ピタゴラス数直角を挟む２辺の和、差の考察

＝Ａ，Ｂ，Ａ＋Ｂ，Ａ－Ｂのいずれかは７倍数＝

長崎県立小浜高校 山 本 文 隆

１．はじめに

Ａ ＋Ｂ ＝Ｃ を満たす最小の整数の組み合わ２ ２ ２

せ、すなわち既約なピタゴラス数において、直角

を挟む２辺のどちらかは３の倍数、偶数辺は４の

倍数、３辺のいずれかは５の倍数であることは有

名だが、今回あらたに直角を挟む２辺Ａ，Ｂ、も

しくは二辺の和Ａ＋Ｂ、二辺の差｜Ａ－Ｂ｜のい

ずれかは７の倍数であることを見出した。

さらに直角を挟む２辺Ａ，Ｂを縦横の軸に取る

グラフ（仮称ピタゴラス数ネット）の全象限上で

の分布は２辺の和、差とも１８０度の回転対称性

、 。を示し 両者は回転方向が逆であることも判った

斜辺が素数であるものの分布が全ての象限にＡ

軸、Ｂ軸を挟んで線対称であることと比較しても

面白い特徴を示している。

２．既約ピタゴラス数の完全解

既約ピタゴラス数の完全解としてはユ－クリッ

、 （ ）ド ディオファンタスの解 以下ユ－クリッド解

2-1Ａ＝Ｍ －Ｎ Ｂ＝２ＭＮ Ｃ＝Ｍ ＋Ｎ２ ２ ２ ２、 、 ・

（① Ｍ＞Ｎ＞０、② ＭとＮに約数はない

③ Ｍ、Ｎ どちらか奇数ならどちらか偶数）

、 、が有名であるが 全ての面でこの式をＭ＝ｍ＋ｎ

Ｎ＝ｍで置き換えた次の新解が便利である。

Ａ＝ｎ（ｎ＋２ｍ 、Ｂ＝２ｍ（ｍ＋ｎ））

2-2Ｃ＝（ｎ＋２ｍ （ｍ＋ｎ）－ｍｎ） ・・・

（①ｎは奇数 、②ｍとｎに約数はない）

これらの式はまた

Ａ＝ｎ ＋２ｍｎ、Ｂ＝２ｍ ＋２ｍｎ２ ２

2-3Ｃ＝ｎ ＋２ｍｎ＋２ｍ２ ２・・・・・・・・

とも表せ、全てが和の形を取る。そしてその項の

数はＡ３項、Ｂ４項、Ｃ５項であり、最小のピタ

ゴラス数が（Ａ，Ｂ，Ｃ）＝（３，４，５）であ

ることも簡単に理解できる。

３．既約以外のピタゴラス数

ユークリッド解も新解も２変数の２次の項の和

でできており約数があると平方されて現れる。

ｍ’＝ｍｒ，ｎ’＝ｎｒとして２

Ａ＝ｎ’(ｎ’ ２ｍ’)＝ｎ(ｎ ２ｍｎ)ｒ+ +２

Ｂ＝２ｍ’(ｍ’ ２ｎ’)＝２ｍ(ｍ ２ｎ)ｒ+ +２ ２ ２ ２ ２

