fac.ksu.edu.safac.ksu.edu.sa/sites/default/files/mhdrt_stat_100.docx · web viewويختص...

محاضراتاحص 100

" اإلحصاء" في مقدمة

100" اإلحصاء " في مقدمة 0 احص

الرحيم الرحمن الله بسم

اإلحصاء في مقدمة

األول الفصل

واإلحتماالت اإلحصاء علم في مقدمة

اإلحصاء : تعريفعلم

وتلخيصها وتنظيمها البيانات لجمع العلمية بالطرق يختص الذي العلم هو

, هذا ضوء على سليمة وقرارات مقبولة نتائج إلى للوصول وذلك وتحليلها

التحليل.

إلى : اإلحصاء علم ينقسم

1-: الوصفي , اإلحصاء والغرض وتلخيصها البيانات بتنظيم ويختص

, اإلحصاء ويشتمل البيانات فهم على المساعدة هو التنظيم من

النزعة حساب وطرق بيانيه ورسوم تكراريه توزيعات على الوصفي

. األخرى القياسات ومختلف التشتت ومقاييس المركزية2-: اإلستداللي المناسبة اإلحصاء القرارات اتخاذ بعملية ويختص

. العينة من عليها الحصول تم التي المعلومات على بناء المجتمع بشأن

المتغيرات :

المتغير :

إلى عنصر من قيمتها تتغير و بقياسها تقوم حدث أو خاصية أو ظاهرة أي هو

آخر.

: المتغيرات على األمثلة تحت بعض األطفال من لمجموعة الوزن

, من لمجموعة التعليمية الحالة الجامعة لطلبة الطول السادسة

عن , عبارة وهي بالبيانات فتسمى المتغير يأخذها التي القيم أما المتزوجات

. الدراسة أثناء المأخوذة المالحظات أو المشاهدات مجموعة100" اإلحصاء " في مقدمة 1 احص

إلى : البيانات تنقسم

وصفية :(1 وال بيانات والمجتمع األفراد تصف التي البيانات تلك وهي

العينين أو الشعر لون مثل العددية باألرقام مباشرة قياسها يمكن

وغيرها.

إلى : الوصفية البيانات وتنقسم

و أ- التعليمية الحالة مثل فيها الصفات ترتيب يمكن وصفية بيانات

. المواد أحد في التقديرتخصصات ب- مثل فيها الصفات ترتيب يمكن ال وصفية بيانات

. الطالبات من مجموعة

2): رقمية أو كمية قياسها بيانات يمكن التي البيانات تلك وهي

. العمر أو الوزن أو الطول مثل عددية بأرقام مباشرة

إلى : الكمية البيانات وتنقسم

رقمية أ- قيمة أي البيانات تأخذ وفيها متصلة أو مستمرة بيانات

أداة أو جهاز استخدام عن ناتجة وتكون الدقة من درجة ألي وتكون

. الحرارة , درجة و الوزن الطول مثل القياسصحيحة ب- أعداد فيها المشاهدة وتأخذ منفصلة أو متقطعة بيانات

, عدد أسرة في األطفال عدد مثل تعداد أو عد عملية عن ناتجة

. وهكذا , ... الرياضيات مقرر في الطلبة عدد االنباتات على الثمار

اإلحصائية : والعينة اإلحصائي المجتمع

المجتمع :


, أيضا المتغير يأخذها أن يمكن التي المفردات أو القيم جميع عن عبارة

. كانت إذا فمثال الدراسة محل األشياء أو األفراد جميع أنه على يعرف

هو الحالة هذه في المجتمع فإن ما جامعة طلبة بأطوال متعلقة دراستنا

. الجامعة تلك في الطلبة جميع

إلى : اإلحصائي المجتمع ينقسم

عدد محدود:-1 مثل األفراد من محدود عدد فيه يكون الذي وهو

لعام 100طالب األول الدراسي الفصل في .1432إحص هـ 2-: محدود )غير غير منته غير األفراد عدد فيه يكون الذي وهو

طالب( عدد مثل على )100محدود القادمة العشر للسنوات إحص

.) المقرر استمرار فرض

جميع بيانات مالحظة االستحالة أو الصعب من يكون األحيان معظم في

أو دولة في األمية نسبة لمعرفة يجري الذي البحث مثل المجتمع أفراد

على , وللتغلب المحصود القمح حبات حصر إلى يهدف الذي البحث و مدينة

. بالعينة يسمى المجتمع من جزء اختيار يمكن ذلك

: العينة وتعرف

. جيدا تمثيال المجتمع تمثل بحيث تختار المجتمع من جزء أنها على

المجتمع : من بدال العينة دراسة أسبابضرورة

1-: بسبب وذلك بالكامل المجتمع فحص استحالة أو صعوبة.أ( ما مجتمع في السمكية الثروة تقدير في كما حجمه كبرلمبات ب( عمر فحص في كما للوحدات متلفا يكون قد الفحص

. معين مصنع إلنتاج100" اإلحصاء " في مقدمة 3 احص

.ت( المريض فحصدم مثل للوحدات مؤذيا يكون قد الفحص2- ( الجهد من كثير يكلف كله المجتمع فحص واإلمكانيات التكاليف

. النتائج( إظهار في والمالاشخاص -3 استخدام إمكانية بسبب وذلك والمعلومات البيانات دقة

. ومدربين عالية كفاءة ذوي

واإلحصاءة : المعلمة

, للعينة أن كما والتباين الحسابي كالوسط متعددة مقاييس للمجتمع

, . القيم من قيمة فكل المقاييس هذه قيم بين عادة يميز متشابهة مقاييس

بالعينة تتعلق التي تلك أما معلمة تسمى المجتمع بخصائص تتعلق التي

: أن القول يمكن ثم ومن إحصاءه فتسمى

: ( المعلمة ( مثل المجتمع من عليها الحصول يتم عددية قيمة أو مقياس

له ويرمز الحالي العام في سعود الملك جامعة طالب ألطوال المتوسط

الطالب μبالرمز هؤالء تباين σكذلك 2.

اإلحصاءة : العينة ) ( أما من عليها الحصول يتم عددية قيمة أو مقياس فهي

الرمز ـب ه ـل ز ويـم عود ـس ك المـل ة جامـع طالب من ة عيـن أـطوال ل ذلك Xمـث وـك

العينة .S2تباين

اإلحصائية : البيانات جمع مصادر

تاريخي :(1 األول المحفوظة المصدر السجالت من مايؤخذ وهو

. وغيرها المواليد سجالت مثلميداني :(2 الثاني من المصدر المجموعة البيانات عن عبارة وهو

( المقابة المباشر باإلتصال منه جزء أو كله المجتمع أفراد

. التليفون ( أو البريد مثل المباشر غير أو الشخصية


الثاني الفصل

المقاييساإلحصائية

: قسمين إلى اإلحصائية المقاييس تنقسم

1.. المركزية النزعة مقاييس2.. التشتت مقاييس

المركزية: مقايسسالنزعة أوال

الحسابي (1 الوسط

اإلحصاء في استخداما واألكثر المركزية النزعة مقاييس أهم من وهو

. العملية الحياة في و

:تعريف

للمتغير المشاهدات من مجموعة لدينا كان ,x1وهي Xإذا x2, …, xn فإن

له ) ويرمز الحسابي على ( Xالوسط مقسوما المشاهدات مجموع يساوي

عددها.


X=∑i=1

n

xi

n

( 1 مثال )

التالية : للمشاهدات الحسابي الوسط أوجدي

2, 3, 5, 7, 10

x=5.4

الحسابي خصائصالوسط

يساوي .1 الحسابي وسطها عن القيم إلنحرافات الجبري المجموع

صفر.

