Bab 1 Medan Listrik dan Hukum Gauss

Tim Fisika Dasar 2013/2014

Muatan Listrik

Kita mulai dengan pertanyaan: mengapa petir bisa terjadi?• Petir adalah salah satu cara transfer energi• Energi listrik yang disimpan dalam bentuk gesekan-gesekan uap air di

atmosfir sampai kepada 1 titik dimana energi itu tidak dapat disimpan• Hasilnya adalah aliran listrik dari awan ke bumi

Konsep muatan

Dalam skala kecil yang bisa dicoba, gesekkan sebuah batang dari gelas dengan kain sutra, lalu dekatkan ke sebuah batang dari karet• Keduanya akan saling menarik karena memiliki muatan berbeda• Apabila didekatkan, akan ada percikan diantara kedua benda itu• Tetapi, jikalau batang dari gelas itu diubah ke batang karet, maka

mereka akan saling menolak

Muatan Listrik

Positif dan negatif

Kita lihat dari gambar sebelumnya kalau ada dua jenis muatan listrik: positif dan negatif.Dalam sebuah atom, terdapat tiga komponen

Penambahan atau pengurangan elektron bisa dilakukan dengan cara induksi seperti dibawah ini

Proton mempunyai muatan positifNeutron mempunyai muatan netral (nol)Elektron mempunyai muatan negatif

Perpindahan elektron, baik ditambah atau dikurangi, akan mengubah muatan listrik pada benda itu• Ketika elektron diambil, maka jumlah muatan akan menjadi

positif• Sebaliknya, jumlah muatan akan menjadi negatif ketika

elektron ditambah

Hukum Coulomb

Hukum Coulomb Pada tahun 1795, seorang fisikawan bernama Charles Coulomb menemukan melalui eksperimen bahwa gaya diantara dua bola yang diberikan muatan adalah proporsional terbalik dengan jarak diantara bola tersebut

𝐹𝑒 = 𝑘𝑒𝑞1𝑞2𝑟2

𝑟𝑒

Rumus ini diformulasikan dalam bentuk rumus gravitasi, dimana q1 dan q2 adalah muatan dari bola 1 dan bola 2, r adalah jarak diantara kedua bola, dan ke

adalah konstanta Coulomb yang bernilai

C adalah satuan untuk q yang dinamakan Coulomb. 1 Coulomb adalah banyaknya muatan listrik yang dibawa oleh arus sebesar 1 Ampere mengalir selama 1 detik. 1 Coulomb juga adalah 6.24 x 1018 kali muatan elektron

Konstanta Coulomb juga bisa didapatkan dengan cara sebagai berikut

dimana ϵ0 adalah permitivitas vakum (vacuum permittivity) dan bernilai

8.9876 × 109𝑁 ∙ 𝑚2𝐶2

𝑘𝑒 =1

4𝜋𝜖0

8.854187 × 10−12 𝐶2

𝑁 ∙ 𝑚2

Alat yang digunakan oleh Coulomb untuk menghitung gaya tolak dari muatan

Hukum Coulomb

Contoh Soal

Dalam atom hidrogen, proton dan elektron terpisah rata-rata oleh jarak sebesar 53 pm (picometer). Cari besarnya efek gaya elektrik dan gaya gravitasi pada dua benda tersebut.

Jawaban

𝐹𝑒 = 𝑘𝑒𝑞1 𝑞2𝑟2

= 𝑘𝑒𝑒 −𝑒

𝑟2

= 8.988𝐸91.602𝐸−19 2

5.3𝐸−11 2

𝐹𝑒 = 8.24 × 10−8 𝑁

𝐹𝑔 = 𝐺𝑚𝑒𝑚𝑝

𝑟2

= 6.673𝐸 − 119.11𝐸 − 31 1.67𝐸 − 27

5.3𝐸 − 11 2

𝐹𝑔 = 3.63 × 10−47 𝑁

Hukum Coulomb

Kita bisa melihat dari gambar tersebut bahwa gaya dari q3 ke q1 dan q2 adalah gaya tarikan. Karena sudah ditulis di soal bahwa net gata tersebut nol, maka

𝑘𝑒𝑞2 𝑞3𝑥2

= 𝑘𝑒𝑞1 𝑞32 − 𝑥 2

𝑞2𝑥2=

𝑞12 − 𝑥 2

2 − 𝑥 2 8 × 10−6 = 𝑥2 18 × 10−6

𝑥1 = 4 𝑥2 = 0.8

Tiga titik bermuatan terletak pada garis sumbu x sedemikian rupa. q1

bermuatan 18μC dan berada pada titik (2,0) sedangkan q2

bermuatan 8μC dan berada pada titik (0,0). Jika net gaya yang dialami oleh q3 adalah nol, carilah koordinat untuk q3.

