hukum coulomb, kuat medan dan hukum gauss
TRANSCRIPT
HUKUM COULOMB, KUAT MEDAN DAN HUKUM GAUSS
Oleh :
Komang Suardika (0913021034)
JURUSAN PENDIDIKAN FISIKA
FAKULTAS MIPA
UNIVERSITAS PENDIDIKAN GANESHA
SINGARAJA
2011
HUKUM COULOMB, KUAT MEDAN DAN HUKUM GAUSS
I. HUKUM COULOMB
1.1 Muatan Listrik
Muatan listrik adalah salah satu sifat dasar dari partikel elementer tertentu. Terdapat dua jenis
muatan, muatan positif dan muatan negatif. Muatan positif pada bahan dibawa oleh proton,
sedangkan muatan negatif oleh elektron. Muatan yang bertanda sama saling tolak menolak,
muatan dengan tanda berbeda saling tarik menarik.
Gambar 1. sifat muatan listrik
Fenomena sehari-hari yang dikaitkan dengan istilah kelistrikan adalah fenomena elektrostatis
dimana Sebatang plastik digosokkan pada kain wool beberapa saat. Kemudian dekatkan
batang plastik pada potongan kertas kecil. Yang terjadi potongan kertas kecil akan menempel
ke batang plastik.
Gambar 2. Fenomena Elektrostatis
Berdasarkan teori atom dikatan bahwa dalam proses penggosokan ini elektron berpindah dari
wool ke batang plastik sehingga batang plastik bermuatan negatif dan wool bermuatan
positif. Proses kelistrikan dengan gosokan tersebut menyebabkan benda menjadi bermuatan
atau memiliki muatan listrik. Muatan listrik tersebut merupakan fenomena yang mendasar
yang sulit untuk dijelaskan kecuali didalam konteks efek yang ditimbulkannya. Eefk tersebut
adalah perubahan seperti gaya interaksi. Gaya-gaya antar muatan listrik bisa berupa gaya
tarik-menarik atau tolak menolak dimana ini di terapkan oleh Coulomb, yang dikenal dengan
hukum Coulomb.
1 2r
Gambar 3. Gaya interaksi antar dua muatan dengan jarak r
1.2 Hukum Coulomb
Berdasarkan hasil eksperimen yang dilakukan oleh Charles Augustin de Coulomb
(1736-1806) diperoleh beberapa kesimpulan bahwa: (a) terdapat dua jenis muatan listrik
yaitu muatan positif dan muatan negatif, (b) dua muatan titik mengerjakan gaya satu sama
lain sepanjang garis penghubung kedua muatan tersebut, (c) besar gaya tersebut
berbanding lurus dengan hasil kali kedua muatan dan berbanding terbalik dengan kuadrat
jarak kedua muatan tersebut.
Dari ketiga pernyataan diatas, pernyata a dan c disebut dengan hukum Coulomb.
Berikut ini merupakan penggambaran konsep hukum coulomb untuk dua buah muatan
titik.
Dari gambar dan uraian tersebut, hukum Coulomb dapat dirumuskan sebagai
berikut:
F = kq1 q2
r 2……………………….………………………(1)
Keterangan:
q1 & q2 = masing-masing muatan titik (Coulomb),
r = jarak antara q1 dan q2 (meter),
F = gaya interaksi antara q1 dan q2 (Newton),
k = konstanta pembanding yang besarnya 8,9874 ¿ 109 N m2 / Coulomb
di mana k =
14 πε0 , denganε 0 adalah permitivitas ruang hampa yang besarnya 8,854
¿ 10−12 Coulomb2 / N m2.
0
r2
r1q1
q2
r12 = r1 - r2
Gambar 4. Gaya listrik antara dua muatan.
(a)
X14
0 (b)
12
3
Y
4
13
12
X
Y
1 23
0 4
12 3
4
Gambar 5. Gaya Coulomb oleh Beberapa Muatan.
Hukum Coloumb jika dituliskan secara vektor, maka bentuknya sebagai berikut
(Sujanem, 2001):
F12=kq1 q2
r122
r12=−F21
…………………………………………… (2)
dengan r12 adalah jarak 1 dan 2, F21 adalah gaya pada partikel 2 oleh partikel 1, dan r12 = -
r21 adalah vektor satuan yang berarah dari q2 menuju q1. Persamaan di atas hanya berlaku
untuk muatan titik, jika bukan merupakan muatan titik maka persamaan tersebut tidak
berlaku.
1.3 Gaya Coulomb oleh Beberapa Muatan.
Jika ada muatan titik lebih dari dua, maka gaya total yang dialami oleh satu muatan
titik adalah penjumlahan vektor gaya dari setiap gaya yang ditimbulkan oleh masing-
masing muatan titik yang lain.