∑i=1

n

( xi−x )=0

ولتكن .2 ثابتة قيمة جميعها األصلية المشاهدات من طرحنا أو جمعنا إذا

a الوسط يساوي الجمع بعد للمشاهدات الحسابي الوسط فإن

الثابت إليه مضافا الجمع قبل .aالحسابي

أن أي+ ) ( = ) الجمع ) قبل الحسابي الوسط الجمع بعد الحسابي aالوسط

- ) ( = ) الطرح ) قبل الحسابي الوسط الطرح بعد الحسابي aالوسط

ولتكن .3 ثابتة قيمة جميعها األصلية المشاهدات من قسمنا أو ضربنا إذا

b الوسط يساوي الضرب بعد للمشاهدات الحسابي الوسط فإن

الثابت في مضروبا الضرب قبل .bالحسابي

أن أي


* ) ( = ) الضرب ) قبل الحسابي الوسط الضرب بعد الحسابي bالوسط

\ ) ( = ) القسمة ) قبل الحسابي الوسط القسمة بعد الحسابي bالوسط

الحسابي الوسط مميزات

1.. بسهوله الجبريه للعمليات ويخضع سهل مقايس2.. الدراسة محل القيم جميع اإلعتبار في يأخذ3.. اإلحصاء في فهما المقاييس أكثر هو

الحسابي الوسط عيوب

1.) ( جدا الصغيرة أو جدا الكبيرة القيم وهي المتطرفة بالقيم يتأثر2.. الوصفية البيانات حالة في حسابه يصعبيتطلب .3 حيث المفتوحة التكرارية الجداول حالة في حسابه يصعب

. فئة كل مركز معرفة

الوسيط(2

التي القيمة هي الوسيط يكون تنازليا أو تصاعديا البيانات ترتيب عند

قبلها و% 50تقع الترتيب في المشاهدات المشاهدات% 50من من

قسمين إلى البيانات تقسم التي القيمة أنها أي الترتيب في بعدها

المنتصف ) (. تقع التي المشاهدة متساويين

الوسيط مميزات

1.. المتطرفة بالقيم يتأثر ال2.. ترتيبها يمكن التي الوصفية البيانات حالة في حسابه يمكن3.. الكمية للبيانات المفتوحة التكرارية الجداول حالة في حسابه يمكن

الوسيط عيوب

1.. حسابه عند اإلعتبار في القيم جميع يأخذ ال


2.. والرياضية اإلحصائية التحاليل في معه التعامل يسهل ال

المنوال(3

.) المشاهدات ) البيانات بين تكرارا األكثر القيمة وهو: إلى المنوال وينقسم

منوال ) (..1 يوجد ال أي المنوال عديمفقط ) (..2 واحد منوال يوجد أي المنوال وحيد3..) منوال ) من أكثر يوجد أي المنوال متعدد

المنوال مميزات

1.. حسابه السهل من مقياس هوالتكرارية .2 واالتوزيعات والوصفية الكمية للبيانات إيجاده يمكن

المفتوحة.المنوال عيوب

1.. حسابه عند اإلعتبار في القيم جميع يأخذ القيمة .2 تحديد يمكن ال وبذلك منوال من أكثر البيانات لبعض يكون قد

. للمنوال واحدة3.. منوال لها يكون ال البيانات بعض

مقاييسالتشتت: ثانيا

اإلحصائية البيانات طبيعة بين للمقارنة كافية غير المركزية النزعة مقاييس

وهي التشتت مقايسس وجدت فبالتالي

المدى(1

. البيانات مجموعة في قيمة وأصغر قيمة أكبر بين الفرق وهوقيمة = – أصغر قيمة أكبر المدى

( 2 مثال )

التالية : للقيم المدى 80, 100, 50, 110, 90أحسبي


المدى 60 = 50 – 110 =

المدى مميزات

1.. حسابه السهل من2.. البيانات طبيعة عن سريعه فكرة يعطي3.. الجوية األحوال ووصف اإلنتاج لمراقبة كثيرا يستخدم

المدى عيوب

1.. البيانات باقي ويهمل فقط قيمتين على يعتمد2.. عليه يعتمد ال تقريبي مقياس فهو المتطرفة بالقيم يتأثر

الربيعي (2 المدى نصف

ربيع وأصغر ربيع أكبر بين الفرق نصف هو

الربيعي = المدى Q3−Q1نصف

2

ربيعات ) ثالث هناك كالتالي ( Quartiles حيث وهي

: Q1 : فيها تكون التي القيمة األول قبلها% ) (25الربيع منها أقل البيانات من

بعدها% ) (.75و منها أكبر البيانات من

:Q2 : فيها تكون التي القيمة الثاني قبلها% ) (50الربيع منها أقل البيانات من

.50و الوسيط% ) ( يساوي وهو بعدها منها أكبر البيانات من

:Q3 : فيها تكون التي القيمة الثالث قبلها% ) (75الربيع منها أقل البيانات من

بعدها% ) (.25و منها أكبر البيانات من

الربيعي المدى مميزاتنصف


1.. المتطرفة القيم من يتخلص2.. المفتوحة التكرارية للتوزيعات حسابه يمكن

الربيعي المدى نصف عيوب

1.. حسابه عند اإلعتبار في القيم جميع يأخذ ال2.. اإلحصائية التحاليل في معه التعامل يسهل ال

المعياري ( ) Variance التباين ) (3 اإلنحراف ( : St.deviation و

الحسابي وسطها عن القيم انحرافات مربع متوسط هو المعياري اإلنحراف

بالرمز ) له بالرمز( )Sويرمز له يرمز والذي للتباين التربيعي الجذر (.S2وهو

أن أي

) المعياري= ) اإلنحراف .2التباين

المعياري خصائصاإلنحراف

1. ) ( اإلنحراف فإن القيم جميع من ثابت مقدار طرحنا أو جمعنا إذا

) ( المعياري اإلنحراف نفس هو الطرح أو الجمع بعد الجديد المعياري

. ) للتباين ) بالنسبة وكذلك الطرح أو الجمع قبل2. ) ( وليكن ثابت مقدار قسمنا أو ضربنا فإن aإذا القيم جميع من

) اإلنحراف ) يساوي القسمه أو الضرب بعد الجديد المعياري اإلنحراف

) ( ) ( ) على ) في مقسوم أو مضروب القسمه أو الضرب قبل المعياري

a.

أن أي*) ( = ) الضرب ) قبل المعياري اإلنحراف الجديد المعياري .aاإلنحراف

/ ) ( = ) القسمه ) قبل المعياري اإلنحراف الجديد المعياري .aاإلنحراف

3. ) وليكن ) ثابت مقدار قسمنا أو ضربنا التباين aإذا فإن القيم جميع من

( ) ( أو الضرب قبل التباين يساوي القسمه أو الضرب بعد الجديد

) ( ) على( ) في مقسوم أو مضروب .a2القسمه


أن أي *) ( = ) الضرب ) قبل التباين الجديد .a2التباين

/ ) ( = ) القسمه ) قبل التباين الجديد .a2التباين

اإلختالف (4 معامل

, أو المتغيرين أي إليجاد ويستخدم المقارنة وحدات على يعتمد ال مقياس هو

. مقارنة ذلك على مثال تجانسا أقل أو إختالفا أكثر أو تشتتا أكثر المجموعتين

. الوزن مع الطول

بالرمز له بطريقتين C.V ويرمز قيمته وتحسب

1.. الحسابي = \ الوسط المعياري اإلنحراف اإلختالف معاملC .V= S

X

2.+ ( \ ) – ( = الثالث الربيع األول الربيع الثالث الربيع اإلختالف معامل

) األول الربيع

C .V=(Q3−Q1)(Q3+Q1 )

) السؤال) معطيات حسب الطريقتين من أي وتستخدم

( 3 مثال )

: المجموعتان لدينا كان إذا

األولى الثانيه المجموعة المجموعةالحسابي 68.2170.42الوسط

المعياري 8.079.68اإلنحراف؟ تجانسا أقل أو تشتتا أكثر المجموعتان من أي


: هذا مالحظة في الوحدات ألن التباين طريق عن المقارنة يمكن ال

. معروفة غير السؤال

اإلجابة :

على يعتمد ال مقياس هو اإلختالف معامل وأن معروفة غير الوحدات أن بما

. المثال هذا في استخدامه فيمكن المقارنة وحدات

\ = ) ( الوسط المعياري اإلنحراف األولى المجموعة اإلختالف معامل

الحسابي

C .V= SX

=8.0768.2

=0.1183

\ = ) ( الوسط المعياري اإلنحراف الثانيه المجموعة اإلختالف معامل

الحسابي

C . V= SX

= 9.68170.42

=0.057

األولى المجموعة فإن أكبر األولى للمجموعة اإلختالف معامل قيمة أن بما

. الثانيه المجموعة من تجانسا وأقل تشتتا األكثر هي

المعياريه (5 الدرجه

مفردة أو شخص مع األولى المجموعة في مفردة أو شخص بين مقارنة هي

, طالبات بين فاطمة طول مقارنة ذلك على مثال الثانيه المجموعة في

. فصلها طالبات بين أسماء أختها طول مع فصلها

تعريف


للمتغير المشاهدات من مجموعه لدينا كان x1وهي Xإذا , x2 ,…, xn والتي

) ( هو الحسابي وسطها المعياري Xمتوسطها الدرجة Sوانحرافها فإن

طريق Zالمعياريه عن تحسب

\) المعياري = ) – انحرافها الحسابي وسطها القيمة المعياريه الدرجة

Zi=X i−X

S

( 4 مثال )

على طالب الدرجات 82حصل متوسط حيث اإلحصاء مقرر في درجة

هو معياري 75لإلحصاء , 10وانحراف على وحصل مقرر 89درجات في درجة

هو للرياضيات الدرجات متوسط وكان المعياري 81الرياضيات واالنحراف

16 . أعلى؟ الطالب هذا استيعاب درجة كانت المقررين اي في درجة

( 5 مثال )

, عمر متوسط أن وجد الجامعة طالبات من عينة أعمار على دراسة في

هو اآلداب كلية في هو 21الطالبة لها المعياري واإلنحراف ,5سنة سنوات

العلوم كلية في الطالبة عمر متوسط يبلغ لها 19بينما والتباين 9سنة

سنوات.

