facsimil unab 8-2004

Universidad Andrés Bello Prueba de Selección Universitaria - 2004 PRUEBA DE SELECCIÓN UNIVERSITARIA PRUEBA OBLIGATORIA DE MATEMÁTICA

Ensayo Nº8 INSTRUCCIONES ESPECÍFICAS

1. Este facsímil consta de 70 preguntas. 2. Las figuras que aparecen en la prueba NO ESTÁN necesariamente dibujadas a escala. 3. Antes de responder las preguntas Nº 64 a la Nº 70 de este facsímil, lea atentamente las instrucciones que aparecen a continuación de la pregunta Nº 63. 4. Tiempo de respuesta: 120 minutos. 5. A continuación encontrará una serie de símbolos, los que puede consultar durante el desarrollo de los ejercicios.

SÍMBOLOS MATEMÁTICOS

x y <

x > y x y ≥

x y ≤

x y ≠

x y ≈

log x a x ≤ b ≤

a x < b ≥

x es menor que y x es mayor que y x es mayor o igual a y x es menor o igual a y x es distinto de y x es aproximadamente igual a y logaritmo de x en base 10 x es mayor o igual que a y menor o igual que bx es menor o igual que a y menor que b

A ≅ B A es congruente con B A ~ B A es semejante con B A // B A es paralelo a B A ⊥ B A es perpendicular a B

AB = AB trazo AB ∠ x ángulo x ángulo recto

1. Si T es un número racional distinto de cero, entonces, para todo T se cumple que:

I: TT1

>− II: TT < III: 22 TT −<

Es (son) verdadera(s): A) Todos B) Solo II y III C) Solo I y III D) Solo II E) Ninguno

2. Si x es un número entero mayor que cero, entonces, la expresión xx 15 − siempre dará origen a un

número: A) Entero mayor que 4 B) Racional menor que 4 C) Racional menor que 5 D) Real mayor que 5 E) Irracional menor que 5

PSU Matemática – Ensayo Nº8 1

Universidad Andrés Bello Prueba de Selección Universitaria - 2004 3. Si p representa un número entero mayor que cero, entonces, el producto de dos números enteros pares consecutivos se representa como: A) 4p B) 4p2 C) 4p2 + 2 D) 4p (p + 1) E) 2p (p + 2)

4. El valor numérico de la expresión 3210

21

31

41

51 −−−

−

+

−

es:

A) –3 B) –2 C) 5 D) 6 E) Ninguno de los anteriores

5. El valor numérico de 5

137

10·9

10·2·10·25,2 − es:

A) 5 · 10-12 B) 0,5 · 10-12 C) 5 · 10-2 D) )( 2

1 · 10-10 E) 2 · 10-12

6. El valor numérico de la expresión 2,1·101:

53,075,0

−

es:

A) 0 B) 3/100 C) 9/100 D) 18 E) 0,18 7. Si el 15% de cierta cantidad x es 366, entonces, x, disminuida en un 15%, es igual a: A) 366 B) 2.074 C) 2.440 D) 3.111 E) 4.666,5


Universidad Andrés Bello Prueba de Selección Universitaria - 2004 8. En un estudio realizado en Gran Bretaña se le consultó a una muestra de 1.500 jovencitas de 15 a 20 años, si se harían algún tipo de cirugía estética. El 36% contestó que sí y el 21,6% que no, mientras que el resto declaró “no saber o no estar segura”. En este estudio, la razón entre las que NO se someterían a una cirugía estética y las que SÍ lo harían es: A) 2 : 3 B) 3 : 4 C) 3 : 5 D) 4 : 5 E) 5 : 9 9. En cierta comunidad hay n personas mayores de 60 años, de los cuales hay x que están económicamente activas. ¿En esta comunidad, qué % de este segmento de población no está económicamente activo?

