მზევინარ კეკენაძე არანიუტონისეული...
TRANSCRIPT
მზევინარ კეკენაძე
არანიუტონისეული სითხის სასაზღვრო ფენი
წარმოდგენილია დოქტორის აკადემიური ხარისხის
მოსაპოვებლად
საქართველოს ტექნიკური უნივერსიტეტი
თბილისი, 0175, საქართველო
თებერვალი, 2016 წელი
საავტორო უფლება © კეკენაძე მზევინარ 2016 წელი,
i
საქართველოს ტექნიკური უნივერსიტეტი
სამშენებლო ფაკულტეტი
ჩვენ, ქვემორე ხელისმომწერნი ვადასტურებთ, რომ გავეცანით
კეკენაძე მზევინარის მიერ შესრულებულ სადოქტორო ნაშრომს
დასახელებით: „არანიუტონისეული სითხის სასაზღვრო ფენი“ და ვაძლევთ
რეკომენდაციას საქართველოს ტექნიკური უნივერსიტეტის სამშენებლო
ფაკულტეტის სადისერტაციო საბჭოში მის განხილვას დოქტორის
აკადემიური ხარისხის მოსაპოვებლად.
თარიღი
ხელმძღვანელები: ფ.მ.მ.დ.,პროფესორი ჯონდო შარიქაძე
ფ.მ.მ.კ.,აკადემიური დოქტორი,პროფესორი
ზურაბ ციცქიშვილი
რეცენზენტები:
ფ.მ.მ.კ.,აკადემიური
დოქტორი, პროფესორი ლევან ჯიქიძე
ფ.მ.მ.კ.,აკადემიური დოქტორი, პროფესორი
ბადრი ცუცქირიძე
ხარისხის უზრუნველყოფის სამსახურის უფროსი, პროფესორი: მარინა ჯავახიშვილი
ii
საქართველოს ტექნიკური უნივერსიტეტი
2016 წელი
ავტორი: მზევინარ კეკენაძე
დასახელება: „არანიუტონისეული სითხის სასაზღვრო ფენი
ფაკულტეტი: სამშენებლო
ხარისხი: დოქტორი
სხდომა ჩატარდა:
ინდივიდუალური პიროვნებების ან ინსტიტუტების მიერ
ზემომოყვანილი დასახელების დისერტაციის გაცნობის მიზნით მოთხოვნის
შემთხვევაში მისი არაკომერციული მიზნებით კოპირებისა და გავრცელების
უფლება მინიჭებული აქვს საქართველოს ტექნიკურ უნივერსიტეტს.
მზევინარ კეკენაძე
ავტორის ხელმოწერა
ავტორი ინარჩუნებს დანარჩენ საგამომცემლო უფლებებს და არც
მთლიანი ნაშრომის და არც მისი ცალკეული კომპონენტების გადაბეჭდვა ან
სხვა რაიმე მეთოდით რეპროდუქცია დაუშვებელია ავტორის წერილობითი
ნებართვის გარეშე.
ავტორი ირწმუნება, რომ ნაშრომში გამოყენებული საავტორო
უფლებებით დაცულ მასალებზე მიღებულია შესაბამისი ნებართვა (გარდა
იმ მცირე ზომის ციტატებისა, რომლებიც მოითხოვენ მხოლოდ სპეციფიურ
მიმართებას ლიტერატურის ციტირებაში, როგორც ეს მიღებულია
სამეცნიერო ნაშრომების შესრულებისას) და ყველა მათგანზე იღებს
პასუხისმგებლობას.
iii
მიძღვნა
ნაშრომს ვუძღვნი ჩემს საყვარელ ოჯახს. მათი თანადგომა და სრული
გაგება მუდამ მამხნევებდა დისერტაციის მისაყვანად ლოგიკურ
დასასრულამდე.
iv
რეზიუმე
თითქმის ას წელზე მეტია, რაც არანიუტონური სითხეები გახდა მეცნიერული კვლევის საგანი. მაგრამ მხოლოდ ამ ბოლო დროს დაიწყო მისი ინტენსიური შესწავლა, რაც გამოწვეულია მათი ფართო გამოყენებით მრეწველობაში, საყოფაცხოვრებო ტექნიკაში, საავიაციო მშენებლობაში და სხვა.
ამის დამადასტურებლად საკმარისია დავასახელოთ ყველა ის პოლიმერული სითხეები, რომელთა დენადობის თვისებების თეორიულ–ექსპერიმენტულმა შესწავლამ საშუალება მოგვცა შექმნილიყო ინჟინრული საფუძვლები პოლიმერული მასალებიდან სხვადასხვა ნაკეთობის დამზადებისათვის.
არანიუტონური სითხეების შესწავლასა და გამოკვლევას მიეძღვნა ისეთი ცნობილი მეცნიერების შრომები, როგორებიცაა: ასტარიტა დ.ჟ., მარუჩი დ.ჟ., რეინერი მ., შელმანი ზ.პ., უილკინსონი უ.ლ., შლიხტინგი გ., სებისი ტ., ბრედშოუ პ., ბენეტ რ.ო., მაიერსი დჟ.ე., მაზო ა.ბ., ლოიციანსკი ლ.გ., მეიზ დ.ჟ., პრანდტლი, ი. ნიკურაძე და სხვები.
საქართველოში ამ და მის მონათესავე საკითხებზე გამოქვეყნებულია დ. დოლიძის, ნ. ჯორბენაძის, გ. აბესაძის, ზ. კერესელიძის, ჯ. შარიქაძის, ლ. აზმაიფარაშვილის, ლ. ჯიქიძის და ბ. ცუცქირიძის შრომები.
არანიუტონური სითხეების ქვეშ იგულისხმება საკმარისად ფართო ჯგუფი სხვადასხვა მასალისა. პოლიმერების გამოყენება სამშენებლო მასალების (ლინონიუმი, მოსაპირკეთებელი ფილები და ა.შ.), საავტომობილო საბურავების, ქიმიურ და რადიოელექტრო წარმოებაში უზარმაზარია. ძნელად წარმოსადგენია წარმოების რომელიმე დარგი, რომელშიც არ გამოიყენება სინთეტიკური ან არამეტალური მასალები.
არანიუტონისეული სითხეების დინების შესწავლის რამდენიმე მიდგომა არსებობს, ნაშრომში გამოყენებულია მათემატიკურ–რეოლოგიური მოდელი. ამ მიდგომით იქმნება შედარებით რთული, მაგრამ რეალობასთან მიახლოვებული მათემატიკური მოდელი, რომელიც ეყრდნობა ჰიდროდინამიკის ძირითად პრინციპებსა და მიდგომებს; ამის შემდეგ შეისწავლება და ხასიათდება არსებული სითხის ქცევის თავისებურებები.
არანიუტონისეული სითხეების დინების შესწავლისას, მათი სიბლანტისა და პლასტიკურობის ბუნებიდან გამომდინარე განსაკუთრებით საინტერესოა სასაზღვრო ფენაში, თავისუფალი კონვექციის არსებობის პირობებში, როდესაც სითხის ელექტროგამტარებლობის კოეფიციენტი იცვლება სიჩქარის მიხედვით, როგორც სტაციონარული ისე არასტაციონარული დინებისათვის დინამიკური და სითბური სისქის ურთიერთკავშირის განსაზღვრა. ასევე საინტერესოა სასაზღვრო ფენის სისქის განსაზღვრა, რომელიც პირდაპირ კავშირშია ძვრის სიჩქარესთან.
სადისერტაციო ნაშრომის თეორიულ და მეთოდოლოგიურ საფუძვლად გამოყენებულია ბლანტი უკუმში სითხის მოდელი, როცა სასაზღვრო ფენაში სითხის მოძრაობა ლამინარულია. სასაზღვრო ფენის გარეთ სითხის
v
მოძრაობაზე სიბლანტის გავლენა უგულებელყოფილია და სითხე ითვლება იდეალურად. ასეთი მოდელისათვის შექმნილი მაგნიტური ჰიდროდინამიკის კერძოწარმოებულებიანი დიფერენციალური განტოლებათა არაწრფივი სისტემა საკმაოდ რთული ამოსახსნელია. უგანზომილებო სიდიდეებზე გადასვლით მიღებული განტოლებათა სისტემა შესაბამის სასაზღვრო პირობებთან ერთად იხსნება თანდათანობით მიახლოების მეთოდით.
ნაშრომში დასმულია და ამოხსნილია შემდეგი ამოცანები: • სხეულის სტაციონარული გარსდენა ხარისხოვანი ბლანტი უკუმში
გამტარი სითხით. • სხეულების გარსდენა არასტაციონარული ელექტროგამტარი ბლანტი
უკუმში სითხით, თბოგადაცემის გათვალისწინებით. • სუსტადგამტარი ხარისხოვანი სითხის თავისუფალი კონვექცია განივ
მაგნიტურ ველში.
vi
Abstract
Almost a hundred years ago as the object of scientific investigation are the non-Newtonian liquids. But only recently has begun its intense study that is caused due their wide application in industry, household equipment, aircraft engineering and so on.
To prove this is enough to mention all polymer fluids, the theoretical and experimental study of flow properties of that gives the possibility to create engineering basis for manufacture different products from polymeric materials.
To studies and research of non-Newtonian liquids are devoted works of such famous scientists as: Astarita D.J., Marucci D.J., Rainer M., Shelmann Z.P., Wilkinson U.L., Schlichting G., Sebis T., Bradshaw P., Bennett R.O., Myers J.E., Mazo A.B., Loitsianski L.G., Meiz D.J., Prandtl, Nikuradze I. and others.
In Georgia on this and related issues are published works of D. Dolidze, N. Jorbenadze, G. Abesadze, Z. Kereselidze, J. Sharikadze, L. Azmaiparashvili, L. Jikia and B. Tsutskiridze.
Non-Newtonian liquids means sufficiently broad group of different materials. Polymers application in production of construction materials (linonium, facing tiles, etc.), automobile tires, chemical and radio electronics industries is huge. Is hard to imagine any type of production, in that is not used the synthetic or non-metal materials.
There are several approaches in study of the non-Newtonian liquids flow, in the work is applied the mathematical and rheological model. By this approach is created relatively complex, but close to the reality mathematical model, which is based on fundamental hydrodynamic principles and approaches; after this is studied and characterized the singularities of behavior of fluid.
At study on non-Newtonian liquids flow, due the nature of their viscosity and plasticity particularly interesting is in boundary layer, in the conditions of existing of free convection, when the fluid coefficient of electroconductivity varies according to the rate at stationary as well as in non-stationary flow. It is also interesting to determine the thickness of boundary layer that is directly related to the shear rate.
As theoretical and methodological basis of the dissertation work is applied viscous in vacuum fluid model, when in boundary layer of motion is laminar. Outside the boundary layer of fluid the influence of viscosity on motion is neglected and fluid is considered as ideal. For such model created a system of nonlinear differential equations with magnetic hydrodynamic partial is quite complex for solution. Obtained due the transition on dimensionless values corresponding simultaneous equations with the boundary conditions is solved by method of gradual approximation.
vii
In the work are set and solved the following tasks: • The stationary flow of body in qualitatively viscous in infinity conducting
fluid. • The flow of body by non-stationary electricity electrically conducting viscous
in infinity fluid with taking into account the heat transfer. • Free convection of weakly conducting qualitatively fluid in transverse
magnetic field.
viii
შინაარსი
ნახაზების ნუსხა ................................................................................................. 10
მადლობის გზავნილი ....................................................................................... 11
შესავალი ............................................................................................................. 12
1. ლიტერატურის მიმოხილვა
§ 1. არანიუტონისეული სითხეები ................................................................ 14
§ 2. ხარისხოვანი სითხეების სასაზღვრო ფენი ........................................... 16
§ 3. ხარისხოვანი არანიუტონისეული სითხის თავისუფალი კონვექციის გადატანის განტოლებები .................................................. 25
§ 4. საწყისი და სასაზღვრო პირობები .......................................................... 31
2. შედეგები და მათი განსჯა
თავი 1. არანიუტონისეული გამტარი სითხის სტაციონარული სასაზღვრო ფენის ამოცანის მიახლოებითი ამოხსნის მეთოდი ცვლადი ელექტროგამტარებლობისას ............................................ 35
თავი 2. არანიუტონისეული სითხის არასტაციონარული მაგნიტოჰიდროდინამიკური დინება ............................................ 51
§ 2.1. მიახლოებითი ამოხსნის მეთოდი არანიუტონისეული გამტარი სითხის არასტაციონარული სასაზღვრო ფენისათვის .................... 54
§ 2.2. ფირფიტის არასტაციონარული გარსდენა გამტარი ხარისხოვანი სითხით ელექტროგამტარებლობის ცვლადი კოეფიციენტით და თბოგადაცემით ....................................................................................... 67
§ 2.3. არანიუტონისეული გამტარი სითხის ავტომოდელური ამოცანების შესახებ სითბოგადაცემის გათვალისწინებით ........... 79
თავი 3. სუსტადგამტარი ხარისხოვანი სითხის თავისუფალი კონვექცია განივ მაგნიტურ ველში ................................................. 85
§ 3.1. სუსტადგამტარი ხარისხოვანი სითხის არასტაციონარული თავისუფალი კონვექციის ამოცანის მიახლოებითი ამოხსნა ........ 87
§ 3.2. სუსტადგამტარი ხარისხოვანი ბლანტი სითხის თავისუფალი კონვექციის ამოცანის ამოხსნის ინტეგრალური მეთოდი .............. 97
3. ძირითადი შედეგები და დასკვნები ......................................................... 109
გამოყენებული ლიტერატურა ....................................................................... 111
ix
ნახაზების ნუსხა
ნახაზი 1. არანიუტონისეული და ნიუტონისეული სითხეების კლასიფიკაცია ................................................................................. 15
ნახაზი 2. სასაზღვრო ფენის არსი ................................................................ 19
ნახაზი 3. სასაზღვრო ფენის სისქის კავშირი შეჟონვისა და გაჟონვის სიჩქარესთან ................................................................. 47
ნახაზი 4. სიჩქარის პროფილი მაგნიტური ველის გაზრდისას ............. 48
ნახაზი 5. დილატანტური და ფსევდოპლასტიკური სითხეებისათვის მაგნიტური ველის დამოკიდებულება სიბლანტის კოეფიციენტზე ................................................................................ 49
ნახაზი 6. ძვრის ძაბვის დამოკიდებულება მაგნიტურ ველზე ............... 50
ნახაზი 7. მუდმივი მხები ძაბვის დროს სასაზღვრო ფენის სისქის დამოკიდებულება ველის მაგნიტურ რიცხვზე და სიმკვრივეზე ................................................................................... 66
ნახაზი 8. ცვლადი ელექტრული გამტარებლობის ხასიათის გავლენა სასაზღვრო ფენის სისქეზე .......................................................... 67
ნახაზი 9. ფსევდოპლასტიკური სითხის ტემპერატურის დაცემის კავშირი ტემპერატურაზე დამოკიდებულ სიბლანტის კოეფიციენტთან ............................................................................. 78
ნახაზი 10. დილატანტური სითხისათვის ტემპერატურის დაცემის კავშირის ტემპერატურაზე დამოკიდებულ სიბლანტის კოეფიციენტთან ............................................................................. 78
ნახაზი 11. სითხის სიჩქარის განაწილება მსრბოლი ტალღის შემთხვევაში .................................................................................. 84
ნახაზი 12. სითბური და დინამიკური სასაზღვრო ფენის ფარდობის დამოკიდებულება პრანდტლის რიცხვზე ............................... 87
x
მადლობის გზავნილი
ამ ნაშრომის მომზადებაში მრავალ პირს აქვს მიღებული მონაწილეობა
ინტელექტუალური, მეცნიერული, მორალური თუ ტექნიკური
თვალსაზრისით. მათი მეგობრული განწყობა და უანგარო დახმარება
უდიდესი პატივია ჩემთვის.
განსაკუთრებულ მადლიერებას გამოვხატავ ჩემი სამეცნიერო
ხელმძღვანელების პროფესორების ჯონდო შარიქაძის და ზურაბ
ციცქიშვილის მიმართ, რომელთა ყოველდღიური ყურადღების,
მზრუნველობისა და ფასდაუდებელი შენიშვნების, ასევე ხანგრძლივი
საუბრების საფუძველზე შესაძლებელი გახდა ნაშრომის საბოლოო
სტრუქტურისა და შინაარსის ჩამოყალიბება.
სასიამოვნო მოვალეობად მიმაჩნია გულწრფელი მადლობა
გადავუხადო საქართველოს ტექნიკური უნივერსიტეტის სამშენებლო
ფაკულტეტის პროფესორ–მასწავლებლებს გულწრფელი ყურადღებისა და
მუდმივი ინტერესის გამო.
xi
შესავალი
არანიუტონისეული სითხეების დინებათა კანონზომიერების
გამოკვლევა დიდ მნიშვნელობას იძენს მშენებლობაში, მრეწველობასა და
ტექნიკაში ახალი მასალების შექმნისა და ფართო გამოყენებისათვის, ასევე
სხვადასხვა ბიოლოგიური გარემოს შესწავლისას, როგორებიცაა სისხლი,
ლიმფის დინება.
სადისერტაციო ნაშრომში გამოკვლეულია როგორც სტაციონარული,
ასევე არასტაციონარული დინებები და ელექტროგამტარი არანიუტონისეული
სითხის თავისუფალი კონვექცია, როდესაც ელექტროგამტარებლობის
კოეფიციენტი იცვლება სიჩქარის მიხედვით.
ნაშრომი შეიცავს შესავალს და სამ თავს.
ნაშრომში დასაბუთებულია განხილული ამოცანების აქტუალობა,
მიღებულია მაგნიტური ჰიდროდინამიკის, მაგნიტოჰიდროდინამიკური
სასაზღვრო ფენისა და თავისუფალი კონვექციის ძირითადი განტოლებები
და დებულებები. პირველ თავში მიახლოებითი მეთოდით ამოხსნილია
ცვლადი ელექტროგამტარებლობის მქონე სუსტადგამტარი არაკუმშვადი
ხარისხოვანი არანიუტონისეული სითხის მოძრაობის სტაციონარული
ამოცანები, ხოლო მეორე თავში გამოკვლეულია არაკუმშვადი
სუსტადგამტარი არანიუტონისეული სითხის არასტაციონარული მოძრაობის
ამოცანები. ამ თავის პირველ პარაგრაფში შესწავლილია არანიუტონისეული
ხარისხოვანი სითხის სასაზღვრო ფენის არასტაციონარული ამოცანა,
როდესაც სითხის ელექტროგამტარებლობა m
UU
−=
∞
10σσ სასაზღვრო
ფენაში სითხის სიჩქარის ცვლადია და მისი ამონახსნი მიღებულია
მიახლოებითი მეთოდით. მეორე პარაგრაფში შესწავლილია სითბოგადაცემის
გათვალისწინებით სუსტადგამტარი ხარისხოვანი ბლანტი სითხით
ფირფიტის არასტაციონარული გარსდენა, როდესაც სითხის
ელექტროგამტარებლობა m
UU
−=
∞
10σσ ცვლადია. მესამე პარაგრაფში
12
ნაპოვნია რამოდენიმე ავტომოდელური ამონახსნი ამოცანის, რომელიც
ეხება არაგამტარ ფირფიტაში სითხის გაჟონვის გათვალისწინებით
არანიუტონისეული სითხის დინებას, რომელიც ემორჩილება რეოლოგიის
ხარისხოვან კანონს, ამავე დროს გათვალისწინებულია სითბოგადაცემა და
მიიჩნევა, რომ ელექტროგამტარებლობა 10
−= mUσσ –სახისაა. ამ ამონახსნებს
აქვთ მოძრავი ტალღების სახე, რომელთა ფრონტი ვრცელდება გარემოს
მოძრაობის სიჩქარის, გაჟონვის მიმართულებით.
მესამე თავში განიხილება ელექტროგამტარი არანიუტონისეული
ხარისხოვანი სითხის თავისუფალი კონვექციური დინების ამოცანა,
როდესაც σ ელექტოგამტარებლობის ცვლილება დამოკიდებულია
სასაზღვრო ფენაში სითხის სიჩქარეზე. ამ თავის პირველ პარაგრაფში
შესწავლილია არასტაციონარული კონვექციური დინება იმ შემთხვევაში,
როცა mU0σσ = , 0≥m და მიღებულია ამონახსნი მიახლოებითი მეთოდით,
ხოლო მეორე პარაგრაფში სტაციონარული კონვექციური დინება
შეისწავლება ინტეგრალური მეთოდით, როდესაც ασσ U0= 0≥α .
13
1. ლიტერატურის მიმოხილვა
§ 1. არანიუტონისეული სითხეები
ნიუტონისეული სითხის დინამიკური სიბლანტე µ დამოკიდებულია
მხოლოდ ტემპერატურაზე და წნევაზე და არაა დამოკიდებული მოძრაობის
სიჩქარეზე, ხოლო ძაბვისა და სიჩქარის დამოკიდებულების გრაფიკი ე.წ.
დინების მრუდი წარმოადგენს სწორ ხაზს დახრის კუთხის ტანგესით µ, და
ეს ერთადერთი მუდმივი სრულად ახასიათებს სითხეს. არანიუტონისეული
სითხეებისთვის „დინების მრუდი“ უკვე აღარაა წრფივი, ე.წ. სიბლანტე
არანიუტონისეული სითხეებისა დამოკიდებულია არა მხოლოდ
ტემპერატურასა და წნევაზე, არამედ ისეთ ფაქტორებზე, როგორებიცაა:
მოძრაობის დეფორმაციის სიჩქარე, გარემოს კონსტრუქციული
თავისებურებები, რომელშიც იმყოფება სითხე და სითხის დინების
წინაისტორია [1, 2, 3].
დინების არაწრფივი მრუდის მქონე რეალური სითხეების სისტემები,
რომელთა მოძრაობის სიჩქარე ყოველ წერტილში წარმოადგენს ამავე
წერტილში მხოლოდ ძვრის მოძრაობის ძაბვის რაიმე ფუნქციას და არაა
დამოკიდებული დროზე, შეიძლება აღიწეროს რეოლოგიური განტოლებით:
)(τγ f= . (0.1.1)
საიდანაც გამომდინარეობს, რომ სითხის ყოველ წერტილში ძვრის
მოძრაობის სიჩქარე წარმოადგენს ამავე წერტილში ძაბვის წრფივ ფუნქციას.
ასეთი ნივთიერებები იწოდებიან არანიუტონისეულ ბლანტ სითხეებად.
მათ ყოფენ სამ ჯგუფად (0.1.1) ფუნქციის (ნახ. 1) გამოსახულების მიხედვით:
ა) ბინგამისეული პლასტიკური სითხე;
ბ) ფსევდოპლასტიკური სითხეები;
გ) დილატანტური სითხეები.
ბინგამისეული გარემოს დინების მრუდი წარმოადგენს წრფეს,
რომელიც კვეთს ძაბვის ღერძს მისი სათავიდან yτ დაშორებით.
რეოლოგიური განტოლება ბინგამისეული გარემოსთვის ჩაიწერება შემდეგი
სახით
14
ნახ. 1. არანიუტონისეული და ნიუტონისეული სითხეების კლასიფიკაცია
I – ბინგამისეული პლასტიკური (ბლანტპლასტიკური) II – ფსევდოპლასტიკური )1( <n III – ნიუტონისეული IV – დილატანტური )1( >n .
jy pµττ =− )( yττ > , (0.1.2)
სადაც pµ არის პლასტიკური სიბლანტე, ანუ სიმტკიცის კოეფიციენტი
ძვრისას, იგი რიცხობრივად ტოლია დინების მრუდის დახრის კუთხის
ტანგესის.
ფსევდოპლასტიკურ გარემოს არ გააჩნია გადინების ზღვარი და
ამიტომ დინების მრუდი გვიჩვენებს ძვრის ძაბვასა და ძვრის სიჩქარეს
შორის დამოკიდებულებას, ე.ი. მიმხები სიბლანტე µ ძვრის სიჩქარის
ზრდისას თანდათან მცირდება. დინების მრუდი წრფივი ხდება მხოლოდ
ძვრის სიჩქარის სიდიდის ძალიან დიდი მნიშვნელობებისას.
ძვრის ძაბვასა და მის სიჩქარეს შორის დამოკიდებულება პირველად
წარმოგვიდგინა ოსტვალდმა [1], შემდეგ კი გააუმჯობესა რეინერმა [2]. მას
აქვს სახე: nk γτ ⋅= , (0.1.3)
I
II III
IV
j
τ
τy
(ძვრის) მოძრაობის სიჩქარე
•
15
სადაც k და n მუდმივებია )1( <n მოცემული გარემოსათვის: k - სითხის
კონსისტენციის ზომაა, რაც დიდია სითხის სიბლანტე, მით მეტია k, n -
ახასიათებს მასალის არანიუტონისეულობის ხარისხს და რაც უფრო მეტად
განსხვავდება n ერთისგან, მით უფრო მკაფიოდ ვლინდება მისი
არანიუტონისეული ხასიათი.
დილატანტური გარემო იმით ჰგავს ფსევდოპლასტიკურს, რომ არც
მას გააჩნია გადინების ზღვარი, მხოლოდ მათი მიმხები სიბლანტე იზრდება
ძვრის სიჩქარის გაზრდისას. ამ შემთხვევაში ხარისხოვანი კანონი ხანდახან
გამოსადეგია, მაგრამ ხარისხის მაჩვენებელი n როცა აჭარბებს ერთს )1( >n
დინების ასეთი ტიპი პირველად აღმოაჩინა რეინოლდსმა მყარი ფაზის
დიდი შემცველობისას.
კლასიკური ჰიდროდინამიკის საფუძველზე ბლანტი არაკუმშვადი
იზოტროპული სითხისთვის სამართლიანია კანონი:
ijikij ep µδτ 2+−= . (0.1.4)
ძაბვის ijτ ტენზორსა და დეფორმაციის სიჩქარის ije ტენზორს შორის
არის წრფივი დამოკიდებულება.
ნივთიერებანი, რომელთა დინება ემორჩილება (0.1.4) კანონს
იწოდებიან ნიუტონისეულად და ითვლებიან ნორმალურად.
არანიუტონისეული სითხეებისთვის კავშირი ძაბვის ije ტენზორსა და
დეფორმაციის სიჩქარის ijτ ტენზორს შორის უფრო რთული ხასიათისაა და
აქვს სახე:
ij
n
emmeikij eeekp 2
1
21
−
+−= δτ , (0.1.5)
სადაც ijδ არის კრონეკერის სიმბოლო.
§ 2. ხარისხოვანი სითხეების სასაზღვრო ფენი
განვიხილოთ არანიუტონისეულ სითხეებში სასაზღვრო ფენის იდეის
გამოყენების შესაძლებლობანი. ცნობილია, რომ ნიუტონისეულ ბლანტი
16
სითხის დინამიკურ სასაზღვრო ფენში მოიაზრება დინების ის არე,
რომელშიც დიდ როლს თამაშობს შინაგანი ხახუნის ძალები. სიბლანტის
ძალების შინაგანი ინტენსივობა ნიუტონის კანონის მიხედვით წრფივ
კავშირშია ძვრის სიჩქარესთან, ხოლო რეინოლდსის რიცხვის დიდი
მნიშვნელობებისას ძალიან სწრაფად ეცემა გარსმოდენადი ზედაპირიდან
მოშორებით.
მახასიათებელ ზომებთან შედარებით თხელი არე, რომელშიც
ხახუნის ძაბვა ეცემა კედელზე მაქსიმალური სიდიდიდან გარე საზღვარზე
უსასრულო მცირემდე იწოდება ბლანტ სასაზღვრო ფენად.
განასხვავებენ ლამინარულ და ტურბულენტურ სასაზღვრო ფენს
იმის მიხედვით, თუ როგორია მათში დინების ლამინარული თუ
ტურბულენტური რეჟიმი. ჩვენ განვიხილავთ მხოლოდ ლამინარულ
სასაზღვრო ფენს [ 3].
