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EXPRESIÓN DE INCERTIDUMBRE EN LA CALIBRACIÓN DE EQUIPOS DE MEDICIÓN DE

ENERGÍA ELÉCTRICA

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Ing. Álvaro Zipaquirá Triana

Ing. Gerardo Porras Rueda

Laboratorio de Potencia y Energía

Superintendencia de Industria y Comercio

0. INTRODUCCIÓN

Cuando se expresa el resultado de medición en una magnitud, es conveniente y a veces obligatorio, dar alguna indicación cuantitativa de la calidad del resultado, de tal forma que quienes utilicen este resultado puedan evaluar su idoneidad. Sin esta indicación, las mediciones no pueden compararse entre sí, ni con otros valores de referencia dados en especificaciones o normas técnicas. El método ideal para evaluar y expresar la incertidumbre debe ser universal, es decir, aplicable a todo tipo de medición y a todo tipo de datos de entrada. En muchas aplicaciones industriales y comerciales, así como en las áreas del medio ambiente, de la salud y de la seguridad, a menudo es necesario proporcionar un intervalo en entorno al resultado de medición en el que se espera encontrar la mayor parte de la distribución de valores que pueden ser razonablemente atribuidos a la magnitud a medir. El método ideal para evaluar y expresar la incertidumbre de medida debe ser capaz de proporcionar tal intervalo, en particular, aquel con la probabilidad o con el nivel de confianza que corresponda, de forma acorde a las necesidades particulares de cada caso. Este documento ha sido desarrollado por el Laboratorio de Potencia y Energía de la División de Metrología de la Superintendencia de Industria y Comercio, tomando como base el documento “Expresión de la incertidumbre de medida en las calibraciones, CEA-ENAC-LC/02” Revisión 01 del año 1998 y la experiencia adquirida a lo largo de varios años, en la estimación de la incertidumbre en los laboratorios de calibración de medidores de energía acreditados en Colombia. Los conceptos que se establecen en este documento están en concordancia con las recomendaciones de Guía Técnica Colombiana GTC 51:1997 “Guía para la expresión de la incertidumbre en las mediciones” y se aplican las definiciones contenidas en la Norma Técnica Colombiana NTC 2194:1997 “Vocabulario de términos básicos y generales en metrología”.

1. OBJETIVO El propósito de este documento, es el de armonizar la evaluación de la incertidumbre de medida en los laboratorios de calibración de equipos medidores de energía eléctrica, para establecer los requisitos específicos sobre la expresión de la incertidumbre de medida en los certificados de calibración emitidos por los laboratorios, y para ayudar al organismo nacional de acreditación a aplicar un enfoque coherente en la evaluación de la capacidad óptima de medida en los laboratorios acreditados en Colombia.

2. ALCANCE Esta guía establece reglas específicas para la evaluación y la expresión de la incertidumbre en la calibración de medidores y patrones de energía eléctrica, así como en

equipos para prueba de medidores (EPM) de energía eléctrica. Esta guía aplica para las calibraciones realizadas en un laboratorio y para aquellas realizadas en sitio siempre y cuando se tengan identificadas y cuantificadas las componentes de incertidumbre que intervienen en el proceso de medición.

3. CONCEPTOS GENERALES

3.1. Concepto de Tolerancia La tolerancia es un parámetro que no esta asociado a la medida, sino que está dado por uno o más de los siguientes aspectos: normas técnicas. especificaciones del fabricante de los equipos objeto

de prueba, especificaciones del cliente. especificaciones propias: establecidas con base en

la experiencia y en las necesidades de cada laboratorio en particular.

Es necesario definir la tolerancia puesto que no existe una medida sin error, lo cual quiere decir, que no es posible determinar el valor verdadero de una magnitud, sino que se determina el intervalo dentro del cual se encontraría el valor verdadero con un nivel de confianza establecido. Aunque la tolerancia se define como un intervalo, normalmente se expresa como un semi-intervalo (±). p.e. temperatura del ensayo: 24°C ± 1°C. Además, este intervalo no tiene por qué ser simétrico, sino que en algunas ocasiones se expresa como un límite superior, un límite inferior o como un intervalo asimétrico.

3.2. Concepto de Incertidumbre Según la norma GTC 51, Guía para la expresión de la incertidumbre en las mediciones (1997-11-26), Numeral

2.2.3, Incertidumbre (de la medición) es el parámetro asociado con el resultado de una medición que caracteriza la dispersión de los valores, que en forma razonable se le podría atribuir a una magnitud por medir. “La definición de incertidumbre de medición dada en el numeral 2.2.3 es una definición operacional que se enfoca en le resultado de la medición y su incertidumbre evaluada. Sin embargo, esta no es inconsistente con otros conceptos de incertidumbre de medición, tales como: - una medida del posible error en el valor estimado del

mensurando proporcionado por el resultado de una medición

- una estimación que caracteriza el intervalo de valores dentro de los cuales se halla el valor verdadero de un mensurando (VIM, 1ª edición, 1984, párrafo 3.09)

En esta guía se utilizarán otros términos relacionados con la incertidumbre, entre los que se destacan:

Calibración: Conjunto de operaciones que establecen, bajo condiciones específicas, la relación entre los valores de las magnitudes que indique un instrumento de medición o un sistema de medición, o valores representados por una medida materializada o por un material de referencia, y los


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valores correspondientes determinados por medio de los patrones. [NTC 2194, Numeral 6.11]

Deriva: Cambio lento de una característica metrológica de un instrumento de medición. [NTC 2194, Numeral 5.16]

Evaluación (de incertidumbre) Tipo A: Método para evaluar la incertidumbre mediante el análisis estadístico de una serie de observaciones [GTC 51, Numeral 2.3.2]

Evaluación (de incertidumbre) Tipo B: Método para evaluar la incertidumbre por otro medio que no sea el análisis estadístico de una serie de observaciones [GTC 51, Numeral 2.3.3]

Factor de cobertura: Factor numérico usado como multiplicador de la incertidumbre estándar combinada con el propósito de obtener una incertidumbre expandida. [GTC 51, Numeral 2.3.6]. Nota: El factor de cobertura, k, usualmente toma valores en el intervalo de 2 a 3.

Incertidumbre estándar: Incertidumbre del resultado de una medición expresada como una desviación estándar [GTC 51, Numeral 2.3.1]

Incertidumbre estándar combinada: Incertidumbre estándar del resultado de una combinación cuando el resultado se obtiene a partir de los valores de algunas otras magnitudes, igual a la raíz cuadrada positiva de una suma de términos, siendo estos términos las varianzas y covarianzas de estas otras magnitudes ponderadas de acuerdo como el resultado de la medición varía con respecto a cambios en estas magnitudes [GTC 51, Numeral 2.3.4]

Incertidumbre expandida: Cantidad que define un intervalo alrededor de una medición del que se puede esperar que abarque una fracción grande de la distribución de valores que razonablemente pudieran ser atribuidos al mensurando [GTC 51, Numeral 2.3.5] Notas: 1) La fracción puede considerarse como la

probabilidad de cobertura o el nivel de confianza del intervalo.

2) Asociar un nivel específico de confianza con el intervalo definido por la incertidumbre expandida, requiere de suposiciones explícitas o implícitas que tomen en consideración la distribución de probabilidad caracterizada por el resultado de la medición y su incertidumbre estándar combinada. El nivel de confianza que puede ser atribuido a este intervalo puede ser conocido únicamente hasta el punto en el cual tales suposiciones pueden justificarse.

3) A la incertidumbre expandida se le denomina incertidumbre total en el párrafo 5 de la recomendación INC-1 (1980).

Magnitud de salida: Es el resultado cuya incertidumbre se desea determinar. En el texto se ha representado como Y.

Magnitudes de entrada: Son las variables de las cuales depende la magnitud de salida. En el texto se han representado como Xi.

Magnitud de influencia [VIM 2.7]: Magnitud que no es el mensurando pero que afecta el resultado de una medición, [GTC 51, literal B.2.10].

Ejemplos:

a) Temperatura de un micrómetro usado para

medir longitud

b) Frecuencia de una medición de la amplitud

de una diferencia de potencial eléctrica

alterna

c) Concentración de bilirrubina en la medición

de la concentración de hemoglobina en una

muestra de plasma sanguíneo humano.