Ｃ＝ｎ’ ２ｍ’ｎ’ ２ｍ’ ＝(ｎ ２ｍｎ ２ｍ )ｒ+ + + +

また新解においてｎが偶数のときは、Ａ，Ｂの

偶奇は入れ替わるものの新解の２倍数を表す。

ｎ＝２ｐ、ｍ＝ｑとして

Ａ＝２ｐ（２ｐ＋２ｑ）＝２（２ｐ（ｐ＋ｑ ））

Ｂ＝２ｑ（ｑ＋２ｐ）＝２（ｑ（ｑ＋２ｐ ））

Ｃ＝４ｐ ４ｐｑ ２ｑ ＝２(２ｐ ２ｐｑ ｑ )２ ２ ２ ２

+ + + +

従って、既約の条件を含まない新解は、既約の

平方数倍（ｒ ）または平方数の２倍（２ｒ ）の２ ２

解までを含むことになる。逆にこれ以外の倍数は

含まないので全てのピタゴラス数という場合は新

解を任意の整数倍しなければならない。

４．ＡまたはＢは３倍数

Ａ、Ｂはｍ、ｎ、ｍ＋ｎ、ｎ＋２ｍの成分から

成る。ｎもしくはｍが３倍数のときは、Ａまたは

Ｂは３倍数。ｎ、ｍともｍｏｄ３が等しければ３

項から成るｎ＋２ｍは３倍数。またｍｏｄ３が異

なるときは一方が１のとき他方は２なのでｎ＋ｍ

は３倍数。従ってＡまたはＢは常に３倍数。

５．偶数辺Ｂは４倍数

既約の解は約数を持たないことから２ ２ ２ ２ ２ ２奇数 ＋偶数 ＝奇数 、奇数 ＋奇数 ＝偶数

２しかし奇数の２乗は８倍数＋１（ ２ｗ＋１）（

＝４ｗ（ｗ＋１）＋１、ｗ（ｗ＋１）は連続数で

あるからどちらかが偶数）となることから、後者

は ２（４倍数＋１）＝偶数 となり存在でき２

ない。そこで前者を考えると

８倍数＋１＋（偶数） ＝８倍数＋１２

すなわち （偶数） ＝８倍数 となりこれを２

満たす偶数は４倍数でなければならない。

新解においてもＢ＝２ｍ（ｍ＋ｎ）でｎは奇数

であるからｍ（ｍ＋ｎ）はｍまたはｍ＋ｎのいず

れかが偶数となりＢは４倍数であることが解る。

６．Ａ，Ｂ，Ｃのいずれかは５倍数２Ａ，Ｂ，Ｃは ｍ，ｎ，ｍ＋ｎ，ｎ＋２ｍ、ｎ

＋２ｍｎ＋２ｍ の５つの成分から成るがｎまた２

はｍが５倍数のときはＡまたはＢは５の倍数。

そこでｍ＝５ｋ＋ｐ、ｎ＝５ｈ＋ｑ（ｐ、ｑは

それぞれにｍｏｄ５）と置いたときｐ＝ｑならば

５項から成るＣは５の倍数。また２ｐ＝ｑのとき２ ２ ２ ２は Ｃ ｍｏｄ ５＝４ｐ ４ｐ ２ｐ ＝１０ｐ+ +

さらにｍ＝５ｋ－ｐ 、ｎ＝５ｈ－ｑ’でも同じ’