ცხადია, რომ ანომალური–ბლანტი სითხეების დინებაში, რომელიც
ნიუტონისეულისგან განსხვავდება მხოლოდ სიბლანტის ძალებსა და ძვრის
სიჩქარეს შორის განსხვავებული დამოკიდებულებით, შეიძლება ასევე
იარსებოს არემ, რომელშიც შეინიშნება შინაგანი ხახუნის ძალების
მოქმედება ინერციულთან შედარებით, ე.ი. ბლანტმა სასაზღვრო ფენამ.
ამავე დროს ანომალურ–ბლანტ სითხეებში სასაზღვრო ფენის იდეის
გავრცობისას ფრთხილად უნდა ვიყოთ. ანომალურ–ბლანტ სითხედ
წარმოვიდგინოთ ისეთი სითხე, რომლისთვისაც ხახუნის ძაბვა სუსტად ან
ძალიან სუსტადაა დამოკიდებული ძვრის სიჩქარეზე (ხარისხოვან კანონში
მცირე მნიშვნელობები). მაშინ, ცხადია სიბლანტის ძალების შემცველი არე
არ იარსებებს და სასაზღვრო ფენის თეორია კარგავს აზრს. სასაზღვრო ფენი
გადაიწევს დინების მთელ არეზე [3].
ცხადია, რომ რეინოლდსის რიცხვის დიდი მნიშვნელობისას
მოსალოდნელია, რომ სიბლანტის მოქმედება წარმოიქმნება იმ თხელი
ფენის საზღვრებზე, რომელიც გარსმოდენადი სხეულის ზედაპირზე
მდებარეობს. ამ თხელ სასაზღვრო ფენაში სხეულის ზედაპირის მხების
17
გასწვრივ სიჩქარის მდგენელი იცვლება ნულიდან (სხეულის ზედაპირზე)
გარკვეულ მნიშვნელობამდე (ფენის გარე საზღვარზე).
იმის მიუხედავად, რომ რეინოლდსის რიცხვის მნიშვნელობა დიდია,
სასაზღვრო ფენის საზღვრებზე, ნავიე–სტოქსის განტოლებებში სიბლანტისა
და ინერციის წევრების სიდიდეების მნიშვნელობები დიდია.
გარსმოდენადი სხეულის ზედაპირზე რაც უფრო დიდია
რეინოლდსის რიცხვის მნიშვნელობა, მით უფრო დიდია სიჩქარის
გრადიენტი და მით მეტად მცირეა იმ არის ზომები, რომლის საზღვრებშიც
სიბლანტის მოქმედება არსებითია, ე.ი. იგულისხმება სასაზღვრო ფენის
ზომები. როგორც ქვემოთ იქნება ნაჩვენები, დინების მახასიათებელ გრძივ
ზომებთან შედარებით სასაზღვრო ფენის სისქის სიმცირე საშუალებას
გვაძლევს გავამარტივოთ სასაზღვრო ფენის საზღვრებზე ბლანტი სითხის
მოძრაობის განტოლება.
სასაზღვრო ფენის გარეთ სითხის მოძრაობაზე სიბლანტის გავლენა
შეგვიძლია უგულვებელვყოთ და სითხე ჩავთვალოთ იდეალურად,
ამგვარად, რეინოლდსის რიცხვის დიდი მნიშვნელობებისთვის
სითხის მოძრაობის მთელი არე შეგვიძლია გავყოთ ორ არედ:
ა) თხელი სასაზღვრო ფენი, რომელშიც ინერციისა და სიბლანტის წევრები
სიდიდით ტოლია.
ბ) არე, რომელშიც სიბლანტის გავლენა უგულვებელყოფილია, ეგრეთ
წოდებული გარე ნაკადი [4].
საჭიროა აგრეთვე მივუთითოთ ხარისხოვანი კანონის წმინდა
მათემატიკურ ნაკლზე, რომელიც ზღუდავს მის გამოყენებას სასაზღვრო
ფენის თეორიაში.
ეფექტური სიბლანტე
21
21
−
=
n
meemeek efµ
ძვრის მცირე სიჩქარის დროს მიისწრაფვის ნულისაკენ ყველა
დილატანტური სითხისათვის )1( >n და უსასრულობისკენ ყველა
18
ფსევდოპლასტიკურთათვის )1( <n . გამოცდილებამ აჩვენა, რომ ასეთი
უკიდურესობები არ შეიმჩნევა. ამიტომ, ცხადია, კრიტიკულ წერტილის
უშუალო მახლობლობაში სასაზღვრო ფენის გარე საზღვრის ახლოს
მიღებული შედეგები არასაიმედოა. ასეთ კრიტიკულ წერტილებში 0≈ije .
ანალოგიური სირთულე წარმოიქმნება ასევე ძვრის ძალიან დიდი
სიჩქარეებისთვისაც.
მივაქციოთ ყურადღება იმას, რომ სასაზღვრო ფენის სისქის შეფასებას
ვახდენთ, იმ შემთხვევაში, როდესაც სხეულის გარსდენა უწყვეტია.
საგულისხმოა, რომ სასაზღვრო ფენის სისქის ცნება პირობითია, რადგან
სასაზღვრო ფენში სითხის სიჩქარე ასიმპტოტურად უახლოვდება გარე
ნაკადის სიჩქარეს, იმისთვის, რათა ამ ცნებას მივცეთ განმარტება,
სასაზღვრო ფენის სისქე ვუწოდოთ გარსმოდენადი ზედაპირიდან ისეთ
დაშორებას, რომელშიც სითხის სიჩქარე განსხვავდება გარე ნაკადის
სიჩქარისაგან რაიმე მოცემული სიდიდით, მაგალითად 1%–ით (ნახ. 2).
ნახ. 2. სასაზღვრო ფენის არსი
გამოვიყენოთ ელექტროგამტარი არანიუტონისეული სითხის
სასაზღვრო ფენის განტოლება [5, 6]. ამისათვის განვიხილოთ არაკუმშვადი
ელექტროგამტარი ხარისხოვანი სითხის დინება იზოლირებულ ზედაპირზე
ელექტრომაგნიტური ველის არსებობისას. ამ შემთხვევაში
ელექტრომაგნიტურ ძალებს აქვთ შემდეგი სახე:
x
U∞
U∞
y
δ(x)
δ(x)→U
x როცა ∞≅ UU 99,0 δ=y
y
19
][1 BJf
ρ= , (0.2.1)
სადაც J
დენის სიმკვრივეა, ომის კანონი გვაძლევს:
)][( BUEJ
+=σ , (0.2.2)
სადაც ),,( zyx EEEE
არის ელექტრული ველის დაძაბულობის ვექტორი,
),,( zyx BBBB
კი მაგნიტური ინდუქციის ვექტორი, ხოლო −σ გარემოს
გამტარებლობა [5].
ითვლება, რომ გარემოს ფიზიკური მახასიათებლები არიან
ერთგვაროვნები, იზოტროპულები და სიმკვრივის გარდა არ არიან
დამოკიდებულები ტემპერატურაზე და დანარჩენ ფაქტორებზე.
ამგვარი დაშვებით მაგნიტური ჰიდროდინამიკის განტოლებათა
სისტემა მოიცემა შემდეგი განტოლებებით:
იმპულსის გადატანის
][ BJDtUD
i
+∇= τρ . (0.2.3)
ენერგიის განტოლება:
σλρ
22 |||| JkT
DtDTC p +Φ+∇= . (0.2.4)
უწყვეტობის
0=Udiv
, (0.2.5)
მაქსველის განტოლებები
0=Bdiv
, (0.2.6)
BrotJ
0
1µ
= , (0.2.7)
ErottB
−=∂∂ , (0.2.8)
0EEdiv eρ=
, (0.2.9)
ij
n
emmeijij eeekp 2
1
21
−
+−= δτ .
20
თუ მხედველობაში მივიღოთ (0.2.1), (0.2.2)–ს, განტოლება (0.2.3)
მიიღებს სახეს:
[ ]( )ij
iji BBUBExDt
DU ][][1
⋅++∂
∂=
ρστ
ρ. (0.2.10)
(0.2.4) განტოლებისთვის გვექნება:
σρρ ppjj CJ
Ck
xT
xa
DtDT
2
+Φ+
∂∂
∂∂
= , (0.2.11)
სადაც
+
∂∂
+∂∂
+
∂∂
+
∂∂
+
∂∂
=Φ2222
222xV
yU
zW
yV
xU
21
22+
∂∂
+∂∂
+
∂∂
+∂∂
+
n
xW
zU
zV
yW , (0.2.12)
i
i xU
tDtD
∂∂
+∂∂
= , )3,2,1,( =ji ,
jii
j
j
iij e
xU
xUe =
∂
∂+
∂∂
= ,
xUkIpxx ∂∂
+−= 2τ ,
∂∂
+∂∂
=xV
yUkIxyτ ,
yVkIpyy ∂∂
+−= 2τ ,
∂∂
+∂∂
=yW
zVkIyzτ , (0.2.13)
z
WkIpzz ∂∂
+−= 2τ ,
∂∂
+∂∂
=zU
xWkIxzτ .
+
∂∂
+∂∂
+
∂∂
+
∂∂
+
∂∂
=2222
222xV
yU
zW
yV
xUI
21
22−
∂∂
+∂∂
+
∂∂
+∂∂
+
n
xW
zU
yW
zV . (0.2.14)
შემოვიტანოთ უგანზომილებო სიდიდეები:
Lxx =′ ,
Lzz =′ , t
Lt ⋅=′ 0 ,
21
0
UU =′ , 0
WW =′ , 0T
TT =′ ,
+=′ 11
0
neRVV
,
+=′ 11
neR
LyY , 2
0ρPP =′ ,
0JJJ
=′ ,
0BBB
=′ ,
0EEE
=′ , (0.2.15)
სადაც L, 0 არიან კოორდინატისა და სიჩქარის გრძივი მასშტაბები,
−0T ტემპერატურის მასშტაბი, −0J დენის მასშტაბი, −0B მაგნიტური
ინდუქციის მასშტაბი, −0E ელექტრონული ველის მასშტაბი.
შევადგინოთ სასაზღვრო ფენის განტოლებები, ამისათვის
შემოვიღოთ უგანზომილებო კომპლექსები:
e
nn
n RkL
yu
yk
xUU
=
∂∂
∂∂
∂∂
≈−
ρ
ρ 20~
Zala xaxunis
Zala inerciis. (0.2.16)
rFLgg
xUU
=∂∂
≈20~
ρ
ρ
Zala simZimis
Zala inerciis,
neeг
ne RPPR
aL +
−+
−⋅==
1
21
20 , (0.2.17)
−=0
20
ρσ LBM მჰდ – მაგნიტური ურთიერთქმედების კოეფიციენტია,
n
pc LTC
kE
= 0
0
ρ ეკერტის რიცხვია,
0020 TCLJQ p σρ= პარამეტრი განსაზღვრავს ჯოულის სითბოგამოყოფის
ფარდობით სიმძლავრეს, 00
0
BEk = არის დატვირთვის პარამეტრი.
ამოვწეროთ მიღებული უგანზომილებო სისტემა:
+
∂∂
∂∂
+∂∂
−= −
xuI
xR
xpU
DtD
e12
−
∂∂
+∂∂
∂∂
+
∂∂
+∂∂
∂∂
+ −+−
++−
zU
xWI
zR
xVR
yuRI
yR e
ne
ne
nn
e11
11
11
22
( ) ( )yzzyzn
eyxzy BEBEMkWBVRBMBUBBM −+
+−+− +
−1
122 , (0.2.18)
+
∂∂
∂∂
+∂∂
−=∂∂ −+
−
yVI
yR
yP
tVR e
ne
112
2 +
∂∂
+∂∂
=∂∂ +
−++
+−
xVR
yURI
xR n
en
enn
e1
11
112
+
∂∂
+∂∂
∂∂
+ +−
+++
−
zVR
yWRI
zR n
en
enn
e1
11
112
( ) ( ) )(11
22 WBUBMBVRBBMBEBEkM zxyn
ezxzxxz +−+−−+ +−
, (0.2.19)
+
∂∂
∂∂
+∂∂
−= −
zWI
zR
zP
DtDW
e12
+
∂∂
+∂∂
∂∂
+
∂∂
+∂∂
∂∂
+ −+−
++−
zU
xWI
xR
zVR
yWRI
yR e
ne
ne
nn
e11
11
11
( ) ( )
+−+−−+ +
−n
eyxzyxxyyx VRBUBMBWBBMBEBEkM 11
22 , (0.2.20)
22
2
2
21
2
2
21 JQEzT
xTR
yT
PDtDT
cn
er
+Φ+
∂∂
+∂∂
+∂∂
= +−
, (0.2.21)
(უგანზომილებო სიდიდეების შტრიხები მოცილებულია), სადაც
+
∂∂
+∂∂
+
∂∂
+
∂∂
+
∂∂
= +−
+
2
12
12222
222zVR
yUR
zW
yV
xUI n
en
e
21
22
12
12
−
+−
+
∂∂
+∂∂
+
∂∂
+∂∂
+
n
ne
ne x
WzU
zVR
yWR , (0.2.22)
+
∂∂
+∂∂
+
∂∂
+
∂∂
+
∂∂
=Φ +−
+
2
12
12222
222zVR
yUR
zW
yV
xU n
en
e
21
22
12
12
+
+−
+
∂∂
+∂∂
+
∂∂
+∂∂
+
n
ne
ne x
WzU
zVR
yWR . (0.2.23)
(0.2.18)–(0.2.21) სისტემას რეინოლდსის დიდი რიცხვებისთვის
გააჩნია მცირე პარამეტრი (წევრი), რომლისთვისაც მოსახერხებელია
23
ავიღოთ n
eR +−
11
. ამიტომ რეინოლდსის რიცხვის დიდი მნიშვნელობებისათვის
ამონახსნი ვეძებოთ შემდეგი სახით:
++++= +−
+−
12
211
1
0n
en
e RUURUU ,
++++= +−
+−
ne
ne RVVRVV 1
2
211
1
0 (0.2.24)
++++= +−
+−
ne
ne RWWRWW 1
2
211
1
0
++++= +−
+−
ne
ne RPPRPP 1
2
211
1
0 .
(0.2.24) ჩავსვათ (0.2.18)–(0.2.21)–ში და გავუტოლოთ ნულს მცირე
პარამეტრის ხარისხები, ამოვწეროთ ნულოვანი მიახლოების განტოლებები:
−
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+∂∂
−=∂∂
−
yU
yW
yU
yxP
tU
n2
122
( ) ( )yzzyzxzy BEBEMKWBMBUBBM −+−+− 22 , (0.2.25)
)()( WBUBMBBEBEKMyP
zxyzxxz +−−=∂∂ , (0.2.26)
−
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+∂∂
−=∂∂
−
yW
yU
yW
yzP
tW
n2
122
( ) ( )xyyxzxzy BEBEMKUBMBWBBM −+−+− 22 (0.2.27)
22
122
2
21 JQy
WyUE
yT
PDtDT
n
cr
+
∂∂
+
∂∂
+∂∂
=
+
(0.2.28)
როდესაც y, V ძალიან მცირეა (0.2.21)–(0.2.28) აღწერს დენის ნულოვანი
წირის მახლობლობაში მდებარე თხელ არეში სითხის მოძრაობას. სწორედ
ამ არეს ვუწოდებთ სასაზღვრო ფენს, ხოლო (0.2.25)–(0.2.28) განტოლებებს –
სითხის სასაზღვრო ფენის განტოლებებს.
განვიხილოთ არანიუტონისეული არაკუმშვადი ელექტროგამტარი
სითხის დინება ბრტყელ სასაზღვრო ფენში ელექტრომაგნიტური ველის
24
არსებობისას, როდესაც მაგნიტური ინდუქციის ვექტორი B
მართობულია
ზედაპირის, რომელზეც არის სასაზღვრო ფენი, ელექტრული ველის
დაძაბულობა E
მართობულია B
ვექტორის და სასაზღვრო ფენის
გასწვრივი სიჩქარის მიმართულების. თუ x კოორდინატი მიმართულია
გარსმოდენადი ზედაპირის გასწვრივ, y − ზედაპირის მართობულად, ხოლო
z − დინების სიბრტყის მართობულად, მაშინ ),0,0( EE ≡
, )0,,0( BB ≡
.
ხარისხოვანი სითხის სასაზღვრო ფენის განტოლებათა სისტემა უინდუქციო
მიახლოებაში მიიღებს სახეს:
EBUBxP
yU
yU
yk
yUV
xUU
tU
n
ρσ
ρσ
ρρ−−
∂∂
−
∂∂
∂∂
∂∂
=∂∂
+∂∂
+∂∂
− 211 , (0.2.29)
0=∂∂
yP , 0=
∂∂
+∂∂
yV
xU ,
221
2
2
UByU
Ck
yTa
yTV
xTU
tT
n
p
σρ
+
∂∂
+∂∂
=∂∂
+∂∂
+∂∂
+
, (0.2.30)
აქ U და V არიან სასაზღვრო ფენში სიჩქარის მდგენელები.
§ 3. ხარისხოვანი არანიუტონისეული სითხის თავისუფალი კონვექციის გადატანის განტოლებები
ერთგვაროვანი სითბოგამტარი და ელექტროგამტარი სითხის
მაკროსკოპული მოძრაობა ელექტრომაგნიტური ველის ურთიერთქმედების
გათვალისწინებით აღიწერება განტოლებებით [7, 8]:
უწყვეტობის
0)( =∂∂
+∂∂
ii
Uxt
ρρ . (0.3.1)
იმპულსის მუდმივობის
iiijji
i BJgxx
PDt
DU ][
++∂∂
+∂∂
−= ρτρ ,
სადაც ( ))[ BUEJ
+=σ ,
ე.ი.
25
∑+−++∂∂
+∂∂
−=kj
jkiieeiijji
i BEUBBUBgxx
PDt
DU,
2 σσσρτρ Єijk, (0.3.2)
და ენერგიის მუდმივობის
∑=
+
∂∂∂
=3
1iijij
jjp e
xT
xDtDTC τλρ , (0.3.3)
მოძრაობის რაოდენობის შენახვის განტოლება სითხისათვის, რომელიც
შიგა ძალების მომენტების განაწილება არ გვაქვს, დაიყვანება ძაბვის
ტენზორის სიმეტრიულობის პირობაზე
jiij ττ = . (0.3.4)
სითბოგამტარობის კოეფიციენტი λ მივიჩნიოთ ცნობილად და
დავამატოთ გარემოს მდგომარეობის განტოლება
),( pTρρ = , (0.3.5)
მივიღებთ 14 უცნობიან, 8 განტოლებიან სისტემას.
(0.3.1)–(0.3.5) განტოლებები მდგომარეობის რეოლოგიურ
განტოლებებთან ერთად აღწერს სითხეების დინებისა და თბოცვლის
ამოცანების უფრო ფართო კლასს. თავისუფალი კონვექციის კერძო
შემთხვევაში ეს განტოლებები შეიძლება მნიშვნელოვნად გამარტივდეს, თუ
გამოვიყენებთ ბუსინესკის მიახლოებას. წარმოვადგინოთ თერმოდინამიკური
ცვლადები – ტემპერატურა T, წნევა P შემდეგი სახით:
TTT ′+= , PPP ′+= .
ჩავთვალოთ, რომ დამატებანი T ′ და P′ არიან შედარებით მცირენი,
ვიდრე T და P , შესაბამისად ρ<<′P , თუ ρ-ს გავშლით ტეილორის
მწკრივად, მივიღებთ
( )PTPp
TT
PT pTTP
′+′−=′
∂∂
+′
∂∂
+= ββρρρρρ 1),( 0 , (0.3.6)
P
T T
∂∂
−=ρ
ρβ 1 ,
TP P
∂∂
−=ρ
ρβ
0
1 , ( )PT ,0 ρρ = .
თუ მივიჩევთ, რომ სითხე იკუმშება მხოლოდ თერმულად, ე.ი.
ტემპერატურის ველის გრადიენტით განპირობებული სიმკვრივის
26
არაერთგვაროვნება უფრო დიდია, ვიდრე წნევის ცვლილებით გამოწვეული,
მივიღებთ:
TP TP ′<<′ ββ .
შედეგად მდგომარეობის განტოლება მიიღებს სახეს:
( )TT ′−== βρρ 10 . (0.3.7)
ამის გარდა უგულებელვყოთ დანარჩენი ფიზიკური მუდმივების
დამოკიდებულება ტემპერატურაზე, წნევაზე.
დაშვება 0ρρ <<′ საშუალებას გვაძლევს უწყვეტობის (0.3.1)
განტოლება ჩავწეროთ ფორმით:
0=∂∂
i
i
xU , (0.3.8)
ხოლო იმპულსის მუდმივობის კანონი (0.3.2)
+∂
∂+′−
∂′∂
−=
∂∂
+∂∂
j
ijTi
ik
ik
i
xTg
xP
xUU
tU τ
βρρ 00
∑+3
,kjjk BEσ Єijk ii BUBUB )(2
σσ +− . (0.3.9)
ენერგიის შენახვის (0.3.3) განტოლებას აქვს წინანდებური სახე,
მხოლოდ ბუსინესკის მიახლოების თანახმად მათში ρ შეცვლილია 0ρ -ით.
შევნიშნოთ, რომ ბუსინესკის მიახლოების მნიშვნელოვან მომენტს
წარმოადგენს ის, რომ განიხილება შედარებით სუსტი კონვექცია:
სიმკვრივის საშუალო მნიშვნელობიდან გადახრა, რომელიც გამოწვეულია
ტემპერატურის არაერთგვაროვნებით ითვლება, რომ საკმაოდ მცირეა. ასე
რომ, შეგვიძლია ის ყველა განტოლებაში უკუვაგდოთ, გარდა მოძრაობის
განტოლებისა, სადაც ეს გადახრა გათვალისწინებულია ამომგდები ძალის
შემცველ წევრში. ბუსინესკის მიახლოებით განტოლებათა ამონახსნის
მრავალრიცხოვან ექსპერიმენტულ მონაცემების შედეგებთან შედარებამ
აჩვენა, რომ ეს განტოლებები საკმაოდ კარგად გამოსახავენ თავისუფალი
კონვექციის ყველა მნიშვნელოვან განსაკუთრებულობას [9].
(0.3.3), (0.3.8), (0.3.9) განტოლებათა სისტემა (0.1.5)–ის გათვალისწინებით
სათანადო სასაზღვრო პირობებით სრულყოფილად აღწერს „ხარისხოვანი“
27
არანიუტონისეული ელექტროგამტარი სითხის ბინარული ნარევის
თავისუფალ კონვექციას. თუმცა ამოცანის ამოხსნა წარმოადგენს
სერიოზულ მათემატიკურ სირთულეს. ამავე დროს სასაზღვრო ფენის
შედარებით მნიშვნელოვნად მარტივი განტოლებები, რომლებიც მიიღებიან
გამოსავალი განტოლებებიდან, როგორც ცნობილია საკმაოდ ზუსტად
აღწერენ თავისუფალი კონვექციის ამოცანებს [7, 9].
გამოვიყვანოთ მოძრაობისა და სითბოგადაცემის განტოლებები
„ხარისხოვანი“ სითხის სასაზღვრო ფენისათვის ნებისმიერ ზედაპირზე.
ამისთვის შემოვიღოთ უგანზომილებო კომპლექსები:
≡
2
Zalebi xaxunis siblantis
gradientiT istemperatur uliaganpirobeb romlebic Zalebi, amomgdebi
( )[ ]−=
−=
−+≡
−∞
+
−∞
r
nT
n
nnT
GK
TTgLLK
LTTg2
20
222
2
30 )( βρρβ
გრასჰოფის განზოგადებული თერმული რიცხვი:
rP ( )[ ] )1(2)1(3
0111
2
+−
∞+−+
−
= n
n
Tnnnp TTgLLKC
βρν
ρ
არის პრანდტლის მოდიფიცირებული რიცხვი. ამ კომპლექსების
გამოყვანისას მახასიათებელი სიჩქარის თვისებად შეირჩა შესაბამისად
( )[ ]21
0 ∞−= TTLg TT β , ∞> TT0 .
გადავიდეთ ახალ ცვლადებზე (0.3.3), (0.3.8), (0.3.9) (0.1.5)
განტოლებებში
xLx =′ , yLx =2 , zLx =3 , TUU =1 ,
TVU =2 , TWU =3 , TLtt ′= ,
∞
∞
−−
=TTTT
0
θ , nnT LKPP −′= , (0.3.10)
EEE ′=
0 , BBB ′⋅=
0 .
მაშინ მივიღებთ
28
( ) −+∂∂
−+∂∂
= −i
i
iij
n
j
ir BUBM
xP
ggeh
xDtDUG )(12
1 θ
∑=
+−3
1,kjjki BEMKMU Єijk, (0.3.11)
11 ++
∂∂
∂∂
= nr
jjr
hBxxPDt
D θθ , (0.3.12)
სადაც
xx =1 , yx =2 , zx =3 , UU =1 , VU =2 ,
WU =3 , tt ′= , PP ′= ,
2n
Tr L
gKB
=
β ( ) 22
0
−
∞−n
TT ,
−=T
LBMρ
σ 20 მჰდ-ის ურთიერთქმედების კოეფიციენტი;
−=TB
EK0
0 დატვირთვის კოეფიციენტი
21
21
emme eeh ⋅= . (0.3.13)
Єijk – III რიგის ერთეულოვანი ტენზორი (0.3.11), (0.3.12)-ში x, y, z, U,
V, W ცვლადებიდან გადავიდეთ ახალ ცვლადებზე 1xx = , 1yy = , =z Є 1z ,
1UU = , 1VV = , =W Є 1W . მაშინ
22
∂∂
+
∂∂
=zV
zUh , ანუ
∈1~h .
იმისათვის, რომ გამოვიყვანოთ სასაზღვრო ფენის განტოლება
(0.3.11)-სა და (0.3.12)-ში შევასრულოთ ზღვარზე გადასვლა Є→0, მიღებული
დამოკიდებულებების გათვალისწინებით Є გავაიგივოთ )1(21
nrG +−
-თან,
მივიღებთ „ხარისხოვანი“ არანიუტონისეული ელექტროგამტარი სითხის
სასაზღვრო ფენში თავისუფალი კონვექციის განტოლებას.
+
∂∂
+
∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
∂∂
−=∂∂ −−
22
2
2
2
232
1
)1(zV
zUn
zU
zV
zV
zUnhG
tU n
r
29
( ) )( yzzyxx BEBEMKMUBUBM
xP
gg
−+−+∂∂
−+
θ ,
+
∂∂
+
∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
∂∂
−=∂∂ −−
22
2
2
2
232
1
)1(zU
zVn
zV
zU
zU
zVnhG
tV n
r
( ) )( zzxzyy BEBEMKMVBVBM
yP
yg
−+−+∂∂
−+
θ , (0.3.15)
)()(0 xyyxzz BEBEMKMWBUBM
zP
gg
−+−+∂∂
−=
θ , (0.3.16)
12
21 ++∂∂
= nr
r
hBzPDt
D θθ . (0.3.17)
(0.3.14)– (0.3.17) სისტემის სასაზღვრო პირობები იქნება
0=== WVU , 0=θ , როცა 0=t , (0.3.18)
0=== WVU , ),,( yxtf=θ , როცა 0=z , (0.3.19)
0→U , 0→V , 0→θ ; როცა ∞→z . (0.3.20)
თავისუფალი კონვექციის ამოცანებში მექანიკური ენერგიის
დისიპაცია შეგვიძლია არ გავითვალისწინოთ )10~( 3−TB .
განვიხილოთ არანიუტონისეული არაკუმშვადი ელექტროგამტარი
სითხის თავისუფალი კონვექცია, როდესაც სასაზღვრო ფენში არსებობს
ელექტრომაგნიტური ველი, ხოლო მაგნიტური ინდუქციის ვექტორია
)0,,0( BB =
, ელექტრული ველის დაძაბულობაა ),0,0( EE =
, მივიღებთ:
MKEBMUxP
yU
yU
yyUV
xUU
tU
n
−−+∂∂
−
∂∂
∂∂
∂∂
=∂∂
+∂∂
+∂∂
−
θ1
,
2
21yPy
Vx
Ut r ∂
∂=
∂∂
+∂∂
+∂∂ θθθθ .
