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Expresiones Algebraicas
Una expresión algebraica es una expresión en la que se relacionan valores indeterminados con constantes y cifras, todas ellas ligadas por un número finito de operaciones de suma, resta, producto, cociente, potencia y raíz.
Ejemplos
12.
)
2)
2)
2
32
2
xxyx
c
xyxb
xyxa
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Tipos de Expresiones Algebraicas
Expresiones Algebraicas
Racionales Irracionales
Enteras Fraccionarias
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Expresión Algebraica Racional
Es racional cuando las variables no están afectadas por la radicación
Ejemplo
312
.2
22
y
yxx
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Expresión Algebraica Irracional
Es irracional cuando las variables están afectadas por la radicación
Ejemplo
yxx 2
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Expr. Algebraica Racional Entera
Una expresión algebraicas es racional entera cuando la indeterminada está afectada sólo por operaciones de suma, resta, multiplicación y potencia natural.
Ejemplo
542 3 yyxx
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Expresión Algebraica Racional Fraccionaria
Una expresión algebraicas racional es fraccionaria cuando la indeterminada aparece en algún denominador.
Ejemplo
31 2 yxx
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Polinomios
Son las expresiones algebraicas más usadas.
Sean a0, a1, a2, …, an números reales y n un número natural, llamaremos polinomio en indeterminada x a toda expresión algebraica entera de la forma:
a0 + a1 x + a2 x2 + … + an xn
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Ejemplos de polinomios
A los polinomios en indeterminada x los simbolizaremos con letras mayúsculas indicando la indeterminada entre
paréntesis: P(x) ; Q(x) ; T(x).
3
2
32
3)
31
)
xxb
xa
3
3
532)
21)
xxd
xc
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Términos
Monomio : polinomio con un solo término. Binomio : polinomio con dos términos. Trinomio : polinomio con tres términos.
Cada monomio aixi se llama término.
El polinomio será de grado n si el término de mayor grado es anxn con an0.
A a0 se lo llama término independiente.
A an se lo llama término principal.
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Ejemplos
El polinomio 0 + 0x + 0x2 + … +0xn se llama polinomio nulo. Lo simbolizaremos por Op(x).
No se le asigna grado.
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Ejercicio
Indicar cuáles de las siguientes expresiones algebraicas son polinomios. En este último caso indicar su grado.
2
13)
)3)(2()
1231
)
4
3
xc
xxb
xxa
132
)
312
)
52)
2
2
xxx
f
xxxe
xd
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Polinomios iguales
Dos polinomios son iguales si y sólo si los coeficientes de los términos de igual grado lo son.
Ejercicio: Determinar a, b y c para que P(x)=Q(x)
2
2
33
)2()1()(
25)12(5)()
)()(;52)()
xbcxbaxQ
xxxPb
xbaaxQxxPa
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Suma de Polinomios
Para sumar dos polinomios se agrupan los términos del mismo grado y se suman sus coeficientes.
Ejemplo: Sumar los siguientes polinomios
P(x) = -2x4 + 5x3 – 3x + 1
Q(x) = 3x3 – 6x2 – 5x - 2
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Propiedades de la Suma
Asociativa Conmutativa Existencia de elemento neutro Existencia de elemento opuesto
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Resta de Polinomios
Para restar el polinomio Q(x) del polinomio P(x) se debe sumar a P(x) el opuesto de Q(x).
P(x) – Q(x) = P(x) + [ - Q(x) ]
Ejemplo: Restar los siguientes polinomios
P(x) = -2x4 + 5x3 – 3x + 1
Q(x) = 3x3 – 6x2 – 5x - 2
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Multiplicación de Polinomios
Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada monomio de uno de ellos por cada uno de los términos del otro y luego se suman los términos de igual grado.
Ejemplo: Multiplicar los siguientes polinomios
P(x) = -2x4 + 5x3 – 3x + 1
Q(x) = 3x3 – 6x2 – 5x – 2
P(x).Q(x) = P(x) 3x3 + P(x) (-6x2 ) + P(x) (-5x ) + P(x)(-2)
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Propiedades del Producto
AsociativaConmutativaExistencia de elemento neutro.