A) n

xn )(100 − %

B) n

xn )(100 + %

C) xnxn

+− )(100 %

D) xnn

+100 %

E) xnx

−100 %

10. Se prepara un trago con 3 medidas de licor, 2 de jugo de naranja y 15 de agua mineral. La cantidad de jugo de naranja necesaria para preparar 250 centímetros cúbicos de este trago es: A) 8 cc B) 12,5 cc C) 15 cc D) 25 cc E) 50 cc 11. En la tabla adjunta se muestran los valores de A, B y C, relacionadas de forma que A es directamente proporcional al cuadrado de B e inversamente proporcional a C. El valor numérico de x es: A) 20 A B C

1,6 8 0,4

1,25 5 X

B) 2,0 C) 0,2 D) 0,25 E) 0,125


Universidad Andrés Bello Prueba de Selección Universitaria - 2004

A

B

12

6 43

1 2 3 4

Figura 1

12. El gráfico de la figura 1 muestra la relación entre las variables A y B. De acuerdo al gráfico, A y B son: A) Inversamente proporcionales, con constante de proporcionalidad 3 B) Inversamente proporcionales, con constante de proporcionalidad 12 C) Directamente proporcionales, con constante de proporcionalidad 12 D) Directamente proporcionales, con constante de proporcionalidad 1/12 E) No proporcionales

13. La expresión 34

75

16·)5,0(

2·8 − es igual a:

A) 2-9 B) 10-11 C) 2 D) 1 E) 0

14. 21

53

43

3216

+ =

A) 2 2 B) 4 2 C) 3 48 D) 16 E) 4

15. 55

555

5+

−−

=

A) 0 B) 1/2

C) 25

D) 20

55 −

E) 55

52−


Universidad Andrés Bello Prueba de Selección Universitaria - 2004 16. El cuadrado de la diferencia entre x e y, disminuido en un 80%, algebraicamente puede expresarse como: A) 5

1 (x – y)2

C) 54 x2 – 5

4 y2 E) (x – y)2 – 0,8(x – y) B) 0,2 (x2 – y2) D) 0,8 (x – y)2 17. Si P + Q = P ⋅ Q, con P y Q números distintos de 1, entonces Q =

A) 1P1P

−+

B) 1P1P

+−

C) 1P

1−

D) P1

P−

E) 1P

P−

18. El cuociente: yxyx 33

++ es igual a:

A) (x + y )2 B) x2 + y2 C) x2 + y2 – xy D) x2 – y2 – xy E) x2 + y2 – 2xy 19. Se tiene un rectángulo de lados 0,3x cm y 0,4x cm. Si su diagonal mide 2 cm, entonces, el perímetro del rectángulo es: A) 2,8 cm B) 4,0 cm C) 4,8 cm D) 5,6 cm E) 8,0 cm


Universidad Andrés Bello Prueba de Selección Universitaria - 2004 20. Un polígono de n lados tiene )3n(n2

1 − diagonales. ¿Cuántos lados tiene un polígono con 90 diagonales? A) 15 B) 17 C) 30 D) 11 E) 12 21. Se tiene un cubo de arista x. La razón entre su superficie y su volumen es: A) 2 : 3 B) 6 : 1 C) 6 : x D) 1 : x E) 6 : x2

22. 6 48 )yx()yx( −− = A) (x – y)2 B) x2 – y2 C) yx −

D) 3 2)yx( −

E) 31

)yx( − 23. (x3 – y3 + xy2 – x2y) (x + y) = A) x4 – y4 – 2xy2 – 2x2y B) x4 + y4 – xy2 – x2y C) x4 – y4 – xy2 – x2y D) x4 – y4 – xy3 E) x4 – y4 24. Si nx = -6 e y = 4/n, entonces, y/x = A) –3n/2


Universidad Andrés Bello Prueba de Selección Universitaria - 2004 B) –2n/3 C) –2/3 D) 1,5 E) 0,6

25. En la igualdad QPR

CBA

+=

+ , todas las variables son mayores que cero.