აქ
Lxx′
= , T
UU
′= ,
)1(21
nrG
Lyy +′
= , )1(21
nr
T
GVV +′=
.
30
§ 4. საწყისი და სასაზღვრო პირობები
გავარკვიოთ როგორ საწყის და სასაზღვრო პირობებში უნდა
ვაინტეგროთ ხარისხოვანი რეოლოგიური სითხის სასაზღვრო ფენის
განტოლებანი. სასაზღვრო ფენი განიხილება როგორც ასიმპტოტური.
უძრავ გაუმტარ მყარ 0=y საზღვარზე დინამიკური ამოცანისთვის,
როგორც ექსპერიმენტებმა აჩვენა მრავალ ერთფაზიან არანიუტონისეულ
სითხეებთან, სამართლიანი რჩება ზედაპირზე მიკვრის კლასიკური
პირობები
0),,0,(),,0,(),,0,( === tzxWtzxVtzxU . (0.4.1)
საქმე იმაშია, რომ მყარ ზედაპირს შეუძლია ხელი შეუწყოს მის
მახლობელ მოლეკულებისა და სითხის ნაწილაკების მნიშვნელოვან
ორიენტირებას. ამასთან ზედაპირის გასწვრივ წარმოიქმნება გასრიალების
მახასიათებელი ქმედება. ასეთი მოვლენები განსაკუთრებით კარგად
დაიკვირვება მრავალფაზიან სისტემებში [4, 6, 10, 11].
ჩვენ განვიხილავთ მხოლოდ ასეთ სითხეებს, რომელთათვის მყარი
ზედაპირის მახლობლობაში სრიალი შეიძლება უგულებელყოფილი იქნეს.
საზოგადოდ მოძრავ გამჭოლ ზედაპირზე სასაზღვრო პირობები
მოიცემა შემდეგი სახით:
),,(0 tzxUU = , ),,(0 tzxVV = , ),,(0 tzxWW = . (0.4.2)
გადავიდეთ სასაზღვრო ფენის გარე საზღვარზე არსებულ სასაზღვრო
პირობებზე.
ფიზიკურად სასაზღვრო ფენის იდეა ეფუძნება იმას, რომ სიბლანტის
ძალების გავლენა აისახება მხოლოდ გამყოფი (მყარი, თხევადი) ზედაპირის
სიახლოვეს თხელ არეში. მის გარეთ მოძრავი სითხე შეიძლება ჩაითვალოს
იდეალურად. სხვა სიტყვებით, სასაზღვრო ფენის სხეულის ზედაპირის
მართობული კვეთის ყველა წერტილში წნევას გააჩნია ერთი და იგივე
მნიშვნელობა. ამასთან სასაზღვრო ფენი არსებობს, თუ სიჩქარის ზედაპირის
მართობული მდგენელი ფენის ნებისმიერ წერტილში არის მხებ
მდგენელთან შედარებით მცირე, ე.ი. სასაზღვრო ფენის არეში სიჩქარეს
31
გააჩნია იგივე ფარდობითი რიგი, როგორიც ფენის სისქეს. ამიტომ
სასაზღვრო ფენის გარე საზღვარზე სამართლიანია იდეალური სითხის
განტოლებები, რომლებშიც yVV∂∂ ,
yWV∂∂ წევრები შეგვიძლია
უგულვებელვყოთ:
−−∂∂
−=∂∂
+∂
+∂∂ WBMB
xP
zWW
xdVV
tV
zx
( ) )(22yzzyzy BEBEMKUBBM −++− , (0.4.3)
−−∂∂
−=∂∂
+∂
+∂∂ VBMB
xP
zWW
xdWV
tW
zx
( ) )(22xyyxyx BEBEMKWBBM −++− ,
)()( WBVBMBBEBEMKyP
zxyzxxz +−−=∂∂ ,
∞→=
yUU lim ,
∞→=
yWW lim . (0.4.4)
თუ ჩვენ გვეცოდინება წნევის განაწილება გარე საზღვარზე, მაშინ
(0.4.3)-ის ამოხსნით ვიპოვით საჭირო სიდიდეებს U, W-ს. მაშასადამე,
საკმარისია ექსპერიმენტალურად გავზომოთ წნევის განაწილება
გარსმოდენადი სხეულის ზედაპირზე, რომ ვიცოდეთ იგი სასაზღვრო ფენის
ნებისმიერ წერტილში, მათ შორის გარე საზღვარზე.
ამგვარად, სასაზღვრო ფენის გარე საზღვარზე საძიებელი სასაზღვრო
პირობები მოიძებნება (0.4.3) განტოლების ამონახსნებიდან, (0.4.3)
განტოლებაში xP∂∂ ,
zP∂∂ და
yP∂∂ დაითვლება ექსპერიმენტულად ცნობილი
გაზომილი წნევის განაწილების მიხედვით გარსმოდენადი სხეულის
ზედაპირზე.
დინამიკური სასაზღვრო ფენის სასაზღვრო ამოცანის უფრო
კონკრეტულად დასმისთვის, აუცილებელია ასევე საწყის კვეთებში
მოცემული იყოს სიჩქარის მხები და ტრანსვერსიალური მდგენელები
0xx = , 0zz =
).,,,( ),,,,(),,,( ),,,,(
0202
0101
tzyxWWtzyxUUtzyxWWtzyxUU
====
(0.4.5)
32
მიღებული განტოლებათა სისტემაში სიჩქარის ნორმალური
მდგენელისათვის გვაქვს მხოლოდ ერთი სასაზღვრო პირობა, რომლის
როლშიც საზოგადოდ იღებენ სასაზღვრო პირობას გარსმოდენადი სხეულის
ზედაპირზე.
დაუდგენელი არამდგრადი მოძრაობისას მოცემული უნდა იყოს
კიდევ დროის საწყის მომენტში სიჩქარის მხები და ტრანსვერსიალური
მდგენელები
).,,,( ),,,,( 0303 tzyxWWtzyxUU == (0.4.6)
სითბური სასაზღვრო ფენის განტოლებისათვის განვიხილოთ
საწყისი და სასაზღვრო პირობები. გარსმოდენილი სხეულის ზედაპირზე
შეიძლება მოცემული იყოს არა მხოლოდ მუდმივი და ცვლადი
ტემპერატურა, არამედ სითბოს ნაკადი:
).,,0,( ),,,0,( 00 tzxqqtzxTT == (0.4.7)
სითბური სასაზღვრო ფენის გარე საზღვარზე ტემპერატურა
შეიძლება იყოს მუდმივი ან მოცემული იყოს რაიმე კანონით:
),,(lim tzxTTy ∞∞→
= . (0.4.8)
და ბოლოს, აუცილებელია მივუთითოთ ტემპერატურის პროფილი
საწყის კვეთებში
0xx = , 0zz = :
).,,,( );,,,( 0201 tzyxTTtzyxTT == (0.4.9)
არასტაციონარულ ამოცანებში, ამას გარდა მხედველობაში უნდა
მივიღოთ საწყისი პირობები, რომლებიც გვაძლევს დროის საწყის მომენტში
ტემპერატურის განაწილებას 0tt = :
).,,,( 03 tzyxTT = (0.4.10)
ამასთანავე სასაზღვრო პირობებიც შეიძლება დამოკიდებული იყოს
დროზე.
თუ განიხილება სასრული სისქის სასაზღვრო ფენი, მაშინ
უსასრულობაში სასაზღვრო პირობის ნაცვლად ავიღებთ პირობას:
33
),,(lim),,(
tzxUUtzxy ∞→=
δ, ),,(lim
),,(tzxWW
tzxy ∞→=
δ, (0.4.11)
ხოლო უცნობი ),,( tzxδ სისქის განსასაზღვრავად მოვითხოვოთ სასაზღვრო
ფენიდან გარე ნაკადში სიჩქარის კომპონენტების უწყვეტად გადასვლის
პირობა:
0lim),,(
=∂∂
→ yU
tzxy δ, 0lim
),,(=
∂∂
→ yW
tzxy δ. (0.4.12)
34
2. შედეგები და მათი განსჯა
თავი 1
არანიუტონისეული გამტარი სითხის სტაციონარული სასაზღვრო ფენის ამოცანის მიახლოებითი ამოხსნის
მეთოდი ცვლადი ელექტროგამტარებლობისას
ამ თავში განვიხილავთ სხეულების სტაციონარულ გარსდენას
ხარისხოვანი ბლანტი გამტარი სითხით, ჩავთვალოთ, რომ
ელექტროგამტარებლობის კოეფიციენტი m
UU
−=
∞
10σσ , 0≥m .
[12, 13, 14] შრომებში განიხილებოდა მაგნიტურ ჰიდროდინამიკაში
არანიუტონისეული სითხის სასაზღვრო ფენის ავტომოდელური
ამონახსნები, როდესაც ფენის გარე საზღვრის გასწვრივ სიჩქარე ვრცელდება
ხარისხობრივად და ელექტროგამტარებლობა მუდმივია ყველა დინებაში.
თუმცა მაგნიტოჰიდროდინამიკური დინება ბევრი გამტარი გარემოსი,
როგორებიცაა ნარევები ან გამდნარი ლითონები, არ აღიწერება
ნიუტონისეული სითხეების მაგნიტური ჰიდროდინამიკის განტოლებებით.
არანიუტონისეული სითხის სასაზღვრო ფენის ავტომოდელური
ამონახსნები ელექტრომაგნიტური ველის მოქმედების გაუთვალისწინებლად
შესწავლილია [14]-ში.
[15, 16] შრომებში ამონახსნები მიღებულია მცირე პარამეტრით
გაშლის ასიმპტოტური მეთოდის გამოყენებით, ხოლო კერძო შემთხვევაში
[17]-ში განსაზღვრული პარამეტრის სპეციალური მოცემით შესაძლებელი
გახდა რამდენიმე ზუსტი ანალიზური ამონახსნის მიღება. ორივე შრომაში
არაა ნახსენები აგებული ამონახსნების ფიზიკური ინტერპრეტაცია და
ხარისხოვანი სითხეების მაგნიტოჰიდროდინამიკური სასაზღვრო ფენის
სტრუქტურის საერთო პრინციპული თავისებურება.
[4, 18, 19]-ში დამტკიცებულია, რომ დილატანტური სითხეების
შემთხვევაში სასაზღვრო ფენი სივრცულად უნდა იქნეს ლოკალიზებული.
35
ამასთანავე აღნიშნული იყო დილატანტური სითხის რეოლოგიურ კანონში
მუდმივას მნიშვნელობის განსაზღვრული დიაპაზონისთვის სასაზღვრო
ფენის სივრცული ლოკალიზაციის არსებითი ანომალიები. [20]-ში
მიღებულია ამ ამოცანის განსაკუთრებული ამონახსნები. ნაშრომში [21]
განხილულია ავტომოდელურ შემთხვევაში სიჩქარის გასწვრივი მდგენელის
ცვლილების არის ლოკალიზაციის საკითხი და სიჩქარის ლოკალიზაცია
გამართლებულია იმით, რომ მაგნიტური ველი შედის განტოლებაში
მხოლოდ წრფივ წევრში და არ შეუძლია პრინციპულად შეცვალოს
შეშფოთების გავრცელების ხასიათი. გავრცელების სასაზღვრო სიჩქარე
განპირობებულია მხოლოდ გარემო რეოლოგიური თვისებებით. მიღებული
შედეგებიდან გამომდინარეობს ასევე, რომ შეშფოთების გავრცელების
სიჩქარე მცირდება სიდიდით
rcBnN
ρσ 2)1( +
= ,
სადაც 01)12( ≥+−= mnr .
ნაშრომში [22] დამტკიცებულია მაგნიტურ ველში გამტარი
ფსევდოპლასტიკური სითხის )1( <n სასაზღვრო ფენის განტოლებათა
სისტემის ამონახსნის არსებობა და ერთადერთობა.
მაგნიტურ ჰიდროდინამიკაში ხარისხოვანი რეოლოგიური კანონის
ქვემდებარე სითხეების დინების შესწავლამ აჩვენა თვისებრივი განსხვავება
დილატანტურ და ფსევდოპლასტიკურ გარემოთა დინებებისთვის. ეს
განსხვავება შეიმჩნევა უკვე სტაციონარულ დინებებშიც, როდესაც
დილატანტური სითხის მოძრაობისას განივ მაგნიტურ ველში შეიძლება
წარმოიქმნას ზონები, რომლებშიც გარემო იმოძრავებს მუდმივი სიჩქარით.
კვაზიმყარი ზონების წარმოშობის ეფექტი მჰდ-ში გამტარი დილატანტური
სითხეების დინებებში ბუნებრივია იწოდება მაგნიტური პლასტიკურობის
ეფექტად [19]. ფსევდოპლასტიკური და ნიუტონისეული სითხეებისთვის ამ
ეფექტს არ აქვს ადგილი. მაგნიტური პლასტიკურობის ეფექტი საინტერესოა
შედეგის ანალიზური ბუნების თვალსაზრისით, როდესაც არაწრფივი
36
დიფერენციალური განტოლების ამონახსნს გააჩნია სხვადასხვა აღწერილობა
განსხვავებულ არეებში. ფაქტიურად ამ შემთხვევებში ამოცანის ამონახსნი
არის დიფერენციალური განტოლების განზოგადებული ამონახსნი, ამასთან
განზოგადებული ამონახსნის ინტეგრალური მრუდი შედგება კერძო და
განსაკუთრებული ამონახსნებისაგან [4], რომლებიც მიკერებულნი არიან
კვაზიმყარი ზონის საზღვარზე, თუ უწყვეტად ჩავთვლით შესაბამისად
სიჩქარეს და დაძაბულობას. ამასთან კვაზიმყარი მოძრაობის ზონა
ეთანადება განსაკუთრებულ ამონახსნს.
მჰდ-ში არხებში ხარისხოვანი სითხის დინების განმსაზღვრელ
უგანზომილები პარამეტრს წარმოადგენს ჰარტმანის განზოგადებული
რიცხვი anH . ამასთან
nnan L
KBH −+≡ 11
202
σ .
შევნიშნოთ, რომ როცა 1→n , ეს პარამეტრი გადადის ჰარტმანის
ჩვეულებრივ რიცხვში, 220
1 LKBH a
σ= , ხოლო როდესაც 1≠n , დამოკიდებულია
ნაკადის მახასიათებელ სიჩქარეზე.
ხარისხოვანი რეოლოგიური კანონის მქონე გარემოთათვის
სტაციონარული მჰდ დინებებისთვის ცნობილია ჰარტმანის და კუეტის
ამონახსნები ბრტყელ არხში [24] და განივი მაგნიტური ველითურთ
სასაზღვრო ფენში დინებისთვის [25]. როგორც [24]-ში იყო ნაჩვენები,
დილატანტური სითხის დინებისათვის კვაზიმყარი მოძრაობის ზონები
არხში წარმოიქმნება მხოლოდ იმ შემთხვევაში, როცა ჰარტმანის
განზოგადებული რიცხვი გადასცილდება რაიმე კრიტიკულ მნიშვნელობას.
[25]-ში შესწავლილ იქნა ხარისხოვანი სითხის სითბოცვლა სტაციონარულ
ბრტყელ გრადიენტულ მჰდ-ურ დინებებში. აღსანიშნავია, რომ ზოგ
შემთხვევაში სტაციონარული განაწილებანი შეიძლება მიღებული იქნეს
როგორც არასტაციონარულ ამოცანების ზღვრული ამონახსნები [26].
37
ჩამოთვლილი გამოკვლევებისგან განსხვავებით ჩვენ შევისწავლით
ხარისხოვანი გამტარი სითხის სასაზღვრო ფენს ელექტროგამტარებლობის
ცვლადი კოეფიციენტით m
UU
−=
∞
10σσ
სასაზღვრო ფენის ყველა მახასიათებლის საძიებლად ვისარგებლოთ ფენის
სასრული სისქის ცნებით.
განვიხილოთ სხეულის სტაციონარული გარსდენა სუსტადგამტარი
ხარისხოვანი ბლანტი სითხით, რომლის სიჩქარე უსასრულობაში არის
)(xU∞ .
გარე მაგნიტურ ველში არსებული ხარისხოვანი ბლანტი სითხის
სასაზღვრო ფენის ძირითად განტოლებებს აქვთ სახე:
.0 ,0
,1 2
2
21
=∂∂
+∂∂
=∂∂
−−∂∂
−∂∂
∂∂
=∂∂
+∂∂
−
yV
xU
yP
EBUBxP
yU
yUnK
yUV
xUU
n
ρσ
ρσ
ρρ (1.0.1)
ჩავთვალოთ, რომ 0=E
, თუ ვიხელმძღვანელებთ შემდეგი
დამოკიდებულებით:
EBUBxP
xdUU
ρσ
ρσ
ρ∞∞∞∞
∞ −−∂∂
−=∂
21 ,
მაშინ (1.0.1) განტოლება მიიღებს სახეს:
+−∂∂
∂∂
=∂∂
+∂∂ ∞
∞
−
dxdUU
yU
yUnK
yUV
xUU
n
2
21
ρ
[ ] ][2
σσρ
σσρ
−+−+ ∞∞∞BEUUB . (1.0.2)
ჩავთვალოთ, რომ სითხის ელექტროგამტარებლობა ცვლადია და
წარმოადგენს სიჩქარის ხარისხოვან ფუნქციას: m
UU
−=
∞
10σσ , 0≥m . (1.0.3)
ამგვარად (1.0.2) განტოლება მიიღებს სახეს:
38
+−∂∂
∂∂
=∂∂
+∂∂ ∞
∞
−
dxdUU
yU
yUnK
yUV
xUU
n
2
21
ρ
mm
UUBE
UUB
−−
−+
∞∞
112
0
ρρσ . (1.0.4)
უწყვეტობისა და (1.0.4) განტოლებაში გადავიდეთ ახალ ცვლადებზე
Lxx =′ , n
eRLyy +=′ 1
1
, neR
UVV +=′ 1
1
VUU =′ ,
UU∞=Φ , n
eRUVV +=′ 1
10
0 ,
neR
L+=′ 11δδ , n
n
en
n RLKU
+−
=′ 1ττ ,
მაშინ მივიღებთ:
0=∂∂
+∂∂
yV
xU ,
=
Φ−−
∂∂
∂∂
+Φ
Φ=∂∂
+∂∂
− mnUMU
yU
yUn
dxd
yVV
xUU 1
1
2
2
mmmnUMKUUM
yU
yUn
dxd
Φ−−
Φ−−
Φ−Φ+
∂∂
∂∂
+Φ
Φ=+−
11111
2
2
, (1.0.5)
სადაც V
LBMρ
σ 20= არის მჰდ ურთიერთქმედების კოეფიციენტი
(უგანზომილებო სიდიდეებს შტრიხები მოცილებული აქვს).
ამასთან სასაზღვრო პირობებს აქვთ სახე
0)0,( =xU , )()0,( 0 xVxV = ,
)()0,( xxU Φ= . (1.0.6)
თუ შემოვიტანთ დენის ფუნქციას ),( yxΨ ფორმულებით:
yU
∂Ψ∂
= , x
V∂Ψ∂
−= .
(1.0.5) სისტემიდან და (1.0.6) სასაზღვრო პირობებიდან ),( yxΨ დენის
ფუნქციისთვის მივიღებთ განტოლებას
−∂Ψ∂
⋅∂Ψ∂
−∂∂Ψ∂
∂Ψ∂
=∂Ψ∂
∂Ψ∂
−
2
22
3
31
2
2
yxyxyyyn
n
39
∂Ψ∂
Φ−−
∂Ψ∂
Φ−Φ+
ΦΦ−
+11111
mm
yyM
dxd , (1.0.7)
სასაზღვრო პირობებით:
0),(
0
=∂
Ψ∂
=yyyx , )(0
0
xVx y
−=∂Ψ∂
=
,
)(xy y
Φ=∂Ψ∂
∞=
. (1.0.8)
(1.0.7), (1.0.8) ამოცანის ამონახსნი ვეძებოთ მიმდევრობითი
მიახლოების მეთოდით [28]. ამისათვის შემოვიტანოთ სასაზღვრო ფენის
სასრული სისქე )(xδ , იგი განვსაზღვროთ სასაზღვრო ფენის გასწვრივი
სიჩქარის გარე ნაკადის სიჩქარეში მდორედ გადასვლის პირობიდან. ეს
პირობა ჩაიწერება ასეთი სახით:
0)(
2
2
=∂Ψ∂
=∂∂
= xyyyU
δ
. (1.0.9)
ფენის სასრული სისქის შემოტანით (1.0.8) პირობა უსასრულობაში
შეიცვლება პირობით )(xδ -ზე, ე.ი.
)()(
xy xy
Φ=∂Ψ∂
=δ
. (1.0.10)
ვიპოვოთ ორი მიახლოება დასმული ამოცანის
),(),(),( 21 yxyxyx Ψ+Ψ≈Ψ , (1.0.11)
სადაც ),(1 yxΨ -ის ქვეშ აღებულია ამონახსნი განტოლებისა
031
3
=∂Ψ∂y
, (1.0.12)
რომელიც აკმაყოფილებს შემდეგ სასაზღვრო პირობებს:
00
1 =∂Ψ∂
=yy, )(0
0
1 xVx y
−=∂Ψ∂
=
, )()(
1 xy xy
Φ=∂Ψ∂
=δ
. (1.0.13)
ამ ამონახსნს აქვს სახე:
∫−
Φ=Ψ
x
dVyxxyx
00
21 )(
)(2)(),( ξξ
δ. (1.0.14)
40
ამონახსნი ),(2 yxΨ არის ამონახსნი განტოლებისა:
+
ΦΦ−
∂Ψ∂
⋅∂Ψ∂
−∂∂Ψ∂
⋅∂Ψ∂
∂Ψ∂
=∂Ψ∂
−
dxd
yxyxyyny
n
21
211
21
1
22
3
22
3 1
∂Ψ∂
Φ−−
∂Ψ∂
Φ−Φ+
+111 1111
mm
yyM ,
და აკმაყოფილებს (1.0.13) სასაზღვრო პირობებს. ამაში (1.0.14) განტოლების
ჩასმით, 3-ჯერ ინტეგრებით, ერთგვაროვანი სასაზღვრო პირობების
დაკმაყოფილებით, მივიღებთ:
( )
+Φ′−+
Φ⋅
Φ+
Φ=Ψ −
−
δδ
δδδ
δ 61202),(
3
0
5
2
12 yV
dxdy
nyyx n
n
+−−
−
Φ+
Φ+
δδδδ yH
yMyVdxd
dxd 2
4484811 2
20
∫−
−+−
−++
++
++ xmm
dVymymHm
M0
0
343
)(1)4(1)1(3)4(
ξξδδ
δ ,
ამგვარად სიჩქარისათვის მივიღებთ:
( )
+Φ′−+
Φ⋅
Φ+Φ= −
−
δδ
δδδ
δ 224),(
2
0
4
2
1 yVdxdy
nyyxU n
n
+
−
−+−
−++−−+
++
δδδδ yymym
HM mm
11)1(1)3(2212
−
Φ+
Φ+ yV
dxd
dxd
4242411 0δδ . (1.0.16)
ანალოგიურად შეიძლება განისაზღვროს ),( yxV .
ზედაპირული τ ხახუნისათვის გვაქვს გამოსახულება:
n
nn
en
nn
y yUR
LUK
yUL
∂∂
=∂∂
= +
=
1
01τ ,
n
yU∂∂
=τ ,
სადაც
nn
en
nn
n
w
n
n RL
LR
LK
+−
+−
⋅=
= 1111
τττ ,
41
×
Φ+
Φ=
∂Ψ∂
=∂∂
=−−
== nyyU nnn
y
n
u
12
02
2
0
δδ
τ
n
mmMV
++
−′Φ
+Φ′+−±)2)(3(2424
1120 δδδ . (1.0.17)
სასაზღვრო ფენის უცნობი სიგანე )(xδ განვსაზღვროთ (1.0.9)
პირობიდან. )(xδ -ის განსასაზღვრავად გვექნება განტოლება
20
11
)1(8)()1(4163)1( −++
Φ++Φ+
=
Φ−
ΦΦ′
++ nnnn
nnxVnHMn
dxd δδδ . (1.0.18)
მიღებული განტოლება )(xδ -ის მიმართ არაწრფივია ცვლადი
კოეფიციენტებით და მისი ამოხსნა ზოგად შეთხვევაში დაკავშირებულია
დიდ მათემატიკურ სირთულეებთან.
განვიხილოთ რამდენიმე კერძო შემთხვევა, როდესაც (1.0.18)-ის
ამონახსნი შეიძლება მიღებულ იქნეს ცხადი სახით.
(I) სიჩქარე იყოს )()(0 xxV αδ= , მაშინ )(xδ -ისათვის მივიღებთ
განტოლებას
211 )1(844ln3)1( −++ Φ+=
+
Φ−Φ++ nnn nn
HM
dxdn
dxd δαδ
ამ განტოლების ამონახსნს 0)0( =δ პირობისას აქვს სახე:
Φ
−Φ∫
Φ+= ∫ ∫+Φ+−+x
n
dNnn ddNennx
x
0 0
14)()1(31
)()exp()1(8)( 0ξξ
ξ
ξθθδ .
თუ აქ const=Φ , მაშინ
−⋅
Φ+= Φ
−−+ 1)1(8)(
11
Nxnn e
Nnnxδ , (1.0.19)
სადაც
++=
HMnN 4)1(4 α .
როდესაც 1=n მივიღებთ სუსტადგამტარი სითხის სასაზღვრო ფენის
სისქეს [15]
−⋅= Φ 116)(
1
1
2xN
eN
xδ , (1.0.20)
42
სადაც
+=
HMN 481 α .
როდესაც Φ
xN1 მცირეა,
Φ=
x4δ . (1.0.21)
ზედაპირული ხახუნი (1.0.17)-დან მიიღებს სახეს
+
+Φ′+Φ
−⋅
Φ= +
−1
1 )31(33
4 nnn
HMn
nδα
δτ .
თუ აქ const=Φ , მაშინ n
nnn
HMn
n
+
+Φ
−
Φ
= +−
11 )31(
41
34 δαδ
τ .
თუ აქ ჩავსვამთ (1.0.19)-ს, მივიღებთ
[ ]nNx
nn
Nx
nnn
eANn
Benn
−
+−⋅
Φ+
= Φ
+−
−Φ
+−− 1)1(21)1(8
34
11
12τ ,
HMnA )31( ++=α .
მცირე ΦNx სიდიდისთვის ის გვაძლევს
[ ]
+
Φ+++
−Φ+
−⋅Φ+
= +
−− xH
mnnMnnxnn nnn )31)(1(4[2)2(21)1(8
34
13τ .
(II) სიჩქარე იყოს )()(0 xxV nδβ= , მაშინ )(xδ -ისთვის მივიღებთ
განტოლებას
211 )1(8)1(416ln3)1( −++ Φ++Φ+
=
−Φ++ nnn nnn
HM
dxdn
dxd βδδ ,
რომლის ამონახსნი იქნება:
+
Φ
−Φ⋅Φ
Φ+= ∫ ∫∫ ++−+x
nx
nn ddKdKnx0 0
23
0
)1(31
)(exp
)(exp)1(4)( ξ
θθβ
ξξδ
ξ
Φ
−Φ+ ∫∫ + ξθθξ
ddKnx
n
00
14
)(exp2 .
43
თუ აქ const=Φ , მაშინ
[ ]
−Φ+
+= Φ−+ 1214)( 11
xKnn en
Knx βδ .
სადაც
H
MnK )1(16 += .
როდესაც ΦKx მცირეა, გვექნება
( ) 11
11
12)1(4)( ++−
Φ+
Φ+
= nnn xnnx βδ . (1.0.23)
ხახუნის დაძაბულობა ამ დროს გამოისახება ფორმულით:
( ) nnn
n
HMm
nn
+
−Φ′Φ
+Φ−
Φ= +− 11 31
365
34 δβ
δτ .
