fet_latex_2012_02_24

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Einfuhrung in FEM-Programme

Gerald Kress

20. Februar 2012

Zentrum fur Strukturtechnologien

Inhaltsverzeichnis

1 Ziele und Inhalte des Kurses 1

1.1 Ziele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Organisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2.1 Einteilung in Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.2 Testatbedingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.3 Inhalt und Gebrauch dieses Skripts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.4 Quellenangaben und Danksagung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Theoretische Grundlagen der FEM 5

2.1 Verschiebungsmethode und Energieprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Diskretisierung der Verschiebungslosung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3 Jacobitransformation mit isoparametrischen Elementen . . . . . . . . . . . . 7

2.4 Integration uber das Elementgebiet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.5 Integrationsfehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.6 Krummlinige Elemente und Geometrieapproximation . . . . . . . . . . . . . 9

2.7 Zusammenbau der Systemgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.8 Randbedingungen und Freiheitsgradverknupfung . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.9 Losung der Systemgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.10 Nachlaufrechnung und Sekundarlosung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.11 Elemente niedriger Komplexitat und Biegung . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.12 Sperreffekt des schubweichen Balkens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3 Strukturanalyse mit FEM 15

3.1 Wahl des Einheitensystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2 Erstellen des Geometriemodells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.3 Definition der Materialeigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.4 Vernetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.5 Spezifikation der Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.6 Losungsprozess definieren und starten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.7 Ergebnisse betrachten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4 Arbeiten mit ANSYS Classic 19

4.1 Starten des Programms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.2 Graphische Benutzeroberflache (GUI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.3 Bearbeiten eines Problems mit GUI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.3.1 Auswahl eines ebenen Finiten Elements . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.3.2 Materialdefinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.3.3 Gebietsgeometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

c© ETH Zurich IMES-ST, 24. Februar 2012

4.3.4 Vernetzung der Geometrie mit finiten Elementen . . . . . . . . . . . 27

4.3.5 Randbedingungen fur erzwungene Verlangerung . . . . . . . . . . . . 29

4.3.6 Starte Losungsprozess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.3.7 Erzeuge Plots zur Ergebnisdarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.4 Arbeiten mit APDL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.4.1 Grenzen des Arbeitens mit GUI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.4.2 DB Log File . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.4.3 APDL Befehle fur das Lochplattenproblem . . . . . . . . . . . . . . 33

4.4.4 APDL Befehle und ANSYS Help . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.4.5 Gestalten eines APDL Files . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5 Eigenschwingungen 39

5.1 Steuerung mit GUI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.1.1 Zuweisung einer Massedichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.1.2 Angaben zum Losungsprozess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.1.3 Ergebnisbetrachtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.2 Steuerung mit APDL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6 Beullastanalyse 43

6.1 Angaben zum Losungsprozess mit GUI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

6.1.1 Angaben zur Berechnung der geometrischen Steifigkeitsmatrix . . . 44

6.1.2 Angaben zur Losung des Eigenwertproblems . . . . . . . . . . . . . . 45

6.2 Betrachtung der Beullasten und Beulformen mit GUI . . . . . . . . . . . . . 46

6.3 Simulation der Eulerknickung mit APDL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

7 Balkenbiegung mit grossen Durchsenkungen 49

7.1 Angaben zum Losungsprozess mit GUI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

7.2 Betrachtung des nichtlinearen Verhaltens mit GUI . . . . . . . . . . . . . . 49

7.3 Steuerung mit APDL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

8 Kontaktproblem 53

8.1 Modellierung, Kontaktbedingungen, und Losung mit GUI . . . . . . . . . . 53

8.1.1 Auswahl von Finiten Elementen mit GUI . . . . . . . . . . . . . . . 53

8.1.2 Definition von Materialgesetzen mit GUI . . . . . . . . . . . . . . . 54

8.1.3 Erzeugung der Geometrie mit GUI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

8.1.4 Zuordnung der Attribute der Geoemtrien mit GUI . . . . . . . . . . 56

8.1.5 Vernetzung der kontaktierenden Flachen mit GUI . . . . . . . . . . 56

8.1.6 Definition der Kontakte mit GUI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

8.1.7 Randbedingungen spezifizieren mit GUI . . . . . . . . . . . . . . . . 58

8.1.8 Angaben zum Losungsprozess mit GUI . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

8.1.9 Betrachtung der Losung des Kontaktproblems mit GUI . . . . . . . 59

8.2 Modellierung, Kontaktbedingungen, und Losung mit APDL . . . . . . . . . 61

9 Ubungen 63

9.1 Testatubung Zugprobe: Netz und Rechenaufwand . . . . . . . . . . . . . . . 63

9.1.1 Lernziele der Testatubung Zugprobe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

9.1.2 Hinweise zur Durchfuhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

9.2 Ubung Kranausleger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

9.2.1 Umfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

9.2.2 Ziel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 679.2.3 Aufgabenstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 679.2.4 Guide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

9.3 Testatubung Eulerknickung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 759.4 Testatubung Kontaktproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Kapitel 1

Ziele und Inhalte des Kurses

Die Methode der finiten Elemente (FEM) zahlt zu den numerischen Verfahren zur Annahe-rung an die Losungen kontinuumsmechanischer Probleme. Ihr Alleinstellungsmerkmal istdie geometrische Unterteilung des Problemgebiets in Teilgebiete, welche nicht regelmassigsein muss. Damit gelingt die geometrische Approximation auch sehr komplexer Bautei-le und Strukturen sowie deren Belastung sowie die Ermittlung der strukturmechanischenAntworten. Deswegen, und wegen des hohen erreichbaren Automatisierungsgrades derAnalysen mittels der modernen Software, ist die FEM aus der Ingenieurspraxis nicht mehrwegzudenken.Sowohl die Weiterentwicklung der FEM als auch die Erforschung des Verhaltens neuartigerStrukturen mit ihrer Hilfe sind Gegenstand kreativer Hochschularbeit. Auch werden vieleStudenten die FEM im Rahmen ihrer Bachelor- Semester- oder Masterarbeiten verwenden.

1.1 Ziele

Verstandnis der FEM in Theorie und Anwendungspraxis zu erlangen ist ein grosses Unter-fangen. Dies kann nicht in einem Blockkurs von insgesamt sechzehn Stunden geschehen.Der Kurs legt es darauf an, dass Sie

• gedankliche Grundlagen der FEM in groben Umrissen kennenlernen

• einen ersten Einstieg in Strukturanalysen mit einem FEM-Programm finden

Es wird nicht von Ihnen verlangt, dass Sie aufgrund des Kurses

• die Methode der Finiten Elemente weitestgehend verstanden haben

• die hier verwendete Software beherrschen

Wenn Sie, vielleicht erst in einem Jahr, mit einem FEM-Programm arbeiten wollen, werdenSie den Inhalt dieses Kurses nicht mehr vollstandig prasent haben. Deswegen ist diesesSkript als Referenz angelegt, welche Ihnen den Wiedereinstieg und das Angehen konkreterStrukturanalyseprobleme ermoglichen wird.

1.2 Organisation

Es handelt sich um einen in der ersten Woche des Sommermesters stattfindenden Block-kurs. Er erstreckt sich uber die Werktage Dienstag bis Freitag jeweils von 13:00 bis 17:00


2 Ziele und Inhalte des Kurses

Uhr. Weitere Einzelheiten und aktuelle Informationen sind dem Vorlesungsverzeichnis zuentnehmen. Aktuelle Informationen, wie die Einteilung in Gruppen und das zur Bearbei-tung der Ubungen benotigte Material, sind unter folgendem Link zu finden:

http://www.structures.ethz.ch/education/bachelor/ingenieurtools/finiteelemente

1.2.1 Einteilung in Gruppen

Fur den Blockkurs ist in der ersten Semesterwoche ein Zeitrahmen von vier aufeinander-folgenden Nachmittagen zu jeweils vier Stunden vorgesehen. Der Kurs ist auf Eigenstu-

Zeit Dienstag, 21.2. Mittwoch, 22.2. Donnerstag, 23.2. Freitag, 24.2.

Ort HPH G3 HPH G3 HPH G3 HPH G1

Tabelle 1.1: Zeiten (jeweils 13-17 Uhr) und Horsale des Blockkurses 2012

dium angelegt. Deswegen mussen Sie nur an jeweils einem der vier Nachmittage zu einerEinfuhrung anwesend sein. Die Zuteilung erfolgt mit dem Anfangsbuchstaben Ihres Nach-namens. Die mit Semesterbeginn aktualisierte Gruppeneinteilung finden Sie auf der obenangegebenen Webseite. Die ubrigen zwolf Stunden werden zur selbstandigen Bearbeitungder Testatubungen eingesetzt.

1.2.2 Testatbedingung

Das Testat erhalt, wer die drei in den Abschnitten 9.1, 9.3 und 9.4 gestellten Ubungsaufga-ben bearbeitet und die Ergebnistabellen abgibt. Dafur steht das ganze Fruhjahrssemesterzur Verfugung. Die Ergebnisse konnen bei G. Kress per e-mail ([email protected]) oder aufPapier (ETHZ LEO C2, Leonhardstr. 27, 8092 Zurich) abgegeben werden.

1.2.3 Inhalt und Gebrauch dieses Skripts

Fur eine erfolgreiche Bearbeitung der Testatbedingungen hilft Ihnen vor allem Kapitel 4Arbeiten mit ANSYS Classic. Es vermittelt Ihnen die grundsatzliche Bedienung mittels dergraphischen Benutzeroberflache (GUI) und mittels der ANSYS Parametric Design Lan-guage (APDL). Das dort behandelte Beispiel der Lochplatte ist gleichzeitig Gegenstandder ersten Testatubung, siehe Abschnitt 9.1. Bei der zweiten Testatubung (Abschnitt 9.3)hilft Ihnen Kapitel 6 und die dritte Testatubung ist inhaltlich auf Kapitel 8 bezogen.Neben den fur die Bearbeitung der Testatubungen notwendigen Informationen bietet Ihnendas Skript mit Kapitel 2 eine Auswahl an skizzenhaften Darstellungen zur Theorie sowieeine ebenso spartanische Darstellung der einzelnen Teile einer Strukturanalyse mit FEMin Kapitel 3. Diese Informationen werden wichtig, sobald Sie Ihre eigenen Strukturana-lysen durchfuhren wollen und die richtige Verwendung der Software von einem gewissenTheorieverstandnis getragen werden muss.Kapitel 5 Eigenschwingungen und 7 Balkenbiegung mit grossen Durchsenkungen sowie diein Abschnitt 9.2 beschriebene Ubung Kranausleger sind Erganzungen, mit denen Sie sichbei Interesse gerne beschaftigen durfen und die Ihnen bei ahnlichen Aufgaben im RahmenIhres Studiums als Referenz dienen konnen.Vertiefte Kenntnisse der FEM erhalten Sie in den Vorlesungen 151-0361-00L: Struktur-analyse mit FEM sowie 151-0833-00L : Grundlagen der nichtlinearen Finite-Elemente


1.2 Organisation 3

Methoden.Von den vielen Textbuchern zur FEM-Methode wird eine kleine Auswahl gegeben: Zien-kiewicz and Taylor [1], Schwarz [2], Reddy [3, 4], Bathe [5], Desai und Abel [6], Oden [7]und Bathe und Wilson [8].

1.2.4 Quellenangaben und Danksagung

Kapitel 2 enthalt Material, welches im Jahre 2008 fur einen Vortrag im Rahmen desSymposiums Simulation von Werkzeugmaschinen zusammengestellt wurde. Einige derdort verwendeten Bilder wurden zuvor fur das Skript der von mir gehaltenen VorlesungStrukturanalyse mit FEM angefertigt.Die ausfuhrlich dargestellte Ubung Kranausleger in Abschnitt 9.2 wurde von damaligenDoktoranden gestaltet und weiterentwickelt, namlich O. Konig, M. Giger, R. Roos und D.Keller. Weitere Ubungen und Anleitungen fur die Arbeit mit ANSYS Classic wurden imJahre 2011 ausgearbeitet von T. Ponurovska, M. Winkler, B. Schlapfer und T. Delpero.

Zurich, 20. Februar 2012


4 Ziele und Inhalte des Kurses


Kapitel 2

Theoretische Grundlagen der FEM

Der Gedanke der Darstellung, mit der Bestimmung von Eigenschaften, eines gegebenenGebiets mittels einer Ansammlung von diskreten Elementen ist nicht erst mit der mo-dernen FEM entstanden. Bereits im Altertum berechneten Mathematiker den Wert derKreiszahl π bis auf etwa 40 Stellen genau aufgrund der Erkenntnis, dass die Lange eineseinem Kreis einbeschriebenen Polygons dessen Umfang annahert [9].

!

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Abbildung 2.1: Annaherung des Kreises durch Dreiecke und Kreiszahlberechnung

Auch im Flugzeugbau werden heute noch Tragflachen und Rumpfstrukturen als Zusam-mensetzungen von Rippen, Spanten und Schubfeldern behandelt. Die sogenannte Fach-werkmethode, von Hrenikoff 1941 eingefuhrt [10], stellt ein ebenes elastisches Medium alsAnsammlung von Staben und Balken dar. Der Begriff Finites Element wurde vielleicht1960 von R.W. Clough [11] gepragt.Die FEM ist eine numerische Naherungsmethode, welche auch dann genaue Losungenliefern kann, wenn die Komplexitat der Geometrie oder der Randbedingungen keine ana-lytische Losung zulasst - was in der Ingenieurspraxis fast immer zutrifft. Ihre praktischunbegrenzte geometrische Flexibilitat, in Verbindung mit den rasant gewachsenen Moglich-keiten der Computertechnik, erklaren Ihre heutige Bedeutung als ebenso selbstverstandlichwie unverzichtbar gewordenes Berechnungswerkzeug fur das Ingenieurswesen, aber auchfast alle anderen kontinuumsmechanisch behandelbaren Bereiche der Naturwissenschaft.