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Algunos productos importantes
(x+a)2 =(x+a)(x+a)= x2 + 2ax + a2
(x-a)2 =(x-a)(x-a)= x2 - 2ax + a2
(x+a)3 = x3 + 3ax2 + 3a2x + a3
(x-a)3 = x3 - 3ax2 + 3a2x - a3
(x+a)(x-a)= x2 –ax +ax-a2 = x2-a2
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División de polinomios
Existe una estrecha analogía entre el cociente de polinomios y la división de números enteros.
Recordemos algunas definiciones de la división entre números enteros.
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División entre números enteros
En el conjunto de números enteros, si D es el dividendo y d0 es el divisor, existen y son únicos dos enteros c (cociente) y (r (resto) tales que
D = d . C + r 0 ≤ r < |d|
Si r=0 se dice que D es divisible por d.
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División entre números enteros
Ejemplo: Realizar las siguientes divisiones enteras:
29 dividido 6 será: c= 4 y r=5 pues
29 = 6 . 4 + 5 y 0 ≤ 5 < 6
29 dividido -6 será: c= -4 y r=5 pues
29 = (-6) . (-4) + 5 y 0 ≤ 5 < |-6|
¿Podría haber sido c = -5 y r = -1?
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División de polinomios
Dados los polinomios
D(x) = 6x3 – 17x2+15x-8
d(x) = 3x – 4
determinar, si es posible, dos polinomios c(x) y r(x) tales que
D(x) = d(x). C(x) + r(x)
de modo que el grado de r(x) sea menor que el grado de d(x) o bien r(x)=Op(x)
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-6x3 + 8x2
Ejemplo
6x3 – 17x2 + 15x – 8 3x – 4
2x2
0x3 - 9x2+ 15x
- 3x
9x2- 12x
0x2+ 3x - 8
+ 1
-3x + 4
0x - 4
6x3-17x2+15x-8 = (3x-4)(2x2-3x+1)-4
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División de Polinomios
Dados los polinomios D(x) y d(x); d(x)Op(x), diremos que d(x) divide a D(x) si y sólo si existe un polinomio c(x) tal que
D(x) = d(x) . c(x)
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Regla de Ruffini
3 -2 -5 -92
-3
División de un polinomio por otro de la forma (x-a)
3x3 – 2x2 – 5x – 9 x – 2- 3x3 + 6x2 3x2 + 4x + 3
4x2 – 5x - 4x2 + 8x
3x – 9 -3x + 6
-3 3
6
4
8
3
6
3x3x33 – 2x – 2x22 – 5x – 9 = ( x – 2)(3x – 5x – 9 = ( x – 2)(3x22 + 4x + 3) + (-3) + 4x + 3) + (-3)
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División de un polinomio por otro de la forma (x-a)
División de P(x) = 3x3 – 2x2 – 5x – 9 por (x-2) realizada por la Regla de Ruffini
3 -2 -5 -9 2 6 8 6 3 4 3 -3
1º operación : 3.2 -2 = 4
2º operación : (3.2 -2).2 - 5 = 3
3º operación : [3(2) 2 – 2 . 2 - 5].2 -9 =-3
Por lo tanto 3.(2)2 -2.(2)2 -5.2 -9 = -3
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Raíces de un polinomio
Un número real a es raíz de un polinomio P(x) si y solo si P(a) = 0
Ejercicio:
Verifique que x=1 es raíz del polinomio P(x) = 3x2 + 2x – 5
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Raíces de un Polinomio
Si un polinomio tiene coeficientes enteros y a es una raíz entera del polinomio entonces a divide al término independiente.
Ejercicio: Calcular las raíces de
P(x) = 2x3 - 2x2 - 16x + 24
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Ejercicio: Calcular las raíces de P(x) = 2x3 - 2x2 - 16x + 24
Si P(x) tiene alguna raíz entera, ésta debe ser divisor de 24.
Probar que 1 y -1 no son raíces de P(x)
2x2x33 – 2x – 2x22 – 16x + 24 = ( x – 2)(2x – 16x + 24 = ( x – 2)(2x22 + 2x -12) + 2x -12)
Ver x=2 también es raíz de
2x2 + 2x -12
2x2 + 2x -12 = (x-2)(2x+6)