fecha de entrega por el docente: 2 de agosto del 2021
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1. IDENTIFICACION
GRADO: 10º 1-2-3-4
AREA – ASIGNATURA: MATEMÁTICAS
DOCENTE RESPONSABLE: Marlene Medina (10º-2-3) – Abelardo Pérez (10º-1-4)
FECHA DE ENTREGA POR EL DOCENTE: 2 de agosto del 2021
FECHA DE DESARROLLO: 2 de agosto al 16 de septiembre del 2021
2. COMPETENCIAS Y APRENDIZAJES ESPERADOS (¿Qué voy a Aprender?)
• Interpretación y representación
• Formulación y ejecución
• Argumentación
Aprendizaje esperado:
Comprender las características y las propiedades de las funciones trigonométricas, para la
correcta aplicación en el contexto trigonométrico y resolver situaciones problemas en la
cotidianidad.
Aplicar las identidades trigonométricas para demostrar las igualdades, además de encontrar
su importancia en la ciencia y la vida.
2- PRESENTACION DE TEMATICAS Y ACTIVIDADES A TRABAJAR
(Qué actividades haré?)
TEMA1. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA UNITARIA
VARIABLES (DEPENDIENTE – INDEPENDIENTE)
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto
de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en una circunferencia unitaria
(de radio 1). Existen seis funciones trigonométricas básicas, las cuatro últimas se
definen en relación de las dos primeras funciones, aunque se pueden definir
geométricamente o por medio de sus relaciones.
INSTITUTO TECNICO DE COMERCIO BARRANQUILLA
EDUCACION BAJO EL MODELO ESCUELA HOGAR
GUIA DIDACTICA DE APRENDIZAJE No 3
APLICACIONES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRCAS Se aplican en la medicina, náutica, música, astronomía, arquitectura, ingeniería,
telecomunicaciones, física entre otras.
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA UNITARIA
El modelo de las gráficas de las funciones trigonométricas se obtiene evaluando la
función para ángulos que forman una revolución completa.
Circunferencia trigonométrica unitaria, es una circunferencia de radio 1, con centro
en el origen C(0,0) de un sistema de coordenadas en un plano euclídeo. Se utiliza para
poder estudiar las razones y funciones trigonométricas mediante la representación
de los triángulos rectángulos auxiliares. Nos ayuda a fundamentar las funciones
trigonométricas. A través de la ecuación del circulo unitario x2 + y2 = 1 se pueden
encontrar ciertos radios trigonométricos y así llegar a las gráficas de las funciones
trigonométricas ya que nos pude extender el dominio del seno y coseno a todos los
números reales.
Circulo unitario
Cuadrante I 0° A 90°
Cuadrante II 90° A 180°
Cuadrante III 180° a 270°
Cuadrante IV 270° A 360°
PROPIEDADES, COMPORTAMIENTO Y GRÁFICAS DE LAS FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS
Gráfica de las funciones trigonométricas
Las gráficas de las funciones trigonométricas poseen propiedades matemáticas como
máximo, mínimo, asíntotas verticales, alcance y período entre otras.
Es necesario estudiar la forma de la gráfica de cada función trigonométrica. Esta
forma está asociada a las características particulares de cada función.
Al establecer relaciones entre dos conjuntos mediante las funciones trigonométricas
se establecen relaciones como y= sen(x), y = cos(x), y = tan(x), y = cot(x), y = csc(x), y
= sec(x).
La expresión en el paréntesis se denomina argumento de la función (dominio) mientras
que y representa el alcance.
Las gráficas de estas funciones se extienden sobre los ejes coordenados, si es sobre
el eje x , tienen la característica de repetirse por intervalos. Esto significa que cada
cierta cantidad de radianes, una parte de la gráfica de la función es la misma
(período). La extension sobre el eje y se conoce como alcance.
FUNCION SENO
La gráfica de la función seno del ángulo se puede obtener transfiriendo puntos del
círculo unitario al sistema rectangular de coordenadas. La función seno del ángulo
utiliza la “y” de los arcos del círculo unitario. El ciclo fundamental de la función seno
del ángulo comienza en 0 y termina en 2π
Características de y = sen x • Su dominio es el conjunto de números reales
• Su alcance es el conjunto de números mayores o iguales que menos uno hasta los
números menores o iguales que uno.
