OPAKOVÁNÍ UČIVA ZŠČíslice = grafický znak užívaný k zápisu čísel (jednička, dvojka, …)

Číslo = je složeno z číslic (jedna, dvě, …). Definujeme pro ně operace.

Číselné obory:

1

2

3

Přirozená čísla_N 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , …Čísla sudá – 2 4 6 8 10 12 … a = 2k

Čísla lichá – 1 3 5 7 11 13 … a = 2k + 1 nebo 2k -1

Základní operace + *

Platí: K a + b = b + a ab = ba komutativní zákon

A a + (b + c) = (a + b) + c a(bc) = (ab)c asociativní zákon

D a(b +c) = ab + ac distributivní zákon

Desítkový rozklad čísla

547 = 5 . 100 + 4 . 10 + 7 . 1 = 5 . 102 + 4 . 101 + 7 . 100

4

PRVOČÍSLO – je libovolné přirozené číslo větší než 1, které je dělitelné jen 1 a sebou samým– nejmenším prvočíslem je 2, další 3, 5, 7, 11, 13, …

SLOŽENÉ ČÍSLO – je každé přirozené číslo, které má aspoň 3 (3 a více)různé dělitele

5

ROZKLAD SLOŽENÉHO ČÍSLA NA SOUČIN PRVOČÍSEL

NEJVĚTŠÍ SPOLEČNÝ DĚLITEL n ČÍSEL = SOUČIN PRVOČÍSEL, KTERÉ MAJÍ SPOLEČNÉ

a) Výpočet pomocí prvočíselného rozkladuD(12;15) = 3

12 = 4 . 3 = 2 . 2 . 315 = 3 . 5

D(8;36) = 2 . 2 = 4

8 = 2 . 2 . 2

36 = 2 . 18 = 2 . 2 . 9 = 2 . 2 . 3 . 3

b) Výpočet pomocí Euklidova algoritmuD(12;15) = 3

12 1512 15 – 12 = 3

12 – 3 = 9 39 – 3 = 6 36 – 3 = 3 3

D(18;45) = 9

18 4518 45 – 18 = 2718 27 – 18 = 9

18 – 9 = 9 9

D(60;210) = 30

D(840;600) = 120

D(55;88) = 11

SOUDĚLNÁ ČÍSLA - přirozená čísla, která mají aspoň jednoho společného dělitele D > 1

NESOUDĚLNÁ ČÍSLA - přirozená čísla, která nemají aspoň jednoho společného dělitele D > 1

6

NEJMENŠÍ SPOLEČNÝ NÁSOBEK n ČÍSEL = SOUČIN PRVOČÍSEL S NEJVYŠŠÍMI MOCNINAMI

Výpočet pomocí prvočíselného rozkladu

n(12;15) = 22 . 3 . 5 = 60

12 = 4 . 3 = 2 . 2 . 3 = 22 . 315 = 3 . 5

n(8;36) = 8 . 9 = 23 . 32 = 72

8 = 2 . 2 . 2 = 23

36 = 2 . 18 = 2 . 2 . 9 = 2 . 2 . 3 . 3 = 22 . 32

Celá čísla_Z …, -3, -2, -1, 0, 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , …

Základní operace + - *Pomocí celých čísel lze určit nejen počty prvků, ale také jejich přírůstky a úbytky.

5 - 2 = 3

menšenec menšitel rozdíl

ČÍSLO OPAČNÉ K DANÉMU ČÍSLU

7

Racionální čísla_Q …, -3; -2,5; ¼; -1; 0; 1/3 ; 2/5 ; …Zapisují se pomocí desetinných čísel nebo zlomků. Jejich desetinný rozvoj je ukončený nebo periodický.

Určují počty prvků, údaje o jejich změnách a počtech dílů určitého celku.

Základní operace + - * :

Desetinný rozvoj ukončený

Desetinný rozvoj neukončený periodický1/3 = 0,3333333… = 0,3 s periodou 3 (ozn. 0 ,3 )

20/3 = 6,6666… = 6,6 s periodou 6 (ozn. 6 ,6 )

Převod čísla s periodou na zlomek

x=13 ,7=1249

10 x=137 ,7

10 x−x=137 ,7−13 ,7

9 x=124

x=1249

8

Reálná čísla_R …, -3; -π; -2,5; ¼; e; √2; √3; -1; 0; 1/3 ; 2/5 ; …

Každé reálné číslo je na číselné ose znázorněno právě jedním bodem a naopak.

9

ABSOLUTNÍ HODNOTA REÁLNÉHO ČÍSLA = vzdálenost obrazu bodu na číselné ose od počátku 0.