Comentario de la guía: se entiende que la

definición de magnitud de influencia incluye

valores asociados con: patrones de medición,

materiales de referencia, y datos de referencia de

los cuales puede depender el resultado de una

medición, incluye también fenómenos tales como

fluctuaciones a corto plazo en instrumentos de

medición, y magnitudes con temperatura

ambiente, presión barométrica y humedad.

Magnitud medible: Atributo a un fenómeno, cuerpo o sustancia que se puede distinguir en forma cualitativa y determinar en forma cuantitativa. [NTC 2194, Numeral 1.1] Notas: El término magnitud se puede referir a una magnitud en un sentido general o a una magnitud particular Ejemplos: a) Magnitudes en un sentido general: Longitud,

tiempo, masa, temperatura, resistencia eléctrica, concentración en cantidad de sustancia.

b) Magnitudes particulares: - Longitud de una varilla dada - Resistencia eléctrica de un espécimen dado de

alambre - Concentración en cantidad de sustancia de

etanol en una muestra dada de vino.

Medición: Conjunto de operaciones cuyo objeto es determinar el valor de una magnitud. [NTC 2194, Numeral 2.1].

Mensurando [VIM 2.6]: Magnitud particular sujeta a medición [GTC 51, literal B.2.9] Ejemplo: Presión de vapor de una muestra dada de agua a 20 ºC. Nota: La especificación de un mensurando puede necesitar información sobre magnitudes tales como tiempo, temperatura y presión.

Metrología: Ciencia de la medición. [NTC 2194, Numeral 2.2].

Sistema de medición: Conjunto completo de instrumentos de medición y otros dispositivos ensamblados para efectuar mediciones específicas [NTC 2194, Numeral 4.5]. Ejemplos a) Aparatos para medir la conductividad de

materiales semiconductores b) Aparatos para la calibración de termómetros

clínicos


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Notas 1) El sistema puede incluir medidas materializadas

y reactivos químicos 2) Un sistema de medición que esté instalado en

forma permanente se llama instalación de medición.

Trazabilidad: Propiedad del resultado de una medición o del valor de un patrón, en virtud de la cual ese resultado se puede relacionar con referencias estipuladas, generalmente patrones nacionales o internacionales, a través de una cadena ininterrumpida de comparaciones que tengan todas las incertidumbres determinadas. [NTC 2194, Numeral 6.10]

3.3. Concepto de capacidad óptima de medida

COM. La capacidad óptima de medida (referida siempre a una magnitud concreta, o al mensurando), se define como la incertidumbre de medida más pequeña que un laboratorio puede conseguir, dentro del alcance de su acreditación, cuando realiza calibraciones más o menos rutinarias de equipos o instrumentos de medida casi ideales (incertidumbre Tipo A=0). Es recomendable que la evaluación de la capacidad óptima de medida de los laboratorios de calibración acreditados se base en el método que se describe en este documento, pero normalmente tendrá que ser respaldada o confirmada por evidencias experimentales.

4. INCERTIDUMBRE DE MEDICIÓN

4.1. Necesidad del cálculo de incertidumbres Ya se ha indicado anteriormente, que la tolerancia es un parámetro que no va asociado a la medida, sino que viene dado por una norma o una especificación (interna o externa) y se ha establecido a priori. Cuando en el laboratorio se realizan mediciones, siempre están afectadas de un error (más concretamente de una incertidumbre) y se debe comprobar que la medida considerada con su incertidumbre correspondiente, cumple el requisito de tolerancia establecido previamente. Análisis de un caso a manera de ejemplo: En los requisitos de exactitud establecidos en la

norma técnica para un medidor de energía eléctrica clase 2, en un determinado punto de prueba, se exige que el error del medidor debe estar dentro de rango comprendido entre ± 2%.

El intervalo de ±2% es la tolerancia establecida; es decir, que el error no debe ser inferior a -2% ni

superior a +2% (es lo que se establece en la figura como L - T y L + T, siendo L el valor de referencia que para este ejemplo equivale a cero (L =0)).

Situaciones que se pueden presentar:

a) Situación 1 (X1) El valor de error obtenido con el equipo de prueba está fuera del intervalo de tolerancia definido: p.e. -2,3 %. Si en este resultado no se tuviese en cuenta la incertidumbre asociada a la medida (calculada según se establece más adelante), se diría que el RESULTADO NO CUMPLE. Ahora bien, esto no es correcto porque no se ha tenido en cuenta la incertidumbre de la medida. Si a este valor se le asocia la incertidumbre, que p.e. fuese de ±0,25 %; en este caso, el valor verdadero se encontraría entre -2,55% y -2,05% y este intervalo está completamente fuera del intervalo de tolerancia, con lo cual, el RESULTADO NO CUMPLIRÍA NUNCA.

b) Situación 2 (X2) El valor de error obtenido con el equipo de prueba esta dentro del intervalo de tolerancia definido: p.e. -1,8 %. Si en este resultado no tuviéramos en cuenta la incertidumbre asociada a la medida, en principio diríamos que el RESULTADO CUMPLE. Ahora bien, si a este resultado le asociamos la incertidumbre, que supongamos fuese de ±0,25%, el valor verdadero se encontraría entre -2,05 % y -1,55% con lo que este intervalo se traslapa en parte con el intervalo de tolerancia. Con base en esto, podríamos tomar tres decisiones: El RESULTADO CUMPLE aunque estaríamos aceptando valores que pudieran no cumplir. El RESULTADO NO CUMPLE con lo que estaríamos rechazando valores que pudieran cumplir. EL RESULTADO ES AMBIGÜO puesto que existe una zona de duda.

c) Situación 3 (X3) El valor de error obtenido con el equipo de prueba está dentro del intervalo de tolerancia definido: p.e. +0,45 %. Si en este resultado no tuviéramos en cuenta la incertidumbre asociada a la medida, en principio diríamos que el RESULTADO CUMPLE. Si ahora tenemos en cuenta la incertidumbre, p.e. ±0,25 %, el valor verdadero se encontraría entre +0,20 % y +0,70 %; y este intervalo se encuentra incluido dentro del intervalo de tolerancia, con lo cual diríamos que el RESULTADO CUMPLE SIEMPRE.

L-T L L+T

X1-U1 X1 X1+U1

L: VALOR DE REFERENCIA

T: TOLERANCIA

Xi : MEDICIÓN O VALOR ASIGNADO

Ui : INCERTIDUMBRE (ASOCIADA A Xi)

X2-U2 X2 X2+U2

X3-U3 X3 X3+U3

X4-U4 X4 X4+U4


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d) Situación 4 (X4) El valor de error obtenido con el equipo de prueba esta fuera del intervalo de tolerancia definido: p.e. +2,2 %. Si en este resultado no tuviéramos en cuenta la incertidumbre asociada a la medida, en principio diríamos que el RESULTADO NO CUMPLE. Ahora bien, si tenemos en cuenta la incertidumbre, p.e. ±0,25 %, el valor verdadero se encontraría entre +1,95 % y +2,45%; y este intervalo se traslapa parcialmente con el intervalo de tolerancia definido. Con base en este resultado podríamos tomar tres decisiones: El RESULTADO NO CUMPLE aunque estaríamos rechazando valores que pudieran cumplir. El RESULTADO CUMPLE aunque estaríamos aceptando valores que pudieran no cumplir. EL RESULTADO ES AMBIGÜO puesto que existe una zona de duda. La diferencia con la situación 2 es, que en este caso el valor de error obtenido en la medida está fuera de la zona de tolerancia. Por lo tanto, una vez realizado este análisis, tendríamos que establecer la zona de aceptación, la zona de duda y la zona de rechazo: La zona de aceptación se establece como un

intervalo cuyos límites se calculan de la siguiente forma:

límite superior de aceptación (Lsa): L + T – U (En nuestro ejemplo, Lsa = 0 % + 2 % - 0,25 % = +1,75 %)

límite inferior de aceptación (Lia): L – T + U (En nuestro ejemplo, Lia = 0 % - 2 % + 0,25 % = -1,75 %)

