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75SAN MARCOS REGULAR 2009 - III QUÍMÁLGEBRA12
TEMA
I. DEFINICIÓNEs un proceso de transformaciones sucesivas en la cual
un polinomio se expresa como una multiplicación indi-
cada de sus factores primos, dentro de un campo nu-
mérico.
x -x-6 = (x-3)(x+2)2
Factorización
Polinomio primo o irreductible
Es aquel polinomio que no acepta transformación a
multiplicación indicada de dos o mas polinomios no cons-
tantes, pertenecientes a dicho campo numérico.
II. CRITERIO DE FACTORIZACIÓN
A. Criterio del factor común y/o agrupación de
términos
El factor común es el factor que más se repite en todos
los términos de una expresión, para factorizar se extrae
el factor común pero elevado a su menor potencia.
Desde tiempos muy lejanos surge la teoría de los números la cual está apoyada en la parte algebraica como una necesidad
para facilitar la resolución de ecuaciones e inecuaciones, el estudio de las funciones, etc. Surgen diversos procedimientos
de transformación de polinomios a los cuales se les denomina factorización, en el cual se busca expresar un polinomio
como una multiplicación indicada de otros polinomios de menor grado.
Ejemplo:
2P a,b a ab ac bc
a a b c a b
a b a c
B. Criterio de las Identidades
En estos casos debe tenerse en cuenta los diversos
casos vistos en productos notables.
Ejemplo:
Factorizar: x - xz + y - yz + 2xy2 2
Acomodando
2 2
T . C . P
2
x +2xy+y xz yz
x y z x y
x y x y z
Todo polinomio primo presenta como únicos divisores
a él mismo y cualquier constante no nula.
IDEAS FUERZA
FACTORIZACIÓN
ÁLGEBRA - TEMA 12
Generalmente el campo numérico a utilizarse será
el de los racionales, salvo se indique lo contrario.
SUGERENCIAS
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FACTORIZAC IÓN A cademias Exigimos más!P amer
76 SAN MARCOS REGULAR 2009 - III12
TEMA ÁLGEBRA
C. Criterio del aspa simple
Se utilizan en polinomios que adoptan la forma:
2n n n 2nax bx y cy
Pasos a seguir:
• Descomponer los extremos, a los cuales vamosa llamar términos fijos.
• Multiplicar en aspa y sumar los resultados y nos
reproduzca el término central.
• Los factores serán las sumas horizontales.
Ejemplo:
Factorizar
30x +13x-102
6x5x
5-2
25x-12x13x
+
Finalmente: (6x + 5)(5x – 2)
D. Criterio del aspa doble
Se utiliza este criterio para factorizar polinomios que
tienen la forma general.
2n n m 2m n m Ax Bx y Cy Dx Ey F
Pasos a seguir:
• Se adecua el polinomio a la forma general en
caso falte uno o más términos se completa con
ceros.
• A los tres primeros términos se le aplica el aspa
simple para comprobar el término Bxnym.
• Luego el último término se descompone en 2factores primos con la finalidad de comprobar
los términos Dxn e Eym, utilizando para ello dos
veces el aspa simple.
• Los factores se tomarán con los elementos de
una misma fila.
Ejemplo:
Factorizar
3x +10xy+8y +14x+22y+152 2
3xx
4y2y
53
Finalmente: (3x + 4 y + 5)(x + 2y + 3)
E. Criterio del aspa doble especial
Se utiliza para factorizar polinomios que adopten la
forma:
4n 3n 2n n Ax Bx Cx Dx E
El método consiste en descomponer los términos
extremos de tal manera que al efectuar el producto
en aspa y sumar los resultados nos de un valor igual
o próximo al término central, la cantidad que falte
o sobre será la que se descomponga en los
términos centrales de los nuevos dos factores de
tal manera que comprueba cada uno de los términos
del polinomio.
Ejemplo:
x +5x+9x +11x+64 2
x2
x2
32
4xx
Se observa que* Se tiene: 5x2
* Se debe tener: 9x* Se necesita: 4x =(4x)x
2
2
(x2 + 4x + 3)(x2 + x + 2)
(x + 3)(x – 1)(x2 + x + 2)
F. Criterio de los divisores binomios
Se utiliza para factorizar polinomios de cualquier
grado y de una sola variable que aceptan factores
binomios de la forma (ax b).
Cero de un polinomio: es el valor o conjunto de
valores que tienen la propiedad de anular a
determinado polinomio.
