expresiones algebraicas · expresiones algebraicas página 2 fundamentos algebraicos expresiones...

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

POR: MAURICIO OLAYA

Lic. MAURICIO E. OLAYA G.

EXPRESIONES ALGEBRAICAS Página 1


¿CÓMO ESTAMOS EN EL TEMA?

1. Enuncia verbalmente las siguientes expresiones algebraicas: a) x - 4: "La diferencia entre un número y 4" b) 2x c) y + 8 d) 2t + 9

e) 2t3 f) x - 2y g) x2 h) 6z

i) 2

3x j)

41

4y x k) (x - 3)2 l) (2x + 4y)3

2. Expresa algebraicamente los siguientes enunciados verbales: a) Un número cualquiera. b) El triple de un número cualquiera. c) Un número aumentado en 7. d) Un número disminuido en 10. e) Un número aumentado en su quíntuplo. f) El antecesor de un número cualquiera. g) El sucesor de un número cualquiera. h) La centésima parte de un número. 3. Simplifica las siguientes expresiones: a) 15y + 6y – 3y + 23y – 22y b) 15x2 + 17x3 – 2x2 - 29x3 + 37x2 - 8x3

c) 2,4q - 3,7q + 1,6q + 5,8q d) 2 5 3 8

5 3 10 3b d b d

4. Evalúa cada una de las siguientes expresiones si n = -3, m =-1 y s = 3. a) n2 + m + s b) nm + ms

c) mn2

1

2

1 d) s4 + 6m3 – n

e) 5s + m + 4n f) sn

mn



FUNDAMENTOS ALGEBRAICOS


Una expresión algebraica es una combinación de constantes y variables en las que intervienen operaciones como adición, la multiplicación, la potenciación o sus inversas. Algunos ejemplos de expresiones algebraicas son:

x + 5 4x2 – 5x + 1 yy 24

3

yx

xxy

23

52 22

TÉRMINO

Toda expresión algebraica está conformada por términos, un TERMINO es una expresión algebraica que no está separada por los signos más (+) y menos (-). Así por ejemplo la expresión x + 5 tiene dos términos, la variable x y la constante 5. La expresión 4x2 – 5x + 1 tiene tres términos, 4x2 , -5x y 1. Las expresiones algebraicas se clasifican de acuerdo al número de términos que tengan, así: MONOMIOS: Expresión algebraica de un sólo término. Ej. 2x; 4x2; -5m

BINOMIOS: Expresión algebraica de dos términos. Ej. 4x + 2; 62

1xy .

TRINOMIO: Expresión algebraica de tres términos. Ej. 6m3 + 4m2 – 8; 9bc3 – 4b2 c2 – b3c POLINOMIOS: Es una expresión algebraica que tiene dos o más términos.

TÉRMINOS SEMEJANTES

Son aquellos términos que tienen las mismas variables y el mismo exponente, no importando que tengan diferentes constantes o coeficiente.

Por ejemplo: 9n3 y –2n3; cabcab 22 7,3

2 y cab28

Cuando un polinomio no contiene términos semejantes se dice que está escrito en forma simple o está reducido.

OPERACIONES CON LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS

ADICIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS: para sumar dos o más expresiones algebraicas

se agrupan los términos semejantes, se suman las partes numéricas y se deja la misma parte literal.

Así por ejemplo: Al sumar los polinomios 5x2 – 6x + 8 y –2x2 + 11x – 5, procedemos de la siguiente manera:

(5x2 – 6x + 8) + (–2x2 + 11x – 5) =5x2 – 6x + 8 –2x2 + 11x – 5 Eliminamos paréntesis =5x2 –2x2 – 6x + 11x + 8 – 5 Reagrupamos términos = 3x2 + 5x + 3 Adicionamos



SUSTRACCIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS: Para restar dos expresiones algebraicas, se le suma al minuendo el opuesto del sustraendo y se procede como en el caso anterior.