PŘ.

10

ZLOMKYViz. prezentace Zlomky.pptx

Pracovní sešit (PS) Základní poznatky – str.6–8, Příklad 1–3

PROCENTA – označují nějakou relativní část z celkuCELEK = 100 %PROCENTOVÁ ČÁSTPOČET PROCENT1 % = 0,01 z celku

Převeďte zlomky na procenta:

1100

=1%

10100

=10% 110

=10% 10% z 8000 = 110∙8000=800

15=20% 20% z 8000 =

15∙8000=1600

12=50% 50% z 8000 =

12∙8000=4000

14=25% 25% z 8000 =

14∙8000=2000

34=75% 75% z 8000 =

34∙8000=6000

PŘÍKLADY:(1) Škola má 360 žáků; 75 % jsou plavci. Kolik je to žáků? Kolik je neplavců?

75%=34

360 ∙ 34=270 žáků jsou plavci

360 – 270 = 90 neplavců

(2) Z vydělaných 5000 Kč se musí zaplatit 15% daň. Kolik je to korun?

15 % z 5000 = 15 % . 5000 = 0,15 . 5000 = 15100

∙5000=15 ∙50=750Kč

(3) Pan Novák si vzal půjčku na 135 000 Kč. Z celého dluhu splatil 35 %. Kolik korun mu zbývá ještě zaplatit?100% - 35% = 65% z 135 000 Kč

11

65% . 135 000 = 0,65 . 135 000 = 65100

∙135000=65 ∙1350=87750Kč

(4) Původní cena knihy byla 140 Kč; byla zlevněna o 15 %. Kolik korun stála po zlevnění?100%..............140 Kč 1%...............1,4 Kč 15%...............1,4 . 15 = 21 Kč 140 – 21 = 119 Kč 85%...............1,4 . 85 = 119 Kč

12

Podnik musel propustit 8% zaměstnanců z původního počtu 1450 pracovníků. Kolik pracovníků propustil?výpočet pomocí trojčlenky:100%..............1450 pracovníků 8%...............xx1450

= 8100

…………… .. 1450 ∙8100

=116pracovn í k ů

(5) Při provádění kontroly kol nemělo 12% z 6500 cyklistů svoje kolo v pořádku. Kolik cyklistů nemělo svoje kolo v pořádku?12% z 6500 = 65 . 12 = 780 cyklistů

Michalův čistý plat je 15 620 Kč. Tento čistý plat získal z hrubého platu po odečtení zaplacené daně a hypotéky na barák. Daň byla 19% a hypotéka 10% z platu. Jaký je Michalův hrubý příjem?19% + 10% = 29% jsou srážky100% - 29% = 71% je čistý plat = 15 620 Kč

71 %...............15 620 Kč100 %.............. x Kčx

15620=10071

x=15620 ∙10071

=22000K č

Vůz s nákladem má hmotnost 750 kg. Hmotnost nákladu je 300 kg. Kolik je to procent z celkové hmotnosti?100 %.............. 750kg x %............... 300 kg

x100

=300750

x=300 ∙100750

=40%

(6) Kolik % je 50 Kč z 200 Kč?50 Kč je ¼ z 200 ¼ = 25 %

(7) Z 56 žáků umí 7 žáků dobře francouzsky. Kolik je to %?100 %.............. 56 žáků x %............... 7 žáků

x100

= 756 x=7 ∙100

56=12,5%

Plánovaná tržba v obchodě byla 35 000 Kč. Skutečná tržba byla 31 500 Kč.O kolik % byla skutečná tržba nižší než plánovaná?100 %.............. 35 000 Kč x %............... 31 500 Kč

x100

=3150035000

x=31500 ∙10035000

=90%

13

(8) je skutečná tržba100% - 90% = 10 %O 10% byla skutečná tržba nižší než plánovaná.

Dělník měl za směnu vyrobit 65 součástek. Při výpadku elektrické energie vyrobil za směnu jen 52 výrobků. Na kolik % splnil normu?100 %.............. 65 součástek x %...............52 součástek

x100

=5265

x=52 ∙10065

=80%

(9) normy

PŘÍMÁ A NEPŘÍMÁ ÚMĚRNOST (PÚ) A (NÚ)Dvacet zrnek hrachu váží v průměru 5 gramů. Kolik zrnek je přibližně v pytli, ve kterém je 40 kg hrachu?

20 zrnek .............. 5 g x - „ - ............... 40 kg = 40 000 g

x20

=400005

x=20 ∙400005

=16000 zrnek

(1) Schodiště má 36 schodů 20 cm vysokých. Kolik schodů vysokých 18 cm by se tam vešlo?