العمر؟ -1 في تجانسا أكثر المجموعتين من أيهو -2 اآلداب كلية في طالبة عمر كان كلية 22إذا في طالبة وعمر سنة

هو .20العلوم المعدل من أعلى عمرها يعتبر الطالبتين فأي سنة


( 6 مثال )

: هو الزوجات من لعدد التعليمي المستوى كان إذا

. ابتدائي – – – – – – ابتدائي متوسط جامعي ثانوي ابتدائي ثانوي

التعليم؟ لمستوى الوسيط احسبي

( 7 مثال )

: التالية البيانات من لكل الوسيط أوجدي

1-60 ,72 ,40 ,80 ,63

2-3 ,2 ,5 ,4 ,1 ,1

( 8 مثال )

من لعينة التالية التي 10البيانات اللغة حسب اللغات معاهد أحد في طالبات

تدرسها:

– – – – – – – فرنسي إنجليزي إنجليزي أسباني أسباني إنجليزي فرنسي

إيطالي – ألماني

اللغة؟ منوال احسبي

( 9 مثال )

: التالية البيانات من لكل المنوال أوجدي

1-3 ,5 ,2 ,6 ,5 ,9 ,5 ,2 ,8 ,6

2-51.6 ,48.7 ,50.3 ,49.5 ,48.9

3-2 ,4 ,6 ,2 ,6 ,1 ,7


الثالث الفصل

جدوليا البياناتوعرضها تنظيم

مقدمة:

يمكن ال أولية بيانات تكون فإنها ما ظاهرة بدراسة الخاصة البيانات جمع عند

, أو مبسطة جداول في وتلخص تنظم ما غالبا فإنها لذلك منها االستفادة

ودراستها فهمها يسهل لكي بيانية ورسوم أشكال صورة في عنها يعبر

وتحليلها.

التكراري التوزيع جدول تصميم من تتكون اإلحصائي للتحليل مرحلة أول

عدد ويحدد فئات على فيوزعها األولية البيانات يلخص جدول عن عبارة وهو

. فئة كل إلى ينتمون الذين األفراد

: الوصفيه للبيانات التكراري التوزيع جدول تكوين

تفريغ فيه يتم جدول أوال يعمل أن ينبغي التكراري التوزيع جدول لتكوين

: خانات , ثالث من يتكون وهو اإلحصائية البيانات

لدينا األولى : التي الصفات فيها وتوضع الوصفيه للبيانات الصفة فيها تكتب

أمكن) (. إذا مرتبة

: من الثانية مكونه حزم عن عبارة وهي رأسية 5العالمات أربعة خطوط

البيانات ) |||| ( تمثل وهي الصورة على الحزمة تصبح وبذلك مائله والخامسه

. لدينا التي

الثالثة : الخانة .أما بالتكرار وتسمى العالمات مجموع فهي


جدول أو التكراري بالجدول يسمى أخر جدوال نكون الجدول هذا ومن

تفريغ جدول من والثالثة األولى الخانة من يتكون وهو التكراري التوزيع

. اإلحصائية البيانات

النسبي : التكرار

. للتكرارات الكلي المجموع على التكرار قسمة حاصل هو

النسبي = المجموعالتكرارالتكرار: المئوي التكرار

. مائه في مضرب للتكرارات الكلي المجوع على التكرار قسمة حاصل هو

المئوي = 100التكرار X المجموعالتكرار التكرارالتكرارالمتغير

النسبي التكرار

المئوي

العينة =المجموع حجم

n

1100

( : 1 مثال )

من مكونة كانت 40عينة الجامعي خالد الملك مستشفى في طبيبة

: كالتالي تخصصاتهن

أطفاعيونباطنيباطنيأطفالل

أنف

وأذن أنف

وأذنعيون

و عيون باطنباطنيأطفالباطنباطنيأطفال أنف


ييأذن أنف

وأذنباطنعيونباطنيأطفال

يو أطفال أنف

أذنأطفا

لو أطفالباطنيباطني أنف

أذنباطني

باطنباطنيعيوني

و باطنيأطفال أنف

أذنو أنف

أذنباطني

أطفاأطفالعيونل

المتغير : خالد المجتمع:التخصص اسم الملك مستشفى طبيبات

الجامعي

العينة : البيانات 40 حجم وصفي : نوع

اإلحصائية البيانات تفريغ جدول

التكرارالعالماتالتخصص11|||| |||| |أطفال

15|||| |||| ||||باطني

6|||| |عيون

وأذن 8|||| |||أنف

4040المجموع. التكراري التوزيع جدول

التكرارالتكرارالتخصص

النسبي التكرار

المئوي110.27527.5أطفال

150.37537.5باطني

60.1515عيون

وأذن 80.220أنف

401100المجموع

البيانية : االعمدة البياني التمثيل


ـأـنفوـأذـن عيوـنـباطنيـأطـفال0

2

4

6

8

01

21

41

61

؟ (1 وأذن أنف تخصصهن الالتي الطبيبات عدد ماهوعيون؟ (2 تخصصهن الالتي الطبيبات عدد ماهو؟ (3 باطني تخصصهن الالتي الطبيبات نسبة ماعيون؟ (4 و أطفال تخصصاتهن الالتي للطبيبات النسبي التكرار ماعيون؟ (5 تخصصهن الالتي للطبيبات المئوية النسبة ماالمنوال؟ (6 احسبي

( 2 مثال )

إجاباتهن فكانت ما اختبار مستوى عن الطالبات من مجموعة سئلت

كالتالي:

, , , , , , فوق, صعب المتوسط فوق متوسط سهل صعب متوسط متوسط

. , , , , , , صعب, سهل المتوسط فوق صعب سهل متوسط صعب المتوسط

1). شيوعا األكثر اإلختبار مستوى

2). اإلختبار لمستوى الوسيط


3). بيانيا مثليه ثم تكراري جدول في البيانات هذه إعرضي

( 3 مثال )

من عينة أخذت األطفال لدى المفضل العصير لنوع دراسة في 18في طفل

: التالية البيانات وكانت الرياض مدارس إحدى من االبتدائية المرحلة

فراولة – – – – – عصير برتقال عصير فراولة عصير مانجو عصير تفاح عصير

مانجو – – – – – عصير ليمون عصير فراولة عصير تفاح عصير مانجو عصير

برتقال – – – – عصير ليمون عصير فراولة عصير فراولة عصير مانجو عصير

. مانجو– – – عصير فراولة عصير مانجو عصير

1). تكراري توزيع جدول في البيانات هذه إعرضي

2). المركزية النزعة مقاييس من المناسب المقياس أحسبي

3) . بيانيا البيانات هذه مثلي

الرابع الفصل

اإلحتماالت مباديء

مقدمة

, في كثيرا تستخدم إحتمال وكلمة اإلحصاء علم أساس تعتبر اإلحتمال نطرية

. غدا اإلختبار نتيجة تظهر أن كبير إحتمال هناك أن يقال فمثال اليوميه حياتنا

. من أما األمثلة من وغيره ضعيف المادة هذه في نجاحي إحتمال يقال أو

الصفر بين عددية قيمة هو ما حدث وقوع إحتمال فإن العلمية الناحية


من إقترب وكلما وقوعه فرصة زاد كلما الواحد من إقترب كلما والواحد

. حدوثه فرصة قلت الصفر

: التالية التجارب على مبنية اإلحتماالت أمثلة ومعظم هذا

1) : يأخذ وجه كل أوجه ستة له مكعب عن عبارة وهو النرد حجر تجارب

من .6إلى 1رقما

2) : بـ لها ونرمز الصورة وجهان النقود لقطعة النقود قطعة Hتجارب

بـ لها ونرمز .Tوالكتابه

3) : مختلفة كرات على يحتوي صندوق وهو الكرات صندوق تجارب

األلوان.