Así por ejemplo: Al efectuar la resta: (8x3 + 9x – 3) – (-3x3 + 2x2 – 2), procedemos de la siguiente manera:

(8x3 + 9x – 3) – (-3x3 + 2x2 – 2) = 8x3 + 9x – 3 + 3x3 - 2x2 + 2 Cambiamos signos del sustraendo = 8x3 + 3x3 - 2x2 + 9x -3 + 2 Reagrupamos términos

= 11x3 – 2x2 + 9x - 1 Adicionamos MULTIPLICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS: Para multiplicar dos expresiones

algebraicas se halla el producto de las partes numéricas y para cada producto de las partes literales se aplica el producto de potencias de igual base. Antes se encuentra el signo del producto, utilizando la ley de los signos, en la multiplicación.

MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS:

Multipliquemos –4m2n por 3mn2c = -4. 3. m2.m. n. n2. c = -12m3n3c

MULTIPLICACION DE UN POLINOMIO POR UN MONOMIO: Al multiplicar un monomio por un polinomio el monomio multiplica a cada uno de los términos del polinomio, así como se ilustra el siguiente ejemplo:

MULTIPLICACION DE UN POLINOMIO POR UN POLINOMIO: Para multiplicar un polinomio por un polinomio se multiplican cada uno de los términos del primer polinomio por todos los términos del segundo polinomio. Multipliquemos 6a2 – 2ab -3b2 por 5ab -3b2

(6a2 – 2ab -3b2)(5ab -3b2) = (6a2 – 2ab -3b2) (5ab) – (6a2 – 2ab -3b2) (3b2) = 30a3b – 10a2b2 – 15ab3 – 18a2b2 + 6ab3 + 9b4 = 30a3b - 28 a2b2 - 9 ab3 + 9b4 DIVISIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS: Para dividir dos expresiones algebraicas primero

hallamos el signo del cociente, luego dividimos las partes numéricas y para el cociente de la parte literal se coloca la misma base y se restan los exponentes.

Así por ejemplo:

426

2

6

xxx

x ; yxyx

yx

yx 312363

26

227

14

DIVISIÓN DE POLINOMIO POR MONOMIO:

Para dividir un polinomio entre un monomio se divide cada término del polinomio entre el monomio.

Dividamos 232 2 xx entre x

232232232 2

2323

xxx

x

x

x

x

x

x

xxx



PRODUCTOS Y COCIENTES NOTABLES

Reciben este nombre aquellas expresiones, que se están multiplicando o dividiendo, y pueden escribirse nuevamente sin la necesidad de realizar algún procedimiento, es decir, cumplen alguna regla o condición. CUADRADO DE UN BINOMIO: Es igual al cuadrado del primer término más (o menos) el doble producto del primer por el segundo término, más el cuadrado del segundo término.

222 2)( bababa ; 222 2)( bababa

DIFERENCIA DE CUADRADOS: Es igual al cuadrado de la primera cantidad menos el cuadrado de la segunda cantidades.

))((22 bababa

BINOMIO AL CUBO: Es igual al cubo del primer término más (o menos) tres veces el primero al cuadrado por el segundo más tres veces el primero por el segundo al cuadrado más (o menos) el cubo del segundo término.

32233 33)( babbaaba ; 32233 33)( babbaaba

COCIENTES VARIOS:

baba

ba

22

; baba

ba

22

2233

bababa

ba

22

33

bababa

ba

FACTORIZACIÓN

Factorizar es descomponer en factores, veamos algunas reglas sencillas para factorizar expresiones algebraicas.

FACTOR COMÚN: Este método consiste en encontrar en la expresión dada, elementos o factores comunes que se encuentren en todos los términos, ya sean evidentes o de manera tácita. Se puede considerar también al factor común como el elemento que divide a la expresión que queremos factorizar.