6 Theoretische Grundlagen der FEM

Die Methode umfasst die Schritte:

1. Diskretisierung des Gebiets mit finiten Elementen

2. Aufstellung von numerischen Elementgleichungen

3. Zusammensetzung der Elementgleichungen und Losung

4. Konvergenz und Fehlerabschatzung

Die Aufstellung der Elementgleichungen gelingt mit Extremalprinzipien wie dem Prinzipvom Minimum der potentiellen Energie. Ahnliche Gliederung zeigt sich auch im Ablaufeiner FEM-Berechnung:

1. Vorlaufrechnung (Modellierung, Randbedingungen, Aufbau der Gleichungen)

2. Hauptrechnung (Losen des numerischen Gleichungssystems)

3. Nachlaufrechnung (Zum Beispiel Berechnung und Darstellung der Spannungen)

2.1 Verschiebungsmethode und Energieprinzip

In der Festkorpermechanik sucht die FEM die Losung meistens in einem zulassigen Ver-schiebungsfeld u. Von einem zulassigen Verschiebungsfeld ausgehende Naherungslosungenenthalten im Allgemeinen lokale Verletzungen des Gleichgewichts und man findet sie, in-dem man die totale potentielle Energie Π eines Kontinuums mit Gebiet Ω und Rand Γ

Π = U −W =1

2

∫ΩεTσdΩ−

∫Ω

fTudΩ−∫

Γσ

σTudΓ−∫

Γσ

σT udΓ , (2.1)

welche sich aus der Deformationsenergie U und der Arbeit der ausseren Krafte W zu-sammensetzt, hinsichtlich der Verschiebungen u minimiert. Wenn man die Losung erst inden Verschiebungen sucht, und diese durch mit den diskreten Losungsparametern u ge-wichteten Ansatzfunktionen Φ in den einzelnen finiten Elementen angenahert wird, mussman die Spannungen mit dem Werkstoffgesetz durch die Dehnungen und diese mit denkinematischen Beziehungen durch die Verschiebungen ausdrucken. Da Π fur die besteWahl der Losungsparameter u den niedrigsten Wert annimmt, entsteht systematisch einnumerisches Gleichungssystem fur u, indem im Minimalpunkt die Ableitungen der totalenpotentiellen Energie nach den Verschiebungen verschwinden mussen:

δΠ(u,u′) =∂Π

∂u

∣∣∣u∗δu +

∂Π

∂u′

∣∣∣u∗δu′ = 0 (2.2)

In der Verschiebungsformulierung wird die wahre Steifigkeit der Struktur zu hoch abge-bildet. Jedoch verringert sich mit zunehmender Netzfeinheit der Abstand zwischen der zusteifen Naherung und der wahren Losung.

2.2 Diskretisierung der Verschiebungslosung

Ein einzelnes finites Element besitzt Gebiet, Rand und Knotenpunkte. Auf den Knotensind diskrete Verschiebungswerte u definiert, welche vorgegebene einfache FormfunktionenΦ uber das Elementgebiet wichten:

u = ΦT u δu = ΦT δu (2.3)


2.3 Jacobitransformation mit isoparametrischen Elementen 7

Abbildung 2.2: Formfunktionen eines bilienaren zweidimensionalen Elements

Solche Formfunktionen sind nur innerhalb des Elementgebiets in lokalen Koordinaten,im Beispiel in Abb. 2.2 ξ und η genannt, definiert. Die Ansatzfunktionen der meistenStandardelemente bestehen aus Polynomtermen. Diese mussen in der Regel vollstandigsein, namlich konstante Terme erlauben die verzerrungsfreie Starrkorperverschiebung undlineare Terme bilden konstante Dehnungs- und Spannungszustande ab und sorgen mitzunehmender Netzfeinheit auch fur Konvergenz gegen die wahre Losung. Stellt man dieVerschiebungs-Verzerrungsgleichungen mit einem Differentialoperator D und das Werk-stoffgesetz mit einer Matrix C dar,

ε = Du = Bu σ = Cε (2.4)

fuhrt das Prinzip des Minimums der totalen potentiellen Energie auf die Arbeitsgleichung

δuT

[Ne∑k=1

(∫Ωe

BTCBdΩ

)]u = δuT

[Ne∑k=1

(∫Ωe

ΦfdΩ +

∫Γe

ΦσdΓ

)](2.5)

Dabei erkennt man, dass das Integral uber das gesamte Gebiet Ω des zu analysierendenBauteils in die Summe der Beitrage aus den einzelnen Elementgebieten Ωe zerfallt. Diesogenannten virtuellen Verschiebungen δu sind allen Termen gemeinsam. Nach Ausklam-mern ergibt sich das Gleichungssystem:

Ku = r, K =

Ne∑k=1

(∫Ω

BTCBdΩ

), r =

Ne∑k=1

(∫Ω

ΦfdΩ +

∫Γ

ΦσdΓ

). (2.6)

Steifigkeitsmatrix Ke und Lastvektor re eines einzelnen finiten Elements berechnet manmit:

Ke =

∫Ωe

BTCBdΩ re =

∫Ωe

ΦfdΩ +

∫Γe

ΦσdΓ . (2.7)

2.3 Jacobitransformation mit isoparametrischen Elementen

In der Arbeitsgleichung werden Ableitungen der Verschiebungskomponenten nach den glo-balen Kordinaten x und y gefordert wahrend die Elementansatzfunktionen in den lokalenElementkoordinaten ξ und η definiert sind. Eine fur ein automatisches Berechnungspro-gramm geeignetes Schema stellt die Verschiebungsableitungen nach den Referenzkoordi-naten mittels der normierten lokalen Elementkoordinaten dar. Dies gelingt bei isoparame-trischen Elementen, deren Geometrie mit den gleichen Funktionen parametrisiert ist wie



Abbildung 2.3: Normiertes Referenzelement und im Netz vorliegendes Element

die unbekannte Verschiebungslosung,

x = ΦT x y = ΦT y (2.8)

elegant, indem man zunachst die inneren Ableitungen notiert:

u,x = u,ξ ξ,x +u,η η,x (2.9)

und dann wegen der Isoparametrie (2.8) erkennt, dass man mit der Inversen J−1 derJacobi-Matrix J die benotigten Transformationsfaktoren erhalt.

J =

[x,ξ y,ξx,η y,η

], J−1 =

[ξ,x η,xξ,y η,y

](2.10)

2.4 Integration uber das Elementgebiet

Die Integration der Elementsteifigkeitsmatrix erfolgt in der Regel mit einem numerischenSchema wie, etwa bei zweidimensionalen Elementen, der Gaussquadratur. Diese findet denWert des Integrals von Polynomen, indem sie an festgelegten Stutzpunkten innerhalb desnormierten Elementgebiets die Funktionswerte berechnet, wichtet und zusammenzahlt:∫ 1

−1F (ξ)dξ =

NGP∑i=1

wiF (ξi) (2.11)

Die Integration ist fur beliebige Polynome exakt, wenn nur genugend viele Stutzstellen,oder Gausspunkte, gewahlt werden. Die Integration uber zwei Richtungen wird zur Sum-mation uber alle Gausspunkte im zweidimensional Gebiet, wie es Abb 2.4 andeutet.

2.5 Integrationsfehler

Integrationsfehler konnen dann entstehen, wenn die Anzahl der Gausspunkte kleiner ist alsfur den Polynomgrad erforderlich, oder wenn der Integrand andere Funktionen als Polyno-me enthalt. Tatsachlich entstehen solche anderen Funktionen, namlich gebrochen rationaleFunktionen, bei Elementverzerrung. Die Ursache liegt darin, dass die Eintrage der Jaco-bimatrix nur bei bestimmten Elementformen (Viereck: Parallelepiped) ortsunabhangigeKonstanten sind. Oft haben die Elemente andere Gestalt und dann gelangen bei derInversion Polynome in den Nenner, sodass insgesamt gebrochen rationale Funktionen ent-stehen. Bei kleinen Elementverzerrungen mogen die Integrationsfehler vernachlassigbarsein, grosse Elementverzerrungen sollten jedoch vermieden werden. Oft wird vor extremenLangen-Seitenverhaltnissen (aspect ratio) gewarnt. Man uberzeugt sich jedoch leicht, dassdiese an sich keine Integrationsfehler erzeugen.


2.6 Krummlinige Elemente und Geometrieapproximation 9

Abbildung 2.4: Gausspunkte in zweidimensionalen Elementen

Abbildung 2.5: Verzerrte bilineare finite Elemente

2.6 Krummlinige Elemente und Geometrieapproximation

Die Rander von Elementen mit Ansatzfunktionen hoherer Ordnung konnen im globalenKoordinatensystem gekrummt sein. Abb. 2.6 demonstriert wie gut sich solche krummli-

Abbildung 2.6: Geometrieapproximation mit linearen (gelb) und quadratischen Elementen

nigen Elemente zur Abbildung gekrummter Gebietsrander eignen. Krummlinige Elementeeignen sich grundsatzlich auch gut zur Approximation der Spannungen, wenn diese sichstark ortlich andern. Jedoch gilt es die Starke der hoherwertigen Elemente gegen denhoheren numerischen Aufwand abzuwiegen. Abb. 2.7 weist insgesamt einen achtfachhoheren Aufwand fr die Erstellung der Steifigkeitsmatrix fur das Element mit 8 Knoten,



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( $

) $ *

Abbildung 2.7: Berechnungsaufwand bei 2D Elementen mit 4 und 8 Knoten

bezogen auf das Element mit 4 Knoten, aus.

2.7 Zusammenbau der Systemgleichungen

Bei der Addition der Elementgleichungen gemass Gleichung 2.6 auf Seite 7 muss der Zu-sammenhang des einzelnen Elementes mit den global numerierten Knoten des Systemsbeachtet werden. Zum Beispiel bestimmt die Koinzidenztafel, mit welchen globalen Sy-stemknoten die lokalen Elementknoten zusammenfallen. Die Anordnung der Knotennum-mern des Netzes bestimmt die Besetzungsstruktur der Steifigkeitsmatrix. Diese ist beilinear elastischen Problemen symmetrisch und die von Null verschiedenen Eintrage lie-gen innerhalb eines Bandes. Fur die Losungseffizienz wunscht man sich eine moglichstkleine Bandweite. Der Nutzer von Anwenderprogrammen profitiert in der Regel, ohne eszu bemerken, von einem automatisch arbeitenden Bandweitenoptimierer (oder Profilopti-mierer), der die Knotennummerierung fur eine moglichst gunstige Besetzungsstruktur derSystemmatrix optimiert. In Verbindung mit dem geeigneten Speichermodus ergeben sichbesonders bei grossen Systemen drastische Einsparungen an Speicherplatz und Rechen-zeit. Abb. 2.8 zeigt eine Struktur mit Einteilung in finite Elemente und Numerierung der

Abbildung 2.8: Illustration zu Koinzidenz und Matrixstruktur

Knoten und deutet an, wie die Elementmatrizen in die Systemmatrix eingeordnet werden.


2.8 Randbedingungen und Freiheitsgradverknupfung 11

2.8 Randbedingungen und Freiheitsgradverknupfung

Das soeben erstellte Gleichungssystem ist zunachst wegen der Singularitat der Steifigkeits-matrix nicht losbar. Die Singularitat ist mathematisch in ihrer Entstehung aus dyadischenProdukten, siehe (2.6), begrundet. In der mechanische Deutung kann der nicht gelager-te Korper energiefreie Starrkorperbewegungen ausfuhren. Deswegen mussen geometrischeRandbedingungen, die mindestens einer statisch bestimmten Lagerung entsprechen, ge-setzt werden. Daruber hinaus darf das elastische System durchaus statisch uberbestimmtsein. Die geometrischen Randbedingungen legen die Werte der Primarlosung fest; in derStrukturanalyse sind dies in der Regel die Verschiebungen. In der Form mit Zwangs-matrizen (constraining matrizes) lassen sich sowohl die geometrischen Randbedingungenwie auch beliebige lineare Beziehungen zwischen den Freiheitsgraden (Freiheitsgradver-knupfungen, constraints) beschreiben:

u = Cu∗ + u (2.12)

Der Vektor aller Freiheitsgrade u wird mit Hilfe der Zwangsmatrix C durch die geringe-re Zahl der wirklich unabhangigen Freiheitsgrade u∗ dargestellt und der mit dem Dachgekennzeichnete Vektor u enthalt die Werte der vorgeschriebenen und von Null verschie-denen Verschiebungen. Wegen der Arbeitsgleichung (2.5) erhalt man das verkleinerteGleichungssystem

CTKCu∗ = CT r−CTKu (2.13)

2.9 Losung der Systemgleichungen

Die Losung der Systemgleichungen erfolgt mit direkten oder iterativen Methoden. Die

Abbildung 2.9: Direkte Losung und Methode der konjugierten Gradienten

direkten Methoden beruhen auf dem Prinzip der Dreieckszerlegung und eignen sich biszu einer gewissen Systemgrosse, wobei eine geringe Bandweite (oder ein geringes Profil)gunstig ist, denn diese geht quadratisch in den Berechnungsaufwand ein. Bei sehr grossenSystemen, und um sehr mehr bei grosser Bandweite, wird das Verfahren der konjugiertenGradienten gunstiger. Es minimiert, wie ein Optimierungsalgorithmus, die totale poten-tielle Energie. Die fur garantierte exakte Losung benotigte Anzahl der Iterationen gleichtder Zahl der Unbekannten. Gute Startwerte und vor allem eine gunstige Konditionierungder Systemmatrix konnen begunstigen, dass in einer wesentlich kleineren Zahl von Ite-rationen sehr gute Naherung an die exakte Losung vorliegt. So kann die Methode der



konjugierten Gradienten bereits bei eher kleinen Systemen schneller sein, wenn es um se-quentielle Prozesse wie zum Beispiel Simulation einer Schadensfortschrittsrechnung geht[12].

