Ù�I(via õ Ú ).

Prenonspour ��=Ú < b � unesuitede pointsde 3E ordonnespar valeursab-solues

� � b � Æ'B nondecroissantestendantvers B , et telsque ��Úö�Ô � envoie��Ú < b sur � b pour tout � assezgrand(c’estpossible,puisque� ��Ú � �Ô � � � est

nondecroissanteauvoisinagede B ). Consideronsle foncteurfibreõ Ú ö 6rÍ�=F 0K < � ß ! 3E � Ô W ),+ 0Kattache commeen3.4 a cettesuitedepoints.Soncompose avec É8�Ú h n’estautreque õ .

L’action du groupefini /\!¯Ù sur F 0K < � ß induit une action de /\!¯Ù sur6rÍ�=F 0K < � ß ! 3E � par auto-© -equivalences.L’argumentdesdroitesdeKatz[18, 1.4.5]s’appliquedansnotrecontexteÑ�Ñ , et montrequela suite

B Ô ùïú�ü ý õ Ú Ô ùûú*ü ý õ Ô /�!8Ù Ô Bestexacte,d’ou ùïú�ü ý õ Ú÷� �ÅÚ . On a doncun diagrammecommutatifde© -foncteurs

6rq��F 0K < � ß ! 3EØ� ú ß ûP¹Q¹y¹dÔ � )�� 0K �ÅÚÉ8�Ú h � � Û �Ú h6rq��F 0K < � ! 3E � ú ûP¹Q¹y¹dÔ � )�� 0K �

à��le memeproblemepourlesgroupesanalogues�`y ï resteouvert.à�àpour la commodite du lecteur, rappelonsbrievementen quoi consistecet argument.

Le seulpoint epineuxestdemontrerquele noyau y ï dela flechey��! #"Ê$%$estcontenudans �&�'�� ï . Pourcela,il suffit d’apresChevalley de demontrerquetoutedroite ( dansunerepresentationarbitrairede y , qui eststablepar �&�'�� ï , esten faitstablepar y ï . Katz montreque �� permuteles droitesdistinctesconjugueesde (sousle groupefini " $)$ , cequi entraınebienque y ï stabilisecesconjuguees,donc ( .


qui induit un autrediagramme

6r�5q��F 0K < � ß !�3E � ú ß ûP¹"¹�¹dÔ � )�� 0K e �2ÚÉ �Ú h � � Û �Ú h6r�5q��F 0K < � ! 3E � ú ûP¹"¹�¹dÔ � )�� 0K e �nÜ

Cedernierpermetdedefinir la filtration deHasse-Arfde � )�� 0K e �ÅÚ entransportantla filtration parlespentes� -adiquesde 6r�5Í�=F 0K < � ß @ 3E � .6.3.1.Remarque. OnaunfoncteurimagedirecteÉ�Ú h < � , adjointadroitedeÉ �Ú h , et qui corresponda l’induction desrepresentations.CecivautmemesiÙ n’estpasnormaldans/ .

Examinonsensuitele lien entrecescategoriestannakiennes� )�� 0K e �2Ú(muniesdeleursfiltrationsdeHasse-Arf)pouruneextensionkummerienne.Le changementde variable ��Ú �Ô � Ú � � � induit un isomorphismeF 0K < � ÿ �F 0K < � ß , d’ou un isomorphisme6r�5Í�=FÂ0K < � ß ! 3E � ÿ � 6r�5q��FÂ0K < � ß � � � ! 3E �decategoriestannakiennescompatibleauxfiltrationspar lespentes,qui setransporteen uneequivalence�8�Ú � � � < Ú compatibleauxfiltrations deHasse-Arf (utiliser le sorite1.2.6),d’ou èAê � Ód� .

De meme,il est connuque É �Ú � � � Ú multiplie les pentespar � , cf. [10,6.3.5].En utilisant denouveaule sorite1.2.6,on en deduitque Û �Ú � � � Ú faitdememe,d’ou èQê � Ñ2� .6.4. Le cadreetantenplace,examinonssuccessivementleshypothesesdutheoreme5.2.1appliqueaugroupee � .

