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Prof.: David Becerra Rojas

PROBABILIDADES


CONCEPTOS BÁSICOS

1. Experimento: Proceso de realizar una

observación o una medición.

2. Experimento Aleatorio ( E ): Experimento en

que son posibles más de un resultado, los cuales

pueden ser indicados con anterioridad, y se

puede repetir muchas veces bajo las mismas

condiciones

3. Espacio Muestral ( S ): Conjunto de todos los

posibles resultados de un experimento aleatorio.


Ejemplos de Espacio Muestral:

E1: Se lanza un dado y se cuenta el número de

puntos que aparecen en la cara superior.

S1: { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }

2



E2: Se lanza una moneda 4 veces y se cuenta

el número de sellos obtenidos.

S2: { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 }



E3: Se enciende una ampolleta y se anota el

tiempo que transcurre hasta que se quema.

S3: { t Є |R / t > 0 }



E4: Se lanza una moneda dos veces, se

registra el signo que aparece.

S4: { CC , CS , SC , SS }

3



E5: Salen artículos en una línea de producción.

Se cuenta el número de artículos defectuosos

producidos.

S5: {0, 1 , 2, 3, 4, . . . . . . n }

n: Total de artículos producidos



E6: Una caja contiene 10 fichas, de las cuales 3 son

verdes. Se extrae al azar una ficha después de

otra y se cuenta el número de fichas sacadas de la

caja , después de haber obtenido:

a.- La última ficha verdeS6a= { 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

S6b= { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

b.- La primera ficha verde


SUCESO Ó EVENTO

Sea E un Experimento y sea S un espacio

muestral asociado a E, entonces A es un

suceso si y solo si A se define como un

conjunto de posibles resultados del

experimento aleatorio, es decir un

subconjunto del espacio muestral S.

4


Observación:

1.- Sean A y B dos suceso asociados a un mismo

experimento E , entonces:

A B: Es un nuevo suceso que ocurre si y solo si

ocurre A , ocurre B o ambos.

A B: Es un nuevo suceso que ocurre si y solo si

ocurre A y ocurre B.

2.- Sean A1, A2,.......Ak, sucesos asociados a un

mismo experimento, entonces:

A1 A2 .… Ak: Es un nuevo suceso que ocurre

si y solo si ocurre al menos un Ai.

A1 A2 ..... Ak: Es un nuevo suceso que ocurre

si y solo si ocurren todo los Ai a la vez.


SUCESOS MUTUAMENTE

EXCLUYENTES(SME)

Sean A y B dos sucesos asociados a un

mismo espacio muestral S, se dice A y B

son sucesos Mutuamente excluyentes si no

pueden ocurrir ambos a la vez. Es decir si la

intersección es vacía .

Si A B = A y B son SME


FRECUENCIA RELATIVA

Sea E un experimento, y sea A un suceso asociado

a E. Supongamos que el experimento E se realiza

n veces, y que nA son las veces que ocurre el

suceso A, entonces se define Frecuencia

Relativa al suceso A como:

n

nf A

A

5


FRECUENCIA RELATIVA

Propiedades:

1.- 0 ƒA 1

2.- ƒA = 1 Si cada vez que se realiza el

experimento ocurre A.

3.- ƒA = 0 Si A nunca ocurre.

4.- Sean A, B SME , entonces ƒAUB = ƒA +ƒB

e.d. Si A B = ƒAUB = ƒA +ƒB


FRECUENCIA RELATIVA

Propiedades:

5.- Si E se repite muchas veces, digamos

infinitas, entonces ƒA tiende a la

probabilidad de A ( P(A) )

ƒA P(A) n

Intuitivo


Probabilidad

Definición:

Sea E un experimento y sea S un espacio

muestral asociado a E, entonces a todo suceso

A, le asociaremos un número P(A), que

llamaremos, la probabilidad de que el suceso

A ocurra, y que tiene las siguientes

propiedades:

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Propiedades:

1. 0 P(A) 1

2. P(S) = 1

3. Sean A, B SME , es decir

A B = P(A B) = P(A) + P(B)

4. Sean A1, A2,...Ak SME de a pares, entonces:

P(A1 ….. Ak) = P(A1)+....+P(Ak)

ó P( Ai ) = P(Ai )


Teoremas Básicos:

1.- P() = 0

2.- Si A es el suceso complementario de A,

entonces: P(A) = 1 – P(A)

3.- Si A B entonces P(A) P(B)

4.- Sean A y B sucesos cualesquiera,

entonces:

P(A B) = P(A) + P(B) - P(AB)


Teoremas Básicos:

5.- Sean A, B, C sucesos cualesquiera,

entonces:

P(ABC) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A B) - P(A C) - P(B C) + P( A B C )

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Ejercicio 1

Sea ; P( A ) = x

P( B ) = y

P( AB ) = z

Determine:

_1.- P( A B ) =

_ _

2.- P ( A B ) =


Ejercicio 2

Sea ;

P(A)=P(B)=P ( C ) = ¼ , P(AB)= P(AC)= 1/8 y

P(BC)= 0 , Determine: P(A B C)=

Respuesta: Según Teo. 5 , Tenemos:

P(ABC) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A B) - P(A C) - P(B C) + P( A B C )

Luego;

P( A B C ) = 1/4 + 1/4 + 1/4 – 1/8 - 1/8 – 0 + 0 = 1/2


A B

C

S

1/4 1/4

1/4

1/8

1/8

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Espacios Muestrales Finitos

Sea E un experimento y sea S = { s1,s2,....sk } un

espacio muestral finito, entonces, a cada suceso de la

forma si = {si } : lo llamaremos suceso elemental.

(el formado por un solo elemento), y le asociaremos

un número pi, que llamaremos, la probabilidad que el

suceso {si} ocurra ( pi=P({si}) ) y que cumple con las

Siguientes condiciones:

1.- pi 0 i= 1,2,......k

2.- pi = 1



Sea A S un suceso cualesquiera talque:

A={s1 , s2 ,----, sr} ; r k

luego;

A = {s1 } {s2 } ---- {sr }

P(A) = P(s1) + P(s2) + --- + P(sr)

por lo tanto; P(A) = p1 + p2 + ----- + pr Prp. 4



Ejemplo:

Supongamos que solo son posibles 3

resultados en un experimento aleatorio, de

tal manera que S = {s1, s2, s3}. Supongamos

además que la ocurrencia de s1, es dos veces

más probable que s2, y que s2 es dos veces más

probable que s3.¿ cuál es el valor de p1, p2 y p3?

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Sea P({si}) = pi i, i = 1,2,3

Tenemos que : p1 = 2p2

p2 = 2p3

Luego p1 = 2(2p3) = 4p3

Pero p1 + p2 + p3 = 1

por lo tanto:

4p3 + 2p3 + p3 = 1

luego:

p3 = 1/7 , p2 = 2/7 , p1 = 4/7


Sucesos Equiprobables

Dos sucesos se dicen que son equiprobables

si tienen igual probabilidad.

Sea S= {s1,s2,------sk} y

sea p1,p2,....,pk sus probabilidades

respectivas, si los sucesos elementales son

equiprobables.


Puesto que:

Si S = { s1,s2,......sk}, y como los {si} son

equiprobables entonces, p1= p2 = ......= pk = p

Luego como:

k

i

k

i

ik

pkppp1 1

11

10



De igual manera si A es un suceso cualesquiera tal que:

A = {s1,s2,------sr}

Donde, p1,p2,....,pr sus probabilidades respectivas, y

equiprobables entonces:

P(A) = p1 + p2 + - - - - - + pr = r p

y como p = 1/k , entonces:

P(A) = r / k



Observación:

Si S es un espacio muestral, donde sus

sucesos elementales son equiprobables y

A S entonces:

P(A) = #A / #S = r / k

#A: Números de elementos que tiene A y se

lee el cardinal de A.