• Su intercepto es en el eje y es el punto (0,0)
• El eje x será el eje de referencia.
• El punto máximo del ciclo fundamental tiene coordenadas (π /2, 1)
• El punto mínimo del ciclo fundamental tiene coordenadas (3π /2, -1)
• Su período es 2π.
FUNCIÓN COSENO
La gráfica de la función coseno del ángulo se puede obtener transfiriendo puntos del
círculo unitario al sistema rectangular de coordenadas. La función coseno del ángulo
utiliza la “x” de los arcos del círculo unitario. El ciclo fundamental de la función
coseno del ángulo comienza en 0 y termina en 2π
Características de y = cos x • Su dominio es el conjunto de números reales
• Su alcance es el conjunto de los números mayores o iguales que menos uno hasta los
números menores o iguales que uno.
• Su intercepto en el eje y es el punto (0,1)
• El eje x será el eje de referencia.
• El punto máximo del ciclo fundamental tiene coordenadas (0,1) y (2 π,1)
• El punto mínimo del ciclo fundamental tiene coordenadas (π, -1)
• Su período es 2π
FUNCIÓN TANGENTE
La gráfica de la función tangente del ángulo se puede obtener transfiriendo puntos del
círculo unitario al sistema rectangular de coordenadas. La función tangente del ángulo
es el cociente de la “y” y la x de los arcos del círculo unitario. El ciclo fundamental de
la función tangente del ángulo comienza en -π /2 y termina en π /2
Características de la función y = tan x • Su dominio es toda x ≠ (π/2) ± nπ
• Su alcance es el conjunto de todos los números reales
• Su intercepto en el eje y es el punto (0,0)
• El eje x será el eje de referencia
• Las asíntotas del ciclo fundamental son x = ± π/2
• Su período es π
FUNCIÓN COTANGENTE
La gráfica de la función cotangente del ángulo se puede obtener transfiriendo puntos
del círculo unitario al sistema rectangular de coordenadas. La función cotangente del
ángulo es el cociente de la “x” y la “y” de los arcos del círculo unitario. El ciclo
fundamental de la función cotangente del ángulo comienza en 0 y termina en π.
Características de la función y = cot x
• Su dominio es toda x ≠ ± nπ
Su alcance es el conjunto de todos los números
• reales.
• No tiene intercepto en el eje y.
• El eje x será el eje de referencia.
• Las asíntotas del ciclo fundamental son x = ± nπ
• Su período es π
FUNCIÓN SECANTE
La gráfica de la función secante del Angulo se puede obtener transfiriendo puntos del
círculo unitario al Sistema rectangular de coordenadas o buscando los recíprocos de la
función coseno. La función secante del ángulo es el recíproco de la “x” de los arcos del
círculo unitario. El ciclo fundamental de la función secante del ángulo comienza en -π/2 y
termina en 3π/2.
Características de la función y = sec x
• Su dominio es el conjunto de números reales excepto (π/2) + nπ.
• Su alcance es el conjunto de todos los números menores o iguales que menos uno y todos
los números mayores o iguales que uno.
• Su intercepto en el eje y es el punto (0,1)
• El eje x será el eje de referencia.
• El punto máximo del ciclo fundamental tiene coordenadas (π, -1)
• El punto mínimo del ciclo fundamental tiene coordenadas (0,1)
• Las asíntotas del ciclo fundamental son las ecuaciones x = -π/2, x = π/2 y x = 3π/2.
• Su período es 2π.
FUNCIÓN COSECANTE
La gráfica de la función cosecante del ángulo se puede obtener transfiriendo puntos del
círculo unitario al sistema rectangular de coordenadas o buscando los recíprocos de la “y”
de los arcos del círculo unitario. El ciclo fundamental de la función cosecante del ángulo
comienza en 0 y termina en 2π.
Características de la función y = csc x
• Su alcance es el conjunto de todos los números menores o iguales que menos uno y todos
los números mayores o iguales que uno.
• Su intercepto en el eje y es el punto (0,1)
• El eje x será el eje de referencia.
• El punto máximo del ciclo fundamental tiene coordenadas (π, -1)
• El punto mínimo del ciclo fundamental tiene coordenadas (0,1)
• Las asíntotas del ciclo fundamental son las ecuaciones x = - π/2, x = π/2 y x = 3 π/2
• Su período es 2π.