𝐹23 = − 𝐹13→ 𝐹23 = 𝐹13

4 − 4𝑥 − 𝑥2 8 = 18𝑥2

8𝑥2 − 32𝑥 + 32 = 18𝑥2

10𝑥2 + 32𝑥 − 32 = 0

5𝑥2 + 16𝑥 − 16 = 0

𝑥 =−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎𝑥 =

−16 ± 162 − 4(5)(−16)

2(5)

x terletak diantara 0 dan 2, dan karena itu x1 tidak valid karena berada diluar 2. Jadi jawaban yang benar adalah x = 0.8Koordinat q3 adalah (0.8,0)

Contoh Soal

Jawaban

Medan Listrik

Keberadaan muatan listrik membuat volume di sekitar obyek tersebut mempunyai medan listrik yang dipengaruhi oleh tanda muatan

• Secara konvensi, untuk muatan positif, arah medan listrik adalah keluar• Untuk muatan negatif, arah medan listrik adalah ke dalam• Kita bisa mengingat dengan cepat apabila kita ganti P ke sebuah benda bermuatan positif,

maka garis-garis konvensi tersebut akan cukup jelas• Rumus untuk medan listrik pada suatu benda bermuatan adalah

𝐸 = 𝐹𝑒𝑞0= 𝑘𝑒

𝑞

𝑟2 𝑟 satuan: N/C

Medan Listrik

Untuk sumber muatan yang tersebar, persamaan tersebut menjadi

dq tergantung dari distribusi muatan pada sumber tersebut- Jika muatan Q tersebar secara teratur dalam volume V, maka densitas muatan volume ρ

adalah

- Jika muatan Q tersebar secara teratur pada luas di permukaan A, maka densitas muatan permukaan σ adalah

- Jika muatan Q tersebar secara teratur pada garis l, maka densitas muatan linear λ adalah

𝐸 = 𝑘𝑒 𝑑𝑞

𝑟2 𝑟

𝜌 =𝑄

𝑉→ 𝑑𝑞 = 𝜌𝑑𝑉

𝜎 =𝑄

𝐴→ 𝑑𝑞 = 𝜎𝑑𝐴

𝜆 =𝑄

𝑙→ 𝑑𝑞 = 𝜆𝑑𝑙

Garis-garis Medan Listrik

Untuk memudahkan pengertian kita terhadap medan-medan listrik ini, maka dibuatlah garis-garis medan listrik • Setiap medan listrik mempunyai garis-garis

dengan jumlah yang proporsional dengan kekuatan medan tersebut

• Konsentrasi garis-garis ditentukan oleh berapa dekatnya dengan sumber muatan. Semakin dekat pada sumber, maka medan listrik tersebut akan menjadi kuat dan lemah jika sebaliknya

• Arah garis-garis sama dengan konvensi yang digunakan (positif keluar dan negatif ke dalam)

• Garis-garis mulai dari sumber positif dan berakhir pada sumber negatif (jikalau keduanya ada)

• Jumlah garis-garis yang keluar dari medan positif sama dengan jumlah garis-garis yang masuk ke medan negatif

• Bagaimana jikalau salah satu medan lebih kuat (lebih banyak garis-garis)?

• Bagaimana juga dengan kasus di sebelah kanan? Titik manakah yang mempunyai efek medan listrik terkuat? Terlemah?

Gerakan Partikel Bermuatan di Medan Listrik Teratur

𝐹𝑒∆𝑥 =1

2𝑚𝑣2 − 0 → 𝑣 =

2𝐹𝑒∆𝑥

𝑚

• Partikel bermuatan yang terletak di dalam medan listrik akan bergerak sesuai dengan muatan yang dimiliki

• Sebagai contoh, pada gambar di samping, sebuah partikel bermuatan positif bergerak ke arah medan listrik negatif

• Dari persamaan sebelumnya, kita bisa menyimpulkan bahwa

𝐹𝑒 = 𝑞𝐸 = 𝑚 𝑎 𝑎 =𝑞𝐸

𝑚

• Kecepatan akhir untuk contoh ini bisa didapatkan dari perhitungan energi

• Dengan kecepatan awal sebagai nol, maka perbedaan energi kinetik adalah

• Dari rumus sebelumnya, kita mensubstitusi Fe dengan qE

𝑣 =2𝑞𝐸𝑑

𝑚

Contoh Soal

Jawaban

Sebuah proton berakselerasi dari kecepatan nol di dalam medan listrik terartur sebesar 640 N/C. Kecepatan akhir proton tersebut adalah 1.2 Mm/s(a)Berapakah percepatan yang dialami?(b)Tentukan waktu yang diperlukan untuk mencapai kecepatan tersebut(c)Berapakah jarak yang ia tempuh?(d)Tentukan energi kinetik proton tersebut(e)Hitung gaya yang dialami oleh proton