وتعاريف مصطلحات

1): العشوائية معلومة التجربة نتائجها جميع تكون التي التجربة هي

. أوال النتائج هذه من أي بحدوث التنبؤ ألحد يمكن ال ولكن مسبقاالعشوائية التجربة على أمثلة

1-. النقود قطعة رمي2-. النرد حجر رمي3-. لمريض الدم ضغط قياس4-.) بنت ) أو ولد المولود نوع

العينة :(2 فراغ أو للتجربة فضاء الممكنة النتائج جميع مجموعة هو

بالرمز له ويرمز .Sالعشوائية

فإن مثال : واحدة مرة النرد حجر رمي .S={1, 2, 3, 4, 5, 6}عند

العينة فراغ إيجاد يمكن مرحلة من بأكثر تمر التي العشوائية التجربة في

: التالية الطرق بأحد

1-. البيانية الشجرة2-. الديكارتي الجداء3-. التربيعية الشبكة


( 1 مثال )

مرتين نقود قطعة رمي عند العينة فراغ أوجدي

( 2 مثال )

سحب ثم نرد حجر إلقاء من مكونة عشوائية لتجربة العينة فراغ أوجدي

بين من عشوائيا األرقام 3كرت عليها .5, 3, 1كروت

( 3 مثال )

من إعادة مع بطاقتين إختيار من مكونة عشوائية لتجربة العينة فراغ أوجدي

األرقام عليها بطاقات ثالث من . 3, 2, 1مجموعة إذا العينة فراغ وأوجدي

. إعادة بدون اإلختيار كان

( 4 مثال )

. , الثالث المواليد لنوع العينة فراغ إكتبي الوالدة ينتظرون سيدات ثالث

: واجب تمرين

: التالية بالشروط أفراد استقدام في العاملة األيدي الستقدام مكتب يرغب


أنثى ) – (.(1 ذكر النوعمتوسط ) – (.(2 جامعي المؤهلانجليزي ) – (.(3 عربي اللغة

. المطلوب الفرد لخصائص المختلفة اإلمكانيات يمثل الذي العينة فراغ اكتبي

العينة فراغ أنواع

1). العناصر من محدود عدد على يحتوي الذي وهو منته فراغ2) : , مثال للعد وقابل غيرمنتهي .S={0, 1, 2, …}فراغ

3) { : , حقيقي عدد مثال للعد قابل وغير منتهي غير : .S={Xفراغ

. منته فراغ أي األول النوع من العينة فراغ فقط ندرس وسوف

الحدث أو الحادثة

الحادثة العينة Aتعرف فراغ من جزئية مجموعة الحادثة. Sبأنها أن ويقال

) ( المحتملة النتائج من أكثر أو واحد التجربة إجراء عند ظهر إذا وقعت قد

الحادثة تكون التي .Aللتجربة

العينة مثال : فراغ كان مرة S={1, 2, …, 6}إذا نرد حجر رمي من النتائج

ة الحادـث انت وـك دة إن Bواـح ـف زوجي دد ـع ور ظـه ل ون B={2, 4, 6}تمـث وتـك

B⊂ S.

: العينة مالحظة , Sفراغ أن أي نفسه من جزئية مجموعة ,S⊂Sيعتبر

. Sوتكون وكذلك األكيدة الحادثة وتسمى حدث بالحادثة ϕ⊂Sهي وتسمى

المستحيلة.


( 5 مثال )

العشوائية للتجربة بالنسبة حادثة كل عناصر وعدد التالية الحوادث أحسبي

. مرتين نقود قطعة رمي في المتمثلة

األولى } الرمية من صورة على ={ Aالحصول

األولى} الرمية من كتابة على ={ Bالحصول

األقل} على واحدة صورة على ={ Cالحصول

األكثر} على كتابة على ={ Dالحصول

: التالية الحوادث إلى نحتاج اإلحتماالت دراسة خالل

الحادثتين (1 )أي Bو Aاتحاد A∪B):

الحادثة العينة A∪Bتتكون فراغ عناصر في Sمن إما أو Aالموجودة

B . الحادثة وقوع معا اإلثنين في على A∪Bأو إحداهما وقوع يعني

كالهما ) ( أو إحداهما حدوث .األقل

الحادثتين (2 )أي Bو Aتقاطع A ∩ B):

الحادثة Aتتكون ∩ B العينة فراغ عناصر من Sمن كال في Aالموجودة

الحادثة. Bو A وقوع ∩ B وقوع ) (Bووقوع Aيعني معا اإلثنين .وقوع

المكملة (3 :ACالحادثة

العينة فراغ عناصر من الحادثة Sتتكون في موجودة وقوع. Aالغير

AC وقوع عدم بالرمز . Aيعني ايضا له .Aويرمز


( 6 مثال )

العينة لفراغ بالنسبة عناصرها وعدد التالية الحوادث من Sاحسبي الناتج

األولى : = الرمية متتاليتين مرتين نرد حجر .Yالثاني , = Xرمي

A={)x,y(: X+Y < 4}

B={)x,y(: x=y}

C={)x,y(: x=5}

D={)x,y(: x+y =1}

E={)x,y(: x>y }

: التالية األحداث أحسبي ACثم , A ∩B , B∪C , D ∩ E , D∪E ,EC ∩C , EC∪B

. عناصرها وعدد


( 7 مثال )

. Bو Aالحادثتان بكلمات عبري عشوائية لتجربة العينة فراغ على معرفتان

: التالية للحوادث واضحة

AC , A∪B , A ∩B , A ∩ BC , AC ∩ B , AC∪BC , ( A∪B )C , ( A ∩B )C

واجب تمرين

, وعدد التالية للحواث العينة فراغ إكتبي نقود وقطعة نرد حجر رمي

عناصرها:

A. النرد : حجر على زوجي عدد ظهور

B : ظهورH. النقود قطعة على

C : ظهورH من أقل عدد و النقود قطعة .3على النرد حجر على

D : ظهورT عن اليقل وعدد النقود قطعة .3على النرد حجر على

أحسبي ثم

AC , A ∩B , A∪C , A ∩ DC , A ∩ BC ( A∪C )C , ( A ∩ B )C


الحاالت بعض نعرض اإلحتمال تعريف في الدخول قبل

المفضلة ) ( :(1 المواتية الحاالت. دراسته المراد الحادث تحقيق إلى تؤدي التي الحاالت هي

هو مثال: المطلوب الحادث كان فإذا النرد حجر رمي حالة في

الحادثة هذه ظهور تحقق التي فالحاالت زوجي عدد على الحصول

على الحصول الحاالت 6أو 4أو 2هي تسمى الثالثة الحاالت فهذه

المواتية.الفرص :(2 المتساوية أو المتماثلة الحاالت

. حدوثها إمكانية في المتساوية و التكافئة الحاالت هي, أمثلة: , كرة سحب متجانس نرد حجر رمي متزنة نقود قطعة رمي

والكثافة الحجم في المتساوية الكرات من مجموعة به صندوق من

والملمس.3): المتنافية الحاالت

الحادثتين عن أي Bو Aيقال معا الحدثين وقوع إستحال إذا متنافيتين

يكون Aعندما ∩ B=∅. فن بأشكال وتمثلS

الشاملة :(4 الحوادثالحوادث من مجموعة لدينا كان A1إذا , …, An تجربة إجراء عند

من البد كان إذا شاملة السابقة الحوادث لهذه يقال فإنه ما عشوائية

يكون : عندما أي التجربة هذه إجراء عند أحدهم ¿حدوث i=1¿n A i=S.

البسيطة مثال: الحوادث فإن نرد حجر إلقاء عند{1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}

. شاملة حوادث تعتبر


AB

لالحتمال التقليدي التعريف

الفرصة متساوية أنها أي متماثلة نتائجها جميع عشوائية تجربة لدينا كان إذا

العينة فراغ وكان الظهور فإن Sفي العناصر من منته عدد على يحتوي

P ( A )=n ( A )n (S )

nحيث ( A الحدث ( عناصر .Aعدد

n ( S ). العينة فراغ عناصر عدد

( 8 مثال )

. نرد وزهرة نقود قطعة رمي من مكونة العشوائية التجربة اعتبري

1). العينة فراغ إكتبي

2): التالية لألحداث اإلحتماالت احسبي

A. صورة : على الحصول

B : رقم عليه الذي الوجه على .3الحصول

C : من أكبر ورقم صورة على .4الحصول

D : من أقل ورقم صورة على .3الحصول

احسبي ثم

P ( AC ) , P ( A ∩ B ) , P ( A∪B ) , P ( AC ∩ D ) , P ( A ∩ BC ) , P ( A∪B )C

, P ( A∪C )C


( 9 مثال )

المتقدمات تصنيف وبعد الموظفات من عدد إلى حاجتها عن الجامعة أعلنت

: التالي الجدول على حصلنا الخبرة ولسنوات للمؤهل وفقا الوظيفة لهذه

شهادة المجموع تحمل الجامعية

شهادة تحملجامعية

خبرة 604020 لديها403010

ليسلديها خبرة

المجموع1007030

عشوائية بصورة شخصا اخترنا

1). جامعية شهادة يحملن ممن تكون أن احتمال ما2). جامعية شهادة تحمل ال و خبرة لديها تكون أن احتمال ما


اإلحتماالت مسلمات

الحدث بالرمز Aإحتمال له Pويرمز ( A ): التالية المسلمات يحقق عدد وهو

حادثة (1 Pفإن Aلكل ( A ) ≥0.

فإن Sحيث (2 العينة فراغ Pهو (S )=1.

≥0فإن 2و 1من P ( A )≤ 1

األحداث (3 من متتابعة A1لكل , A2 أي ) …, مثنى Aiمتنافية ∩ A j=∅)

Pفإن ( A1∪ A2∪… )=P ( A1 )+P ( A2 )+…

مجموع يساوي اتحادها إحتمال المتنافية الحوادث أن يعني وهذا

احتماالتها.