Si A y B aumentan en un 50%, es posible mantener la igualdad para todo valor de A, B, C, P, Q y R: A) Disminuyendo R en un 50% B) Disminuyendo C y R en un 50% C) Disminuyendo P y R en un 50% D) Aumentando P en un 100% E) Aumentando C en un 50% 26. Cuando r = -2, la expresión: 1 - rβ 2 + β r3 + r4 vale 20. Su valor para r = -1 es: A) 2,5 B) 2 C) 1,5 D) –0,5 E) –0,25

27. A partir de la igualdad: 2

21cvk −= , en donde v < c, se puede expresar el valor de c como:

A) 2

21vkc −

=

B) 22 kvc −=

C) 22 kvc +=

D) 21 k

vc−

=

E) 12 −

=k

vc

28. La energía cinética E de un cuerpo en movimiento, está dada por la ecuación:

E = 21 m v2, donde: m es la masa del cuerpo y v su velocidad.

Si se tiene un cuerpo A, de masa 3m y velocidad 2v, y un cuerpo B, de masa 31 m y velocidad 3v,

entonces, respecto de sus respectivas energías cinética EA y EB se puede afirmar que:


Universidad Andrés Bello Prueba de Selección Universitaria - 2004 A) 4EA = EB B) EA = 4EB C) EA = 6EB D) EA = EB E) 2EA = 3EB

29. Si x = 32

512−

, entonces, la raíz cúbica de x1 es igual a:

A) 0,125 B) 0,25 C) 1/2 D) 4 E) 8 30. El valor de x en la ecuación: log 6 + log 2 x = 3log 2 + 4log 3 es: A) 48 B) 54 C) 72 D) 5/2 E) 4/3 31. El valor de x en la ecuación es: xx −= 32 2,025 A) 1 B) 1/5 C) –3/5 D) –2 E) –1

32. Las raíces de la ecuación x

18x − = 3 son:

A) 6 y 3 B) 6 y -3 C) -6 y -3 D) -6 y 3 E) 3 y -18 33. Un comerciante compra para vender, rosas y claveles por un total de $78.000. Según sus cuentas, si vende los claveles con un 30% de utilidades y las rosas con un 40% de utilidades, sus ganancias llegarían a $27.000. ¿Cuánto dinero invirtió en comprar rosas?


Universidad Andrés Bello Prueba de Selección Universitaria - 2004 A) $31.200 B) $32.500 C) $36.000 D) $42.000 E) $67.500 34. La solución al sistema es:

4x + 1 x –5 ≥

1 – ≥4x 0

A) x 2 ≥B) x 4 ≤C) 2 x ≤ 4 ≤D) -2 ≤ x 4 ≤E) No tiene solución 35. De los intervalos presentados ¿cuál de ellos representa a los números reales que cumplen simultáneamente con las dos condiciones siguientes?

I: El doble del número, más 4, es un número negativo II: El doble del número, aumentado en 4, es mayor que -10

IR- IR+

-2 -7

IR- IR+

-2 -7

IR- IR+

-5 -7

IR- IR+

-5 -2

IR- IR+

-5 4 A) B) C) D) E) 36. Los puntos de intersección de la función y = x (x – 25) con el eje x son: A) (0, 0) y (0, 5) B) (0, 5) y (0, -5) C) (0, 0) y (0, 25) D) (0, 0) y (25, 0) E) (5, 0) y (-5, 0) 37. Sean las funciones f(x) = x – 3 y g(x) = x2 + 3. El valor de [ ])2(gf − es:


Universidad Andrés Bello Prueba de Selección Universitaria - 2004 A) –7 B) –4 C) 4 D) 7 E) 28

38. El dominio de la función h(x) = 2x25 − es: A) [ ]5,5−B) ] [5,5−C) [ [ ∞,5D) ] [∞∞− ,

[ [E) ∞,0 39. La figura 2 muestra la gráfica de una función real:

Figura 2

I: f(3) = 2 II: f(x < 0) = 0 III: f-1(-2) = f(0)