Tinjaulah empat buah muatan titik seperti gambar berikut:
R
r’
r0
dq’
R
q
Bila q1 , q2 , q3 , dan q4 terpasang kuat pada posisi masing-masing, gaya resultan pada q1
karena q2 , q3 , dan q4 adalah:
F1=F12+F13+F14
Dengan F12 adalah gaya antara q1 dan q2 , F13 adalah gaya antara q1 dan q3 , serta F14
adalah gaya antara q1 dan q4 . Jadi, gaya pada q1 oleh beberapa muatan adalah superposisi
gaya interaksi antara q1 dengan masing-masing muatan. Pernyataan ini merupakan prinsip
superposisi pada interaksi Coulomb.
Pada dasarnya prinsip ini berlaku selama interaksi antara q1 dengan masing-masing
muatan tidak saling mengganggu. Misalnya interaksi q1 dan q2 tidak terganggu oleh
muatan lain. Dan hal ini hanya dapat terjadi selama posisi muatan tetap, seolah-olah tiap
muatan titik terpaku kuat pada posisi masing-masing.
Prinsip superposisi juga dapat diterapkan untuk menentukan gaya pada sebuah muatan
oleh muatan yang lain. Misalkan ada N benda bermuatan titik 1, 2,…,N dengan besaran
skalar q1 , q2 ,….,qN yang terletak pada r1 , r2, . .. . ,r N , secara berturut-turut, dari titik asal 0.
Gaya yang bekerja pada muatan q yang terletak pada jarak r dengan semua muatan yang
lain yaitu:
Fq = q ∑i = 1
N qi
4 πε0
(r−ri )
|r−ri|3
…………………………………………… (3)
Dengan k≡
14 πε 0
≡10−7c2≃9 x109 Nm2
C2
1.4 Distribusi Muatan Kontinu
Kita sering menjumpai muatan suatu benda yang terdistribusi secara kontinu. Tinjau elemen
distribusi muatan yang sangat kecil dq’ dan di perlakukan sebagai muatan titik,
Gambar 6. Elemen muatan dari distribusi kontinu
Dimana disini dapat menggunakan persamaan (3), namun tanda sigma diubah menjadi
integral seluruh distribusi muatan, dimana rumusnya:
Fq=q
4 πε0∫ dq ' R
R2................................................... (4)
Jika muatan terdistribusi melalui volume, maka kita gunakan rapat muatan volume ρ yang di
definisikan sebagai muatan per satuan volume dan akan diukur dalam Coulomb/(meter)3.
Dengan demikian muatan yang mengisi sumber volume kecil dτ’ adalah :
dq’ = ρ (r’) dτ’........................................................(5)
maka persamaan (4) menjadi :
Fq=q
4 πε0∫
v } } { { {ρ \( r' \) { {R}}dτ'} over {R rSup { size 8{2} } } } } } {¿ ¿
¿¿......................................... (6)
Dimana ditulis ρ = ρ (r’) karena secara umum kerapatan volume dapat berubah terhadap jarak
titik sumber.
Dengan cara yang sama, muatan dapat di idealisasikan terletak pada permukaan atau
sepanjang garis. Rapat muatan permukaan σ yang menyatakan muatan per satuan luas, dan
kerapatan muatan linier λ adalah muatan persatuan panjang. Dari pengertian ini maka
diperoleh hubungan :
dq '=σ (r ' )da ' atau dq '=λ(r ' )ds '
Dengan demikian persamaan (4) menjadi:
Fq=q
4 πε0∫
s} } } } { { {σ \( r' \) { {R}} ital da `'} over {R rSup { size 8{2} } } } } } { ¿ ¿¿ ¿
¿¿..............................................(7)
Fq=q
4 πε0∫
L} } } } { { {λ \( r' \) { {R}} ital ds `'} over {R rSup { size 8{2} } } } } } { ¿¿ ¿¿
¿¿................................................(8)
dτ’
ϕ
ϴ r
R
q
a
a
a
z
y
x
r
'rR
r’ϴ
z
0
q
'd
1.5 Muatan titik di luar muatan bola seragam
Salah satu efek distribusi muatan kontinu, yaitu menghitung persaaan (6) untuk kasus dimana
q terletak di luar bola yang berdistribusi muatan homogen (ρ=konstan). Pilih titik asal pada
pusat bola yang berjejari r dan ambil q pada sumbu z dengan z>a. Lihat gambar di bawah:
Gambar 7.
Untuk mendeskripsikan titik sumber r’ dan untuk menyelesaikan integral digunakan kordinat bola. Pada gambar dibawah ini dimana menunjukan bidang yang terdiri dari sumbu z, r’, dan
R. Lihat bahwa r=z z dan r '=r ' r ' .θϕ
Gambar 8.