(d) 𝐾𝐸 =1

2𝑚𝑣2(a) 𝑎 =

𝑞𝐸

𝑚=1.602𝐸 − 19 × 640

1.673𝐸 − 27= 6.13 × 1010 𝑚 𝑠2

(c)

(b) 𝑣 = 𝑎𝑡 → 1.2𝐸6 = 6.13𝐸10 × 𝑡

𝑡 =1.2𝐸6

6.13𝐸10= 1.957 × 10−5 𝑠

𝑠 = 𝑠0 + 𝑣0𝑡 +1

2𝑎0𝑡

2

𝑠 =1

2× 6.13𝐸10 × 1.957𝐸 − 5 2

𝑠 = 11.7 𝑚 Kita juga bisa menggunakan area dibawah kurva kecepatan untuk mendapatkan jarak

𝐾𝐸 =1

2× 1.673𝐸 − 27 × 1.2𝐸6 2

= 1.2 × 10−15𝐽

(e) 𝐹 = 𝑚𝑎 = 1.673𝐸 − 27 × 6.13𝐸10= 1.025 × 10−16𝑁

Perhatikan bahwa meskipun percepatannya sangat besar, energi kinetik dan gaya yang dialami oleh proton sangat kecil karena ordo magnitude dari massanya yang jauh lebih kecil lagi

Gerakan Partikel Bermuatan di Medan Listrik Teratur

Fluks listrik adalah kumpulan garis-garis listrik dari medan listrik yang melewati suatu permukaan. Karena densitas dari garis-garis tersebut adalah proporsional dengan besarnya medan listrik, maka besarnya suatu fluks listrik diberikan dengan rumus:

Φ𝐸 ≡ 𝑠𝑢𝑟𝑓𝑎𝑐𝑒

𝐸 ∙ 𝑑 𝐴

Fluks Listrik

Secara definisi, sebuah fluks listrik dihitung dengan mencari integral permukaan dari benda tersebut. Pada umumnya, nilai ΦE

bergantung pada pola medan listrik dan permukaan tersebut

Φ𝐸 = 𝐸𝐴⊥ = 𝐸𝐴 cos 𝜃

Ketika fluks listrik melewati secara normal (tegak lurus dari permukaan), maka cos 𝜃akan otomatis menjadi 1

Fluks Listrik

Fluks Listrik

Untuk fluks listrik yang melewati permukaan tertutup, seperti di gambar sebelah kiri, maka cara menghitung jumlah fluksnya adalah untuk mengevaluasi setiap panel di permukaan itu

Φ𝐸 = 𝐸 ∙ 𝑑 𝐴 = 𝐸𝑛𝑑𝐴

dimana En adalah fluks yang telah diproyeksikan ke arah normal.

Jikalau kita mencoba untuk menghitung, maka hasil yang kita akan peroleh adalah nol. Karena adanya fluks yang negatif oleh karena arah normal yang terbalik dengan arah fluks, maka fluks di sebelah kiri permukaan akan sama dalam magnitude dengan fluks di sebelah kanan.

Hukum Gauss

Mari kita bayangkan sebuah muatan yang dikelilingi oleh sebuah permukaan berbentuk bola. Menurut persamaan sebelumnya, kita bisa menulis net fluks melalui permukaan Gaussian ini sebagai

E dipindahkan keluar dari integral karena secara simetri, nilai E adalah sama pada permukaan bola tersebut. Nilai E diberikan

dengan 𝑘𝑒𝑞

𝑟2dan karena area permukaan bola adalah 4𝜋𝑟2, maka

rumus untuk net fluks adalah

Disini kita melihat bahwa net fluks tidak bergantung pada radius tetapi hanya pada muatan yang berada di dalam permukaan tersebut

Φ𝐸 = 4𝜋𝑘𝑒𝑞 =𝑞𝑖𝑛𝜖0

Φ𝐸 = 𝐸 ∙ 𝑑 𝐴 = 𝐸 𝑑𝐴

Hukum Gauss

Hukum Gauss

Dengan melihat diagram di samping, kita bisa menjelaskan hukum Gauss secara singkat. Untuk gambar di sebelah kiri, net fluks listrik adalah seperti persamaan yang diberikan,

yaitu Φ𝐸 = 𝐸 ∙ 𝑑 𝐴

Tetapi, untuk gambar di sebelah kanan, karena medan listrik berada di luar, maka fluks masuk sama dengan fluks keluar dan akibatnya, net fluks untuk kasus itu akan menjadi nol.