Es (son) correcta (s): A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II y III 40. Un estudio de cierto pez que habita en el Pacífico Sur, determinó la relación longitud-peso: P = 3 L + 80 para los machos y P = 2,5 L + 100 para las hembras, estando en ambos casos el peso P en gramos y la longitud L en cm. Si esto es así, ¿para qué longitud, el peso de machos y hembras es el mismo? A) 50 cm B) 40 cm C) 32 cm D) 30 cm E) 24 cm 41. Una neurona artificial es un elemento procesador (EP) que funciona de acuerdo a la llamada función de activación, que es la que define los flujos de salida de la neurona. Se ha sugerido, entre otros modelos, como función de activación, la función:



f(x) = (1 + 2-x)-1, con x real mayor que cero.

El valor de la función de activación cuando x = 3 es: A) 8/9 B) 9/8 C) 1/7 D) 6/7 E) –8/7 42. La Fissurella latimarginata es una de las lapas chilenas de gran tamaño, que constituye, en la región de Antofagasta, el 85 % de las capturas comerciales de lapas. Un estudio morfométrico de esta especie, ha propuesto el modelo:

A = 0,7 L – 0,9 para la relación entre la longitud L de la concha y su ancho A, ambas magnitudes en mm. Asimismo, ha propuesto el modelo:

H = 1,7 + 0,16 L para la altura H de la concha, en función de su longitud L, ambas en mm. Si esto es así, un ejemplar con una concha de 20,9 mm de altura, tendría un ancho de: A) 22,3 mm B) 83,1 mm C) 65,4 mm D) 72,5 mm E) 48, 6 mm 43. La suma del lado de un cuadrado con su diagonal es 10 cm. Entonces, el perímetro del cuadrado es: A) 4 (1 + 2 ) cm B) 40 (1 + 2 ) cm C) 40 (1 - 2 ) cm D) 40 ( 2 - 1) cm E) 10 / (1 + 2 ) cm 44. En la figura 3, ABCDEF es hexágono regular inscrito en una circunferencia. ¿Qué % representa el área del hexágono respecto del área del círculo?




A) π2

3125 %

B) π

3125 %

C) π

3150 %

D) π

3300 % Figura 3

E) Falta información para calcularlo 45. En la figura 4, ABCD es rectángulo inscrito en el triángulo ABC, rectángulo en A. Si AC = 5 cm, AB = 12 cm y 2BE = BC, entonces, el área del rectángulo es:

Figura 4

C

B A

EF

D

A) 6,5 cm2 B) 12 cm2 C) 13 cm2 D) 15 cm2 E) 30 cm2 46. Se han apilado tres rollos cilíndricos de papel de y 1 m de largo y 120 cm de diámetro cada uno, de modo que sus circunferencias quedan tangentes entre sí, tal como lo muestra la figura 5. La altura de la pila es de: A) 240 cm. B) Entre 220 y 225 cm. C) Entre 200 y 215 cm. D) Entre 185 y 195 cm. E) Menos de 180 cm. 47. El vector de desplazamiento que se le aplicó a la estrella de la figura 6 para ser trasladada desde la posición A hasta la A’ es: y

1 2 3 4

-2

0

2

1

-3 -2 -1

A’

Ax

Figura 5

h

A) -I - j B) 4i + 4j C) -4i - 4j D) 3i + 3j

Universidad Andrés Bello Prueba de Selección Universitaria - 2004 E) -3i - 3j 48. Si al aplicar a un punto A una simetría con respecto al eje de las ordenadas, y luego un desplazamiento de vector 2i + j éste queda en las coordenadas (-2, -2), ¿cuáles eran las coordenadas originales de dicho punto? A) (4, -3) B) (0, -1) C) (0, -3) D) (1, 0) E) (-4, 3) 49. Dada la siguiente figura 7:

Figura 7

¿Cuál de las siguientes figuras corresponde a una rotación de 60º en sentido horario con centro en el punto P de la figura original?