Dengan demikian : R=z z−r ' r ' , dan berdasarkan gambar diatas maka di peroleh:
R2=z2+r '2−2 zr ' cos θ '
Maka persamaan (6) menjadi:
Fq=qρ
4 πε0∫
bola
( z z−r ' r ' )dτ '
( z2+r '2−2 zr 'cosθ ' )3/2
.........................................(9)
Karena r ' tidak konstan selama integral, maka akan lebih bermakna untuk mencari Fq dalam
bentuk komponennya. Lakukan perkalian titik z terhadap ruas kiri dan kanan persamaan (9)
maka diperoleh:
Fqz=qρa3
3 ε0 z2..............................................................................(10)
II. MEDAN LISTRIK
Medan dalam pengertian awam merupakan area, wilayah. Medan adalah suatu
besaran yang mempunyai harga pada tiap titik dalam ruang. Jika kita menempatkan sebuah
muatan uji di dalam ruang didekat sebuah tongkat bermuatan, maka sebuah gaya elektrostatik
akan bekerja pada muatan itu. Disekitar interaksi muatan listrik terdapat sebuah medan.
Ada dua jenis muatan listrik yang diberi nama positif dan negatif. Muatan listrik
selalu merupakan kelipatan bulat dari satuan muatan dasar e. Muatan dari elektron adalah - e
dan proton + e. Benda menjadi bermuatan akibat adanya perpindahan muatan dari satu benda
ke benda lainnya, biasanya dalam bentuk elektron. Muatan bersifat kekal. Muatan tidak
diciptakan maupun dimusnahkan pada proses pemberian muatan, tetapi hanya berpindah
tempat.
Perngertian terdahulu belum dapat mendeskripsikan secara jelas interasksi muatan. Dengaan
kata lain konsepsi terdahulu memberikan penjelasan seperti gambar berikut :
Pengertian terkini menjelaskan interaksi muatan yang melibatkan medan disekitarnya. Atau
secara skematis dapat digambarkan sebagai berikut :
(halliday resnick and krane, Vol 2)
Dari konsepsi interaksi muatan ini muncul pengenalan terhadap sebuah medan, yang
kemudian disebut medan listrik.
Gambar.1. Kuat Medan listrik
Adanya medan gaya listrik digambarkan pada gambar diatas oleh Garis Medan Listrik
(Lines of Force) yang
mempunyai sifat:
1. Garis Medan listrik keluar dari muatan positif menuju ke muatan negatif
2. Garis medan listrik antara dua muatan tidak pernah berpotongan
3. Jika medan listrik di daerah itu kuat, maka garis medan listriknya rapat dan sebaliknya.
Jadi, medan listrik itu adalah ruang diantara muatan listrik yang masih terpengaruh gaya-gaya
listrik.
Definisi :
Kuat medan listrik atau Intensitas medan listrik didefinisikan sebagai gaya per
satuan muatan positif yang akan dialami oleh sebuah muatan titik stasioner, atau
mauatan uji
Secara matematis dapat dituliskan sebagai :
E= Fq …………………………………………………………………(11)
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
x
y
dEy
dEx
dE
P
r
Odx
Bilamana kita perhatikan kembali persm.(1) q Adela factor umum dari semua suku,
sedemikian sehingga Fq dapat dituliskan sebagai perkalian q dan kuantitas yang tak
bergantung pada harga q namun bergantung pada semua muatan yang lain dan jaraknya
relaitf terhadap q.
Dan secara matematis dapat dituliskan sebagai :
Fq (r )=qE (r ) ……………………………………………………….(12)
Dimana :
E (r )=∑i=1
N qi
4 πε0
(r−ri )|r−ri|
3……………………………………………(13)
Jika sumber muatan mempunyai distribusi kontinu, maka bentuk persamaannya menjadi:
E(r )= 14 πε0
∫V ''
ρ(r ' ) R dτ '
R2, di mana ρ adalah rapat muatan volumenya.................(14)
E(r )= 14 πε0
∫S ''
σ (r ' ) R da '
R2, di mana σ adalah rapat muatan luasnya......................(15)
E(r )= 14 πε0
∫L ''
λ (r ' ) R ds '
R2 di mana λ adalah rapat muatan liniernya......................(16)
Selanjutnya dengan meninjau adanya garis muatan tak berhingga di mana
memperlihatkan sebagian dari garis muatan tak berhingga yang rapat muatan liniernya
(muatan persatuan panjang) mempunyai nilai konstan λ .
Besarnya kontribusi medan dE yang berasal dari elemen muatan dq (=λ dx ) diberikan oleh
dE= 14 πε0
dq
r2= 1
4 πε 0
λ dx
y2+ x2.....................................................(17)
Gambar 2. Sebagian dari garis muatan tak berhingga
(Halliday & Resnick)
Vektor dE ini mempunyai komponen-komponen:
dEx =−dE sin θ dan dE y = dE cos θ .........................................(18)
Tanda minus menunjukkan bahwa titik dEx mengarah ke dalam arah x-negatif.