2.10 Nachlaufrechnung und Sekundarlosung

Grundsatzlich erhalt man gemass Gleichung 2.4 auf Seite 7 die Spannungen mit dem Werk-stoffgesetz aus den Dehnungen und die letzteren mit den kinematischen Beziehungen ausden Verschiebungen, deren Freiheitsgrade mit der Losung der Systemgleichungen vorlie-gen. Die Ansatzfunktionen eines finiten Elementes konnen in der Regel die wahre Losungnur annahern. Barlow [13] identifiziert Punkte, an denen die Dehnungen nach FEM ambesten mit einer angenommen wahren Losung ubereinstimmen. Diese ist ebenfalls einePolynomfunktion, welche um eine Ordnung komplexer ist als der Ansatz des Elements.Nun fordert er, dass angenommene Losung und Approximation an den Knotenpunktenubereinstimmen und stellt dann die Frage, an welchen Punkten die Ortsableitungen bei-der gleiche Ortsableitungen haben. Dies ist an Gausspunkten der Fall, weswegen dieSekundarlosung grundsatzlich dort ausgewertet wird. Es muss kritisch betrachtet werden,

Abbildung 2.10: Illustration zu Barlow’s Ansatz

unter welchen Umstanden eine Extrapolation auf Knotenpunkte, mit anschliessender Mit-telung der Beitrage aller an den jewiligen Knoten anschliessender Elemente, sinnvoll oderauch nur richtig sein kann.

2.11 Elemente niedriger Komplexitat und Biegung

Betrachtet man ein Biegeproblem wie in Abb. 2.11 dargestellt, so liefern Drei- und

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Abbildung 2.11: Ergebnisse unterschiedlicher FEM-Modelle zu einem Biegeproblem


2.12 Sperreffekt des schubweichen Balkens 13

Viereckselemente ganz unterschiedliche Ergebnisse. Offensichtlich liefert das Dreiecks-element trotz hoher Netzfeinheit ein viel zu steifes Strukturmodell. Den Grund findetman in den unterschiedlichen Ansatzfunktionen beider Elementtypen, welche in Abb. 2.12zusammengefasst sind: das Dreieckselement bildet nur konstante Spannungen ab, der bi-

Abbildung 2.12: Ergebnisse unterschiedlicher FEM-Modelle zu einem Biegeproblem

lineare Term in den Ansatzfunktionen des Viereckelements enthalt die Darstellung derlinear veteilten Biegespannung durch die Dicke hindurch.

2.12 Sperreffekt des schubweichen Balkens

Das Energiefunktional des schubweichen Balkens enthalt Biege- und Schubverzerrungsde-formationsenergien:

Π =1

2

(∫ΩEI(β)2dx+

∫ΩGAS(w′ + β)2dx

)−∫

Ωwqdx− wQ

∣∣∣Γ

+ w′M∣∣∣Γ

(2.14)

Die Differenz zwischen der Querschnittsverdrehung β und der Ableitung der Biegelinie w′

ist der Schubwinkel γ: die Querschnitte bleiben nach Theorie erster Ordnung zwar eben,stehen jedoch nicht mehr senkrecht auf der Mittellinie.

Abbildung 2.13: Biege- und Schubdeformationen des Balkens

Die Diskretisierung liefert eine Steifigkeitsmatrix mit Anteilen fur Biegung und Schub:

K = KB + S = EIK∗B +GASK∗S = EI (K∗B + αK∗S) , α =GASEI

(2.15)



Das Element eignet sich grundsatzlich dafur, den Einfluss von Schub bei gedrungenen Bal-ken zu erfassen. Verwendet man es jedoch zur Abbildung von dunnen Balken, bei denender Schubeinfluss vernachlssigbar ist, liefert das schubweiche Balkenelement vollkommenfalsche Aussagen. Die Biegesteifigkeit EI nimmt mit kleiner werdender Balkendicke schnel-ler ab als die Schubsteifigkeit GAS und im Limit erhalt man α → ∞. Damit dominiert,im Gegensatz zur Realitat, die Schubsteifigkeit und das Element sperrt:

K∗Su =r

α(2.16)

Den Sperreffekt beseitigt man zum Beispiel durch unvollstandige Integration der Schub-steifigkeitsmatrix, welche dadurch einen niedrigeren Rang erhalt und selbst nach Einarbei-tung der geometrischen Randbedingungen singular verbleibt. Dann dominiert bei dunnenBalken die Biegesteifigkeit, was auch der Realitat entspricht.


Kapitel 3

Strukturanalyse mit FEM

Das in Abb. 3.1 dargestellte Ablaufschema einer typischen Strukturanalyse mit FEM ent-

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Abbildung 3.1: Ablaufschema einer Strukturanalyse mit FEM

spricht in der Reihenfolge der eizelnen Schritte weitestgehend der in Kapitel 2 gegebenenTheoriedarstellung. Auch die in den Kapiteln 4 bis 8 vorgefuhrten Berechnungsbeispielefolgen dem Schema. Man erkennt es auch in der Gestaltung der Programmbenutzerober-flache (graphical user interface GUI) von FEM-Software wieder; bei ANSYS Classic ist esdie Grobstruktur des Main Menu. Dies erleichtert dem Anwender mit Theoriehintergrundden Einstieg in die Bedienung solcher Programme.

3.1 Wahl des Einheitensystems

FEM-Programme sind neutral bezuglich der Wahl der Einheiten, denn sie verarbeitennur Zahlenwerte. Diese mussen jedoch konsistent mit einem gewahlten Einheitensystemsein. Tabelle 3.1 zeigt Einheiten im SI-System (m-k-s) und die Umrechnungen fur cmund mm. Im SI-System ergibt sich die Einheit der Kraft aus Newton’s Tragheitsgesetz,f = m · a, wird deswegen Newton genannt und mit N abgekurzt. Fur Strukturanalysenmuss die Massendichte auf die Einheiten der Lange, der Kraft und der Zeit umgerechnetwerden. Im SI-System ist der Umrechnungsfaktor gleich Eins. Bei Verwendung anderer


16 Strukturanalyse mit FEM

Lange Spannung, E-Modul Dichte in kgm3 Dichte in g

m3

Umrechnung Umrechnung Faktor Umrechnung Faktor

m Nm2 = Pa Ns2

m4 1 Ns2

m4 103

cm Nmm2 = 10−2MPa Ns2

cm4 10−08 Ns2

cm4 10−5

mm Nmm2 = MPa Ns2

mm4 10−12 Ns2

mm4 10−9

Tabelle 3.1: Einheitssysteme und Umrechnungsfaktoren (Kraft in N und Zeit in s)

Langen- oder Masseneinheiten muss die Massendichte gemass der Tabelle umgerechnetwerden. Ist die Massendichte in SI-Einheiten gegeben, gelten die Umrechnungsfaktorenin der dritten Spalte. Bei der weit verbreiteten Angabe in Gramm pro Kubikzentimetergelten die Faktoren in der rechten Spalte. Die korrekte Umrechnung garantiert, dassEigenfrequenzen betragsrichtig in der Einheit Hertz berechnet werden.

3.2 Erstellen des Geometriemodells

Geometriemodelle werden in der gegenwartigen Ingenieurspraxis meist mithilfe vonComputer-Aided Design (CAD) Programmen erstellt und von FEM-Programmen impor-tiert. Daneben bieten viele FEM-Programme, z.B. ANSYS Classic, eigene Funktionen zurGeometrieerstellung.Sogenannte Strukturelemente wie Stab, Balken, Platte oder Schale weisen gegenuber dervon uns als dreidimensional wahrgenommen materiellen Welt eine reduzierte Anzahl vonDimensionen auf. Zum Beispiel wird der gerade Stab eindimensional als die mit seinenEndpunkten definierte Strecke beschrieben. Die Integration uber die beiden anderen voneinem realen Stab beanspruchten Richtungen des Raumes spiegelt sich im Strukturelementim Inhalt seiner Querschnittsflache wider. Auch die anderen Strukturelemente benotigensolche Real Constants genannten Querschnittswerte als Kompensation fur den Verzichtauf Raumdimensionen in der Geometriedarstellung.

3.3 Definition der Materialeigenschaften

Gegenwartige Programme bieten eine Auswahl an Materialmodellen an, die vom Hoo-ke’schen Gesetz fur isotrope Materialien bis zu komplexen nichtlinearen Modellen fur gros-sen Deformationen und Zeitabhangigkeit reichen.Den einzelnen Komponenten des Geometriemodells mussen die zuvor definierten Materi-aldaten explizit zugewiesen werden.

3.4 Vernetzung

Die Einteilung des Problemgebiets in Teilgebiete, namlich die finiten Elemente, nennt manVernetzung. Vor diesem Schritt mussen die in dem Modell zu verwendenden Elementtypenausgewahlt werden. Bei aus mehreren Bauteilen zusammengesetzten Strukturen mussendie Teile der Geometrie mit Materialgesetzen und Elementtypen assoziiert werden. Da-nach erfolgt die Vernetzung automatisch, obwohl der Benutzer die Netzfeinheit und andere


3.5 Spezifikation der Randbedingungen 17

Abbildung 3.2: Elementtypen

Eigenschaften durch Setzen von Parametern beeinflussen kann.Die Netzfeinheit hat Einfluss auf Ergebnisgenauigkeit und Berechnungszeit bzw. -kosten.Ein sehr grobes Netz mag vielleicht die Verschiebungen noch gut abschatzen; die Dehnun-gen und Spannungen werden dann jedoch mit viel zu tiefen Maximal- oder Minimalwertenberechnet. Ab einer gewissen Netzfeinheit sind die Ergebnisse fur praktische Bedurfnissegenugend genau und jede weitere Steigerung der Netzfeinheit bedeutet dann einen unge-rechtfertigten Aufwand. Bei direkten Losungsmethoden ist bei Verdoppelung der Anzahlder Elemente, oder der Knotenpunkte, eine Verachtfachung der Berechnungszeit zu erwar-ten. Deswegen empfiehlt es sich, erste Rechnungen mit einem groben Netz durchzufuhrenund die Ergebnisse Plausibilitatsbetrachtungen zu unterwerfen. Eine weitere Netzverfei-nerung sollte mit Konvergenzbetrachtungen verbunden werden.

3.5 Spezifikation der Randbedingungen

Lasten wie z.B. Einzelkrafte oder aussere Spannungen zahlen zu den naturlichen (oderkinetischen) Randbedingungen. Verschiebungen oder Verdrehungen werden geometrische(oder wesentliche, oder kinematische) Randbedingungen genannt. Beide Typen von Rand-bedingungen konnen nicht gleichzeitig auf identischen Teilen des Randes vorgeschriebenwerden. Mit geometrischen Randbedingungen muss im Falle von statischen Problemeneine mindestens statisch bestimmte Lagerung modelliert werden. Belastungen, welche


18 Strukturanalyse mit FEM

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Abbildung 3.3: Randbedingungen

zu Materialverzerrungen und Spannungen fuhren, konnen dann mittels naturlicher Rand-bedingungen oder auch weiterer geometrischer Randbedingungen, namlich erzwungenerVerschiebungen, aufgebracht werden.Man beachte, dass Belastungen durch Massenkrafte (Eigengewicht, Tragheit) nicht zu denRandbedingungen zahlen.

3.6 Losungsprozess definieren und starten

Es sind die Parameter des Losungsprozesses, welche daruber entscheiden, ob z.B. eine li-neare oder nichtlineare statische oder eine Eigenwertberechnung ausgefuhrt werden. Auchdie Losungsmethode, etwa direkte Losungs mit dreieckszerlegung der Steifigkeitsmatrixoder iterative Losung mittels der methode der konjugierten Gradienten, kann vereinbartwerden. Das Ergebnis einer statischen Berechnung wird Primarlosung genannt - im Falleeiner statischen Berechnung eines problems der Festkorpermechanik nach der Verschie-bungsmethode liegt sie in Form der Verschiebungen aller Knotenpunkte des Netzes vor.

3.7 Ergebnisse betrachten

Neben der Primarlosung liefert ein kommerzielles FEM-Programm auch alle moglichenDehnungs- und Spannungskomponenten. Die letzteren werden in der Nachlaufrechnung er-mittelt, indem elementweise die Kontenverschiebungen mit den Ansatzfunktionen und derjeweiligen Elementgeometrie zur Berechnung von Dehnungen verarbeitet werden. Schlies-slich werden die Materialgesetze zur Berechnung der Spannungen aus den Dehnungen her-angezogen. Die graphischen Darstellungen der Programme zeigen die deformierte Strukturund verwenden Falschfarbendarstellungen zur Visualisierung der Verteilungen von Kom-ponenten der Verschiebungen, der Dehnungen, oder der Spannungen. Die Skalierung derFalschfarben ermoglicht meist das Ablesen von minimalen und maximalen Werten derentsprechenden Verteilungen.


Kapitel 4

Arbeiten mit ANSYS Classic

Das Berechnungsprogramm ANSYS bietet die Moglichkeit, mit der graphischen Benut-zeroberflache (GUI) zu arbeiten oder eine Textdatei mit APDL-Kommandos zu erstellenund einlesen zu lassen. Fur den Anfanger mit ersten Theoriekenntnissen ist der Einstieguber GUI intuitiver, der erfahrene Benutzer wird, vor allem bei komplexeren Modellenund Berechnungsablaufen, eher mit APDL arbeiten. Beim Arbeiten mit dem GUI legtANSYS automatisch ein Protokoll der einzelnen Schritte an, in welchem man diejenigenAPDL-Befehle findet, welche den durchgefuhrten Operationen entsprechen. Dies ist einWeg, um APDL-Befehle zu finden und die Programmsteuerung mit APDL zu erlernen.Das Hilfsmenu erklart die Syntax und die Parameter der APDL-Befehle im Detail.Die folgenden Abschnitte erklaren das Starten des Programms, Grundzuge der Bedienungmittels GUI anhand eines Beispiels und den Ubergang auf die entsprechende Folge vonAPDL-Befehlen.