Lesconditionsê Ñ2��@ ê Ó�� et ê ×d� releventdela theoriedeRobbadesequationsdifferentiellesde rangun. Rappelonsbrievementles etapes(avec Ùå�ð/pour allegerles notations).Comme F�� 798��V� , tout objet 6 de dimen-sion B de 6rq��F 0K ! 3E � estdefini sur 7 8Ñ < � pouruneextensionfinie conven-able 1�!OE . Par approximation-troncationcf. [8, 44.5], il est memedefinisur 1��4�.� . La conditionde solubilite au bord exterieurde la couronnede-vient la condition de Dwork usuelle(solubilite dansle disquegenerique* �=ü�Ñ2@CB ¦ � ). Un analogue� -adiquedesproduitsdeWeierstrass(cf. [27, 5.3,5.4,10.11])Ñ�Ó permetde trouver unebasetelle quel’operateurdifferentielcorrespondanta 6 s’ecrive

+ � ÁÁ.� , �|Ñ� , ÜCÜdÜ � b� b @ � �¯@ � SÂB.-à� Robbademandedepasserauncorpsalgebriquementclosetmaximalementcomplet,

maisMatsuda[23] a montrequ’onpeuts’endispenser, du moinspour x�/10 .

28 YVES ANDRE

ou � ¹ Bi�UT estla pente� -adique.La conditiondesolubilite implique �|Ñ�«J � , mais l’hypotheseplus forte d’existenced’une structurede FrobeniusimpliqueÑ�Õ �|Ñ�« J � � � J � � ^ .

En particulier,+ ÿ ss � , 9 º� si la penteestnulle, i.e. si le caracterecor-

respondantde� � estmodere.On voit doncquel’homomorphismeresidu,

donnepar �|Ñ mod. J , induit un isomorphisme2 � e ��±�� ÿ� J � � !8J

ou2 � e ��±d� designele groupedescaracteresdu quotientmoderede e � .

L’inversede cet isomorphismeestd’ailleurs donne par l’homomorphisme2 � ÒJ � � � � Ô 2 � e ��±�� induit par e ��± Ô Ô ÒJ � � � (dualite de Pontriaguine).D’ou ê Ód� . Ona

+ ý �)3 � ÁÁ.� , �54 �|Ñ� , ÜCÜCÜ �64 � b� b ÿ ÁÁ.� , �54 ��Ñ�pour É ¼�¼¬$ , donc le caracterede e � correspondanta

+estfini. Ceci

donneê ×C� .La conditionê Ñ2� revientadireque

+setrivialisesuruneextensionF 0K < � ßde FÂ0K < � commeci-dessus.Celadecoulede l’existenced’une structurede

Frobeniussur+

, qu’on peutsupposerdefiniesur 7H8 (puisqueF4�û�ð��798��V� )et depentefrobeniusiennenulle,cf. [12, 4.11] (Tsuzuki[36] endonneuneversionentoutedimension).

La condition ê Õd� estnettementplussubstantielle: c’est le “ theoremedemonodromielocale � -adiquemoderee” de[9], enpresenced’unestructuredeFrobenius(voir aussi[15]).

Enfin, les conditions ¦2� ü�� et ®¯�-Á � sont demontreesdans[11, 6.0.18,6.0.16,6.0.17]commeconsequencedu theoremede l’indice de Christol-Mebkhout.

Noussommesamemed’appliquer5.2.1,cequinousdonnerale theoremedemonodromielocale� -adique.

7. LE THEOREME DE MONODROMIE LOCALE � -ADIQUE

7.1. Le theoremesuivantestle resultatprincipaldecetarticle.Il donnelastructurede 6��5Í�=F 0K ! 3E � ÿ � )�� 0K e � .

On rappellequele corps� -adiqueE estsupposeavaluationdiscreteet acorpsresiduel� parfait,que/ estlegrouped’inertiede ��-��4�.��=�?�"!#�-��4�.�� ,etque L estson� -Sylow (inertiesauvage).

7.1.1.Theoreme. On a desisomorphismescanoniquese �ìÿ� /onqp�9�@ e � ² ± ÿ � Là�uenfait : equivauta cettecondition,cf. [8] ; maispeuimporteici.


de 3E -groupesaffines.

7.1.2.Complement. L’isomorphismee � ² ± ÿ � L identifiela filtration� e � � ³ � provenantdela filtrationpar lespentes� -adiquesa la filtrationdeL par lesgroupesderamificationsuperieurs.

Demonstration.Le theoremeresultedu theoreme5.2.1pour Ù �À/ , donttoutesleshypothesessontrempliesainsiquenousl’avonsvu au V precedent,et comptetenudu fait qu’il y adesextensionsnontrivialesde § par § .