Komponen-komponen x dan y dari vektor resultan E pada titik P diberikan oleh:
Ex =∫dEx = −∫x =−∞
x = +∞sin θ dE
E y =∫dE =∫x =− ∞
x =+∞cos θ dE
.................................................(19)
Ex harus sama dengan nol karena setiap elemen muatan di sumbu x-positif dan x-
negatif mempunyai besar yang sama, sehinggga kontribusi-kontribusi medan elemen-elemen
tersebut di dalam arah x saling menghilangkan. Jadi E seluruhnya mengarah ke dalam arah y.
Karena kontribusi-kontribusi kepada Ey dari setengah bagian kiri dan setengah bagian kanan
tongkat adalah sama, maka kita dapat menuliskan:
E = E y = 2∫x =0
x =+ ∞cos θ dE
...............................................(20)
Dengan mensubtitusikan persamaan (17) ke dalam persamaan (20) maka akan
memberikan:
E = λ2 πε0
∫x = 0
x = ∞cos θ
dx
y2+ x2............................................(21)
Jika diperhatikan kembali hubungan antara x dan θ pada gambar 2 diatas maka:
x = y tan θ .................................................(22)
Differensiasi persm. (22) terhadap θ adalah
dx = y sec2 θ dθ ..........................................(23)
Substitusi persamaan (23) dan (21) mengasilkan :
E = λ2 πε0 y∫θ =0
θ = π /2cos θ dθ
E = λ2 πε0 y ......................................................(24)
2.1 Medan Listrik oleh Muatan Titik
Medan listrik oleh muatan titik adalah limit dari perbandingan gaya yang mengalami
muatan yang ditempatkan pada titik dengan besarnya muatan.
E=limitq→ 0
Fq
q .................................................. (25)
Di mana Fq merupakan hasil kali muatan q dan medan listrik (E), dimana E→
dapat
dinyatakan dalam N/C. Secara matematis dapat ditulis :
F→
q = q E→
............................................................................... (26)
atau
E→=∑
i=1
N q1 R
4 πε0 R i2
.............................................................. (27)
2.2 Medan Listrik oleh Distribusi Muatan volume yang Kontinu
Distribusi partikel-partikel bermuatan di dalam sebuah ruang dapat direpresentasikan
oleh sebuah distribusi kontinu seragam yang dicirikan oleh suatu kerapatan muatan
volume ruang. Kerapatan muatan volume ini dinotasikan ρv dengan satuan C/m3. Sejumlah
kecil muatan Δq yang berada didalam volume berukuran kecil ΔV dapat dihitung melalui
rumus :
Δq= ρv ΔV ........................................................(28)
Pendekatan secara matematis rapat muatan volume dengan mengambil limit dari persm.
(18) :
ρv=limitΔv→0
ΔqΔV ......................................................(29)
z,0,0 'dzdq L
Ra
'r
'z
x
y
LzdE
dE
dE
r
Muatran total di dalam suatu volume yang berhingga karenanya dapat dihitung dengan
mengintegrasikan kerapatan muatan untuk seluruh volume tersebut, sehingga :
q=∫v
ρv dV...............................................................(30)
2.3 Medan listrik oleh sebuah muatan garis
Asumsikan adanya sebuah muatan garis garis lurus yang membentang di sepanjang
sumbu z dari titik ~∞dan ∞didalam sebuah kordinat silinder sebagaimana yang terliha
pada gambar dibawah. Intensitas medan listrik E di setiap titik dalam ruang akibat adanya
distribusi muatan garis seragam dengan kerapatan ρL digambarkan sebagai berikut :
Gambar. 3. Medan parsial dE=dEρ aρ+dEz az yang dihasilkan elemen muatan dq=ρL dz '
(William & john, 2004)
Dengan menerapkan persm.(13) dan substitusi dq=ρL dz ' , maka medan parsial di titik P
Adela :
dE=ρLdz '
4 πε0
(r−r ' )|r−r '|3 …………………………………………………(31)
Dengan r= ya y=ρaρ
r'=z ' az=ρaρ
Dan r−r '=ρaρ−z ' az
++ -
A
n
E
Sehingga persamaan (31) menjadi :
dE=ρLdz '
4 πε0
( ρaρ−z ' az)|ρ2−z '2|3 /2
…………………………………………….(32)
Dengan ρ=ρaρ−z ' az maka integrasi unduk dE Adela :
dE=∫−∞
∞ ρL ρ dz '
4 πε 0
1|ρ2−z ' 2|3 /2
Sehingga
E=ρL ρ dz '
4 πε0 ρ
……………………………………………………………………………………….(33)
2.4 Garis Gaya (Fluks Listrik)
Garis gaya adalah garis imajiner yang dilukiskan sedemikian rupa sehingga arah garis
singgungnya pada setiap titik merupakan arah medan listrik pada titik itu. Garis gaya
merupakan garis radial berarah keluar untuk muatan (+) dan kedalam untuk muatan (-).