Así por ejemplo, al factorizar: )142(552010232 aaaaaa Aquí se puede observar como el 5

puede dividir exactamente a 10, 20 y a él mismo, de igual forma se escogió el término”a” que pudo dividir exactamente a a2, a3 y a respectivamente. Es muy importante anotar que el término que se ha escogido como factor común, es aquel que aparezca en todas las expresiones y además sea el de menor exponente. Para apreciar mejor la mecánica del factor común veamos el proceso mediante la división que se realiza implícitamente.

)142(5)5

5

5

20

5

10(552010 2

3232 aaa

a

a

a

a

a

aaaaa



En conclusión se puede decir que sacar factor común es dividir a la expresión por el término que se ha escogido como elemento común.

FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS: La única diferencia con el factor común es la posibilidad de primero agrupar convenientemente la expresión dada, para con ello sacar el factor común por grupos similares. Así por ejemplo:

1. )23)(()(2)(3)22()33(2233 2222222 abzxzxazxbazaxbzbxazaxbzbx

2. ))(()()()()( yxbabaybaxbyaybxaxbyaybxax

TRINOMIOS DE LA FORMA X 2 + BX +C y AX 2+BX + C:

Dentro de este conjunto de trinomios, se encuentran aquellos llamados trinomios cuadrados perfectos, los cuales se convierten por sola inspección en binomios al cuadrado. Para realizar este procedimiento basta con chequear los extremos del trinomio y determinar si tienen raíz cuadrada exacta, luego analizar el término de la mitad para comprobar si es equivalente al doble producto de las raíces encontradas en el paso anterior. Ejemplos de trinomio cuadrado perfecto:

1. 22222 )52(522205252425204 yxyxxyyyxxyxyx

2. 22222 )43(432244163916249 yxyxxyyyxxyxyx

Los trinomios de la forma X 2 + BX +C, se podrán factorizar utilizando diversos métodos, uno ellos es el llamado de “Los numeritos”, que consiste en encontrar dos números que multiplicados den el tercer término del trinomio y sumados den el segundo término incluyendo el signo respectivo. Este procedimiento se aplica a dos paréntesis que inician cada uno con la raíz del primer término del trinomio, el signo del primer paréntesis será el signo del segundo término del trinomio y el signo del segundo paréntesis será el resultado del producto de los signos del segundo y tercer términos del trinomio respectivamente. Así por ejemplo:

1. ?)?)((652 xxxx

523

623

Por lo tanto los números son 3 y 2, así )2)(3(652 xxxx

2. ?)?)((1032 xxxx

325

10)2(5

Por lo tanto los números son 5 y -2, así )2)(5(1032 xxxx

Los trinomios de la forma AX 2 + BX +C, se podrán factorizar adicionando unos pasos al método anterior, consistentes en multiplicar todo el trinomio por el coeficiente de la X2, teniendo la precaución de dejar la multiplicación indicada en el segundo término, de tal forma que se coloca el multiplicando dentro de un paréntesis, esto favorecerá el procedimiento de la búsqueda de los numeritos. Adicionalmente se deberá tener en cuenta que si se ha multiplicado por un número cualquiera se dividirá toda la expresión por el mismo número. Se continúa con el procedimiento de signos y búsqueda de los números como en el método anterior. Finalmente se buscará la posibilidad de encontrar factores comunes dentro de los paréntesis para tratar de cancelar el factor común con el divisor de la expresión.



Así por ejemplo:

1. 6

)13(2)32(3

6

)26)(96(

6

18)6(736

6

)376(6376

222

xxxxxxxxxx

)13)(32(6

)13)(32(6

xx

xx

2.