Le complementresultede la et du theoremedeTsuzuki[34] (voir aussi[13] quiendonneuneelegantepreuvegeometrique).RappelonslademarchedeTsuzuki,legerementtransposeea notrecontexte : on a deuxhomomor-phismes

Eq±C�B� )�� 0K /�� Ô Jdonnespar le conducteurde Swan desrepresentationsgaloisiennesd’unepart, et par l’irr egularite � -adiquedesobjetsde 6r�5Í�=F 0K ! 3E � associesd’autrepart.Par 2.1.2,il s’agit demontrerquecesdeuxhomomorphismescoıncident.Tensorisantavec

^etappliquantle theoremed’inductiond’Artin

(cf. [30, 9]), on seramene(comptetenude la remarque6.3.1)au casdescaracteres.En dimensionun, le problemesetraiteparun calculdirect,voir[23], [34]. ô7.1.3.Corollair e. Supposons � fini. Alors les classesd’isomorphismed’objetsde 6r�5q��F 0K ! 3E � formentun ensembledenombrable.

Eneffet, le groupeprofini / estalorsmetrisable: l’ensembledesessous-groupesouvertsestdenombrable,cf. [31, 1.3]. ô7.1.4.Exemple. Pourtoutpremier� , lesoperateursdeBessel7 Ä normali-ses a la Dwork formentunefamille a un parametre Å'« J � d’operateursdifferentielssolublesdansle disquegenerique.Vus commeoperateursacoefficientsdans798 , ils sontenfait tousisomorphes(et munisd’unestruc-ture de Frobenius),cf. [2, 7.5]. Dans loc. cit. , on determineen fait larepresentationgaloisienneassociee (le casinteressantest � �Ì¢ ), ce quis’averenettementplusdifficile qued’enprouver l’existence.

Voici deuxtraductionsdu theoreme,ou l’on redescendaucorpsdebaseE .

7.1.5.Corollair e. Tout objet de 6rÍ�=Fj!"E � admettantune structure deFrobeniusa unebasede solutionsdans F�K � < � � D K?M#N��"< , ou F�K � < � � estl’ex-tensionfinie etalede F ��F�K < � attacheea uneextensionfinie separableconvenablede �-��.�� .

30 YVES ANDRE

(L’applicationdirectedu theoremenedonnele resultatqu’apresuneex-tensionfinie 1�!OE I , mais la descentedesconstanteseststandard,voir parexemple[18, 4.1.2]). ô

Nousdironsqu’un objetde 6rÍ�=F !OE � estabsolumentindecomposable(resp.. absolumentirreductible)s’il le resteaprestouteextensionfinie 1�!OEdesscalaires.

7.1.6.Corollair e. Toutobjetabsolumentindecomposable6 de 6rÍ�=Fj!"E �admettantunestructure deFrobeniusdevient,apresuneeventuelleexten-sionfiniedu corpsdebaseE , isomorphea unobjetdela forme6 ©ÍÙ:7é@ou 6 provientd’une E -representation(finie)absolumentirr eductiblede / ,et Ù:7 estl’objet dedimension

êrepresente par �4� ss � � 7 (extensionitereeê

-iemede § par lui-memeet indecomposable).En particulier, 6 provientd’un objetde 6rÍ�=7H8�!"E � admettantunestructuredeFrobenius. ô

De la,on tire aisement:

7.1.7.Corollair e. Tout objet 6'8 de 6�q��798�!OE � admettantunestructuredeFrobeniuset tel que 6 8 ©98;:�F soit absolumentirreductiblea unebasedesolutionsdansl’extensionfinienonramifieede 7 8 �Ï7 8K < � attacheea uneextensionfinieseparableconvenablede �-��4�.�� . ô

Suivant [11], disonsqu’un objet 6 de 6��(f�=F !OE � estcompletementirr eductiblesi

´ > ± �4¦Å�-Á ��6Â��9�ÈEéÜ ¿�Á .

7.1.8.Corollair e. Tout objet completementirr eductiblede 6rq��Fj!OE �admettantunestructure deFrobeniusestabsolumentirr eductibleet dedi-mensionunepuissancede � .

L’ enonce sur la dimensionavait ete conjecture dans[11, 3.0.12](en faitpourtoutobjetcompletementirreductibledepente¼¾$ de 6r�(f��Fj!OE � ).