Gambar 3. Arah garis gaya pada suatu muatan
Contoh visualisasi medan listrik seperti apa yang terlukis di gambar (1).
Bila garis-garis gaya tersebut melalui suatu luasan permukaan tertentu, maka jumlah
garis-garis gaya yang menembus luasan tersebut disebut sebagai fluks listrik yang
disimbulkan dengan φ . Misalnya medan listrik yang digambarkan oleh garis-garis gaya
seperti gambar berikut.
−+
L
r
E
Gambar 13. Bentuk permukaan Gauss berupa silinder dengan jari-jari r dan panjangnya L
Gambar 4. Medan listrik E melalui elemen luasan dA
n adalah vektor satuan normal dari bidang dan dA sama dengan elemen luasan. Secara
matematik fluks listrik didefinisikan sebagai:
φ=∫E . d A ………………………………………………….(34)
Dengan d A=n dA , sehingga
φ=∫E . ndA
φ=∫E cosθ . dA ……………………………………………..(35)
Keterangan:
E = Kuat medan listrik.
A = Luas dari suatu bidang
= Sudut yang dibentuk antara garis normal dan kuat medan listrik.
III. HUKUM GAUSS
Hubungan antara fluks listrik melalui suatu permukaan tertutup dengan muatan q di dalam
permukaan itu dinyatakan oleh hukum Gauss. Adapun persamaannya adalah sebagai berikut:
∮E .dA= qε0 ……………………..……………………… (36)
Hukum Gauss menghitung jumlah selisih garis-garis medan listrik yang menembus
suatu permukaan secara tegak lurus. Agar Hukum Gauss bermanfaat dalam menghitung
medan listrik, maka haruslah dipilih permukaan tertutup sedemikian rupa sehingga medan
listrik mempunyai komponen garis normal yang berharga nol atau mempunyai satu harga
yang tetap di setiap titik pada permukaan yang silindris.
Gambar 13 memperlihatkan sebagian dari garis permukaan tak hingga permukaan
Gauss dipilih berbentuk silinder/silindris lingkaran yang jari-jarinya r dan panjangnya l, yang
tertutup pada pada setiap ujungnya. Di mana E yang ditimbulkan oleh sebuah muatan liner
uniform hanya dapat diarahkan secara radial. E adalah konstan di seluruh permukaan silinder
dan fluks E yang melalui permukaan ini adalah E(2π rl) adalah luas permukaan. Muatan
yang diakup oleh permukaan Gauss dari gambar di atas adalah q=λ l . Dengan
menggunakan hokum gauss diperoleh:
ε 0∮ E . dS= q
ε 0∮ E . dS= λ l
ε 0 E (2 π r l)= λ l
Persamaan ini dapat memberikan harga E sebagai berikut:
E= λ2 πεo r ……………………………………………...……… (37)
V. Pembuktian
∇⋅E= ρε0
Hukum Gauss dapat dinyatakan dalam bentuk lain dengan menggunakan teorema
divergensi, yang menyatakan bahwa:
∮ S=F⋅nda=∫v
ρ
∇⋅Fdv
Jika teorema ini diterapkan pada integral permukaan dari komponen garis normal
medan listrik E, maka diperoleh
∮s
F⋅nda=∫v
∇⋅Fdv,
Jika persamaan ini disubstitusikan dengan persamaan di atas, maka persamaan
tersebut menjadi:
∫V∇⋅Edv= 1
εo∫V
ρ dv
Persamaan ini berlaku untuk semua jenis volume, yaitu untuk sembarang pilihan volume V.
Adapun cara agar pernyataan tersebut jelas adalah dengan mnyamakan faktor yang
diintegralkan pada kedua ruas persamaan ∫V
∇⋅Edv= 1εo∫V
ρ dv untuk pilihan V manapun
yang menunjukkan bahwa:
∇⋅E= 1ε0
ρ
..................................................... (38)
Persamaan ini merupakan rumus Hukum Gauss yang menyatakan bahwa, jumlah fluks
yang melewati permukaan tertutup sama dengan
1ε0 yang terlingkupi oleh permkaan tertutup
tersebut.
q0Eq0B
A
POTENSIO LISTRIK, DIPOLE LISTRIK, MULTIPOLE LISTRIK, ENERGI
LISTRIK, KERAPATAN ENERGI LISTRIK
1. Potensial Listrik
Potensial listrik dapat didefinisikan sebagai energi potensial per satuan muatan.