როდესაც const=Φ და 0=m მივიღებთ:
=
Φ−Φ−
Φ
= +−−n
nnnn
nM
n111
24851
34 δβδ
τ
( )[ ] ×Φ++
Φ= +
−−++
1112
2)1(434
nn
n
n
nn
xnn β
n
nnn xnn
nMn
Φ+Φ
+−Φ−× −−− )2(
6)1(
851 11 ββ ,
n
nnn Mxnxnn
Φ+
−
Φ+
=
+−
= 311)1(8
34][
1
30βτ ,
++
Φ−
Φ==
Mxxn 222,0333,0][
3
1τ . (1.0.24)
(III) სიჩქარე იყოს )(3)(0 xHMxV δ−= , მაშინ სასაზღვრო ფენის სისქე
არაა დამოკიდებული მაგნიტურ ველზე და ტოლია:
ξξδ dnnxx
nnn )()1(8)(0
14)1(31 ∫ ++−+ ΦΦ+= .
თუ აქ const=Φ , მივიღებთ
11
11
2 ])1(8[)( ++−Φ+= nnn xnnxδ , (1.0.25)
44
რომელიც ემთხვევა [23] შედეგს.
τ დაძაბულობისთვის გვექნება
( ) nn
nn
HMm
n
−
+Φ′Φ
+
Φ= +
−1
1 133
4 δδ
τ .
როდესაც const=Φ , (1.0.25)-ის გათვალისწინებით, გვექნება
nnn
nn
HMxmnxnn
Φ−+
+Φ+
= +
−− )1)(1(61])1(8[34 13τ .
როდესაც 1=n ხახუნის დაძაბულობას განსხვავებული m-ებისთვის ექნება
სახე:
Φ+
Φ==
Mxxm 666,0333,0][
3
0τ ,
xm
3
1 333,0][ Φ==τ ,
Φ−
Φ==
Mxxm 166,0333,0][
3
2τ .
ეს ნიშნავს, რომ m-ის გაზრდით ხახუნი შემცირდება.
(IV) სიჩქარისთვის გვექნება =Φ )(
)(0
xxV Є<<1, მაშინ (1.0.18) განტოლება
სასაზღვრო ფენის სისქისთვის მიიღებს სახეს:
4)1(81631 211 =Φ+−
−Φ′
Φ+ −++ nnn nn
HMn
dxd δδ Є nn δ)1( + . (1.0.26)
ამ განტოლების ამონახსნი ვეძებოთ ხარისხოვანი მწკრივის სახით:
∑∞
==
0)(
sxδ Є +≈ 0δδ s
s Є 1δ . (1.0.27)
(1.0.27)-ის ჩასმით (1.0.26)-ში და Є-ს ერთნაირი ხარისხის მქონე
წევრების გატოლებით 0δ და 1δ -ისთვის მივიღებთ შემდეგ განტოლებებს:
2110 )1(816ln3)1( −++ Φ+=
Φ−Φ+ nnn nn
HM
dxdn
dxd δδ ,
416ln3)1(ln 101 =
Φ−Φ+++ δδδ
HM
dxdn
dxd
dxd n .
ამ განტოლებათა ამონახსნებს აქვთ სახეს:
45
∫Φ
ΦΦ+= ∫ ∫
Φ−
++−+x
dDxnnn dedxDnnx
0
)(
0
14)1(310
0)(exp)1(8)( ξξδ
ξ
αα
,
∫⋅Φ
∫Φ= ∫
Φ−
+Φ+−−x
dDnn
dDnn deexx
x
0
)(
0)1(3)()1(3
0100 )()()(4)( ξξδξδδ
ξ
αα
αα
,
როდესაც const=Φ , მივიღებთ:
−Φ
+= Φ−+ 1)1(8)( 1)1(
0
Dxnn e
Dnnxδ ,
= ∫ Φ
−Φ−
x Dn
Dxn deex
0001 )(4)( ξξδδδ
ξ
, (1.0.28)
სადაც HMnD )1(16 += .
(V) სიჩქარე იყოს
HMn
nnxV nn δβδδδ 42
)1(423)( 11
0 −+Φ−Φ′++
= −−− ,
მაშინ სასაზღვრო ფენის სისქე გამოისახება მარტივი ფორმულით
11
11
)1(4)( ++
Φ+
= nn
xnx βδ ,
სადაც β რაიმე მუდმივია, ხოლო ხახუნის დაძაბულობა იქნება
=
−+Φ′
++Φ
+
Φ= +
−n
nnn
MH
mn
nn
11 )1(
)1(1222 δ
δτ
n
nnn
HMm
n
−
+Φ
+
Φ= +
−1
1 )1(6
2 δβδ
.
როდესაც const=Φ , 1=n , მივიღებთ:
Φ−
++Φ
= xH
Mmx
)1(481212
1213 ββ
τ .
თუ 8=β გვექნება:
Φ−
+Φ
= xH
Mmx
)1(8416,03
τ ,
46
Φ+
Φ==
=Mx
xmn 333,1416,0][
30
1τ ,
x
mn
311 416,0][ Φ==
=τ ,
Φ+
Φ==
=Mx
xmn 333,1416,0][
311τ .
(VI) თუ constV =0
∫+−
ΦΦ′
−Φ
+Φ+Φ
=120 31684 nn
n
n
HMnV
dxδ
δδδ .
როცა 0=M , 00 =V , 1=n , const=Φ , გვექნება
Φ=
x4δ ,
რომელიც ემთხვევა იმ შედეგს, რომელიც გვხვდება ჰიდროდინამიკაში [5].
როცა 1=n , 00 =V , const=Φ გვექნება
−
Φ= 132exp
2)(2
HMx
MHxδ .
ნახ. 3. სასაზღვრო ფენის სისქის კავშირი შეჟონვისა და გაჟონვის სიჩქარესთან
U∞
x
y
)1(10 ~
axnn
x−
+−
τ
nn
x +1~δ
10 ~ +−
nn
xV
47
შევნიშნოთ, რომ ხარისხოვანი ბლანტი სითხის სასაზღვრო ფენის
სისქის პოვნა შეიძლება მხოლოდ შეჟონვის ან გამოჟონვის განსაზღვრული
სიჩქარისთვის, როცა
−
Φ1exp~)(0 H
MxxV ,
და როცა
11
0 ~)( +nxxV ,
ე.ი. როდესაც შეჟონვის ან გამოჟონვის ინტენსივობა კედლის გასწვრივ
იზრდება. ამის საწინააღმდეგოდ ამოცანის ავტომოდელური ამონახსნი
იარსებებს მხოლოდ იმ შემთხვევაში, როდესაც შეჟონვის ან გამოჟონვის
განაწილების ინტენსივობა მცირდება კედლის გასწვრივ კანონით:
11
0 ~)( +−
nxxV
ნახ. 4. სიჩქარის პროფილი მაგნიტური ველის გაზრდისას
1
0,6 V
1
0,3
0,1
0,4
0,2
0,8
0,5
0,7
0,9
0,2 0,6 0,2
III
II
IV
I
η
ΦU n m
I 0 0 II 0 0,5 III 0 1,5 IV 1 0,5 V 1 1,5
48
ზღვარში ფსევდოპლასტიკურ სითხეებში, ე.ი. როცა 0=n , გვაქვს:
−Φ 1~0
Mx
eV , xV ~0 და constV =0
ხოლო ავტომოდელური ამონახსნი არსებობს მხოლოდ მაშინ, როდესაც
constV =0 .
ნახ. 4, 5-ზე გამოსახულია ΦU შეფარდების η-ზე დამოკიდებულების
მრუდები, როცა 00 =V და 00 ≠V . ისინი გვიჩვენებენ, რომ ეს ფარდობები
ნახ. 5. დილატანტური და ფსევდოპლასტიკური სითხეებისათვის მაგნიტური ველის დამოკიდებულება სიბლანტის კოეფიციენტზე
იზრდება ფირფიტიდან მოშორებისას მაგნიტური ველის გაზრდისას. ნახ. 6-
ზე გამოსახულია 0τ
τ m შეფარდების გრაფიკი. ისინი გვიჩვენებენ, რომ
VI
1
0,6
VII
1
0,3
0,1
0,4
0,2
0,8
0,5
0,7
0,9
0,4 0,2 0,6 0,2
IX
X
VIII
η
ΦU
n m VI 0 0,5 VII 0 1,5 VIII 1 0,5 IX 1 1,5 X m 0,5
49
ესშეფარდებები იზრდებიან ΦMx კომპლექსის გაზრდისას დილატანტური
სითხეებისთვის )1( >n უფრო ჩქარა, ვიდრე ფსევდოპლასტიკური
სითხეებისთვის )1( <n , როდესაც const=σ )1( =m . ცვლადი σ-ებისათვის
)0( ±m ეს გაზრდა უფრო ნელია.
ნახ. 6. ძვრის ძაბვის დამოკიდებულება მაგნიტურ ველზე
τ
1,6
1
0,4
0,8
1,2
0,4 0,2 0,6 ΦMx
2
4
6
I IV
III
n m
I 0 21
II 0 23
III 21
21
IV 21
23
50
თავი 2
არანიუტონისეული სითხის არასტაციონარული მაგნიტოჰიდროდინამიკური დინება
ამ თავში განიხილება არანიუტონისეული ხარისხოვანი სითხის
არასტაციონარული სასაზღვრო ფენი; ელექტროგამტარებლობის კოეფიციენტი
წარმოიდგინება შემდეგი სახით: m
UU
−=
∞
10σσ , 0≥m (2.0.1)
სადაც U არის სასაზღვრო ფენში სითხის სიჩქარე, ხოლო ∞U მონაწყდომი
ნაკადის სიჩქარე.
შევნიშნოთ, რომ ხარისხოვანი სითხის უბრალო არასტაციონარული
ამოცანების ამოხსნაც კი მაგნიტურ ჰიდროდინამიკაში წარმოადგენს
მნიშვნელოვან მათემატიკურ სირთულეს. ამიტომ ზუსტი ამონახსნების
მიღება შესაძლებელია მხოლოდ იშვიათ შემთხვევებში თუ დინება
ავტომოდელურია. საზოგადოდ მათი ამოხსნისათვის აუცილებელია
გამოვიყენოთ მიახლოებითი ან რიცხვითი მეთოდები.
[28] ნაშრომში განხილულია ბრტყელი ფირფიტის ბლანტი
არაკუმშვადი გამტარი სითხით არასტაციონარული გარსდენა მიახლოებითი
მეთოდით, როდესაც გარემოს ელექტროგამტარებლობა წარმოადგენს
ხარისხოვან ფუნქციას (2.0.1), აქვე მოტანილია მაგალითები, როდესაც
შესაძლებელია სასაზღვრო ფენის სისქის გამოსახულება, მივიღოთ ცხადად,
და ნაჩვენებია, რომ მაგნიტური ველის მოქმედებისას ზედაპირული
ხახუნის მაქსიმალური შემცირება ხდება, როდესაც 0=m , ე.ი. იმ
შემთხვევაში, როცა სითხის ელექტროგამტარებლობის კოეფიციენტი
მუდმივია სასაზღვრო ფენის შიგნით და ტოლია ნულის ფენის გარეთ. როცა
1=m ხახუნის კოეფიციენტი განსხვავებულია 6%-ით. როსის [22] მიერ იმავე
გზით ადრე მიღებული ხახუნის კოეციენტისაგან.
51
ამ თავის პირველ პარაგრაფში შეისწავლება ანალოგიური ამოცანა
არანიუტონისეული სითხეებისთვის. ელექტროგამტარებლობის მუდმივი
კოეფიციენტის შემთხვევაში ამოცანა განხილულია [29]-ში.
მჰდ არასტაციონარული დინების განსაკუთრებულობების
გამოკვლევამ ხარისხოვანი სითხეებისთვის საშუალება მოგვცა ნათლად
წარმოგვედგინა განხილული მაგნიტური პლასტიკურობის ეფექტის
ფიზიკური ინტერპრეტაცია. აღმოჩნდა, რომ ეს ეფექტი მჭიდროდაა
დაკავშირებული დილატანტური გარემოს განსაკუთრებულობებთან, რაც
იმაში მდგომარეობს, რომ ასეთ გარემოში ძვრითი შეშფოთებები
ვრცელდება სასრული სიჩქარით. განსხვავებით ნიუტონისეული და
ფსევდოპლასტიკური სითხეებისგან, რომელთათვის მსრბოლი შეშფოთების
გავრცელების სიჩქარე უსასრულოა.
დილატანტურ სითხეებში მსრბოლი შეშფოთების გავრცელების
სიჩქარის სასრულობის ეფექტს ადგილი აქვს აგრეთვე მაგნიტური ველის
არარსებობისას, თუმცა მაგნიტური ველის არარსებობისას გამტარ გარემოში
წარმოიქმნება დარტყმითი ტალღის ფრონტის მოძრაობის სიჩქარის
შენელება და ზოგიერთ შემთხვევაში ფრონტის გაჩერება, რომელიც
ვრცელდება დამაგნიტებულ სითხეში შეშფოთების წყაროდან (როგორებიცაა
ფირფიტა, კედელი, არხი და ა.შ.) მხოლოდ სასრულ მანძილზე.
ზუსტი ანალიზური ამონახსნი რიგი ამოცანებისა უინდუქციო
მიახლოებაში გამტარი, ხარისხოვანი რეოლოგიური კანონის მქონე
სითხისათვის არასტაციონარული მსრბოლი დინებისას, როდესაც სითხეს
უჭირავს არაგამტარი ფირფიტით შემოსაზღვრული ნახევარსიბრტყე და
როდესაც ფირფიტის მოძრაობა წარმოშობს სითხის დინებას განივ
მაგნიტურ ველში, მიღებულია ნაშრომში [30].
[31]-ში განხილულია მუდმივ მაგნიტურ ველში ავტომოდელური
დინებანი ფირფიტის მოძრაობის კანონის რამოდენიმე სპეციალურ
შემთხვევაში. [32]-ში განზოგადებულია ერთ-ერთი ასეთი ამოცანა სითხის
მოძრაობისა, ფირფიტაზე დროის საწყის მომენტში იმპულსის
52
მოქმედებისას, იმ შემთხვევაში, როდესაც მაგნიტური ველი დროში
იცვლება ნებისმიერად. სტაციონარული და არასტაციონარული მსრბოლი
დინება გამტარი არანიუტონისეული სითხისა ხარისხოვანი რეოლოგიური
კანონით განივ მაგნიტურ ველში განხილულია ნაშრომში [33];
დილატანტური სითხეებისათვის კერძო შემთხვევაში მიღებული ამონახსნები
ხასიათდებიან ისეთი ზედაპირების არსებობით, რომლებიც
ერთმანეთისაგან გამოყოფენ მხები ძვრითი დაძაბულობის ნულოვან
არეებსა და ნულისაგან განსხვავებულ არეებს.
[34] და [35] შრომებში განხილულია არასტაციონარული მსრბოლი
დინებანი, როდესაც 21
~ tB ამასთან [34]-ში 0>t -ისთვის ფირფიტის
მოძრაობის სიჩქარე ითვლებოდა მუდმივად, ხოლო [35]-ში განიხილებოდა
ფირფიტის სიჩქარის დროზე ნებისმიერი ხარისხოვანი დამოკიდებულების
შემთხვევა. [34]-ში ამონახსნი აგებულია მჰდ ურთიერთქმედების
კოეფიციენტით, როგორც პარამეტრით გაშლის სახით, ხოლო [35]-ში
ავტომოდელური ცვლადის ხარისხოვანი მწკრივის სახით.
[36]-ის გამოკვლევებმა გვიჩვენა, რომ განივი შეჟონვა დილიტანტური
სითხეების მსრბოლ ჰიდროდინამიკურ დინებებში გავლენას ახდენს
მსრბოლი ტალღის ფრონტის მოძრაობის სიჩქარეზე, ზოგიერთ შემთხვევაში
იწვევს ფრონტის გაჩერებას ძვრითი შეშფოთების წყაროდან სასრულ
მანძილზე.
[37] და [38]-ში შესწავლილია დილატანტური სითხის
არასტაციონარული დინებებზე განივი წყვეტის გავლენა როდესაც
შეინიშნება იმავდროული გავლენა მაგნიტური ველისა და ფოროვან
ფირფიტაში სითხის შეჟონვისა (გამოჟონვისა) მსრბოლი ტალღის ფრონტის
მოძრაობის სიჩქარეზე $ 3-ში განხილულია ასეთივე ამოცანა სითბოგადაცემის
გათვალისწინებით და მიღებულია მხედველობაში ელექტროგამტარებლობის
ცვლადობა
10
−= mUσσ , 1≥m . (2.0.2)
53
შრომაში [39] გადმოცემულია ფსევდოპლასტიკური სითხის
სასაზღვრო ფენის მჰდ არასტაციონარული სისტემისთვის რამოდენიმე
შედეგი. ამიტომ შესწავლა სასაზღვრო ფენისა, რომელიც წარმოიშობა
დროში ცვლადი შეჟონვის (გამოჟონვის) საშუალებით მოდებული
მაგნიტური ველის ინტენსივობისას, გარე დინების სიჩქარეს გააჩნია დიდი
თეორიული და პრაქტიკული მნიშვნელობა. ამასთან სითხის დინების
პირობები იცვლებიან ისეთ საზღვრებში რომ გამართლებულია სასაზღვრო
ფენის მიახლოების შემოღება. ნაჩვენებია პირობები, რომელთა დროსაც
არსებობს სისტემის ერთადერთი ამონახსნი სიმეტრიული დინების დროს.
ეს პირობები გვაძლევენ ამონახსნის არსებობის გარანტიას პირდაპირი
კრიტიკული წერტილის რაიმე მიდამოში დროის უსასრულო შუალედში,
ასევე გვიჩვენებენ, რომ განივი მაგნიტური ველის ძალის მოქმედება
გამორიცხავს სასაზღვრო ფენის წყვეტას.
დასახრულს მიღებულია გარსმოდენადი სხეულის ზედაპირზე
ბლანტი ხახუნის დაძაბულობის მხები მდგენელის ასიმპტოტის პირველი
წევრი. არაკუმშვადი გამტარი სითხის არასტაციონარული სასაზღვრო ფენის
ამოცანებისთვის მიმდევრობითი მიახლოების მეთოდი გამოყენებულია
შრომებში [40, 41, 42].
§ 2.1. მიახლოებითი ამოხსნის მეთოდი არანიუტონისეული გამტარი სითხის არასტაციონარული სასაზღვრო ფენისთვის
განიხილება არასტაციონარული სასაზღვრო ფენი არანიუტონისეული
ხარისხოვანი სითხისა, რომლის ელექტროგამტარებლობის კოეფიციენტი
შეიძლება წარმოვადგინოთ შემდეგი სახით [43]: m
UU
−=
∞
10σσ , 0≥m (2.1.1)
სადაც U არის სასაზღვრო ფენში სითხის სიჩქარე, ხოლო ∞U არის ნაკადის
სიჩქარე გარე მაგნიტურ ველში 1<<emR მყოფი. ხარისხოვანი ბლანტი
სითხის სასაზღვრო ფენის ძირითადი განტოლებებია:
54
ρσ
ρρUB
yU
yUnk
xP
yUV
xUU
tU
n 21
2
21−
∂∂
∂∂
+∂∂
−=∂∂
+∂∂
+∂∂
−
, (2.1.2)
∞∞∞
∞∞ −
∂∂
−=∂∂
+∂∂ UB
xP
xUU
tU
ρσ
ρ
21 , (2.1.3)
0=∂∂
+∂∂
yU
xU . (2.1.4)
(2.1.1)-ის ჩასმით (2.1.2), (2.1.3)-ში მივიღებთ:
+
∂∂
∂∂
=∂∂
+∂∂
+∂∂
−1
2
2 n
yU
yUnk
yUV
xUU
tU
ρ
m
UUNUU
tU
−−+
∂∂
∞∞
∞ 1 . (2.1.5)
აქ ρ
σ 20 BN = .
უცნობმა U და V ფუნქციებმა უნდა დააკმაყოფილონ შემდეგი
პირობები:
0),0,( =txU , ),(),0,( 0 txVtxV = ,
),(),,( txUtxU ∞=∞ . (2.1.6)
დენის ფუნქციის ),,( tyxΨ -ის შემოტანით
yU
∂Ψ∂
= , x
V∂Ψ∂
−= ,
(2.1.4), (2.1.5) განტოლებებიდან დენის ფუნქციისათვის მივიღებთ
განტოლებას
−∂Ψ∂
∂Ψ∂
−∂∂Ψ∂
∂Ψ∂
+∂∂Ψ∂
=∂Ψ∂
∂Ψ∂
2
222
3
3
2
2
yxyxytyyynkρ
11111
+
∞∞∞
∞∞
∞
∂Ψ∂
−−
∂Ψ∂
−+∂∂
−∂∂
−mm
yUyUNU
yUU
tU (2.1.7)
და სასაზღვრო პირობებს:
00
=∂Ψ∂
=yy, ),(0
0
txVx y
−=∂Ψ∂
=
, ),( txUy y
∞∞=
=∂Ψ∂ . (2.1.8)
(2.1.7), (2.1.8) ამოცანის ამონახსნი ვეძებოთ მიმდევრობითი მიახლოების
მეთოდით [28]. ამისათვის შემოვიტანოთ სასაზღვრო ფენის „სასრული
სისქე“ ),( txδ , რომელიც ჯერჯერობით უცნობი ფუნქციაა და მოვითხოვოთ
55
პირობების შესრულება არა უსასრულობაში, არამედ ),( txδ მანძილზე. მაშინ
გვექნება სასაზღვრო პირობები:
),(),(
txUy txy
∞=
=∂Ψ∂
δ
. (2.1.9)
მოვძებნოთ ამონახსნი (2.1.7)-(2.1.8) შემდეგი სახით:
),,(),,(),,( 21 tyxtyxtyx Ψ+Ψ≈Ψ , (2.1.10)
სადაც ),,(1 tyxΨ არის ამონახსნი განტოლებისა:
03
3
=∂Ψ∂
y, (2.1.11)
რომელიც აკმაყოფილებს სასაზღვრო პირობებს:
00
1 =∂Ψ∂
=yy, ),(0
0
1 txVx y
−=∂Ψ∂
=
, ),(),(
1 txUy txy
∞=
=∂Ψ∂
δ
. (2.1.12)
ამ ამონახსნს აქვს სახე:
∫−=Ψ ∞x
dtVytxtxUyx
00
21 ),(
),(2),(),( ξξ
δ. (2.1.13)
შემდეგი მიახლოებისთვის ავიღოთ ამონახსნი განტოლებისა:
−
∂Ψ∂
⋅∂Ψ∂
−∂∂Ψ∂
⋅∂Ψ∂
+∂∂Ψ∂
∂Ψ∂
=∂Ψ∂
−
21
211
211
21
21
2
32
3
yxyxyzyynky
nρ
∂Ψ∂
−−
∂Ψ∂
−+∂∂
−+
∞∞∞
∞∞
1
11 1111mm
yUyUNU
xUU .
თუ აქ ჩავსვამთ (2.1.13) განტოლებას და ვაინტეგრებთ 3-ჯერ,
ერთგვაროვანი საწყისი პირობების დაკმაყოფილებით, მივიღებთ:
( ) +−
−
−+
′−′=Ψ ∞∞∞∞
∞∞ 20
2
4
3
2
2
2
2 231224120
),( yyUVUUyUUUyAyx δδδ
δδ
δδδ
( )++′+
−
′+
−+ ∞∞
∞∞∞ δδδδ
δ
448
81148
16
22 UUyyUVyyU
−+
++−
+++
++
++∞
2
2343 21)4(1)1(3)4( δδδδδ yyymym
HmNU mm
,
სადაც t
UU∂∂
= ∞∞ ,
x∂∂
=′δδ .
56
საბოლოოდ ორი მიახლოება დენის ფუნქციისთვის გვაძლევს:
−
∂∂
+
∂∂
+
=Ψ ∞∞∞
δδδU
tyU
xyAyUtyx
2421
1202),,(
4252
+
−
∂∂
+∂∂
−+−− ∞∞∞∞
δδ
δδδ
δy
xUyU
tUyyyyUV 811
481
6)23(
122
220
−
−++
++
∂∂
+∂
++
∞∞
∞432
1)1(3)4(
448
mymHm
MUtx
yUyUδ
δδδ
∫−
−+−+−
+ xm
dtVyyym0
0
3
2
2
),(12)4( ξξδδδ
, (2.1.14)
სადაც 1−
∞
⋅
=
n
UnkA δρ . (2.1.15)
სიჩქარის კომპონენტებისთვის გვექნება:
+
∂∂
−+
∂∂
−+=∂Ψ∂
= ∞∞∞ δ
ηηδδ
ηηδη Ut
Ux
AUy
U )(62
1)(24
332
44
+−−
∂∂
+∂∂
−+ ∞∞∞
∞ )1(2
)1(2
02
ηηδηηδ UVx
UUt
U
( )
−−+−−++−+ ++∞ )1()1)(1()1)(3(2 21
2
ηηηδ mm mmH
MU ,
სადაც δ
η y= .
+−+−=∂Ψ∂
−= 43
32
210 ),(),(),(),(),,( ytxfytxfyyxftxV
xtyxV
+
−−++++
+4
82
7655
4 1),(),(),(),(),(mytxfytxfytxfytxfNytxf
δ
−−
−+
++ 2
20
3
9 1),(1),(mm ytxfytxf
δδ, (2.1.16)
აღნიშვნები if , 10 ,1=i .
ცხადია (2.1.14)-დან ზედაპირული ხახუნის დაძაბულობისთვის
გვექნება:
57
+
∂∂
+∂∂
+
=
∂Ψ∂
=∂∂
= ∞∞
∞
∞
== tU
tU
nkUUK
yK
yUK n
nn
y
n
y
δδρδδ
τ63
10
2
2
0
nVV
mmNU
xU
xUU
−
++−
∂∂
+∂∂
+ ∞∞∞∞∞ 2)3)(2(2424
11 02 δδδ . (2.1.17)
სასაზღვრო ფენის უცნობი სისქე ),( txδ განვსაზღვროთ პირობიდან
02
2
=∂Ψ∂
=∂∂
yyU , როცა ),( txy δ= . ის გვაძლევს განტოლებას სასაზღვრო ფენის
სისქის განსაზღვრისათვის:
=
−
∂∂
+∂∂
++∂
∂+
∂∂ +∞
∞
+∞
+1
11
163ln
121)1(
1661 n
nn
HN
xUU
tn
xU
tδδδ
nn txVnUKnn δρ
),(4
12
)1(0
1
+
++
= −∞ . (2.1.18)
განვიხილოთ რამოდენიმე კერძო შემთხვევა, როდესაც შეიძლება
მივიღოთ ამონახსნი (2.1.18) ცხადი სახით:
ა) ავიღოთ ),(),(0 txtxV αδ= , α ნებისმიერი რიცხვია, მაშინ ),( txδ -
სთვის მივიღებთ განტოლებას:
=
−−
∂∂
+∂
∂++
∂∂
+∂
∂ +∞∞+
∞+
111
4163ln
121)1(
1661 n
nn
HN
xU
tUn
xU
tδαδδ
1
2)1( −
∞+
= nKUnnρ
. (2.1.19)
შემოვიტანოთ 1+∞=Φ nU δ და (2.1.19) ჩავწეროთ ასე:
+
∂∂⋅
−−
+=
∂Φ∂
+∂Φ∂
⋅ ∞
∞
−∞
∞ tU
UnKUnn
xtUn ln
121
2)1(
161
61 1
ρ
Φ
+
+−
∂∂+
+∞
∞
41ln
1623 α
HN
Un
xUn ,
რომლის მახასიათებლები განისაზღვრებიან სისტემიდან:
+
∂∂⋅
−−
+== ∞
∞
−∞∞ t
UU
nKUnndxdtU n ln12
12
)1(16 1
ρσ
Φ
Φ
+⋅
+−
∂∂
+−
∞
+∞ d
HN
Un
xU n 123
41ln
161 α . (2.1.20)
58
(2.1.20)-ის ზოგად ამონახსნს აქვს სახე:
+
∂∂−
−
+−Φ ∫ ∞
∞
+∞
xn dU
tUnKnnU
0
23 ln13
)1(4exp)1(8 ξρ
−
∂∂−
⋅
+ ∫∫∫ ∞
∞
+∞
∞
ξ
ξξξξ
00
14
0
ln13
)1(4exp),(),(
dUtU
ntUtU
dMx
nx
−=
− ∫∫ ∞
∞
t
dxUxfdUdM
01
0
),(381
ηηξξξ
, (2.1.21)
სადაც )(zf არის თავისი არგუმენტის ნებისმიერი ფუნქცია
++=
HNnM 4)1(4 α . (2.1.22)
განვიხილოთ ორი შემთხვევა )(zf ნებისმიერი ფუნქციის
განსასაზღვრავად.
