ficha_7_integ_linha

7/26/2019 Ficha_7_Integ_Linha

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FEUPMIEIC 2013/2014

Ficha 7/1

COMPLEMENTOS de MATEMTICA

Aula Terico-Prtica Ficha 7

INTEGRAIS DE LINHA

1) Seja a funo de campo vetorial ( , )x y x y= +F i j e a linha L definida pela funo vetorial

( ) cos sint a t a t = +r i j , com 0a > e [0, 2 ]t . Calcule, recorrendo definio, o valor do integral

de linhaL

d F r , quando L percorrida no sentido retrgrado (dos ponteiros do relgio).

2) Confirme o resultado obtido no exerccio 1):

a) Verificando que ( , )x yF gradiente. b) Usando o teorema de Green.

3) Verifique que a funo de campo vetorial 2 2( , ) ( , )x y xy x y=F gradiente e calcule o valor do seu

integral de linha ao longo do percurso, L, dado por ( ) 2( , )t t t=r , [ ]0,2t .

4) Confirme o resultado obtido no exerccio 3), recorrendo definio.

5) Seja a funo de campo vetorial 2 2 2( , , ) (2 ) ( 2 ) (2 )x y z xy z x yz xz y= + + + F i j k . Mostre que

( , , )x y zF gradiente e calcule o valor de2 2 2

(2 ) ( 2 ) (2 )C

xy z dx x yz dy xz y dz+ + + , em que Cuma linha que une o ponto (1,0,1)P = ao ponto (3,2,1)Q = .

6) Prove que o integral de linha seguinte independente do caminho e calcule-o:

( 2,1,3)3 2 2 2

(1,0,2)(6 2 ) 9 (4 1)xy z dx x y dy xz dz

+ + + +

7) Calcule o valor de2

Cx ydx ydy xzdz+ + , sendo C a curva de interseo da superfcie cilndrica

2

2 1y z = com o plano 1z x= + , do ponto (0,3,1)P = ao ponto (1,9,2)Q = .


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Ficha 7/2

8) Calcule o valor do integral de linha2 2

(3 ) (2 5 )C

xy y dx xy x dy+ + + , sendo Ca circunferncia deraio unitrio e com centro no ponto (1, 2)P = :

a) Usando o teorema de Green. b) Recorrendo definio.

9) Recorrendo ao teorema de Green, calcule 3C

ydx xdy+ , sendo Ca fronteira da regio limitada por2y x= e 2y x= , percorrida no sentido retrgrado. Verifique o teorema de Green.

10) Relativamente aos integrais de linha seguintes, verifique o teorema de Green:

a) 2C

y dx xdy+

, sendo Ca fronteira do quadrado com vrtices em (0,0) , (2,0) , (2,2) e (0,2) .

b) 2

Cx dy , sendo Ca fronteira do retngulo com vrtices em (0,0) , ( ,0)a , ( , )a b e (0, )b .

c)3 2(4 2 ) (4 )y

Cx y dx xy e dy+ + + , sendo Ca linha que a fronteira da regio de 2 limitada

pelas curvas 2y x= e y x= .

11) Calcule os seguintes integrais relativamente ao comprimento de arco:

a) ( )C

x y ds , onde C a curva descrita pela funo vetorial ( ) (4 ,3 )t t t=r , [ ]0,2t .

b)2 2

( )C

x y ds+ , onde C o segmento de reta percorrido do ponto (0,0)O = para o ponto(3,9)P = .

c)2 2

( )C

x y ds+ , onde C o arco da circunferncia 2 2 1x y+ = , percorrido do ponto (1,0)P = para o ponto (0,1)Q = .

12) Utilizando o teorema de Green, calcule

1 2

3 3 3 3 3 3 3 3(2 ) ( ) (2 ) ( )

C Cx y dx x y dy x y dx x y dy + + + +

em que 1C a circunferncia2 2 2

x y b+ = e 2C a circunferncia2 2 2

x y a+ = , sendo 0 a b< < .


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Ficha 7/3

13) Seja Ca interseo das superfcies 2 2 2x y y+ = e 1z y= + , percorrida no sentido retrgrado quando

vista da origem. Calcule:

a) Cyzdx xzdy+

. b) Cyzdx xzdy xydz

+ +

.

14) Seja Ca linha de interseo da superfcie cilndrica 2 2 1x y+ = com o plano 1x z+ = . Determine

2

Czdx y dy xydz+ + .

15)Considere o campo vetorial 2 2 2( , , )x y z x y y z xz= + +F i j k e a linha Cde interseo das superfcies

3z = e 2 2 4 0x y+ = . Calcule o valor do integral de linhaC

d

F r .

16) Seja Ca linha definida pela funo vetorial1

( ) sin , cos , sin(2 )2

t t t t

=

r , com 0,2

t

. Calcule

Cd F r , em que 2( , , ) ( , , 2 )x y z yz z xz xy xz= + +F , quando C descrita no seu sentido inverso.

17) Seja Ca fronteira do retngulo com vrtices em (1,0,0)A = , (0,1,0)B = , (0,1,1)C = e (1,0,1)D = .

Considere a funo de campo vetorial 2( , , ) ( , , )x y z xy yz x=F . DetermineC

d F r .

18) Determine o valor do integral de linha22 y y

Cxe dx x e dy dz+ + , sendo Ca linha definida pela funo

vetorial2( ) , 4 ,sin

4t t t t

=

r , com [0,2]t e descrita no sentido inverso.

19) Seja a linha C que une o ponto (1,0,0)P = ao ponto (0, 1,2)Q = e pertence interseo das

superfcies 2 2 1x y+ = e 1x y z+ + = . Sendo 2 2 2( , , ) (2 ,2 , 3 )x y z xz y xy x z= + +F uma funo de

campo vetorial, calcule o valor do integral de linhaC

d F r .

Solues:

1) 0 . 2) - - - - 3) 32.


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Ficha 7/4

4) - - - - 5) 16 . 6) 31 .

7)1177

30. 8) 7 . 9) 8 / 3 .

10) a) 4 . b) 2a b . c) 0 .

11) a) 10. b) 90 10 . c)2

.

12) 4 43

( )2

b a

.

13) a) . b) 0 .

14) 0. 15) 4 . 16) 0 .

17)3

2 . 18) 5 . 19) 8 .

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