Potensial listrik dinyatakan dengan simbol V, yang jika dirumuskan adalah sebagai
berikut.
V (r )=U (r )
q …………………………...………………..………..…(1)
Karena energi potensial U (r )
mempunyai satuan joule (J) dan muatan q mempunyai satuan
coulomb (C), maka satuan potensial listrik V adalah JC-1 atau juga disebut volt. Bila
sebuah benda bermuatan q berada pada posisi r
, energi potensial benda ini adalah:
U (r )=q V (r )……………………………………………...…………(2)
Gambar 1.
Sebuah muatan uji positif q0 digerakan dari A ke B di dalam medan
∫∫ B
A
0
B
A
AB l.dEq-l.dFW
……………………………………………..…. (3)
Berdasarkan Gambar 1, A dan B adalah dua titik di dalam sebuah medan listrik tak
homogen E. Diasumsikan sebuah muatan uji q0 di gerakkan oleh suatu pengaruh luar dari
A ke B sepanjang lintasan yang menghubungkan A dan B. Medan listrik mengarahkan
sebuah gaya E pada muatan uji tersebut. Untuk mempertahankan supaya muatan uji
tersebut tidak dipercepat, di mana terdapat suatu keadaan seimbang (resultan gaya adalah
nol), sehingga:
∑ F = F1 + F2 = 0
F2 =−q0 E
Oleh karena itu, sebuah pengaruh luar harus memberikan sebuah gaya F = -qoE, yaitu F2
untuk semua kedudukan benda uji tersebut. Jika pengaruh gaya F menyebabkan benda uji
bergerak melalui pergeseran dl sepanjang lintasan dari A ke B, maka elemen kerja yang
yang dilakukan oleh gaya F adalah F . dl. Untuk menentukan kerja total WAB, yaitu:
Karena muatan di setiap titik adalah sama, maka dapat dikeluarkan dari faktor integral,
maka persamaannya menjadi:
W AB=∫A
B
F .d l
W AB=−q0∫A
B
E .d l
V B−V A=W AB
q0
=−∫A
B
E . d l
…….……………………….…………...…... (4)
…….…………………………………………. (5)
……….…….……………………………..…. (6)
Jika titik A di ambil jauh tak hingga dan potensial di titik A diambil sebesar nol,
maka persamaan ini memberikan potensial V pada titik B atau dengan menghilangkan
indeks B, maka di peroleh:
V=−∫A
B
E . d l
E(r )=∑
i=1
N q1
4π εo
(r−r1 )
|r−r1|3
dengan Ri = r-ri, Ri
¿=R
i
Ri2
¿, Ri =
|r−r1|
Dari hubungan
∇ ( 1Ri
)=−Ri
¿
Ri2¿
, maka dapat ditulis:
E (r )=∑i=1
N q i
4π ε0
∇ ( 1Ri )=−∇∑
i=1
N qi
4π ε0 Ri
Jika didefinisikan :
V (r )=∑i=1
N qi
4π ε 0 Ri
maka dapat kita tulis:
E(r )=−∇ V (r )
Dengan demikian dari analisis vektor akan dapat ditulis:
∇ × E (r ) = ∇ ×− ∇ V (r )
di mana∇ × ∇ = 0
, sehingga diperoleh:
∇ × E (r ) = 0
……………………………………………… (7)
……………………………………………… (8)
………………..………… (9)
…….………………..………..………………….. (10)
…………..………..……………………………… (11)
…………..………..………………………………… (12)
Z
P
+q
r1
r
Medan skalar V inilah yang disebut potensial skalar atau potensial elektrostatik.
Karena curl dari medan elektrostatik adalah nol, maka dari teorema Stokes akan diperoleh:
∮C
E .d s = 0……………………………………………………………...(13)
dengan C adalah sembarang lintasan tertutup.
Persamaan (13) menunjukkan bahwa medan listrik tersebut adalah medan
konservatif, artinya usaha yang dilakukan tidak bergantung pada lintasan. Jika sumber
muatan mempunyai distribusi kontinu, maka persamaan (10) dapat dinyatakan dengan
bentuk integral, sehingga potensial listrik yang disebabkan oleh distribusi muatan kontinu
adalah :
V (r )= 14π ε0
∫ dqR
Dalam hal ini dq dapat dinyatakan sebagai dq = ρ(r ' )dτ'
pada rapat volume, dq = σ
σ (r ' )da '
pada rapat luas, dan dq = λ (r ' )ds'
pada rapat panjang, sehingga persamaan (16)
dapat ditulis ke dalam bentuk-bentuk:
V (r )= 14π ε0
∫V
ρ (r ' )dτ'
R
V (r )= 14π ε0
∫S
σ (r ' )da '
R
V (r )= 14π ε0
∫L
λ (r ' )ds '
R
2. DIPOL LISTRIK
Bila dua muatan yang sama besar dan berlawanan tanda (± q), yang dipisahkan dengan
jarak sebesar 2a, maka akan membentuk sebuah dipol listrik. Momen dipol listrik p
mempunyai besar 2aq dan menunjuk dari muatan negatif ke muatan positif.
