ピタゴラス数とロバート行列 -...
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ピタゴラス数とロバート行列学習院大学理学部数学科
成田 光正
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①目的プロログを使って、200以下のピタゴラス数の表を作る。
②手順3 ¤ 3行列の積や3 ¤ 3行列の逆行列をprologで求め、いくつ
かのピタゴラス数を用いてロバート行列を求める。逆に、ピタゴラス数にロバート行列をかけて、1組の1番小
さい値が200以下のピタゴラス数を求める。
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ピタゴラス数
c-b=1の時3 5 45 13 127 25 249 41 4011 61 60... ... ...
c-b=9の時15 17 821 29 2033 65 5639 89 8051 149 140... ... ...
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c-b=49の時... ... ...
63 65 1677 85 3691 109 60105 137 88119 169 120... ... ...
c-b=289の時629 829 540663 905 616697 985 696731 1069 780765 1157 868... ... ...
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行列のかけ算を利用し、ピタゴラス数の一部を使って、ロバート行列を求める。
0@
3 4 521 20 29119 120 169
1AA =
0@
21 20 29119 120 169697 696 985
1A ¢ ¢ ¢ ¤
ロバート行列を求める為、3 ¤ 3行列の積や3 ¤ 3行列の逆行列Bを求める。
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3結果逆行列BはB=[[¡100, ¡76, 16], [¡98, ¡88, 18], [140, 116, ¡24]]
B =
0@¡100 ¡76 16¡98 ¡88 18140 116 ¡24
1A
となる。
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逆行列Bを用いて、*からロバート行列Aを求めると、A = [[1:0; 2:0; 2:0]; [2:0; 1:0; 2:0]; [2:0; 2:0; 3:0]]
これよりロバート行列は以下のようになる。
A =
0@
1 2 22 1 22 2 3
1A
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ピタゴラス数に求めたロバート行列をかけた数もピタゴラス数になることを証明します。ピタゴラス数(x; y; z)
x2 + y2 = z2
(x0; y0; z0) = (x; y; z)
0@
1 2 22 1 22 2 3
1A
を計算するとx0 = x + 2y + 2z, y0 = 2x + y + 2z, z0 = 2x + 2y + 3z
x02 + y02 = 5x2 + 5y2 + 8z2 + 8xy + 12xz + 12yz
= 13z2 + 8xy + 12xz + 12yz
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z02 = 13z2 + 8xy + 12xz + 12yz
これより、x02 + y02 = z02となり、証明終わり。
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得られたロバート行列を用いて、200以下のピタゴラス数求める。
例1 (0,1,1)
0@
1 2 22 1 22 2 3
1A = (4;3;5)
例2 (3,4,5)
0@
1 2 22 1 22 2 3
1A =(21,20,29) ...
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ピタゴラス数は正の組だけではなく、負の数を含む組も考えられるので全部で(3; 4; 5),(¡3; 4; 5),(3;¡4; 5),(3; 4;¡5),(¡3; 4;¡5),(¡3;¡4; 5),(3;¡4;¡5),(¡3,¡4,¡5)の8組のピタゴラス数でロバート行列をかける。
例3 (¡3; 4; 5)
0@
1 2 22 1 22 2 3
1A =(15,8,17)
例4 (¡3;¡4; 5)
0@
1 2 22 1 22 2 3
1A =(-1,0,1)
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これらのプログラムから得られた結果を表にまとめる。
[1,0,1]の場合a b c3 4 521 20 29119 120 169... ... ...
[¡3,4,5]の場合a b c15 8 1765 72 97... ... ...
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[3,¡4,5]の場合a b c5 12 1355 48 73297 304 425... ... ...
[5,12,13]の場合a b c55 48 73... ... ...
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[¡5,12,13]の場合a b c45 28 53... ... ...
[5,¡12,13]の場合a b c7 24 25
105 88 137... ... ...
[7,24,25]の場合a b c
105 88 137... ... ...
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[¡7,24,25]の場合a b c91 60 109... ... ...
[7,¡24,25]の場合a b c9 40 41... ... ...
[8,15,17]の場合a b c72 65 97... ... ...
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[¡8,15,17]の場合a b c56 33 65... ... ...
[8,¡15,17の場合]a b c12 35 37... ... ...
[¡9,40,41]a b c
153 104 185... ... ...
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[9,¡40,41の場合]a b c11 60 61... ... ...
[11,¡60,61]の場合a b c13 84 85... ... ...
[13,¡84,85]の場合a b c15 112 113... ... ...
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[15,¡112,113]の場合a b c17 144 145... ... ...
[17,¡144,145]の場合a b c19 180 181... ... ...
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ロバート行列を用いて200以下のピタゴラス数をprologで作り出した。
200以下のピタゴラス数a b c0 1 13 4 55 12 137 24 258 15 179 40 4111 60 6112 35 3713 84 8515 112 113
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16 63 6517 144 14519 180 18120 21 2920 99 10124 143 14528 45 5328 195 19733 56 6536 77 8539 80 8944 117 12548 55 7351 140 14952 165 173
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60 91 10965 72 9785 132 15788 105 13795 168 193104 153 185119 120 169
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④考察一番簡単なピタゴラス数 (0; 1; 1)にロバート行列をかけることで、200以下のピタゴラス数がすべて32個作り出せることがわかった。