15

180)15(11)(225

15

1211)(15151211)(15121115

22222222224

xxxxxxxx

)35)(43(

15

)35)(43(15

15

)35(3)43(5

15

)915)(2015(

22

222222

xx

xxxxxx

MÉTODO DE LA EVALUACIÓN:

Para la aplicación de este método como herramienta de Factorización, es necesario manejar correctamente el concepto de división de polinomios. Adicionalmente recordemos que si una ecuación se anula o vuelve cero para un valor ax , entonces decimos que se puede dividir la ecuación entre la expresión ax Dado un polinomio cualquiera se encuentran todos los divisores del término independiente, esto quiere decir que se tendrán en cuenta los valores positivos y negativos, por ejemplo 4 es divisible por

42,1 . Luego de encontrar los divisores del término independiente, se tantea cual de estos

valores anula el polinomio dado. Encontrado un valor determinado, lo convertimos en expresión axy dividimos el polinomio. Al realizar la división, siempre se encontrará que el residuo será cero, por lo tanto examinamos si el cociente lo podemos factorizar por algún otro método conocido. De no ser así continuamos la división ensayando otro de los divisores del término independiente. Este ciclo se continúa hasta tener el polinomio representado en todos los factores posibles hallados.

Así por ejemplo: Factorizar el polinomio 484160591962345 xxxxx

Divisores de 48: 4824,16,12,8,6,4,3,2,1

Evaluemos (+1) en el polinomio: 15048)1(4)1(160)1(59)1(19)1(6 2345

Evaluemos (-1): 3648)1(4)1(160)1(59)1(19)1(6 2345

Evaluemos (+2): 57648)2(4)2(160)2(59)2(19)2(62345

Evaluemos (-2): 048)2(4)2(160)2(59)2(19)2(6 2345 OK!

2x Transformando a la forma ax tenemos 2x



Realizando la división se obtiene:

48416059196 2345 xxxxx 2x

45 126 xx 24147376 234 xxxx

4841605970 234 xxxx

34 147 xx

484160730 23 xxx

23 14673 xx

484140 2 xx

xx 2814 2

48240 x

4824 x

0

Evaluemos (+3): 048)3(4)3(160)3(59)3(19)3(6 2345 OK!

3x Transformando a la forma ax tenemos 3x Realizando la división del cociente obtenido se continúa:

24147376 234 xxxx 3x

34 186 xx 82256 23 xxx

241473250 23 xxx

23 7525 xx

241420 2 xx

xx 62 2

2480 x

248 x

0

Evaluemos (+4): 470448)4(4)4(160)4(59)4(19)4(6 2345

Evaluemos (-4): 048)4(4)4(160)4(59)4(19)4(6 2345 OK!

4x Transformando a la forma ax tenemos 4x Realizando la división del cociente obtenido se continúa:

82256 23 xxx 4x

23 246 xx 26 2 xx

820 2 xx

xx 42

820 x

82 x

0



Ya en este punto se observa que se han agotado los valores que hacen cero al polinomio, por tanto se intenta factorizar el último cociente obtenido. En este caso se puede factorizar directamente por uno de los métodos ya conocidos.

6

)12(3)23(2

6

)36)(46(

6

12)6(136

6

)26(626

222

xxxxxxxxxx

)12)(23(6

)12)(23(6

xx

xx

Así el polinomio: )12)(23)(4)(3)(2(484160591962345 xxxxxxxxxx

TALLER 3: EXPRESIONES ALGEBRAICAS

I. Representa los enunciados en forma de expresiones algebraicas: 1. Un número incrementado en 8. 2. 5 veces un número. 3. La diferencia de un número y 3. 4. A 23 se le resta un número. 5. La quinta parte de un número. 6. Cuatro veces un número más 13 7. El producto de dos números elevados al cuadrado.