La zona de duda se establece como un intervalo cuyos límites se calculan de la siguiente forma:

para el punto L - T límite superior de duda (Lsd): L – T + U (En nuestro ejemplo, Lsd = 0 % - 2 % + 0,25 % = -1,75 %) límite inferior de duda (Lid): L – T – U (En nuestro ejemplo, Lid = 0 % - 2 % - 0,25 % = -2,25 %)

para el punto L + T límite superior de duda (Lsd): L + T + U (En nuestro ejemplo, Lsd = 0 % + 2 % + 0,25 % = +2,25 %) límite inferior de duda (Lid): L + T- U (En nuestro ejemplo, Lid = 0 % + 2 % - 0,25 % = +1,75 %)

La zona de rechazo se establece:

para el punto L- T: < L- T – U (En nuestro ejemplo, la zona de rechazo corresponde a valores menores que 0 % - 2 % - 0,25 %; es decir, valores menores que - 2,25 %)

para el punto L + T: > L + T + U (En nuestro ejemplo, la zona de rechazo corresponde a valores mayores que 0 % + 2 % + 0,25 %; es decir, valores mayores que + 2,25 %)

4.2. Expresión del resultado de medida Una medida está completa cuando contiene el valor atribuido al mensurando y a la incertidumbre de medida asociada a dicho valor. En el caso de una calibración, la incertidumbre caracteriza la dispersión de los valores que pueden atribuirse al mensurando (magnitud particular sujeta a medición, extraída del Vocabulario Internacional de Metrología 2.9). El resultado final de una medida se expresa por el mejor

estimador del valor verdadero del mensurando, X , y por el intervalo de incertidumbre para un factor de cubrimiento k, dado, mediante la expresión:

UX

Se interpreta diciendo que la mejor estimación del valor atribuible a un mensurando es su media, y que se espera

que el intervalo que va desde X - U a X + U abarque una fracción importante de los valores que razonablemente pueden ser atribuidos al mensurando.

X es el valor medio de la serie de determinaciones del resultado realizadas a partir de las mejores estimaciones

del valor verdadero de las variables: iXX donde

iX es la media de la serie de medidas de X realizadas

para determinar cada resultado: si únicamente se hace una medida, esa medida

sería iX

si se realizan varias medidas, iX sería el valor

medio de las Xi si se hacen varias medidas y se tienen que

relacionar con otras condiciones, iX es el valor referido a esas condiciones.

NOTA Como ya se ha indicado, la incertidumbre de una medida se expresa con un factor k denominado factor de cubrimiento, el cual debe indicarse, para conocer cuál es el nivel de confianza. Este k se elige con base en el nivel

de confianza requerido para el intervalo UX .

Si el resultado de una medida sigue una distribución normal, se caracteriza por ser una curva simétrica con su ordenada máxima en el centro y que disminuye hacia cero a medida que los valores se alejan de ese valor central. Se aclara que la distribución normal es un modelo teórico que en la práctica no existe, puesto que

admite valores de - hasta + . Una característica importante de una población es su valor medio, y un parámetro indica la dispersión de los

valores con respecto al valor medio es la varianza, V, o

la desviación estándar, , que es la raíz cuadrada de la varianza (y posee las mismas unidades que las observaciones iniciales).

En una distribución normal la desviación estándar, , mide la distancia de su media al punto de inflexión de la curva, siendo el punto de inflexión aquel en el cual la pendiente deja de crecer y empieza a disminuir o viceversa. Además en esta distribución se cumple:


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En el intervalo x

, se encuentran el 68,27% de los valores de la distribución, o la probabilidad de que un determinado valor se encuentre en ese intervalo es del 68,27%.

En el intervalo 2x , se encuentran el 95,45% de

los valores de la distribución, o la probabilidad de que un determinado valor se encuentre en ese intervalo es del 95,45%.

En el intervalo 3x , se encuentran el 99,73% de

los valores de la distribución, o la probabilidad de que un determinado valor se encuentre dentro de ese intervalo es del 99,73%. La hipótesis de una distribución normal no siempre puede confirmarse experimentalmente con facilidad. Sin embargo, se puede considerar que la distribución de la magnitud de salida se aproxima a una normal aplicando el Teorema Central del Límite. En este Teorema se establece que la distribución de la magnitud de salida será aproximadamente normal, si las magnitudes de entrada son independientes (sea cual sea su distribución, p.e. normal, rectangular, triangular, trapezoidal, etc.) y la varianza de la magnitud de salida es mucho más grande que cualquier componente de una magnitud de entrada cuya distribución no sea normal. Como la incertidumbre es una estimación de la dispersión de los valores con respecto al valor medio, es necesario expresarla con un determinado nivel de confianza (relacionado con el factor de cubrimiento, k), lo cual establece la probabilidad de que el valor verdadero del mensurando se encuentre dentro del intervalo de incertidumbre definido. Con base en la suposición anterior del Teorema Central del Límite, si se establece que la distribución que sigue es una normal, puede suponerse que la elección de un factor k=2 proporciona un intervalo con un nivel de confianza en torno al 95%, y que la elección de k=3 proporciona un intervalo con un nivel de confianza en torno al 99%. Ahora bien, el factor de cubrimiento depende de la fiabilidad de la incertidumbre estándar combinada asociada a la estimación de la magnitud de salida, la

cual se determina a partir de los grados efectivos de libertad. La forma de calcular los grados efectivos de libertad se describe en el numeral 4.5.2.

4.3. Clasificación de componentes La incertidumbre del resultado de una medida refleja la falta de conocimiento exacto del valor verdadero del mensurando. En la práctica existen muchas fuentes posibles de incertidumbre en una medida, entre las que se encuentran: Las debidas a la serie de mediciones: variaciones en

observaciones repetidas bajo condiciones aparentemente iguales.

Las declaradas en el certificado de calibración del equipo de prueba utilizado para realizar las medidas: en el certificado de calibración de dicho equipo, se establecen las correcciones y las incertidumbres asociadas a ellas, para un valor de k determinado, en las condiciones de calibración.

Las debidas a las características del equipo de prueba utilizado para realizar las medidas tales como:

- deriva

- resolución

- magnitudes de influencia (según el VIM, magnitud de influencia es aquella magnitud no objeto de la medida pero que influye sobre el valor del mensurando y sobre las indicaciones del equipo de medida, p.e. temperatura).

Otras:

- Método: por ejemplo, variaciones en la carga durante la medición de energía por el método potencia tiempo, etc.

- El observador: por ejemplo, errores de apreciación en la toma de datos.

- Tablas: por ejemplo las constantes La incertidumbre de un resultado de medida comprende, normalmente, muchas componentes que pueden ser agrupadas en 2 categorías en función del método utilizado para estimar su valor numérico:

4.3.1. Incertidumbres Tipo A: Se estiman aplicando métodos estadísticos a una serie de observaciones repetidas.

4.3.2. Incertidumbres Tipo B: Se estiman por otros medios y con base en: datos de mediciones anteriores, experiencia en el conocimiento general de las

características, comportamiento y propiedades de los instrumentos,

especificaciones de los fabricantes, datos obtenidos de los certificados de calibración o

de otro tipo de certificados, incertidumbres asociadas a datos de referencia

tomados de manuales.

Toda descripción detallada de la incertidumbre debería comprender una lista completa de sus componentes e indicar, para cada una, el método que se ha utilizado para cuantificarla.

X

X

X - 3

U = k u(y) (k= )

68,27

%

95,45 % 99,73 %

X - 2 X - 1 X + 1 X + 2 X + 3


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El propósito de la clasificación como incertidumbres Tipo A e incertidumbres Tipo B, es indicar que existen dos maneras de evaluar componentes o contribuciones de incertidumbre. Esta clasificación no significa diferencia alguna en la naturaleza de las componentes que resultan de cada uno de los dos tipos de evaluación. Ambos tipos están basados en distribuciones de probabilidad y las componentes o contribuciones de incertidumbre son cuantificadas por varianzas y desviaciones estándar.

4.3.3. Evaluación de la incertidumbre Tipo A En la mayoría de los casos, la mejor estimación disponible del valor esperado de una magnitud Xi , de la cual se han obtenido n observaciones, bajo las mismas condiciones de medición, es la media aritmética de las n

observaciones ( x ).