(Casos favorables/Casos Posibles)


Ejemplo

Sea E : se lanza un dado equilibrado y se cuenta el número

de puntos que aparecen en la cara superior. Determine:

a.- El espacio muestral

b.- Sea A: sale un número par

B: sale el dos o el tres

Determine:

_ _

P(A) , P(B) , P(AB) , P(AB)

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1.- El espacio muestral es : S = { 1,2,3,4,5,6}

2.- A = { 2,4,6 } Luego #A = 3

B = { 2,3} Luego #B = 2

Por lo tanto ;

P(A) = 3/6 = 1/2 P(B) = 2/6 = 1/3_

P(A B) =

_

P(A B) = 5/6

2/6 = 1/3


Métodos de Enumeración

1.- Principio de Adición: ( Regla del o )

E1 n1

E2 n2

} E1 o E2 n1+n2

Ejemplo:

P Q

Valpso. Stgo.

E1:Aéreo

E2:Tierra

Luego: n1 + n2

Avión

Helicóptero

Bus

Auto

Moto



2.- Principio de Multiplicación: ( Regla del y )

E1 n1

E2 n2

} E1 y E2 n1 x n2

Ejemplo:

P Q

Chile Europa

R

Brasil

E1:n1

E2:n2Luego: n1 x n2

A

M

T

M

A

A

MA

M

Diagrama del Árbol

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3.- Permutación:

Si tenemos n objetos distintos, y queremos

ordenarlos tomando r de ellos. El número de

formas de hacer esta operación, esta dado por:

)!(

!

rn

nP

n

r



4.- Combinación:

Si tenemos n objetos y queremos escoger r de ellos

sin que nos importe el orden. El número de maneras

de hacer esta operación, esta dado por:

!)!*(

!

rrn

nC

n

r



Observación:

1.- n! : Se lee n-factorial, y esta dado por:

n! = n x (n-1) x (n-2) x ......x 3 x 2 x1

= n x (n-1)!

2.- 0! = 1

Ejemplo : 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

= 5 x 4! = 120

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Ejercicio

1.-Supongamos que una oficina cuenta con 18 personas; determine:

a.- ¿Cuántas comisiones de 3 se pueden formar?

b.-¿Cuántas directivas con un presidente, un secretario y un tesorero, se pueden formar?

c.- Si en la oficina hay 10 mujeres.

c1.- ¿Cuántas comisiones de 3 persona se pueden formar,

cuando debe haber una mujer por lo menos?

c2.- ¿Cuántas directivas de 3 personas se puede formar, si

solo una mujer puede pertenecer?


Tarea Nº__

1.-Demostrar:

a.-

b.-

n

rn

n

r CC

11

1

n

r

n

r

n

r CCC

2.- Si en una oficina de 15 persona 8 son mujeres, y se eligen

al azar 4 para un trabajo. ¿Cual es la probabilidad de que:

a.- dos sean mujeres?

b.- al menos dos sean mujeres?


Ejemplo:

Se lanza una moneda dos veces, se registra el

signo que aparece; determine:

1.- El espacio muestral S.

2.- La probabilidad de que salga a lo menos un sello.

3.- La probabilidad de que salgan más caras que sello.

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Ejercicio

Una oficina cuenta con 18 personas, 10 de ellas

mujeres. Se seleccionan al azar dos, una después

de otra, y se clasifican según el sexo. Determine:

a.- El espacio muestral

b.- La probabilidad de que, al menos una sea mujer

c.- La probabilidad de que, hallan mas hombres que

mujeres.


Probabilidad Condicional

Supongamos que tenemos 100 artículos, 20de ellos defectuosos. Se escogen al azar 2, uno después del otro, y se definen los siguientes eventos:

A = el primer artículo es defectuoso B = el segundo artículo es defectuoso.