20 Arbeiten mit ANSYS Classic

4.1 Starten des Programms

Das Starten des Programms erfolgt mit den Schritten:

• Klick auf Start

• Klick auf Alle Programme

• Klick auf ANSYS 13.0

• Klick auf Mechanical APDL Product Launcher

Danach erscheint das in Abb. 4.1 gezeigte Menu. Zunachst mussen die ebenfalls in der

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Abbildung 4.1: Mechanical APDL Product Launcher

Abbildung gezeigten Eintrage vorgenommen werden und dann wird ANSYS mit Anklickenvon RUN gestartet.


4.2 Graphische Benutzeroberflache (GUI) 21

4.2 Graphische Benutzeroberflache (GUI)

Nach Starten des Programms erscheint die Benutzeroberflache mit Bedienelementen. Derin Abb. 4.2 gezeigte Ausschnitt aus der graphischen Benutzeroberflache enthalt deren

Abbildung 4.2: ANSYS Bedienelemente

wichtigsten Bedienelemente mit den Pull-Down Menus der Kopfzeile, siehe Abb. 4.3, und

Abbildung 4.3: Pull-Down Menus der Kopfzeile

des Hauptmenus. Dessen Punkte Preprocessor, Solution und Postproc spiegeln den inKapitel 3 Ablauf einer Strukturanalyse mit FEM wider. Die Pull-Down menus dieserPunkte sind in Abb. 4.4 dargestellt.



Abbildung 4.4: Pull-Down Menus des Hauptmenus

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Abbildung 4.5: Preprocessor Menu


4.2 Graphische Benutzeroberflache (GUI) 23

Abbildung 4.6: Solution Menu



Abbildung 4.7: Postprocessor Menu


4.3 Bearbeiten eines Problems mit GUI 25

4.3 Bearbeiten eines Problems mit GUI

4.3.1 Auswahl eines ebenen Finiten Elements

Das Anklicken der Menpunkte

• Preprocessor → Element Type → Add/Edit/Delete

offnet ein Bearbeitungsfenster. Dort wahlt man

• Add → Solid → Quad 4node 182 → OK

Der letzte Klick fuhrt zuruck in das ursprungliche Fenster. Es verbleibt, die richtigen Ele-mentoptionen zu setzen, in diesem Fall soll das Element einen ebenen Spannungszustandsimulieren:

• Options → Plane Stress → OK → Close

Diese Auswahl spielen wir nur der Form halber bzw. aus didaktischen Grunden durch,denn der ebene Spannungszustand ist vom Programm ohnehin vorgewahlt.

Abbildung 4.8: Wahl eines ebenen Elements fur ebenen Spannungszustand

4.3.2 Materialdefinition

Das Anklicken der Menpunkte

• Preprocessor → Material Props → Material Models

offnet ein Bearbeitungsfenster zur Auswahl von Materialmodellen. Dort wahlt man einlineares Material mit den Eigenschaften von Aluminium mit

• Structural → Linear → Elastic → Isotropic → EX: 70000, PRXY: 0.3 → OK



Abbildung 4.9: Definition eines linear-elastischen Materialmodells

4.3.3 Gebietsgeometrie

Die Lochplatte hat die Gestalt eines Rechtecks mit kreisrundem Ausschnitt. Wir erzeugenzunachst das Rechteck und einen Kreis. Mit einer logischen Operation entsteht die Loch-platte durch Subtraction des Kreises vom Rechteck. Unter den existieren Moglichkeitenzur Erzeugung eines Rechtecks wahlen wir den Bottom-Up Approach, indem wir zunachstdie Eckpunkte mit sogenannten Keypoints setzen. Die Eckpunkte definieren dann dasRechteck. Die Folge von Klicks

• Preprocessor → Modeling → Create → Keypoints → In Active CS

offnet ein Bearbeitungsfenster zum Setzen der Keypoints im aktiven Koordinatensystem(CS ). Dort setzen wir nacheinander die vier Punkte

• 1 → x = −100 → y = −50 → z = 0 → Apply

• 2 → x = 100 → y = −50 → z = 0 → Apply

• 3 → x = 100 → y = 50 → z = 0 → Apply

• 4 → x = −100 → y = 50 → z = 0 → OK

Abbildung 4.10: Setzen von Keypoints

Mit den soeben erzeugten Keypoints wird das Rechteck erzeugt.



Zunachst eroffnet man ein Bearbeitungsfenster mit der Folge von Klicks,

• Preprocessor → Modeling → Create → Areas → Arbitrary → through Keypoints

setzt dort wie in Abb 4.11 dargestellt die Nummern der Keypoints (1,2,3,4) ein, undschliesst das Bearbeitungsfenster mit OK.Ein Bearbeitungsfenster zur Erzeugung des Kreises erreicht man mit der Folge von Klicks

• Preprocessor → Modeling → Create → Areas → Circle → Solid Circle

Dort setzt man die in Abb. 4.11 ersichtlichen Eintrage WPX : 0, WPY : 0, RADIUS : 20

Abbildung 4.11: Bearbeitungsfenster fur beliebige Flachen und Kreise

und schliesst das Fenster mit OK.Das Bearbeitungsfenster fur die hier erforderliche logische Operation erreicht man mit derFolge von Klicks:

• Preprocessor → Modeling → Operate → Booleans → Subtract → Areas

Dort wahlt man zunachst die Flache des Rechtecks aus. Da es vor dem Kreis erzeugtwurde, tragt es die Nummer eins und man setzt diese Zahl ein und klickt auf Apply.Damit offnet sich das Fenster wieder, man setzt nun mit 2 die Flache des Kreises ein undschliesst mit OK. Das Programm fuhrt die logische Operation durch und erzeugt damitdas Rechteck mit Loch.

4.3.4 Vernetzung der Geometrie mit finiten Elementen

Die finiten Elemente approximieren die Geometrie des Problemgebietes. Das Netz derzusammenhangenden finiten Elemente wird von modernen Berechnungsprogrammen au-tomatisch erzeugt (Netzgenerator).Da die finiten Elemente auch die Materialeigenschaften des Problemgebietes abbilden sol-len, mussen der Geometrie der Elementtyp, das Material und, im Falle von sogenanntenStrukturelementen, auch Dicken und andere Querschnittswerte (Real Constant Set zuge-ordnet werden. Auch dies geschieht bei dem vorliegenden Problem per Grundeinstellung.Aus didaktischen Grunden wird die manuelle Zuordnung der Elementattribute gezeigt.Man erreicht das Bearbeitungsfenster mit der Folge von Klicks:



Abbildung 4.12: Bearbeitungsfenster fur Subtraktion von Flachen

• Preprocessor → Meshing → Mesh Attributes → Default Attributes

Das Fenster zeigt die Grundeinstellung, welche man mit OK bestatigt. Bei einem ebenenProblem gibt es keine Querschnittswerte.Die Feinheit des automatisch erzeugten Netzes von finiten Elementen kann vom Benutzergesteuert werden. Zu einem Bearbeitungsfenster zur globalen Vorwahl der Elementgrossegelangt man mit der Folge von Klicks:

• Preprocessor → Meshing → Size Cntrls → Manual Size → Global → Size

Abbildung 4.13: Bearbeitungsfenster zum Vernetzen und seiner Vorbereitung

Schliesslich started man das Bearbeitungsfenster zum Starten des Netzgenerators mit derFolge von Klicks

• Preprocessor → Meshing → Mesh → Areas → Free

Dort waltman per Klick die im Darstellungsfenster sichtbare Flache und bestatigt mitOK.



4.3.5 Randbedingungen fur erzwungene Verlangerung

Die im Folgenden beschriebene Art der Lastaufbringung modelliert wohl am besten dieVerhaltnisse an einer Zugprobe in einer weggesteuerten Prufmaschine. Dabei werdendie Enden der Probe in Spannbacken eingesetzt. Diese verhindern eine Dehnung in derQuerrichtung innerhalb der Probenebene und sorgen gleichzeitig dafur, dass die Linienx = const gerade bleiben. Die Rander x = ±100 unseres Modells betrachten wir alsan den Kanten der Spannbacken liegend. Wenn wir die erzwungenen Verschiebungen sowahlen, dass beide belastete Rander um jeweils den gleichen Betrag in entgegengesetzteRichtungen verschoben werden, bleibt die deformierte Konfiguration zentrisch zum Punktx = y = 0. Wir wahlen den Rand bei x = ±−100 als eingespannt und realisieren dies imModell mit sogenannten homogenen geometrischen Randbedingung ux = 0 und uy = −1.Ein Bearbeitungsfenster zum Setzen dieser erreichen wir mit:

• Preprocessor → Loads → Define Loads → Apply → Structural → Displacements →On Lines

Das Anklicken der Linie bei x = −100 und betatigen von apply offnet und ein weiteresBearbeitungsfenster. Dort wahlt man: Danach erscheint dasselbe Fenster wieder und gibt

Lab 2 DOFs to be constrained UXApply as constant valueVALUE Displacement value -1Betatige die APPLY Taste

die Gelegenheit, die Verschiebungen in Querrichtung zu sperren: Das Fenster schliesst

Lab 2 DOFs to be constrained UYApply as constant valueVALUE Displacement value 0Betatige die OK Taste

sich und man kann nun die andere Linie bei x = 100 anklicken und dort die entspre-chenden Randbedingungen setzen: Danach erscheint dasselbe Fenster wieder und gibt die

Lab 2 DOFs to be constrained UXApply as constant valueVALUE Displacement value 1Betatige die APPLY Taste

Gelegenheit, die Verschiebungen in Querrichtung zu sperren: Das zweite Fenster schliesst

Lab 2 DOFs to be constrained UYApply as constant valueVALUE Displacement value 0Betatige die OK Taste

sich und das erste wird ebenfalls mit Betatigen von OK verlassen.



Abbildung 4.14: Auswahl von Linien und Spezifikation von Verschiebungsrandbedingun-gen

4.3.6 Starte Losungsprozess

Es handelt sich um ein lineares Problem, welches in ANSYS als Standard angeboten wird.Nach der Folge von Klicks

• Solution → Solve → Current Load Set → OK

und einer recht kurzen Berechnungszeit erscheint ein Fenster Solution is done.

Abbildung 4.15: Bearbeitungsfenster beim Starten des Losungsprozesses



4.3.7 Erzeuge Plots zur Ergebnisdarstellung

Zunachst fuhrt die Folge von Klicks

• General PostProc → Plot Results → Contour Plots → Nodal Solution

auf ein Bearbeitungsfenster, welches verschiedene Losungen anbietet. Zum Beispiel be-

Abbildung 4.16: Bearbeitungsfenster zur Darstellung von Losungsfeldern mit Plots

trachten wir mit DOF Solution die Verschiebungslosung und wahlen dort die Kompo-nenente in der Belastungsrichtung x. Zusatzlich erlaubt das Fenster noch die Einstellung:Undisplaced shape key: Deformed shape with undeformed edges. Der Plot wurde exportiert

Abbildung 4.17: Plot des Verschiebungsfelds UX und Bearbeitungsfenster fur Erzeugungvon Bilddateien

mittels des Bearbeitungsfensters

• Kopfzeile: PlotCtrs → Hardcopy → to File



4.4 Arbeiten mit APDL

4.4.1 Grenzen des Arbeitens mit GUI

Zu den Vorteilen des Arbeitens mit GUI zahlen, dass der mit einem gewissen Theorie-verstandnis ausgestatte Anfanger sich bei der Strukturanalyse intuitiv vortasten kann undauch, dass sehr einfache Probleme bequem und schnell bearbeitet werden konnen. Nach-teile des Arbeitens mit GUI sind, dass komplexe Modelle umstandliche Arbeit mit vielenFehlermoglichkeiten bedeuten, und Fehler lassen sich nicht mit einem UNDO Mechanismusbeheben. Anspruchsvollere Fahigkeiten des Programms lassen sich nicht mehr bequem mitdem GUI nutzen. Vor allem bietet das GUI nicht die Moglichkeit, parameterisierte Mo-delle zu erstellen.Die Alternative fur anspruchsvolle Strukturanalysen liegt in der Programmierung derStrukturanalyse mittels der ANSYS Parametric Design Language (APDL).Beim Einstieg in APDL hilft das von ANSYS erzeugte LOG File, welches man mit derGUI Befehlskette

• Kopfzeile: File → Write DB LOG File

in der aktuellen Bearbeitungsdatei ablegen kann.

4.4.2 DB Log File

Die im Abschnitt 4.1 vorgefuhrte Bearbeitung des Lochplattenproblems mittels GUI wirdin dem in den Abbildungen 4.18 auf der nachsten Seite und 4.19 auf Seite 34 gezeigtenLog File aufgezeichnet. Nun machen Sie folgendes:

• Offnen Sie Ihr DB Log File

• Selektieren Sie den Text

• Kopfzeile: File → Clear and start new → OK → OK

• Stellen Sie den Cursor auf die Kommandozeile

• Geben Sie den kopierten Text dort ein (Paste)

• Betatigen Sie ENTER

Das Programm reproduziert alle zuvor mit dem GUI initierten Schritte.


4.4 Arbeiten mit APDL 33

Abbildung 4.18: ANSYS DB log file Teil 1

4.4.3 APDL Befehle fur das Lochplattenproblem

Das DB Log File enthalt alle Eingaben zum Programmablauf einschliesslich der Losung.Es enthalt auch viele GUI-Aufzeichnungen, die beim Arbeiten mit APDL uberflussig sind.Der nachste Schritt ist deswegen die Gestaltung eines APDL-Files nur mit den wesentlichenBefehlen. Diese sind in den Abbildungen 4.18 und 4.19 auf der nachsten Seite bereitsmarkiert und ihre Bedeutungen werden in Tabelle 4.1 auf der nachsten Seite genannt.Man erkennt an dieser Stelle, dass alle APDL Befehle eine Syntax haben, welche aus demLog File nur im Beispiel, nicht aber in all ihren Moglichkeiten ersichtlich ist.

4.4.4 APDL Befehle und ANSYS Help

Die im Log File ersichtlichen wesentlichen APDL Befehle ermoglichen die gezielte Suchenach ihrer Bedeutung und vor allem ihrer Syntax mit Hilfe der ANSYS Help Funktion.