اإلحتمال لمسلمات األساسية بعضالنتائج

1( P (∅ )=0

2( P ( AC )=1−P ( A )

3( P ( A )=P ( A ∩ B )+P ( A ∩ BC )

4( P ( A∪B )=P ( A )+P ( B )−P ( A ∩ B )

( 11 مثال )

هو ما مقرر في طالبة نجاح إحتمال كان 3إذاهذا . 4 في رسوبها إحتمال ماهو

المقرر؟


( 12 مثال )

كان Pإذا ( A ∩B )=0.3 , P ( A ∩ B )=0.2 , P ( A∪B )=0.9

التالية اإلحتماالت Pاحسبي ( A ) , P ( B ) , P ( A ∩ B ) , P ( B )

( 13 مثال )

مقرر في النجاح إحتمال كان مقرر 0.6هو Aإذا في النجاح إحتمال هو Bو

هو 0.7 األقل على واحد مقرر في النجاح اإلحتماالت . 0.9واحتمال احسبي

التالية:

مقرر (1 في النجاح .Bومقرر Aإحتمال

مقرر (2 في النجاح .Aإحتمال فقط مقرر (3 في النجاح مقرر Bإحتمال في النجاح .Aوعدم

مقرر (4 في النجاح عدم .Bوقرر Aإحتمال

مقرر (5 في النجاح مقرر Bإحتمال في النجاح عدم .Aأو

واجب تمرين

بين أن 200من وجد العلوم طالبات من يدرسن 100طالبة منهن طالبة

, 90الرياضيات, الكيمياء ,20يدرسن الكيمياء أو الرياضيات من أي يدرسن ال

: تكون أن إحتمال ما عشوائيا طالبة اختيرت

1). فقط الكيمياء تدرس2). والرياضيات الكيمياء تدرس


3). الرياضيات أو الكيمياء تدرس

مالحظة

, كان فإذا معا حدوثهما يستحيل التي هي المتنافية األحداث أن سابقا ذكرنا

A وB فإن متنافيان Aحدثان ∩ B=∅ عنه وينتج عنه Pوينتج ( A ∩B )=0.

( 14 مثال )

كان Pإذا ( A∪B )=23

, P ( A )=12

إحتمال كانت Bفأوجدي .Bو Aإذا متنافيين حدثين

الشرطي اإلحتمال

حدوث علم إذا ما حادث إحتمال حساب تعني الشرطي اإلحتمال دراسة إن

. كان فإذا آخر حدوث Bو Aحادث إحتمال فإن بأن Aحدثين قد Bعلما

عـنه يعبر فعال Pحدث ( A∨B لــ ( الـشرطي باإلحتـمال ـكانت Aويـسمى ـقد Bإذا

بـ ويعرف حدثت

P ( A∨B )= P ( A ∩B )P ( B )

=n ( A ∩ B )n (B )

يكون أن Pبشرط (B Pفي Bالحدث. 0<( ( A∨B الجديد ( العينة فراغ هو

. باإلحتماالت الشرطي اإلحتمال حساب نوضح المختزل الفراغ ويسمى

التالية.

( 15 مثال )


ولتكن نرد حجر رمي من المكونة العشوائية التجربة اعتبري

A : على الحصول .2حادثة

B. زوجي : عدد على الحصول حادثة

احتمال بوقوع Aاحسبي علمتي .Bإذا

( 16 مثال )

) , ( األلوان بعمى لإلصابة ووفقا بنت ولد للنوع وفقا شخص مائة صنفنا

النتيجة فكانت

مصاب المجموع مصابغيرولد60582بنت40391المجموع100973

التالية اإلحتماالت احسبي

بمرض (1 مصابة تكون أن ماإحتمال بنت المختار الشخص أن علنا إذا

. األلوان عمى2). مصابا أمه علمنا إذا ولد المختار الشخص أن إحتمال ما

واجب تمرين

أن علم Pإذا ( A∪B )=0.8 , P ( A )=0.6 , P (B∨A )=0.25

Pأحسبي ( A ) , P ( A ∩ B ) , P ( B ) , P ( A∪B ) , P ( A ∩B ) , P ( A∨B )


( 17 مثال )

من مجموعة أحد 100صنفت في شهر خالل اإلسعاف قسم راجعوا مريض

إذا الطبيب تقرير وحسب النوع حسب الرياض مدينة في المستشفيات

التالي . الجدول على فحصلنا ال أم مستعجلة الحالة كانت

انثىالمجموعF

ذكرM

النوعالطبيب تقرير

704525 مستعجلة

E

301020مستعجلة غير

EC

المجموع1005545فإن عشوائيا المراجعين أحد اختيار تم إذا

هو (1 مستعجلة غير وحالتها أنثى المراجعة تكون أن إحتمال

(0.33 0.10 0.30)

هو (2 مستعجلة حالته أو ذكر المراجع يكون أن إحتمال

(0.00 0.90 1.15)

هو (3 مستعجلة غير حالتها أن علم إذا أنثى المراجعة تكون أن إحتمال(0.10 0.33 0.45)

هو (4 أنثى أو ذكر المراجع يكون أن إحتمال(0.00 1.00∅ )

( 18 مثال )

أن علم P)A(=0.3, P)B(=0.6إذا

كان (1 Pإذا ( A∪B )=0.9


الحدثتان تكونا .................................................Bو Aفإن

كان (2 Pإذا ( A∪B )=0.72


كان (3 Pإذا ( A∪B )=0.6


الحادثتان (4 ولماذا؟ Bو Aهل شاملتان؟

( 19 مثال )

على وتفسيره القرآن لتجويد المسابقة في مشترك يحصل أن إحتمال

هو التجويد هو, 0.16جائزة التفسير جائزة على يحصل وإحتمال, 0.30وأن

هو معا عليهما يحصل أحسبي . 0.09أن

أنه (1 علما التجويد جائزة على يحصل ال سوف المشترك أن إحتمال

. التفسير جائزة على حصل

لم (2 أنه علما التفسير جائزة على يحصل سوف المشترك أن إحتمال

. التجويد جائزة على يحصل

المستقلة الحوادث


حدوث Bو Aالحادثتين على يؤثر ال أحدهما حدوث كان إذا مستقلين حدثين

. أن أي اآلخر حدوث عدم أو

P ( A ∩B )=P ( A ) P ( B )

الحدثين كان إذا نستنتج فإن Bو Aومن مستقلين حدثين

1-P ( A∨B )=P ( A ).

2-P ( A∪B )=P ( A )+P ( B )−P ( A ) P (B )=P ( A )+P (B ) P ( A ).

3-A وB <= مستقلين => Bو ACحدثين مستقلين BCو Aحدثين

مستقلين => .BCو ACحدثين مستقلين حدثين

( 20 مثال )

كان إذا

P ( A ∩B )=0.30 , P ( B )=0.40 , P ( A )=0.20

الحدثين مستقلين؟ Bو Aهل حدثين

( 21 مثال )

كان Pإذا ( A )=0.5 , P ( A∪B قيمة 0.9=( Pأوجدي (B كان ( إذا

1)A وB. متنافيين حدثين


2)A وB. مستقلين حدثين

3)A من جزئية .Bمجموعة

( 22 مثال )

كان وكان Bو Aإذا مستقلين Pحدثين (B∨A )=0.4 , P ( A∨B )=0.3 كال فأوجدي

من

P ( A ) ,P ( B ) ,P ( A ∩ B ) , P ( A ∩ B ) , P ( A ∩ B ) , P ( A ∩ B )

( 23 مثال )

هو معين هدفا محمد يصيب أن إحتمال كان 3إذاأحمد 4 يصيب أن إحتمال و

هو نفسه 1الهدف3: التالية. اإلحتماالت أوجدي

1). معا الهدف يصيبا أن إحتمال

2). أحدهما الهدف يصيب األقل على

3). يصيبه ال وأحمد الهدف يصيب محمد

4). أحمد , يصيبه أن إحتمال ما الهدف يصيب لم محمد أن علم إذا


واجب تمرين

كان العينة Bو Aإذا فراغ على معرفين وكان Sحدثين

P (B∨A )= 14

, P ( A∨B )=13

,P ( A )=16

Pأوجدي ( A ∩B ) , P (B ), P ( A∪B ) , P ( A∪B )

, Bو Aهل هل , Bو Aمستقالن هل .Bو Aمتنافيين شاملين حدثين

واجب تمرين

كان Pإذا ( A∪B )=0.8 , P ( A ∩ B )=0.3 , P ( A∪B )=0.6

Pأوجدي ( A ∩B ) , P (B ) , P ( A∪B ) , P ( A∨B )

, Bو Aهل هل ولماذا , Bو Aمستقلين هل ولماذا حدثين Bو Aمتنافيين

ولماذا؟ شاملين

بـيــز نظرية

الحوادث مجموعة لدينا كان A1إذا , A2 ,…, An والمتنافية الشاملة

أن ¿أي i=1 ¿n A i=S , A i∩ A j=∅

بحيث Bوكان نفسه العينة فراغ على معرف Pحدث (B )≠ الرسم 0 في كما

التالي

A1 BA2

|An

نستنتج ومنه


P (B )=P (B ∩ A1)+P ( B ∩ A2 )+…+P ( B ∩ An )