Jika, sebuah titik p ditentukan (dispesifikasikan) dengan memberikan kuantitas-
kuantitas r dan θ seperti pada gambar di bawah ini.
………..……………………………………….… (14)
………….………………………………. (15)
………………………………………….. (16)
………………………………………….. (17)
Berdasarkan segi simetri, maka jelaslah bahwa potensial tersebut tidak akan berubah
sewaktu titik p berotasi mengelilingi sumbu z, dengan r dan θ yang tetap. Maka dari itu kita
hanya perlu mencari V ( r, θ) untuk setiap bidang yang mengandung sumbu. Dengan
menggunakan persamaan V (r ) =∑
i=1
N q1
4 πε0 R i , maka diperoleh suatu persamaan yaitu:
V (r ) =∑i=1
N q1
4 πε0 R i
= 14 πε0 [ q
r1
− qr 2 ] = q
4 πε 0
r 2 − r1
r 1r2 ..................(18)
Untuk kasus r >> 2a, maka hubungan aproksimasinya akan didapatkan sebagai berikut.
r2 – r1 ≈ 2a cos θ dan r1r2 ≈ r2
Dengan demikian potensial dipol akan diperoleh
V = q4 πε0
2 a cos θ
r 2= 1
4 πε0
p cos θ
r 2..........................(19)
di mana p = 2aq adalah momen dipol.
3. MULTIPOL LISTRIK
rO
r’ρ
dq
V
Dalam hal ini dihitung potensial dan medan listrik yang ditimbulkan oleh distribusi
muatan sembarang yang berada dalam daerah-daerah yang kecil. Jarak antar muatan berkisar
10-10 meter.
Lihat gambar berikut.
Dalam gambar ini terlihat distribusi muatan terletak pada volume V dan ditentukan dengan ρ.
Dipilih titik awal O dekat distribusi muatan. Berjarak r’ dari O terletak elemen muatan. Pada
jarak r dari O terletak muatan titik diluar distribusi muatan, di mana akan dihitung potensial
φ(r).
Potensial ini dapat ditentukan dengan rumus
φ( r )=1
4 πε0∫ dq
|r−r '| ........................................................(20)
Dalam hal ini r’/r <<1
Selanjutnya dapat dikembangkan
1r−r '
= 1
r [1−2 r .r 'r2
+( r 'r )
2]1/2
Selanjutnya digunakan pengembangan binomial
(1−μ )−1/2=[1−12
x−( 12)(−3
2) μ2
2!+. . .]
..................................(21)
Rumus cacah untuk |μ|<1 dan misalkan
μ=(−2 r0r '
r 2+ r '2
r2 ).........................................................(22)
Hasilnya adalah
1(r−r ' )
≃1r {1−1
2(−
2 r0 r '
r2+ r '2
r2)−1
2(−3
2)x
12 !
(−2 r0 r '
r2+ r ' 2
r2)2+ .. . }
..............(23)
Dengan mengumpulkan pangkat
r 'r dalam orde maka didapatkan
1(r−r ' )
≃1r¿¿
..........................................(24)
Dengan demikian potensial listrik menjadi
φ( r )=1
4 πε0∫ dq
r¿¿
.................................(25)
Dapat juga potensial ini ditulis dengan tiga integral yang menyatakan kontribusi potensial
φ(0) ,φ(1) , dan φ(2) .
φ( r )ditulis sebagai
φ( r )=φ(0 )+φ(1)+φ(2)
¿14 πε 0r
∫dq+1
4 πε0 r2r
¿∫r ' dq+1
4 πε0
r3∫¿¿¿
¿
¿
Kalau diperhatikan bentuk perkembangan ini kelihatan berbeda dengan fakta R1/r di mana R’
berdimensi linier dari sifat distribusi muatan.
Apabila r >> R’ bentuk pertama tidak akan nol. Jika R’ memiliki dimensi atomik dan r adalah
makrokopis mak R 1/r≤10−4.
Pada hal tertentu di mana titik yang diselidiki titutui oleh distribusi muatan. Jika r <<
R’ di mana R’ adalah dimensi terkecil dari distribusi karena itu potensial di daerah r < R’
maka potensial ditentukan dengan sederetan dari bentuk r/r’ disamping r’/r. Hasilnya
φ( r )=1
4 πε0 [∫ dqr '
+r .∫ r 'r ' 3
dq+ 12∫( 3 (r . r ' )2
r '5− r2
r '3 )dq ].....................................(26)
Selanjutnya ditentukan φ(0) ,φ(1) , dan φ(2) .