(I). ვთქვათ 0),( =Φ tx , როცა 0=x . ეს ნიშნავს, რომ 0≡f , ხოლო
(2.1.21)-დან სასაზღვრო ფენის სისქისათვის გვექნება:
+
∂∂
−−+
= ∫ ∞∞
+∞
+x
nn dU
tUn
UKnntx
033
1 ln1)1(43exp)1(8),( ξ
ρδ
ξξξξξ ξ ξ
dUdMU
tUntU
UdM
xn
x
−∂
∂∂
−
+ ∫ ∫∫∫
∞∞
∞
+∞
∞ 0 0
11
0
14
0
ln1)1(34exp),( . (2.1.23)
თუ გარე ნაკადის სიჩქარე წარმოიდგინება )()(),( 21 xftftxU ⋅=∞
სახით, როდესაც სტაციონარული შემთხვევისთვის ავიღებთ 1)(1 =tf და
(2.1.23)-დან მივიღებთ:
∫ ∫∫
−
+= +
+xx
nn d
fdMf
fdM
fKnnx
0 0 12
12
0 233
2
1
)(exp)(
)(exp)1(8)( ξ
ξξξ
ξξ
ρδ
ξ
. (2.1.24)
ნიუტონისეული სითხეებისთვის 1=n , მივიღებთ ბრტყელი
ფირფიტის გარსდენისას სასაზღვრო ფენის სისქეს.
მიღებული განტოლება როცა 0=m , 0=α გამოისახება შემდეგნაირად
[44].
ξξξξδ
ξ
dfdNfN
fvx
x
−
= ∫∫
0 12
1
0
526
2
2
)(316exp)(
316exp16)( .
59
თუ == constxf )(2 (2.1.24) მოგვცემს სასაზღვრო ფენის სისქეს
ფირფიტის სტაციონარული გარსდენისას:
−
+= −+ 1exp)1(8),( 11
MxM
Knntx nn
ρδ . (2.1.25)
ზედაპირული ხახუნისთვის (2.1.17)-დან გვექნება:
−−
′++
⋅= ∞
∞
∞−
∞
∞
22411
31 1
αρδ
τ UUU
nKUUK n
n
n
nn
n
KnnU
mmN
+
+
++
− +−
∞+ 112
1 )()1(24)3)(2(
δρδ . (2.1.26)
როცა 1)(1 =tf , constxf ==)(2 მაშინ:
( )n
nn
nnn
mmN
nKx
KnnK
++
+−+
+
= +
−+
−1
111
2
)3)(2(2)(
)1(241 δαρδρ
δτ .
ამ შემთხვევაში ხახუნის კოეფიციენტი მოიცემა გამოსახულებით:
×
−
+
⋅
==
+−+
− 111
2
1))1(8(
2
21
nn
mxn
n
n
f Me
nn
UK
C
ρ
ρ
τ
nMxMx
emM
MMne
−
++
++
−+× 1)3)(22
)1(8311 α ,
მცირე
Mx -ებისათვის განსხვავებული m-ებისთვის ის გადავა:
+
+++
−+
−⋅
+=
+
+
+
HNxmnndxnn
RnnC
n
exnn
n
f)31)(1(4(2)2(21
3)1(2 1
1
)1(
12 2
+
+−
+−⋅
+
= +−+
+
+=
3)5()2(21
3)1(2 1
111
)1(
1210 NxnnxnnR
RnnC n
ex
n
exnn
nmf
α ,
+
+−
+−⋅
+= +
−+
+
++
NxnnxnnR
nnC n
ex
n
nn
nmf 3
)2()2(213)1(
2 111
1
)1(
211
2α , (2.1.27)
[ ]
++−−=
−
==
xNxRC exnmf
α4332,1666,021
10 ;
60
[ ]
++−−=
−
==
xNxRC exnmf
α482.728,2589,031
20 ,
სადაც ρK
xRn
ex
−
=22 .
ეს ნიშნავს, რომ m-ის გაზრდით იზრდება fC -იც.
(II). ვთქვათ 0),( =Φ tx , როცა 0=t , მაშინ axxf +=1)(2 (2.1.21)-დან
მივიღებთ:
×−−+
+= + nxna
tKfntx 331
1
]1][24[)()1(8),(ααρ
δ
−
−−⋅+×
+
+ ∫24
02
24 )(8
311)1(nt
n dfax ττα
−−+− ∫
1
1
01 )(
8311)1(
α
α ττt
dfaax , (2.1.28)
სადაც
+−
+++
= 11
1 ln)1(3)1(4
)()1(4 f
dtd
nna
HN
tafn αα .
t-ს მცირე მნიშვნელობისათვის სასაზღვრო ფენის სისქისთვის:
×
+−++
= ∫+
−+
t
n
nn df
axntKfnntx
0133
1
211 )(
]1][24[)()1(3),( ττ
αρδ
][ 1)1()1)(24( 124 αα axaxn n +−++× + , (2.1.29)
რომელიც 1=n და 01 =α მნიშვნელობებისათვის გვაძლევს
∫=t
dftfvt
01
1
2 )()(
6)( ττδ (2.1.30)
რომელიც ემთხვევა [45]-ის შედეგს.
ბ) ავიღოთ ),()1(3
12),(0 txUltn
ntxV n δ
∂∂
+−
−= ∞ .
მაშინ (2.1.18) განტოლება მიიღებს სახეს:
Φ
+−
∂∂
−+
=∂Φ∂
+∂Φ∂
∞
+∞
−∞
∞ HUNnU
xRUnn
xtUnn )1(ln
161
2)1(
161
61 231
ρ, (2.1.31)
61
რომლის მახასიათებლები განისაზღვრება სისტემიდან
Φ
+−
∂∂
−+
Φ==
∞
+∞
−∞
∞
HUNnU
xRUnn
ddxdtUnn )1(ln
161
2)1(
166231
ρ
. (2.1.32)
(2.1.32)-ის ზოგად ამონახსნს აქვს სახე:
×
+
+−Φ ∫
∞
+∞
xn
tUd
HNnRnnU
0
23
),()1(16exp)1(8
ξξ
ρ
≡
+−× ∫∫
∞
+∞ ξ
ξξξ
ξ
dtU
dH
NntUx
n
0
1
0
14
),()1(16exp),(
−≡ ∫ ∞
t
dxUxf0
),(38 ττ . (2.1.33)
განვიხილოთ )(zf ნებისმიერი ფუნქციის განსაზღვრისათვის ორი
შემთხვევა:
1) ვთქვათ 0),( =Φ tx , როცა 0=x . ეს ნიშნავს 0≡f . (2.1.33)-დან
სასაზღვრო ფენის სისქისთვის გვექნება:
×
+
+= ∫
∞+
∞
+x
nn
tUd
HNn
URnntx
033
1
),()1(16exp)1(8),(
ξξ
ρδ
ξξξξ
ξ
dtU
dH
NntUx
n
+−× ∫∫
∞
+∞
0
1
0
14
),()1(16exp),( . (2.1.34)
თუ გარე ნაკადის სიჩქარე წარმოდგენილია ნამრავლის სახით
)()(),( 21 xgtgtxU =∞ , მაშინ )(1 tg შემთხვევისთვის მივიღებთ ბრტყელი
ფირფიტის გარსდენისას სასაზღვრო ფენის სისქეს.
ამ შემთხვევაში მიღებული გამოსახულება:
×
+
+= ∫+
+x
nn
gd
HNnR
xgnnx
0 233
2
1
)()1(16exp
)()1(8)(
ξξ
ρδ
∫ ∫
+−× +
xn d
gd
HNng
0 0 2
142 )(
)1(16exp)( ξααξ
ξ
. (2.1.35)
როდესაც 0=m , 1=n გადავა გამოსახულებაში [ ]
ξααξ
ξξδ
ξ
dg
dNgg
dNxg
vxxx
⋅
−
= ∫∫∫
0 20
52
0 26
2
2
)(316exp)(
)(316exp
)]([)( .
62
როდესაც Vconstg ==2 ის გვაძლევს საშუალებას სასაზღვრო ფენის
სისქის განსაზღვრისა ფირფიტის სტაციონარული გარსდენისას მუდმივი
სიჩქარით.
−
+
=−
+ 1)1(16exp2
)(1
1
HVNxn
NHRVx
nn
ρδ . (2.1.36)
2) ვთქვათ 0),( =Φ tx , როცა 0=t , მაშინ )1()(2 axxg += სასაზღვრო
ფენის სისქისათვის გვექნება:
×+−+
+= +
−+
n
nn
axjnaRgnntx 33
211
]1][24[)1(8),(
ρδ
−
−−+×
+
+ ∫nnt
n dgaax4
01
42 )(8
311)1( ττ
−−+− ∫
jtj dgaaxa ττ
01 )(
8311)( . (2.1.37)
t-ს მცირე მნიშვნელობებისთვის (2.1.37) მიიღებს სახეს:
[ ]jnt
n
nn axjaxndg
axjntRgnntx )1()1)(42()(]1][24[)()1(3),( 24
0133
211 +−++
+−++
= ++
−+ ∫ ττ
ρδ ,
სადაც )()1(16 1 tHagNnj += .
3) ვთქვათ ),(4),(0 txHNtxV δ−= , მაშინ სასაზღვრო ფენის სისქე არაა
დამოკიდებული მაგნიტურ ველზე. ამასთან (2.1.18)-დან მივიღებთ
სისტემას, რომლის ზოგად ამონახსნს აქვს სახე:
×
−−
+−Φ ∫
∞
∞+∞
xn d
UUnRnnU
02
23 )1(34exp )1(8 ξ
ρ
∫ ∫∫
−=
−× ∞
∞
∞+∞
x tn dxUxFdd
UUntU
0 002
14 ),(38)1(
34exp),( ττξαξ
ξ . (2.1.39)
(I) ვთქვათ 0),( =Φ tx , მაშინ როცა ⇒= 0x 0≡F , ხოლო (2.1.39)-დან
სასაზღვრო ფენის სისქისთვის გვექნება
×
−−
+= ∫
∞
∞+
∞
+x
nn d
UUnR
Unntx
0233
1 )1(34exp )1(8),( ξ
ρδ
63
∫ ∫
−×
∞
∞+∞
xn dd
UUntU
0 02
14 )1(34exp),( ξαξ
ξ . (2.1.40)
თუ UconsttxU ==∞ ),( , მივიღებთ:
nn
n xURnnx ++
− ⋅
+= 1
111
2)1(8)(ρ
δ . (2.1.41)
რომელიც ემთხვევა [45]-ის რეზულტატს.
(2.1.7)-დან ზედაპირული ხახუნის დაძაბულობისათვის, როცა
)()(),( 1 tUxUtxU =∞ , 1)(1 =tU მივიღებთ:
+
++
= +
−1
2
)1(241 n
n
dxd
RnnUUR δρ
δτ
nnn
nRU
HmN
dxdU
−
++− 11)1(
2411 δρ ,
რომელიც თავის მხრივ, როცა constU = (2.1.41)-ის გათვალისწინებით
გვაძლევს:
−++
+
= +
−+
−
HUNxmnRnnU n
exnnn )1)(1(61)1(8
34 1
112ρτ , (2.1.42)
სადაც ρR
UxRnn
ex
−
=2
არის რეინოლდსის განზოგადებული რიცხვი. ამ დროს
ხახუნის კოეფიციენტი.
[ ]n
nnn
f HUNxmnnn
UC
−++⋅+
== +
− )1)(1(61)1(8342
21
12ρ
τ . (2.1.43)
მცირე UNx -ებისათვის, (2.1.43)-ს ექნება სახე:
[ ]
++
−++⋅+
= +
−+
−
HUNxmnRnnC n
n
exnnn
f)1)(1(61)1(8
342 11 ,
[ ]
++++⋅+
= +
−+
−= UNxnnRnnC n
n
exnnn
mf )1(1)1(8
342][ 11
0 ,
[ ] nn
exnnn
mf RnnC +
−+
−= ⋅+
= 11
1 )1(8342][ ,
[ ]
++
+−⋅+
= +
−+
−= UNxnnRnnC n
n
exnnn
mf 10
)1(1)1(8342][ 11
2 .
64
ეს ნიშნავს, რომ m-ის გაზრდით fC შემცირდება სხვადასხვა n-ებისათვის
მივიღებთ:
+++=
−==
UNxRC ex
mnf 333,1666,0][ 2
10
1 ,
+++=
−==
UNxRC ex
mnf 615,1269,0][ 2
102 .
ეს ნიშნავს, რომ n-ისა და N-ის გაზრდით fC გაიზრდება.
(II) ვთქვათ 0),( =Φ tx , როცა 0=t . მაშინ, როდესაც )1()( axxU += ,
(2.1.39)-დან მივიღებთ:
×
+−+
+= +
−+
n
nn
axnatRUnntx 33
211
]1][24[)()1(8),(
ρρδ
−
−−+
+
+ ∫24
01
24 )(8
311)1(nt
n dUaax ττ
−−+− ∫
β
β ττt
dUaax0
1 )(8
311)1( ,
ხოლო მცირე t-ებისთვის.
×
+−+
+≡ ∫+
−+
t
n
nn dU
axnRUnntx
0133
211 )(
]1[]24[)1(3),( ττρβ
δ
[ ]ββ )1()1)(24( 24 axaxn n +−++× + ,
სადაც dt
dUUn 1
21
134
−=β .
ანალოგიურად შეგვიძლია განვიხილოთ მაგალითები, რომელიც
სასაზღვრო ფენისთვის გვაძლევს ცხად გამოსახულებას და ვიპოვოთ მათი
ყველა მახასიათებელი.
(1)-ში 1=n , 01 =α -სთვის მიღებული გამოსახულებანი, ხოლო (2)-ში
1=n , 0=j (3)–ში 1=n -ისთვის გადავლენ [45]-ის გამოსახულებაში.
65
ნახ. 7-ზე 0δ
δ N სისქეთა ფარდობა გვიჩვენებს, რომ როცა const=σ -ის
იზრდება უფრო სწრაფად დილატანტური სითხეებისთვის, ვიდრე
ფსევდოპლასტიკურთათვის მაგნიტური ველის გაზრდისას, ხოლო ცვლადი
σ-ებისთვის გაზრდა არ ხდება.
ნახ. 7. მუდმივი მხები ძაბვის დროს სასაზღვრო ფენის სისქის დამოკიდებულება ველის მაგნიტურ რიცხვზე და სიმკვრივეზე
ნახ. 8-ზე ნაჩვენებია ცვლადი ელექტრული გამტარებლობის
გავლენის ეფექტი ნახევრადუსასრულო ბრტყელ ფირფიტის დინამიკური
სასაზღვრო ფენის სისქეზე. ერთგვაროვანი წირები (1.2.3) ეთანადებიან
სითხეებს, რომელთათვის ხარისხის მაჩვენებელია 2,5,0,1=n მუდმივი
ელექტროგამტარებლობისას, პუნქტირები (I, II, III) ცვლადი გამტარებლობის
სითხეებს
−=
∞UU10σσ . ცხადია, რომ მცირე X-ებისთვის ცვლადი ელ.
გამტარებლობის გავლენა δ-ზე არის უმნიშვნელო. X-ის ზრდისას ეფექტი
უფრო შესამჩნევი ხდება. ამასთანავე სითხის ხარისხოვანი დამოკიდებულების
ხასიათი არ ახდენს არსებით გავლენას სასაზღვრო ფენის სისქეზე.
n m I 0,5 0 II 1 0 III 2 0 IV 0,5 1 V 1 1 VI 2 1
II
III
I
1
2
3
4
5
6
7 7.2
0,2
0δδ N
V VI
0,4 0,6 0,8 1 N
66
ნახ. 8. ცვლადი ელექტრული გამტარებლობის ხასიათის გავლენა სასაზღვრო ფენის სისქეზე
§ 2.2. ფირფიტის არასტაციონარული გარსდენა გამტარი
ხარისხოვანი სითხით ელექტროგამტარებლობის ცვლადი კოეფიციენტით და თბოგადაცემით
სუსტადგამტარი ხარისხოვანი ბლანტი სითხის სხეულის
არასტაციონარული გარსდენის ამოცანის შესწავლას თბოგადაცემის
გათვალისწინებით გააჩნია დიდი პრაქტიკული და თეორიული ინტერესი.
როგორც ზემოთ იყო ნახსენები განიხილება ამოცანა სუსტადგამტარი
სითხით ფირფიტის გარსდენისა ცვლადი ელექტროგამტარებლობით [ 7, 8,
9, 46, 47] m
UU
−=
∞
10σσ , 0≥m , (2.2.1)
სადაც U წარმოადგენს სასაზღვრო ფენაში სითხის სიჩქარეს, ხოლო ∞U -
დამცემი ნაკადის სიჩქარეს.
δ
2,5 1 1,5 2
1
4
6
I
II
III
3
5
2
8
7
2
3
1
3
x
67
ბლანტი ხარისხოვანი სითხით ფირფიტის გარსდენის
არასტაციორული ამოცანა გარე მაგნიტური ველისა და თბოგადაცემის
გათვალისწინებით, რეინოლდსის მაგნიტური რიცხვის მცირე
მნიშვნელობებისათვის აღიწერება შემდეგი ძირითადი განტოლებებით [48]
UBxP
yU
yUnR
yUtV
tU
n
ρσ
ρρ
212
01)( −∂∂
−
∂∂
∂∂
=∂∂
+∂∂
−
, (2.2.2)
0=∂∂
yP , (2.2.3)
∞∞ −
∂∂
−=∂∂ UB
xP
tU
ρσ
ρ
201 , (2.2.4)
1
2
2
0 )(+
∂∂
+∂∂
=∂∂
+∂∂
n
p yU
CR
yTa
yTtV
tT
ρ. (2.2.5)
(2.2.1) შევიტანოთ (2.2.2)-ში და (2.2.4)-ში, მივიღებთ:
+∂∂
−∂∂
+∂∂
=∂∂
∂∂ ∞
−
tU
yUtV
tU
yU
yUnR
n
)(0
21
ρ
−−
−+
+
∞∞∞
1
11mm
UU
UUNU , (2.2.6)
სადაც ρσ 20 BN = .
უცნობებია სიჩქარე ),( tyU და ტემპერატურა ),( tyT . სითხის ნაკადი
აკმაყოფილებს შემდეგ სასაზღვრო პირობებს:
==
==
∞ )(),( 0),( 0
tUtyUytyUy
δ roca
roca (2.2.7)
==
===
∞ . , 0 0
TTyconstTTy
Tδ roca
roca (2.2.8)
(2.2.6) და (2.2.7) ამოცანის ამონახსნი ვეძებოთ მიმდევრობითი
მიახლოების მეთოდით [27, 28]. ამისათვის შემოვიტანოთ სასაზღვრო ფენის
სასრული სისქე )(tδ , რომელიც განისაზღვრება პირობიდან:
0=∂∂
yU , როცა )(ty δ= . (2.2.9)
68
ანალოგიურად შემოვიტანოთ სასაზღვრო ფენის სასრული სითბური
სისქე )(tTδ , რომელიც განისაზღვრება პირობიდან:
0=∂∂
yT , როდესაც )(ty Tδ= . (2.2.10)
ვიპოვოთ დასმული ამოცანის ორი მიახლოება
),(),(),( 21 tyUtyUtyU +≈ ,
სადაც ),(1 tyU -ს ქვეშ იგულისხმება ამონახსნი განტოლებისა:
02
2
=∂∂
yU ,
რომელიც აკმაყოფილებს შემდეგ სასაზღვრო პირობებს:
0),(01 =
=ytyU , )(),(1 tUtyU
y ∞==
δ.
ამ ამონახსნს აქვს სახე:
[ ]yttUtyU )()(),(1 δ∞= .
),(2 tyU არის ამონახსნი განტოლებისა:
+
∂∂
−∂∂
+∂∂
∂∂
=∂∂ ∞
−
tU
yUtV
tU
yU
nRyU
n1
01
11
22
2
)(ρ
−−
−+
+
∞∞∞
1
11mm
UU
UUNU ,
შემდეგ პირობებში:
002 =
=yU , 02 =
=δyU .
მასში (2.2.11) განტოლების ჩასმით, მივიღებთ:
+
−+
−
=
∂∂
∞∞∞∞
−
∞
UUVyUUUnRy
Un
δδ
δδδρ 0
2
1
22
2
−−
−+
+
∞
1
11mm yyNU
δδ.
ინტეგრებითა და სასაზღვრო პირობების დაკმაყოფილებით
მივიღებთ:
69
+
−+
= ∞∞∞
−∞
−
dtUdUVyU
dtdy
nRUtyU n
n
δδρδ 0
23
1
1
2 26),(
+
−++ ∞∞∞
2630UV
dtdU
dtdUy δδ
−+−
−++−
−+
++∞
212
1)1(1)3(21mm ymymy
HNU
δδδδ .
საბოლოოდ ორი მიახლოება მოგვცემს:
[ ]
+
+= ∞
−∞
−
∞ δρδδ U
dtdy
nRUyttUtyU n
n
6)()(),(
3
1
1
+
−++
−+ ∞∞∞∞∞ yUV
dtdU
dtdU
dtdUUVy
263200
2 δδδ
−+−
−++−
−+
++∞
212
1)1(1)3(21mm ymymy
HNU
δδδδ . (2.2.12)
ზედაპირული ხახუნის დაძაბულობისთვის გვექნება:
+
+=
∂∂
= ∞−
∞
−∞
= dtdU
nRUUR
yUR n
nn
y 31
1
0
δρδδ
τ
++
−−+ ∞∞∞
)3)(2(260
mmNUUV
dtdU δδ . (2.2.13)
სასაზღვრო ფენის უცნობ )(tδ სისქეს განვსაზღვრავთ (2.2.9)
პირობიდან. სასაზღვრო ფენის სისქის განსასაზღვრავად ის გვაძლევს
განტოლებას:
=
−
++ +
∞+ 11 12
21 n
nn
HNUl
dtdn
dtd δδ 1
0 )1(3)(2
)1(3 −∞++
+ nn UnvtVn δ . (2.2.14)
მიღებული განტოლება )(tδ -ს მიმართ არის არაწრფივი ცვლადი
კოეფიციენტებით და მისი ამოხსნა ზოგად შემთხვევაში წარმოადგენს დიდ
მათემატიკურ სირთულეს.
განვიხილოთ რამდენიმე კერძო შემთხვევა, როდესაც შესაძლებელი
იქნება (2.2.14)-ის ამონახსნი მოიძებნოს ცხადი სახით.
ა) ვთქვათ გაჟონვის სიჩქარეა )()( 10 tCtV δ= , მაშინ )(tδ -სთვის
მივიღებთ განტოლებას:
70
11
11
1 )1(343ln2
1 −∞
+∞
+ +=
+−
++ nnn Unv
HNCU
dtdn
dtd δδ .
ამ განტოლების ამონახსნს 0)( =oδ -ისთვის აქვს სახე
∫ −+=−
∞
+−
∞+
t nnn dUtUnvt
0
213
21
11 )exp()()exp()1(3)( τµττµδ . (2.2.15)
თუ აქ consttU =∞ )( , მაშინ
[ ]1)1(3)( 11
1 −+
= −∞
+ tnn eUnvt µ
µδ , (2.2.16)
სადაც
+
+=
µµ NCn 4
2)1(3
1 , ρ
nRv =1 , ამგვარად [ ]1)1(3)( 1110 −+= −
∞tn eInCvtV µ
µ;
ეს ნიშნავს, რომ როცა 01 >C გვექნება კედელში გაჟონვა. ასეთ შემთხვევაში
×−
++−−+= ∞
∞ )1()1(3)1()1(2
),( mtenUUtyUµ
ηηηη
−+−−++−+−× ++ ))1)(1()1)(3(2(2 21
1mm mm
HNC ηηη , (2.2.17)
სადაც δ
η y= .
ზედაპირული ხახუნის დაძაბულობისთვის გვექნება:
n
nnn
nn
VHmNUl
dtd
nRUUR
−
−+
= +
∞
−∞∞ δδρ
δτ 0
11 4
423 ,
როცა consttU =∞ )( , δ10 CV = მივიღებთ:
ntn
ntn
nn e
HmNCne
UnnR
−
+
+−
−
+
=
+−
+−
∞ µµρτ
µµ 142
111)1(323
1
11
2 .
ხახუნის კოეფიციენტი მცირე tµ -სთვის იქნება
−
+−
+
==
+
∞∞
ntcnnnU
RU
Cn
n
n
f 1
11
22 4521
))1(3(2322
ρρτ
1)1(23 +−
++
++
− nn
tnNtH
nm . (2.2.18)
−
+−
+
=
+
∞
= ntcnnnU
RCn
n
nn
f 1
11
20
4521
)]1(3[232][
ρ1
2+
−
+ n
n
tnNt
71
[ ]++−−=∞
== tNtc
tUvC m
nf 613,0143,2229,1][ 120
1 ,
[ ]++−−=∞
== tNtc
tUkC m
nf 779,2505,12779,2][ 13 202 ρ
,
[ ]++−−=∞
== tNtc
tUvC m
nf 357,0143,2225,1][ 1211 ,
[ ]++−−=∞
== tNtc
tUvC m
nf 224,0143,2225,1][ 122
1 ,
11
1
11
20 4521
))1(3(232][ +
−+
∞=
+−⋅
+
= n
n
n
n
Nf ttncnnnU
RCρ
,
21 ][][ == > nfnf CC , 10 ][][ == < mfnf CC ,
00 ][][ ≠= > NfNf CC .
აქედან ჩანს, რომ (2.2.1) ელექტროგამტარებლობის კოეფიციენტის
მქონე სითხით ბრტყელი ფირფიტის გარსდენისას ხახუნის კოეფიციენტი
მცირდება როგორც მაგნიტური ველის გაზრდით, ასევე n -ის გაზრდით,
ხოლო )(
)(0 ttV nδ
α= -ის გაზრდით იზრდება.
ბ) ავიღოთ )(
)(0 ttV nδ
α= , მაშინ
×+
=+
−
∞+ ),exp(
2)1(3)( 2
11 tMUnt
nnδ
−+−× ∫ ∫
+
∞
−
∞
t t nn
dMUdMUv0 0
21
213
1 ),exp()()exp(2 ττταττ .
თუ constU =∞ . ეს გვაძლევს
[ ][ ]tnn eUvNJt ,1
11 12
4)( µαδ −−
∞+ −+= , (2.2.19)
HNnM )1(61 += .
გ) როდესაც )(4)(0 tHNtV δ−= , მაშინ სისქე )(tδ არაა დამოკიდებული
მაგნიტურ ველზე და აკმაყოფილებს განტოლებას:
72
)()1(3ln2
1)( 11
11 tUnvUdtdnt
dtd nnn −
∞+
∞+ +=
+
+ δδ .
ამ განტოლების ამონახსნი 0)( =oδ -თვის იქნება
∫−
∞
+−
∞+ +=
t nnn dUUnvt
0
213
21
11 )()1(3)( ττδ .
როდესაც consttU =∞ )(
111
1
21
1 )1(3)( ++−
∞
+= n
nn
tUnvtδ . (2.2.20)
დ) თუ )()(2)( 110 ttUvtV nn δ−
∞−= მივიღებთ, რომ
tn
n eAUt ,21
1 )( µδ+
−
∞+ = , constS = . (2.2.20′)
ანალოგიურად შეიძლება განვიხილოთ სხვა შემთხვევები, რომლებიც
გვაძლევენ სასაზღვრო ფენის სისქის ცხად გამოსახულებებს.