Ejemplo:
F(x) = x3 + 3x – 4
Para x = 1
F(1) = 13 + 3(1) – 4 = 0
1 será un "cero" de F
Regla para calcular los posibles ceros de un polinomio
P.C.=PosiblesCeros
= + Divisores del T.I.
Divisores del 1er Coef.
Ejemplo:
E(x) = x3 – 11x2 + 31x – 21
P.C. = 1, 3, 7,, 21,
Para x = 1 se anula, luego tendrá un factor (x – 1)
determinado el otro factor por la regla de Ruffini.
1
1
1
-11
-10
31
21
-10
1
-21
21
0
E(x)=(x – 1)(x2 – 10x + 21)
E(x)=(x – 1)(x – 7)(x – 3)
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FACTORIZACIÓN
77SAN MARCOS REGULAR 2009 - III QUÍMÁLGEBRAICA
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12TEMA
NIVEL I
1. Si:
P(x)=axa – bxc+b+2; {a; b; c}
Es de grado 2 y admite el factor
(x – 3). Encuentre la suma de
coeficientes de P(x).
A) 1 B) –1
C) 0 D) 5
E) 4
2. Factorice el polinomio:
P(a; b) = ca3 + a2bc + ab2c + b3c
Y dé el valor de las siguientes
proposiciones:
I. Posee 3 factores primos.
II. P(a;b) posee 1 factor primo
lineal.
III. La suma de los factores primos
es a2 + b2 + a + b + c.
A) VFF B) FVV
C) FFF D) FVF
E) FFV
3. Factorice:P(a; b) = a3 + a2b – b3 – ab2
E indique el número de factores
primos.
A) 2 B) 3
C) 4 D) 5
E) 6
4. Factorice:
P(x; y; z) = (x2 – y2 – z2)2 – 4y2z2
Luego indique el número de facto-
res algebraicos.
A) 16 B) 7
C) 15 D) 11
E) 8
NIVEL II
5. Factorice:
P(x; y) = 4x4 – 16x2 – y2x2 + 4y2
Indique el número de factores
primos.
A) 1 B) 2
C) 3 D) 4
E) 5
6. Factorice:
P(x; y) = 4x2y2 – x2 + 1 – 4xy
Indique un factor.
A) x + y
B) x – y
C) 2xy – 1 – x
D) 2xy – 1
E) 24 – x
7. Luego de factorizar:
P(x) = x2 + 5x + 4
Q(x) = x2 – 2x – 3
R(x) = x6 – 4x4 – x2 + 4
Indique el factor primo en común. A) x – 1 B) x – 3
C) x + 4 D) x + 1
E) x – 2
8. Factorizar:
R(x; y) = 4x4 + 15x2y2 – 54y4
Luego indique el N.F.A.
A) 1 B) 3
C) 7 D) 8
E) 5
Problema 1
Factorizar:
5r(p4
+ q) – p2
(r2
+ 25q)Luego indique un factor primo
A) 5p2 + r
B) p2 – 5q
C) rp – q
D) pq + r
E) 5p2 – r
Resolución:
5rp 5rq p r 25p q4 2 2 2
Agrupando los términos indicados y
factorizando parcialmente:
= 5p2(rp2 – 5q) – r(rp2 – 5q)
= (rp2 – 5q)(5p2 – r)
Respuesta : E) (5p2 – r)
Problema 2
Factorizar:
10x2+21y2+29xy
Hallar la suma de sus factores primos
A) 4x + y
B) 5x – 2y
C) 5x – 3y
D) 7x + 3y
E) 4x + 2y
Resolución:
10x2+29xy+21y2
5x
2x
7y
3y
14xy
15xy
29xy
+
Finalmente:
(5x + 7y)(2x + 3y)
Respuesta : D) (7x+3y)
Problema 3
Factorizar e indicar la suma de sus
factores primos.
12a2 – 59b – 63 – 7ab – 10b2 + 15a
A) 5a + 2b – 2
B) 4a + 5b + 3
C) 7a – 3b + 2
D) 8a + 5b – 2
E) 3a + 2b + 3
Resolución:
Ordenando y aplicando el criterio de
aspa doble
4a
3a
–
2b
5b
12a -7ab - 10b - 15a - 59b - 632
–7
9
2
Finalmente (4a – 5b – 7)(3a + 2b + 9)
Luego factores primos: 7a – 3b + 2
Respuesta : C) 7a–3b+2
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