36 schodů .............. 20 cm x - „ - .............. 18 cm

x36

=2018

x=20 ∙3618

=40 schodů

14

(PÚ)

(NÚ)

MĚŘÍTKO NA MAPĚ

Měřítko 1 : 100 000 znamená, že 1 cm na mapě odpovídá 100 000 cm ve skutečnosti. (100 000 cm = 1 km)

Měřítko mapy je 1 : 100 000. Kolik kilometrů je dlouhá ve skutečnosti cesta, která je na mapě dlouhá 4,7 cm?

1 cm na mapě .............. 100 000 cm = 1 km4,7 cm - „ - .............. x km

x=4,7 km

(1) Určete měřítko mapy, na níž je vzdálenost z Berouna do Nižbora (9 km ve skutečnosti) zakreslena čarou dlouhou 18 cm.18 cm na mapě .............. 9 km 1 cm - „ - ................. x km

x= 918

=12=0,5km=500m=50000cm

Měřítko je 1 : 50 000

(2) Doplňte následující tabulku:

Měřítko mapy Vzdálenost na mapě Vzdálenost ve skutečnosti

1 : 15 000 9 cm 1,35 km

1 : 200 000 14 cm 28 km

1 : 75 000 7,8 cm 5,85 km

1 : 100 000 13,5 cm 13,5 km

1 : 10 000 1,5 cm 150 m

1 : 20 000 8 cm 1,6 km

15

ROZTOKY A JEJICH ŘEDĚNÍm1; m2; m3 hmotnost m1 + m2 = m3

w1; w2; w3 koncentrace v %čistá látka 100 % = 1rozpouštědlo 0 % = 0

m1 . w1 + m2 . w2 = m3 . w3

m1 . w1 + m2 . w2 = (m1 + m2) . w3

(1) Kolik gramů čisté látky musíme přidat do 85 gramů 11,7% roztoku, aby byl roztok 38% ?85 . 0,117 + m2 . 1 = (85 + m2) . 0,38 9,945 + m2 = 32,3 + 0,38 m2

m2 – 0,38 m2 = 32,3 – 9,945 0,62 m2 = 22,355 m2 = 36,06 g čisté látky

(2) Kolik gramů rozpouštědla musíme přidat do 61 g 54% roztoku, aby byl roztok 11,6%.61 . 0,54 + m2 . 0 = (61 + m2) . 0,116 32,94 + 0 = 7,076 + 0,116 m2

25,864 = 0, 116 m2

m2 = 222,97 g rozpouštědla

(3) Máme 56 gramů 23% roztoku, který zředíme 55 g rozpouštědla. Jaká je nyní koncentrace roztoku?56 . 0,23 + 55 . 0 = (56 + 55) . w3

12,88 + 0 = 111 w3

w3 = 0, 116 = 11,6% koncentrace roztoku

(4) Máme 76 gramů 24% roztoku, do kterého přidáme 53 g čisté látky. Jaká je nyní koncentrace?76 . 0,24 + 53 . 1 = (76 + 53) . w3

18,24 + 53 = 129 w3

71,24 = 129 w3

w3 = 0, 5522 = 55,22% koncentrace roztoku

(5) Máme 79 gramů 14% roztoku, do kterého přidáme 77 g 11,6% roztoku. Jaká je nyní koncentrace?79 . 0,14 + 77 . 0,116 = (79 + 77) . w3

11,06 + 8,932 = 156 w3

19,992 = 156 w3

w3 = 0, 12815 = 12,82% koncentrace roztoku

16

(6) Kolik gramů čisté látky musíme přidat do 74 g 18,2% roztoku, aby byl roztok 69%?m1 . 1 + 74 . 0,182 = (m1 + 74) . 0,69 m1 + 13,468 = 0,69 m1 + 51,06 0,31 m1 = 64528

m1 = 208,15 g čisté látky

(7) Jaká je % koncentrace roztoku, který vznikl rozpuštěním 30 g soli v 170 g rozpouštědla? 30 . 1 + 170 . 0 = (30 + 170) . w3

30 = 170 w3

w3 = 30200

= 10100 = 0,15 = 15% roztok

(8) V kolika gramech 12,5% roztoku je obsaženo v 30 g soli a kolik gramů rozpouštědla roztok obsahuje? 30 . 1 + m2 . 0 = (30 + m2) . 0,125 30 = 3,750 + 0,125 m2 26,25 = 0,125 m2 m2 = 210 g rozpouštědla (30 + m2) = 30 + 210 = 240 g roztoku