ტემპერატურის ),( tyT განსასაზღვრავად ვეძებოთ (2.2.5)–(2.2.8)
ამოცანის ამონახსნი შემდეგი სახით:
),(),(),( 21 tyTtyTtyT +≈ ,
ამასთან ),(1 tyT იყოს ამონახსნი განტოლებისა:
021
2
=∂∂
yT ,
რომელიც აკმაყოფილებს შემდეგ პირობებს:
constTtyTy
=== 001 ),( , ∞=
= TtyTTy δ
),(1 ,
აქედან გამომდინარეობს, რომ 1T იქნება
)()(),( 001 tyTTTtyT Tδ−+= ∞ . (2.2.21)
მეორე მიახლოებად ვეძებოთ ამონახსნი განტოლები:
∂∂
−∂∂
+∂∂
=∂∂
+111
01
22
2
)(1n
yU
cR
yTtV
tT
ayT
ρ.
თუ აქ ჩავსვამთ (2.2.11) და (2.2.21) განტოლებებს, შემდეგ
ვაინტეგრებთ და გავითვალისწინებთ ერთგვაროვან სასაზღვრო პირობებს,
მივიღებთ:
73
++= TytTtyT δθ )(),( 0
,3)(3)(6
10
−
−+−+
+∞
n
TT
TT
UcR
dtdyVy
ay
δρδθδθ
δδ
0)()( TtTt −= ∞θ .
ამგვარად (2.2.10) პირობიდან მივიღებთ განტოლებას სითბური
სასასაზღვრო ფენის Tδ სისქის განსასაზღვრავად.
aVdtdU
CR
dtd
TT
n
pT 63ln23
02
12 +=
−
+
+∞ δδθδθρ
δ . (2.2.23)
განვიხილოთ რამდენიმე კერძო შემთხვევა, როდესაც შესაძლებელია
(2.2.23)-ის ამონახსნი მოვძებნოთ ცხადი სახით:
ა) თუ T
n
p
UCRtV δ
δθρ
=
+∞
1
0 )( მივიღებთ:
21
0
22 ))()(6()( ∫=t
T dtat ττθθδ .
ვთქვათ βθ tTtTt 6)()( 0 =−= ∞ , 0≥β მაშინ:
tatT βδ
216)(−
= ,
ხოლო როცა const=θ , 0=β და
tatT 6)( =δ . (2.2.24)
თუ შევადარებთ გამოჟონვის ან შეჟონვის სიჩქარეებს დინამიკური და
სითბური სასაზღვრო ფენებისა, მივიღებთ კავშირს δ-სა და Tδ -ს შორის:
T
n
pn
UCRtV δ
δθρδα 1
0 )(+
∞
== ,
ე.ი.
)(1
tfC
RU
p
n
T
==+
∞
θαρδδ .
თუ პრანდტლის განზოგადებულ რიცხვს შევარჩევთ შემდეგნაირად:
θαρ pn CRU 1Pr +∞= ,
74
და ჩავთვლით, რომ consttf =)( , მაშინ მივიღებთ:
Tt δδ Pr)( = , n
p
n
pCRUtV δ
θ
=
+∞
Pr)(
1
0 .
თუ 1=n გვექნება:
[ ]2111)2(4
)( tevN
Ht µαδ −−+= ,
ხოლო (2.2.24)-დან 0=m -სთვის მივიღებთ:
( )[ ]212 212
Pr Ntea
Nt
T
−−
+=
αδδ ,
თუ კვადრატულ ფრჩხილებში მყოფ გამოსახულებას გავშლით მცირე
tN -ებისთვის მწკრივად, გვექნება:
)1(2
Pr NtaT
−
+=
αδδ ,
საიდანაც ჩანს, რომ Tδδ მცირდება მაგნიტური ველის გაზრდით.
ბ) თუ T
atVδ2)(0 −= , constT =∞ , მაშინ
( ) τδθρ
δδ dUC
Rnt
pTT
1
00 2
3exp+
∞
−= ∫ ,
სადაც TT δδ =0 .
როცა 0=t .
ამ შემთხვევაში nn
t
UnRaV δρδ
10
22 −∞=
−= , ე.ი. T
nn Ua
nR δρ
δ
= −
∞1 . თუ
მხედველობაში მივიღებთ (2.2.20′)-ს, გვექნება:
=
−
∞ HnNtU
nRaA
n
T6exp2
31
1ρδ .
გ) თუ TtV γδ=)(0 , γ არის ნებისმიერი მუდმივი, constTT =−= ∞ 0θ ,
მაშინ Tδ -სთვის განტოლებას ექნება სახე:
aUCR
dtd
T
n
pT 633 2
12 =
−
+
+∞ δγδθρ
δ ,
რომელსაც გააჩნია ამონახსნი
75
×
−= ∫
+∞
t n
pT dU
CRta
0
12 33exp6)6( τ
δθργδ
τξδθρ
γττ
ddUCRt n
p
+−× ∫ ∫
+∞
0 0
133exp . (2.2.25)
როდესაც constU =∞ , გვექნება
[ ]∫ −∞+
∞ −+
=
tM
n
env
UdtU 1ln)1(3 1
21
δ.
(2.2.25)-ში ჩასმით მივიღებთ:
[ ] [ ] τδγτβτγβ deeeat
tMtMt
T ∫−−−− −−=
0
332 116)( .
თუ ჩვენ შევარჩევთ γ-ს ასეთნაირად:
+
+==
HNCnM 4
2)1(33 1γ ,
მაშინ ტემპერატურული სასაზღვრო ფენის სისქისთვის გვექნება:
[ ]1)1(
6)(2 −+
= tMT e
Matβ
δ .
თუ აქ შევიტანთ )1()1(
2
+−=
+= ∞
nnE
nnCU c
pθβ , მივიღებთ
[ ]tM
cT e
EnnMnant
])1([)1(6)(2
−++
=δ . (2.2.26)
სადაც )( 0
2
∞
∞
−=
TTCUE
pc ეკერტის რიცხვია [49].
აუცილებელია მხედველობაში მივიღოთ, რომ შეჟონვის (გაჟონვის)
სიჩქარეს აქვს ერთი მნიშვნელობა, ამიტომ უნდა არსებობდეს კავშირი δ და
Tδ სისქეებს შორის:
δδ 10 3CMV T == ,
10 3C
MTt
=δδ .
თუ შევადარებთ (2.2.16) და (2.2.26)-ს 1=n -ისთვის, გვექნება:
−=
21Pr c
T
Eδδ . (2.2.27)
76
ეს დამოკიდებულება განსაზღვრავს 1C კოეფიციენტს. დასასრულ 0V
სიჩქარისთვის გვექნება:
δδ
−
−
==
12
1Pr
410
cEH
NCV . (2.2.28)
ზოგად შემთხვევაში ნებისმიერი n-ისთვის კავშირი δ და Tδ
სიდიდეებს შორის იქნება:
[ ] )1(212
11
1
1 1)1(6
)1(()1(3)()(
nn
tMcn
n
T
enan
EnnMUM
Rnntt
+−+
−∞ −
+−+
+=
ρδδ . (2.2.29)
სითბოგადაცემის )(tα კოეფიციენტისთვის გვექნება:
=−∂∂
−=−
= ∞=∞
)()( 000
TTyT
TTqt
y
W λα
+−=
+∞
T
n
pT
UaCR
aV
δδθρδ
λ1
0
4423 ,
at
tT 8
)21(323)( βδλα −
==
როდესაც
T
n
p
UCRtV δ
δθρ
1
0 )(+
∞
=
და
[ ] 21
1)1((4)1(1
)1(3)1([2)( −
−⋅
−+
+−
+−+
= tM
c
tMc e
Ennenn
nanEnnMt λα ,
როცა TMV δ30 = .
ნახ. 9, 10–ზე გამოსახულია θ-ს Tη -ზე დამოკიდებილების მრუდები
ფსევდოპლასტიკური და დილატანტური სითხეებისათვის. ისინი გვიჩვენებენ,
რომ სითხის ტემპერატურა მცირდება მაგნიტური ველის გაზრდისას
როგორც const=σ -სთვის, ასევე მაშინაც, როცა σ არის ცვლადი.
77
ნახ. 9. ფსევდოპლასტიკური სითხისათვის ტემპერატურის დაცემის კავშირი ტემპერატურაზე დამოკიდებული სიბლანტის კოეფიციენტთან
T
Tyδ
η =
ნახ. 10. დილატანტური სითხისათვის ტემპერატურის დაცემის კავშირი ტემპერატურაზე დამოკიდებულ სიბლანტის კოეფიციენტთან
N m n
I 0 m 23
II 0,2 0 23
III 0,2 1 23
IV 1 1 23
0,3
0,1
0,2
0,7
0,9
θ
0,6
0,4
0,8
0,5
1 0,4 0,2 0,6 0,8
1
ηT
IV
II
I
III
0,3
0,1
0,7
0,9
θ
0,5
1
1 0,4 0,2 0,6 0,8 ηT
N n m I 0 m 0,5 II 0,2 0 0,5 III 2,2 1 0,5 IV 1 1 0,5
78
§ 2.3. არანიუტონისეული გამტარი სითხის ავტომოდელური ამოცანების შესახებ სითბოგადაცემის გათვალისწინებით
ამ პარაგრაფში განიხილება გამტარი არაკუმშვადი არანიუტონისეული
სითხის მოძრაობა. სითხის რეოლოგიური კანონი ხარისხოვანია და კავშირი
ძვრის τ დაძაბულობასა და სიჩქარის yU∂∂ გრადიენტს შორის ბრტყელი
მოძრაობის შემთხვევაში არის [19, 45, 50] სახის.
yU
yUk
n
∂∂
∂∂
=−1
τ , 0>n . (2.3.1)
აქ k და n არის გარემოს რეოლოგიური მუდმივები. მჰდ-ის
სტაციონარული დინებები ნაჩვენები გარემოსი, გამოკვლეულია შრომებში
[51, 52, 53, 54]. ამასთან, როგორც ამ ნაშრომებშია შენიშნული,
დილატანტური )1( >n სითხის დინების ხასიათი არსებითად განსხვავდება
ფსევდოპლასტიკური )1( <b სითხის დინების ხასიათისაგან.
კერძოდ, გამტარი დილატანტური სითხეების არხებში დინებისას ამ
კონკრეტული გარემოთათვის ჰარტმანის განზოგადებული რიცხვებისათვის,
რომლებიც აჭარბებენ რაიმე კრიტიკულ მნიშვნელობას, წარმოიქმნება
დინების კვაზიმყარი ზონები, რომლებშიც სითხე მოძრაობს არხის კვეთაში
მუდმივი სიჩქარით (მაგნიტური პლასტიკურობის ეფექტი) [55, 56, 57]. ეს
საშუალებას გვაძლევს, რომ ველოდეთ ასეთ გარემოთათვის
არასტაციონარულ მჰდ დინებებში ისეთ განსაკუთრებულობებს, რომელნიც
კავშირშია სითხის არანიუტონისეულ თვისებებთან.
განვიხილოთ არასტაციონარული მსრბოლი მჰდ დინება ხარისხოვანი
რეოლოგიური კანონის მქონე (2.3.1) სითხისა, როდესაც არსებობს სიჩქარის
განივი მდგენელი, რომელიც წარმოიქმნება სასაზღვრო ზედაპირში
გამოჟონვის შედეგად, როდესაც გარე მაგნიტური ველი ერთგვაროვანი და
მუდმივია. ჩავთვალოთ, რომ გარემოს ელექტროგამტარებლობის
კოეფიციენტი წარმოიდგინება [45] სახით:
10
−= mUσσ , 1≥m . (2.3.2)
79
ვთქვათ სითხეს უჭირავს ნახევარსიბრტყე 0>y . ამასთან
იგულისხმება, რომ გარე მაგნიტური ველი y ინდუქციით მიმართულია 0B
ღერძის გასწვრივ, ხოლო ელექტრული ველი განსახილველ შემთხვევაში არ
არსებობს 0=E
. არაგამტარ ფირფიტაში, რომელიც სითხეში ძევს 0=y
სიბრტყეზე ხორციელდება სითხის გაჟონვა )(tVVy = სიჩქარით.
ფირფიტის მოძრაობისას სითხეში წარმოიქმნება სითხის
არასტაციონარული დინება, ამასთან დროის ნებისმიერ მომენტში 0>∂∂
yU .
რეინოლდსის მცირე რიცხვებისთვის, ე.ი. 1Re <<m განტოლებები,
რომლებიც აღწერენ არასტაციონარულ დინებას და თბოცვლას განივ
მაგნიტურ ველში, დისიპაციური სითბოგამოყოფის გათვალისწინებით.
უგრადიენტო მჰდ დინების შემთხვევაში, ჩაიწერება სახით:
UByU
yU
ya
yUtV
tU
n
ρσ 2
01
)( −
∂∂
∂∂
∂∂
=∂∂
+∂∂
−
, (2.3.3)
1
2
2
)(+
∂∂
+∂∂
=∂∂
+∂∂
n
pp yU
Ca
yT
Cv
yTtV
tT
ρ, (2.3.4)
სადაც ρka = , ),( tyU არის სითხის დინების სიჩქარე, ),( tyT ტემპერატურა.
(2.3.2)-ის ჩასმით (2.3.3)-ში მივიღებთ:
mn
NUyU
yU
ya
yUtV
tU
−
∂∂
∂∂
∂∂
=∂∂
+∂∂
−1
)( , (2.3.5)
სადაც ρ
σ 200 BN = .
ნულოვანი საწყისი პირობებით და შემდეგი სასაზღვრო პირობებით:
)(),( ttyU = , როცა 0=y ,
0)0,( =yU , როცა 0=t , (2.3.6)
0),( =tyU , როცა ∞→y .
)(tTT W= , როცა 0=y , 0→= ∞TT როცა ∞→y შემოვიფარგლოთ ისეთ
გარემოთა განხილვით, რომელთათვისაც რეოლოგიური კონსტანტა 1>n ,
80
ე.ი. mn > . თუ გავითვალისწინებთ [58, 59] ნაშრომების შედეგებს,
რომელშიც განხილულ ავტომოდელურ ამოცანებში, ზუსტი ამოხსნის
შემთხვევაში გათვალისწინებული იყო მაგნიტურ ველში გამტარი
დილატანტური სითხის არასტაციონარული მსრბოლი დინებისას ტალღის
ფრონტის გავრცელების სიჩქარის სასრულობის და ძვრითი შეშფოთებების
სივრცითი ლოკალიზაციის ეფექტი, მაშინ ზემოთ დასმული ამოცანის
ამონახსნი უნდა ვეძებოთ შემდეგი სახით:
<>>Φ
=Φ, ,0
,0 ),,(),(
0
0
yyyyty
ty ii (2.3.7)
2,1=i , სადაც ),(),(1 tyUty =Φ .
ამგვარად სასაზღვრო (2.3.6), (2.3.7) პირობების გათვალისწინებით
უნდა მოიძებნოს (2.3.4) (2.3.6) განტოლებების ამონახსნი ),( tyΦ , როდესაც
00 >> yy და ძვრითი შეშფოთების ტალღის ფრონტის მოძრაობის კანონი,
როცა 0yy = .
)(tV და )(t დამოკიდებულების ნებისმიერობის შემთხვევაში (2.3.3)
და (2.3.6) არაწრფივი ამოცანის ანალიზური ამონახსნი არ მოიძებნება.
მხოლოდ რამოდენიმე სპეციალურ შემთხვევაში, როდესაც არსებობს
განსაზღვრული კავშირი გაჟონვის )(tV სიჩქარესა და ფირფიტის მოძრაობის
)(t სიჩქარეს შორის, შესაძლებელი ხდება პოვნა (2.3.3)–(2.3.7) ამოცანის
ავტომოდელური ამონახსნისა, თუ ავტომოდელურ ცვლადად ავიღებთ:
ydVt
−= ∫0
)( ττη .
ვთქვათ
mnn
t
dVAtU−+
= ∫
1
0
)()( ττ , (2.3.8)
სადაც mn
nnmnamnmnNA
−
++−⋅−
=
1
)1)(1()()( .
ამგვარად, (2.3.5) განტოლებას ექნება სახე:
81
mn
NUddU
dda =
ηη
,
მაშინ ამოცანას (2.3.5), (2.3.6) გააჩნია ავტომოდელური ამონახსნი:
≤>==
−+
.0 ,0,0 ,)(),(
1
ηηηη mn
n
AUtyU (2.3.9)
ასეთი ამონახსნი ერთანადება იმას, რომ დილატანტურ 0>t
სითხეებში დროის ნებისმიერ )1( >n მომენტში ფირფიტის მოძრაობით
გამოწვეული დაძაბულობები ასწრებენ გავრცელებას მხოლოდ სასრული
სისქის 00 yy << სითხის ფენაში, ამ ფენის გარეთ მხები დაძაბულობები
ნულის ტოლია და სითხე არაა შეშფოთებული ანუ უძრავია.
სხვა სიტყვებით, ამონახსნი (2.3.9) ეთანადება მსრბოლ ტალღას,
რომლის ფრონტი გადაადგილდება )(tV გარემოს სიჩქარით y ღერძის
მიმართულებით.
მსრბოლ ტალღაში ფრონტის მდებარეობა )(0 ty დროის ნებისმიერ
მომენტში შეიძლება მოიძებნოს 0=η პირობიდან, რომელიც (2.3.8)-ის
გათვალისწინებით განსაზღვრავს გამოსახულებას:
∫=t
dVY0
0 )( ττ . (2.3.10)
წერტილი )(0 tyy = წარმოადგენს მსუბუქი წყვეტის წერტილს. ამ
წერტილში ),( tyU და yU∂∂ უწყვეტნი არიან. ეს უზრუნველყოფს სიჩქარისა
და τ მხები დაძაბულობის უწყვეტობის ფიზიკური მოთხოვნის შესრულებას
ნებისმიერ წერტილში, სადაც:
11
1
0
)(1 ++−
+
=
⋅⋅
−+
=∂∂
=nn
mmnnn
y
tAmn
nkyUk τ . (2.3.11)
გამთბარი სხეულისთვის მიზანშეწონილია ავიღოთ:
mnt
W dVBtT−
= ∫
α
ττ0
)()( , (2.3.12)
82
სადაც )]1()3([ mmn −++=α ,
−+
⋅+++−
= +111)2([)1)(( n
n
Amn
nmnv
nnmaBαρ .
ამგვარად ამოცანას (2.3.4), (2.3.7) გააჩნია განზოგადებული
ავტომოდელური ამონახსნი
≤>==
−
.0 ,0,0 ,)(),(
ηηηη
αmnBTtyT (2.3.14)
ეს ამონახსნი ასევე ეთანადება მსრბოლ ტალღაც, რომლის ფრონტი
გადაადგილდება სიჩქარით )(tV .
განვიხილოთ გაჟონვის სიჩქარისა და ფირფიტის მოძრაობის
სიჩქარის დროზე ხარისხოვანი დამოკიდებულების კერძო შემთხვევა:
1)( −= eCttV , mnne
tUt −+
=)1(
0)( , 1≥e , (2.3.15)
mne
W ttT −=α
θ0)( , სადაც mn
n
ecAU
−+
=
1
0 , mn
ecB
−
=
α
θ0 .
(2.3.9) ამონახსნს აქვს სახე:
=≥
<
−
=
−+
. ,0
, ,),(
0
0
1
ectyy
yyytecA
tyUe
mnn
e
როდესაც 1=m (2.3.9) ამონახსნი ემთხვევა ამონახსნს [50].
ნახ. 11–ზე ნაჩვენებია სითხის სიჩქარის განაწილება დროის
განსხვავებული მომენტებში, როცა 3=n და 1==== ecNa , როცა
მსრბოლი ტალღის ფრონტი ვრცელდება მუდმივი სიჩქარით და როცა 1=m ,
ე.ი. const=σ ; 2=m , ე.ი. 0σσ = და ნაჩვენებია, რომ m-ის გაზრდით
სიჩქარე მცირდება.
83
ნახ. 11. სითხის სიჩქარის განაწილება მსრბოლი ტალღის შემთხვევაში
1
2
3
4
5
6
7
1
8
9
10
11
12
13
2 3 4 5 6 7 8
m = 2
t = 8
t = 6 t = 4
t = 2
84
თავი 3
სუსტადგამტარი ხარისხოვანი სითხის თავისუფალი კონვექცია განივ მაგნიტურ ველში
ამ თავში განიხილება ელექტროგამტარი არანიუტონისეული
ხარისხოვანი სითხის თავისუფალი კონვექციის ამოცანები, როდესაც σ
ელექტროგამტარებლობის ცვლილება დამოკიდებულია სიჩქარეზე. $ 1–ში
შესწავლილია არასტაციონარული შემთხვევა, როდესაც mU0σσ = , 0≥m , (3.1)
ხოლო $ 2-ში სტაციონარული შემთხვევა, როდესაც ელექტროგამტარებლობის
კოეფიციენტს აქვს სახე: ασσ U0= , 0≥α . (3.2)
ბლანტი სითხეების წრფივი ბუნებრივი კონვექციის გამოკვლევების
დაწყებას სათავე დაედო 60-იანი წლების დასაწყისში, თუმცა ინტენსიურად
ეს ამოცანები განვითარდა 80-იან წლებში. ხარისხოვანი სითხისათვის
ბუსინესკის მიერ დასმულ ავტომოდელური ამოცანების მიახლოებით
ამონახსნების მიღების შესაძლებლობას ანალიზი გაუკეთდეს
საუნდელგეკარმა [61] ინტეგრალური მეთოდებით, ხოლო ჰანსენმა [15] და
ლი აბესმა [62] ჯგუფთა თეორიის გამოყენებით მოიძებნა, რომ
ავტომოდელობა (წრფივი ჯგუფისათვის) შესაძლებელია მხოლოდ მაშინ,
როდესაც ზედაპირის ტემპერატურა იცვლება 31
−x კანონით. სპირალური
ჯგუფის შემთხვევისათვის ავტომოდელობა შეუძლებელია [63].
ხარისხოვან სითხეთათვის თავისუფალი კონვექციური დინების
გამოკვლევების განვითარებისათვის დიდი მნიშვნელობა ჰქონდა
აკრივოსის ნაშრომს [64]. მასში პირველად გადმოიცა ასიმპტოტური
სასაზღვრო ფენის იდეა იმ სითხეთათვის, რომელთაც გააჩნდათ
პრანდტლის დიდი რიცხვი; იდეამ ჰპოვა განვითარება რიგ ნაშრომებში და
სხვადასხვა სხეულთა მახლობლობაში იზოთერმული ზედაპირებისთვის
ჩატარდა თავისუფალი კონვენციის ამოცანათა ანალიზი. ამ გამოკვლევების
85
რეზულტატები შემდეგ დადასტურებული იქნა ექსპერიმენტულად.
ხარისხოვანი სითხის თავისუფალი კონვექცია ბრტყელ ვერტიკალურ
ფენებში ექსპერიმენტულად გამოიკვლია ემერმა, ცზიმ [65] და დეილომმა.
მათ მოახდინეს მეორე რიგის სასაზღვრო პირობების რეალიზება, თუმცა
შედეგები გადამუშავდა კომპლექსებში, გამომდინარე კრიტერიალური
დამოკიდებულებიდან, რომელიც წარმოადგინა აკრივოსმა [64].
აუცილებელია იმის აღნიშვნა, რომ [66] ნაშრომში ჩატარდა
კომპლექსური გამოკვლევა ტიპიური ტექნოლოგიური სითხეების (ნატრიუმ
კარბოქსიმეტილ ცელულოზის წყალხსნარები და კარბოლიპოლიმეთილების
(პოლუფისი, წყალხსნარები). ნაჩვენები იქნა, რიმ ძვრის სიჩქარის
დიაპაზონში თავისუფალი კონვექციის პირობებში, ეს გარემოებები ახდენენ
რეოლოგიური ქცევის შესამჩნევ ანომალიას.
ნაშრომში [ ] გამოკვლეულია მეორე რიგის სასაზღვრო პირობებში
თავისუფალი კონვექცია. ბადეთა სასრულ-სხვაობითი მეთოდით
ჩატარებულ გამოთვლებში, გამოყენებული იქნა სითხის შემადგენელი
მოდელი, ძვრის მცირე სიჩქარეებისათვის – ნიუტონისეული, ძვრის
სიჩქარის დანარჩენ დიაპაზონში – ხარისხოვანი.
მიღებული თეორიული შედეგები დაუპირისპირდნენ ავტორის
საკუთარ ექსპერიმენტებს, რიცხვითი გამოთვლების შეთანხმება
ექსპერიმენტის მონაცემებთან იყო კარგი. ვერტიკალური ფირფიტის
მახლობლობაში კონვექციას მუდმივი სითბური ნაკადის შემთხვევაში
ანალიზი ჩაუტარდა აკრივოსის დაშვებებში, ნაშრომში [68] განხილულია
გარე ამოცანა, ძირითადი ნაკადის შეშფოთების პარამეტრად შერჩეულია
22
Re −=Φ nGr .
რიცხვითი გამოთვლები ჩატარებულია კედლის მუდმივი
ტემპერატურის შემთხვევაში როგორც თანამიმართული იძულებითი და
თავისუფალი კონვექციური ნაკადების შემთხვევისათვის )0( >Φ , ასევე
ურთიერთსაპირისპირო ნაკადებისთვის )0( <Φ . თუმცა პარამეტრი Φ 1≠n
86
შემთხვევისთვის ცხადადაა დამოკიდებული განივ კოორდინატზე, ე.ი.
ამოცანა ლოკალურად ავტომოდელურია.
არანიუტონისეული ბუნებრივი კონვექციის ამოცანების ამოხსნა
წარმოადგენს მნიშვნელოვან მათემატიკურ სირთულეს.
ნაშრომში [69] შესწავლილია ამოცანა, როდესაც გამტარებლობის
ტემპერატურაზე დამოკიდებულება განსაზღვრულია ემპირიული
გამოსახულებით n
TT
=
∞0σσ .
ამოცანის ამოხსნისთვის გამოყენებულია არაცხადი სხვაობითი სქემა.
[65]-ში გამოკვლეულია თავისუფალი კონვექციის ამოცანები და ამ
ამოცანებისთვის მიღებული სხვაობითი განტოლებების სისტემა ამოიხსნა
პროგონკის მეთოდით. შრომებში [70, 71] ამოხსნილია არაავტომოდელური
ამოცანა ბლანტი სითბოგამტარი და ელექტროგამტარი სითხის
ფირფიტასთან ბუნებრივი კონვექციის შესახებ, ფირფიტის ტემპერატურის
ნებისმიერი განაწილებისას. ამონახსნი მიღებულია ძლიერი მაგნიტური
ველის შემთხვევაში გარე და შიგა გაშლის მეთოდით. ნაშრომში [72]
ელექტროგამტარი არანიუტონისეული სითხის შემთხვევაში განხილულ
იქნა დინება პრანდტლის განზოგადებული რიცხვის დიდი
მნიშვნელობებისათვის. )1(Pr >> იმ პირობით, რომ ლორენცის ძალა
ფარდობითია ამომგდები ძალისა და სიბლანტის ძალებისა.
§ 3.1. სუსტადგამტარი ხარისხოვანი სითხის არასტაციონარული თავისუფალი კონვექციის ამოცანის მიახლოებითი ამოხსნა
განიხილება ბლანტი სითბოგამტარი და სუსტადელექტროგამტარი
ხარისხოვანი სითხის არასტაციონარული თავისუფალი კონვექცია,
რომელიც გამოწვეულია თავის სიბრტყეში ბრტყელი ვერტიკალური
უსასრულო ფირფიტის გადაადგილებით.
87
ვთქვათ ფირფიტის ტემპერატურაა 0T , ფირფიტის სიჩქარეა )(0 tY ′ ,
სითხის ტემპერატურა ფირფიტიდან მოშორებით – constT =∞ , ფირფიტაში
სითხის გაჟონვა – )(tVVy = .