事がいえ ｑ’＝５－ｑ＝２ｐ’＝１０－２ｐ

すなわち ２ｐ＝５＋ｑ のときも５の倍数。

またｐ＋ｑ＝５ではｍ＋ｎを含むＢが５の倍数

ｑ＋２ｐ＝５ではｎ＋２ｍを含むＡが５倍数

になる。表１にその関係を示すが３辺のいずれか

は５倍数である。

ｍ ｎ ５倍数成分 ５倍数辺

５ｋ ｍ Ｂ

５ｈ ｎ Ａ

５ｋ＋１ ５ｈ＋１ Ｃn +2mn+2m2 2

５ｋ＋１ ５ｈ＋２ Ｃn +2mn+2m2 2

５ｋ＋１ ５ｈ＋３ ｎ＋２ｍ Ａ

５ｋ＋１ ５ｈ＋４ ｍ＋ｎ Ｂ

５ｋ＋２ ５ｈ＋１ ｎ＋２ｍ Ａ

５ｋ＋２ ５ｈ＋２ Ｃn +2mn+2m2 2

５ｋ＋２ ５ｈ＋３ ｍ＋ｎ Ｂ

５ｋ＋２ ５ｈ＋４ Ｃn +2mn+2m2 2

５ｋ＋３ ５ｈ＋１ Ｃn +2mn+2m2 2

５ｋ＋３ ５ｈ＋２ ｍ＋ｎ Ｂ

５ｋ＋３ ５ｈ＋３ Ｃn +2mn+2m2 2

５ｋ＋３ ５ｈ＋４ ｎ＋２ｍ Ａ

５ｋ＋４ ５ｈ＋１ ｍ＋ｎ Ｂ

５ｋ＋４ ５ｈ＋２ ｎ＋２ｍ Ａ

５ｋ＋４ ５ｈ＋３ Ｃn +2mn+2m2 2

５ｋ＋４ ５ｈ＋４ Ｃn +2mn+2m2 2

表１ ピタゴラス数は３辺いづれか５倍数

７．Ａ，Ｂ，Ａ＋Ｂ，Ａ－Ｂのいずれかは７倍数

項の数を見るとＡ＋Ｂ（下の式参照）は７項か

らなる。従ってｍ、ｎの ｍｏｄ ７が等しければ

Ａ＋Ｂは常に７倍数である。このことと斜辺の５

倍数から類推して規則性が予想される。

そこで表２のように分類し２ ２Ａ＋Ｂ＝ｎ ＋４ｍｎ＋２ｍ

Ａ－Ｂ ＝ ｎ －２ｍ に入れてみるとどの辺| | | |２ ２

組が７の倍数かが解る。分析するとｎ、ｍがそれ

ぞれ７倍数のときはＡ（イ 、Ｂ（ア）がそれぞ）

。 、 （ 、れ７倍数 またｍ＝７ｋ＋ｐ ｎ＝７ｈ＋ｑ ｐ

ｑはそれぞれにｍｏｄ７）と置いたとき、余りが

等しいとき、すなわちｐ＝ｑの場合、７項ある

ｍ ｎ ７倍数成分 ７倍数辺組

ア ７ｋ ｍ Ｂ

イ ７ｈ ｎ Ａ

ウ ７ｋ＋１ ７ｈ＋１ Ａ＋Ｂn +4mn+2m2 2

エ ７ｋ＋１ ７ｈ＋２ Ａ＋Ｂn +4mn+2m2 2

|n 2m | | |オ ７ｋ＋１ ７ｈ＋３ － Ａ－Ｂ2 2

|n 2m | | |カ ７ｋ＋１ ７ｈ＋４ － Ａ－Ｂ2 2

キ ７ｋ＋１ ７ｈ＋５ ｎ＋２ｍ Ａ

ク ７ｋ＋１ ７ｈ＋６ ｍ＋ｎ Ｂ

|n 2m | | |ケ ７ｋ＋２ ７ｈ＋１ － Ａ－Ｂ2 2

コ ７ｋ＋２ ７ｈ＋２ Ａ＋Ｂn +4mn+2m2 2

サ ７ｋ＋２ ７ｈ＋３ ｎ＋２ｍ Ａ

シ ７ｋ＋２ ７ｈ＋４ Ａ＋Ｂn +4mn+2m2 2

ス ７ｋ＋２ ７ｈ＋５ ｍ＋ｎ Ｂ

|n 2m | | |セ ７ｋ＋２ ７ｈ＋６ － Ａ－Ｂ2 2

ソ ７ｋ＋３ ７ｈ＋１ ｎ＋２ｍ Ａ

