Санкт-Петербургский Государственный УниверситетФизический Факультет

Кафедра статистической физики

Никитина Маргарита Александровна

Функция Грина поля смещений вупругом полупространстве для

источника в виде гармоническойсилы.

Квалификационная работа на соискание степени бакалавра.

Научный руководитель:д.ф.-м.н., профессорА. Ю. Вальков

Рецензент:д.ф.-м.н., профессорВ. П. Романов

Санкт-Петербург2011

Оглавление

Введение 2

1 Исходные уравнения 51.1 Уравнения движения в упругой среде для смещения и функции Грина,

граничные условия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Три типа волн, их векторы поляризации . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Поле точечного источника в однородной неограниченной среде . . . . . 81.4 Формула Стокса в (R, t) представлении . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5 Задача о микроземлетрясениях на острове Валаам . . . . . . . . . . . . 9

2 Функция Грина для полупространства 112.1 Нормальные моды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 Матричный способ нахождения Gb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3 Построение ФГ как G0 + Gb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.4 Разные типы вкладов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3 Дальняя зона 213.1 Функция Грина G0 в (R,ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2 Асимптотическое вычисление интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.3 Получение Fmj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4 Ближняя зона 254.1 Решение Кельвина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.2 Случай полупространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5 Волна Релея 275.1 Релеевский полюс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275.2 Дальняя зона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Заключение 28

Приложения 30Приложение 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31Приложение 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32Приложение 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32Приложение 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2

Введение

Особое место в геофизических исследованиях занимает анализ распространения упру-гих волн в Земле. В частности, именно этот метод позволяет получить информациюоб источнике землетрясений, строении земной коры, так же о таких явлениях как по-движках плит, зонах субдукций и т.д. Методы сейсмологии часто являются самымиэффективными для поиска полезных ископаемых, особенно залегающих на большихглубинах. Эти методы также широко используются при проведении строительныхработ, анализе структуры грунтов, выявления неоднородностей, пустот и т.д [1].

Сейсмические волны давно служат предметом изучения, и область их приме-нения расширяется. Землетрясения возбуждают волны в грандиознейших масшта-бах; причем поверхностные волны наблюдаются и после того, как они несколько разобходят вокруг Земли. Их систематическое изучение имеет большое значения дляобеспечения безопасности населения, а так же для научного исследования строенияи эволюции Земли. Источником естественного шума и микросейсм часто являютсяшумы на море. Искусственно возбуждаемые сейсмически волны дают информациюо конфигурации слоев в породах для нефтяной и газовой разведки и в меньшем мас-штабе информацию о прочности её поверхностных слоев для инженерных целей. Всеэти процессы могут быть поняты только тогда, когда зарегистрированные сигналыбудут должным образом истолкованы в терминах истинного движения грунта в об-ласти приемника. На основе практических условий было сформулировано множествозадач.

Строгий математический подход к решению задач о распространении сейсмиче-ских волн, безусловно, обеспечивает частичное понимание физики волновых процес-сов. Успехи достигнутые в математике в течение многих лет, привели к появлениюбольшого количества теоретических работ, связанных с сейсмологией землетрясений,распространением волн и т.д.

Возбуждение упругих волн рассматривается вначале с наиболее элементарногоисточника, а именно с точечных сил, действующих в однородной среде. На основеизучения волновых полей от таких простых источников рассматривается задача из-лучения волн, когда силы приложены к плоским границам или в пространстве [2].Для расчета некоторых более сложных источников используется принцип взаимно-сти [3].

Одним из фундаментальных результатов статической теории упругости стало ре-шение Кельвина [4] для точечной силы в пространстве твердого тела. Хорошо из-вестно, что изменение напряжения для большого числа задач может быть полученоиз решения Кельвина методом суперпозиции полей. Для примера, задача, котораябыла решена впервые Ламэ, о сферической емкости на которую как изнутри так иснаружи действует давление, решение её можно получить методом суперпозиции ре-шения Кельвина. Для начала мы получим из его решения, двойную силу, это параэквивалентных сил направленных в противоположную сторону — диполь. Тройка

3

таких векторов, перпендикулярных друг другу, — это центр расширения.В след за этим была решена классическая задача Буссенеска-Церрути [5, 6] о том,

что точечная сила действует на плоской поверхности полупространства. Известно,что решение этой задачи так же может быть получено из решения Кельвина.

Так же это решение может использоваться в изучении напряжения от точечнойсилы внутри полупространства — это задача Миндлина [7].

Однако динамические задачи оказались куда более сложными, и точное решениебыло получено только для случая пространства Стоксом[8]. Для полупространствауже невозможно получить точное решение только в интегральной форме.

Данная работа посвящена изучению поля смещений от гармонического источникав пространстве и в полупространстве, заполненном однородной изотропной упругойсредой. Считается, что источник точечный, то есть мал по сравнению с расстояниемдо приемника и так же мал по сравнению с характерными размерами пространства.Так же в ней будет рассмотрено вычисление векторного поля точечного источника,т.е получение тензорной функции Грина волнового уравнения упругой среды.

4

Глава 1

Исходные уравнения

Аналитический подход к исследованию сейсмических колебаний в Земле должен со-держать по крайней мере три следующие компоненты: описание сейсмических источ-ников, уравнения движения, распространяющегося в среде после того,как в каком-либо месте оно возникло, и теорию, связывающую описание источника с частнымрешением, найденным для уравнений движения.

1.1 Уравнения движения в упругой среде для сме-щения и функции Грина, граничные условия

Как только произошло возмущение упругой среды в какой-либо её части, оно начи-нает распространяться в остальную часть среды согласно уравнению движения:

ρ(r)∂2uα

∂2t=

∂σαβ

∂rβ+ Fα, (1.1)

где u(r, t) — вектор смещения в точке r в момент времени t, Fα - это сила, приложен-ная к единице объема,ρ — плотность и σ — тензор напряжений. Это распространениепроисходит в форме волнового движения с конечной скоростью[9].

По повторяющимся греческим индексам подразумевается суммирование. Тензорнапряжений σ и тензор деформации

uαβ =1

2

(∂uα

∂rβ+

∂uβ

∂rα

)(1.2)

связаны линейным соотношением

σαβ = K(r)uγγδαβ + 2µ(r)

(uαβ −

1

3δαβuγγ

), (1.3)

которое соответствует закону Гука[10]. Здесь скалярные величины K(r) — модульсжатия, а µ(r) — модуль сдвига.

Для анализа волнового поля в реальных средах необходимо учитывать наличиеграниц между средами с разными упругими постоянными и свободную поверхность.На границе S двух однородных сред из условия отсутствия деформации получаемдва непрерывных граничных условия :

u(r)|S− = u(r)|S+, (1.4)σn|S− = σn|S+, (1.5)

5

где n вектор нормали к границе S. Первое выражение соответствует непрерывностивектора смещения, а второе отвечает за равенство давлений с обеих сторон S+ и S−

на границе[9].В случае, когда упругая среда граничит с вакуумом, вместо двух условий (1.4)

остается только одно граничное условие, выражающее тот факт, что давление награницу со стороны вакуума, должно равняться нулю:

σn|S = 0. (1.6)

1.2 Три типа волн, их векторы поляризацииСреду называют упругой, если она обладает естественным состоянием ( когда де-формации и напряжения равны нулю), к которому возвращается, если устранитьприложенные силы. Под влиянием приложенных нагрузок происходит изменение инапряжений, и деформаций; связь между ними, называемая «определяющим соот-ношением», является важной характеристикой среды.