8. El doble producto de un número menos 7. II. Resuelve los paréntesis y reduce términos semejantes: 1. -(x – 5y) + (4x + 7y) 2. (5m + 12n) - (-13m -14n) 3. 3z - [2z + (5t - z) - (t – 2z) + 1] 4. -[2a - (-3a + 5b) + (-b +4a)] 5. -(2x + 6y) - [-(-7x -2y) + (x -5y) - 4x] 6. a - {b + 2c + [(-a - 6b +3c) - (-5a + 7b - c)] - b + c} III. Valora las siguientes expresiones algebraicas:

x y 4x - 3y + 2 2x2 – y3 0,4x + 0,7y 5/4 x - 9/10 y

-3 7

0 -1

-6 -5

0,3 -0,4

8/5 1/3

4/3 - 1/2

IV. Escribe en forma simple los siguientes polinomios: 1. 4x – 6y + 2x + 3y – z + 4y – 3z 2. 4m + 3b – 2b + 5m + 6b + c 3. 5x2y + 8 + 6xy2 + 2x2y – 8 4. 2x2 + 3y + 4y – 6x + 7x2 5. x3 – y3+ 5x2y – 4xy2 + x3 – 7xy2 – y3 6. 12ac + ab + 3b – 5c + 4ab – 3b + c

7. 5n – 3p + 2m + 7p + 4m – 5n 8. xxyxxy2

3

4

1

2

1

4

3

V. Realiza las siguientes operaciones entre expresiones algebraicas: 1. 4a + 3b – 2b; 5a + 6b + c 2. 2m + n + p; 3m – n + 2p 3. 4x – 9y – 4; 7x – y + 6 4. 3m – 2n – p; 4m –5n + 3p 5. (4x3 + 3x3 + 5x4) + (-2x4 + 3x3) 6. (5x2 – 2x + 13) + (2x + 7)



7. (7x2 + 3xy)+ (-5x2 + 4xy – 3y) 8. (5x2y + 8) + (6xy2 + 2x2y – 8) 9. (4x2 – x + 1) + (5 – 2x – 3x3) 10. (2x2 + 3y) + (4y – 6x + 7x2) 11. (-2x + 4) + (-3x – 3 – 3y2) 12. (5z2 + 3) + (2x – 4)

13. 3

1

5

1;

4

1

2

1 yxyx 14.

6

1

3

4;

7

1

3

4;

7

1

4

3 2222 xyxyyxyxyxxy

15. 2

1

4

2;

7

2

4

3

5

1;

4

1

3

1 1111 aaaaaaa xxxxxxx

16.3

1

5

1;

3

1

6

1

3

2;

7

1

4

1 22222 ababbaababbaab

17. (2x – 3y + c) – (4x – 5b + 2c) 18. (6ab – 3b + 4a) – (7b – 2a – 5ab) 19. (5x2 + 7y2 + 2z) – (9y2 – 2x2 – z) 20. De la suma de 4xy – 3y2 con 4x – 2y2 resta 2xy – 2x 21. De la suma de 7ab2 – 6ac con 2ac + 3b2 resta –7ab2 + 2ac 22. De la suma de 2ab – 3c con 4ab – 6c resta 4ab + 2c 23. (6xy2 –2x2 + 3y2) – (x2 + 2y2 – 4xy2) 24. (2mn + 4n –5p) – (4n + 2p –3m) 25. (4x2y –2xy + 5xy2) – (2xy –3x2y – 6xy2) 26. (xy – 3x2 – 2y2) – (3y2 – x2 + 2xy) 27. –4xy2 y -12xz 28. 9xy3 y -2x 29. 4x2y2z2 y -2 30. 6x4y5 y -3x8y4 31. 6xy y -2x2y2 32. –3x y -9xy3z2 33. (3x2 – 6x + 2) (-4x) 34. (X+1) (x – 3) 35. (5x3 + x +9) (2x2) 36. (4m + 2n) (7n +2m) 37. (x2 – x - 1) (-3x4) 38. (- 3x2 + 2xy + 3) (- 2x2 + 4) 39. (5z2 – 2z + 4) (3z) 40. (- 9x2 + 3xy + 2x) (- 2x2 + 4) 41. (4x2 – 6x + 3) (-8x3) 42. (- 3x2 + 2xy + 3) (- 3x3 + 2) 43. (2x + 6y + 2) (-4) 44. (3x2 - 8x + 1) (3x2 + 6) 45. (x2 – y3 –z2) (-3y) 46. (7xy3 + 3xy - 3) (- 6x2 + 8x)