Demonstration.Passonsa l’objet correspondant6 de 6r�5Í�=Fµ0K ! 3E � , eta la representationW de e � associee.Ona C ¶ ·÷6 � C ¶ · 0K W . L’hypothesedecompleteirreductibilite setraduitpar��¦2�-Áy��W1��=< � � ñ � 3EóÜ�¿4Á*@c’est-a-direparl’irr eductibilitede ¦Å��Á �� )gf < � � ñ<

� ��W1�� d’apresSchur(noterque puisque e � ² ± agit a travers un groupefini, cette representationestsemi-simple).A fortiori, � )gf < � � ñ< � ��W1� estirreductible(doncW aussi).Commeenvertudu theoreme7.1.1, e � ² ± � L estun pro-� -groupe,la dimensiondecetterepresentationestunepuissancede � ([30, 6.5]). ô


7.1.9.Remarque. L’existencedestructuresdeFrobeniusn’estquefaible-mentutiliseedansle texte.Il seraitinteressantderemplacer6��5Í�=F 0K ! 3E �parla sous-categorietannakiennemaximale6r�(?> � @ � Õ >��=F 0K ! 3E � de6r�(��FÂ0K ! 3E � formee desobjetsd’exposantset residusdeterminantielsnon-Liouville et dans J � � !¯J , cf. [11, 7]. On obtiendraitainsi la coınci-dencede 6r�5q��F 0K ! 3E � et 6r�( > � @ � Õ > �=F 0K ! 3E � conjectureedansloc. cit.(et anterieurement,sousuneformemoinsprecise,par Dwork, commemel’a fait remarquerG. Christol). Le problemepour ce faire est celui de lastabilitede 6r�( > � @ � Õ > �=F 0K ! 3E � lorsqu’onpasseauneextensionfinie etalede FU0K induite par uneextensionfinie separablede 3�-��.�� du type Artin-Schreier. Certainsmodulesdifferentielspeuventacquerir despentesnulleslors d’une telle extension,et il sembledifficile alorsd’en controler lesex-posants.

Pourtourner(quelquepeuartificiellement)cettedifficulte,onpeutintro-

duirela sous-categoriepleine 6��( > � @ � Õ >� d 9BADC � ��F 0K ! 3E � de 6r�(E> � @ � Õ >-�=F 0K ! 3E �formee desobjets 6 tels que pour tout sous-groupenormal ouvert ÙÂþ/ , É �Ú h ��6Â� appartiennea 6��( > � @ � Õ > ��FÂ0K < � ß ! 3E � . Comme É �Ú h est un © -

foncteur, 6r�( > � @ � Õ >� d 9FADC � �=F 0K ! 3E � estbien unesous-categorietannakiennede6rÍ�=FÂ0K ! 3E � . Elle contient 6r�5q��FÂ0K ! 3E � . Ondisposedefoncteurs

É �Ú h ö 6r�( > � @ � Õ >� d 9BADC � �=FÂ0K ! 3E � Ô 6r�( > � @ � Õ >� d 9FADC � �=Fì0K < � ß ! 3E ��ÜOn peut alors remplacerdanstout ce qui precede 6r�5q��F 0K ! 3E � par6r�( > � @ � Õ >� d 9FADC � �=F 0K ! 3E � Ñ4× , et e � par le groupetannakiencorrespondant.Auboutdu compte,onobtientla varianteaffaibliesuivantedela conjecturedeDwork :

7.1.10.Scolie. 6��( > � @ � Õ >� d 9BADC � ��FÂ0K ! 3E �9�U6��5Í�=Fì0K ! 3E �wÜ ôEn termesheuristiques: pour lesmodulesdifferentielssolublesaubord

d’unemincecouronne,imposerla rationalitedesexposants� -adiquessousuneformesuffisammentforteentraınel’existenced’unestructuredeFrobe-nius.

à �pourprouver G à � , ondisposedutheoremedeChiarellotto-Christol[8] qui montreque

lesobjetsdedimensionÐ de HJI?KML ð NBòPO LQSRPTFUWV�X oZYJ[{ $?\]��et de HJI_^foZY`[{ $E\]��

coıncident.

32 YVES ANDRE

APPENDICE A. SUR LES DIMENSIONS DE REPRESENTATIONS

IRREDUCTIBLES

A.1. Onsupposeencoreque ¦ estun corpsdecaracteristiquenulle.

A.1.1.Proposition. Soit � un groupealgebriquelineaire sur ¦ . On sup-posequetouterepresentationirr eductiblede � l’est absolument.Alors lesdimensionsdesesrepresentationsirr eductiblesnontrivialessontpremieresentreellesdansleur ensemble.