В однородном пространстве плотность и упругие параметры постоянны:

ρ(r) = ρ, K(r) = K, µ(r) = µ. (1.7)

Подставляя (1.2)—(1.7) в (1.1) с учетом

u = divu− rotrotu

получим волновое уравнение для упругих колебаний в однородной изотропной среде,

∂2u

∂2t− c2t∆u+

(c2t − c2l

)grad divu = F, (1.8)

где

cl =

√3K+ 4µ

3ρ, ct =

õ

ρ(1.9)

— скорости поперечной и продольной волн в среде, соответственно [11]. Скоростьпродольной волны всегда больше поперечной.

Уравнение (1.8) в неограниченной среде имеет два хорошо известных решения ввиде плоских гармонических волн (нормальные моды)

u(r, t) = Aei(kr−ωt), (1.10)

где вектор k определяет направление распространения волны, а вектор A —«векторнаяамплитуда», которая показывает направление смещения в волне, или её поляриза-цию.

• Первое решение — продольная волна, характеризуемая условиями

A ≡ Al∥k, k2 = k2l ≡

ω2

c2l, (1.11)

здесь и далее будет обозначаться индексом l. Это условие A∥k задает однознач-но волну. В терминах сейсмологии это волна — P [11].

6

Рис. 1.1: Движение в продольной и поперечной волнах.

• Второе решение — поперечная волна, задается условиями

A ≡ At⊥k, k2 = k2t ≡

ω2

c2t, (1.12)

и будет обозначаться индексом t. Как видно из условия A⊥k мы получаем двепродольные волны, в терминах сейсмологии это волны: SH и SV. Если волнаполяризована в плоскости распространения волны, то это волна SV, а есливолна поляризована линейно, то это волна SH [11].

Поляризации волн показаны на рисунке 1.2.

Рис. 1.2: Движение частиц в волнах P, SV и SH.

7

1.3 Поле точечного источника в однородной неогра-ниченной среде

Рассмотрим точечный источник гармонических колебаний с частотой ω в точке r ′.Поле такого источника описывается функцией Грина G0(r, r ′, t−t ′), которая удовле-творяет уравнению для изотропной среды:[

ρ(r)δαγ∂2

∂t2−

∂

∂rα(Cαβγζ)

∂

∂rζ

]Gγη(r, r ′, t− t ′) = δαηδ(r − r ′)δ(t− t ′), (1.13)

гдеCαβγζ = Kδαβδγζ + µ (δαγδβζ + δαζδγβ − 2/3δαβδγζ) , (1.14)

а t ′ — время в источнике, r ′ — радиус вектор источника [9, 12].Так как мы рассматри-ваем только случай жесткой границы(т.е граничные условия не зависят от времени),то функция Грина может зависеть от t и t ′ , только как разность , т.е.G0(r, r ′, t −t ′),что является соотношением взаимности для времен источника и приемника. Ча-сто используются другие представления функции Грина напишем формулы для ихполучения:

• (r,ω) — представление : ∫G0(r, t)e

iωtdr = G0(r,ω) (1.15)

• (q,ω) — представление : ∫G0(r,ω)e−iqrdr = G0(q,ω) (1.16)

• (q⊥, z) — представление :∫G0(r⊥, z,ω)e−iq⊥r⊥dr⊥ = G0(q⊥, z,ω) (1.17)

1.4 Формула Стокса в (R, t) представленииРешение для уравнения движения (1.13) было получено Стоксом в 1849 [13]. Выводформулы будет приведен в приложении 1. Обсудим полученный результат.

Gij = t−δij + 3γiγj

4πr3χ[ r

ct, rcl

](t) +δij − γiγj

4πrc2tδ

(t−

r

ct

)+

γiγj

4πrc2lδ

(t−

r

cl

), (1.18)

где χ =∫ r

clrct

τδ(t − τ)dτ— это индикаторная функция, γi =ri−r ′

i

rЭта формула дает

одно из наиболее важных решений задачи об излучении упругих волн; исследуем егоосновные свойства.

Относительная величина различных членов функции Грина зависит от расстоя-ния r между источником и приемником. Так первое слагаемое в формуле изменяетсякак r−2 для источников, в интервале [ r

ct, rcl]. Но остальные слагаемые пропорциональ-

ны r−1. То есть первое слагаемое отвечает ближней зоне, а второе и третье дальнейзоне [13].

Это же решение можно переписать в других представлениях

8

• Это представление (q,ω) :

G0(q,ω) =1

q2 − k2t

(I

c2t−

q⊗ q

ω2

)+

1

q2 − k2l

q⊗ q

ω2. (1.19)

• Это представление (r,ω) :

G0(r,ω) =1

c2t

eiktr

4πr

[(I−

r⊗ r

r2

)+

(i

ktr−

1

k2tr

2

)(I− 3

r⊗ r

r2

)]+

1

c2l

eiklr

4πr

[r⊗ r

r2−

(i

klr−

1

k2l r

2

)(I− 3

r⊗ r

r2

)]. (1.20)

1.5 Задача о микроземлетрясениях на острове Вала-ам

Почти все сейсмические данные, используемые в геофизике, собраны в дальней зоне.В качестве примера можно рассмотреть построение синтетической сейсмограммы,использующее формулу Стокса.

Так как в реальной среде источник не точечный, и отличен от δ — функции, (т.к.он растягивается и имеет конечный вертикальный размер), то мы будем использоватьследующее представление δ — функции: δ(t) ∝ ε/(ε2 + t2) , где ε → 0 — параметррастяжения, зависящий от r. Тогда рассмотрим построенную сейсмограмму по этомуметоду.

На рисунке 1.3 видно хорошее согласие практики и теории. Такой метод поз-воляет построить синтетическую сейсмограмму, если известен тип источника. Длямикроземлетрясений, происходящих на острове Валаам [14], вид источника— лево-сторонний сдвиг, т.е. диполь без момента.

9

Рис. 1.3: Практическая и синтетическая сейсмограммы.

10

Глава 2

Функция Грина дляполупространства

Пусть упругая однородная изотропная среда заполняет полупространстве z > z0,граничащее с вакуумом, где z декартова координата, перпендикулярная к грани-це. Принимая во внимание симметрию задачи, мы будем использовать смешанное(q⊥, z)-представление с 2D-Фурье преобразованием по поперечным координатам x, yфункции Грина

G(r, r ′) = G(r⊥ − r ′⊥; z, z′)

и вектора смещения u(r) = u(r⊥, z).

2.1 Нормальные модыВолновое уравнение (1.8), при нулевой силе на вектор смещения в (q⊥, z)-представлениипринимает следующую форму(

K2

∂2

∂z2+ iK1

∂

∂z+ K0

)u(q⊥, z) = 0, (2.1)

где матрицы K2, K1 = K1(q⊥) и K0 = K0(q⊥) имеют компоненты

(K0)αβ =(ω2 − c2tq

2⊥)δαβ −

(c2l − c2t

)QαQβ,

(K1)αβ =(c2l − c2t

)(Qαnβ + nαQβ) ,

(K2)αβ = c2tδαβ +(c2l − c2t

)nαnβ.

(2.2)

Здесь единичный вектор n — вектор нормали к поверхности, Q определенный Q =(q⊥, 0) трехмерный вектор.

Далее, считая вектор q⊥ фиксированным, мы будем опускать его из аргументовфункций, если это специально нам не потребуется.

Выражение (2.1) является системой обыкновенных дифференциальных уравне-ний с постоянными коэффициентами. Поэтому ее решением будет линейная комби-нация нормальных «плоских» волн вида

u(z) = ueiλz. (2.3)

Подставляя (2.3) в (2.1) получим систему алгебраических уравнений(−λ2K2 − λK1 + K0

)u = 0, (2.4)

11

позволяющую найти полное семейство собственных значений λ и собственных век-торов u.