Las observaciones individuales (x1 , x2, ..., xn) difieren del valor medio y un estimador de la dispersión de los valores alrededor de este valor medio, es la desviación estándar experimental (s) que viene dada por la expresión:

11

2

n

xx

s

n

i

i

Un mejor estimador de esta variabilidad (cuando el resultado que se emplea es una media), es la desviación estándar experimental de la media s’, que viene dada por la expresión:

n

ss

'

Si el valor del mensurando se determina a partir de n observaciones independientes y el resultado se expresa

como x .

La incertidumbre asociada a esta estimación es:

)x(s)X(u'

i

NOTA. Si el número de mediciones n es pequeño (n≤10), la evaluación de la incertidumbre Tipo A expresada por la ecuación anterior puede no ser fiable. Si no se puede aumentar el número de observaciones deberían calcularse los grados efectivos de libertad (n-1), y encontrar el factor de t-student para un Nivel de Confianza del 68,27 %, con lo cual llevamos la distribución a una Distribución Normal; es decir:

n

ss '

4.3.4. Evaluación de la incertidumbre Tipo B Ya se ha comentado anteriormente que las contribuciones de incertidumbre Tipo B son estimadas mediante otros medios, y se caracterizan por unos términos u

2 (xi) que pueden ser considerados como unas

aproximaciones de las varianzas correspondientes. Estas u

2 (xi) (varianza estimada asociada) o u (xi)

(desviación estándar estimada asociada) son evaluadas

mediante juicios basados en toda la información disponible anteriormente definida. Hay que indicar que una evaluación de las contribuciones de incertidumbre Tipo B pueden ser tan fiables como las contribuciones de incertidumbre Tipo A, especialmente en aquellos casos en los que las incertidumbres Tipo A se han determinado con base en un número pequeño de observaciones estadísticamente independientes. Lo que hay que conocer es la distribución estadística que siguen estas contribuciones y para ello se pueden plantear los siguientes casos: a) La estimación xi se toma de una especificación del fabricante, de un certificado de calibración, de un manual de instrucciones, etc., y su incertidumbre asignada se establece como un múltiplo particular de una desviación estándar. En este caso, la incertidumbre asociada u (xi) es simplemente el valor asignado dividido por el multiplicador. Ejemplo: en el certificado de calibración de un equipo de prueba de medidores de energía, se establece, para un punto de prueba determinado, una incertidumbre de 0,030 % con k=2. La contribución asociada sería: u(xi) = 0,030%/2 = 0,015% b) La incertidumbre asignada a xi, no viene dada como un múltiplo de una desviación estándar, sino que define un intervalo con un determinado nivel de confianza. A menos que se indique otra cosa, se puede considerar que se usó para su determinación una distribución normal y recuperar la incertidumbre de xi, dividiendo la incertidumbre asignada por el factor apropiado para la distribución normal (éste puede ser 1, 2 o 3 en función del nivel de confianza que se haya decidido). Ejemplo: en el certificado de calibración de un equipo de prueba de medidores, se declara, para un punto de prueba determinado, un valor de error de +1,8% ± 0,15

%, y que la incertidumbre asignada define un intervalo de confianza del 99,73%. En esta caso, la contribución a la incertidumbre se consideraría 0,15/3 (en una distribución

normal el intervalo ( x ± 3) comprende alrededor del

99,73% de los valores de la distribución). c) Con la información disponible, es posible establecer que la probabilidad de que el valor de xi caiga dentro de un intervalo (-a, +a), es del 99,73%. Si podemos suponer que la distribución de los posibles valores de xi es aproximadamente normal, el mejor estimador es el punto medio del intervalo, es decir:

2)(

aaix

Como contribución a la incertidumbre se considera la semi-amplitud del intervalo dividido por 3, es decir:

3

a)x(u i

Si en una distribución normal con valor esperado x y

desviación estándar , el intervalo ( x ± 3) comprende

alrededor del 99,73% de los valores de la distribución. d) En otros casos, únicamente pueden estimarse límites (superior e inferior) y se puede establecer que la probabilidad de que el valor de xi esté dentro del


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intervalo (-a, +a) es igual a 1 y la probabilidad de que caiga fuera de ese intervalo es prácticamente 0, y, además, el mejor estimador es el punto medio del intervalo.

Si no existe un conocimiento específico acerca de los posibles valores de xi dentro del intervalo, se puede definir que es igualmente probable que tome cualquier valor dentro del intervalo (distribución rectangular) y el mejor estimador es el punto medio del intervalo (a- + a+)/2. Como contribución a la incertidumbre se considera la

semi-amplitud del intervalo dividido por 3, es decir:

3

a)x(u i

En una distribución rectangular con valor esperado x y

desviación estándar , el intervalo ( x ± 3) comprende

alrededor del 100% de los valores de la distribución. e) Un caso particular respecto al literal d) anterior, es si el mejor estimador no es el valor medio del intervalo, con lo cual los límites (superior e inferior) no son simétricos y, por lo tanto, la distribución de probabilidad no es uniforme en todo e intervalo. En este caso, como contribución a la incertidumbre se considerará:

32

aa)x(u i

Es importante no contar dos veces las componentes de la incertidumbre: si una componente de incertidumbre se ha estimado como de Tipo B, ésta debería incluirse como una componente en el cálculo de la incertidumbre expandida final, si su efecto no se hubiera considerado al estimar las contribuciones de incertidumbre Tipo A.

4.4. Causas de incertidumbre A continuación se propone una forma de estimar las diferentes contribuciones a la incertidumbre en función de la información disponible habitualmente

4.4.1. Certificado de calibración del equipo de

prueba

En el certificado de calibración se establecen las correcciones y las incertidumbres asociadas a ellas, para un factor de cubrimiento (k) determinado, en las condiciones de calibración. Cuando se realicen correcciones, la desviación estándar asociada, se calculará como el intervalo de incertidumbre expandida dada en el certificado de calibración (Ucal), dividido por el factor de cubrimiento asociado (kcal).

cal

cal

Ck

Uu

Si no se realizan correcciones, la contribución a la incertidumbre se calculará según se ha indicado anteriormente, y se calculará así la U asociada al resultado de la medición, y al calcular el intervalo de incertidumbre se sumarán a ± k·U todas las correcciones que no se hayan hecho, o un límite máximo de esta suma (si se hiciese la suma algebraica de las

correcciones reales a realizar, no tendría sentido considerarla como incertidumbre (y poner ±) sino que lo más acertado sería hacer dicha corrección).

4.4.2. Deriva Inicialmente, cuando todavía se desconoce ésta, se puede sustituir por la exactitud del instrumento de medida ("accuracy", clase, etc.), que viene dada por el fabricante, en algunos casos, como deriva en un período, y se interpreta como la máxima variación de sus características de medida a lo largo de un tiempo por todas las causas no especificadas de otra forma. Por su carácter de límite, la desviación estándar asociada se

calculará como la exactitud dividida por 3.

3

exactituduD

Cuando se tiene suficiente historia de calibraciones del equipo, el cálculo anterior se sustituye por la verdadera deriva, que se puede estimar utilizando el criterio de máxima deriva histórica entre dos certificados de

calibración consecutivos, dividida por 3. En función de la tendencia puede establecerse una deriva entre años, que se puede sustituir por la máxima deriva histórica. La deriva de un instrumento o medida materializada entre dos calibraciones se estima, para un valor dado, como la diferencia entre la corrección en la calibración n menos la corrección en la calibración n-1, en valor absoluto. La contribución a la incertidumbre se estimaría:

3

CCu

max1nn

D

NOTA Cn y Cn-1 deben restarse algebraicamente (teniendo en cuenta su signo), antes de considerarse el valor absoluto de esta diferencia. Si los datos de las calibraciones fuesen de varios laboratorios o las incertidumbres fuesen dispares entre dichas calibraciones, para estimar un límite máximo de la deriva, podría ser conveniente considerar dichas incertidumbres y, la contribución a la incertidumbre sería:

3

UUCCu

)1n(n)1n(n

D

Donde: Cn = es la corrección del certificado de calibración n. C(n-1) = es la corrección del certificado de calibración n-1 Un = es a la incertidumbre expandida del certificado de calibración n U(n-1) = es la incertidumbre expandida del certificado de calibración n-1 NOTA

En el caso de calibraciones diarias, la deriva se estimaría como deriva en el período de validez de la calibración (p.e. 1 día) y se estimaría a partir de la máxima diferencia, normalmente medida sobre un patrón o


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muestra estable en ese período, entre valores obtenidos

sobre dicha referencia en ese período, dividida por 3.