Determinar la probabilidad de A y B cuando el experimento se realiza: a.- con devolución b.- sin devolución.


a.- Con devolución:

P(A) = 20/100 = 1/5

P(B) = 20/100 = 1/5

b.- Sin devolución:

P(A) = 20/100 = 1/5

P(B) =19/99 si ocurrió A_

20/99 si ocurrió A{

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Notación:

P(B/A): Probabilidad de B dado que

ocurrió el suceso A.

En nuestro caso:

_

P(B/A) = 19/99 y P(B/A) = 20/99



Ejemplo: Se lanza un dado dos veces, el evento se

anota ( X1 , X2 ) donde, Xi es el resultado del

lanzamiento i ( i = 1,2):

1.- Determine: El espacio muestral S

Si se definen: A = {(X1 , X2) / X1 + X2 =8 }

B = {(X1 , X2) / X1 > X2 }

2.- Determine:

P(A), P(B), P(A B), P( B/A), P(A/B)


1.- S = { (1,1) ; (1,2) ; ..........; (1,6)

(2,1) ; (2,2) ;...........; (2,6)

-----------------------------

(6,1) ; (6,2) ;...........; (6,6) }

2.- A = {(2,6);(3,5);(4,4);(5,3);(6,2)} #A = 5

B = {(2,1)

(3,1);(3,2)

(4,1);(4,2);(4,3) #B = 15

(5,1);(5,2) (5,3);(5,4)

(6,1);(6,2);(6,3);(6,4),(6,5)}

Luego #S = 36

16


Por lo tanto: P(A) = 5 / 36

P(B) = 15 / 36 = 5 / 12

Luego P(B/A) = 2 / 5 P(A/B) = 2 / 15

P(A B) = 2 / 36 = 1 / 18

Observemos que:

P(B/A) x P(A) = 1/18

P(A/B) x P(B) = 1/18

P(A B)} =

y como: (A B) = {(5,3);(6,2)} # (A B) = 2



Definición:

)(

)()/(

BP

BAPBAP

)(

)()/(

AP

BAPABP


Ejemplo:

Supongamos que en una oficina hay 100 computadores

personales, 40 conectados a Internet, de los cuales solo 14

tienen lector de disco compacto (CD), el total de

computadores con (CD) es de 30. Se extrae uno del

total de computadores al azar determine la probabilidad

de que:

1.- este conectado a Internet.

2.- tenga lector de CD y este conectado a Internet

3.- si esta conectado a Internet, tenga lector de CD.

4.- si se extraen al azar 4 computadores,¿ cuál es la

probabilidad de que al menos dos tengan CD ?

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Desarrollo:

Sea A = El computador esta conectado a Internet.

B = El computador tiene lector de CD.

Luego tenemos:

A A Total

B 14 16 30

B 26 44 70

Total 40 60 100

Luego; 1.- P(A) = 40 / 100 = 2/5

2.- P(A 7

3.- P( B/A) = 14 / 40 = 7/20


Ejemplo 2:

De una caja que originalmente contiene

2 fichas azules y una ficha blanca, se extraen tres

al azar, en cada extracción, se saca una, se registra

el color y luego se devuelve a la caja junto con dos

fichas del mismo color. Calcule la probabilidad

de que:

a.- Se obtengan dos fichas azules si hay al menos

una ficha blanca.

b.- Solo dos fichas sean blancas.

c.- Al menos dos fichas sean azules.


Sea A: la ficha es azul

B: la ficha es blanca.

A

B

2/3

1/3

Diagrama del Árbol

S = {AAA ,AAB, ABA, BAA, ABB, BAB, BBA, BBB}

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

4/5

1/5

2/5

3/5

6/7

1/7

4/7

4/7

3/7

3/7

2/7

5/7

2 A

1 B

18


a.- Se obtengan dos fichas azules si hay al menos

una ficha blanca.

b.- Solo dos fichas sean blancas.

c.- Al menos dos fichas sean azules.