|n 2m | | |タ ７ｋ＋３ ７ｈ＋２ － Ａ－Ｂ2 2

チ ７ｋ＋３ ７ｈ＋３ Ａ＋Ｂn +4mn+2m2 2

ツ ７ｋ＋３ ７ｈ＋４ ｍ＋ｎ Ｂ

|n 2m | | |テ ７ｋ＋３ ７ｈ＋５ － Ａ－Ｂ2 2

ト ７ｋ＋３ ７ｈ＋６ Ａ＋Ｂn +4mn+2m2 2

ナ ７ｋ＋４ ７ｈ＋１ Ａ＋Ｂn +4mn+2m2 2

|n 2m | | |ニ ７ｋ＋４ ７ｈ＋２ － Ａ－Ｂ2 2

ヌ ７ｋ＋４ ７ｈ＋３ ｍ＋ｎ Ｂ

ネ ７ｋ＋４ ７ｈ＋４ Ａ＋Ｂn +4mn+2m2 2

|n 2m | | |ノ ７ｋ＋４ ７ｈ＋５ － Ａ－Ｂ2 2

ハ ７ｋ＋４ ７ｈ＋６ ｎ＋２ｍ Ａ

|n 2m | | |ヒ ７ｋ＋５ ７ｈ＋１ － Ａ－Ｂ2 2

フ ７ｋ＋５ ７ｈ＋２ ｍ＋ｎ Ｂ

ヘ ７ｋ＋５ ７ｈ＋３ Ａ＋Ｂn +4mn+2m2 2

ホ ７ｋ＋５ ７ｈ＋４ ｎ＋２ｍ Ａ

マ ７ｋ＋５ ７ｈ＋５ Ａ＋Ｂn +4mn+2m2 2

|n 2m | | |ミ ７ｋ＋５ ７ｈ＋６ － Ａ－Ｂ2 2

ム ７ｋ＋６ ７ｈ＋１ ｍ＋ｎ Ｂ

メ ７ｋ＋６ ７ｈ＋２ ｎ＋２ｍ Ａ

|n 2m | | |モ ７ｋ＋６ ７ｈ＋３ － Ａ－Ｂ2 2

|n 2m | | |ヤ ７ｋ＋６ ７ｈ＋４ － Ａ－Ｂ2 2

ユ ７ｋ＋６ ７ｈ＋５ Ａ＋Ｂn +4mn+2m2 2

ヨ ７ｋ＋６ ７ｈ＋６ Ａ＋Ｂn +4mn+2m2 2

表２ のいずれかは７倍数A,B,A+B,A-B

Ａ＋Ｂ＝７ｐ （ウ、コ、チ、ネ、マ、ヨ） であ２

りＡ＋Ｂは７倍数。２ｐ＝ｑで

Ａ＋Ｂ＝４ｐ ＋８ｐ ＋２ｐ ＝７（２ｐ ）２ ２ ２ ２

これはｐ＝－３、－２、－１，１，２，３

で成り立つ （エ、シ、ト、ナ、ヘ、ユ 、。 ）

またｐ＋ｑ＝７ならば ｍ＋ｎ＝７倍数（ケ、

ス、ツ、ヌ、フ、ム 、２ｐ＋ｑ＝７、１４なら）

ばｎ＋２ｍ＝７倍数（キ、サ、ソ、ハ、ホ、メ）

またＡ－Ｂ＝ ｎ －２ｍ はＡ＋Ｂとの入れ子構| |２ ２

造を持っており、まずｎ＞２ｍでｎ＝Ｎ＋２ｍと

おけばＮ ＋４ｍＮ＋２ｍ となりＮ＝ｎ－２ｍの２ ２

余りとｍの余りが等しいとき、もしくはＮの余り

（ 、 、がｍの余りの２倍のとき７の倍数となる オ カ

タ 。また２ｍ＞ｎ＞ｍではｎと√２ｍの大小に）

かかわらず置き換えはできない最小形であるが

ｎ －２ｍ は７倍数となる（テ、ニ、ミ 。| |２ ２ ）

次にｎ＜√２ｍの場合はｍ＝Ｍ＋ｎとおけば、

ｎ ＋２Ｍｎ＋２Ｍ となりＭ＝ｍ－ｎの余りとｎ２ ２

の余りが等しいとき、もしくはｎの余りがＭの余

りの２倍のとき７の倍数となる（ケ、タ、ニ、ヒ

モ、ヤ 。）

８．Ｃ＋Ａ，Ｃ－Ａのいずれかは８倍数

斜辺＋奇数辺または斜辺－奇数辺は常に８倍数