Для существования ненулевых решений u однородной системы уравнений (2.4)определитель этой системы должен быть равен нулю:

det(−λ2K2 − λK1 + K0

)= −c4t/c

2l

(λ2 − λ2

t

)2 (λ2 − λ2

l

)= 0. (2.5)

Таким образом, мы имеем 6 собственных чисел ±λj(q⊥), (j = 1–3), где

λ1,2 = λt, λ3 = λl, (2.6)

подставляя которые в (2.4) найдем соответствующие нормированные собственныевекторы:

u(±)1 = q⊥ × n/q⊥, u

(±)2 = ∓λt

kt

q⊥

q⊥+

q⊥

kt

n, u(±)3 = q

(±)l /kl. (2.7)

Обратим внимание, что в силу равенства λ1 = λ2 в выборе векторов u(±)1,2 имеется про-

извол, и в общем случае это могут быть любые два линейно независимых вектора,удовлетворяющие условию u

(±)1,2 ⊥ q

(±)t . Обычно в такой ситуации удобно дополни-

тельно требовать u(±)1 ⊥ u

(±)2 , что и сделано, в частности, в (2.7).

В результате, мы получаем два набора из трех независимых решений уравнения(2.1):

u(±)j (z) = u

(±)j e±iλjz, (2.8)

j = 1-3. Здесь три волны с индексом (+) распространяются в направлении z → +∞, атри волны с индексом (−) — в обратном направлении. Эти нормальные волны имеютпростую физическую интерпретацию: u(±)

(1,2)(z) — поперечные волны с волновым век-тором q

(±)t , а u

(±)(3) (z) — это продольные волны с волновым вектором q

(±)l . Единичные

вектора u(±)j имеют смысл векторов «поляризации» этих волн.

2.2 Матричный способ нахождения Gb

Для наглядности изложения мы, прежде всего, проиллюстрируем применение изло-женной выше схемы расчета для вычисления функции Грина безграничной средыG0(z, z

′). В этом случае граничные условия соответствуют условиям излучения, ко-торые с учетом бесконечно-малых мнимых добавок к λt,l можно записать в виде

G(z, z ′)∣∣|z−z ′|→∞ → 0. (2.9)

Поскольку множители exp(±iλjz) описывают волны, распространяющиеся, соответ-ственно, в направлениях z → ±∞, то граничные условия (2.9) для функции Грина

G(z, z ′) =

U(+)(z)D(+)(z ′) + U(−)(z)D(−)(z ′), z > z ′,

U(+)(z)C(+)(z ′) + U(−)(z)C(−)(z ′), z < z ′.(2.10)

при z− z ′ → ±∞ дают равенства

D(−)(z ′) ≡ 0, C(+)(z ′) ≡ 0. (2.11)

С учетом (2.11) первое из условий сшивания имеет вид

U(−)(z)C(−)(z) = U(+)(z)D(+)(z), (2.12)

12

а второе условие приводит к соотношению

U(−)(z)λC(−)(z) + U(+)(z)λD(+)(z) = iK−12 . (2.13)

Здесь учтено соотношение∂U(±)(z)

∂z= ±iU(±)(z)λ, (2.14)

где λ = λ(q⊥) — диагональная матрица

λ =

3∑j=1

λjej ⊗ ej, (2.15)

с элементами λ1, λ2, λ3 на диагонали.Из уравнения (2.12) имеем

D(+)(z) = (U(+)(z))−1U(−)(z)C(−)(z), (2.16)

Подставляя выражение для D(+) в (2.13), получаем выражение для матричного ко-эффициента C(−),

C(−)(z) = (U(−)(z))−1W−1(z), (2.17)

гдеW(z) = −iK2

[U(−)(z)λ(U(−)(z))−1

] [+U(+)(z)λ(U(+)(z))−1

]. (2.18)

С учетом U(±)(z) = U(±)(Λ(z))±1 и коммутируемости матриц Λ(z) и λ, получаем

W = −iK2

[U(−)λ(U(−))−1 +U(+)λ(U(+))−1

], (2.19)

откуда следует, что матрица W не зависит от z.Подставляя (2.17) в (2.16) найдем выражение для матричного коэффициента D(+),

D(+)(z) = (U(+)(z))−1W−1, (2.20)

В результате, согласно (2.10), Λ(z)Λ−1(z ′) = Λ(z− z ′), Λ(−z) = Λ−1(z), (2.16), (2.17),(2.20), функция Грина для безграничной среды может быть записана в виде

G0(z, z′) =

U(+)Λ(|z− z ′|)(U(+))−1W−1, z > z ′,

U(−)Λ(|z− z ′|)(U(−))−1W−1, z < z ′.(2.21)

Перепишем это выражение непосредственно через векторы «поляризации» u(±)j

нормальных волн в среде и соответствующие собственные числа λj. Для этого нарядус u

(±)j введем дуальные вектора v

(±)j (j = 1-3), такие что выполняются утверждения:

u(±)j · v(±)

k = δj,k. (2.22)

Строки из компонент этих векторов порождают обратную к U(±) матрицу

(U(±))−1 =

3∑j=1

ej ⊗ v(±)j . (2.23)

13

Явные выражение для векторов v(±)j (q⊥) имеют вид:

v(±)1 = u

(±)1 (q⊥), v

(±)2 =

1

∆

(±λl

kl

q⊥

q⊥−

q⊥

kl

n

), v

(±)3 = −q

(±)t /kt∆, (2.24)

где

∆ = −q2⊥ + λlλt

ktkl

(2.25)

— определитель матриц U(±).

Подставляя U(±) =3∑

j=1

u(±)j ⊗ ej , Λ(z) =

3∑j=1

eiλjzej ⊗ ej, (2.23) в (2.21) получаем

G0(z, z′) =

3∑j=1

eiλj|z−z ′|

u(+)j ⊗ v

(+)j W−1, z > z ′,

u(−)j ⊗ v

(−)j W−1, z < z ′.

(2.26)

где, с учетом выше сказанного матрица W в (2.19) преобразуется к виду

W(z) = −iK2

3∑j=1

λj

[u(+)j ⊗ v

(+)j + u

(−)j ⊗ v

(−)j

]. (2.27)

Таким образом, зависимость G0 от z и z ′ определяется множителями exp(iλt |z− z ′|)и exp(iλl |z− z ′|).

Обратную матрицу W−1 можно записать в форме

W−1 =i

2λtω2

[k2t I+

λt − λl

λl

q⊥ ⊗ q⊥ − λt(λt − λl)n⊗ n

]. (2.28)

Используя тождества ∑j=1,2

u(±)j ⊗ u

(±)j = I− q

(±)t ⊗ q

(±)t /k2

t ,

u(±)3 ⊗ u

(±)3 = q

(±)l ⊗ q

(±)l /k2

l ,

(2.29)

выражение (2.28) можно преобразовать к виду

W−1 =i

2ω2

3∑j=1

k2j

λju(±)j ⊗ u

(±)j . (2.30)

Отсюда с учетом (2.22) для векторов-строк v(±)j и векторов-столбцов u

(±)j получаем

соотношения

v(±)j W−1 =

i

2ω2

k2j

λj

(u(±)j

)T, (2.31)

где k1,2 = kt, k3 = kl.С учетом (2.31) формула (2.26) преобразуется к виду

G0(z, z′) =

i

2ω2

3∑j=1

k2j

λjeiλj|z−z ′|

u(+)j ⊗ u

(+)j , z > z ′,

u(−)j ⊗ u

(−)j , z < z ′,

(2.32)

14

откуда, учитывая, что λ1 = λ2 и применяя тождества (2.29) снова придем к формуле

G0(q⊥, z) =ieiλt|z|

2λtω2

(k2t I− q

(±)t ⊗ q

(±)t

)+

ieiλl|z|

2λlω2q(±)l ⊗ q

(±)l . (2.33)

Пусть плоскость z = z0 представляет собой границу упругой среды, z ≥ z0 с вакуу-мом. Граничное условие на этой плоскости имеет вид (1.6). С использованием законаГука (1.3) это условие в (q⊥, z)-представлении приобретает вид

B1

∂u(z)

∂z+ B0u(z)

∣∣∣∣z=z0

= 0, (2.34)

где матрицы

B1 = µI+

(K+

1

3µ

)n⊗ n,

B0 = iµq⊥ ⊗ n+ i

(K−

2

3µ

)n⊗ q⊥.