A) B) C) D) E) 50. En la circunferencia de centro O y radio r de la figura 8, los triángulos OPQ y PQR son isósceles congruentes. Entonces, en función del radio r, el valor de PQ es: A) 3r

B) 32r

C) 2r D) 22r


O

Q

R

Figura 8

P


E) 23r

51. En el triángulo rectángulo PQR de la figura 9, se tiene que cotg θ = 2,4, entonces x =? A) 20 3

Q

R

P

10x

θ

Figura 9

B) 13 2 C) 24 D) 28,5 E) 26 52. En la figura 10, ABC triángulo equilátero de altura 33 u, inscrito en una circunferencia de centro O. El área de la región sombreada es de:

O

A B

C

Figura 10

A) 9 3 u2

B) 6 3 u2

C) 3 3 u2

D) 3 u2

E) 32 3 u2

53. En la circunferencia de centro O y radio 4 cm de la figura 11, el ángulo exterior AEB = 10° y la medida angular del arco CD = 40°. Entonces, el perímetro de la región achurada es:

A B

O

E

D C

Figura 11

A) cm9

10π

B) cm34π

C) cm)23

(2 +π

D) cm)13

(4 +π

E) No se puede determinar 54. El triángulo ABC de la figura 12, es rectángulo en C. AP = 13 cm, PC = 11cm, AB = 26cm y PQ ⊥ AB. Entonces, el área del triángulo AQP es:


BA

C

P

Q

Universidad Andrés Bello Prueba de Selección Universitaria - 2004 A) 32,5cm2 B) 60cm2 C) 30cm2 D) 55cm2 E) 65cm2 55. En la figura 13 ABC: triángulo rectángulo en C. Si ∠ABC = 60°, ∠AFD = 105°, ∠FGE = 120° y ∠ADF = 2∠FDE. Con respecto a la figura, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I: AE: Bisectriz de ∠ CAB.

A B

C

F

D

E G

III: ∠AEC = ∠ BED III: ∆GDE ∼ ∆ABC A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II Figura 13 D) Sólo II y III E) I, II y III 56. Si e , entonces, α=− 22 tg1x α=+ 22 sec1y

yx =

A) tg α B) sen α C) sec α D) cosecα E) cos α 57. Un árbol proyecta una sombra de 12 metros cuando el coseno del ángulo de elevación del sol α es de 0,6, tal como muestra la figura 14. Entonces la altura del árbol es:

12 m

α

A) 7,2 m B) 16 m C) 20 m D) 12 m E) 24 m Figura 14 58. En la figura 15, ABCD es rombo de área igual a 120 u2, con diagonales AC y DB que se intersectan en el punto E. Si DE = 5 u, ¿cuál es el perímetro del rombo? A) 52 u B) 40 u C) 48 u


Figura 15 B

CD

E

A

Universidad Andrés Bello Prueba de Selección Universitaria - 2004 D) 96 u E) 80 u 59. En la circunferencia de centro O de la figura 16, ED: diámetro, AC tangente a la circunferencia en B y AO // BD. Entonces, el valor del ángulo x es:

C

O

x

D E

B A

A) No se puede determinar B) 45° C) 30° D) 60° E) 90°

Figura 16

Nº de empleadores 0 1 2 3 4

Figura 17

Nº de casos

Nº

16141210

8642

60. La figura 17 muestra la distribución de frecuencias del número de empleadores que han tenido en el curso del último año una muestra de adultos de 20 a 40 años seleccionados al azar. Se afirma que:

I: La mayoría de los encuestados ha tenido más de dos empleadores durante el último año. II: el 52% de los encuestados ha tenido uno o dos empleadores durante el último año. III: el 12% de los encuestados no ha trabajado durante el último año.