となる。これはこれまでと比較するとＣ＋Ａの項

。の数が５項 ３項＝８項あることと関係している+

Ｃ＋Ａ＝ｎ ＋２ｍｎ＋２ｍ ＋ｎ ＋２ｍｎ２ ２ ２

２＝２（ｍ＋ｎ）２また Ｃ－Ａ＝２ｍ

ここでｎは奇数であるから、ｍ、ｍ＋ｎのいず

れかは偶数。２×偶数 は８倍数であるから２

Ｃ＋Ａ，Ｃ－Ａのいずれかは８倍数である。

９．Ｃ＋Ｂ、Ｃ－Ｂ、Ｂ のいづれかは８倍数２

Ｃ＋Ｂには項が５項＋４項＝９項ある。９倍数

は３倍数と関係し、Ｃ＋Ｂ＝（ｎ＋２ｍ） 、Ｃ２

－Ｂ＝ｎ とともに平方数なのでＡが３倍数のと２

きはＡの成分をなすＣ＋Ｂ、Ｃ－Ｂいずれか９倍

数、Ｂが３倍数のときはＢ は９倍数となる。２

１０．ピタゴラス数ネット

ピタゴラス数の垂直な２成分を縦軸と横軸にと

図１ ピタゴラス数ネット（放物線仕様）

ったグラフにピタゴラス数を配列すると、左右上

下に開く放物線群が見えてくる。このＡ軸方向へ

広がるグラフ（図１では左右のグラフ）はユーク

リッド解（ 式）で、上へ広がるグラフは新解2-1

（ または ）式で得られる。また下へ広がる2-2 ,2-3

、 （ ）式は任意整数ｍ ｎを用い 全てを とする10-1

ⅰ）ｎ＞２ｍの場合

Ａ＝ｎ（ｎ－２ｍ 、Ｂ＝２ｍ（ｎ－ｍ））

ⅱ）２ｍ＞ｎ＞ｍの場合

Ａ＝ｎ（２ｍ－ｎ 、Ｂ＝２ｍ（ｎ－ｍ））

ⅲ）ｍ＞ｎの場合

Ａ＝ｎ（２ｍ－ｎ 、Ｂ＝２ｍ（ｍ－ｎ））

のいずれかで与えられる。このとき斜辺Ｃは全て

Ｃ＝ｎ －２ｍｎ＋２ｍ である。２ ２

これらの中の 式でＭを変数Ｎを定数とすれば2-1

Ａ＝（１／２Ｎ） Ｂ －Ｎ → 右開きの放物線２ ２ ２

式でＮを変数Ｍを定数とすれば2-1

Ａ＝Ｎ －（１／２Ｍ） Ｂ → 左開きの放物線２ ２ ２

式でｍを変数ｎを定数とすれば2-2

Ｂ＝（１／２ｎ ）Ａ －ｎ ／２→上開放物線２ ２ ２

式でｍを変数ｎを定数とすれば10-1

Ｂ＝ｎ ／２－（１／２ｎ ）Ａ →下開放物線２ ２ ２

の放物線群の式が与えられる。

１１ 斜辺２ (４ｗ １)倍のピタゴラス数ネット. +ｉ

斜辺はユークリッド解に従えばＣ＝Ｍ ＋Ｎ の２ ２

奇数であるがこれを充たす素数は４ｖ＋１（ｖは

任意整数）で表される。これは２平方の定理であ

り、この条件を充たす素数Ｒ をピタゴラス素数０

と仮称する。

Ｍ，Ｎの一方は偶数、一方は奇数であり、偶数平※

方は４倍数、平方奇数は８倍数＋１である。

ところでＣが５倍数のピタゴラス数ネットにお

いて ｍ ＝５（ｈ＋１／２ ，ｎ ＝５ｋで表さ０ ０）

れる点Ａ ｎ (ｎ ２ｍ ) Ｂ ２ｍ (ｍ ｎ )０ ０ ０ ０ ０ ０ ０ ０= + = +、

を中心に、数種の閉曲線が浮き出し、その数列か

ら逆算して最初の閉曲線として

