Factorización

En matemáticas, la factorización es una técnica que consiste en la descripción de una expresión matemática (que puede ser un número, una suma, una matriz, un polinomio, etc) en forma de producto.

ObjetivoExpresar un polinomio como una multiplicación indicada en factores primos.

FactorizaciónEs el proceso inverso de la multiplicación por medio del cual una expresión algebraica racional entera es presentada como el producto de dos o más factores algebraicos.

Factorizaciónx2−6 x+8=(x−4)(x−2)

Multiplicación

a2−b2=(a+b)(a−b)

*puede notarse que si multiplicamos (a+b)(a−b)se obtiene a2−b2que viene a ser el polinomio original (la factorización y la multiplicación son procesos inversos)

Factor o Divisor Algebraico:

Un polinomio no constante es un factor común de otro polinomio, cuando lo divide exactamente, es decir: si f ( x )es un factor de P(x ), entonces P(x )es divisible por f ( x ).

Ejemplo:

*x+1es un factor de x2−1, dado que x1−1x+1

=x−1 es exacta

Métodos de Factorización:

No existe un método específico para factorizar una expresión, dado que esta se puede hacer por dos o más métodos llamados también criterios, los cuales se mencionarán a continuación:

1. Factor Común

Se aplica cuando en todos los términos del polinomio se repite el mismo factor, el que se denomina factor común. Para factorizar se extrae la parte que se repite en todos los términos, para lo cual se extrae la expresión repetida elevada a su menor exponente.

Ejemplo:

ya factorizado

factoresantes de factorizar

Factor Primo

Factor Primo

Ejemplo:

Factorizar: E=7 x5 y5−2 x3 y3+x2 x2

Resolución:

*El factor común monomio será x2 y2. Se procede a sacar el factor común hacia afuera y luego dividiremos los otros términos entre dicho factor común. Luego de dicho procedimiento se tendrá:

E=x2 y2(7 x3 y3−2xy+1)

1.2 Factor Común Polinomio

Se usa este método cuando el polinomio posee un factor común de 2 o más términos. Por lo general, se encuentra luego de agrupar términos y bajo los siguientes criterios.

De acuerdo al número de términos:

Ejemplo:Si el polinomio tiene 8 términos podemos agrupar de 2 en 2 o de 4 en 4.

Factorice: x2+ xy+ xz+zy

x2+ xy+ xz+zy=x (x+ y )+z ( x+ y )

¿(x+ y )(x+z)

De acuerdo a los coeficientes de los términos:Ejemplo:Factorizar: E=x12+x8 y4+x4 y8+x12

*como no hay factor común monomio podemos agrupar los 4 términos de 2 en 2 y en forma ordenada.En cada uno de los grupos:

E=x8 (x4+ y4 )+ y8(x4+ y4)*Factor común polinomio (x4+ y 4 ). Ahora dividimos cada agrupación entre el factor común polinomio.

E=(x4+ y4)(x8+ y8)

*Los factores primos no se pueden descomponer en nuevos factores, tienen un único divisor que es sí mismo.*esta expresión tendrá 2 factores.

2. Método de las Identidades

Consiste en aplicar en forma inversa los diferentes productos notables ya estudiados (trinomio cuadrado perfecto, diferencia de cuadrados, suma o diferencia de cubos,…, etc.)

a) Trinomio Cuadrado Perfecto (T.C.P)

De la forma: A2±2 AB+B2=(A± B)2

Ejemplo:m3−2m2+m

Resolución:- Usando Factor Común

m (m2−2m+1 )

- Por identidad sabemos que m2−2m+1 es un T.C.P por lo tanto:

m3−2m2+m=m (m−1 )2

b) Diferencia de Cuadrados

De la forma: A2−B2=(A+B)(A−B)

Factorizar: a6b8−36Resolución:

a6b8−36

*entonces:a6b8−36=(a3b4+6 ) (a3b4−6 )

b) Suma o diferencia de cubos

De la Forma: a3±b3=(a±b)(a2∓ ab+b2)

Factorizar: x6−1Resolución:

¿

¿(x+1)(x−1)(x2+x+1)

6a3b4√ √

3. Aspa Simple

Se utiliza para factorizar expresiones trinomias o aquellas que adopten esa forma:

Ax2m+Bxm yn+Cy2n

*Para factorizar este tipo de polinomios se sigue los siguientes pasos:a. se adecúa la expresión a la forma mencionada.b. se descompone convenientemente los extremos (teniendo en cuenta el juego de signos)c. se efectua el producto en aspa y se suman los resultados, si este coincide con el termino central de la expresión, entonces se concluye que los factores serán sumas horizontales.

1 x8−6 x4−12

Ejemplo:Factorizar: P ( x )=3 x2−4 x−15

3 x2−4 x−153 x 5 x -> 5 xx −3 x -> −9 x + 4 x

Luego: P ( x )=(3 x+5 ) ( x−3 )

4. Aspa Doble

Se utiliza para factorizar polinomios de la forma:

Ax2m+Bxm yn+Cy2n+Dxm+Eyn+F

Mayor exponente es par

Coeficiente Variables IgualesExponente es la mitad del mayor

Sin variable, puede ser (+) o (-)

*o cualquier otra expresión transformable a esta. Los pasos a seguir son los siguientes:

a) se adecúa el polinomio a la forma general, en caso de que falte uno o más términos estos se completan con ceros.b) se toma el primer trinomio de la expresión y se aplica aspa simple para comprobar el término xm yn.c) seguidamente a los términos en y2n ; yn y el término independiente F se les aplica un aspa simple para comprobar al término en yn.d) finalmente se aplica un aspa de extremo a extremo para comprobar al término en xn .*cumplidos los pasos anteriores se concluye que los factores serán las sumas horizontales.

Ejemplo: Factorizar: P ( x ; y )=3x2+10 xy+8 y2+14 x+22 y+15

Resolución:3 x2+10 xy+8 y2+14 x+22 y+15

3x 4y 5

I III II X 2y 3

*luego: P ( x ; y )= (3x+4 y+5 ) ( x+2 y+3 )