Abbildung 4.19: ANSYS DB log file Teil 2

1. /PREP7 Leitet die Befehle zur Vorlaufrechnung ein2. /ET,1,PLANE42 der erste Elementtype ist PLANE423. /MPDATA,EX,1,,70000 erstdefiniertes Material mit E=700004. /K,1,-100,-50,0, Definiert ersten Keypoint mit seinen Koordinaten5. /FITEM,2,1 Wahle Keypoint 1 fur Definition einer Flache6. /CYL4,0,0,20 Erzeuge Vollkreis mit Mittelpunkt und Radius7. /ASBA,1,2 Subtrahiere von Flache 1 (Rechteck) Flache 2 (Kreis)8. /ESIZE,5,0 Finite Elemente sollen Kantenlange 5 haben9. /MSHKEY,0 Free Meshing (kein regelmassiges Netzraster)

10. /AMESH,Y1 Vernetzt die per GUI ausgewahlte Flache11. /DL,P51X,,UX,-1 Schreibt auf ausgewahlter Linie UX = −1 vor12. /SFL,P51X,PRES,-1, Bringt auf ausgewahlter Linie einen Druck p = −1 auf13. /CP,1,UX,P51 Setzt die Knotenverschiebungen UX gleich14. /SOL Leitet die Befehle zum Losungsprozess ein15. SOLVE Startet die Losung der Gleichungen

Tabelle 4.1: Wesentliche APDL Befehle und ihre Bedeutung

4.4.5 Gestalten eines APDL Files

Bei der Gestaltung eines APDL Files sollte man die allgemeinen Hinweise beachten:



Abbildung 4.20: Demonstration der ANSYS Help Funktion: /PREP7

Abbildung 4.21: Demonstration der ANSYS Help Funktion: PLANE182

• Beginne mit den Befehlen finish und /clear, um eine Vermischung mit aktuellen undnicht mehr aktuellen Informationen zu vermeiden

• Anfanger, aber auch Fortgeschrittene, kennen nicht alle APDL Befehle und ihreSyntax. Wenn man nicht weiter weiss:

– Man behilft sich mit GUI und Ausdruck des DB LOG Files zur Erstinformation

– Man behilft die Help Funktion zur ausfuhrlichen Information uber Syntax undOptionen:

∗ Kommandozeile, z:B. help, asba oder help,dl oder help,area



Abbildung 4.22: Demonstration der ANSYS Help Funktion: LSEL

• Das APDL File kann im WORD Format sein, wenn man den Text in die Komman-dozeile ubertragt

• Besser ist das LGW oder das TEXT Format, denn man kann dieses einlesen mit

– Kopfzeile: File → read input from

Abbildung 4.23: Einlesen eines APDL Files

Das auf die wesentlichen Befehle reduzierte APDL File, mit eingesetzten Kommentaren,ist in Abb. gezeigt.



Abbildung 4.24: APDL File des Lochplattenproblems


Kapitel 5

Eigenschwingungen

Die Anleitung zur Analyse von Eigenschwingungen, mit dem Ergebnis von Eigenfrequenzenund Eigenformen, betrifft nur die Definition des Losungsprozesses und der Ergebnisdar-stellung im graphischen User Interface GUI sowie die entsprechenden APDL Befehle zumLosungsprozess.

5.1 Steuerung mit GUI

5.1.1 Zuweisung einer Massedichte

Die Eigenfrequenzen und die Eigenformen bei harmonische Schwingungen hangen einer-seits von den geometrischen Randbedingungen (Lagerung), andererseits von der Verteilungder Steifigkeit und der Masse im Problemgebiet (Struktur oder Bauteil) ab. Deswegen istes hier zwingend, dem Material nicht nur einen E-Modul, sondern auch eine Massendichtezuzuweisen.

• Preprocessor → Material Props → Material Models (Bearbeitungsfenster) → Struc-tural → Density → OK → Fenster schliessen

Abbildung 5.1: Bearbeitungsfenster zur Zuweisung Massedichte


40 Eigenschwingungen

5.1.2 Angaben zum Losungsprozess

Nun muss ANSYS mitgeteilt werden, dass anstelle der Grundeinstellung einer statischenAnalyse eine Berechnung von Eigenfrequenzen und Eigenformen durchgefuhrt werden sollund wie viele Eigenfrequenzen berechnet werden sollen.

• Solution → Analysis Type → New Analysis (Bearbeitungsfenster → Modal → OK→ Fenster schliessen

• Solution→ Analysis Type→ Analysis Options (Bearbeitungsfenster→ No. of modesto extract (z.B. 10) andere Einstellungen unverandert lassen → OK (Fenster BlockLanczos Method offnet → Frequenzbereich einschranken → OK

Abbildung 5.2: Angaben zur Losung des Eigenwertproblems

5.1.3 Ergebnisbetrachtung

Eine Aufstellung der Eigenfrequenzen der gewahlten Anzahl der Eigenwerte bzw. desgewahlten Frequenzbereichs findet man mit

• General PostProc → Results Summary

Abbildung 5.3: Liste der Eigenfrequenzen


5.1 Steuerung mit GUI 41

Besonders anschaulich werden die Eigenformen durch eine Animation dargestellt. DasBearbeitungsfenster erreicht man mit der Befehlsfolge:

• General PostProc → Results Viewer

Die weiteren Schritte lassen sich mit Hilfe von Abb. 5.4 erklaren. In dem Fenster Choose

Abbildung 5.4: Bearbeitungsfenster fur animierte Darstellungen

a Result Item (1) wahlt man die Darstellung, zum Beispiel Displaced structure. Unterhalbder Kopfzeile befindet sich ein Schieber. Mit diesem wahlt man die die darzustellendeEigenform. In der Kopfzeile klickt man auf Animate results (2). Es offnet sich ein Bear-beitungsfenster zur Auswahl der darzustellenden Ergebnisse, in welchem man Mode Shapewahlt (3) und mit OK quittiert. Darauf ffnet sich ein weiteres Fenster, in welchem mandie Anzahl der Einzelbilder (Number of frames to create), die Zeitspanne zwischen zweiEinzelbildern (Time delay (seconds)), und ein weiteres Mal die darzustellenden Ergebnissebestimmen kann. Quittieren mit OK startet die Animation.


42 Eigenschwingungen

5.2 Steuerung mit APDL

Eine APDL-Datei fur die Berechnung von Eigenfrequenzen und -formen eines Kragbalkensist in Abb. 5.5 gezeigt.

Abbildung 5.5: APDL Befehle fur die Simulation des Eigenschwingverhaltens eines Krag-balkens


Kapitel 6

Beullastanalyse

6.1 Angaben zum Losungsprozess mit GUI

Eine Knick- oder Beulanalyse mit ANSYS erfordert zwei Losungsschritte:

1. statische Berechnung zur Erstellung der geometrischen Steifigkeitsmatrix

2. Losung des Eigenwertproblems mit Berechnung der Eigenformen


44 Beullastanalyse

6.1.1 Angaben zur Berechnung der geometrischen Steifigkeitsmatrix

Bei der Durchfuhrung der statischen Losung als Vorbereitung der Beulanalyse muss imGegensatz zu rein statischen Problemen die sogenannte geometrische Steifigkeitsmatrixberechnet werden. Dies erfolgt mit der Option Prestress On. Die Folge von Befehlen ist:

• Solution → Analysis Type → New Analysis → Static

Danach muss der Schalter Unabridged Menu angeklickt werden, damit der Schalter Ana-lysis Options erscheint. Danach offnet man das in Abb. 6.1 gezeigte Bearbeitungsfenstermit:

• Solution → Analysis Type → Sol’n Controls → Calculate Prestress Effects → OK

• Solution → Solve → Current LS → OK

Danach schliesst man das Losungsmenu und klickt auf FINISH.

Abbildung 6.1: Illustration zur Berechnung der geometrischen Steifigkeitsmatrix


6.1 Angaben zum Losungsprozess mit GUI 45

6.1.2 Angaben zur Losung des Eigenwertproblems

Zunachst muss angegeben werden, dass ANSYS eine Beulanalyse durchfuhren soll:

• Solution → Analysis Type → New Analysis → Eigen Buckling → OK

• Solution → Analysis Type → Analysis Options → Number of Modes to extract: 1(z.B.) → OK

Die verwendeten Bearbeitungsfenster sind in Abb. 6.2 gezeigt. Schliesslich muss noch an-

Abbildung 6.2: Angaben zur Berechnung des Beulproblems

gegeben werden, dass nicht nur die kritischen Beullasten, sondern auch die dazugehorigenBeulformen berechnet und dargestellt werden sollen. Dazu fuhrt man die Folge von Klicksaus:

• Solution → Load Step Opts → Expansion → Single Expand → NMODE NO. ofmodes to expand: 1 (z.B.) → OK

• Solution → Solve → Current LS → OK

Danach schliesst man das Losungsmenu und klickt auf FINISH. Illustration zu diesenSchritten finden sich in Abb. 6.3.

Abbildung 6.3: Angaben zur Berechnung des Beulproblems


46 Beullastanalyse

6.2 Betrachtung der Beullasten und Beulformen mit GUI

Zunachst findet man den kritischen Beullastfaktor in einer Liste mit der Folge von Klicks:

• General PostProc → List Results → Detailed Summary

Bei der Betrachtung des in Abb. 6.4 gezeigten Fensters mag verwundern, dass es mit demje-

Abbildung 6.4: Auslesen des kritischen Lastfaktors

nigen fur die Anzeige von Eigenfrequenzen identisch ist. Lassen Sie sich deswegen von demHinweis TIMEFREQU nicht irritieren. Der gezeigte Zahlenwert ist ein Beullastfaktor.Die Multiplikation dieses Wertes mit den angreifenden Lasten liefert die kritische Last,welche Knicken oder Beulen auslost. Zur Betrachtung der Beulformen betatigt man:

• General PostProc → Read Results → Last Set

• General PostProc → Plot Results → Deformed Shape

Abb. 6.5 zeigt die Knickform des ersten Eulerfalls.

Abbildung 6.5: Auslesen des kritischen Lastfaktors


6.3 Simulation der Eulerknickung mit APDL 47

6.3 Simulation der Eulerknickung mit APDL

Die folgenden Abbildungen geben eine Folge von APDL-Befehlen zur Simulation der vierEuler’schen Knickfalle wieder. Bitte beachten Sie in Abb. 6.6 die Parametrisierung mittels

Abbildung 6.6: APDL Eulerknickung Teil 1

der Variablen L fur die Stablange und Eulerfall zur Steuerung der den vier Fallen ent-sprechenden unterschiedliche Randbedingungen. Die der Variablen CL kritischen Lasten


nach den Eulerformeln zugewiesenen Werte erscheinen im ANSYS OUTPUT WINDOWund konnen mit den Ergebnissen der numerischen Berechnungen verglichen werden. Diefur eine Beulanalyse spezifischen Angaben zum Losungsprozess finden sich in Abb. 6.9 aufder nachsten Seite.


48 Beullastanalyse




Kapitel 7

Balkenbiegung mit grossenDurchsenkungen

Ein sehr einfaches, jedoch auch sehr anschauliches Beispiel fur geometrisch nichtlinearesVerhalten ist der Kragbalken mit grossem Lange-zu-Dicke-Verhaltnis. Er kann Durch-senkungen ertragen, die gross im Verhaltnis zu seiner Lange sind. Damit kann sich diedeformierte sehr stark von der Referenzkonfiguration unterscheiden, obwohl die Dehnun-gen und Spannungen durchaus klein bleiben. Hier zeigt sich auch ein grosser Unterschiedder deformierten Geometrien nach linearer und nach nichtlinearer Rechnung.

7.1 Angaben zum Losungsprozess mit GUI

Der Form halber spezifizieren wir die Losung eines statisches Problems mit

• Solution → Analysis Type → New Analysis → Static → OK

Das Bearbeitungsfenster zum Losungsprozess fur die richtige Abbildung grosser Verschie-bungen erreicht man mit:

• Solution→ Analysis Type→ Sol’n Controls→ Optionen siehe Abb. 7.1 auf dernachsten Seite → OK

7.2 Betrachtung des nichtlinearen Verhaltens mit GUI

Gemass Abb. 7.1 auf der nachsten Seite wurde die Last in zehn Lastschritte unterteilt, sodass man bei der Betrachtung der Ergebnisse die mit der Last zunehmenden nichtlinearenEffekte beobachten kann. Die einzelnen Lastschritte konnen zur Betrachtung ausgewahltwerden. Das in Abb. 7.2 auf der nachsten Seite gezeigte Bearbeitungsfenster Read ResultsBy Load Step Number erreicht man mit:

• General PostProc → Read Results → By Load Step

Anschliessend kann man die Ergebnisse dieses Lastschritts betrachten unter:

• General PostProc → Plot Results


50 Balkenbiegung mit grossen Durchsenkungen

Abbildung 7.1: Optionen fur geometrisch nichtlineare Strukturanalyse

Abbildung 7.2: Read Results by Load Step Number

In diesem Bearbeitungsfenster stellt man noch die Grossen ein, deren Verteilung man imPlot dargestellt haben mochte. Andererseits kann eine animierte Darstellung gerade beigrossen Deformation sehr instruktiv sein. Dazu steuert man wieder das Bearbeitungsfen-ster Results Viewer an mit

• General PostProc → Results Viewer

und nimmt dort zum Beispiel die Einstellungen vor, die man Abb. entnehmen kann.

7.3 Steuerung mit APDL

Abb. 7.4 auf der nachsten Seite zeigt die APDL-Befehle zum Aufbau des Modells einesKragbalkens mit Vernetzung und Randbedingungen. Absolute Last und ihre Einteilungin Lastschritte mit den Variablen LOAD und LSTEPS parametrisiert. Die Querkraft aufKeypoint 2 wird innerhalb der DO-Schleife incrementell gesteigert. In der Nachlaufrech-nung wird die Verschiebungslosung jeden Lastschritts auf eine externe Datei geschrieben,um sie dann mithilfe eines Tabellenkalkulationsprogramms als Plot wie in Abb. darstellenzu konnen.