4.4.3. Temperatura Suele influir sobre el equipo de medida. Si no viene expresamente definida por el fabricante, ni se conoce o espera algún tipo de influencia, no se considera como contribución, siempre que se trabaje dentro de los márgenes de temperatura para los que esté garantizado. En caso que el fabricante la defina como una contribución a la incertidumbre, se considerará como un límite máximo, salvo que se especifique de otra forma, y

por tanto se dividirá por 3.

3

máximo límite

Tu

NOTA En muchos casos, el fabricante suministra un coeficiente máximo de variación de la sensibilidad con la temperatura. En este caso el límite máximo se estimaría:

Límite máximo = CT · T · X Donde: CT es el coeficiente de variación con la temperatura expresado en tanto por uno, y en ºC

-1

T es la máxima diferencia de temperatura entre la calibración del equipo y el momento en que se realiza la medida (o dentro de la calibración para el equipo que se está calibrando en su caso) X es el valor medido por el instrumento de la magnitud de entrada. Si el fabricante define esta influencia como una corrección, ésta se hará, y se considerará como contribución a la incertidumbre, la máxima desviación incluyendo la incertidumbre de ésta en el tiempo en que se realiza la calibración. NOTA En este caso se podría calcular también la incertidumbre, si se quiere realizar un cálculo más exacto, aplicando la ley de propagación de las incertidumbres a la expresión de la corrección. En el caso en que se decidiese no hacer la corrección correspondiente se considerará ésta, como una contribución más a la incertidumbre, y para su composición se tendrán en cuenta los criterios expresados para el certificado de calibración cuando no se realiza corrección.

4.4.4. Inestabilidad de la medida

Viene dada por la inestabilidad de la fuente de la magnitud a medir y la propia del equipo de medida. Se manifiesta en una variación de la lectura del instrumento (sobre todo en equipos que llevan asociado un indicador eléctrico o electrónico). Se recomienda, se estime esta contribución a la incertidumbre determinando los valores máximo y mínimo del intervalo de variación y considerando como valor medido, el punto medio de este intervalo y como desviación estándar asociada, el semi-intervalo

determinado dividido por 3.

3

mínimovalormediovalor

o3

mediovalormáximovaloruI

Esta contribución se incluirá cuando no se hayan tomado una serie de medidas y por tanto no se haya considerado contribución de incertidumbre Tipo A (debida a la misma causa). Esta contribución no se incluirá cuando se haya considerado como contribución a la incertidumbre la repetibilidad del equipo de medida o si se ha considerado la deriva a corto plazo. Esta contribución sustituirá a la estabilidad a corto plazo, que pudiese indicar el fabricante.

4.4.5. Método de medida Puede introducir contribuciones a la incertidumbre, como por ejemplo: En la medida de una resistencia con un amperímetro

y un voltímetro (conexión "larga" o "corta"): se introduce un error de método debido a la resistencia interna del amperímetro (distinta de cero) en la conexión larga o a la resistencia/impedancia interna del voltímetro (distinta de infinito) en la conexión larga.

La variación que sufre la densidad del agua en función de la temperatura, al medir volúmenes por métodos másicos.

Cuando se mide, p.e., una carga de rotura si el eje de la probeta no está alineado con el eje en el que mide la célula de carga de la máquina de ensayo.

La variación del punto geográfico en el que se calibró el equipo o donde se realizó la medida, al determinar masas por medio de sistemas dinamométricos.

Puede considerarse como contribución a la incertidumbre directamente (y estimar un límite máximo y

dividir por 3) o calcular la corrección a realizar y la incertidumbre asociada a ésta.

3

maximolímiteuM

Estabilidad a corto plazo o repetibilidad del

instrumento de medida Es un dato que a veces facilita el fabricante. La desviación estándar asociada se considera como el valor

dado por el fabricante dividido por 3, si el fabricante indicaba que era un límite máximo, o directamente el dato de repetibilidad, si el fabricante indicaba que era una desviación estándar (típica) (s).

CERTIFICADOS

DE CALIBRACIÓN

INCERTIDUMBRE CALIBRACIÓN

CORRECIÓN NO REALIZADA

CARACTERÍSTICAS

DE LOS EQUIPOS

DERIVA

MAGNITUDES DE INFLUENCIA

RESOLUCIÓN

ETC.

SERIES DE MEDICIONES

OTROS: - METODO - TABLAS

- ETC.

INCERTIDUMBRE DE MEDIDA


ENERGÍA ELÉCTRICA

9 de 15

3

máximolímite ur

o sur

Puede ser debida al equipo de medida o a la fuente generadora. En general, salvo que se pudiese considerar que la causa es diferente no debe ser considerada cuando se repitan medidas o se estime la variabilidad de éstas, pues la incluirían. También puede estimarse a partir del certificado de calibración si en éste se estimó la repetibilidad, o a partir de pruebas específicas realizadas. En este caso la contribución a la incertidumbre se estimaría:

n

sur

Donde: s: la desviación estándar (típica) de la serie de medidas realizadas en la calibración del equipo. n: es el número de medidas que se realizan en el ensayo (si s se ha determinado a partir de un número suficiente de medidas).

4.4.6. Criterio de medida Es la contribución que se introduce en función del criterio de medida que se utiliza. En equipos analógicos si se da como valor la división más cercana, el máximo error que se puede cometer debido a este criterio (que también podría incluir en este caso la resolución y el operador) sería 1/2 división y, por lo tanto, la contribución sería:

3

2/1 divisiónuCM

Sin embargo si el criterio de medida fuese dar la división más cercana, o el punto medio entre éstas, si fuese más cercano, el máximo error sería 1/4 de división y por tanto la contribución sería:

3

división4/1uCM

En equipos digitales el criterio de medida interviene cuando se produce algún tipo de inestabilidad, en cuyo caso podría hacer que la contribución debida a ésta variase. P.e. si ante una inestabilidad se toma como valor el punto medio entre el límite mínimo y máximo, la contribución a considerar será, como ya se ha indicado:

3

mínimovalormediovalor

o3

mediovalormáximovaloruCM

Sin embargo, si en lugar del valor medio se tomase el valor mínimo o el máximo, la contribución a considerar sería:

3

mínimovalormáximovaloruCM

El criterio de medida debiera establecerse para cada método y equipo o como criterio general en un documento.

4.4.7. Operador

Es especialmente significativa, en equipos analógicos por lo que se aconseja en ellos hacer coincidir las lecturas con valores de la división de escala, en cuanto sea posible. Se puede estimar para estos equipos en 1/2 o 1/4 de la división de escala, o bien haciendo un diseño para conocerla y estimarla como una contribución de tipo

A, es decir, como s/n. En equipos analógicos no se incluirá cuando se haya incluido como contribución el criterio de medida o cuando se haya incluido la de repetibilidad del equipo de medida o la de reproducibilidad. En equipos digitales, en general, no existe (salvo lo indicado para inestabilidad en criterio de medida).

4.4.8. Resolución En los equipos digitales se considera como una unidad del dígito menos significativo. Su contribución será:

32

resoluciónuR

En equipos analógicos puede estar considerada, en general, en la del operador y criterio de medida, relacionada con su apreciación de la división de escala.