n-n +2 m-m n-n +2 m-m /2 11-1( ) ( )( ) ( ) ＝５ ・０ ０ ０ ０２ ２

を得る。これを図２に示す。

なお 式でｎ－ｎ ＝Ｘ、ｍ－ｍ ＝Ｙとおく11-1 ０ ０

11-2と、 Ｘ ＋２ＸＹ＋２Ｙ ＝５／２・・・・２ ２

となる。この左辺がピタゴラス数の斜辺と同じ形

図２ 斜辺Ｃが５倍数のピタゴラス数ネット

式をとるのは興味深い。ところで図２をよく眺め

るとその外にもうひとつ閉曲線が見える。

これを描かせる関係は、右辺にさらに５を掛け

11-3Ｘ ＋２ＸＹ＋２Ｙ ＝５・５／２・・２ ２

図３ Ｘ ＋２ＸＹ＋２Ｙ ＝５・５／２のグラフ２ ２

ここから、いろいろな素数をＶ．Ｂ．で試し

11-4Ｘ ＋２ＸＹ＋２Ｙ ＝ＲＨ／２・・・・・２ ２

ただし ｍ ＝Ｒ（ｈ＋１／２ ，ｎ＝ｋＲ０ ）

（ｈ、ｋは任意整数）を得る。

ここで Ｒ＝２ (４ｗ １)であり、その中にｉ +

はピタゴラス素数（４ｖ＋１）も含まれる。また

ＨはＲの同族で２ (４ｚ １) と表される。ｊ +

さてＲを決定する方法はまず 式をユ－ク11-4

リッド解に書き直すと Ｍ＝ｍ＋ｎ、Ｎ＝ｍ、

Ｍ ＝ｍ ＋ｎ 、Ｎ ＝ｍ 、Ｚ＝Ｘ＋Ｙとして０ ０ ０ ０ ０

11-5Ｚ ＋Ｙ ＝ＲＨ／２・・・・・・・・・・２ ２

= - + - =２ＲＨ (２Ｍ ２Ｍ ) (２Ｎ ２Ｎ )０ ０２ ２

２ ２(２Ｍ Ｒ(２(ｈ ｋ) １)) (２Ｎ Ｒ(２ｋ １))- + + + - +

この式をｓ＝２（ｈ＋ｋ）＋１（奇数 、ｔ＝）

２ｋ＋１（奇数 （ｓ＞ｔ）と置き換え展開し）、

( ) ( ( ｓ ｔ) ) ( ) ０R t +t -2 2 M +N +H R+4 M +N =２ ２ ２ ２ ２

これをＲについて解くと、根の公式より

２(Ｍｓ＋Ｎｔ)＋Ｗ±√Ｄ11-6Ｒ＝─────────────・・・

２ ２ｓ ＋ ｔ

ここで、判別式

Ｄ (２(Ｍｓ Ｎｔ) Ｗ) ４(Ｍ Ｎ )(ｓ ｔ )= + + - + +２ ２ ２ ２ ２

を考えると、Ｒが整数になるための必要条件は

Ｄ≧０で平方数である。また同じく必要条件とし

て 式の分子がｓ ＋ｔ で割りきれねばなら11-5 ２ ２

ない。これをＶ．Ｂ．で検索して出てきた数字が

Ｒ＝１，２，４，５，８，９，１３、１６、１７

・・であり一般的（経験式）にＲ＝２ (４ｗ １)ｉ +

で表せる。以下にその例を示す。

図４ Ｃ＝１ｗ １倍数ネット

図５ Ｃ＝２ｗ ２倍数ネット

図６ Ｃ＝４ｗ ４倍数ネット

図７

Ｃ＝５Ｗ

Ｒ＝５、

Ｈ＝５・５

のネット

図８ Ｃ＝１３Ｗ Ｒ＝１３、Ｈ＝１、５、９、１３

図９Ｃ＝１７ｗ、Ｒ＝１７、Ｈ １、５、９、１３、１７=