7.3 Steuerung mit APDL 51

Abbildung 7.3: Animation der Lastschritte

Abbildung 7.4: APDL-Befehle zur Balkenbiegung mit grossen Durchsenkungen

Abbildung 7.5: Ergebnisdarstellungen nichtlineares Balkenproblem


52 Balkenbiegung mit grossen Durchsenkungen


Kapitel 8

Kontaktproblem

Das Kontaktproblem ist im allgemeinen nichtlinear, indem der Kontakt eine gegenseitigeBeeinflussung der Deformationen und der Verteilung der ubertragenen Krafte herstellt.Der Kontakt zwischen Kugel und ebenem Halbraum betrifft zum Beispiel das Problemder Hertz’schen Pressung oder die Indentationstechniken zur experimentellen Ermittlungvon Werkstoffeigenschaften. Das hier betrachtete Problem schliesst jedoch auch ein, dassdie Deformationen auch im Vergleich zu den Abmessungen der beiden kontaktierendenKorper gross sind und die lokalen Dehnungen ebenfalls gross sind. Wir haben es also miteinem gekoppelten nichtlinearen Problem zu tun. Der numerische Losungsaufwand bleibtbei der Ausnutzung der Rotationssymmetrie mit ebenen Elementen jedoch relativ klein.

8.1 Modellierung, Kontaktbedingungen, und Losung mitGUI

8.1.1 Auswahl von Finiten Elementen mit GUI

Ein finites Element zur Abbildung der Rotationssymmetrie findet man im GUI mittels

• Preprocessor → Element Type → Add/Edit/Delete → Add → Solid → PLANE182→ OK → Options → Axisymmetric → OK → Close Window

Abbildung 8.1: Auswahl eines finiten Elements fur Rotationssymmetrie

Neben dem finiten Element zur Simulation des mechanischen Verhaltens der Korpermussen nun noch weitere Elemente zur Simulation des Kontaktverhaltens gewahlt wer-den. Man unterscheidet zwischen Kontakt- und Target-Elementen:


54 Kontaktproblem

• Preprocessor → Element Type → Add/Edit/Delete → Add → Contact → 2 nd surf171 → OK

• Preprocessor → Element Type → Add/Edit/Delete → Add → Target → 2D target169 → OK

Abbildung 8.2: Auswahl von Elementen zur Kontaktrechnung

8.1.2 Definition von Materialgesetzen mit GUI

Nun werden ein linear-elastisches Materialgesetz mit Fliessgrenze und anschliessender li-nearer Dehnungsverfestigung definiert:

• Preprocessor→Material Props→Material Models→ Structural→ Linear→ Elastic→ Isotropic

EX=200000PRXY=0.3OKIm gleichen Bearbeitungsfenster wahlt man nun:

• Nonlinear → Inelastic → Rate Independent → Isotropic Hardening Plasticity →Mises Plasticity → Bilinear

Yield Stress=200Tang Mod=1000OKDas zweite Material ist linear elastisch und seine Kennwerte entsprechen dem linear ela-stischen Anteil von Material Nr. 1.

8.1.3 Erzeugung der Geometrie mit GUI

Der rechteckige Halbquerschnitt der rotationsformigen Platte wird, im Gegensatz zu derin Kapitel 4 gezeigten Methode, ohne vorherige Definition von Keypoints erzeugt:

• Preprocessor → Modeling → Create → Areas → Rectangle → By Dimensions


8.1 Modellierung, Kontaktbedingungen, und Losung mit GUI 55

Abbildung 8.3: Definition des plastischen Materialgesetzes

Die untere H”lfte der Kugel gerat in der rotationssymmetrischen Darstellung zu einemViertelkreis. Das Bearbeitungsfenster fur dessen Erzeugung erreicht man mit:

• Preprocessor → Modeling → Create → Areas → Circle → Partial Annulus

Die Einstellungen in den beiden Bearbeitungsfenster entnimmt man Abb. 8.4

Abbildung 8.4: Erzeugung der Geometrien der kontaktierenden Korper


56 Kontaktproblem

8.1.4 Zuordnung der Attribute der Geoemtrien mit GUI

Das Rechteck simuliert die Fliessfahige Unterlage und der Viertelkreis die rein elastischeKugel. Beiden Flachen mussen Elementtyp und Materialmodell zugeordnet werden. DasBearbeitungsfenster Area Attributes erreicht man mit

• Preprocessor → Meshing → Mesh Attributes → Picked Areas

Die jeweilige Flache muss dann durch Anklicken selektiert werden. Abb. 8.5 zeigt die

Abbildung 8.5: Attribute fur Rechteck (links) und Viertelkreis

Angaben fur rechteck (links) und Viertelkreis (rechts).

8.1.5 Vernetzung der kontaktierenden Flachen mit GUI

Die gewunschte Feinheit des Netzes wird mit dem in Abb. 8.6 gezeigten Bearbeitungsfen-ster Global Element Sizes gewahlt. Man erreicht es mit

• Preprocessor → Meshing → Size Cntrls → ManualSize → Global → Size

Abbildung 8.6: Bearbeitungsfenster Global Element Sizes

Fur eine regelmassige Vernetzung der Rechteckflache geht man zu

• Preprocessor → Meshing → Mesh → Areas → Mapped → 3 or 4 sided,

klickt von dort aus das Rechteck an, und quittiert mit OK. Der Viertelkreis erlaubt keinregelmassiges Netz. Deswegen geht man zu

• Preprocessor → Meshing → Mesh → Areas → Free,

klickt von dort aus den Viertelkreis an, und quittiert mit OK.



8.1.6 Definition der Kontakte mit GUI

Die Betatigungen fur die Definitionen sind aus Abb. 8.7 ersichtlich.



58 Kontaktproblem

8.1.7 Randbedingungen spezifizieren mit GUI

Die untere Platte steht auf einem Fundament. Die Halbkugel mit einer definierten Ver-schiebung UY=-10 gegen die Platte gedruckt. In der rotationssymmetrischen Darstellungerubrigt sich eine Lagerung in radialer Richtung X. Abb. 8.8 zeigt die Schritte zur Defini-

!

"

# $

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tion der Randbedingungen.



8.1.8 Angaben zum Losungsprozess mit GUI

Die Angaben zum, wegen der Nichtlinearitaten des Problems, in Iterationen ablaufendenLosungsprozess kann man der Abb. 8.9 entnehmen.

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Abbildung 8.9: Angaben zum Losungsprozess des Kontaktproblems

8.1.9 Betrachtung der Losung des Kontaktproblems mit GUI

Das Kontaktverhalten zeigt sich besonders anschaulich mittels einer Animation. Abb.8.10 zeigt die Schritte zum Erzeugen einer Animation mit der Vergleichsspannung nachvon Mises in Falschfarbendarstellung. Abb. 8.11 zeigt die deformierte Konfigurationmit maximaler Eindringtiefe von 10mm. Die hochsten Vergleichsspannungen treten inder Kugel auf (links in Abb. 8.11) Mochte man die Spannungsverteilung in dem plastischdeformierten Material der Platte besser auflosen, blendet man einfach die Kugel aus (rechtsin Abb. 8.11). Dies erreicht man mit folgenden in die Comman Line einzugebendenBefehlen:

• NSEL,S,Loc,Y,-60,0 → Enter

• ESLN,S,1 → Enter

Die obere Befehlsfolge selektiert alle Knoten zwischen den Linie Y=-60 und Y=0. Da-mit werden die Knoten des Rechtecks, jedoch nicht diejenigen des Viertelkreises erfasst.Die untere Befehlsfolge selektiert alle mit den selektierten Knoten verbundenen finiten


60 Kontaktproblem

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# $ %

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# $ %



Elemente. Nur diese werden nach der Aktualisierung des Plots mittels Tools Bar unddort:

• Plot → Replot

angezeigt. Dabei wird die Farbskala den in den selktierten Elementen vorliegenden Span-nungswerten angepasst.


8.2 Modellierung, Kontaktbedingungen, und Losung mit APDL 61

8.2 Modellierung, Kontaktbedingungen, und Losung mitAPDL

Abbildung 8.12: APDL Kontaktproblem: Parametrisierung, Elemente, Material und Geo-metrie

Abbildung 8.13: APDL Kontaktproblem: Vernetzung und Kontaktbedingungen


62 Kontaktproblem

Abbildung 8.14: APDL Kontaktproblem: Randbedingungen

Abbildung 8.15: APDL Kontaktproblem: Losung


Kapitel 9

Ubungen

Die Ubungen beginnen mit linearen statischen Analysen, gehen zu Eigenwertproblemen,und behandeln schliesslich nichtlineare Probleme, welche iterative Losungsprozesse erfor-dern. Die erste Ubung knupft unmittelbar an das Lochplattenproblem an, anhand dessender Umgang mit dem Programm ANSYS eingefuhrt wurde.

9.1 Testatubung Zugprobe: Netz und Rechenaufwand

Flache Zugproben dienen der Charakterisierung von Materialien wie Metallen, Kerami-ken, Kunststoffen oder auch Laminaten aus Faserverbundwerkstoffen. Mit Ausnahmeder in den Spannbacken steckenden Einspannenden unterliegen sie einem ebenen Span-nungszustand (wir sehen hier von den Randeffekten bei multidirektionalen Laminaten ausFaserverbundwerkstoffen ab). Proben mit Loch geben Aufschluss uber das Bruchverhaltenin der Anwesenheit von Spannungsgradienten.Eine unendlich ausgedehnte Scheibe aus isotropem Material, welche in grossem Abstandvon einer kreisrunden Bohrung unter einachsiger Spannung steht, weist an der Bohrungeinen Spannungskonzentrationsfaktor von drei auf. In realen Proben aus isotropem Ma-terial weicht die Spannungskonzentration wegen ihrer endlichen Geometrie und der Ein-spannbedingungen etwas von drei ab. Anisotropie des Probenmaterials kann zu erheblichgrosseren Abweichungen fuhren.Abb. 9.1 illustriert die mechanischen Veraltnisse eines Zugversuchs in einer elektrome-

Abbildung 9.1: Testmaschine mit Zugprobe

chanischen Testmaschine. Die Verhaltnisse an der Probe mussen mit Randbedingungen


64 Ubungen

moglichst realistisch abgebildet werden. Die Einspannenden und die Spannbacken sollenhier nicht modelliert werden. Stattdessen werden die Linien an der Kante der Spann-backen betrachtet. Beide Spannbacken blockieren die Verschiebungen in Querrichtungund sorgen dafur, dass die Linien eben bleiben. Abb. 9.2 illustriert einige Moglichkei-

Abbildung 9.2: Testmaschine mit Zugprobe

ten korrekten Setzens von Randbedingungen. In allen Fallen sind die Knoten auf denEinspannenden der homogenen geometrischen Randbedingung uy = 0 unterworfen. DieKombination der Randbedingungen (a) entspricht am meisten den Verhaltnissen in derweggesteuerten Testmaschine: das eine Probenende wird festgehalten, dem anderen ei-ne Verschiebung ux = u aufgezwungen. Die Verteilung der Dehnungen und Spannungenwird jedoch identisch berechnet mit den Randbedingungen (b), welcher Umstand das Er-kennen und Ausnutzen von Symmetrien fur verkleinerte Berechnungsmodelle erleichtert.Mochte man die Wirkung einer kraftgesteuerten (hydraulischen) Testmaschine simulieren,also statt einer Verschiebung eine Kraft spezifizieren, wendet man die Kombination (c)an. Dort muss man mittels Freiheitsgradverknupfung dafur sorgen, dass alle Knoten diegleiche Verschiebung ux ausfuhren. Irgendeiner der miteinander verknupften Knoten kanndann der naturlichen Randbedingung Fx = F unterworfen werden. Fur die in der Ubungvorgesehen Konvergenzuntersuchung eignet sich die Randbedingungskombination (c).

9.1.1 Lernziele der Testatubung Zugprobe

Hier geht es um das Verstandnis, wie Vernetzung und Modellierungstechniken (Ausnutzungvon Symmetrien) eine hohe Ergebnisgute bei geringem Rechenaufwand erreicht werdenkann.

• Einfluss der Netzfeinheit auf

– Rechenzeit

– Ergebnisgute

• Einfluss des Elementtyps auf

– Rechenzeit

– Ergebnisgute

• Ausnutzen vorhandener Symmetrien und Einfluss auf

– Rechenzeit


9.1 Testatubung Zugprobe: Netz und Rechenaufwand 65

9.1.2 Hinweise zur Durchfuhrung

Zunachst mussen dem APDL-File noch Befehle fur die Messung der Vernetzungs- undder Losungszeit hinzugefugt werden: Die Werte von meshtime und solutime finden Sie

vor amesh,all *get,meshstart,active, ,time,cpunach amesh,all *get,meshstop,active, ,time,cpu

vor solve *get,solustart,active, ,time,cpunach solve *get,solustop,active, ,time,cpu

meshtime=meshstop-meshstartsolutime=solustop-solustart

Tabelle 9.1: Befehle zur Messung von Zeiten

im ANSYS 12.0 Output Window. Die in Abb. 9.3 gezeigten Tabellen zum Eintragen der

Abbildung 9.3: Tabellen zur Eintragung der Rechenzeit, werden ausgehandigt

Ergebnisse definieren die Aufgabe. Tabelle 1 sieht vor, dass Sie die KantenlangenvorgabeESIZE von 10 (grob) in Stufen auf 1 varieren und, zusatzlich zu den Berechnungszeiten,anhand der Plots die jeweils grossten Werte der Verschiebungsfelder ux und der Spannungs-felder σx herauslesen und eintragen. Tabelle 2 sieht vor, dass Sie zunachst das ElementPLANE42 mit seinen bilinearen Verschiebungsansatzen durch das Element PLANE82 mit


66 Ubungen

quadratischen Verschiebungsansatzen ersetzen und dann die gleichen Berechnungen wie furTabelle 1 ausfuhren. Tabelle 3 sieht die Ausnutzung von Symmetrien in einem Halb- undeinem Viertelmodell vor. Die in dieser Tabelle eingetragenen Werte konnen mit denen inder letzten Zeile der Tabelle 2, fur das Vollmodell, verglichen werden.Das Erstellen der Halb- und Viertlemodelle ist der kreativere Teil der Aufgabe. Zunachstfinden sie die moglichen Symmetrien (einfache, zweifache) und begrunden Sie diese hin-sichtlich

• Bauteilgeometrie

• Bauteilbelastung

Erstellen Sie, unter Abwandlung des APDL-Files (Kopie machen), die Geometrie fur einHalb- und fr ein Viertelmodell. Eine Schwierigkeit liegt darin, die Symmetrien der Be-lastung (Verzerrungen) durch geeignete Randbedingungen in den verkleinerten Modellenrichtig abzubilden.