(9) V kolika gramech 6% roztoku je obsaženo ve 12 g NaCl (soli) ? 12 . 1 + m2 . 0 = (12 + m2) . 0,06 12 = 0,72 + 0,06 m2 11,28 = 0,06 m2

m2 = 11286 = 188 g rozpouštědla

(12 + m2) = 12 + 188 = 200 g roztoku

(10) Upravte zředěním nebo odpařováním následující směs roztoků:180 g 3% roztoku smícháme s 20 g 9% roztoku a požadujeme, aby výsledný roztok měl koncentraci 4% (vždy předpokládáme, že budeme ředit).180 . 0,03 + 20 . 0,09 + m3 . 0 = (180 + 20 + m3) . 0,04 5,4 + 1,8 + 0 = (200 + m3) . 0,04 7,2 = 8 + 0,04 m3 -0,8 = 0,04 m3

m3 = −0,80,04

=−804 = –20 g (znaménko ,,–’’ znamená odpařování)

Roztok upravíme odpařením 20 g rozpouštědla.

(11) Upravte rozpuštěním účinné látky směs roztoků složenou z 600 g 3% roztoku a 900 g 12% roztoku. Výsledný roztok by měl mít koncentraci 9%.600 . 0,03 + 900 . 0,12 + m3 . 1 = (600 + 900 + m3) . 0,09 18 + 108 + m3 = (1500 + m3) . 0,09 126 + m3 = 135 + 0,09 m3

17

126 – 135 = 0,09 m3 – m3

– 9 = – 0,91 m3 m3 = −9

−0,91=90091

=9,89 g účinné látky

VYJÁDŘENÍ NEZNÁMÉ ZE VZORCE

Výsledky:

18

ÚPRAVY VÝRAZŮI. Počítání s mnohočleny

Výsledky:

19

II. Mnohočleny se zlomky

Výsledky:

20

III. Dělení mnohočlenu jednočlenem

Výsledky:

IV. Dělení mnohočlenu mnohočlenem

Výsledky:

21

Výsledky:

22

Výsledky:

23

Výsledky:

24

MNOŽINAje souhrn nějakých předmětů, který chápeme jako celek. O předmětech, jejichž souhrn vytváří danou množinu, mluvíme jako o prvcích této množiny. Množina je jednoznačně určena svými prvky.

K vyjádření okolnosti, že x je prvkem množiny A, používáme zápis x∈Α.Není-li x prvkem množiny A, píšeme x∉A.

Zápis množin

1) Výčtem prvků (pro x∈N ; x∈Z nebo x∈Q) Intervalem (pro x∈R)

M = {x1; x2; x3} – používá se u konečných množin x∈ 5 − ; ∞)

2) Charakteristickou vlastností

M= {x∈R; x ≥ 5}

3) Graficky – na číselné ose

Prázdná množina

− množina, která nemá žádný prvek

− značíme ji: ∅ nebo {}

− pozor na: {∅}- toto je množina obsahující prázdnou množinu

Podmnožina množiny

− o množině A říkáme, že je podmnožinou množiny B (píšeme A ⊂ B), jestliže každý prvek množiny A je zároveň

prvkem množiny B.

25

50x1 x3x2

− protože každý prvek libovolné množiny A je prvkem množiny A, je každá množina A podmnožinou sebe sama.

A ⊂ A

− Protože každý prvek prázdné množiny je prvkem jakékoli množiny A (neboť prázdná množina žádné prvky nemá), je prázdná množina podmnožinou každé množiny A.

∅ ⊂ A

Rovnost množin

− množiny A, B se rovnají, jestliže obsahují tytéž prvky. Zapisujeme: A = B.

je zřejmé, že množiny A, B se rovnají jedině tehdy, když každý prvek množiny A je prvkem množiny B a také každý prvek množiny B je prvkem množiny A. Tato vlastnost se někdy využívá při důkazu rovnosti množin. Chceme-li

dokázat, že se množiny A, B rovnají, dokážeme jednak A ⊂ B, jednak B ⊂ A.

Sjednocení množin

− je množina všech prvků, které jsou obsaženy alespoň v jedné z obou množin A, B.

− zapisujme A ∪ B

Průnik množin

− je množina všech prvků, které jsou obsaženy v obou množinách zároveň

− zapisuje: A ∩ B

z definice průniku plyne, že průnik každé množiny s množinou prázdnou je opět prázdná množina. Rovněž průnikem každých dvou množin, které nemají žádné společné prvky, je prázdná množina. Množiny A, B

takové, že A ∩ B = ∅, nazýváme disjunktní množiny.

Rozdíl množin

− je množina všech prvků množiny A, které nejsou prvky množiny B.

