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Fısica Geral IIAula 1 - Teoria cinetica dos gases
D. Valin1
1Faculdade de Ciencias Exatas - FACETUniversidade do Estado de Mato Grosso
Sinop-MT, April 25, 2017
D. Valin (Universidade do Estado de Mato Grosso) Fısica Geral II Sinop-MT, April 25, 2017 1 / 25
Sumario
1 IntroducaoO que e Fısica?
2 Numero de AvogadroNumero de Avogadro
3 Trabalho realizado por um Gas Ideal a Temperatura constante
4 Trabalho realizado por um Gas Ideal a Volume constante e Pressaoconstante
5 Pressao, Temperatura e Velocidade Media Quadratica
6 Energia Cinetica de Translacao
7 Livre Caminho Medio
8 A distribuicao de velocidade das moleculas
9 Gases Reais - A equacao de Van der Waals
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Introducao
”Quando Uma garrafa dechampanhe, cerveja ou qualqueroutra bebida com gas e aberta, umanevoa se forma em torno da boca dagarrafa e parte do lıquido espirrapara fora. Na fotografia, a nevoa e anuvem branca que envolve a rolha eos respingos sao os riscos no interiorda nuvem.”O que produz a nevoa que apareceno ar quando uma garrafa de bebidagasosa e aberta?A resposta no final do capıtulo do Halliday.
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O que e Fısica?
Um dos grandes objetivos da Fısica e relacionar quantidades microscopicastais como momento linear e energia de cada molecula do gas aquantidades macroscopicas tais como Temperatura, Pressao e Volume. Ea Teoria cinetica dos gases que faz essa associacao. A teoria cinetica dosgases tem muitas aplicacoes nas mais diversas areas do conhecimento.
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Numero de AvogadroDefinicoes
O mol e o numero de atomos de uma amostra de 12 g de carbono 12;
Quantos atomos ou moleculas ha em um mol?
O numero de Avogadro e definido experimentalmente comoNA = 6.02.1023mol−1;
O numero de moles n contidos em uma amostra de qualquersubstancia e igual a taxa do numero de moleculas N em uma amostrapara o numero de Avogadro NA em 1 mol;
n =N
NA
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Numero de Avogadro
Objetivos de aprendizagem
Identificar numero de Avogadro NA.
Relacao entre numero de moles n e o numero de moleculas N pormeio de NA
Relacao entre a massa m de uma amostra, massa molar M dasmoleculas de uma amostra e o numero NA.
Ideias chave
Teoria cinetica relaciona propriedades microscopicas com variaveismacroscopicas de um gas.
Um mole de uma substancia contem NA (numero de Avogadro)unidades elementares (at. ou mol.), onde NA e experimentalmenteNA = 6.02.1023mol−1.
A massa molar M de uma substancia e a massa de um mole dasubstancia.
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Gases ideais
Medidas precisas em baixas concentracoes
pV = nRT (1)
onde p e a medida absoluta (nao manometrica), n e o numero demols do gas e T e a temperatura;
O fator R e chamado de constante dos gases ideais, e possui o mesmovalor para todos os gases
R = 8, 31J/mol .K
De acordo com a equacao acima, R = kNA. Assim, de acordo comEq. 19-2(n = N/NA), temos
PV = NkT
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Trabalho realizado por um Gas Ideal a Temperaturaconstante
Suponha que temos um gas idealdentro de um cilindro com umembulo, como o do capıtulo 18. Sejauma expansao do volume inicial Vi
para o volume final Vf , mantendo atemperatura constante. Esteprocesso e chamado expansaoisotermica (O processo inverso -compressao isotermica)
Em diagrama pV
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Trabalho realizado por um Gas Ideal a Temperaturaconstante
Continuando...