(2.35)

Функция Грина (2.10) как при z ≤ z ′, так и при z > z ′ представляет собой линейнуюкомбинацию шести независимых решений волнового уравнения для трех различныхполяризаций источника. Отсюда следует, что функция Грина G(z, z ′) при любом z ′

удовлетворяет аналогичному граничному условию при z = z0:(B0 + B1

∂

∂z

)G(z, z ′)

∣∣∣∣z=z0

= 0, (2.36)

Граничное условие при z → +∞ остается прежним,

D(−)(z) ≡ 0. (2.37)

С учетом параметризации (2.10) из (2.35) следует, что при любом z ′ справедливоравенство(

B0U(+)(z0) + iB1U

(+)(z0)λ)C(+)(z ′)

+(B0U

(−)(z0) − iB1U(−)(z0)λ

)C(−)(z ′) = 0. (2.38)

Отсюда найдем соотношение между матричными коэффициентами C(±):

C(+)(z ′) = A(z0)C(−)(z ′), (2.39)

где,A(z0) = Λ−1(z0)A0Λ

−1(z0), (2.40)

A0 = −(B0U

(+) + iB1U(+)λ

)−1 (B0U

(−) − iB1U(−)λ

). (2.41)

Условие непрерывности G(z, z ′) при z = z ′ с учетом (2.37) имеет вид

U(+)(z)C(+)(z) + U(−)(z)C(−)(z) = U(+)(z)D(+)(z),

откуда получаем

D(+)(z) = C(+)(z) + (U(+)(z))−1U(−)(z)C(−)(z). (2.42)

15

Подставляя сюда (2.39) получаем соотношение между матричными коэффициентамиD(+) и C(−):

D(+)(z) =(A(z0) + (U(+)(z))−1U(−)(z0)

)C(−)(z). (2.43)

Условие скачка ∂G(z,z ′)∂z

∣∣∣z ′=z+0

− ∂G(z,z ′)∂z

∣∣∣z ′=z−0

= −K−12 с учетом (2.14) и (2.37) имеет

видi[U(+)(z)λC(+)(z) + U(−)(z)λC(−)(z) −U(+)(z)λD(+)(z)

]= −K−1

2 . (2.44)

Это соотношение с учетом (2.42) и определения (2.18) матрицы W, дает

C(−)(z) = (U(−)(z))−1W−1. (2.45)

Подставляя (2.45) в (2.43), (2.39) и используя найденные матричные коэффици-енты C(±), D(±) в формуле (2.10), получим итоговое выражение для функции Гринав полупространстве в виде

G(z, z ′) = G0(z, z′) + GB(z, z

′). (2.46)

где, согласно (2.21), G0(z, z′) — поле точечного источника в неограниченной среде, а

дополнительный член

GB(z, z′) = U(+)(z)A(z0)(U

(−)(z ′))−1W−1 (2.47)

имеет смысл вклада в функцию Грина за счет «отражения» от границы полупро-странства, и не содержит особенностей при z = z ′ (см Рис. 2.1).

SVacuum

MediumSource

Detector

r '

r

z

z

0

Рис. 2.1: Схематически показано расположение источника и детектора в полупро-странстве. Сплошные линии представляют вклады G0, а пунктирные — GB.

Учитывая выше сказанное, (2.40) это выражение преобразуется к виду

GB(z, z′) = U(+)Λ(z− z0)A0Λ(z ′ − z0)(U

(−))−1W−1. (2.48)

16

Выражение (2.48) для вклада GB(z, z′) в функции Грина также можно выразить

непосредственно через векторы u(±)j , v(±), и числа λj. Для этого параметризуем мат-

рицу A0 в виде

A0 =

3∑i,j=1

gijei ⊗ ej. (2.49)

Подставляя в (2.48) формулу (2.49) и (2.23) получим, с учетом соотношений (2.31),

GB(q⊥; z, z′) = −

i

2ω2

3∑j,k=1

k2jgkj

λj

ei(λj(z−z0)+λk(z′−z0))u

(+)k (q⊥)⊗ u

(−)j (q⊥). (2.50)

Для получения явных выражений для коэффициентов alj перепишем формулу(2.41) следующим образом

−B0U(−) + iB1U

(−)λ = (B0U(+) + iB1U

(+)λ)A0. (2.51)

Используем выражения для матриц B0, B1, U(±), (U(±))−1 в параметризованном ви-де с помощью соотношений (2.23), (2.35). В результате получаем систему линейныхуравнений на коэффициенты gij. Решение системы имеет вид gij = aij/D, где

a11 = D, a1j = aj1 = 0, j = 2, 3, D = (q2⊥ − λ2

t)2 + 4λtλlq

2⊥

a22 = a33 = −[(q2⊥ − λ2

t)2 − 4λtλlq

2⊥],

a23 = 4kt

kl

λlq⊥(q2⊥ − λ2t), a32 = −4

kl

kt

λtq⊥(q2⊥ − λ2

t).

(2.52)

Таким образом, окончательный результат в r-представлении имеет вид двукрат-ного интеграла

GB(R; z, z ′) = −i

2

3∑j,m=1

c−2j

∫dq⊥

(2π)2amj

Dλj

eiq⊥·R⊥

× ei(λm(z−z0)+λj(z′−z0))e+m(q⊥)⊗ e−j (q⊥), (2.53)

где R⊥ ≡ r⊥ − r ′⊥, c1 = c2 = ct, c3 = cl. Интеграл по направлениям двумерного век-тора q⊥/q⊥ может быть легко вычислен в явном виде и выражается через функцииБесселя Jν(q⊥r⊥) порядка ν = 0 , 1 и 2, и, таким образом, итоговый ответ имеет видодномерного интеграла (точнее суммы пяти таких интегралов).

2.3 Построение ФГ как G0 + Gb

В полупространстве z ≥ z0 будем искать решение задачи (5.12),приведенной в при-ложении 1 в виде:

G(r, r ′) = G0(r− r ′) + GB(r⊥ − r ′⊥; z, z′). (2.54)

Первый член в правой части дается формулой (1.20) и удовлетворяет неоднород-ному волновому уравнению (5.12). Поскольку этому же неоднородному уравнениюудовлетворяет и вся ФГ G, то а второй член GB обязан удовлетворять соответству-ющему однородному уравнению:[(

c2t − c2l)∇⊗∇− I

(ω2 + c2t∆

)]GB(r, r0,ω) = 0. (2.55)

17

Произвол в решении однородного уравнения (2.55) будет использован для тогочтобы удовлетворить граничным условиям среда-вакуум при z = z0.