Definición de función Par y función impar
Una función es par si para cada x en el dominio de f(-x) = f(x). Las funciones pares tienen simetría
reflectiva a través del eje de las Y.
Una función es impar si para cada x en el dominio de f, f(-x) = -f(x) Las funciones impares tienen
simetría rotacional de 180° con respecto al origen. Su gráfica no se altera luego de una rotación de
180° alrededor del origen.
ACTIVIDADES PARA DESARROLLAR
ACTIVIDAD 𝑵𝟎 1
Completa el siguiente cuadro
Y = sen x Y = cos x Y= tan x Y = cot x Y = sec x Y = csc x
DOMINIO
RANGO
AMPLITUD
PERIODO
PAR
IMPAR
ASINTOTAS
ACTIVIDAD 𝑵𝟎 2
Utiliza los enlaces y traza las gráficas de las funciones trigonométricas.
GEOGEBRA
http://geogebra.softonic.com/descargar
Graphmatica http://graphmatica.programas-gratis.net/
AMPLITUD, PERIODO Y DESFASE DE UNA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA
AMPLITUD (A)
Es el promedio de la diferencia entre los valores máximo y mínimo de la función. El
número A modifica los valores máximo y mínimo de la función.
F(X) = Sen (x) la amplitud es A=1
F(X) = 2Sen(x) la amplitud es A= 2
F(X) = 3Sen(x) la amplitud es A= 3
F(X) = 4Sen(x) la amplitud es A= 4
PERIODO(T)
El coeficiente de x, indica la cantidad de veces que la gráfica de seno se repite en su
periodo normal que es de 360º. Por ejemplo, la función y= Sen(2x), al graficarla,
debemos trazar dos ciclos completos de la función seno en 360º o 2pi, por tanto, el
periodo se reduce a la mitad: 180º. En general, el periodo de la función, en grados, se
calcula mediante la expresión: T= 2π/a
F(X) = Sen(2x)
T = 360º / 2
T = 180º
O también lo podemos expresar en radianes T =2π
2= π
DESFASE (d)
El ángulo de fase determina el desplazamiento horizontal de la función respecto de la
función y = Sen(x). El ángulo de fase se calcula mediante la expresión: d=- 𝜃
𝑎
Y=sen(x +π/6)
a=1
d = -𝜃
𝑎 =
−𝜋
6
1 = -π/6
punto inicial= -π/6
punto final= -π/6 + 2π= 11π/6
OBSERVA EL VIDEO PARA UNA MEJOR COMRENSIÓN:
ENLACE:
https://youtu.be/oBkTKObHEnQ
DESPLAZAMIENTO VERTICAL (D)
Como su nombre lo indica, D determina el corrimiento de la gráfica de manera vertical,
es decir que, traslada el eje de la gráfica hacia arriba o hacia abajo, por tanto, modifica
el rango de la función. Por ejemplo:
OBSERVA EL VIDEO PARA UNA MEJOR COMRENSIÓN:
ENLACE:
https://youtu.be/BbZazeEacEY
ACTIVIDADES PARA DESARROLLAR
ACTIVIDAD 𝑵𝟎 3 1. Dada las siguientes funciones hallar la amplitud, el periodo y desfase
a. 𝒇(𝒙) = 𝟒𝒔𝒆𝒏(𝒙 + 𝟒) c. 𝒇(𝒙) = 𝟓𝒕𝒂𝒏(𝟑𝒙 −𝝅
𝟖)
b. 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒄𝒐𝒔(𝟐𝒙 + 𝝅) d. 𝒇(𝒙) = 𝒄𝒐𝒕𝒈(𝒙 −𝝅
𝟖)
TEMA2. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
Las identidades trigonométricas son ecuaciones que involucran las funciones
trigonométricas que son verdaderas para cada valor de las variables involucradas.
Son fundamentales en matemáticas porque sirven de base para la demostración de
otras entidades más complejas. Se utilizan para simplificar expresiones
trigonométricas; nos sirven para mostrar que cada vez que se cumple la primera
expresión, se va a cumplir la segunda.