P = nRT1
V= (constante)
1
V
W =
∫ Vf
Vi
PdV
substituindo o valor de P, temos:
W =
∫ Vf
Vi
nRT
VdV = nRT
∫ Vf
Vi
dV
V= nRT [lnV ]Vf
Vi
Calculando o valor da expressao ln a− ln b = ln( ab ), obtemos
W = nRT ln(VfVi
) gas ideal processo isotermico)
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Trabalho realizado por um Gas Ideal a Volume constante ePressao constante
Para pressao constante dV = 0 entaoW = 0 (processo a volume constante)Se ao inves disso, o volume varia, enquanto a pressao P do gas e mantidaconstante, a equacao: W = p(Vf − Vi ) = p∆V (processo a pressaoconstante)
Exemplo 19-1
Um cilindro contem 12 L de oxigenio a 20 oC e 15 atm. A temperatura eaumentada para 35 oC e o volume e reduzido para 8, 5 L. Qual e a pressaofinal do gas em atmosferas? Suponha que o gas e ideal.
Exemplo 19-2
Um mol de oxigenio...
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Pressao, Temperatura e Velocidade Media Quadratica
Figure: Uma caixa cubica de aresta L com n mols de um gas ideal. Uma molecula demassa me velocidade v esta prestes a colidir com a parede sombreada de area L2. Emostrada tambem a reta perpendicular a parede.
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Pressao, Temperatura e Velocidade Media Quadratica
Para um modelo de uma caixa cheia de moleculas de ar
∆px = (−mvx)− (mvx) = −2mvx (2)
∆px∆t
=2mvx2L/vx
=mv2
x
L(3)
P =FxL2
=mv2
x1/L + mv2
x2/L + ...+ mv2
xN/L
L2(4)
P = (m
L3)(v2
x1+ v2
x2+ ...+ v2
xN) (5)
Onde N e o numero de moleculas que existem na caixa. Como N = nNA
P =nmNA
L3(v2
x )med (6)
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Energia Cinetica de Translacao
Seja a energia cinetica media das moleculas
Kmed = (1
2mv2)med =
1
2m(v2)med =
1
2mv2
rms
Kmed = (1
2m)
3RT
M
, Entretanto, M/m, a massa molar dividida pela massa de uma molecula,e simplismente o numero de Avogadro. Assim,
Kmed =3RT
2NA
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Energia Cinetica de Translacao
Usando a Eq. 19-7 (k = R/NA), podemos escrever:
Kmed =3
2kT
Propriedade
Em uma dada Temperutura T, todas as moleculas de um gas ideal,independente de suas massas, tem a mesma energia cinetica de translacaomedia 3
2kT .Quando medimos a temperatura de um gas tambem estamos medindo aenergia cinetica de translacao media de moleculas.
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Livre Caminho Medio
Define-se livre caminho medio λ, das moleculas com a distancia mediapercorrida po uma moleculas entre duas colisoes. Espera-se que λ varieinversamente com N/V , o numero de moleculas por unidade de volume(ou concentracao de moleculas).
λ =1√
2πd2N/V
Teste 3Um mol de um gas A, cujas moleculas temum diametro 2d0 e uma velocidade mediav0, e colocado em um certo recipiente. Ummol de um gas B, cujas moleculas tem umdiametro d0 e uma velocidade media 2v0 (as moleculas do gas B sao menores e maisrapidas), e colocado em um recipiente igual.Qual dos gases tem a maior taxa media decolisoes?