− zapisujeme: A – B nebo A \ B

Doplněk množiny

v případě, že množina A je podmnožinou množiny B, zavádíme pojem doplněk množiny A v množině B, a to jako množinu všech prvků z B, které nepatří do A. Je-li zřejmé, v jaké množině B tvoříme doplněk množiny A, mluvíme jen o doplňku množiny A.

− značíme: A´

Příklad_01:Vyjádři výčtem prvků množinu A = {z ∈N; z ≤7 } = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}

26

7654321

Příklad_02:Vyjádři výčtem prvků množinu B = {x ∈Z; x = -x} = {0} x = -xx + x = 0 2x = 0 / :2 X = 0

Příklad_03:

Příklad_04:

Příklad_05:A = {1; 2; 3; 4}B = {1; 3; 5}Určete sjednocení množin A a B. A ∪ B = {1; 2; 3; 4; 5}

27

Příklad_06:A = {1; 2; 3; 4}B = {1; 3; 5}Určete průnik množin A a B. A ∩ B = {1; 3}

Příklad_07:A = {1; 2; 3; 4}B = {1; 3; 5}Určete rozdíl množin A a B a doplněk B v A.A – B = {2; 4} B – A = {5} BA´ = {2; 4}

Příklad_08:Z 35 žáků odebírá časopis Rozhledy 8 žáků a TVM 10 žáků. 21 žáků neodebírá žádný časopis. Kolik z nich odebírá oba časopisy?

(8 – x) + x + (10 – x) + 21 = 35 18 + 21 – 35 = x

x = 4 žáci odebírají oba časopisyPříklad_09:Zapište výčtem prvků

a) A = {x∈Z; 15x<1 }

A = {x ∈N; x<5 } = {1; 2; 3; 4}

b) B = {y ∈Z; −2≤ y<3 } = {-2; -1; 0; 1; 2}

c) C = {z ∈R; z2=16 } = {-4; 4}

Příklad_10:Pro která x ∈R platí |x−1|=4 Řešte graficky.

x – 1 = 0 x = 1 …. nulový bod

x ∈{-3; 5}

28

21

35 žákůVTMR

x 10 - x8 - x

Příklad_11:A = {x ∈R; |x−2|<1∩x ≥2}B = {x ∈R; |x+2|≥3}Zapište A; B; A∪B; A∩B pomocí intervalů.

A: x – 2 = 0 B: x + 2 = 0 x = 2 x = -2A = (1 ;3 )∩ ⟨2 ;∞¿¿ ⟨2 ;3¿ B = ¿

Příklad_12:A = {x ∈N 0; x≥2} = {2; 3; 4; …}B = N0 = {0; 1; 2; 3; 4; …}A‘ = {0; 1}

Zadání dalších příkladů:Znázorněte na číselné ose a zapište pomocí intervalů nebo výčtem prvků:

a) A = {x ∈R; |2−x|<5}b) B = {x ∈R; |x|≥2}c) C = {x ∈R; |x−2|≤3}d) D = {x ∈R; |x−2|>3}e) A = {x ∈R; |2−x|<5}f) M = {x ∈Z; |x|<2}g) N = {x ∈N; |x|≤3}h) O = {x ∈Z; |x−2|<2}i) P = {x ∈Z; |x+2|<3}j) Q = {x ∈R; |x+2|<2}k) R = {x ∈R; |x+2|≥2}

Určete průniky a sjednocení:a) (−6 ;3,4 ); ⟨1;5¿b) ⟨2;7,2 ⟩ ; (√2 ;∞ )

Jsou dány intervaly A = (-4; 3), B = ⟨−2;2 ⟩, C = ¿Určete:a) ( A∩B )∪ (C ∩D )b) ( A∩B )'

29

51-3

30

MOCNINY S PŘIROZENÝM NEBO CELÝM MOCNITELEM

an

102 = 100 162 = 256

112 = 121 172 = 289

122 = 144 182 = 324

132 = 169 192 = 361

142 = 196 202 = 400

152 = 225 252 = 625

a−n= 1an

( ab )−n

=( ba )n

31

Exponent (mocnitel)

Základ mocniny

n∈N nebon∈Z

Matematický (vědecký) zápis čísla:

1 250 000 = 1,25 . 106 nebo 1,25E+60,00314 = 3,14 . 10-3 nebo 3,14E-3

Další příklady

VÝRAZY

Příklad číslo 1.

Řešení:

32

Příklad číslo 2.

Řešení:

Příklad číslo 3.

Řešení:

33

Příklad číslo 4.Zjednoduš výraz:

Řešení:

34