Кроме того имеется граничное условие для GB на бесконечности. Поскольку функ-ция Грина G должна удовлетворять условиям излучения Зоммерфельда[15], а слага-емое G0 также им удовлетворяет, то и член GB обязан удовлетворять этим условиям.

После перехода к 2D-Фурье представлению

G0(q⊥, z;ω) =

∫dr⊥(2π)2

G0(r⊥, z;ω)eiq⊥r⊥ , (2.56)

мы получим систему уравнений на GB(q⊥; z, z′):(

K2

∂2

∂z2+ K1

∂

∂z+ K0

)GB(q⊥; z, z

′) = 0, (2.57)

где матрицы K0,1,2 определены в (2.2).Из однородной системы (2.1) и условий излучения Зоммерфельда имеем

GB(q⊥; z, z′) =

3∑j,m=1

Cjmu+m(q⊥; z− z0)⊗ u−

j (q⊥; z0 − z ′), (2.58)

где Cjm — неизвестные пока постоянные коэффициенты. Поясним использованиеусловий излучения, которые в данном случае можно трактовать как отсутствие волнраспространяющихся из бесконечности к источнику или к границе. Именно: волныu−j распространяются от источника z ′ к границе среда-вакуум z0. На этой границе они

генерируют волны u+m, распространяющиеся от z0 к детектору в точке z. Значения

коэффициентов Cjm определяется из оставшихся граничных условий — условий награнице среда-вакуум. Соответствующие граничные условия «на языке» GB имеютвид:(

B1

∂

∂z+ iB0

)GB(q⊥; z, z

′)

∣∣∣∣z=z0

= −

(B1

∂

∂z+ iB0

)G0(q⊥; z, z

′)

∣∣∣∣z=z0

, (2.59)

где z ′ произвольная точка внутри среды (z ′ > z0), а матрицы B0,1,2 определены в(2.35). Подставляя (2.58) в (2.59) получаем систему уравнений на коэффициентыCjm, решение которой имеет вид

Cjm = −i

2c−2j

ajm

λjD, (2.60)

где ajm и D определены в (2.52).Теперь (2.58) тот же результат, что и (2.53).

GB(R; z, z ′) = −i

2

3∑j,m=1

c−2j

∫dq⊥

(2π)2amj

Dλj

eiq⊥·R⊥

× ei(λm(z−z0)+λj(z′−z0))e+m(q⊥)⊗ e−j (q⊥). (2.61)

18

2.4 Разные типы вкладовРассмотрим разные слагаемые из

GB = GB1.1 + GB2.2 + GB3.2 + GB2.3 + GB3.3, (2.62)

уточним,что все они зависят от (Rx, Ry; z, z′) и опишем каждое из них.

1.

GB1.1 = −i

2c2t

∫1

(2π)2λtq2eiλt(z

′+z−2z0)

×

q2y −qxqy 0

−qxqy q2x 0

0 0 0

dq. (2.63)

Этот вклад описывает отражение волны SH в волну SH.

2.

GB2.2 = −i

2ω2

∫(λ2

t − q2)2 − 4λtλlq2

(2π)2λtq2Deiλt(z

′+z−2z0)

×

λ2tq

2x λ2

tqxqy −λtqxq2

λ2tqxqy λ2

tq2y −q2λtqy

λtqxq2 λtqyq

2 −q4

dq. (2.64)

Этот вклад описывает отражение волны SV в волну SV.

3.

GB3.3 = −i

2ω2

∫(λ2

t − q2)2 − 4λtλlq2

(2π)2λlDeiλl(z

′+z−2z0)

×

q2x qxqy −qxλl

qxqy q2y −qyλl

qxλl qyλl −λ2l

dq. (2.65)

Этот вклад описывает отражение волны P в волну P.

4.

GB2.3 = −i

2ω2

∫4(q2 − λ2

t)

(2π)2Deiλt(z−z0)+iλl(z

′−z0)

×

q2xλt qxqyλt −qxλlλt

qxqyλt q2yλt −qyλlλt

−qxq2 −qyq

2 λlq2

dq. (2.66)

Этот вклад описывает отражение волны SV в волну P.

19

5.

GB3.2 = −i

2ω2

∫4(q2 − λ2

t)

(2π)2Deiλl(z−z0)+iλt(z ′−z0)

×

q2xλt qxqyλt q2qx

qxqyλt q2yλt q2qy

qxλtλl qyλtλl λlq2

dq. (2.67)

Этот вклад описывает отражение волны P в волну SV.

Эти вклады дают полную картину разбиения падающей волны на границе. Как из-вестно волна SH переходит только в волну SH,а остальные волны не переходят в неё.Только волны P в P и в SV, а волна SV только в SV и в P. Это все следствия изполяризаций [11, 16].

20

Глава 3

Дальняя зона

3.1 Функция Грина G0 в (R,ω)

Вспомним полученную ранее формулу Стокса в виде решения уравнения движения в(R,ω) представлении. Условия на дальнюю зону это то, что kt,lr ≫ 1 то есть 1

kt,lr→ 0.

Тогда можно переписать функцию Грина:

G0(r,ω) =1

c2t

(I−

r⊗ r

r2

)eiktr

4πr+

1

c2l

r⊗ r

r2eiklr

4πr. (3.1)

Из уравнения видно,что явно выделяются поперечные и продольные волны. Это1

c2t

(I− r⊗r

r2

)eiktr

4πrпоперечная сферическая волна со скоростью ct, а это 1

c2l

r⊗rr2

eiklr

4πrпро-

дольная сферическая волна со скоростью cl.

3.2 Асимптотическое вычисление интегралаДля дальней зоны, q⊥R⊥ + (z − z0)λm + (z ′ − z0)λj ≫ 1, подынтегральная функцияв (2.53) содержит быстро осциллирующую экспоненту и можно применить методстационарной фазы. Основной вклад в каждый из 5 интегралов (2.53) дает узкаяокрестность стационарной точки

qjmst = qjmR⊥/R⊥,

(0 ≤ qjm < kt,l), являющейся корнем уравнения

(z ′ − z0)qjm

λj(qjm)+

(z− z0)qjm

λk(qjm)= R⊥. (3.2)

Распишем по отдельности компоненты R⊥:

R⊥j =(z ′ − z0)qjm

λj(qjm),

R⊥m =(z− z0)qjm

λk(qjm).

(3.3)

Этот вклад, после стандартного для метода стационарный фазы расчета, может бытьпредставлен в виде:

G stB (R⊥; z, z

′) = −

3∑j,m=1

c−2j

eiΦjm

4πRjm

e+m(qjmst )⊗ e−j (q

jmst )Fjm, (3.4)

21

где Rjm — суммарный геометро-акустический путь j-ой падающей и m-ой отраженнойнормальных мод (Рис. 3.1), а

Φjm = qjm⊥ R⊥ + (z− z0)λm(qjm) + (z ′ − z0)λj(qjm)

— общий фазовый путь волны вдоль геометро-акустического пути Rjm.

Рис. 3.1: Геометроакустический путь Rjm = Rjin + Rm

ref

Величины Fjm — коэффициенты трансформации нормальных сферических волн награнице. Кроме трансформации амплитуд, коэффициенты Fjm учитывают фазовыесдвиги и преобразование телесных углов, имеющее место при отражении сфериче-ских волн.

3.3 Получение Fmj

Fjm полученное в предыдущей части выглядит как :

Fjm =amj(qst)

D(qst)λj(qst)

1√R⊥qst

(Rmref

λ2mkm +

Rjin

λ2j

kj

) (3.5)

В таком виде сложно увидеть, различные вклады в полученном коэффициенте.Получим коэффициент преобразования телесных углов. Для этого представим,

что нижнее полупространство это падающая волна j, а верхнее это преломленнаяволна m. Пусть будет некое изменение угла θj → θj+dθj — это показано на (Рис. 3.2).