Bentuk monopole = φ(0)
φ(0)= 14 πε0 r∫dq= 1
4 πε0
Qr .......................................(27)
Q adalah total muatan dari distribusi muatan.
Bentuk Dipoll: φ(1)
φ(1)=r .∫ r ' dq
4 πε0r2= r p
4 πε0r2...........................................(28)
di mana p = momen dipoll
p=∫ r ' dq=∫ ρ(r ' )r ' dV ' ..................................(29)
di mana ρ = muatan per satuan volume.
Energi yang berhubungan dengan potensial φ adalah
U (1 )=−qφ(r−)+qφ( r+) ................................(30)
4. ENERGI LISTRIK
Jika sebuah muatan uji digerakkan melawan medan listrik, maka harus diberikan kontribusi
gaya yang sama besar namun berlawanan arah dengan gaya yang dikerahkan medan listrik
padanya. Hal ini tentu mengharuskan kontribusi sejumlah energy untuk melakukan suatu
kadar kerja. Misalkan sebuah muatan dipindahkan sejauh dL di dalam sebuah medan listrik
E. sehingga gaya yang dikerahkan pada q oleh medan listrik Adela :
FE=qE …………………………………………………………………..(31)
Besaran FE mengartikan bahwa gaya ini ditimbulkan oleh medan listrik E. untuk
memindahkan q sejauh jarak dL maka harus melawan komponen gaya FE yang searah
dengan dL :
FE=F . al=qE . al ………………………………………………(32)
Dengan a l adalah vector satuan dalam arah dL. Perlu diperhatikan bahwa, gaya yang kita
berikan harus sama besarnamun berlawanan arah dengan gaya dari emdan listrik :
Fdiberikan=−qE . a l……………………………………………………..(33)
Dan energi yang dikeluarkan Adela hasil kali antara gaya ini dengan jarak perpindahan :
dW =−qE .dL…………………………………………………………..(34)
Dimana a l dL=dL
Jadi, jumlah energy yang dipakai untuk memindahkan sebuah muatan q sejauh sauté jarak
yang berhingga dapat ditentukan dengan mengintegrasi kerja differensial yang dilakukan
untuk memindahkan muatan tersebut melawan gaya medan listrik Adela :
W =−q∫i
f
E . dL……………………………………………(35)
Persamaan dL akan menggunakan panjang-panjang differensial yang berbeda :
…………………………(36)
Kita misalkan energy yang diperlukan untuk lintasan melingkar (selinder) mengelilingi
muatan garis, maka dρ dan dz Adela nol, sehingga :
W =−q∫i
f ρL
2πε0 ρ1
aρ . ρ1 dφaφ
dL=dxax+dya y+dzaz (persegi)
dL=dρaρ+ρdφaφ+dzaz
(silinder)
dL=drar+rd θaθ+r sin θdφaφ
(bola)
Nisalkan sekaran muatan itu dipendahkan dari 0-2π, maka :
W =−q∫0
2 π ρL
2πε0
dφaρ . aφ
Dan jika dipindahkan dari ρ =a ke ρ =b di sepanjang sebuah lintasan radial didekat muatan
garis dengan dL=dρaρ maka :
W =−q∫i
f ρL
2 πε0 ρaρ .dρaρ
W =−q∫a
b ρL
2πε0 ρdρρ
W =−qρL
2 πε0
lnba …………………………………………………………………………(37)
5. KERAPATAN ENERGI LISTRIK
Kapasitor adalah untuk menyimpan energi listrik. Energi yang tersimpan dalam
kapasitor tersebut berupa energi potensial. Besarnya energi yang tersimpan sama dengan hasil
kali tegangan yang digunakan dan penambahan muatan dalam plat-plat kapasitor. Energi
tersebut diberikan oleh persamaan:
dW = Vdq.......................................................(35)
karena V = q/C dq (q = muatan sesaat yang tersimpan), maka persamaan menjadi:
dW = q dq/ C
jika kapasitor mula-mula tidak bermuatan (q=0), dan setelah
dimuati hingga q = Q, maka:
W =1C∫0
q
qdq=12
Q2
C=1
2CV
2
¿12
QV =12
ε0 EAEd=12
ε0 E2 Ad
Dengan Ad = volume kapasitor. Oleh karena itu rapat energi (energi per satuan volume)
dapat dinyatakan dengan persamaan :
..................................(36)
Dengan w = rapat energi (joule/m3).
Sumber
Giancoli, D. 1998. Fisika Jilid 2 Edisi Kelima. Jakarta: Erlangga.
Sujanem, R. 2001. Bahan Ajar Listrik Magnet. IKIP Negeri Singaraja.
w=12
ε 0 E2