47. a

a

3

9 2 48.

bca

cba2

234

17

34

49. 3567 66181230 nnnn 50. 3

7

4

12

x

x

51. 2324 2468 mmmm 52. 22223223 3369 nmnmnmnm

53. 2

6

x

x 54. 2243 416820 bbbb

55. 23342435 420328 yxyxyxyx 56. yyyyy 55251015 432 VI. Resuelve las siguientes operaciones, aplicando las reglas estudiadas: 1. (2a + 4)2 2. (7x – 2y)3 3. (12m2–8)2 4. (2n – 3)2 5. (2z – 3)3 6. (6x + 4y) (6x – 4y) 7. (3x +5y)2 8. (2y3–7x2) (2y3+ 7x2) 9. (3b – 4a)2 10. (6n-3p)2 11. (5m3+ 3n4) (5m3-3n4) 12. (7m – 3c)2 13. (3c +m)3 14. (12n2-3p5) (12n2+ 3p5) 15. (2n – 3)3 16. (2n–3) (2n+3) 17. (5p+ 6q4)3 18. (3b + 2c)3

19. (3b–4a) (3b+ 4a) 20. (9x2y3+ 15z7) (9x2y31-5z7) 21. (4x + 5y)3

22. 2)5( m 23. 22 nm 24.

3)( yx

25. 2)72( yx 26. 22 254 yx 27. 3)42( nm

28. 2)51( x 29. 222 1681 cba 30.

3)93( yx

31. 2)39( zyx 32.

22 )()5( yxm 33. 3)52( xymn



34. a

a

1

1 3 35.

12

18 3

a

a 36.

yx

yx

3

9 22

37. yx

yx

27

449 22

38.

yx

yx

32

278 33

39.

y

y

56

125216 3

40. yx

yx

42

164 22

41.

yx

yx

22

VII. Factorizar las siguientes expresiones algebraicas, si es posible.

1. axaxxa 322 22 2. xayxayxa223223 1246293

3. yxxaxyyaaxxa 23222 222 4. ayyxax 4433

5. yxaxxyayaxyx 22223 323223 6. xxbaxnxbanba 43224232432 33

7. 122 xx 8. mnnm 20254 22

9. 422 64161 xaax 10. 32 155 mm

11. 1072 xx 12. 652 mm

13. 1032 xx 14. 22 xx

15. 342 mm 16. 1452 xx

17. 232 2 xx 18. 253 2 mm

19. 276 2 xx 20. 6135 2 xx

21. 656 2 mm 22. 612 2 xx

23. 123 xxx b. 189236 23 xxx 24. 1204675188 234 xxxx

25. 3605222510834 2345 xxxxx 26. 4563152 2345 xxxxx

27. 14439634410368 23456 xxxxxx 28. 3 29 20x x x

29. 2 12x x 30. 22 3 2x x

31. 26 2x x 32. 2 35 3x x

VIII. Escoge la respuesta correcta en cada uno de los siguientes casos: 1. Al desarrollar la expresión (w + n)2, nos da como resultado A) w2 + n2 + 2wn B) w2 + 3wn + n C) x2 + wn + x2 D) 2wn + y2 + n2

2. La expresión algebraica equivalente a (m + 8) (m – 4) es A) x2 + 2m -24 B) m2 + 4m – 32 C) 32 – m2 + 4m D) m + 4 + 32 3. El resultado de (a + b - c)2 es A) a3+ 3ab + b2 - 2ac + 2bc + c2 B) a + b2 – c2 - 2ab - 2ac + 2bc C) a2 + 2ab + b2- 2ac - 2bc + c2 D) a3+ b3 + c3 + 2ab - 2ac - 2bc 4. La expresión algebraica equivalente a (x - y)2 es A) x3 - 1xy – y3 B) x + 2xy – y C) x2 – x2y – x2y – y3 D) x2 - 2xy + y2