Aplikasi untuk Hukum Gauss

Jikalau kita ingin menghitung besarnya medan listrik diluar bola tersebut, maka kita bisa menulis persamaan sebagai berikut

𝐸 4𝜋𝑟2 =𝑄

𝜖0→ 𝐸 = 𝑘𝑒

𝑄

𝑟2

Φ𝐸 = 𝐸 ∙ 𝑑 𝐴 = 𝐸 𝑑𝐴 =𝑄

𝜖0

dan kita melihat bahwa untuk kasus ini, medan ini sama dengan ketika medan listrik berasal dari muatan titik (point charge). Tetapi, untuk besarnya medan listrik di dalam bola tersebut

𝐸𝐴 =𝑞𝑖𝑛𝜖0→ 𝐸 =

𝜌43𝜋𝑟3

4𝜋𝜖0𝑟2

Dengan mendefinisikan bahwa radius bola itu adalah a, maka 𝜌 =

𝑄4

3𝜋𝑎3

. Masukkan itu ke dalam

persamaan di atas:

𝐸 =𝑄𝑟3

𝑎3

4𝜋𝜖0𝑟2→ 𝐸 = 𝑘𝑒

𝑄

𝑎3𝑟 (𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑟 < 𝑎)

Kita gabungkan kedua persamaan itu untuk mendapatkan grafik ini

Aplikasi untuk Hukum Gauss

Ketika sebuah konduktor listrik pada kesetimbangan elektrostatik, maka tidak ada perpindahan muatan di dalam konduktor tersebut. Ia memiliki sifat-sifat tertentu:• Medan listrik dalam konduktor tersebut adalah nol• Jika sebuah konduktor membawa muatan dan konduktor tersebut terisolasi, maka muatan itu akan

diam di permukaannya• Medan listrik pada titik tepat diluar konduktor yang bermuatan akan tegak lurus dengan permukaan

tersebut dan mempunyai magnitude 𝜎 𝜖0, dimana σ adalah densitas muatan pada titik di permukaan

tersebut• Untuk konduktor yang berbentuk tidak teratur, densitas muatan terbesar terletak pada titik dimana

radius kelengkungan permukaan adalah yang terkecil

Contoh Soal

Jawaban

Gambar di sebelah kanan menunjukkan sebuah garis sangat panjang yang bermuatan positif. Hitung medan listrik pada jarak r dari garis tersebut jika muatan per unit panjang adalah λ.

Kita bisa lihat dari gambar kedua bahwa medan listrik tersebut adalah simetris, maka kita bisa langsung memakai hukum Gauss.

Φ𝑒 = 𝐸𝐴 =𝑞𝑖𝑛𝜖0

𝑞𝑖𝑛 = 𝜆𝑙 𝐴 = 2𝜋𝑟𝑙

𝐸 =𝜆𝑙

2𝜋𝑟𝑙𝜖0= 2𝑘𝑒

𝜆

𝑟

Aplikasi untuk Hukum Gauss

Sebuah bola dengan radius a mempunyai muatan Q yang tersebar secara rata pada seluruh volumenya. Bola itu dilapiskan oleh konduktor berupa bola berongga yang lebih besar dengan radius dalam b dan radius luar c. Bola berongga mempunyai muatan net sebesar -2Q. Hitunglah medan listrik untuk setiap daerah yang tertera.

Contoh Soal

Jawaban

𝐸1 = 𝑘𝑒𝑄

𝑎3𝑟 (𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑟 < 𝑎)

𝐸2 = 𝑘𝑒𝑄

𝑟2(𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑎 < 𝑟 < 𝑏)

𝐸3 = 0 (𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑏 < 𝑟 < 𝑐)

𝐸4 = −𝑘𝑒𝑄

𝑟2(𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑟 > 𝑐)

Ketika r < a, r berada dalam pengaruh muatan bola yang kecil. Maka hasilnya akan sama seperti persamaan yang kita dapatkan di awal

Karena medan listrik di dalam konduktor adalah nol, maka kasus untuk sebelumnya tetap berlaku

Definisi dari konduktor dalam kesetimbangan elektrostatik

Net dari kedua muatan tersebut adalah –Q, jadi kita hanya mengganti qin dengan nilai tersebut