გარე მაგნიტურ ველში ნებისმიერ ზედაპირზე ხარისხოვანი სითხის
სასაზღვრო ფენის ძირითადი განტოლებანი მოძრაობისა და სითბოცვლისა
იქნება შემდეგი სახის [42]:
1
2
21
121
1
1
1
11
1
1 )()( UBTTgyU
yUnk
yUtV
tU
n
ρσβ
ρ−−+
∂∂
∂∂
=∂∂
+∂∂
∞
−
, (3.1.1)
21
2
11
1
)(dy
TayTtV
tT ∂
=∂∂
+∂∂ , (3.1.2)
აქ 1U არის სიჩქარე −z ის მიმართულებით, −g თავისუფალი ვარდნის
აჩქარება, −β სითბური გაფართოების კოეფიციენტი, −σ ელექტრო–
გამტარებლობა, −B მაგნიტური ინდუქციის ვექტორის მდგენელი y ღერძის
გასწვრივ.
ჩავთვალოთ, რომ სითხის ელექტროგამტარებლობა ცვლადია და
არის შემდეგი სახის ხარისხოვანი ფუნქცია [42] mU10σσ = , 0≥m (3.1.3)
შედეგად მივიღებთ განტოლებათა (3.1.1), (3.1.2) სისტემის შემდეგი სახით:
∂=
∂∂
+∂∂
−−+∂∂
∂∂
=∂∂
+∂∂ +
∞
−
.)(
,)()(
21
2
11
1
11
20
21
121
1
1
1
11
1
1
dyTa
yTtV
tT
UBTTgyU
yUnk
yUtV
tU m
n
ρσ
βρ (3.1.4)
(3.1.4) განტოლებათა სისტემის ამონახსნი უნდა აკმაყოფილებდეს შემდეგ
სასაზღვრო პირობებს:
, ,0),(,0 ),(),(
11111
10111
δ==
=′=
ytyUytUtyU
roca
roca (3.1.5)
constTT == 0 , როცა 01 =y ; ∞= TT როცა Ty 11 δ= .
ვთქვათ n
nVkY
1
2
= −
ρ არის მიმართულების მახასიათებელი ზომა,
−−=∆ ∞TTT 0 ტემპერატურის მახასიათებელი სხვაობა. მაშინ შეიძლება
88
შემოვიტანოთ პრანდტლის განზოგადებული რიცხვი, გრასჰოფის და
გარსდენის მახასიათებელი სიჩქარე:
)1(2)1(3
32)1(2
15
1 +−
−+−
∆
=
nn
nnnn
n
r VTgka
P βρ
,
n
n
nr VkTgG
−
+
∆=
21
2
ρβ , [ ]21
TYg ∆= β .
ამგვარად, უგანზომილებო სიდიდეები, y, U, V0, U0 t, θ, δ და Tδ
შემოტანილია ფორმულებით:
)1(21
1 += nrGYyy ,
1UU = , )1(2
11
0+= n
rGVV
.
00
aU′
= , Ttt 1= , TTT ∆+= ∞ θ ,
)1(21
1 += nrG
Yδδ , )1(2
11 += n
rT
T GYδδ . (3.1.7)
მაშინ (3.1.4) განტოლებებს და (3.1.5) სასაზღვრო პირობებს
უგანზომილებო ცვლადებში აქვთ სახე:
2
2
0 1)(yPy
tVt r ∂
∂=
∂∂
+∂∂ θθθ , (3.1.8)
121
121
01
)( +−
−+∂∂
∂∂
=∂∂
+∂∂ m
n
MUyU
yUn
yUtV
tU θ , (3.1.9)
1=θ , როცა 0=y ; 0=θ , როცა Ty δ= ; (3.1.10)
0UU = , როცა 0=y ; + 0=U , როცა δ=y . (3.1.11)
აქ mYBM −= 120 ρσ არის მპდ-ის ურთიერთქმედების კოეფიციენტი.
(3.1.8)–(3.1.10) ამოცანის ამონახსნი ვეძებოთ მიმდევრობითი
მიახლოებით [27, 74, 75, 76, 77]. ამისათვის შემოვიტანოთ სასაზღვრო ფენის
სასრული სისქე )(tδ , რომელსაც განვსაზღვრავთ სასაზღვრო ფენის
სიჩქარის გარე ნაკადის სიჩქარეში უწყვეტად გადასვლის პირობიდან; ეს
პირობა ჩაიწერება სახით:
0=∂∂
yU , როცა )(ty δ= . (3.1.12)
89
ანალოგიურად შემოვიტანოთ სასრული სითბური სისქე )(tTδ ,
რომელიც განისაზღვრება პირობიდან
0=∂∂
yθ , როცა )(ty Tδ= . (3.1.13)
ვიპოვოთ დასმული (3.1.8), (3.1.10) ამოცანის ორი მიახლოება, ე.ი.
),(),(),( 21 tytyty θθθ +≈ ,
რომელშიც ),(1 tyθ -ს ქვეშ აიღება ამონახსნი განტოლებისა:
021
2
=∂∂
yθ ,
და აკმაყოფილებს სასაზღვრო პირობებს
11 =θ , როცა 0=y ; 01 =θ , როცა Ty δ= .
ამ ამონახსნს აქვს სახე:
( )Tyty δθ −=1),(1 . (3.1.14)
ამონახსნი ),(2 tyθ არის ამონახსნი განტოლებისა
ytV
tyPr ∂∂
+∂∂
=∂∂ 1
01
22
2
)( 1 θθθ .
თუ უკანასკნელ განტოლებაში შევიტანთ (3.1.14) განტოლებას,
ვაინტეგრებთ 2-ჯერ და დავაკმაყოფილებთ ერთგვაროვან სასაზღვრო
პირობებს, მივიღებთ:
( )
+−
−+−=
TT
TrT
ytVyyPytyδ
δδ
δθ 1)(3 16
1),( 0 ,
სადაც dtd
≡•)( .
უცნობი )(tTδ სისქე განვსაზღვროთ (3.1.13) პირობიდან. ამისათვის
გვექნება განტოლება
rTT P
tVdtd 6)(3 0
2 =− δδ . (3.1.16)
(ა) თუ )(30 tcV Tδ= , მაშინ )(tTδ -სთვის მივიღებთ განტოლებას
rTT P
cdtd 622 =− δδ ,
90
რომლის ამონახსნი 0)0( =Tδ -სას იქნება
[ ]2116)( −= ct
rT e
cPtδ . (3.1.17)
მცირე −ct ებისთვის, tPt rT 6)( =δ .
ამგვარად
tP
ctV r 3
2)(0 = .
(ბ) თუ )()( 10 ttV Tδα= , სადაც 1α ნებისმიერია, მაშინ მივიღებთ
tP
tr
T 63)( 1
+= αδ . (3.1.18)
(გ) თუ 10 γ== constV , −)(tTδ სთვის მივიღებთ განტოლებას
+=
rTTT Pdt
d1
1 22
3γ
δγδδ .
ამ განტოლების ამონახსნი, როცა 0)0( =Tδ იქნება:
−=
−
+ tPPP
rTrr
T 43exp
2exp
21
2111 γδγγδ ,
როცა 01 =r , tP
tr
T 6)( =δ .
ეხლა (3.1.14)-ის გათვალისწინებით, ამოვხსნათ (3.1.9) განტოლება.
ვიპოვოთ ორი მიახლოება ამოცანისა (3.1.9), (3.1.11), ე.ი.
),(),(),( 21 tyUtyUtyU +≈ ,
სადაც ),(1 tyU არის ამონახსნი განტოლებისა
021
2
=∂∂
yU ,
რომელსაც აქვს სახე:
−=
)(1)(),( 01 t
ytUtyUδ
. (3.1.19)
ის აკმაყოფილებს პირობებს:
01 UU = , როცა 0=y , 0),(1 =tyU , როცა )(ty δ= .
91
ამონახსნი ),(2 tyU არის ამონახსნი განტილებისა
+−
∂∂
+∂∂
∂∂
=∂∂ +
−1
111
01
11
22
2
)( mn
MUy
UtVt
Uy
UyUn θ .
თუ აქ შევიტანთ (3.1.14), (3.1.19) ტოლობებს, ვაინტეგრებთ მიღებულ
განტოლებას და დავაკმაყოფილებთ სასაზღვრო პირობებს:
02 =U , როცა 0=y ; 02 =U , როცა δ=y .
მივიღებთ
( ) −−−
+−+−= ++
−
+
1]1[)1(]1[]1)[(),( 1101
0
1
0nn
n
n
UH
MmnU
tUtyU ηηδξ
−++
−−−
δδηδ
δη 000
01)1(13
6UVUU
T
, (3.1.20)
სადაც δ
η y= .
სასაზღვრო ფენის სისქე განისაზღვრება (3.1.12) პირობებიდან. ის
გვაძლევს დინამიკური სასაზღვრო ფენის სისქის განსაზღვრისათვის
შემდეგ განტოლებებს:
+
++−
++ +
+1
00
0
1 )1(63ln2
1 nmn
UHmM
UU
dtdn
dtd δδ
100
2
0
)1(32
)1(31 −+
+≡+
−⋅+
+ nn
T
n
UnnVnUn δ
δδ . (3.1.21)
განვიხილოთ რამოდენიმე კერძო შემთხვევა, როდესაც (3.1.21)-ის
ამონახსნი მიიღება ცხადი სახით:
(I) ვთქვათ ( )TUtV δδ 2
00 3
2== , მაშინ )(tδ -სთვის მივიღებთ
განტოლებას:
10
10
00
1 )1(3)1(63ln2
1 −++ +≡
++−
++ nn
mn Unn
HMUm
UU
dtdn
dtd δδ .
ამ განტოლების ამონახსნს, როცა 0)0( =δ აქვს სახე:
×
+−
+
+= ∫ ∫
+
−+
t tm
nn dUM
Hm
UdnUnnt
0 00
0
21
01 )1(2
2)1(3exp)1(3)( ττδ
92
τξξτ
ddUMH
mUdnU
tm
t n
++−
+
× ∫ ∫∫+
0 00
00
213
0)1(2
2)1(3exp , (3.1.22)
ხოლო, როდესაც constU =0 .
[ ]tAnn eUAnnt −−+ −+
= 1)1(3)( 10
1δ , (3.1.23)
სადაც
−
++= + 1)1(2
2)1(3 1
00
mMUH
mUnA .
მცირე −tA თათვის გვექნება
[ ] 11
11
10)1(3)( ++−+≈ nnn tUnntδ , (3.1.24)
რომელიც როცა 1=n ნიუტონისეული სითხის სისქისათვის მოგვცემს
t6=δ ,
შედეგად (3.1.17)-დან მივიღებთ:
TrP δδ = ,
ეს ნიშნავს, რომ როცა 1=rP , Tδδ = .
რადგან ფირფიტაში გაჟონვის სიჩქარე უნდა იყოს ერთნაირი,
როგორც დინამიკური, ისე სითბური სასაზღვრო ფენისათვის, ამიტომ უნდა
არსებობდეს ფუნქციონალური დამოკიდებულება )(tδ -სა და )(tTδ -ს შორის.
ის მოიცემა ფორმულით
==
TT U
ctVδδδ
2
00 3
23
)( ,
საიდანაც გამომდინარეობს, რომ
TcU δδ 20= , 0
2UPc r= ,
ხოლო გაჟონვის სიჩქარისათვის გვექნება
tUPtV r
38)( 2
00 = .
(II) ვთქვათ αδδ =T , βδ=0V , მაშინ )(tδ -სთვის მივიღებთ
განტოლებას
93
=
++
−−−
+
+ ++ 10
00
1 )1(6233ln2
1 nm
n
HMUm
UU
dtdn
dtd δαβδ
10)1(3 −+= nUnn .
ამონახსნი ამ განტოლებისა, როცა 0)0( =δ იქნება:
×
+−
−
+
+
+= ∫ ∫+
−+t t
mn
n dUH
MmUdtnUnnt
0 00
0
21
01 )1(2
323
2)1(3exp)1(3)( τταβδ
τξξαβττ τ
ddUH
MmUdnU m
t n
++
−
−−
+
× ∫ ∫∫−
0 00
00
213
0)1(2
323
2)1(3exp .
თუ აქ constU =0 , მაშინ
[ ]tNnn eUNnnt −−+ −+
= 1)1(3)( 10
1δ , (3.1.25)
−−−
++=
0
0
323)1(2
2)1(3
UM
HUmnN
m αβ .
მცირე tN -თათვის
tUnnt nn
n ][ 11 )1(3)( −+ +=δ .
ნიუტონისეული სითხეებისათვის 1=n და გვექნება
( )16 1
1
2 −= tNeN
δ , )1(62 −= tc
rT e
cPδ .
აქედან, თუ 1Nc = , სადაც
0
01
23)1(23UH
MUmNm αβ −
+
+−= .
მიიღება, რომ
TrP δδ = ,
და
Tr
m
r
r
UP
MH
UmP
PtV δ
−−
+−
=0
00 3
23()1(21
)( .
(III) ვთქვათ naVδ
=0 , Tγδδ = , მაშინ (3.1.21)-დან მივიღებთ
=
++
−−
+
+ ++ 10
00
1 )1(623ln2
1 nm
n
HMUm
UU
dtdn
dtd δγδ
94
++= −
2)1(3 1
0anUnn n .
რომლის ამონახსნს აქვს სახე:
×
+−
−
+
+= ∫ ∫+
−+t t
mn
n dUHmM
UdnUnt
0 00
21
01 )1(2
323
2)1(3exp)1(3)( τταδ
+
−
−++
× ∫ ∫∫−
τξγξτττ
dUddU
HmMnUn
tm
n
0 0 000
213
0 323)1(2
2)1(3exp)(
τξγξττ
dUddU
HmMnUa m
t n
−
−+
+
+ ∫∫∫+
0 000
0
21
0 323)1(2
2)1(3exp
2.
როდესაც constU =0 მივიღებთ
( )Atnn eanUA
nt −−+ −
+
+= 1
2)1(3)( 1
01δ , (3.1.26)
სადაც
−−
++=
0
0
323)1(2
2)1(3
UM
HUmnA
m γ .
როცა 1=n მცირე tA -თათვის გვექნება
tat )2(3)(2 +=δ , tPP r
rT )2(3
12 αδ += .
მაშასადამე
TrPaaB
aa δδ
1
2
)2(11)2(2−
+++
+= ,
TrPaa
aaatV δ
δ
+++
+== 2
2
0)2(811
)2(2)( .
პირველი როცა 1=rP , a=1α მოგვცემს Tδδ = .
ზედაპირული ხახუნისათვის ზემოთმიღებული გამოსახულებიდან
მივიღებთ n
yyUk
01
11
1=∂∂
=τ , n
yyU
0=∂∂
=τ ,
სადაც
95
)1(21
)(+
−
= nn
rn GYk
ττ ,
საიდანაც n
n
nm
n
nn
nUV
mmMUmU
nUU
−
++
++−+
= −
++
10
01
00
0
10
4)3)(2()32(1
423 δδ
δτ . (3.1.27)
როდესაც βδ=0V და constU =0 (3.1.25)-დან მივიღებთ
×
−
+
=
+−−+
−11
20
1)1(323 n
ntNn
nn
Ne
Unnτ
ntNm
NeM
mmUmU
Un
−
++
++−−
++×
−+ 1)3)(2(
)32(12
111
00
0
β . (3.1.28)
მცირე tN -თათვის ხახუნისათვის (3.1.28)-დან მივიღებთ
]1[ )1(323
11
1
20
++−
+
= +
−+−
tAtUnn n
nnn
n
τ ,
სადაც
)3)(2(2)]1)(32(3[]5)(2[
4)52(
40
01 ++
+++−+−++=
mmMnmnUn
UnnnA
n
αβ .
აქედან ცხადია, რომ
++−
−−==
= MtttUt
Umn 459,0072,127153,0612,0][
0
001 βατ ,
++−
−−==
= tMUttUt
Umn 0
0
001 33,0072,127153,0612,0][ βατ ,
+++−
−−
==
= MtttUt
UUmn 626,047,129164,0328,0][
0
31
20
002 βατ ,
+++−
−−
==
= tMUttUt
UUmn 0
0
31
20
012 49,047,129164,0328,0][ βατ .
ზემოთ მიღებული ფორმულები გვიჩვენებენ, რომ მაგნიტური ველის
თანაარსებობა, როდესაც ელექტროგამტარებლობა mU10σσ = , ზრდის
სითხის ხახუნის ძალას ფირფიტაზე.
სითბური ნაკადის სიმკვრივისათვის გვექნება გამოსახულება
96
−=
∂∂
−== 2
321 0
0
r
Ty
PVy
qδ
θ ,
რომელიც, როცა 30
TcV δ= მოგვცემს
21
22
0
1432
00
−
−
−=
tU
PtU
Pr
rr
eeU
Pq
ნახ. 12–ზე ნაჩვენებია Tδδ შეფარდების დამოკიდებულება rP
პრანდტლის რიცხვზე. ეს შეფარდება იზრდება rP -ს გაზრდით, მცირდება
გაჟონვის სიჩქარის გაზრდით, ხოლო როცა 1=rP , Tδδ = გაჟონვის
ნებისმიერი სიჩქარისათვის.
ნახ. 12. სითბური და დინამიკური სასაზღვრო ფენის ფარდობის დამოკიდებულება პრანდტლის რიცხვზე
§ 3.2. სუსტადგამტარი ხარისხოვანი ბლანტი სითხის
თავისუფალი კონვექციის ამოცანის ამოხსნის ინტეგრალური მეთოდი
ვთქვათ ელექტროგამტარ არანიუტონისეულ ხარისხოვან სითხეში
მოთავსებულია ბრტყელი კედელი, რომლის ზედაპირის ტემპერატურაა WT ,
სითხის ტემპერატურა კედლიდან მოშორებით ∞T . სითხის დინება
a=1
2 3 4 5
10
2,2
7 8 6 1
1,2
0,4
1,6
0,8
1
9
a=2
a=3
PΓ
97
გამოწვეულია გაცხელებული სხეულის ახლოს თავისუფალი კონვექციით,
როდესაც მართობულად მოქმედებს გარე მაგნიტური ველი. რეინოლდსის
მაგნიტური რიცხვი ითვლება მცირედ, ე.ი. 1<<emR .
თუ კედლის ტემპერატურა იცვლება ნებისმიერი კანონით, მაშინ
ასიმპტოტური ავტომოდელური ამოცანების მეთოდი არაა გამოსადეგი. ამ
მიზეზის გამო გამოიყენება ნიუტონისეული სითხისათვის საკმაოდ
ეფექტური ინტეგრალური მეთოდები სასრული სისქის სასაზღვრო ფენის
თეორიისა [68].
მაშასადამე, განვიხილოთ მათი გამოყენება სამი ტიპისათვის
თერმული სასაზღვრო პირობებში, როდესაც ელექტროგამტარებლობის
კოეფიციენტი ცვალებადია და წარმოადგენს სიჩქარის ფუნქციას სახით [42] ασσ U0= , (3.2.1)
სადაც 0≥α ნებისმიერი რიცხვია.
ა) იზოთერმული კედელი
ტემპერატურულ და ელექტროგამტარ სასაზღვრო ფენში სითხის
ბრტყელი დინება აღიწერება განტოლებებით:
0=∂∂
+∂∂
yU
xU , (3.2.2)
UBTTgyU
yR
yUV
xUU
n
ρσβ
ρ
2
)( −−+
∂∂
∂∂
=∂∂
+∂∂
∞ , (3.2.3)
2
2
yTa
yTV
xTU
∂∂
=∂∂
+∂∂ . (3.2.4)
(3.2.2)–(3.2.4) განტოლებათა სისტემის ამონახსნმა უნდა
დააკმაყოფილოს შემდეგი სასაზღვრო პირობები:
როცა 0=y , მაშინ 0=U , 0=V , WTT =
როცა ∞→y , მაშინ 0→U , ∞→TT .
ამგვარად, (3.2.3) -ში და (3.2.1) -ის ჩასმით ის მიიღებს სახეს:
12
0 )()( +∞ −−+
∂∂
∂∂
=∂∂
+∂∂ α
ρσ
βρ
UxBTTgyU
yR
yUV
xUU
n
. (3.2.6)
(3.2.5)
98
ფენის სიგანით თუ ვაინტეგრებთ განტოლებებს (3.2.4), (3.2.6) და
გამოვიყენებთ (3.2.2) განტოლებას და (3.2.5) სასაზღვრო პირობებს,
მივიღებთ ჩვეულებრივ დიფერენციალურ განტოლებათა სისტემას:
0
0
1
0
20
0
2 )(
=
∞+
∞∞
∂∂
−−∆= ∫∫∫y
n
yURdyUxBdyTgdyU
dxd
ρρσ
θβ α , (3.2.7)
00 =
∞
∂∂
−=∫y
yadyU
dxd θθ , (3.2.8)
სადაც TTT ∆−= ∞ )(θ უგანზომილებო ტემპერატურის დაცემაა,
∞−=∆ TTT W ტემპერატურული დაწოლა.
შემდგომ სასრული სისქის სასაზღვრო ფენად ტრადიციულად
მოიცემა ფენის კვეთში სიჩქარისა და ტემპერატურის ავტომოდელური
პროფილების ერთპარამეტრიანი ოჯახი:
)()( ηΦ= xU , (3.2.9)
)(ηθθ = , (3.2.10)
სადაც
)(xy
δη = . (3.2.11)
ავტომოდელური ცვლადია; −)(xδ სასაზღვრო ფენის სისქეა, −)(x
მახასიათებელი სიჩქარეა.
(3.2.8) განტოლება ახალი ცვლადების ჩასმით მიიღებს სახეს:
∫
=
ix
ii xdx
xDE
Lax
0 )()(1)(
δδ , (3.2.12)
სადაც
∫∞
Φ=0
)()( ηηθη dD , )(oR θ ′−= . (3.2.13)
უგანზომილებო სიდიდეებია
.
,
1
1
L
Lxx
δδ =
=
99
(3.2.7) განტოლებაში (3.2.9)–(3.2.11)-ის ჩასმით მივიღებთ:
( ) −∆= )()(1
21
xBLTgdx
dA iδβδ
)()(1
12
0
1
xFLxBLcR
inn
b
δρ
σδρ
α+− . (3.2.14)
თუ ამაში ჩავსვამთ (3.2.12) განტოლებას, მივიღებთ:
=
∫2
0 111
22 1 x dxdxd
La
DEA
δδ×
−∆
++ 1120
1)()(
αα
ρσ
δβDE
LaFLxBBLTg
nxn
ni
n
n
x
i
dxDEa
LcRdx
⋅⋅−
× ∫∫
+11
0 122
1
0 1
1δδρδδ
α
α , (3.2.15)
მიზანშეწონილია ავიღოთ n312 =+α , ე.ი. 2
13 −=
nα , იმისათვის, რომ
განვსაზღვროთ )(xδ ცხადი სახით. მაშასადამე (3.2.15) განტოლებას ექნება
სახე:
×
∆
−
−−
−
∫ n
n
x
n
n
LRL
Tgdxdxd
RL
a 2
22
2
0 11122
2
1 1
ρ
βδδ
ρ
×
⋅
−
⋅
×
+−
ρρ
σδ R
aLBDE
AF
ED
AB
nn 2
1200
)1(23
1
2 )(
nx
n
nnn
x dxDE
Acdxxb
−
× ∫∫
−−+
11
0 12
1
2231
1
213
0 11
2 1 )(δδ
δδ
. (3.2.16)
აქ აღნიშნულია
∫∞
Φ=0
2 )( ηη dA , ∫∞
=0
)( ηηθ dB , [ ]noc )(Φ′= ,
∫∫∞ +∞
+ Φ=Φ=0
213
0
1 ηη ddFn
n . (3.2.17)
)()( 0 xbBxB = , სადაც 0B არის მაგნიტური ინდუქციის მახასიათებელი
მნიშვნელობა.
შემოვიტანოთ პრანდტლის, გრასჰოფისა და მაგნიტური
ჰიდროდინამიკის ურთიერთქმედების კოეფიციენტის განზოგადება:
100
n
nLRa
−−
=
21
)1(21Prρ
,
n
n RLTgGr−
+
∆=
21
22
ρβ ,
RaLBMn2
1200 )(
+
= σ , (3.2.18)
მაშინ
[ ] −
=
∫ 1
22
0 11
Pr1Pr1 1
δδδ
GrED
ABdx
dxd x
−
−
−+
−−
∫ 231
11
212
0 1
11
21)1(
23
)()(Pr1 n
nx
nn
xdxxbDE
AFM δ
δ
nx
nn
n dxDE
Ac
− ∫−
− 1
0 12
1
12 1Pr
δδ. (3.2.19)
განვიხილოთ პრანტლის განზოგადებული როცხვის დიდი
მნიშვნელობებისათვის 1Pr >> დინება, იმ პირობით, რომ ლორენცის ძალა
ფარდობითია სიბლანტისა და ამომგდები ძალებისა. როცა ∞→Pr (3.2.19)
განტოლებაში მარცხენა მხარე შეგვიძლია გამოვრიცხოთ, რაც ნიშნავს
ინერციული წევრების იგნორირებას, მაშასადამე, მივიღებთ:
−
− ∫+
nx
n
nn dx
CrBC
DEx
1
0 11
121 Pr
1)(δ
δ
0)(Pr1 2
13
0 1
21
1122
131
=
⋅
−
++
+
∫
nxn
n
n
dxxbGrD
EBFM
δδ . (3.2.20)
თუ გავითვალისწინებთ შესაძლო პარაბოლურ და მონოტონურად
ზრდად ხასიათს სასაზღვრო ფენის გავრცელებისა ზედაპირის გასწვრივ,
რომელიც ეყრდნობა როგორც მათემატიკურ, ისე ფიზიკურ მოსაზრებებს,
უნდა დავუშვათ
1
1)(1
αδ Nxx = , α11)( xxb = . (3.2.21)
101
(3.2.21)-ის ჩასმით (3.2.20)-ში მივიღებთ 1α , j, N კონსტანტების
განსასაზღვრავად განტოლებებს:
−
−
− −++ n
n
nnn x
GrDE
BCxN )1(
11
)12(1
13 11
Pr1
)1(αα
α
0Pr1
)1(2
132
1
213
1
1=
−
−
++−
+nnj
n
n
xGrD
EBFM
α
α.
ეს განტოლება რომ დააკმაყოფილოს ნებისმიერმა 1x -მა, აუცილებელია
დავუშვათ:
2132)1()12( 111
++−=−=+
nbnn αγαα .
აქედან განისაზღვრება მუდმივები 1α და γ:
131 +=
nnα ,
41+
−=nγ .
ამგვარად
13111 )( += n
n
Nxxδ , (3.2.22)
41
101)(+
−=
n
xBxB , (3.2.23)
სადაც
nnnn
n DE
nn
CMF
DE
nn
BCrCN
311
21
311
21311
2131
Pr
+++
⋅++
+⋅
⋅++
= . (3.2.24)
აქედან ჩანს, რომ მჰდ ურთიერთქმედების პარამეტრის გაზრდისას
სასაზღვრო ფენის სისქე დამოკიდებულია M-ზე (3.2.24) ფორმულით.
ნუსელტის რიცხვის ლოკალური მნიშვნელობები ტოლია
1
)(δδ
θν
EoTLqN
i
xUx =
′−=
∆= ,
ე.ი.
[ ] 131
131
1 Pr),( +−
+= nn
nnUx xCrmnCN , (3.2.25)
სადაც:
×
⋅
++
=++ nn
nn
ED
CB
nnEnC
311
13
1 3121),( µ
102
⋅++
+×+
− 11
21311
n
DE
nn
CFM . (3.2.26)
ფირფიტის მთელ სიგრძეზე ნუსელტის რიცხვის საშუალო
მნიშვნელობა იქნება:
[ ] nnU GrmnCN 31
1
2 Pr).( +=saS
. (3.2.27) სადაც
),(2131),( 12 mnC
nnmnC
++
= . (3.2.28)
1C და 2C კოეფიციენტების გამოსათვლელად აუცილებელია U და θ
სიჩქარისა და ტემპერატურის პროფილების ოჯახი დავაკონკრეტოთ.