До изменения углов закон Снеллиуса имеет вид:

kj sin(θj) = km sin(θm), (3.6)

так же напишем закон Снеллиуса и после изменения углов:

kj sin(θj − dθj) = km sin(θm − dθm). (3.7)

22

Рис. 3.2: Преобразование телесных углов.

Тогда использовав оба утверждения можно получить правило изменения телесныхуглов:

dΩm

dΩj

=dθm

dθj

=kj cos(θj)√

k2m − k2

j sin2(θj)

(3.8)

Так же в этот коэффициент входит коэффициент отражения волн. Он приведен вомногих справочниках [11]. Перепишем его в наших терминах:

kmj = (−1)m−1amj

D. (3.9)

Так же распишем эффективный радиус, который получился из-за изменения модыволны при отражении.

Из (Рис. 3.3) видно, что Reff =√R⊥R2 и R2 = R ′ + Rm

ref. Найдем

Reff =

√√√√R⊥km cos2(θm)

(kjR

jin

λ2m+

kmRmref

λ2m

). (3.10)

Так же при отражении изменяется поток энергии. Это изменение пропорционально√

kjkm

.Используя все это мы получим такой же коэффициент Fmj.

23

Рис. 3.3: Трехмерное представление эффективного радиуса

24

Глава 4

Ближняя зона

4.1 Решение КельвинаВ случае ближней зоны, kl,tr ≪ 1, все слагаемые имеют смешанную тензорную струк-туру, что видно из формулы:

G0(r,ω) =1

8πr

((1

c2l+

1

c2t

)I+

(1

c2t−

1

c2l

)r⊗ r

r2

)(4.1)

Для получения этого выражения следует «раскрыть неопределенность» при r → 0

в сумме двух членов (5.20). При этом, оказывается, что старшие члены порядка r−3 иr−2 обращаются в ноль. Поскольку это сокращение происходит за счет одновременно-го присутствия членов порядка r−3 и r−2 с противоположными знаками в «продоль-ных» и «поперечных» волнах, то в итоговом результате уже не имеет физическогосмысла делить поле на эти две части. Вывод этой формулы показан в приложение 2.

4.2 Случай полупространстваДля динамической задачи полупространства точное решение тензорной ФГ не воз-можно. Тогда как для статической задачи это решение было получено Миндлиным[7].

Введем обозначения

RM = (R⊥,), = 1 +2, 1 = z− z0, 2 = z ′ − z0.

вектор r ′M = r−RM можно интерпретировать как положение фиктивного источникаr ′M = (r ′⊥, 2z0− z ′) в прямой аналогии с методом отражений известным в электроста-тике (Рис 4.1). Напишем его решение в наших обозначениях:

u(R⊥; z′, z) = u1.1 + u2.2 + u3.2 + u2.3 + u3.3, (4.2)

25

Рис. 4.1: Геометрическая интерпретация: r ′M = r−RM — зеркальный образ источникав точке r ′.

где отдельные вклады даются выражениями:

u1.1 =3(c2l − c2t)

8πρc2tc2l

(1

RM

+21 2

R3M

+1

6(c2t − c2l )2

4

RM +

)u2.2 =

3(c2l − c2t)

8πρc2tc2l

(1

RM

+c2t + c2l

9(c2l − c2t)

R2⊥

R3M

+21 2

R3M

−61 2R

2⊥

R5M

+1

6(c2t − c2l )2

4

RM +−

2

3(c2t − c2l )2

R2⊥

RM(RM +)2

)u3.2 =

3(c2l − c2t)R⊥

8πρc2tc2lRM

(c2t + c2l

9(c2l − c2t)

(1 −2)

R2M

−61 2

R4M

+1

6(c2t − c2l )2

4

RM +

)u2.3 =

3(c2l − c2t)R⊥

8πρc2tc2lRM

(c2t + c2l

9(c2l − c2t)

(1 −2)

R2M

−1

6(c2t − c2l )2

4

RM ++

61 2R4M

)u3.3 =

3(c2l − c2t)

8πρc2tc2l

(16c2lc

2t − 3c2l − 15c4tc2l − c2t

ρ

RM

+c2t + c2l

9(c2l − c2t)

2

R3M

+21 2

R3M

+61 22

R5M

)

(4.3)

Как видно из уравнений, структура уравнения указанная в части 2.4 сохраняется.

26

Глава 5

Волна Релея

Волны Релея образуются в однородном полупространстве путем суперпозиции неод-нородных Р и SV волн. Оказывается, что при определенной кажущейся скорости,одной и той же для Р и SV волн, может быть удовлетворено граничное условие насвободной поверхности, т.е. равенство нулю компонент напряжения, приложенного кповерхности, в плоскости падения [11].

5.1 Релеевский полюсУ полученного решения для функции Грина для полупространства есть сингуляр-ность. Это равенство нулю D.

D = 0 ⇔ 16q6⊥(k

2t − k2

l ) − 8q4⊥k

2t(3k

2t − 3k2

l ) + 8q2⊥k

6t − k8

t = 0, (5.1)

таким образом мы найдем корень этого уравнения q∗,q∗ > min(kl, kt). С учетомусловия устойчивости Imq∗ = +0, полюс подынтегральной функции q⊥ = q∗ даетдополнительный вклад в интеграл

GRelB (R⊥; z, z

′) =q∗

8πD ′∗

3∑j,m=1

c−2j

a∗mj

λ∗j

e−|λ∗j |(z−z0)

× e−|λ∗m|(z ′−z0)

2π∫0

eiq∗R⊥ cosϕe+m(q∗)⊗ e−j (q∗)dϕ, (5.2)

где

D ′∗ = 8λtλlq∗ + 8q∗(q

2∗ − λ2

t) − 4λl

λt

q3∗ − 4

λt

λl

q3∗, λ

∗j,m = λj,m(q∗), (5.3)

a∗mj = amj(q∗), a11 = a12 = a13 = a21 = a31 = 0, a22 = a33 = 8λ2

tλ2lq

2∗,

a23 = 4kt

kl

λlq∗(q2∗ − λ2t), a23 = −4

kl

kt

λtq∗(q2∗ − λ2

t),(5.4)

q∗ = q∗

cosϕsinϕ0

(5.5)

27

Проинтегрируем подынтегральное выражение. Математические выкладки приведе-ны в приложении 3.

GRelB (R⊥; z, z

′) =q2∗

D ′∗ω

2

[2λtλ

2lq∗R2,2e

−|λt|(z ′+z−2z0) + (q2∗ − λ2t)R2,3e

−|λt|(z ′−z0)−|λl|(z−z0)

− (q2∗ − λ2

t)R2,3e−|λl|(z

′−z0)−|λt|(z−z0) + 2λ2tλlq∗R3,3e

−|λl|(z′+z−2z0)

](5.6)

где

R2,2(R⊥;q∗) =

−λ2t(J1

q∗R⊥− J2) 0 −iλtq∗J1

0 −λ2tJ1

q∗R⊥0

iλtq∗J1 0 q2∗J0

(5.7)

R2,3(R⊥;q∗) =

−λtq∗(J1

q∗R⊥− J2) 0 iλtλlJ1

0 − J1λtR⊥

0

iq2∗J1 0 −q∗λlJ0

(5.8)

R3,2(R⊥;q∗) =

q2∗(

J1q∗R⊥

− J2) 0 iq2∗J1

0 J1λtR⊥

0

iλtλlJ1 0 q∗λlJ0

(5.9)

R3,3(R⊥;q∗) =

q2∗(

J1q∗R⊥

− J2) 0 −iλlq∗J1

0 q2∗q∗J1R⊥

0

iλlq∗J1 0 −λ2l J0

(5.10)

В данных уравнениях все функции Бесселя 0, 1, и 2 порядков зависят от (q∗R⊥).