Algunas de las más usadas identidades trigonométricas son derivadas del teorema de
Pitágoras , como las siguientes:
Las identidades recíprocas:
Las identidades cocientes:
EJEMPLO 1: Demuestra que la siguiente igualdad se cumple, utilice las identidades
trigonométricas 𝑡𝑎𝑛𝑥.𝑐𝑜𝑡𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥= 𝑠𝑒𝑐𝑥
Solución:
Paso 1: parta del lado más complejo al más simple en este caso 𝑡𝑎𝑛𝑥. 𝑐𝑜𝑡𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
Paso 2: Identifique en este caso que identidades puede utilizar en este caso
utilizaremos las de cociente:
Paso 3: Reemplace en la ecuación dada en el paso 1 y resuelva
𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥=
1
𝑐𝑜𝑠𝑥
Recordemos que 1
𝑐𝑜𝑠𝑥= 𝑠𝑒𝑐𝑥 por lo tanto
𝑡𝑎𝑛𝑥.𝑐𝑜𝑡𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥= 𝑠𝑒𝑐𝑥
EJEMPLO 2: Demuestra que la siguiente igualdad se cumple, utilice las identidades
trigonométricas 𝑠𝑒𝑛𝑥(1 + 𝑐𝑜𝑡2𝑥) = 𝑐𝑠𝑐𝑥
Paso 1: parta del lado más complejo al más simple en este caso
𝑠𝑒𝑛𝑥(1 + 𝑐𝑜𝑡2𝑥) Paso 2: Identifique en este caso que identidades puede utilizar en este caso
utilizaremos las pitagóricas y reciprocas:
Paso 3: Reemplace en la ecuación dada en el paso 1 y resuelva
𝑠𝑒𝑛𝑥(𝑐𝑠𝑐2𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥 (1
𝑠𝑒𝑛2𝑥) =
1
𝑠𝑒𝑛𝑥
Recordemos que 1
𝑠𝑒𝑛𝑥= 𝑐𝑠𝑐𝑥 por lo tanto 𝑠𝑒𝑛𝑥(1 + 𝑐𝑜𝑡2𝑥) = 𝑐𝑠𝑐𝑥
EJEMPLO 3: Demuestra que la siguiente igualdad se cumple, utilice las identidades
trigonométricas 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥. 𝑠𝑒𝑛𝑥= 𝑐𝑠𝑐𝑥 + 𝑠𝑒𝑐𝑥
Paso 1: parta del lado más complejo al más simple en este caso 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥. 𝑠𝑒𝑛𝑥
Paso 2:En este caso apliquemos operaciones algebraicas primero y resolvamos
𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥. 𝑠𝑒𝑛𝑥 =
𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥+
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥
=1
𝑠𝑒𝑛𝑥+
1
𝑐𝑜𝑠𝑥
Paso 3: Recuerde que el entonces tenemos que: 1
𝑠𝑒𝑛𝑥+
1
𝑐𝑜𝑠𝑥= 𝑐𝑠𝑐𝑥 + 𝑠𝑒𝑐𝑥
Por lo tanto 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥. 𝑠𝑒𝑛𝑥= 𝑐𝑠𝑐𝑥 + 𝑠𝑒𝑐𝑥
OBSERVA LOS SIGUIENTES VIDEO PARA UNA MEJOR COMRENSIÓN:
ENLACES:
https://youtu.be/jqZUGlJG50g
https://youtu.be/o8fNaPDFbFQ
ACTIVIDADES PARA DESARROLLAR
ACTIVIDAD 𝑵𝟎 4
Demuestre las siguientes identidades trigonométricas, utilice las identidades
mencionadas;
a. 𝒔𝒆𝒏𝒙. 𝒄𝒐𝒕𝒙 = 𝒄𝒐𝒔𝒙
b. 𝒄𝒐𝒔𝒙(𝟏 + 𝒕𝒂𝒏𝟐𝒙) = 𝒔𝒆𝒄𝒙
c. 𝒔𝒆𝒄𝒙. 𝒄𝒐𝒕𝒙 = 𝒄𝒔𝒄𝒙
d. 𝒄𝒐𝒕𝒙
𝒄𝒐𝒔𝒙= 𝒄𝒔𝒄𝒙
3- PLAN DE EVALUACION DETALLADO (¿Cómo me voy a evaluar?)
Estimada estudiante:
Es importante que tenga en cuenta la siguiente rúbrica de autoevaluación ya que es
necesario conocer las fortalezas y debilidades para el mejoramiento continuo de su
aprendizaje.