ამისათვის გამოვიყენოთ ფუნქციათა ნაკრები: ηηη mem −=Φ )( , ∞<≤η0 , (3.2.29)
∞<<<<−+
=,1 ,0
,10 ,)1)(1()(
3
ηηηη
ηθ
რომლებიც აკმაყოფილებენ (3.2.4) სასაზღვრო პირობებს კედელზე და
ფირფიტიდან მოშორებით. ამას გარდა სიჩქარის პროფილი ხდება ცნობილი
სიჩქარის mη -ში მაქსიმუმის მქონე არამონოტონური მრუდის სახით
გავრცელების ზუსტი გათვლებიდან. (3.2.13) და (3.2.17)-ის გამოთვლას
მივყავართ ტოლობებზე:
m
A41
= , 103
=B , nmC = , 2=E ,
+
Γ
+=
+
2)1(3
1321 )1(
23
nnm
Fn
, (3.2.30)
+++
−+−= −
543542
1061121204841mmm
emmmm
D m ,
სადაც Γ არის გამა ფუნქცია:
dttex xt 1
0
)( −∞
−∫=Γ .
კონსტანტა m გამოითვლება ფირფიტის კედელზე იმპულსების
ბალანსიდან, ე.ი. მოძრაობის განტოლებებიდან, როცა 0=y .
103
00
=
∂∂
∂∂
+∆=y
n
yU
yRTgρ
β . (3.2.31)
თუ (3.2.30), (3.2.11) და (3.2.12)-ს ჩავსვამთ (3.2.31)-ში და
მხედველობაში მივიღებთ
12Pr +=∆ nnn LGrRaTgρ
β ,
მივიღებთ:
21
1
21312
+
+
++
+=
n
n
DE
nnMFCBnm .
(3.2.30)-დან ვიპოვით
+Γ
+
⋅++
=
−
++
+ )1(23
1322
21311
23 )1(
23
21
1 nnDn
nMmnmnn
n . (3.2.32)
აქედან ჩანს, რომ როცა 0=M , მაშინ n
m35
= , მაშასადამე,
nn
nnnm
mDmnC
3121
1 3121)2(
22),(
+−
++
⋅= , (3.2.33)
),(2131),( 12 mnC
nnmnC
++
= . (3.2.34)
Φ ფუნქციაში სიჩქარესთან მდგომი m კოეფიციენტი დამოკიდებულია
როგორც n-ზე, ისევე M-ზე. თუ შევარჩევთ რეოლოგიური კანონის ხარისხს
და მაგნიტური ურთიერთქმედების კოეფიციენტს, ჩვენ მივიღებთ m
მუდმივის განსაზღვრულ მნიშვნელობას.
ბ) კედელზე სითბური ნაკადის მუდმივი სიმკვრივე
ამ შემთხვევისთვის სასაზღვრო ამოცანის გამომავალი ფორმულირება
ინახება ისეთივე, როგორიც განხილულ პირველ შემთხვევაში იზოთერმული
კედლის დროს, ხოლო იცვლება მხოლოდ ფირფიტის ზედაპირზე
თერმული სასაზღვრო პირობა. (3.2.5) პირობის ნაცვლად გვექნება:
Wy
qyT
=
∂∂
−=0
λ , როცა 0=y (3.2.35)
104
ითვლება, რომ TTT ∆−= ∞ )(θ (3.2.35) პირობა დაიყვანება
დამოკიდებულებაზე:
νδ
θνδ
Exq
oqT WW )(
)(=
′−=∆ . (3.2.36)
სითბური (3.2.8) ენერგიის ინტეგრალური პირობა სასაზღვრო ფენში
ჩაიწერება სახით:
( )δ
δ aEdxdD = , (3.2.37)
ხოლო (3.2.14) განტოლებას ექნება სახე:
( ) δρ
σδρν
δβδ 2
1320
22 )( +
−
−=
nnW FxBCR
EqBg
dxdD
. (3.2.38)
თუ (3.2.37)–დან )(x -ს შევიტანთ (3.2.38)-ში და შემოვიტანთ
გრასჰოფის განზოგადებულ რიცხვს:
nnW RLLqgGr
−−+
=
21
22
ρνβ , (3.2.39)
მივიღებთ:
−
=
∫ 2
13
22
0 111
Pr1Pr1 1
δδδ E
DABGrdx
xdxd x
−
−
+−
−−
∫2
13
0 1
1231
1121
)1(23
1
)(Pr
nxn
nn dxxb
DE
AFM
δδ
nxnn
n dxDE
AC
− ∫
−−− 1
0 1
21
11
Prδ
. (3.2.40)
როცა ∞→Pr ისევ მივალთ ასიმპტოტური სასაზღვრო ფენის
განტოლებამდე:
−
− ∫+
nxn
nn dx
DE
BGrEcx
1
0 11
221 Pr
)(δ
δ
0)()(Pr1
12
1
12
213
0 1
213
1
=⋅
⋅
−
+++
∫ xxbdxGrD
EB
EFMn
nx
n
n
δδ
. (3.2.41)
105
ანალოგიურად, როგორც პირველ შემთხვევაში, მივიღებთ:
nn
Kxx 32111 )( +=δ , (3.2.42)
41
101)(+
−=
n
xBxB , (3.2.43)
სადაც
×
++
⋅=+ nn
n nn
DE
BGrECK
321
132
2Pr
nn
nnE
CFM
321
21
132
201
++
++
⋅
+ . (3.2.44)
ნუსელტის ლოკალური რიცხვი მოიცემა გამოსახულებით:
nn
xUx x
KoE
oELN 32
11 )()(
+−
===θδθν
α ,
ე.ი.
nn
nnn
Uxx xGrNmnM 321
321
321 Pr),( ++
−+
−= , (3.2.45)
სადაც ),(1 mnM არის მახასიათებელი ადგილობრივი სითბოს ნაკადი,
×
++
⋅=+
−nn
nn
DE
BEc
oEMnM
321
1 132
2)(),(
θ
nn
nn
DE
CFm
321
21
132
21
+−+
++
⋅
+× . (3.2.46)
ეს კოეფიციენტი დამოკიდებულია არა მარტო რეოლოგიურ
ფაქტორზე, არამედ მაგნიტურ ველზე.
ფირფიტის სიგრძის გასწვრივ ნუსელტის საშუალო რიცხვი იქნება:
[ ] nnU GrMnMN 32
1
2 Pr),( +=saS , (3.2.47)
სადაც
),()1(2
32),( 12 MnMnnMnM
++
= . (3.2.48)
გ) კედლის ცვლადი ტემპერატურა
106
ამ შემთხვევაში სითბური სასაზღვრო ფენის (3.2.4) განტოლებაში
დაემატება ტემპერატურული დაწნევის გასწვრივი გრადიენტი, ე.ი.
[ ] tdxdTxT
dxd
W =− ∞)( . (3.2.49)
როგორც ადრე, ფენის კვეთში, ტემპერატურის დაცემის
უგანზომილებო პროფილის განსაზღვრა ხასიათდება სიდიდით:
)()( xtTT
TxTTT
W
∞
∞
∞ −=
−−
=θ , (3.2.50)
ხოლო მოძრაობის განტოლება ინარჩუნებს ძველ სახეს (3.2.6).
(3.2.3) განტოლებიდან (3.2.50)-ის გათვალისწინებით, მივიღებთ:
= ∫
1
0 1
1
1111 )(
)()(
1)(
)(x
xdxxt
xxLDtaEx
δδ . (3.2.51)
როგორც ადრე, თუ (3.2.19)-ში გადავალთ ზღვარზე ასიმპტოტური
სასაზღვრო ფენისკენ, როცა ∞→Pr , მივიღებთ ინტეგრალურ პირობებს:
−
⋅
− −+ ∫ n
nx
n
nn tdx
xxt
GrDE
BCxt 1
0 1
11
1211
1
)()(
Pr1)(
δδ
2
13
0 1
1213
1
Pr1
++
⋅= ∫
nx
n
n
dxtGrD
EBFM
δ.
სადაც )()()(1 ot
xtxt = , ხოლო )(ot არის მკვეთრი ვარდნა ფირფიტის წინა
ნაპირზე.
როგორც ზემოთ განხილულ შემთხვევაში, თუ გავითვალისწინებთ
შესაძლო პარაბოლურ და მონოტონურ ზრდად ხასიათს ზედაპირის
მახლობლად სასაზღვრო ფენის გავრცელებისა, ასევე მაგნიტური ველის
არსებობას, როდესაც pxxt 111 )( = , 0≥P , მაშინ )( 11 xδ სისქე და გარე
მაგნიტური ველი )( 1xB მიიღებს სახეს:
nPn
xx 31111 )( +−
∆=δ , (3.2.52)
41
101)(+
−=
n
xBxB , (3.2.53) სადაც
107
×
⋅
++++
=∆+ nn
n DE
Pnnn
BGrc 31
1
)32()21(31
Pr
nn
DE
Pnnn
CFM
311
21
)32()21(311
++
⋅
++++
+× . (3.2.54)
ამასთანავე ნუსელტის ლოკალურ რიცხვს ექნება სახე:
nnP
yxUx xEE
xt
LyT
LN 311
1
0
)(+−
=
∆==
∂∂
−==δν
α ,
ე.ი.
[ ] nnP
nnUx xGrQN 31
1311
Pr +−
+= , (3.2.55)
სადაც
×
⋅
++++
=+
−nn
DE
Pnnn
BCEQ
311
)32()21(31
nn
DE
Pnnn
CFM
311
21
)32()21(311
+−+
⋅
++++
+× . (3.2.56)
როგორც ვხედავთ კედლის არაიზოთერმულობამ არ იმოქმდება
ნუსელტის, პრანდტლის და გრასჰოფის კრიტერიუმებს შორის კავშირის
კანონზე, რომელიც დარჩა ისეთივე სახის, როგორც მუდმივი ტემპერატურის
მქონე კედლის ფირფიტისათვის. იმ შემთხვევაში როდესაც 0=P )1( 1 =t
მივალთ ადრე მიღებული (3.2.24)–(3.2.27) ფორმულებამდე.
საჭიროა შევნიშნოთ, რომ როდესაც 0=M , ე.ი. მაგნიტური ველის
არარსებობისას, მიღებული შედეგები ემთხვევა [65] ნაშრომის მონაცემებს,
როდესაც 1=n გამოთვლილი შედეგების შედარება გვიჩვენებს
შესაბამისობას [73] ნაშრომის მონაცემებთან პირველი შემთხვევისთვის, [72]–ს
მეორესთან [71]-ის მონაცემებთან მესამე შემთხვევისათვის. ჩანს, რომ ყველა
შემთხვევისათვის მაგნიტური ინდუქციის ვექტორის ნორმალური
მდგენელი არის ერთიდაიგივე ფორმის 41
10
+−
n
xB .
108
3. ძირითადი შედეგები და დასკვნები
ელექტროგამტარი არაკუმშვადი არანიუტონისეული ხარისხოვანი
სითხის სტაციონარული და არასტაციონარული ამოცანების
გამოკვლევებისთვის შერჩეულია ისეთი მოდელები, რომელა ამონახსნები
მიღებულია ან ზუსტად, ან მიახლოებით ანალიზურად:
1. გამოკვლეულია დინამიკური სტრუქტურა და სითბოგადაცემა
ცვალებადი გამტარებლობის არაკუმშვადი არანიუტონისეული ხარისხოვანი
სითხის, რომელიც იმყოფება გარე მაგნიტურ ველში. მჰდ განტოლებათა
სისტემის მიახლოებითი ანალიზური ამოხსნის საფუძველზე მიღებულია
დინამიკური და ტემპერატურული სასაზღვრო ფენების სისქეთა
განსასაზღვრავად გამოსახულებანი. სასაზღვრო ფენები წარმოიქმნება
ბრტყელი ნახევრადუსასრულო ფოროვან ფირფიტაზე, რომელშიც გაჟონვა
დამოკიდებულია სასაზღვრო ფენის პარამეტრებზე.
ნაჩვენებია, რომ პარამეტრების შერჩევის გზით, რომლებიც
განსაზღვრავენ არანიუტონისეული სითხის რეოლოგიას და მის
ელექტროგამტარებლობას, შესაძლებელია ვმართოთ ზედაპირული ხახუნი
და გარსმოდენად ზედაპირზე სითბური ნაკადი.
3. მიღებულია გარსმოდენად სხეულში გაჟონვის გათვალისწინებით
არანიუტონისეული ხარისხოვანი ცვალებადი გამტარებლობის სითხის
ბრტყელი დინების ამოცანის განზოგადებული ავტომოდელური ამონახსნი.
4. მიღებულია ბრტყელ ფოროვანი ვერტიკალური კედლის
მახლობლად ცვლადი გამტარებლობის არანიუტონისეული ხარისხოვანი
სითხის თავისუფალი კონვექციის ამოცანის მიახლოებითი ანალიზური
ამონახსნი. გამოკვლეულია გარე მაგნიტური ველისა და კედლის გაჟონვის
გავლენის ეფექტები თავისუფალი კონვექციის სასაზღვრო ფენის სისქეზე.
5. მიღებულია გარემოს სუსტადგამტარებლობისას პირობითად
ცვლადი გამტარებლობის არანიუტონისეული ხარისხოვანი სითხის
თავისუფალი კონვექციის ამოცანის ამონახსნი ინტეგრალური მეთოდით.
ასევე განზოგადებული ამონახსნი მიღებულია ისევე როგორც
ჰიდროდინამიკაში რეოლოგიური სითხეებისთვის. ნაჩვენებია, რომ კედლის
109
არაიზოთერმულობა არ ახდენს გავლენას ამოცანის მჰდ კრიტერიუმების
კავშირის კანონზე, რომელიც ინარჩუნებს ამ კავშირს მილებისა და არხების
შესასვლელ ადგილებში და ბრტყელ ჩაძირულ ჭავლში. ამავე დროს
სასაზღვრო ფენის გამოკვლევა გარსდენისა და სითბოცვლის ამოცანებში
მხოლოდ საწყის ეტაპზეა. არსებობს რამდენიმე ნაშრომი, რომელიც ეხება
დინამიკური სასაზღვრო ფენის ავტომოდელურ ამოცანებს. თუმცა აქამდე
არ დამდგარა და არ გამოკვლეულა საკითხი სტაციონარული და
არასტაციონარული არასასაზღვრო ფენის შესაძლო ავტომოდელური
ამოცანების შესახებ. იძულებითი, ერთობლივი (თავისუფალი და
იძულებითი), ასევე თავისუფალი კონვექციის შემთხვევებში.
აქამდე არ განხილულა არანიუტონისეული სითხეებით ფოროვანი
სხეულების გარსდენა, თუ არის განხილული ძალიან ცოტაა ზუსტი
ამონახსნები და თითქმის ყველა არ ასახავს ამოცანის არაწრფივობის
სპეციფიკას. ავტორმა ამ საკითხებს დაუთმო დიდი ყურადღება.
ნაშრომში დაწვრილებითაა გამოკვლეული სასაზღვრო ფენის
ავტომოდელური ამოცანების კლასი და ზოგიერთი მათგანი ამოხსნილია
ანალიზურად. ნაჩვენებია ზუსტი რიცხვითი ამოხსნები ფსევდოპლასტიკური
სითხის ორგანზომილებიანი სასაზღვრო ფენის რიგი ავტომოდელური
ამოცანებისა, რომლებიც მიღებული იქნა ადრე ცდის მეთოდით.
ნაპოვნი ზუსტი ამონახსნები, ჩვენი აზრით, წარმოადგენენ
დამოუკიდებელ თეორიული და გამოყენებით ინტერესს. მათი გამოყენება
შესაძლებელია ასევე გამოთვლის მიახლოებითი მეთოდების აგებისთვის და
მიღებული მათემატიკური და ფიზიკური დაშვებების შემოწმებისთვის.
ნაშრომში გადმოცემულია ასევე ხარისხოვანი სითხეების სასაზღვრო
ფენის დინამიკური და სითბური ამოცანების ამოხსნის ახალი მეთოდები.
დასკვნით თავში გაკეთებულია არანიუტონისეულ სითხეებში
სითბოგადატანის განტოლებათა სისტემის ზოგადი სახით აგების ცდა.
განხილულია სასაზღვრო ფენში კონვექციური სითბოცვლის
ავტომოდელური ამოცანა, სითბოგამტარებლობისა და სიბლანტის ძვრის
სიჩქარეზე დამოკიდებულების გათვალისწინებით.
110
გამოყენებული ლიტერატურა
1. Ostwald W. Kolloidzeirschriff, 38, 261, 1926. 2. Reiner M. Deformation and Flow. Lewis LTD. 1949. 3. Лойцянский Л.Г. Ламинарный пограничный слой. М.-Л., Физматгиз. 1962. 4. Шлиятинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Изд-во иностранной
литературы. 1956. 528 с. 5. Астрита Д.Ж., Марруччи Д.Ж. Основы гидромеханики неньютоновских
жидкостей. Пер. с англ., М., 1978. 6. Грановер Г.Г., Цинобер А.Б. Магнитная гидродинамика несдимаемых
сред. М.: Фитматгиз, 1970. 379 с. 7. Сибиси Т., Брэдшоу П. Конвективный теплообмен. М.: Мир, 1987. 592 с. 8. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. И., Гостехиздат, 1957. 9. Беннет К.О., Майерс Дж.У. Гидродинамика, теплообмен и массобмен. М.:
Недра, 1966. 725 с. 10. Рейнер М. Реология. Пер. с англ. М., 1965. 11. Регирер С.А. Неустановившиеся течение электропроводной жидкости в
присутствии магнитного поля. Инж. физ. ж., 1959, т. 2, № 8. с. 43-50. 12. Боев А.Г. Автомодельные решения нестационарных уравнений плоского
ламинарного магнитогидродинамического пограничного слоя. ТМТФ, № 1. 1966. 15-20.
13. Карякин Ю.Е. Автомодельные задачи пространственного подраничного слоя. Труды ЛПИ, 1965, 248. 74-81.
14. Шарикадзе Д.В. О приближенном решении некоторых автомодельных задач гидродинамики. Совместное заседание семинара им. И.Г. Петровского и Моск. мат. оьщества. 18-21 января 1981.
15. Hansen A.G. Nrans. ASME. Octomber, 1553, 1958. 16. Шарикадзе Д.В. О решениях автомодельных задач пограничного слоя
проводящей жидкости. Доклады расширенных заседании семинара ИПМ им. И.Н. Векуа, Тбилисского ун-та, 1986. Инг. Н2, 131-134.
17. Шарикадзе Д.В., Еззат М.А. Об автомодельной задаче струйного течения проводящей степенной жидкости. Труды Тбилисского ун-та. Серия Математики, механики и астрономии. 1988, 278, 246-254.
18. Acrivos A., Shah M.J., Petefrsen E.E., Aiche J., 6, 332, 1960. 19. Уилкинсон У.Л. Неньютоновские жидкости. Перевод с англ. Изд-во
«Мир». 1964. 20. Китанин Э.Л. Пространственный пограничный слой проводящей жидкости
влоль линии пересечения двух поверхностей с электромагнитном поле. Магнитная гидродинамика. 1965, 1, 37-42.
21. Шульман З.П. ИФЖ. IV, № 8, 11. 1961. 22. Rossow V.J. ZAMP 96, Fasc 5/6. 1968. 23. Добрышман Е.М. ПММ, 20, 3. 1956.
111
24. Брановер Г.Г., Цинобер А.Б. Магнитная гидродинамика несжимаемых сред. М.: Физматгиз. 1970. 379 с.
25. Бритов Н.А. Двухмерные МГД течения в сильных магнитных полях. Магнитная гидродинамика, 3, 1979, 10-16. 40.
26. Долидзе Д.Е. Некоторые вопросы нестационарного течения вязкой жидкости. Тбилиси. Изд. АН Гр. ССР. 1960, 332 с.
27. Швец М.Е. Прикладная математика и механика. XIII, № 3. 1949. 28. Хелми К.А. Приближенный метод решения нестационарного
пограничного слоя неньютоновской проводящей жидкости. Труды ТГУ 278. Серия Математика, Механика, Астрономия 24. 1988. с. 200-206.
29. Азмаипарашвили Л.Г., Шарикадзе Д.В. Очисленном решении одной нестациональной задачи магнитной гидродинамики. Труды ТГУ. Серия Математика, Механика, Астрономии. 1987, 270, 154-161.
30. Кереселидзе З.А., Шарикадзе Д.В. Расчет пограничного слоя у пористой пластины с переменным отсосом в магнитном поле. МГ, 1974, 2. 138-140.
31. Цинобер А.Б., Шербинин Э.В. О некоторых свойствах МГД пограничного слоя на пластинке. Магнитная гидродинамика, 1968, 3, 34-42.
32. Цуцкиридзе В.Н. Пульсационное течение вязкой несжимаемой проводящей жидкости в магнитном поле с учетом теплопередачи (на груз. языке). кандидатская диссертация. Тбилисский Гос. ун-тет. 1994.
33. Мартинсон Л.К., Павлов К.Б. Магнитная гидродинамика. 3, 1966. 34. Цинобер А.Б. МГД Обтекание тел. Рига. Зинатне. 1970. 291 с. 35. Шарикадзе Д.В. Об одной нестационарной задаче магнитной
гидродинамики. ДАН СССР, 1961. 138. № 3. 568-571. 36. Тарг С.М. Основные задачи теории ламинарных течений. М., ГИТТЛ,
1951. 37. Шарикадзе Д.В. Магнитногидродинамическое обтекание плоской
пластины. Конф. по физике плазмы и ее применению. Будапешт, 1969. 38. Шарикадзе Д.В. Об одной решении уравнения нестационарного движения
слабопроводящей жидкости. Труды Тбилисского ун-та. 1(137), А, 1971. 131-135.
39. Шарикадзе Д.В. О некоторых решениях задач движения вязкой жидкости области критической точки. Труды Тбилисского ун-та. серия Математика, Механика, Астрономия. 218, 1981. 87-105.
40. შარიქაძე ჯ., ციცქიშვილი ზ., კეკენაძე მ. პარალელურ ფოროვან კედლებს შორის ბლანტი უკუმში სუსტადგამტარი სითხის არასტაციონარული მოძრაობა სითბოგადაცემის გათვალისწინებით. სამეც. ტექნ. ჟურნ. „მშენებლობა“. № 4(31). 2013. გვ. 12–20.
41. შარიქაძე ჯ., კეკენაძე მ. არანიუტონისეული გამტარი სითხის სასაზღვრო ფენაში მოძრაობის ამოცანის მიახლოებითი ამოხსნის ინტეგრალური მეთოდი. სამეც. ტექნ. ჟურნ. „მშენებლობა“. № 2(33). 2014. გვ. 35–40.
42. შარიქაძე ჯ., ციცქიშვილი ზ., კეკენაძე მ. სუსტადგამტარი ხარისხოვანი სითხის არასტაციონალური თავისუფალი კონვექციის ამოცანის
112
მიახლოებითი ამოხსნა. სამეც. ტექნ. ჟურნ. „მშენებლობა“. № 4(35). 2014. გვ. 69–74.
43. Станюкович К.П. Неустановивщиеся движение сплошной среды. М.: ГИТТЛ. 1955.
44. Джумкулов Т. Магнитная гидродинамика. 1969. № 3. 134-137. 45. Шульман З.П., Берковский Б.М. Пограничный слой неньютоновских
жидкосткй. Минск, 1966. 46. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 1, 2. М.: «Наука». 1978. 47. Мейз Дж. Теория и задачи механики сплошных сред. М.: «Мир». 1974. 320 с. 48. Джалурия Й. Естественная конвекция. Тепло и массообмен. М.: Мир, 1983.
399 с. 49. Эккерт Э.Р., Дрейк Р.М. Теоряи тепло-массообмена. М.-Л., Госэнергоиздат,
1961. 50. L. Jikidze, B. Tsutskiridze. Appriximate method for solving unsteady rotation
problem on porous plate in the conducting fluid with account heat transfer in case of variable electroconductivity. Several problems of applied mathematics and mechanics. Series: Mathematics Research Developments (e-book), New York, 2013, p. 157-164.
51. Рейнер М. Реология. Пер. с англ. М., 1965. 52. Шульман З.П. Беседы о реофизике. Минск, 1976. 53. კეკენაძე მ., ციცქიშვილი ზ. არანიუტონისეული გამტარი სითხის
ავტომოდელური ამოცანების შესახებ სითბოგადაცემის გათვალისწინებით. Georgian Engineering News. № 4. 2015.
54. Reiner M. Deformation and Flow. Lewis LTD, 1949. 55. Баренблатт Г.И. ПММ, 16, вып.6. 1952. 56. Баренблатт Г.И. ПММ, 17, вып. 4, 1954. 57. Oldroyd J.G. Rheology. Academie Press, New York-London. 1956. 58. Шарикадзе Д.В. Один класс точных решений уравнений магнитной
гидродинамики. ПММ, 1959, 23, № 5, 953. 59. Шарикадзе Д.В. О некоторых точных решениях нестационарных уравнений
вязкой проводящей жидкости. Труды Тбилисского ун-та. Серия Математика, Механика и Астрологии, 1982, 232-233, 272-279.
60. Шарикадзе Д.В. О некоторых автомодельных задачах вязкой несжимаемой жидкости. Труды Тбилисского ун-та. Серия Математика, Механика и Астрологии, 1984, 252, 204-221.
61. Саундалгекар В.М., Витнесам Н.В. Теплоперенос при МГД обтеканий полубесконечной пластины с осцелирующей температурной поверхности. Магнитная гидродинамика, 1983. 3. 36-40.
62. Ерошенко В.М., Зайчик А.И. Гидродинамика и тепломассообмен на проницаемых поверхностях. М.: Наука, 1984, 274 с.
63. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплощных сред. М.: Наука, 1982. 620 с.
64. Acrivos J. Aerospace. Sci., 27, 314, 1960.
113
65. Шульман З.П. Конвективный тепломассоперенос реологически сложных жидкостей. М., «Энергия», 1975. 352 с.
66. Торнер Р.В. Коллоидный журнал. 22, № 5, 1960. 67. Hansen A.G. Similazity Analysi’s of Boyndary – Velue Problems in Engineering
Prentice – Hall, Englewood Cliffs, N.J., 1964. 68. S.H. De Young, G.F. Sheele. AICHE Jorn. 16.5.1970. 69. C. Tien. Appl – Sci. Res. 233. 1967. 70. K. Sharmak, M. Adelman. Canad. Jorn. Chem. Eng. № 4.1966. 71. A.S. Gupta. ZAMP. 13, 324. 1962. 72. G. Wilks and R. Hunt. ZAMP. 35. 34. 1983. 73. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М., «Наука». 1986. 74. L. Jikidze, B. Tsutskiridze. Unsteady rotation problem on infinite porous plate
in the conducting fluid with account mahnetic field and heat transfer in case of variable electric conductivity and injection velocity. Technical University of Georgia. Transactions. 2014, № 3(493).
75. Шулман З.П., Байков В.И., Зальцгендлер Э.А. Тепло- и массообмен при свободной конвекции в неньютоновских жидкостях. Минск, 1975, 136 с.
76. შარიქაძე ჯ., ციცქიშვილი ზ., კეკენაძე მ. არანიუტონისეული სუსტად გამტარი სითხის დინება სასაზღვრო ფენაში. საქართველოს ტექნიკური უნივერსიტეტის სამეცნიერო შრომების კრებული № 3(497). 2015.
77. კეკენაძე მ. დინამიკური სასაზღვრო ფენის სისქის განსაზღვრის ზოგიერთი კერძო შემთხვევა სუსტადგამტარი ხარისხოვანი სითხის არასტაციონარული თავისუფალი კონვექციის დროს. საქართველოს ტექნიკური უნივერსიტეტის სტუდენტთა 83–ე ღია საერთაშორისო სამეცნიერო კონფერენცია. თბილისი. 2015.
114