5.2 Дальняя зонаВ дальней зоне q∗R⊥ → ∞,тогда воспользуемся асимптотикой для функции Бесселя

Jν(x) ∼

√2

πxsin(x−

νπ

2−

π

4

).

Тогда можно получить точное решение для дальней зоны,что приведено в приложе-нии 4. А сейчас рассмотрим приближенный ответ:

GRelB (R⊥; z, z

′) ∼ R−1/2

⊥ (5.11)

полный ответ в виду громоздкости приведен в приложении. Как видно основнойасимптотикой волны Релея при q∗R⊥ → ∞ является поправка порядка R

−1/2

⊥ ,следу-ющей поправкой является R

−3/2

⊥ , что является аналогом по порядку плоской волны.

28

Заключение

В данной работе были получены основные свойства решений уравнения движениясреды для однородного изотропного полупространства и пространства и для точечно-го источника гармонических колебаний. Было рассмотрено распространение упругихволн, созданных точечным источником гармонических колебаний в полубесконеч-ной (бесконечной) упругой среде и получено точное решение для тензорной ФГ дляпространства и решение для ФГ для полупространства. Были рассмотрены дальне-зонные и ближнезонные асимптотики, полюс волны Релея. Было получено точноерешение для ФГ волны Релея в полупространстве.

Полученное решение может быть легко обобщено на более общий случай слоистыхсред, так же на более общий случай других типов источников.

Было предложено практическое применения полученных уравнений для постро-ения синтетических сейсмограмм. На основе этих вычислений возможно построениемодели землетрясения.

В заключение хочу выразить мою признательность кафедре физике Земли, гдея начала заниматься сейсмологией, в частности Татьяне Борисовне Яновской, и ка-федре статистической физики за ценные советы и замечания, а также поблагодаритьсотрудника ГАО РАН Бэлу Александровну Ассиновскую за предоставление сейсми-ческих данных о Валааме. А так же поблагодарить своего научного руководителяАлексея Юрьевича Валькова за интересно поставленную задачу и за плодотворноеобучение и рецензента Вадима Петровича Романова за интерес к работе и полезноеобсуждение.

29

Литература

[1] Л. М. Бреховских, О. А. Годин Акустика неоднородных сред. — Москва:Наука, (1989), 416 .

[2] M. Kachanov, B. Shafiro, Ig. Tsukrov Handbook of elasticity solutions. — NewYork: Springer-Verlag, (2009), 340 .

[3] Дж.Э. Уайт Возбуждение и распространение сейсмических волн. —Москва: Недра, (1986), 261 .

[4] Sir W. Thomson, — Cambridge and Dublin Mathematical Journal, 3, 87 (1848).

[5] J. Boussinesq Application des potentiels а l’etude de l’equilibre et dumouvement des solides elastiques. — Paris, France: Gauthier-Villars (1885).

[6] V. Cerruti, Mem. fis. mat. — Ac. Linc., Roma, (1880).

[7] R.D. Mindlin; Force at a point in the Interior of a semi-infinite Solid. — J. Appl.Phys.,195-202, (1936)

[8] Sir G. G. Stokes, — Trans. Cambridge Phil. Soc., 9, 287 (1849).

[9] Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц Теория упругости. — Москва: Наука, т. 7, (1965),202.

[10] И.И. Гурвич, В.П. Номоконова (ред). Сейсморазведка. Справочник геофи-зика. — Москва: Недра, (1981), 464.

[11] Т.Б. Яновская Основы сейсмологии. — Санкт-Петербург: ВВМ, (2006), 288.

[12] H. Kumagai; Volcano seismic signals, source quantification of.— Geophys. J. Int.,1146-1178, (2011).

[13] К. Аки, П. Ричардс Количественная сейсмология. — Москва: Мир, т. 1, т.2, (1983), 880.

[14] Б.А. Ассиновская, М.К. Овсов, В.В. Карпинский, Д.Ю. Мехрюшев; Сейсмиче-ские события на Ладоге. — ГеоРиск, 6-12, (1997).

[15] В.С. Владимиров Уравнения математической физики. — Москва: Наука,(1981), 512.

[16] L.R. Johnson; Green’s function for Lamb’s problem. — Geophys. J. R. astr. Soc.,37,99-131, (1974)

[17] М. Абрамовиц, И.И. Стиган Справочник по специальным функциям. —Москва: Наука, (1979), 832.

30

Приложения

Приложение 1Рассмотрим представление (q,ω) для уравнения движения среды:[(

c2t − c2l)∇⊗∇− I

(ω2 + c2t∆

)]G0(r,ω) = Iδ(r− r ′), (5.12)

где I— это единичный тензор. Применим преобразование Фурье к этому уравнениюи получим: [(

c2tq2 −ω2

)I+

(c2l − c2t

)q⊗ q

]G0(q,ω) = I. (5.13)

Отсюда можно получить явный вид для функции Грина:

G0(q,ω) =1

q2 − k2t

(I

c2t−

q⊗ q

ω2

)+

1

q2 − k2l

q⊗ q

ω2. (5.14)

Применив к нему преобразование Фурье∫G0(q,ω)eiqrdq = G0(r,ω)

G0(r,ω) =1

c2t

eiktr

4πr

[(I−

r⊗ r

r2

)+

(i

ktr−

1

k2tr

2

)(I− 3

r⊗ r

r2

)]+

1

c2l

eiklr

4πr

[r⊗ r

r2−

(i

klr−

1

k2l r

2

)(I− 3

r⊗ r

r2

)]. (5.15)

Тогда воспользовавшись аналогом ранее приведенной формулой для перехода в (r,ω)представление можно рассчитать функцию Грина в (r, t) представлении.

Gij(r, t) =

∫Gij(r,ω)eiωtdω (5.16)

δ(t) ∗Gij(r, t) = 1/2π

∫δ(t− s)Gij(r, s)ds (5.17)

Ниже приведем вычисления.

Gij(r, t) =

∫1

c2t

eiktr

4πr

[(δij − γiγj) +

(i

ktr−

1

k2tr

2

)(δij − 3γiγj)

]+

1

c2l

eiklr

4πr

[γiγj −

(i

klr−

1

k2l r

2

)(δij − 3γiγj)

]e−iωtdω (5.18)

31

δ(t) ∗Gij(r, t) =

1

2π

∫δ(t− s)

1

2rc2t[δij − γiγj]δ(s−

r

ct)ds+

γiγj

8πc2l

∫δ(s−

r

cl)δ(t− s)ds

+δij − 3γiγj

8πr2

∫ [1

ctsign(s−

r

ct) −

1

clsign(s−

r

cl)

]δ(t− s)ds

+δij − 3γiγj

8πr3

∫(s−

r

ct) sign(s−

r

ct)δ(t− s)ds

+δij − 3γiγj

8πr3

∫(s−

1

cl) sign(s−

r

cl)δ(t− s)ds =

= t−δij + 3γiγj

4πr3χ[ r

ct, rcl

](t) +δij − γiγj

4πrc2tδ

(t−

r

ct

)+

γiγj

4πrc2lδ

(t−

r

cl

)(5.19)

,где χ — это индикаторная функция. Таким образом мы получили формулу Стокса[13].