Es (son) correctamente inferible(s) del gráfico: A) Ninguna B) Solo II C) Solo I y III D) Solo II y III E) Todas 61. En cierto juego con dos dados, el tirador gana si al primer lanzamiento obtiene suma 7 o suma 11. Pierde si obtiene suma 2 o suma 12 en el primer lanzamiento. Para el tirador, la razón entre la probabilidad de ganar y la de perder en el primer lanzamiento es: A) 2 : 1 B) 3 : 1 C) 4 : 1 D) 5 : 2 E) 5 : 4


62. Según un estudio, uno de cada tres computadores conectados a Internet está infectado con algún tipo de software espía (spyware) sin conocimiento del usuario. Si esto es así, al seleccionar aleatoriamente dos computadores independientes uno del otro, la probabilidad de que ninguno de ellos tenga algún spyware es: A) 4/9 B) 2/9 C) 2/3 D) 1/3 E) 1/9 63. Según cierto informe médico, el 60% de las personas sufren de bruxismo, una enfermedad relacionada con el rechinamiento de los dientes, especialmente durante el sueño. Según la información, el 90% de los casos tiene como origen problemas tensionales, habiendo 5 veces más mujeres que hombres que la padecen ¿Cuál es la probabilidad de que una mujer sufra de bruxismo debido a causas tensionales? A) 36% B) 45% C) 54% D) 60% E) 75% EVALUACIÓN DE SUFICIENCIA DE DATOS INSTRUCCIONES PARA LAS PREGUNTAS Nº64 A LA Nº70 En las preguntas siguientes no se le pide que dé la solución al problema, sino que decida si los datos proporcionados en el enunciado del problema más los indicados en las afirmaciones (1) y (2) son suficientes para llegar a esa solución. Usted deberá marcar la letra:
A) (1) por sí sola, si la afirmación (1) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta, pero la afirmación (2) por sí sola no lo es,

B) (2) por sí sola, si la afirmación (2) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta, pero la

afirmación (1) por sí sola no lo es,

C) Ambas juntas, (1) y (2), si ambas afirmaciones (1) y (2) juntas son suficientes para responder a la pregunta, pero ninguna de las afirmaciones por sí sola es suficiente,

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2), si cada una por sí sola es suficiente para responder a la pregunta,

E) Se requiere información adicional, si ambas afirmaciones juntas son insuficientes para responder a la

pregunta y se requiere información adicional para llegar a la solución. Preguntas 64 – 70 64. Se tiene un número X entero mayor que 10 pero menor que 20. ¿Cuál es el número, exactamente?

(1) El número X es primo



(2) El número X no es múltiplo ni de 2 ni de 5 A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional. 65. Se puede determinar el valor de dos números reales sabiendo que:

(1) Están en la razón 5 : 7. (2) La suma de ellos es 102.

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 66. Se desea calcular el valor de las constantes α y β de la función f(x) = α + β x

(1) f(-2) = 10 (2) f-1(5) = 8

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional D

d

150 cm

67. Se desea conocer el volumen de agua que puede contener un tubo cilíndrico de cemento de 1,5 metros de longitud, tal como lo muestra la figura 18. Es posible calcular ese volumen si:

(1) El diámetro interior del tubo es de 80 cm. (2) El espesor del tubo es de 10 cm.

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Figura 18E) Se requiere información adicional


Universidad Andrés Bello Prueba de Selección Universitaria - 2004 68. En la figura 19, ABC es un triángulo rectángulo en B, con AB = 80 cm. Se puede calcular el área de ABC si:

θ

y x

Figura 19

C

B A

(1) sen θ = 0,6 (2) x + y = 160

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 69. Se puede determinar el área del hexágono ABCDEF de la figura 20 si: (1) FC: diagonal igual a 12 cm (2) FB = 6 3 cm

C

A

B

D

E F

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

Figura 20 70. Se desea calcular la edad promedio actual de 4 hermanos:

(1) Hace 5 años tenían 3, 5, 8 y 12 años, respectivamente. (2) Hace 3 años su promedio de edad era de 9 años.

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional


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