4.4.9. Redondeo Siempre que se realiza un redondeo se introduce una contribución a la incertidumbre igual al máximo valor del redondeo que se puede hacer, en función del criterio que

se haya definido, dividido por 3

3

máximolímiteuRE

Si es un redondeo del resultado final se debiera aumentar la incertidumbre, con k=2, en el máximo error de redondeo admisible.

a) Representatividad de una muestra Cuando un ensayo se realiza sobre una muestra y el resultado obtenido sobre dicha muestra se utiliza para asignar un valor a un lote, se introduce una contribución a la incertidumbre debido a la falta de representatividad de dicha muestra. Para estimar esta contribución, el ensayo se deberá realizar en un número significativo de muestras extraídas del lote y se calculará de dispersión de los valores obtenidos. Como contribución a la incertidumbre tendremos:

suFR

4.4.10. Reproducibilidad


ENERGÍA ELÉCTRICA

10 de 15

Es una contribución que, si se ha calculado correctamente con un conjunto de repeticiones representativas (en un tiempo largo, con muchos operadores, todos los equipos posibles, variaciones de condiciones, etc.) incluye el efecto conjunto de otras muchas contribuciones que se han relacionado anteriormente: En general todas aquellas que son fruto de variaciones (p.e. inestabilidad, repetibilidad, derivas, variaciones de magnitudes de influencia, operador o criterio de medida en algunos casos - p.e. cuando no es sesgado -, etc.) sin embargo no considera aquellas contribuciones que de alguna forma son fijas de partida (p.e. las que vienen de certificados de calibración de patrones/materiales de referencia certificados o de equipos) o que dependan de la falta de homogeneidad de la propia muestra. Esta contribución se estimará como la desviación estándar (típica) experimental (de reproducibilidad) de la serie de valores a partir de los cuales se calcula, si la media de las desviaciones es cero:

RR su

o, en general como la media de los valores más 3 veces la desviación estándar (típica) obtenida y dividida todo

por 3.

3

s3xuR

En general no se considera conveniente incluir esta contribución ya que no se suele disponer de un valor realmente representativo y, por otra parte siempre es conveniente, pues facilita más información y conocimiento del método, realizar análisis de todas las contribuciones que influyen cuantificándolas. No obstante, hay casos, p.e. en análisis químicos, en los que en algún caso hay etapas cuya contribución "no se puede" estimar adecuadamente, en los que puede ser una forma adecuada de realizar un cálculo razonable de la incertidumbre. Cuando se utilice como contribución será necesario revisar el análisis hecho con anterioridad y eliminar aquellas contribuciones que se consideren incluidas en la reproducibilidad. En cualquier caso, siempre que se disponga de un valor de reproducibilidad, este se puede utilizar como un control de cálculo de incertidumbres realizado: el valor de la reproducibilidad, estimada como se ha indicado antes, debiera ser menor que la incertidumbre calculada detalladamente como se ha indicado en este documento. En caso contrario sería conveniente revisar los cálculos e hipótesis utilizados y, en caso de no identificar la causa y corregirla en su caso, introducir esta contribución y actuar según se ha indicado en los párrafos anteriores.

4.4.11. Otras contribuciones Que específicamente defina el fabricante del equipo de medida (humedad, ruido, no linealidad, etc.), la experiencia, etc. Una contribución de este tipo sería la que se tiene cuando se mide la masa de una muestra de densidad

M con una balanza que ha sido calibrada con unas

masas de densidad P . A esta contribución se la puede

denominar como del empuje, uEMP, ya que es debida a la

diferencia que se produce en la determinación de la masa debida al diferente empuje del aire sobre la masa patrón y sobre la muestra:

3

11M

uPM

A

EMP

Siendo A la máxima densidad del aire en el lugar

donde se encuentra la balanza, M la indicación de esta, y

M y P las densidades respectivamente de la

muestra que se está midiendo y de la masa patrón con que se calibró la balanza. Otra contribución que hay que considerar a veces en medidas de masa es la debida a la excentricidad de la balanza o báscula. Se define el error de excentricidad, EXC, como la máxima diferencia en valor absoluto de indicación de la balanza, para una masa dada, por el hecho de situar esta masa en distintos puntos del plato de la balanza o báscula. El valor de esta contribución será suponiendo distribución rectangular:

3

indicaciónde diferenciamáxima uEXC

NOTA Todas las contribuciones deberán tener las mismas unidades que la estimación de la magnitud de entrada con la que están relacionadas.

4.5. Método del cálculo de incertidumbres

4.5.1. Metodología general del cálculo de

Incertidumbres

En la mayoría de los casos, el mensurando Y no se mide directamente, sino que se determina a partir de otras magnitudes X1, X2, ....,XN, mediante una relación funcional f:

Y= f (X1, X2, ...XN) (1) Donde: Y: es la magnitud de salida, esto es, el resultado cuya incertidumbre se desea determinar. El valor estimado de Y, se representa como y. Xi: son las magnitudes de entrada, esto es las variables de las cuales depende la magnitud de salida Y – entre las que se encuentran los valores que se miden y estiman -. El valor estimado de la magnitud de entrada Xi se representa como xi. NOTA En el cálculo de incertidumbres se incluyen además, como magnitudes de entrada todas aquellas variables que pueden afectar al resultado final y. En general se incluyen como correcciones aditivas al resultado (aparecerían como un término aditivo dentro de la expresión f), ó correcciones a alguna de las magnitudes de entrada (la magnitud xi sería a su vez la suma de un conjunto de magnitudes, por ejemplo xi1 + ...+ xiM) La metodología para el cálculo de la incertidumbre es la Ley de propagación de las incertidumbres, que se recomienda generalmente en los documentos internacionales existentes sobre el asunto. Su expresión es:


ENERGÍA ELÉCTRICA

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)x,x(ucc2)x(uc)y(u jij

N

1i

1N

1i

N

1ij

ii

22

i

2

Donde: u(y) es la incertidumbre estándar (típica) combinada asociada a la magnitud de salida, cuya estimación es y, que se obtiene a partir de la expresión que relaciona la magnitud de salida con las estimaciones de las magnitudes de entrada y= f (x1,x2,...xN)

ixi

iX

Yc

es el coeficiente de sensibilidad con

respecto a la magnitud de entrada Xi y se obtiene particularizando esta expresión para los valores de xi aplicables a la medida o resultado cuya incertidumbre se está calculando.

)x,x(r)x(u)x(u)x,x(u jijiji es la

covarianza estimada asociada a las estimaciones de las magnitudes de entrada xi y xj

Siendo u(xi ) y u(xj ) las incertidumbres típicas asociadas a las estimaciones de las magnitudes de entrada xi y xj, y r es el coeficiente de correlación entre ambas, que siempre se encuentra entre -1 y +1. NOTA Si Y es de la forma Y = X1+X2+XN y las magnitudes de entrada no están correlacionadas, la ecuación de la incertidumbre estándar (típica) combinada se puede expresar:

N

1i

i

22)x(u)y(u

Esta es la expresión aplicable, en general al cálculo de la incertidumbre estándar (típica) combinada asociada a una medida realizada con un instrumento, siendo u(xi) las incertidumbres típicas asociadas a cada una de sus contribuciones a la incertidumbre asociadas a correcciones aditivas, que en general tiene el valor esperado nulo. NOTA

Si Y es de la forma N21 p

N

p

2

p

1 X·.....X·XcY y los

exponentes pi son números conocidos, positivos o negativos de incertidumbres despreciables, y las magnitudes de entrada no están correlacionadas, la ecuación de la incertidumbre estándar (típica) combinada se puede expresar de la siguiente forma:

N

1i

2

i

ii

2

x

)x(u·p

y

)y(u

La expresión general permite expresar la incertidumbre estándar (típica) combinada asociada al resultado que se obtiene, u(y), en función de la incertidumbre estándar (típica) asociada a cada una de las estimaciones de las magnitudes de entrada que influyen en dicho resultado. Para cada una de estas estimaciones de las magnitudes de entrada su incertidumbre estándar (típica) podrá tener contribuciones como las siguientes:

Tipo A asociada a la repetición de medidas sobre el mismo mensurando, a la dispersión de valores por falta de homogeneidad (p.e. en el bulto, en el lote, en la corriente, etc.), etc.

Calibración del equipo/s de medida. Corrección no realizada a partir del certificado o de

la curva de calibración. Magnitudes de influencia sobre el equipo/s y sobre

el mensurando (tiempo, temperatura, etc.). Características de los equipos de medida

(características técnicas –resolución, coeficientes de sensibilidad, etc.-, historia, etc.).

En el numeral 4.4 se incluye la metodología de evaluación de cada una de estas contribuciones, indicando las fuentes de información que se deberán utilizar para su evaluación.