• Ermitteln Sie die in den Tabellen einzutragenden Werte.

• Kommentieren Sie die Ergebnisse, z.B. die Trends bei den Rechenzeiten oder ob Sieverkleinerte Modelle unter Symmetrieausnutzung fr korrekt betrachten.


9.2 Ubung Kranausleger 67

9.2 Ubung Kranausleger

9.2.1 Umfeld

Bei einem Blick uber die Dacher von Zurich entdeckt man im Stadtbild eine grosse An-zahl von Baukranen. Diese werden zum Transport von grossen Lasten im Bereich derjeweiligen Baustellen verwendet. Die Beanspruchung der Kranausleger hangt dabei direktvom transportierten Gewicht ab. Die vorliegende Ubung befasst sich mit dem Auslegereines obendrehenden Krans. Dieser stellt im Grunde nichts anderes als ein Fachwerk dar,welches auf einfache Weise mit Stabelementen modelliert werden kann.

9.2.2 Ziel

Im Rahmen dieser Ubung soll mit Hilfe von ANSYS ein Kranausleger modelliert werden.Die Geometrie des Kranauslegers wird dabei in Form von Linien und Keypoints vorgege-ben. Die Geometrie wird mittels Einlesen eines Input-Files erzeugt; es enthalt die gesamteGeometrieinformation. Die Ubung soll Aufschluss uber die Moglichkeiten von Stabele-menten (Link) geben, die zur Vernetzung von Fachwerken verwendet werden konnen. DieUbung soll moglichst selbstandig bearbeitet werden. Es empfiehlt sich die Ubung mit Un-terstutzung der Hilfefunktion zu losen. Schliesslich sollte man einiges mehr uber ANSYSin folgenden Bereichen wissen:

• Einlesen eines Input-Files

• Auswahl eines geeigneten Elementtyps mit der Hilfe-Funktion

• Verwendung von Real Constants

• Vernetzung von Liniengeometrien

• Arbeiten mit Input-Files

• Resultatauswertung mit Element Tables

9.2.3 Aufgabenstellung

Die im Input-File vorgegebene Kranauslegergeometrie soll eingelesen werden. Anschlies-send sollen Materialeigenschaften zugewiesen und die Vernetzung vorgenommen werden.Nach der Lasteinleitung und der Losungsberechnung soll im Postprocessing die Span-nung in jedem einzelnen Stab ’sichtbar’ gemacht werden. Wahrend der ganzen Ubungmuss parallel zur Arbeit mit ANSYS ein Input-File miterstellt werden, welches samtli-che ANSYS-Eingaben enthalt. Mit diesem Input-File konnen anschliessend auf einfachsteArt und Weise einzelne Parameter der Modellierung verandert werden, ohne dabei nocheinmal samtliche Befehle eintippen zu mussen. Die Aufgabenstellung wird somit bewusstsehr offen gelassen. Es ist jedem selbst uberlassen, welche Materialeigenschaften undwelche Lasten verwendet werden. Speziell die Vernetzungsparameter (Real Constants)konnen nach dem Erstellen des Input-Files beliebig variiert werden. Schlussendlich sollein Kranausleger resultieren, der unter den individuell angenommenen Lasten uber einemoglichst gleichmassige Spannungsverteilung verfugt.


68 Ubungen

Abbildung 9.4: Skizze eines Kranauslegers (Quelle: BPR-Cadillon)

9.2.4 Guide

Dieser Guide dient zum Losen der Aufgabe. Er erklart die Vorgehensweise, die schlussend-lich zum gewunschten Resultat fuhrt. Es ist jedoch nicht der einzig mogliche Weg. ANSYSbietet oft verschiedene Wege an, die zum Ziel fuhren. Es ist also durchaus moglich, dasseinzelne Schritte einfacher gelost werden konnen, andere dafur beliebig kompliziert. BeiProblemen empfiehlt es sich jedoch immer die Hilfe-Funktion help ’Befehl’, z.B. help,mpzu Rate zu ziehen. Der Guide ist unterteilt in einzelne Unterkapitel, die nacheinanderabgearbeitet werden konnen. Es werden nur die notwendigen Eingaben angegeben; diePfade fur die Verwendung der Menufuhrung werden nicht beschrieben. Sollte der Pfadtrotzdem von Interesse sein, so kann in der Hilfe unter der Erklarung des Befehls auchjeweils der Pfad in der Menufuhrung nachgesehen werden.

Einlesen des Input-Files

Fur die Ubung wird ein Input-File (krangeometrie.mac) zur Verfugung gestellt, welchesdie Daten zur Generierung der Geometrie des Kranauslegers enthalt. Das Einlesen erfolgtmit folgendem Befehl:

• /INPUT,’krangeometrie’,’mac’,’/path/.../.../’,1,0

In diesem Fall ist die Verwendung der Menufuhrung allerdings eindeutig angenehmer:

• Kopfzeile: File → Read Input from ...

Einige grundsatzliche Bemerkungen zu den Input-Files:Input-Files (Macros) konnen im Grunde als normaler Code in der ProgrammierspracheAPDL (ANSYS Parametric Design Language) betrachtet werden. Grundsatzlich kann so-mit jede Eingabe uber die Menufuhrung auch als schriftliche Eingabe mittels Input-Filevorgenommen werden. Die Verwendung von Input-Files bringt bedeutende Vorteile mitsich. Wie im vorliegenden Fall kann zum Beispiel die Erzeugung einer Geometrie einmaldefiniert und danach immer wieder verwendet werden. Diese Moglichkeiten beschrankensich aber nicht nur auf die Erzeugung von Geometrien. Die Randbedingungen und die La-sten konnen ebenfalls definiert werden und die Losung kann auch gleich berechnet werden.Im Bereich des Postprocessings konnen ebenfalls samtliche Befehle im Input-File definiertwerden. Dabei ist es unerheblich, ob die Eingaben in Gross- oder Kleinbuchstaben vorge-nommen werden.Der grosse Vorteil besteht nun darin, dass mit Hilfe der Input-Files von Berechnung zu



Abbildung 9.5: Mittels Input-File erzeugte Geometrie des Kranauslegers

Berechnung nur ausgesuchte Parameter geandert werden mussen. Danach kann die neueBerechnung sogleich gestartet werden. Die Zeitersparnis ist somit enorm!Fur der weitere Bearbeitung wird am besten eine Kopie des Input-Files (krangeome-trie.mac) hergestellt. Diese Kopie soll dann jeweils mit den verwendeten Befehlen erganztwerden. Tipp: Wird ein Befehl uber die Menufuhrung eingegeben, so kann im log-file,welches ANSYS selbstandig anfertigt, die entsprechende schriftliche Eingabe nachgeschautwerden.

• Kopfzeile: List → Files → Log File

Materialeigenschaften

Als erster Schritt wird dem Kranausleger das Material zugewiesen. In diesem Guide wirdangenommen, dass der Kranausleger aus einem Stahl mit E = 210000MPa und ν = 0.3gefertigt ist (isotropes Material). Es konnen naturlich auch beliebig andere Annahmengetroffen werden. Verwende den Befehl mp um die Materialparameter EX und PRXY zudefinieren, oder uber das ANSYS Main Menu (Preprocessor ! Material Props ! MaterialModels).

• PreProcessor → Material Props → Material Models

Es ist auch denkbar, mehrere verschiedene Materialien zu definieren, die anschliessend aufunterschiedliche Bereiche des Kranauslegers angewendet werden. An dieser Stelle wirdjedoch davon abgesehen.


70 Ubungen

Meshing

Bei der Krangeometrie handelt sich um ein Fachwerk, welches aus Linien und Keypointserstellt worden ist. Die Stabe sollen per Definition nur Zug- und Druckkrafte, jedochkeine Biegemomente ubertragen konnen. Als Element fur die Vernetzung muss also einStabelement verwendet werden. In ANSYS sind die Stabelemente in der ElementgruppeLink zusammengefasst. Die Elementbibliothek umfasst insgesamt elf Elemente, die zurElementgruppe Link gehoren. Es gilt nun also einen richtigen Elementtyp auszuwahlen.Dazu muss die jeweilige Beschreibung in der Elementbibliothek betrachtet werden. Link1ist beispielsweise nur ein 2D-Element. Es kann somit nicht fur das 3D-Fachwerk verwen-det werden. Bei der Auswahl muss man sich auch immer fragen, welche Informationenman aus der Berechnung erhalten mochte. Fur jedes Element ist angegeben, welche Re-sultate es liefern kann. LINK8 ist zum Beispiel ein brauchbares Element, da es die 3D-Modellierungen ermoglicht. Dieses Element liefert neben einigen anderen Resultaten auchdie Verformungen und die Spannungen fur jedes einzelne Element. Die weiteren Link-Elemente beinhalten noch weitere Moglichkeiten, die fur weitere Anwendungen verwendetwerden konnen. Fur die Modellierung des Kranauslegers sind LINK8 und LINK180 geeig-net, wobei LINK180 zu einer neueren Elementgeneration gehort. Von den Moglichkeitenher sind sich diese beiden Elemente allerdings ziemlich ahnlich. In diesem Fall wird derElementtyp LINK180 eingesetzt. Durch die Verwendung des Input-Files ist es jedoch sehreinfach, in einer spateren Berechnung den Elementtyp einfach auszutauschen. Definiereden Elementtyp LINK180 mit dem Befehl et oder uber das Main Menu

• PreProcessor → Element Type → Add/Edit/Delete

Somit ist der Elementtyp definiert. Dies reicht jedoch noch nicht aus. Dieser Elementtyperfordert zusatzlich die Eingabe von sogenannten Real Constants. Dies sind Parameter, diefur die Berechnung erforderlich sind. I m konkreten Fall muss dem Stabelement auch nochdie Querschnittsflache mitgegeben werden, damit die Spannungsberechnung durchgefuhrtwerden kann. Da es sich um einen Stab handelt, der nur auf Zug und Druck beanspruchtwerden kann, ist hier eine Eingabe des Tragheitsmoments nicht erforderlich; es kann garkeine Biegebeanspruchung auftreten. Erfolgt die Lasteinleitung trotzdem so, dass einBiegemoment auftreten musste, so wird ANSYS keine Losung berechnen konnen. Imvorliegenden Beispiel werden drei Real Constants vergeben, da die Stabe nicht alle dieselbeQuerschnittsflache aufweisen sollen. Werden mehrere Real Constants verwendet, so werdendementsprechend viele Nummern vergeben. Definiere die Querschnitte als Real Constantsmit dem Befehl R oder via

• PreProcessor → Real Constants → Add/Edit/Delete

Trager : 2500 NSET Number 1Strebe : 1000 NSET Number 2

Aufhangung : 3200 NSET Number 3

Die Werte fur die Querschnittsflachen sind in mm2 anzugeben. Zunachst muss definiertwerden, wie fein die Vernetzung sein soll. Die Wahl der Stabelemente beantwortet dieseFrage allerdings schon selbst. Da keine Biegemomente ubertragen werden konnen, kannzwischen zwei Keypoints nur ein Stabelement eingesetzt werden (Ansonsten ist das Modellstatisch unterbestimmt):



Abbildung 9.6: Bezeichnungen der Baugruppen des Krans

• lesize,all,,,1,,,,,1

Die Vernetzung muss in drei Schritte zerlegt werden. Die jeweiligen Gruppen (Trager,Streben und Aufhangung) mussen einzeln mit dem zugehorigen Real Constant vernetztwerden. Dazu mussen die drei Gruppen jeweils einzeln selektiert werden. Dies waresehr einfach, wenn man dies mit dem Select Entities Menu machen wurde. Da aber dasInput-File diese Selektion ebenfalls enthalten muss, gibt es einen kleinen Mehraufwand.Die Selektion muss schriftlich vorgenommen werden, was am besten uber ortsabhangigeParameter geschieht. Im Input-File sind die Werte b, h, l fur die geometrischen Orteder einzelnen Keypoints verwendet worden. Damit bei einer Anderung dieser Werte dieSelektion nicht auch noch angepasst werden muss, werden die Selektionen mit diesen Pa-rametern vorgenommen. Es erweist sich als nutzlich, nach Selektion der jeweiligen Teileein Component Set zu definieren. Damit kann nachfolgend die erneute Selektion uberden Namen des Component Set erfolgen. Selektion der Trager und Vernetzung mit RealConstant Nummer 1:

• lsel,s,loc,y,h-1,h+1

• lsel,a,loc,z,b/2-1,b/2+1

Selektiere zusatzlich noch die Linien mit der z-Koordinate zwischen −b/2−1 und −b/2+1.Selektion und Vernetzung der Aufhangung mit Real Constant Nummer 3:

cm,traeger,line : Gruppiert Geometry-Items in einem Component-Settype,1 : Selektiert Elementtyp 1mat,1 : Selektiert Material 1real,1 : Selektiert Real Constants 1

lmesh,all : Vernetzt alle selektierten Linien mit den definierten Eigenschaften

• alls

• ksel,s,loc,y,haufh-1,haufh+1

• lslk,r


72 Ubungen

• cm,aufh,line

Vernetze alle selektierten Linien mit dem Elementtyp 1, Material 1 und den Real Constants3. Analoges Vorgehen wie fur den Trager.Selektion und Vernetzung der Streben mit Real Constant Nummer 2:

• alls

• cmsel,u,traeger

• cmsel,u,aufh

• cm,vers,line

Vernetze alle selektierten Linien mit dem Elementtyp 1, Material 1 und den Real Con-stants 2. Analoges Vorgehen wie fur den Trager.Das Selektieren von beliebigen Komponenten spielt in ANSYS eine wichtige Rolle. Wiegesehen konnen Komponenten uber die Geometrie und Component Sets selektiert wer-den. Es gibt jedoch noch viele andere Moglichkeiten, wie die Selektion von Komponentenuber das Material, Attribute, Nummern usw.. Siehe unter der Menufuhrung (Select →Entities) oder mache dich mit der Hilfefunktion uber die Befehle nsel, aslv, lsla oder nsllschlau.