¿ P (B∨A1 ) P ( A1 )+P (B∨A2 ) P ( A2 )+…+P ( B∨An ) P ( An )

Pيسمى (B ) وأيضا الكلي باإلحتمال

P ( A i∨B )=P ( Ai ∩ B )

P ( B )=

P ( B∨A i ) P ( A i )P (B )

: التالية البيانية بالشجرة احتماالتها و األحداث نمثل وعادة

P ( A1 ) P ( B∨A1 )

P (B∨A1 )

P ( A2 ) P ( B∨A2 )

P (B∨A1 )

⋮

P ( An ) P ( B∨An )

P (B∨An )

( 24 مثال )

السياحية األماكن أحد في األسبوع نهاية إجازة قضاء أسرة أو Bأو Aتنوي

C في المطر وقوع إحتمال كان .0.5هو Cوفي 0.7هو Bوفي 0.6هو Aإذا

أحسبي عشوائيا اإلجازة مكان األسرة إختارت إذا

1). ممطرة إجازة األسرة تقضي أن إحتمال

أن , (2 إحتمال هو فما ممطرة إجازة قضت األسرة أن علمتي إذا

المكان في كانت .Aإجازتها


أن , (3 إحتمال هو فما ممطرة إجازة تقضي لم األسرة أن علمتي إذا

المكان في كانت .Bإجازتها


المكان في كانت .Cإجازتها


المكان في كانت .Bأو Cإجازتها

( 25 مثال )

به األول و 4صندوقان بيضاء به , 6كرات الثاني والصندوق سوداء 8كرات

و بيضاء . 3كرات منه واختيرت عشوائيا الصناديق أحد إختير سوداء كرات

أوجدي . كره

1). سوداء المسحوبة الكرة تكون أن إحتمال


من , (2 تكون أن إحتمال ماهو سوداء أنها ووجد كرة إختيرت إذا

. األول الصندوق

الصندوق , (3 من تكون أن إحتمال ماهو بيضاء أنها ووجد كرة إختيرت إذا

الثاني.

الخامس الفصل

العشوائية المتغيرات

تعريف


العينة فراغ على معرفة حقيقية عددية قيم ذات دالة هو العشوائي المتغير

S. العينة فراغ مجاله تطبيق هو العشوائي المتغير أن المقابل Sأي ومجاله

) الحقيقية) األعداد مجموعة هو الممكنة القيم .Rأي

( 1 مثال )

. عدد هو العشوائي المتغير اعتبري متتاليتين مرتين عملة قطعة رميت

. العشوائي للمتغير الممكنة القيم أوجدي الناتجة .Xالصور

المنفصل أو المتقطع العشوائي المتغير

إذا أي متقطعة مجموعة هي الممكنة قيمه مجموعة تكون الذي المتغير هو

للعد ) (. قابلة الممكنة قيمه للعد قابل المقابل مجاله كان

اإلحتمالي ) ( التوزيع دالة اإلحتمالية الكتلة دالة

كان للعد Xإذا القابلة الممكنة القيم ويأخذ متقطع عشوائي x1متغير , x2 ,…

فإن

f ( X i )={P ( X= xi ) if x=x i

0 خلافذلكالعشوائي للمتغير اإلحتمالية الكتلة دالة .Xتسمى

جدول في اإلحتمالية الكتلة ودالة عشوائي للمتغير الممكن القيم توضع

كالتالي

xn---x2x1x


f ( xn )---f ( x2 )f ( x1 )f ( x )

العشوائي للمتغير اإلحتمالية الكتلة دالة حساب كيفية بمثال ونوضح

( 2 مثال )

اإلحتمالية الكتلة دالة fأوجدي ( x العشوائي ( عدد Xللمتغير يمثل والذي

نقود قطعة رمي عند واحد منه مطروحا الكتابة ظهور ثم 3مرات مرات

احسبي

f (−1 ) , P ( X ≤0 ) , P ( X ≤1 ) , P ( X>1 ) , P ( X ≤2 ) , P (−1≤ X<2 )

اإلحتمالية الكتلة دالة وارسمي

واجب تمرين


بين من عشوائيا كرت سحب ثم نرد حجر إلقاء من مكونة عشوائية تجربة

األرقام عليها كروت .5, 3, 1ثالث

1). العينة فراغ مثليالعشوائي (2 المتغير عرف عدد Xإذا بين المطلق الفرق أنع على

. الكرت على يظهر الذي والرقم النرد حجر على تظهر التي النقاطالنرد| – | = على النقاط عدد الكرت على Xالرقم

لـ (3 الممكنة القيم ثم Xأوجدي وارسميها اإلحتمالية الكتلة ودالة

إحسبيf ( 4 ) , P ( X=2.5 ) , P ( X ≤1 ) ,P (2 ≤ X<4 ) , P ( X>3 )

اإلحتمالية الكتلة خصائصدالة

اإلحتمالية الكتلة دالة fتحقق ( x العشوائي ( التالية Xللمتغير الخصائص

1( f ( x ) ≥ 0∀ x

2( ∑all x

f ( x )=1

( 3 مثال )

الثابت قيمة إحتمالية Cأوجدي كتلة دوال الدوال هذه تجعل والتي

1(

21-1-2x

4C3C2C5Cf ( x )

2( f ( x )=C ( x+1 ) x=−1 , 0 ,1 ,2 ,3


التراكمية التوزيع دالة

العشوائي للمتغير التراكمي التوزيع دالة أنها Xتعرف على

F ( x )=P ( X ≤ x )

( 4 مثال )

التراكمي التوزيع دالة Fاحسبي ( x العشوائي ( دوال Xللمتغير له والتي

التالية بالجداول معطاة اإلحتمالية الكتلة

1(

x 0 1 2f ( x ) 1

412

14

2(

x -1 0 1 2 المجموعf ( x ) 1

838

38

18

1

التراكمي التوزيع خصائصدالة

1( F ( ∞)=1

2( F (−∞ )=0

3( ) متناقصة ) غير متزايدة التراكمي التوزيع دالة4( 0≤ F ( x )≤ 1


العشوائي للمتغير التوقع

العشوائي للمتغير ( Xالتوقع ( بالرمز له ويرمز المتوسط μXأو )E)Xأو

يلي كما ويعرف

E ( X )=∑i=1

n

x i f ( x i )

العشوائي xحيث للمتغير الممكنة fالقيم ( x ). اإلحتمالية الكتلة دالة

( 5 مثال )

العشوائي للمتغير التوقع معطاة Xاحسب اإلحتمالية الكتلة دالة والتي

بالجدول

x 0 1 2f ( x ) 1

412

14

( 6 مثال )

العشوائي للمتغير التوقع هي Xأحسبي اإلحتمالية الكتلة دالة والتي

f ( x )= x2

30x=1, 2 , 3 , 4


بعضخصائصالتوقع

ثابت Cحيث E)C(=C( 1عدد

ثابت aحيث )E)aX(= aE)X( 2عدد

E)aX+C(= aE)X( + C => 2و 1من

في )g)xحيث x 3 )E(gدالة (x))=∑X

g(x ) f (x )

مثال ) إلى لـ( 6بالرجوع التوقع .)E)-2X+3وكذلك 2X-5إحسبي

العشوائي للمتغير التباين

العشوائي المتغير بالرمز Xتباين له σأو )V)Xيرمز Xبالعالقة 2 ويعطى

σ X2 =V ( X )=E ( X−μX )2

E حيث ( X )=μX

له ويرمز المعياري اإلنحراف على محصل للتباين التربيعي الجذر بأخذ

σبالرمز X❑.

نستخدم التباين لحساب

V ( X )=E ( X2 )−( E ( X ) )2

Eحيث ( X2 لــ ( التوقع بالعالقه X2هو ويعطى

E ( X2 )=∑X

x2 f (x )


( 7 مثال )

العشوائي للمتغير المعياري واإلنحراف والتباين التوقع دالة Xاحسبي والتي

هي له اإلحتمالية fالكتلة ( x )= x+16

, x=0 , 1 ,2.