Приложение 2Получим формулу для ближней зоны для пространства и точечного источника.

G0(r,ω) =1

c2t

eiktr

4πr

[(I−

r⊗ r

r2

)+

(i

ktr−

1

k2tr

2

)(I− 3

r⊗ r

r2

)]+

1

c2l

eiklr

4πr

[r⊗ r

r2−

(i

klr−

1

k2l r

2

)(I− 3

r⊗ r

r2

)]. (5.20)

Разложим в ряд экспоненты, учтем условие для ближней зоны kl,sr ≪ 1. Тогдаполучим:

G0(r,ω) =1

c2t

1+ iktr−k2t r

2

2

4πr

[(I−

r⊗ r

r2

)+

(i

ktr−

1

k2tr

2

)(I− 3

r⊗ r

r2

)]+

1

c2l

1+ iklr−k2l r

2

2

4πr

[r⊗ r

r2−

(i

klr−

1

k2l r

2

)(I− 3

r⊗ r

r2

)]=

1

8πr

[(1

c2t+

1

c2l

)I+

(1

c2t−

1

c2l

)r⊗ r

r2

](5.21)

Перепишем эту формулу в терминах модуля сжатия K и модуля сдвига µ.

G0 =1

8πrµ(K+ 43µ)

[(K+

7

3µ

)I+

(K+

1

3µ

)r⊗ r

r2

],µ

ρ= c2t ,

3K+ 4µ

3ρ= c2l (5.22)

Так же перепишем в терминах модуля Юнга E и коэффициент Пуассона σ.

G0 =1+ σ

8πE(1− σ)

[(3− 4σ) I+

r⊗ r

r2

], σ =

3K− 2µ

2(3K+ µ), E =

9Kµ

3K+ µ(5.23)

32

Приложение 3Представим вектора e±m покомпонентно.

e±1 =

sin(ϕ)cos(ϕ)

0

(5.24)

e±2 =

∓λtktsin(ϕ)

∓λtktcos(ϕ)q∗kt

(5.25)

e±3 =

q∗klsin(ϕ)

q∗klcos(ϕ)

±λlkl

(5.26)

Теперь посчитаем e+m(q∗) ⊗ e−j (q∗) для каждого из значений i, j, при которых aij неравны нулю.

e+2 (q∗)⊗ e−2 (q∗) =

−

λ2tk2tcos2(ϕ) −

λ2tk2tcos(ϕ) sin(ϕ) −λtq∗

k2tcos(ϕ)

−λ2tk2tcos(ϕ) sin(ϕ) −

λ2tk2tsin2(ϕ) −λtq∗

k2tsin(ϕ)

λtq∗k2t

cos(ϕ) λtq∗k2t

sin(ϕ) q2∗

k2t

(5.27)

e+2 (q∗)⊗ e−3 (q∗) =

−λtq∗ktkl

cos2(ϕ) −λtq∗

ktklcos(ϕ) sin(ϕ) λtλl

ktklcos(ϕ)

−λtq∗ktkl

cos(ϕ) sin(ϕ) −λtq∗ktkl

sin2(ϕ) −λtλtktkl

sin(ϕ)q2∗

ktklcos(ϕ) q2

∗ktkl

sin(ϕ) −q∗λlktkl

(5.28)

e+3 (q∗)⊗ e−2 (q∗) =

λtq∗ktkl

cos2(ϕ) λtq∗

ktklcos(ϕ) sin(ϕ) q2

∗ktkl

cos(ϕ)λtq∗ktkl

cos(ϕ) sin(ϕ) λtq∗ktkl

sin2(ϕ) q2∗

ktklsin(ϕ)

λtλlktkl

cos(ϕ) λtλlktkl

sin(ϕ) q∗λlktkl

(5.29)

e+3 (q∗)⊗ e−3 (q∗) =

q2∗

k2l

cos2(ϕ) q2∗

k2l

cos(ϕ) sin(ϕ) −λlq∗k2l

cos(ϕ)q2∗

k2l

cos(ϕ) sin(ϕ) q2∗

k2l

sin2(ϕ) −λlq∗k2l

sin(ϕ)

λlq∗k2l

cos(ϕ) λlq∗k2l

sin(ϕ) −λ2l

k2l

(5.30)

Используя известные свойства функций Бесселя [17]:∫eik cos(x)dx = 2πJ0(k)∫eik cos(x) sin(x)dx = 0∫eik cos(x) cos(x)dx = 2πiJ1(k)∫eik cos(x) cos(x) sin(x)dx = 0∫eik cos(x) cos2(x)dx = 2π

J1(k)

k− 2πJ2(k)∫

eik cos(x) sin2(x)dx = 2πJ1(k)

k.

(5.31)

Тогда можно получить ФГ для волны Релея, которая представлена в главе 5.

33

Приложение 4Рассмотрим условие дальней зоны: q∗R⊥ → ∞ Тогда воспользуемся асимптотикойфункции Бесселя [17]:

J0(q∗R⊥) ∼

√2

πq∗R⊥sin(q∗R⊥ −

π

4

)J1(q∗R⊥) ∼ −

√2

πq∗R⊥cos(q∗R⊥ −

π

4

)J2(q∗R⊥) ∼ −

√2

πq∗R⊥sin(q∗R⊥ −

π

4

).

(5.32)

Подставляя эти формулы в ФГ, получим

GRelB (R⊥; z, z

′) ∼q2∗

D ′∗ω

2

√2

πq∗R⊥

[2λtλ

2lq∗R2,2e

−|λt|(z ′+z−2z0) + (q2∗ − λ2

t)R2,3e−|λt|(z ′−z0)−|λl|(z−z0)

−(q2∗ − λ2t)R2,3e

−|λl|(z′−z0)−|λt|(z−z0) + 2λ2

tλlq∗R3,3e−|λl|(z

′+z−2z0)], (5.33)

Отметим,что все Ri,j зависят от (R⊥, q∗),чтобы дальше это пропустить.

R2,2 =

λ2t(

cos(q∗R⊥−π4 )

q∗R⊥+ sin

(q∗R⊥ − π

4

)) 0 iλtq∗ cos

(q∗R⊥ − π

4

)0 λ2

t

cos(q∗R⊥−π4 )

q∗R⊥0

−iλtq∗ cos(q∗R⊥ − π

4

)0 q2

∗ sin(q∗R⊥ − π

4

)

R2,3 =

λtq∗(cos(q∗R⊥−π

4 )q∗R⊥

+ sin(q∗R⊥ − π

4

)) 0 −iλtλl cos

(q∗R⊥ − π

4

)0

cos(q∗R⊥−π4 )λt

R⊥0

−iq2∗ cos

(q∗R⊥ − π

4

)0 −q∗λl sin

(q∗R⊥ − π

4

)

R3,2 =

−q2∗(

cos(q∗R⊥−π4 )

q∗R⊥+ sin

(q∗R⊥ − π

4

)) 0 −iq2

∗ cos(q∗R⊥ − π

4

)0

− cos(q∗R⊥−π4 )λt

R⊥0

−iλtλl cos(q∗R⊥ − π

4

)0 q∗λl sin

(q∗R⊥ − π

4

)

R3,3 =

q2∗(

− cos(q∗R⊥−π4 )

q∗R⊥+ sin

(q∗R⊥ − π

4

)) 0 iλlq∗ cos

(q∗R⊥ − π

4

)0 −q2

∗q∗ cos(q∗R⊥−π

4 )R⊥

0

−iλlq∗ cos(q∗R⊥ − π

4

)0 −λ2

l sin(q∗R⊥ − π

4

)

(5.34)

34