Demonstration.L’hypotheseentraınequetouterepresentationirreductiblede � sur 3¦ est definie sur ¦ . On peut donc remplacer¦ par sa cloturealgebrique.On distingueplusieurscas:a) si � estnonconnexe, le groupe(fini) descomposantesconnexes ë ±A�� admetdesrepresentationsirreductiblesnontriviales.Quittea remplacer�par ë ±A�4�1� , onpeutdoncsupposer� fini. Soient� @ lesdimensionsdesrepre-sentationsirreductiblesde � (avec �-±i�ÖB pour la representationtriviale).On sait d’une part que � @ divise

� � �([30, 6.5]), et d’autrepart que

� � � �A � Ó@ � B , A @ ² ± � Ó@ ([30, 2.4]). Cesdeuxfaitsentraınentimmediatementquele pgcddes��@�@�¿G¼¾$ estegala B Ñ�Ý .

Supposonsapresent� connexe.b) Si � estresoluble,touterepresentationirreductibleestdedimensionB .c) Si � n’estpasresoluble,le groupesemisimplequotientde � parsonradi-caladmetdesrepresentationsirreductiblesnontriviales.Quittea remplacer� par ce quotient,on peutdoncsupposer� semisimple.On notecommed’habitude � la demi-sommedesracinespositives.Soit W �c¢ ê ��w@ ê ¼ $la representationirreductiblede � de plus hautpoids ¢ ê � (a priori c’estunerepresentationde 1;¿ ) � , maiselles’integreenunerepresentationde �puisque¢ ê � estdansle reseaudesracines).La formuledescaracteresdeWeyl montrequela dimensionde WÍ�c¢ ê �� est �B¢ ê , B"� 4 , ou É estle nom-bre de racinespositives,cf. [6, V 9, ex. 1]. Cesdimensionssontpremieresentreelles. ôA.1.2.Corollair e. Soit ¥ unecategorietannakiennesur ¦ , munied’unefiltration de Hasse-Arf. On supposeque ¥ contientdesobjetsqui ne sontpasextensionitereede § . On supposequ’il n’y a aucunepenteentiere nonnulle (cequi estenparticulier le cassi lespentessont Æ B ). Alors ¥ con-tientdesobjetsirr eductibles&ÿ � § depentenulle.

Demonstration. On peutsupposer¥ algebrique,i.e. ayantun generateurtensoriel.Quitte a remplacer5 par uneextensionfinie (cf. 1.2.1),on peutà��

signalonsaceproposunresultatmoinselementairedeThompson[33] : si lesdimen-sions acb_/ Ð sonttoutesdivisiblespar x , alors y est x -nilpotent.De nombreuxresultatsdanscettedirectionont eteobtenusdepuisparl’ ecoledeMayence.


supposer¥ neutralisee,et quetout objet irreductiblel’est absolument.Onpeutmemesupposer, en remplacant le groupetannakienassocie � par unquotient(et ¥ parla sous-categorietannakiennecorrespondante)que � estsimple.Supposonsparl’absurdequetoutobjetdepentenullesoit trivial, i.e.sommede copiesde § . Alors � n’a qu’unepente,qui estnon entiereparhypothese.Touterepresentationirreductiblenon triviale a unedimensiondivisible par le denominateurde cettepente,ce qui estabsurded’apreslapropositionprecedente. ôA.1.3.Remarque. Ceci s’appliquea la categorietannakienneengendreepar le moduledifferentieldeBesselsur l’anneaudeRobbaF diadique,cf.[2]. Danscecas,lespentessont$�@CBA!)Î|@CBA! ¢ . Ontrouvedesirreductiblesnon-triviaux de pentenulle, mais trivialisablespar ramificationkummerienne� �Ô � Õ .

REFERENCES

[1] A. Abbes, T. Saito, Ramification of local fields with imperfect residue fields I,PrepublicationUniv. Paris-Nord(2001).

[2] Y. Andre, Representations galoisiennes et operateurs de Bessel x -adiques,prepublicationJussieu267(2000),a paraıtredansAnn. Inst.Fourier.

[3] Y. Andre,B. Kahn,Nilpotence, radicauxet structuresmonoıdales, manuscrit(2001).

[4] D. Benson,Representationsand cohomologyI, Cambridgestudies30, CambridgeUniv. Press,1995.

[5] L. Berger, Representationsx -adiques et equationsdifferentielles, prepublicationdisponiblecommedfem$hggÐFgi0�Ðkjkl Math.ArXi v.

[6] N. Bourbaki,Groupeset algebresdeLie, chapitreVIII, Hermann/CCLS,1975.

[7] F. Cherbonnier, P. Colmez,Representationsx -adiquessurconvergentes, Invent.Math.133(1998),581-611.