4.5.2. Procedimiento general paso a paso para el

cálculo de la incertidumbre El procedimiento de actuación para el cálculo de incertidumbres será, en general, el siguiente: Expresar la magnitud de salida, Y, en función de las magnitudes de entrada.

Y = f (X1, …, XN) Aplicar la ley de propagación de las incertidumbres a

la expresión anterior. NOTA En el caso de que alguna de las magnitudes de entrada a su vez sea función de otras, se volvería a aplicar a ésta el proceso recogido en este numeral. Estimar cada contribución a la incertidumbre de

acuerdo con lo indicado en el numeral 4.4. Estimar u (y) a partir de los valores calculados para

cada una de las contribuciones que influyen en ella. Calcular el número de grados de libertad efectivos a

partir de la fórmula de Welch-Satterhwaite:

N

1i i

4

x

4

ef)y(u

)y(u

i

Donde:

)y(uix (i = 1, 2, …, N) son los productos ci .

u(xi ) y

i son los grados efectivos de libertad de la contribución a la incertidumbre estándar (típica)

)y(uix .

Para una incertidumbre estándar (típica) ui (y) obtenida de una evaluación Tipo A los grados de libertad serán,

normalmente, i = n – 1. Para una incertidumbre estándar (típica) ui (y) obtenida de una evaluación Tipo B –que no sea Tipo A - los grados de libertad serán los indicados por los datos de partida (p.e. a partir del certificado de calibración) o, si la estimación se ha realizado a partir de un límite máximo

elegido con criterio conservador, se considerará i = .

A partir del número de grados de libertad efectivos, ef, se obtendrá el factor de cubrimiento k de la siguiente tabla:


ENERGÍA ELÉCTRICA

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Tabla 1 – Factores de cubrimiento k para diferentes

grados efectivos de libertad, ef.

ef 1 2 3 4 5 6 7 8 10 20 50

ef 1 2 3 4 5 6 7 8 10 20 50

Se calculará la incertidumbre expandida U

multiplicando la incertidumbre estándar (típica) u(y) asociada a la estimación de salida, por el factor de cubrimiento k determinado

U = k . u (y) NOTA En caso tal que para alguna de las magnitudes de entrada no se haya realizado alguna corrección conocida (p.e. en función de su certificado de calibración), el valor de la incertidumbre final se calculará:

U = k . u (y) + bmáx Siendo bmáx un límite máximo de la corrección no realizada sobre y, que se estimaría como la máxima diferencia en valor absoluto entre el valor de y tomando los valores corregidos de todas las estimaciones de entrada xi y el valor de y tomando los valores de xi a partir de los cuales se ha calculado la estimación de la magnitud de salida y. bmáx debe tener las mismas unidades que la estimación de la magnitud de salida y. El resultado de la medición, indicando el estimado y el mensurando, se expresará con la incertidumbre final (que corresponde a la incertidumbre expandida en la que se han incluido las correcciones no realizadas) y el factor de cubrimiento k, que corresponde con una probabilidad de 95,45%. NOTA En caso de que la expresión (1) no fuese aplicable, el método a seguir sería el mismo, añadiendo a ésta los términos adicionales indicados en la Nota 12, o el siguiente: a) Expresar la magnitud de salida, Y, en función de las magnitudes de entrada Y = f (X1, …, XN) b) Calcular la incertidumbre asociada a cada una

de las estimaciones de las magnitudes de entrada xi , aplicando el método indicado anteriormente si es una magnitud compleja (en la que influyen varias contribuciones) o de acuerdo con lo establecido en el numeral 4.4 y en los pasos del método anterior, si es una contribución de las recogidas en éste.

Se obtendrán los valores xi U(xi) para una probabilidad del 95,45%. Realizar una simulación para obtener el intervalo de

valores y U(y) dando valores a las distintas magnitudes de entrada xi dentro del rango de valores determinado

para ellas xi U(xi ).

5. CÁLCULO DE LA INCERTIDUMBRE EN LA

CALIBRACIÓN DE EQUIPOS DE MEDICIÓN DE

ENERGÍA ELÉCTRICA Para los ensayos que se realizan en las instalaciones de un laboratorio con equipo de prueba de medidores (EPM), las componentes a considerar en la estimación de la incertidumbre en la medida son las que se indican a continuación.

5.1. Componentes (Causas) de la incertidumbre Las componentes a considerar para la estimación de la incertidumbre en la medición de energía eléctrica son las siguientes:

5.1.1. Componentes de incertidumbre Tipo A. Repetibilidad en los resultados de la medición

5.1.2. Componentes de incertidumbre Tipo B. A continuación se describen las consideraciones sobre cada una de las componentes de la incertidumbre de tipo B, para el caso específico de la calibración de medidores de energía y EPM.

Exactitud del EPM, que puede ser obtenida a partir del certificado de calibración del equipo de prueba de medidores o de las especificaciones de exactitud de cada uno de los componentes del EPM (Patrón, transformadores asociados al patrón, transformadores de aislamiento, etc) las cuales, normalmente son dadas por el fabricante.

Deriva: .Depende de los cambios metrológicos que ha sufrido el EPM en las diferentes calibraciones, o planes de aseguramiento metrológico, siempre y cuando se mantenga el mismo equipo de referencia, en caso contrario, se debe realizar las correcciones necesarios de los resultados de calibración.

Las magnitudes de influencia (temperatura, humedad relativa, presión atmosférica, vibraciones, campos magnéticos externos) Esta componente, sólo debe ser considerada cuando las calibraciones se realicen bajo condiciones que se encuentren por fuera de los valores y tolerancias establecidos en la respectiva norma técnica del medidor objeto de prueba.

Inestabilidad de la medida. Depende de la fuente de alimentación del equipo (tensión, corriente, forma de onda, frecuencia). Esta componente, sólo debe ser considerada cuando las calibraciones se realicen bajo condiciones que se encuentren por fuera de los valores y tolerancias establecidos en la respectiva norma técnica del medidor objeto de prueba.

El método de calibración empleado. Esta componente no se considera cuando se utiliza el método de comparación.

Estabilidad a corto plazo o repetibilidad del EPM. No es necesario considerarla, cuando la componente de incertidumbre debida a la exactitud del EPM, ha sido obtenida a partir de su certificado de calibración.

Criterio de la medida. Esta componente no es considerada cuando se ha realizado la estimación de la componente de incertidumbre Tipo A.

El observador. Cuando la determinación del error se realiza a través de medios digitales, no se considera esta componente. En todos los casos, el laboratorio debe garantizar la competencia técnica del personal encargado de las mediciones y la operación de los Equipos de Prueba de Medidores, de tal forma que asegure las condiciones de referencia requeridas para la calibración.

La resolución. Para la estimación, se debe considerar la resolución con la cual se toman los valores medidos.


ENERGÍA ELÉCTRICA

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Redondeo. No se considera, en razón a que la contribución de esta componente está considerada dentro de la componente correspondiente a la resolución.

Representatividad de una muestra. Esta componente no se considera, debido a que en la calibración de medidores de energía se debe determinar el error para cada instrumento, y no mediante una muestra representativa de un lote.

Reproducibilidad. Esta componente no se considera, debido a que ya se ha incluido en contribuciones tales como, repetibilidad, derivas, y en general, todas aquellas que son fruto de variaciones.

Las componentes de incertidumbre debidas a la fuente alimentación del equipo, a las magnitudes de influencia, y al método de calibración, deben ser estimadas mediante procedimientos validados para las condiciones en las cuales se realiza la medición. Para el caso de calibraciones realizadas utilizando el método de comparación y en las cuales se cumplen las condiciones de referencia dadas en las normas para calibración del medidor objeto de prueba, dichas componentes se considerarán despreciables.