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A distribuicao de velocidade das moleculas
Dada a lei de distribuicao develocidades de Maxwell
P(v) = 4π(M
2πRT)3/2v2 exp(
−Mv2
2RT)
, Onde M e a massa molar do gas, Re a constante dos gases ideais, T e atemperatura ambiente do gas e v e avelocidade escalar media damolecula.A Area total da curva∫ ∞
0P(v)dv = 1
A fracao (frac) de moleculas comvelocidades no intervalo, digamos, dev1 a v2, e
frac =
∫ v2
v1
P(v)dv
Agora podemos definir VelocidadeMedia, Velocidade Media Quadraticae Velocidade Mais Provavel
vmed =
∫ ∞0
vP(v)dv
Que resulta em
vmed =
√8RT
πM
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A distribuicao de velocidade das moleculas
Analogamente, a media dosquadrados das velocidades, (v)2
med ,pode ser calculada usando a equacao
(v2)med =
∫ ∞0
v2P(v)dv
Substituindo P(v) por seu valor,dado pela Eq. 19-27, e usando aintegral 16 da lista de integrais doapendice E, obtemos
(v2)med =3RT
M
Daı
vrms =
√3RT
M
A velocidade mais provavel vp e avelocidade para qual P(v) e maxima.Para isso, fazemos dP/dv = 0
vp =
√2RT
M
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A distribuicao de velocidade das moleculas
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A distribuicao de velocidade das moleculas
Example
1 Chuva - A distribuicao de velocidades das moleculas da agua, emdigamos um lago no verao pode ser representada como na Figura doslide anterior. A maioria das moleculas nao possui energia suficientepara escapar da superfıcie da agua. No entanto, algumas moleculasrapidas, aquelas localizadas na calda da curva de altas velocidades,possuem energia suficiente para escapar. Isto explica a evaporacao daagua.
2 Luz solar - A energia do sol se deve a um processo de fusao nuclearque comeca com a fusao dos protons. No entanto, os protons serepelem com a forca de repulsao eletrica entre eles e os atomos comvelocidades media ou abaixo dela nao possuem energia suficiente parainiciar o processo de fusao. Mas os protons rapidos, localizados nacalda da curva de altas velocidades podem se fundir, e por isso o Solbrilha.
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Gases Reais - A equacao de Van der Waals
1 Modelo do Gas Ideal nao levaem conta a interacao entre asmoleculas;
2 No gas real as interacoes tantorepulsivas quando atrativas saolevadas em conta;
3 A forca de interacao entremoleculas de acordo com ografico;
4 Abaixo de r0 as forcas sao taorepulsivas que podem seresquematizadas como paredesimpenetraveis;
1 O modelos que so levam emconta a parte repulsiva dasmoleculas e o do caroco duro,discutido no livre percursomedio
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Gases Reais - A equacao de Van der Waals
Efeito do tamanho finito dasmoleculas
4
3/pid3 = 8x
4
3πr3
0 = 8v0
onde d0 = 2r0 e o diametro efetivoda molecula e v0 o seu volumeefetivo.
V → V − 4Nv0
v → v − b
b = 4N0v0 = 4N0x4
3πv3
0
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Gases Reais - A equacao de Van der Waals
Equacao de Clausius.P = RT
v−b (1 mol)
1 As isotermas associadas aequacao acima sao hiperboles;
2 A assıntota vertical deslocadapara v = b em lugar de v = 0;
3 Gas Real tem um volumemınimo b que e o volume dasomatoria de todas as moleculasdo gas.
∆P = − av2 , a > 0 onde a constante
positiva a e caracterıstica do gas.
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Gases Reais - A equacao de Van der Waals
O termo ∆P e chamado co-pressao edever ser acrescentado ao segundomembro da equacao (11.7.5).
(P +a
v2)(v − b) = RT
(1 mol) onde os parametros a e b sechamam constantes de Van derWalls da substancia considerada.
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Gases Reais - A equacao de Van der Waals
A equacao pela curva BCD (Figuraanterior) e
0 =dP
dv=
d
dv(RT
v − b− a
v2) =
RT
(v − b)2+
2a
v3=
(P + a/v2)
v − b+
2a
v3= 0
Daı P0 = av2 − 2ab
v3 (Curva BCD)resulta
dP0
dv= 0→ vc = 3b
O valor de P, correspondente, P=Pc,se obtem substituindo (11.7.10) na(11.7.9)
Pc =a
9b2− 2ab
27b3→ Pc =
a
27b2
Finalmente a temperatura crıtica Tc
da isoterma que passa pelo ponto Cse obtem substituindo as (11.7.10) e(11.7.11) na (11.7.7):
RTc =8a
27b
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