بعضخصائصالتباين

ثابت عدد C 1( V)C(=0ألي

ثابت aحيث )V)aX(=a2V)X( 2عدد

)V)aX+C(= a2V)X 2و 1من

مثال ) إلى التباين( 6بالرجوع .)V)-2X+3وكذلك 2X-5لـ إحسبي

( 8 مثال )

التباين احسبي السابق المثال إلى .)V)-6X+2و ( 3X-2)بالرجوع


( 9 مثال )

العشوائي للمتغير اإلحتمالية Xاعتبري الكتلة دالة له fوالذي ( x النحو ( على

التالي

310-1-2x

0.20.20.3C0.1f ( x )

قيمة .Cأوجدي

.)F)xأوجدي

التالية اإلحتماالت احسبي

P ( X ≤5 )=¿

P ( X ≤−1 )=¿

P (−1≤ X ≤ 2 )=¿

P ( X>1 )=¿

P ( X=−3 )=¿

P ( X>5 )=¿

. المعياري واإلنحراف والتباين التوقع احسبي ثم


( 10 مثال )

كان هي Yإذا اإلحتمالية كتلته دالة منفصل عشوائي متغير

f ( y )=5− yk

y=1, 2 ,3 , 4 , 5

الثابت (1 قيمة .kأوجدي

للمتغير (2 اإلحتمالي التوزيع جدول .Yأكتبي

3) ) للمتغير ) التجميعي التراكمي التوزيع دالة Y :Fأوجدي ( y ).

التوقع (4 σوالتباين μأحسبي العشوائي 2 .Yللمتغير


السادس الفصل

المتقطعة التوزيعات أهم

الحدين( 1 ) ذي توزيع

مقدمة

. المتقطعة التوزيعات أهم من الحدين ذي توزيع التوزيع يعتبر هذا ويستخدم

. التي النتيجة فقط نتيجتين إلى نتائجها جميع تصنيف يمكن التي التجارب في

لتسهيل فقط تستعمل النجاح وكلمة بالفشل واألخرى بالنجاح تسمى تهمنا

. الحادثة ظهور وصف

تعريف

المتكررة التجارب إلى nفي نتائجها تصنف والتي المستقلة المرات من

اآلخر: ) ( , ) (. الحدث الفشل أو يهمنا الذي الحدث نجاح صنفين

بـ النجاح وقوع الحتمال رمز )pفإذا بـ المتغير p=)q-1والفشل وكان

يمثل تعطى Xالعشوائي اإلحتمالية الكتلة دالة فإن النجاح مرات عدد

بالعالقة

f ( x )={(nx) px (1−p )n− x x=0 , 1, …,n

0 خلافذلكأن العشوائي . Xويقال للمتغير والتباين التوقع أما الحدين ذي توزيع Xتتبع

بالعالقات فيعطى الحدين ذي توزيع يتبع الذي

E ( X )=np

V ( X )=np (1−p )


مالحظات

.n=1عندما (1 برنولي توزيع يسمى الحدين ذي توزيع فإنالحدين (2 ذي توزيع و nحيث pو nمعالم المحاوالت عدد هو pهي

. الواحدة المحاولة في النجاح احتمال

( 1 مثال )

هو الثقافية المسابقة في العلوم كلية من طالبة فوز إحتمال كان ,0.8إذا

.5إشتركت المسابقة هذه في طالبات

1). الفائزات الطالبات لعدد اإلحتمالية الكتلة دالة إكتبي

2). منهن طالبة أي فوز عدم إحتمال ما

3). منهن طالبتين فوز إحتمال ما

4). األقل على طالبة فوز ماإحتمال

5). األكثر على طالبتين فوز ماإحتمال

6). الفائزات الطالبات لعدد المعياري واإلنحراف التوقع إحسبي

7). فائزات الغير الطالبات لعدد والتباين التوقع إحسبي


( 2 مثال )

كان , 20إذا من% عينة أخذت تالف إنتاج هو المصنع إنتاج وحدات 4من

التالية اإلحتماالت أوجدي

1). تالفة المختارة الوحدات

2). تالفتين وحدتين توجد األكثر على

3)3. جيدة المختارة الوحدات من

4). التالفة الوحدات لعدد والتباين التوقع

5). الجيدة الوحدات لعدد والتباين التوقع

( 3 مثال )

) ( , اإلعادة مع عشوائيا سحبنا تالفة منها إثنان تفاحات ثمان يتضمن صندوق

العشوائي المتغير وكان منها حصلنا Xثالث التي التالفة التفاحات يمثل

عليها.

العشوائي للمتغير اإلحتمالية الكتلة دالة .Xإكتبي


( 4 مثال )

كان بدوار% 7إذا يصابون األطلنطي المحيط عبر المسافرين األشخاص من

من, عينة أخذت .5البحر األطلنطي المحيط عبر مسافرين أشخاص

يصابون (1 الذين العينة في األشخاص لعدد اإلحتمالية الكتلة دالة إكتبي

. البحر بدوار

هو (2 البحر بدوار منهم ثالثة يصاب أن إحتمال

(0.003 0.045 0.309)

هو (3 البحر بدوار األكثر على أربعة يصاب أن إحتمال (0.042 0.472 0.999)

هو (4 البحر بدوار منهم أربعة يصاب ال ن إحتمال (0.262 0.0001 0.999)

هو (5 البحر بدوار يصابون الذين األشخاص لعدد التوقع(1.500 0.350 3.500)

هو (6 البحر بدوار يصابون الذين األشخاص لعدد التباين (1.05 1.625 0.326)


الهندسي( 2 ) فوق توزيع

تعريف

محدود حجمها يكون التي الصغيرة المجتمعات حالة في التوزيع هذا يستخدم

N األولى الصفة وحدات عدد صنفين إلى الصفة aومقسمة وحدات وعدد

( حجمها a+b=N )bالثانية عشوائية عينة ) nوسحبت غير المحاوالت

) العشوائي المتغير ويكون تحمل Xمستقلة التي العينة وحدات عدد يمثل

على اإلحتمالية كتلته دالة وتكون هندسي فوق توزيع له متغير األولى الصفة

الصورة

f ( x )=C x

aC n−xb

Cna+b X=0,1,2 , …, min (a∨n )

هي ) التوزيع ( .a, b, nمعالم

هو ) ( األولى الصفة تحمل التي الوحدات لعدد المتوسط التوقع ويكون

E ( X )=np p= aN

هو األولى الصفة تحمل التي الوحدات لعدد والتباين

V ( X )=npq( N−nN−1 )q= b

N

األولى الصفة تحمل التي الوحدات لعدد المعياري واإلنحراف

σ=√npq( N−nN−1 )


( 5 مثال )

به للسيارات و 15معرض جديدة , 6سيارة عينة أخذت مستعملة سيارات

من مكونة فإن 5عشوائية المعرض هذا من سيارات

هي (1 العينة في الجديدة السيارات لعدد اإلحتمالية الكتلة دالة

على (2 العينة تحتوي أن هو 3إحتمال جديدة سيارات

هو (3 جديدة األكثر على واحدة سيارة على العينة تحتوي أن إحتمال

هو (4 مستعملة سيارات أربعة على العينة تحتوي أن إحتمال

هو (5 العينة في الجديدة السيارات عدد متوسط

هو (6 العينة في الجديدة السيارات لعدد التباين

هو (7 العينة في المستعملة السيارات عدد متوسط


( 6 مثال )

ترشح الثقافية المسابقات إحدى و 10في ,12علماء مختلفة دول من أديب

إختير فإن 7إذا عشوائيا مرشحين

هي (1 العينة في األدباء لعدد اإلحتمالية الكتلة دالة

اإلختيار (2 يشمل أن أدباء 4إحتمال

اإلختيار (3 يشمل أن علماء 5إحتمال

اإلختيار (4 يشمل أن األقل 6إحتمال على أدباء

المختارون (5 العلماء لعدد التوقع

المختارون (6 األدباء لعدد المعياري اإلنحراف


بواسون( 3 ) توزيع

تعريف

في عشوائي حدث حدوث مرات عدد يمثل منفصل كمي لمتغير توزيع هو

. محدد مكان أو محددة زمنية فترة

أمثلة :

خالل خاصة عيادة في اإلنتظار حجرة يدخلون الذين المرضى عدد

ساعة.

. اليوم خالل الميادين أحد في المرور حوادث عدد

. عام خالل المصانع أحد في تحدث التي الخطيرة الحوادث عدد

العشوائي المتغير كان فترة Xإذا خالل ما حدث حدوث مرات عدد يمثل

المتغير فإن محددة مكانية مساحة أو محددة توزيع Xزمنية له يكون

بمتوسط الصورة λبواسون على اإلحتمالية كتلته دالة وتكون

f ( x )= e− λ λx

x !x=0 , 1 ,2 ,…

λ. بواسون وتباين متوسط تمثل أيضا وهي بواسون توزيع معلمة هي

الحدث ) ( = حدوث مرات لعدد التوقع .λمتوسط

الحدث = حدوث مرات لعدد .λالتباين


الحدث = حدوث مرات لعدد المعياري √اإلنحراف λ.