図１０ Ｃ＝２９ｗ、Ｒ＝２９、

Ｈ＝１、５、９、１３、１７、２５、２９

１２．Ａ＋Ｂ、Ａ－Ｂ＝７ｗ、１７ｗの

ピタゴラス数ネット

Ａ＋Ｂ、Ａ－Ｂの７倍数と斜辺Ｃの５倍数とを

対応させると似ており、ここにも素数倍を連結さ

せるピタゴラス数ネットが現れないかを確かめて

みた。予想はＲ＝７，１７，２３，３１・・とな

り、今のところＲ＝８ｗ±１を充たす素数に限ら

れそうである。７と１７についてはその式も導い

てみたのでグラフとともに載せる。

（１）Ａ＋Ｂ＝７倍数のピタゴラス数ネット

Ｘ ＋２ＸＹ＋（５／３）Ｙ ＝３５／１２２ ２

（１１／２）Ｘ ＋４ＸＹ＋Ｙ ＝３５／８２ ２

の２式で与えられる。ただしＸ＝ｎ－ｎ 、Ｙ＝０

ｍ－ｍ 、ｎ ＝ｋＲ、ｍ ＝Ｒ（ｈ＋１／２）０ ０ ０

図１１から明らかなように、斜辺の場合の線対

称性はなく１８０°の回転対称性のみである。

図１１ Ａ＋Ｂ＝７倍数のピタゴラス数ネット

（２） Ａ－Ｂ ＝７倍数のピタゴラス数ネット| |

Ｘ －２ＸＹ＋（５／３）Ｙ ＝３５／１２２ ２

（１１／２）Ｘ －４ＸＹ＋Ｙ ＝３５／８２ ２

の２式で与えられる。ただしＸ、Ｙ、ｎ 、ｍ は０ ０

（１）に同じ。図１２から明らかなように、

図１２ Ａ－Ｂ ＝７倍数のピタゴラス数ネット| |

図１３ Ａ －Ｂ ＝７倍数のピタゴラス数ネット| |２ ２

図１１と回転対称性の方向が逆である。二つを重

（ ） 。ねたもの Ａ －Ｂ ＝７倍数 を図１３に示す| |２ ２

（３）Ａ＋Ｂ＝１７倍数のピタゴラス数ネット

Ｘ ＋２ＸＹ＋（１１／５）Ｙ ＝２２１／２０２ ２

（２９／６）Ｘ ＋４ＸＹ＋Ｙ ＝２２１／２４の２ ２

２式で与えられる。ただしＸ＝ｎ－ｎ 、Ｙ＝ｍ０

－ｍ 、ｎ ＝ｋＲ、ｍ ＝Ｒ（ｈ＋１／２）０ ０ ０

これも１８０°の回転対称性のみで線対称では

ない。またほかの曲線（ピタゴラス数ネット）が

生まれる余地が十分に残されている。

図１４ Ａ＋Ｂ＝１７倍数のピタゴラス数ネット

（４）Ａ－Ｂ＝１７倍数のピタゴラス数ネット

Ｘ －２ＸＹ＋（１１／５）Ｙ ＝２２１／２０２ ２

（２９／６）Ｘ －４ＸＹ＋Ｙ ＝２２１／２４２ ２

これも回転対称性がＡ＋Ｂと逆転している（図１

５ 。二つを重ねたもの（ Ａ －Ｂ ＝１７倍数）） | |２ ２

を図１６に示す。

図１５ Ａ－Ｂ＝１７倍数のピタゴラス数ネット

Ａ －Ｂ ＝１７倍数のピタゴラス数ネット図１６ | |２ ２

１３．参考文献

ピタゴラス数ネット 文芸社 山本文隆

ピタゴラス数ネット 数学文化２０１２

日本数学協会 山本文隆

フェルマーの定理偶数乗の試証 山本文隆

http://www.geocities.jp/fumitaka125/felma.pdf