(Marque con una X la casilla de acuerdo al nivel establecido, siendo nunca el desempeño
más bajo y siempre el desempeño más alto).
CRITERIOS A VALORAR NUNC
A
CASI
NUNCA
POCAS
VECES
CASI
SIEMPRE
SIEMPR
E
Tiene claridad con los
conceptos y el aprendizaje
esperado a través de las
actividades planteadas.
En casa estudio sin
distracciones, y pido ayuda a
mis padres, familiares, e
intento comprender los
temas planteados por el
profesor (a).
Por lo general usa una
estrategia eficiente y
efectiva para resolver
problemas.
Relaciona los temas
estudiados con
Con situaciones de la ciencia
y la vida.
Da a conocer de forma clara
y organizada los resultados
de la actividad planteada por
el profesor (a).
La explicación demuestra
completo entendimiento del
concepto matemático usado
para resolver los problemas.
Ha sido puntual con las
entregas de las actividades.
Reconoce los avances
obtenidos, al finalizar la guía
de aprendizaje.
Asiste periódicamente, a las
asesorías virtuales
establecidas por el docente,
para obtener un
aclaramiento de los temas.
Al finalizar reconoce la
importancia de las temáticas
en su desarrollo integral.
4. AUTOEVALUACION POR CADA UNA DE LAS ACTIVIDADES PLANTEADAS.
Es necesario conocer que tanto entendiste las temáticas anteriores es por esto que te
invito a resolver el siguiente cuestionario de autoevaluación a través del siguiente
enlace(https://forms.gle/HTVK8kgFaHMDXgfy9 ) que me permitirá conocer que tanto
has avanzado o debes mejorar enviar evaluación al correo ([email protected])
profesora Marlene Medina si perteneces a 10º2-3 y al correo ([email protected])
profesor Abelardo Pérez si pertenece a 10º1-10°4. Las estudiantes tendrán una
participación activa; desarrollarán los procesos establecidos en el eje temático sobre
Funciones trigonométricas e identidades trigonométricas, ya que lo harán mediante la
investigación donde luego el/la docente dará las aclaraciones pertinentes para así evaluar
las dimensiones:
• Cognitiva: Los docentes evaluarán a las estudiantes en dos fases.
La primera evaluación de desempeño.
Evaluación por competencias
• De habilidad: las estudiantes desarrollarán actividades en el cuaderno y talleres
prácticos de las temáticas desarrolladas.
• Axiológico: por medio de la rúbrica de evaluación y autoevaluación.
La publicación de la evaluación se establecerá en el cronograma de actividades y el
examen final de acuerdo con el cronograma establecido por la institución.
5- RECOMENDACIONES - EVIDENCIAS DE LA GUÍA DE APRENDIZAJE
Estimadas estudiantes:
Se hace indispensable que usted tenga en cuenta las siguientes indicaciones para tener
éxito en el desarrollo de la presente guía:
Lea cuidadosamente la guía de actividades.
Al enviar las actividades, escribir su nombre completo y su curso
Las actividades deben ser enviadas a través de mil aulas o el correo electrónico
No dude en consultar cualquier inquietud por medio del correo, el WhatsApp o mil
aulas
Datos de contacto:
Profesora:Marlene Medina
Correo:[email protected]
Teléfono:3016459282
Profesor: Abelardo Pérez
Correo: [email protected]
Teléfono:3007044348
Cerciórese que la comprendido en su extensión
Descárguela en su equipo para tener acceso fácil a ella
Si le es posible imprímala para consultarla de forma inmediata
Contraste o compare su trabajo final con la guía, de forma que cumpla con los
requisitos mínimos exigidos.
DIA Y FECHA SEGÚN
HORARIO DE CURSO
ACTIVIDAD
ORIENTA EL PROFESOR
RESPONSABLE
Durante este 3 período de clases presenciales, se irán dando
las debidas explicaciones y desarrollando en los encuentros
las actividades propuestas incluyendo dos quices con
respecto a los temas propuestos.
ORIENTA EL DOCENTE
RESPONSABLE
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
DEL 2 DE AGOSTO AL 16 DE
SEPTIEMBRE.
Auto evaluación y retroalimentación
ENLACE: (https://forms.gle/HTVK8kgFaHMDXgfy9 )