a.- ( 2/3 x 4/5 x 1/7 ) + ( 2/3 x 1/5 x 4/7 ) + ( 1/3 x 2/5 x 4/7 ) =

8 /105 + 8/105 + 8/105 = 24 / 105=8/35

b.- ( 2/3 x 1/5 x 3/7 ) + (1/3 x 2/5 x 3/7 ) + ( 1/3 x 3/5 x 2/7 ) =

6/105 + 6/105 + 6/105 = 18 / 105=6/35

c.- ( 2/3 x 4/5 x 1/7 ) + ( 2/3 x 1/5 x 4/7 ) + ( 1/3 x 2/5 x 4/7 ) +

(2/3 x 4/5 x 6/7 ) = 8/105 + 8/105 + 8/105 + 48/105 = 72 / 105

= 24/35


Definición: Sean B1,B2,......Bk sucesos asociados

a un espacio muestral S. Si se cumplen

las siguientes condiciones:

i.- Bij = i j = 1,2,...,k

ii.- Bi = S

iii.- P( Bi ) 0 i ; i = 1,2,...,k

Entonces diremos que B1,B2,....Bk forman

una Partición del espacio muestral S


Sea A un suceso asociado a un espacio muestral S

y si B1,B2,....Bk una partición de S:

Luego A = (A1) (A) ........... (A)

aún cuando algún A i = i i = 1,2,...,k por lo tanto

P(A) = P((A1) (A) ..... (A))

nos queda

P(A) = P(A1) + P(A2)+....................+ P (A)

Como;

Luego tenemos;P(A) = P(A/1) x P(B1) + P(A/) x P(B2) +......+ P(A/k) x P(Bk)

Esto se conoce como, Teorema de Probabilidad Total

)(

)()/(

BP

BAPBAP

)(*)/()( BPBAPBAP

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El Teorema de Probabilidad Total también se puede

Escribir como:

k

i

ii BPBAPAP1

)(*)/()(


Ejemplo:

Cierto artículo es manufacturado por tres fábricas: F1, F2, F3.

Se sabe que la F1, produce el doble de artículos que F2 y que esta

y F3, producen el mismo número de artículos.

También se sabe que el 2% de los artículos producidos por cada una

de las dos primeras (F1 y F2), son defectuosos, mientras que el 4%

de los producidos por F3, es defectuoso. Se ponen todos los artículos

juntos, de las tres fábricas, y se elige uno al azar ; Determine:

1. Cuál es la probabilidad de que el artículo escogido sea defectuoso?

2. Si el artículo escogido es defectuoso, ¿Cuál es la probabilidad de

que sea de F1 ?


Sean los siguientes sucesos:

A = { el artículo es defectuoso}

Bi = { el artículo proviene de la Fi } i = 1, 2, 3

Luego tenemos: B1 B2

B3

P(A) = P( (A1) (A) (A) )

A

S

= P(A/B1) P(B1) + P (A/B2) P(B2) + P (A/B3) P(B3)

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Sea ni: número de artículos que produce la Fi

y n = n1 + n2 + n3

Por lo tanto como :

n1 = 2 n2

n2 = n3

entonces

n1 = 2 n3

y poniendo todo en función de n3, tenemos:

n = 2 n3 + n3 + n3 = 4 n3

Luego P(B1) = n1/n = 2n3 / 4 n3 = 1/2

P(B2) = n2/n = n3 / 4 n3 = 1/4

P(B3) = n3/n = n3 / 4 n3 = 1/4


Por otro lado tenemos:

P(A/B1) = 0.02

P(A/B2) = 0.02

P(A/B3) = 0.04

Por lo tanto:

P(A) = P(A/B1) P(B1) + P (A/B2) P(B2) + P (A/B3) P(B3)

= 0.02 x 1/2 + 0.02 x 1/4 + 0.04 x 1/4 = 1/40 =0.025

y 2.- la probabilidad de que sea de la F1 dado que es defectuoso será

P(B1) = ½

P(B2) = ¼

P(B3) = ¼


Podemos decir que:

3

1

111

)(*)/(

)(*)/()/(

j

jj BPBAP

BPBAPABP

4.0

4/1*04.04/1*02.02/1*02.0

5.0*02.0)/1(

ABP

21


Generalizando tenemos:

Sea E un experimento, S un espacio muestral, B1….Bk.

una partición de S, y A un suceso cualesquiera, Entonces:

ki

BPBAP

BPBAPABP

k

j

jj

iii ...1;

)(*)/(

)(*)/()/(

1

Esto se conoce como Teorema de Bayes


Sucesos Independientes

Sean A y B dos sucesos asociados a un espacio muestral S

Diremos que son Independientes, cuando la ocurrencia de

uno no afecta la ocurrencia del otro.