5. Al desarrollar la expresión (a + c)3, obtenemos A) a3 – 3a2b - 3ab3+ b3 B) a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

C) a3+ 2ac + 2ab + c3 D) a3+3a2c + 3ac2 + c3

6. Resolviendo el producto notable (x – 7) (x + 4), obtenemos la expresión A) x2 - 3x + 21 B) x2 -3x – 28 C) x3+ 3x – 32 D) x + 3x + 11 7. Al reemplazar x= 3 en la expresión (x + m)2, obtenemos A) x2 + 2xm + m2 B) 3 + 2.3m + m2 C) 32 + 2.3m + m2 D) B y C son correctas 8. Al factorizar la expresión (m2+ 2mt + t2), obtenemos A) (m + t)2 B) (m + t)3 C) (m + t). (m + t) D) A y C son correctas



9. Al simplificar la expresión (x3 + 3x2m +3xm2 +m3), obtenemos A) (x + m)3 B) (x + m)2 C) x + m D) ninguna de las anteriores 10. Al simplificar la expresión (a2 + 2ab + 2ac + 2bc + b2+ c2), obtenemos A) (a + b)3 B) (a + b)2 C) (a – b)2 D) (A +B + C)2

IX. A cada uno de los siguientes problemas, formular el modelo algebraico correspondiente a la situación que se plantea. 1. Si Juan Felipe tiene x dólares, ¿Cuántos dólares tendrá Nathalia en cada caso?

A. Ella tiene $4 más que Juan Felipe. B. Ella tiene $3 menos del doble de lo que tiene Juan Felipe. C. Ella tiene $2 más que la mitad de lo que tiene Juan Felipe.

2. Si Andrés Felipe tiene x años y Alejandra es 4 años más joven, ¿qué edad tiene Joan en cada caso? A. Joan tiene 3 años más que Alejandra. B. Joan es 1 año mayor que la edad promedio de Andrés Felipe y Alejandra. C. Joan es 10 años menor que la suma de las edades de Andrés Felipe y Alejandra. D. Joan es 2 años menor que cinco veces la diferencia de las edades de Andrés Felipe y Alejandra

3. Juan Camilo y Nathalia juntos tienen $750. Si Nathalia tiene $50 pesos más que Juan Camilo, ¿cuánto dinero tiene Nathalia? 4. En una clase de Matemáticas para la Administración hay 52 estudiantes. Si el número de chicos es 7 más que el doble de chicas, determine el número de chicas en la clase. 5. Un padre es tres veces mayor que su hijo. En 12 años, él tendrá el doble de la edad de su vástago. ¿Qué edades tienen el padre y le hijo ahora? 6. Hace 5 años, Nathalia tenía el doble de la edad de su hermano. Encuentra la edad actual de Nathalia si la suma de sus edades es hoy de 40 años. 7. Alejandra tiene 3 monedas más de cinco centavos de diez centavos, y 5 monedas más de diez centavos que monedas de veinticinco centavos. En total tiene U$2.10. ¿Cuántas monedas de cada una tiene? 8. Yo tengo el doble de monedas de diez centavos en mi bolsillo que de monedas de veinticinco centavos. Si tuviera 4 monedas menos de diez centavos y 3 monedas de veinticinco centavos, tendría $2.60. ¿Cuántas monedas de diez centavos y de veinticinco centavos tengo? 9. La suma de dos números reales es 120 y su diferencia 40. Encontrar dichos números. 10. La suma de un número y 3 veces el mismo es 120. Encontrar el número.

expresiones algebraicas · expresiones algebraicas página 2 fundamentos algebraicos expresiones...

Documents