[8] B. Chiarellotto,G. Christol,Overconvergent isocrystalsand ^ -isocrystals, Compos.math.100(1996),77-99.

[9] G. Christol, Z. Mebkhout,Sur le theoremede l’indice desequationsdifferentiellesx -adiquesII , Ann. of Maths146(1997),345-410.

[10] G. Christol, Z. Mebkhout,Sur le theoremede l’indice desequationsdifferentiellesx -adiquesIII , Ann. of Maths151(2000),385-457.

[11] G. Christol, Z. Mebkhout,Sur le theoremede l’indice desequationsdifferentiellesx -adiquesIV, Invent.Math.143(2001),629-672.

[12] R.Crew, ^ -isocrystalsand x -adicrepresentations, in AlgebraicGeometry- Bowdoin1985,Proc.Symp.PureMath.XLVI (2) (1987),111-138.

[13] R. Crew, Finitenesstheoremsfor thecohomologyof an overconvergentisocrystalona curve, Ann. scient.Ec.Norm.Sup.31 (1998),717-763.

[14] R. Crew, Canonicalextensions,irregularities,and the Swanconductor, Math. Ann.316(2000),19-37.

34 YVES ANDRE

[15] B. Dwork, On exponentsof x -adic differential modules, J. ReineAngew. math.484(1997),85-126.

[16] J.M.Fontaine,Representationsx -adiquesdescorpslocaux, GrothendieckFestschriftII, Progressin Math.87, Birkhauser(1990),249-309.

[17] J.M. Fontaine,Representationsx -adiquessemi-stables, in : Periodesx -adiques,ex-pose III, Asterisque233(1994),59-102.

[18] N. Katz, On the calculation of somedifferential Galois groups, Invent. Math. 87(1987),13-61.

[19] N. Katz, Gausssums,Kloostermansums,andmonodromygroups,Annalsof math.studies116, Princeton(1988).

[20] N. Katz, Exponentialsumsanddifferentialequations,Annalsof math.studies124,Princeton(1990).

[21] K. Kedlaya, Unipotency and semistability of overconvergent ^ -crystals,prepublicationdisponiblecommemath.AG/0102173.

[22] B. Malgrange,Surlespointssinguliersdesequationsdifferentielles, L’Ens.math.20(1974),147-176.

[23] MatsudaS., Local indicesof x -adic differential operators correspondingto Artin-Schreier-Witt coverings, DukeMath.J.77 (1995),607-625

[24] MatsudaS., Katz correspondencefor quasi-unipotentoverconvergent isocrystals,manuscrit(1997).

[25] MebkhoutZ., Sur le theoremedefinitudedela cohomologie x -adiqued’unevarieteaffinenonsinguliere, Amer. J.of Math.119(1997),1027-1081.

[26] P. Robba,Surlesequationsdifferentiellesx -adiquesII , Pac.J.Math.98 (1982),393-418.

[27] P. Robba,Indiced’un operateurdifferentiel x -adique. IV. Casdessystemes.Mesuredel’irr egularitedansundisque, Ann. Inst.Fourier35 (1985),13-55.

[28] N. SaavedraRivano,Categoriestannakiennes,Lect. Notesin Math. 265, Springer,1972.

[29] J.P. Serre,Corpslocaux,Hermann,1968.

[30] J.P. Serre,Representationslineairesdesgroupesfinis, Hermann,5emeed.1998.

[31] J.P. Serre,Cohomologiegaloisienne,SpringerLect.Notes5, 5emeed.(1994).

[32] J.P. Serre,J. Tate,Good reductionof abelian varieties, Ann. of Math. 88 (1968),492-517.

[33] J.G.Thompson,Normal x -complementsandirreduciblecharacters, J.of Algebra14(1970),129-134.

[34] TsuzukiN., The local index and the Swanconductor, Compos.Math. 111 (1998),245-288.

[35] Tsuzuki N., Slopefiltration of quasi-unipotentoverconvergent ^ -isocrystals, Ann.Inst.Fourier, Grenoble48 (1998),379-412.

[36] TsuzukiN., Finite local monodromyof overconvergent unit-root ^ -isocrystalon acurve, Amer. J.Math.120(1998),1165-1190.

INSTITUT DE MATHEMATIQUES DE JUSSIEU, 175 RUE DU CHEVALERET, 75013PARIS, FRANCE.

E-mail address: [email protected]

filtrations de type hasse-arfet monodromie -adique yves andre´ table des mati`eres introduction 1...

Documents