A y B son sucesos Independientes, si y solo si

)()/(

)()/(

BPABP

APBAP


Ejercicio

1. Si A está incluido en B, entonces B es

independiente de A?

2. Si A y B son sucesos Mutuamente

Excluyentes, entonces son

Independientes?

22


Sucesos Independientes

Ejemplo: Se lanza un dado dos veces, el evento se

anota ( X1 , X2 ) donde, Xi es el resultado del

lanzamiento i ( i = 1,2):

Si se definen: A = {(X1 , X2) / X1 es par }

B = {(X1 , X2) / X2 es 4 o 5 }

2.- Determine:

P(A), P(B), P(A B), P( B/A), P(A/B)


A = { (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6)

(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6)

(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6) }

#A=18

B={(1,4), (1,5)

(2,4), (2,5)

(3,4), (3,5)

(4,4), (4,5)

(5,4), (5,5)

(6,4), (6,5) }

#B=12

P(A)= #A / #S = 18/ 36 = 1/2

Sabemos que el #S = 36

P(B) = #B / #S = 12 / 36 = 1/3

AB = {(2,4), (2,5)

(4,4), (4,5)

(6,4), (6,5) }

# AB = 6P(AB ) = # AB /#S = 6 / 36 = 1/6

2/13/1

6/1

)(

)()/(

BP

BAPBAP

3/12/1

6/1

)(

)()/(

AP

BAPABP

)(*)()( BPAPBAP )(AP

)(BP


Definición

Sean A y B dos sucesos asociados a un espacio muestral S

Diremos que son Independientes si y solo si:

)(*)()( BPAPBAP

23


Suponga que 192 de 960 trabajos en una universidad son de alta

prioridad; de éstos, 128 son propuestos por estudiantes. y 64 por

el cuerpo docente. Del total, 640 trabajos son de los estudiantes y

320 de docentes. Si se selecciona un trabajo al azar. Determine:

a.- La probabilidad de que sea de alta prioridad y propuesto por

un estudiante.

b.-La probabilidad de que sea de alta prioridad, dado que

sabemos que fue propuesto por un estudiante.

c.- Es Independiente que el trabajo sea de alta prioridad, con que

sea propuesto por un estudiante?

Ejercicio:


R Q

Ejercicio

Supongamos que la probabilidad de que un

relé se cierra independientemente, es de p.

Determine la probabilidad de que la corriente pase de R a Q

1

2

3

4


Ejercicio

Tres agencias de aduanas A, B y C pretenden

exportar 5.000 cajas de manzanas cada una. Se

sabe que 1/5 de las cajas de A, y 1/4 de las de

B, están en mal estado. Se juntan todas las

cajas ( de las tres agencias) , se selecciona una y

se observa que está en mal estado, ¿Cuál es la

probabilidad que sea de la agencia A?.

24


Ejercicio

La probabilidad de que un vehículo tenga un accidente en

Santiago es de 4/9, y la probabilidad de que un vehículo

tengan accidente en Buenos Aires es 8/15. Se elijen al azar un

Vehículo simultáneamente en cada ciudad, determine la probabilidad

de que tengan accidentes:

a.- Ambos

b.- Al menos uno

c.- Solo el de Buenos Aires

d.- Solo uno


Ejercicio

Si A y B son sucesos Independientes,

entonces, ¿A y B son Independientes?


F I N

Nos vemos en Variables Aleatorias

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