Randbedingungen

Einspannung Die Einspannung soll moglichst genau die Realitat wiedergeben. Im vor-liegenden Beispiel ist dies ziemlich einfach. Die Einspannung erfolgt namlich einerseits anden Tragern bei der Koordinate x = 0 (drehbar gelagert) und andererseits naturlich an derAufhangung. Dabei ist die Einschrankung der Freiheitsgrade ziemlich unproblematisch.Die Stabelement konnen keine Biegemomente ubertragen. Somit ist es nur notwendig dieerwahnten Knoten an ihrem ursprunglichen Ort festzuhalten. Es ist dabei nicht notwendigdie Knotenkoordinatensysteme auszurichten.Selektiere alle Knoten (Nodes) mit der x-Koordinate zwischen −1 und 1. Verwende denBefehl nsel. Mit dem Befehl d werden die Freiheitsgrade gesperrt:d,all,,,,,,ux,uy,uz

Lasten Die Lasten konnen nach eigenem Ermessen aufgebracht werden. Hier wird nurein mogliches Beispiel gezeigt.Der Kranhaken ist in der Realitat an der sogenannten Laufkatze aufgehangt. Damit dieseLasteinleitung in etwa modelliert werden kann, empfiehlt es sich die Last auf insgesamtvier KPs zu verteilen. Der kritische Lastfall ist dann zu erwarten, wenn die Laufkatze amaussersten Punkt des Kranauslegers steht und eine maximale Masse von 4 Tonnen (ca.40000N) angehangt ist. Somit werden die KP 58, 59, 61 und 62 fur die Lasteinleitungausgewahlt.

• ksel,s,kp,,58,59

• ksel,a,kp,,61,62

Bringe auf den selektierten Keypoints die Kraft −40000/4 in y-Richtung mit dem Befehlfk auf.



Abbildung 9.7: Randbedingungen am Kran

Solve

Wichtig fur das Input-File ist hier die Eingabe .../solu... die ANSYS mitteilt, dass nun im Solution-Bereich gearbeitet wird und der Preprocessorverlassen werden kann. Fur die Losung wird ein PCG-Solver gewahlt. Vor dem Losen mussalles selektiert werden.

• alls

• solve

Postprocessing

Zunachst muss in den Postprocessor gewechselt werden:

• /post1

Nach der Berechnung soll nun die Auswertung gemacht werden. Aufgrund der relativ ge-ringen Moglichkeiten der Stabelemente (im Vergleich zu anderen Elementen) funktionierennaturlich nicht alle Resultatoptionen. Welche Output Data alle erhaltlich sind, sieht manam besten in der Hilfe nach (Fur das gewahlte Element LINK180 ). Die Verformungenim globalen Koordinatensystem lassen sich ohne Probleme darstellen. Bei der Auswer-tung der Spannungen ist die Situation etwas komplizierter, da die Auswertung jeweils inStabrichtung erfolgen soll. Dafur wird ein besonderes Verfahren benotigt. Es muss zuersteine sogenannte Element Table erstellt werden, bevor die Auswertung erfolgen kann. Nach


74 Ubungen

dem Erstellen der Element Table kann dann schliesslich die Spannungsverteilung fur jedesStabelement angezeigt werden.

• etable,axial st,ls,1

• pletab,axial st,noav

Verwendung des Input-Files

Wenn die Eingaben parallel in das Input-File eingegeben worden sind, kann das Input-Filenun fur alle weiteren Berechnungen verwendet werden. Dabei konnen verschiedene Para-meter geandert und die Auswirkungen auf die Resultate betrachtet werden. Es kann zumBeispiel die Last oder deren Angriffspunkt verandert werden. Im Sinne einer Dimensio-nierung des Kranauslegers ist es sinnvoll nun die Real Constant Werte zu verandern. DieStege sind im allgemeinen nur wenig beansprucht. Somit kann deren Querschnittslflache zuGunsten einer Gewichtsersparnis deutlich verkleinert werden. Nach der Anderung der Pa-rameter kann mit einem geringen Aufwand also sogleich eine verbesserte Losung generiertwerden.


9.3 Testatubung Eulerknickung 75

9.3 Testatubung Eulerknickung

Die Stabilitat von Strukturen, und die fur den Kollaps kritischen Lasten, werden sehr starkvon den Randbedingungen mitbestimmt. Die richtige Abbildung der Lagerungsbedingun-gen von realen Strukturen durch Randbedingungen im Strukturmodell ist sehr schwierig.Verankerungen in Fundamenten sind nicht unendlich steif und entsprechen nicht den idea-lisierten geometrischen Randbedingungen einer festen Einspannung. Deswegen empfiehltsich fur genaue Stabilitatsberechnungen oft die Abbildung des Fundaments im Simulati-onsmodell.Die Testatubung betrachtet anstelle einer komplexen Struktur das bekannte akademischeBeispiel der Euler’schen Knickfalle. Die vier Falle demonstrieren das oben Gesagte: derEinfluss der geometrischen Randbedingungen bewirkt einen Faktor der Knicklasten vonbis zu sechzehn.Die Aufgabe ist mit dem in Abb. 9.8 gezeigten Ubungsblatt definiert. Sie erhalten dieses

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sowie die fertige APDL-Datei, die auch in den Abb. 6.6 auf Seite 47 bis 6.9 auf Seite 48in Kapitel 6 gezeigt wird.


76 Ubungen

9.4 Testatubung Kontaktproblem

Die Aufgabe ist mit dem in Abb. 9.9 gezeigten Ubungsblatt definiert. Sie erhalten dieses


sowie die fertige APDL-Datei, die auch in den Abb. 8.12 bis 8.15 gezeigt wird. DieVerteilung der Kontaktdrucke finden Sie mit

• General Postproc → Plot Results → Contour Plot → Nodal Solu → Contact →Contact Pressure → OK


Abbildungsverzeichnis

2.1 Annaherung des Kreises durch Dreiecke und Kreiszahlberechnung . . . . . . 5

2.2 Formfunktionen eines bilienaren zweidimensionalen Elements . . . . . . . . 7

2.3 Normiertes Referenzelement und im Netz vorliegendes Element . . . . . . . 8

2.4 Gausspunkte in zweidimensionalen Elementen . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.5 Verzerrte bilineare finite Elemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.6 Geometrieapproximation mit linearen (gelb) und quadratischen Elementen . 9

2.7 Berechnungsaufwand bei 2D Elementen mit 4 und 8 Knoten . . . . . . . . . 10

2.8 Illustration zu Koinzidenz und Matrixstruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.9 Direkte Losung und Methode der konjugierten Gradienten . . . . . . . . . . 11

2.10 Illustration zu Barlow’s Ansatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.11 Ergebnisse unterschiedlicher FEM-Modelle zu einem Biegeproblem . . . . . 12

2.12 Ergebnisse unterschiedlicher FEM-Modelle zu einem Biegeproblem . . . . . 13

2.13 Biege- und Schubdeformationen des Balkens . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.1 Ablaufschema einer Strukturanalyse mit FEM . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2 Elementtypen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.3 Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.1 Mechanical APDL Product Launcher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.2 ANSYS Bedienelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.3 Pull-Down Menus der Kopfzeile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.4 Pull-Down Menus des Hauptmenus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.5 Preprocessor Menu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.6 Solution Menu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.7 Postprocessor Menu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.8 Wahl eines ebenen Elements fur ebenen Spannungszustand . . . . . . . . . 25

4.9 Definition eines linear-elastischen Materialmodells . . . . . . . . . . . . . . 26

4.10 Setzen von Keypoints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.11 Bearbeitungsfenster fur beliebige Flachen und Kreise . . . . . . . . . . . . . 27

4.12 Bearbeitungsfenster fur Subtraktion von Flachen . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.13 Bearbeitungsfenster zum Vernetzen und seiner Vorbereitung . . . . . . . . . 28

4.14 Auswahl von Linien und Spezifikation von Verschiebungsrandbedingungen . 30

4.15 Bearbeitungsfenster beim Starten des Losungsprozesses . . . . . . . . . . . 30

4.16 Bearbeitungsfenster zur Darstellung von Losungsfeldern mit Plots . . . . . 31

4.17 Plot des Verschiebungsfelds UX und Erzeugung von Bilddateien . . . . . . . 31

4.18 ANSYS DB log file Teil 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.19 ANSYS DB log file Teil 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.20 Demonstration der ANSYS Help Funktion: /PREP7 . . . . . . . . . . . . . 35


78 ABBILDUNGSVERZEICHNIS

4.21 Demonstration der ANSYS Help Funktion: PLANE182 . . . . . . . . . . . . 35

4.22 Demonstration der ANSYS Help Funktion: LSEL . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.23 Einlesen eines APDL Files . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.24 APDL File des Lochplattenproblems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.1 Bearbeitungsfenster zur Zuweisung Massedichte . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.2 Angaben zur Losung des Eigenwertproblems . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.3 Liste der Eigenfrequenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.4 Bearbeitungsfenster fur animierte Darstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5.5 APDL Befehle Eigenschwingverhalten Kragbalkens . . . . . . . . . . . . . . 42

6.1 Illustration zur Berechnung der geometrischen Steifigkeitsmatrix . . . . . . 44

6.2 Angaben zur Berechnung des Beulproblems . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

6.3 Angaben zur Berechnung des Beulproblems . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

6.4 Auslesen des kritischen Lastfaktors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

6.5 Auslesen des kritischen Lastfaktors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

6.6 APDL Eulerknickung Teil 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47




7.1 Optionen fur geometrisch nichtlineare Strukturanalyse . . . . . . . . . . . . 50

7.2 Read Results by Load Step Number . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

7.3 Animation der Lastschritte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

7.4 APDL-Befehle zur Balkenbiegung mit grossen Durchsenkungen . . . . . . . 51

7.5 Ergebnisdarstellungen nichtlineares Balkenproblem . . . . . . . . . . . . . . 51

8.1 Auswahl eines finiten Elements fur Rotationssymmetrie . . . . . . . . . . . 53

8.2 Auswahl von Elementen zur Kontaktrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

8.3 Definition des plastischen Materialgesetzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

8.4 Erzeugung der Geometrien der kontaktierenden Korper . . . . . . . . . . . 55

8.5 Attribute fur Rechteck (links) und Viertelkreis . . . . . . . . . . . . . . . . 56

8.6 Bearbeitungsfenster Global Element Sizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56



8.9 Angaben zum Losungsprozess des Kontaktproblems . . . . . . . . . . . . . 59



8.12 APDL Kontaktproblem: Parametrisierung, Elemente, Material und Geometrie 61

8.13 APDL Kontaktproblem: Vernetzung und Kontaktbedingungen . . . . . . . 61

8.14 APDL Kontaktproblem: Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

8.15 APDL Kontaktproblem: Losung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

9.1 Testmaschine mit Zugprobe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

9.2 Testmaschine mit Zugprobe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

9.3 Tabellen zur Eintragung der Rechenzeit, werden ausgehandigt . . . . . . . . 65

9.4 Skizze eines Kranauslegers (Quelle: BPR-Cadillon) . . . . . . . . . . . . . . 68

9.5 Mittels Input-File erzeugte Geometrie des Kranauslegers . . . . . . . . . . . 69

9.6 Bezeichnungen der Baugruppen des Krans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71


ABBILDUNGSVERZEICHNIS 79

9.7 Randbedingungen am Kran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 739.8 APDL Eulerknickung Teil 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 759.9 APDL Eulerknickung Teil 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76


80 ABBILDUNGSVERZEICHNIS


Tabellenverzeichnis

1.1 Zeiten (jeweils 13-17 Uhr) und Horsale des Blockkurses 2012 . . . . . . . . . 2

3.1 Einheitssysteme und Umrechnungsfaktoren (Kraft in N und Zeit in s) . . . 16

4.1 Wesentliche APDL Befehle und ihre Bedeutung . . . . . . . . . . . . . . . . 34

9.1 Befehle zur Messung von Zeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65


82 TABELLENVERZEICHNIS


Literaturverzeichnis

[1] Zienkiewicz, O.C. and R.L. Taylor. The Finite Element Method 1. McGraw-Hill,1989.

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[5] Bathe, K.-J. Finite-Elemente-Methoden. Springer, 1990.

[6] Desai, C.S., J.F. Abel. Introduction to the Finite Element Method. A NumericalMethod for Engineering Analysis. Van Nostrand Reinhold, 1972.

[7] Oden, J.T. Finite Elements of Nonlinear Continua. McGraw-Hill, 1972.

[8] Bathe, K.-J., E.L. Wilson. Numerical Methods in Finite Element Analysis. McGraw-Hill, 1976.

[9] Neugebauer, O. The Exact Sciences in Antiquity. Dover, 1969.

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[11] The Finite Element in Plane Stress Analysis, Pittsburgh, Pa, Sept. 1960.

[12] Kress, G., M. Siau, and P. Ermanni. Iterative Solution Methods for Damage Progres-sion Analysis. Composite Structures, 69:21–33, 2004.

[13] Barlow, J. Optimal Stress Locations in Finite Element Models. Int. J. Num. Methodsin Engineering, 10:243–251, 1976.


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