( 7 مثال )

كان خالل Xإذا المستشفيات أحد يستقبلها التي الطارئه الحاالت عدد هو

بواسون ) توزيع له عشوائي متغير واحدة فإن( 3ليلة

العشوائي (1 للمتغير اإلحتمالية الكتلة تكون Xدالة

المستشفى (2 يستقبل أن هو 4إحتمال واحدة ليلة خالل طارئه حاالت

ليلة (3 خالل طارئه حالتين من أقل المستشفى يستقبل أن إحتمال

هو واحدة

هو (4 واحدة ليلة خالل طارئه حالة أي المستشفى يستقبل ال أن إحتمال

ليلة (5 خالل المستشفى يستقبلها التي الطارئه الحاالت عدد متوسط

واحدة

ليلة (6 خالل المستشفى يستقبلها التي الطارئه الحاالت لعدد التباين

واحدة

( 8 مثال )

العشوائي المتغير كان يعملها Xإذا التي خاص نوع من األشعات عدد يمثل

بواسون ) توزيع له ساعة خالل األشعة مراكز فإن( 2.3أحد

العشوائي (1 للمتغير اإلحتمالية الكتلة تكون Xدالة100" اإلحصاء " في مقدمة 58 احص

المركز (2 يعمل أن هو 3إحتمال ساعة خالل النوع هذا من اشعات

هو (3 ساعة خالل األقل على اشعتين المركز يعمل أن إحتمال

خالل (4 المركز يعملها التي الخاص النوع من األشعات عدد متوسط

ساعة

يعملها (5 التي الخاص النوع من األشعات لعدد المعياري اإلنحراف

. ساعه خالل المركز

السابع الفصل

) المتصل ) المستمر العشوائي المتغير

) ( أن وذكرنا المنفصل أو المتقطع العشوائي المتغير دراسة لنا سبق

العشوائي ) (. والمتغير منته غير أو منته للعد قابال يكون له المقابل المجال

للعد ) ( قابل وغير منته غير المقابل مجاله يكون الذي هو المستمر المتصل

فترة ) داخل القيم جميع عن عباره (.a,bويكون

اإلحتمالية الكثافة دالة

والتي اإلحتمالية الكثافة دالة تسمى دالة توجد متصل عشوائي متغير ألي

التالية الشروط تحقق

1( f ( x ) ≥ 0∀−∞<x<∞

2( ∫−∞

+∞

f ( x ) dx=1

التراكمي التوزيع دالة


كان التالية Xإذا بالعالقة المعطى الدالة فإن متصل عشوائي متغير

F ( x )=P ( X ≤ x )=∫−∞

x

f ( x )dx

العشوائي للمتغير التراكمي التوزيع دالة .Xتسمى

المتصل العشوائي للمتغير والتباين التوقع

μ=E ( X )=∫−∞

+∞

xf ( x )dx

E ( X2 )=∫−∞

+∞

x2 f ( x ) dx

الطبيعي التوزيع

هذا أهمية وتأتي الجرس شكل له توزيع عن عبارة هو الطبيعي التوزيع

المختلفة القياسات من الكثير توزيعات جيد بشكل يقارب لكونه التوزيع

. للمتغير الكثافة دالة وتعطى اإلمتحان ودرجات واألوزان األطوال منها التي

كالتالي Xالعشوائي الطبيعي التوزيع يتبع والذي

f ( x )= 1σ √2 π

e−12 ( x−μ

σ )2

−∞<x<∞

الطبيعي بعضخواصالتوزيع

المتوسط (1 المعياري μقيم التشتت σواإلنحراف ودرجة المكان تعين

الطبيعي(1شكل )


( للمتوسط( 1شكل مختلفة لقيم الطبيعي التوزيع أشكال يمثل

المعياري واإلنحراف

المتوسط (2 حول متناظر الطبيعي .μالتوزيع

األفقي (3 المحور من فأكثر أكثر طرفاه يقترب الطبيعي التوزيع منحنى

. أبدا يقطعه أو يمسه ال ولكنه4). صحيحا واحدا تساوي المنحنى تحت الكلية المساحةالطبيعي (5 التوزيع μمعالم , σ2

بالرمز طبيعيا توزيعا الموزع العشوائي للمتغير Xونرمز N (μ , σ هي μحيث (

العشوائي للمتغير العشوائي σو Xمتوسط للمتغير المعياري اإلنحراف هي

X .أن نقول بمتوسط Xوهكذا طبيعي توزيع معياري μله .σوانحراف


القياسي الطبيعي التوزيعالعشوائي للمتغير الطبيعي التوزيع أن سابقا ذكرنا على Xكما يعتمد

معـياري μمتوـسطه التوزـيع, σوانحراـفه مـكان على ـتؤثران القيمـتان ان وهاـت

المعياري لإلنحراف قيمة وكل للمتوسط قيمة فلكل تشتته مقدار وعلى

. يمكن ومجدول ثابت واحد طبيعي توزيع ويوجد التوزيع ومكان شكل يتغير

الطبيعي بالتوزيع ويسمى إليه األخرى الطبيعية التوزيعات جميع تحويل

. واحدا يساوي معياري وانحراف صفر متوسط ذو توزيع وهو القياسي

القياسي الطبيعي التوزيع يتبع الذي العشوائي للمتغير يرمز وعادة صحيحا

أن Zبالرمز Zأي N (0,1 العشوائي ( للمتغير اإلحتمالية الكثافة هي Zودالة

f ( z )= 1√2 π

e−z2

2 −∞< z<∞

بالرمز لها يرمز التراكمي التوزيع ϕدالة ( z )

ϕ ( z )=P (Z ≤ z )=∫−∞

z1

√2 πe

− z2

2 dz


( متوسطه طبيعي توزيع أي تتبع أي القياسية غير القيم وانحرافه μجميع

العالقة ( σمعياري بإستخدام قياسيه قيم إلى تحويلها يمكنZ= X−μ

σ

( 1 مثال )

بمتوسط الطبيعي التوزيع يتبع الطالب من مجموعة أطوال أن علم إذا

معياري 155مقداره وانحراف (5سم ( . القياسيه المعياريه القيم أوجدي سم

الطالب .158, 150ألطوال

( 2 مثال )

علم إذا للطالب الحقيقية األطوال أوجدي السابق المثال بيانات بإستخدام

هي : - القياسية أطوالهم .0.82, 0.52أن

المنحنى** تحت المسـاحات لحساب جداول بعمل اإلحصائيين قام ولقد

الفترة - في القياسي .3.4إلى +3.4الطبيعي

( 3 مثال )

تقع التي القياسي الطبيعي التوزيع منحنى تحت المساحة أوجدي.Z=0.87و Z=0بين (1

يمين (2 .Z=0.48على

يسار (3 .Z=0.79على


يسار (4 .Z=-3.59على

( 4 مثال )

أحسبي

P)Z=1.9(=

P)Z≤1.72(=

P)Z<-0.54(=

P)Z>1.07(=

P)Z≥0.29(=

P)-1.91≤ Z ≤0.45(=

( 5 مثال )

الطبيعي التوزيع تتبع ما بلد في العام من فترة خالل الحرارة درجة كانت إذا

معياري 20بمتوسط التاليه . 3وانحراف اإلحتماالت أوجدي

الحرارة (1 درجة تساوي .30oأن

عن (2 الحرارة درجة تزيد ال .23oأن

بين (3 الحرارة درجة تكون .15oو 26oأن

عن (4 الحرارة درجة تقل ال .20oأن

( 6 مثال )


أطوال كانت بمتوسط 500إن طبيعي توزيع لها معين نبات أوراق من ورقة

معياري 132 وانحراف :10مليمترا التالية . األوراق عدد أوجدي مليمترا

.mm 140و mm 130مابين (1

من (2 .mm 150أكبر

من (3 .mm 130أقل

( 7 مثال )

بمتوسط عشوائي متغير تعتبر اإلنسان في التامة الحمل يوم 266فترة

معياري . 12وانحراف بين حملهن يستمر االتي السيدات نسبة ماهي يوم

.270و 260 يوم

( 8 مثال )

العسكرية الكليات بإحدى لاللتحاق المتقدمين الطلبة عدد كان 2000إذا

بمتوسط الطبيعي التوزيع تتبع أطوالهم وكانت انحراف 170طالب و سم

.10معياري سم

من (1 أكبر أطوالهم الذين المتقدمين الطلبة .150مانسبة سم بين (2 أطوالهم تتراوح الذين الطالب تقبل الكلية كانت 185و 150إذا

. قبولهم. المحتمل الطلبة عدد هو فما سم


( 9 مثال )

كان التاليه Zإذا اإلحتماالت أوجدي قياسي طبيعي توزيع له عشوائي متغير

1( P (Z ≤−3.01 )=¿

) 0.0013 0.0000 0.3944 (

2( P (Z>4 )=¿

) 0.0013 0.0000 0.3944 (

3( P (0≤ Z ≤ 1.25 )=¿

) 0.0013 0.0000 0.3944 (

4( P (Z=3.11 )=¿

) 0.0013 0.0000 0.3944 (

,,, الله بحمد تم

والنجاح ,,, بالتوفيق لكن تمنياتنا مع


نماذج


والنهائية الفصلية اإلختبارات


fac.ksu.edu.safac.ksu.edu.sa/sites/default/files/mhdrt_stat_100.docx · web viewويختص...

Documents