5.1.3. Procedimiento de cálculo

a) Incertidumbre tipo A (µA) Que corresponde a la repetibilidad de las mediciones

n

SA

Para n >10

tn

ss '

Para n ≤10

Donde: S es la desviación estándar o desviación normal de los datos tomados. N es el número de datos tomados por cada punto de carga. Para el caso, se establece que el número de datos a tomar es diez (n = 10)

b) Incertidumbre tipo B (µB) Tiene las siguientes componentes

22

BrBEB

Donde: µBE es la incertidumbre debida al equipo de prueba de medidores utilizado. µBr es la incertidumbre por la resolución del equipo de prueba de medidores utilizado. Para efectos de cálculo se debe tener en cuenta que:

12

drB

Donde d es la resolución que para el caso de toma de errores con dos dígitos decimales d = 0,01 y por lo tanto µBr = 0,01/√12 = 2,887 x 10

-3%

Para estimar µBE se puede optar por uno de los

siguientes procedimientos:

Considerando límites de error de los patrones del equipo

Para este caso se debe utilizar la siguiente fórmula:

222

ttBtcBBBE p

Donde: µBp = (ap)/√3 es la incertidumbre debida a la exactitud del patrón de energía del equipo de prueba de medidores utilizado, siendo (ap) el valor absoluto del límite de error definido por el fabricante para dicho patrón. µBTC = (aTC)/√3 es la incertidumbre debida a la exactitud de los transformadores de corriente (si los hay) que lleva la magnitud de corriente al patrón de energía del equipo de prueba de medidores utilizado, siendo (atc) el valor absoluto del límite de error definido por el fabricante para los Transformadores de Corriente (TC) µBTT = (aTC)/√3 es la incertidumbre debida a la exactitud de los transformadores de tensión (si los hay) que lleva la magnitud de tensión al patrón de energía del equipo de prueba de medidores utilizado, siendo (aTC) el valor absoluto del límite de error definido por el fabricante para los Transformadores de tensión (TT) Considerando resultados de la calibración del

Equipo de Prueba de Medidores (EPM) Para este caso se debe utilizar la siguiente fórmula:

2

2

max

3BD

Ei

BE

iE

Donde: (|Ei |+ |µEi|)máx es el mayor valor obtenido al sumar, para cada punto de prueba del EPM, el valor absoluto del error obtenido en dicho punto de prueba (Ei) con el correspondiente valor absoluto de la incertidumbre expandida |µEi| declarada en el certificado o informe de calibración del EPM. µBD es la componente de incertidumbre por deriva. El cálculo incertidumbre por deriva (µBD), se puede realizar cuando se tiene suficiente historia de las calibraciones del EPM. La deriva de un instrumento entre dos calibraciones se estima, para un valor dado, como:

3

max1

nn

BD

CC

Donde Cn es el valor máximo reportado para el certificado de calibración del EPM en una fecha n. Cn-1 es el valor máximo reportado para el certificado del calibración del EPM en una fecha n-1.

c) Incertidumbre compuesta (µc)

22

BAC

Donde µA es la incertidumbre tipo A µB es la incertidumbre tipo B

d) Incertidumbre expandida (µe)

CE t .


ENERGÍA ELÉCTRICA

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Donde t es el factor de cubrimiento tomado de la Tabla de Student considerando un nivel de confianza del noventa y cinco por ciento (95%).

5.2. consideraciones prácticas sobre el cálculo

de incertidumbre. Para las calibraciones realizadas correspondientes a ensayos de rutina, de conformidad con la norma NTC 4856 “Verificación inicial y periódica” se debe emplear el siguiente procedimiento.

5.2.1. Para patrones, equipos de prueba de

medidores y medidores fabricados bajo las Normas

Técnicas NTC 2147 (Medidores de energía activa

estáticos clase 0,2s y 0,5s) En el caso de equipos de prueba de medidores y patrones (EPM), para cada punto de medición, debe tomarse como mínimo diez (10) datos siguiendo el procedimiento descrito en el numeral 4.5.2 del presente documento. En el caso de medidores de energía especificados en este numeral, tanto para verificación inicial como para verificación posterior, para cada medidor se toma, en cada punto de prueba indicado en la norma NTC 4856, un mínimo cinco (5) datos, y se calcula el valor de error promedio y la incertidumbre expandida por cada punto, utilizando el procedimiento descrito en el capítulo 4 del presente documento. En el Certificado de Calibración se debe reportar el valor de error promedio en cada uno de los puntos de prueba, y su correspondiente incertidumbre expandida (para el reporte de la incertidumbre ver numeral 5.3 del presente documento).

5.2.2. Para medidores fabricados bajo las Normas

Técnicas NTC 2288 (medidores de energía activa

clases 0,5; 1,0 y 2,0), NTC 4052 (medidores de energía

activa clases 1,0 y 2,0), NTC 4569 (medidores de

energía reactiva estáticos clase 2 y 3), NTC 2148

(medidores de energía reactiva electromecánicos

clase 3)

a) Consideraciones para la verificación posterior En este caso, para cada medidor se debe tomar, en cada punto de prueba indicado en la norma NTC 4856, un mínimo tres (3) datos, y se calcula el valor de error promedio y la incertidumbre expandida, utilizando el procedimiento descrito en el capítulo 4 del presente documento.

b) Consideraciones para la verificación inicial En este caso, se puede proceder de acuerdo a lo establecido para los medidores fabricados bajo las normas indicadas en el numeral 5.3.1 del presente documento. También se puede proceder tomando un solo dato en cada punto de prueba indicado en la norma NTC 4856 y asociándole a cada dato un valor de incertidumbre de acuerdo al concepto de incertidumbre histórica establecido en el numeral XX y en el numeral F.2.4.1. de la Guía Técnica Colombiana GTC 51. Cuando se utilice el concepto de la incertidumbre histórica, se deben tener en cuenta los siguientes aspectos: El valor de incertidumbre que se va a utilizar como

dato histórico para calibraciones posteriores debe ser determinado según lo establecido en el capítulo

4 del presente documento, tomado un mínimo de diez (10) datos por cada punto de prueba.

El valor de incertidumbre histórica se puede obtener a partir de un medidor o de un lote de medidores. Debe existir un dato histórico para cada punto de prueba de un medidor, correspondiente a un mismo fabricante y un mismo modelo. Cuando los valores se obtienen a partir de un lote de medidores, el valor a utilizar en los cálculos de incertidumbre a reportar en el Certificado de Calibración corresponde al mayor valor obtenido en cada punto de prueba.

El valor de incertidumbre que se utiliza como dato histórico, debe ser actualizado periódicamente por el laboratorio que realiza la calibración, en un tiempo no superior a un año. En caso que en el momento de cumplirse este plazo no se disponga de medidores de igual fabricante y modelo, el cálculo se debe realizar tan pronto el laboratorio disponga del medidor o del lote de medidores para realizar la toma de datos.

5.3. Reporte de resultados de incertidumbre En los certificados, el resultado de la calibración que

consiste en el valor de error promedio (XPROM) y la

incertidumbre expandida asociada UE, debe expresarse en la forma (XPROM ± UE) También debe incluirse una nota explicitaría que, de manera general, debe contener lo siguiente: “La incertidumbre expandida de medida se ha obtenido multiplicando la incertidumbre combinada de medida por el factor k = XXX obtenido de la tabla de distribución t de Student, con un nivel de confianza del 95,45%.” Al expresar el valor de error, se hace necesario mencionar en el certificado de calibración el número de medidas por punto de prueba, a partir del cual se realizó el cálculo respectivo.

5.4. Aproximaciones o redondeos Los valores del error, la corrección, el resultado de una medición, o el valor convencionalmente verdadero de una magnitud, y la incertidumbre con la cual fueron estimados, no deben esperarse con un número excesivo de cifras. Para expresar el valor de error, se debe utilizar mínimo dos cifras decimales, y para expresar el valor de la incertidumbre, se debe utilizar mínimo tres cifras decimales. Para efectuar las aproximaciones correspondientes se deben seguir los siguientes lineamientos: Para variables distintas de la incertidumbre, se debe emplear la forma tradicional, es decir, si el dígito siguiente a la última cifra significativa es menor que 5 se aproxima al número anterior, si es superior o igual a 5, se aproxima al número superior. Cuando se trate de la incertidumbre, se recomienda aproximar siempre al número superior, a menos que al aproximar al número inferior, su valor resulte reducido en menos del 5%.


ENERGÍA ELÉCTRICA

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REFERENCIAS [1] Guía para la expresión de la incertidumbre de medida. Ministerio de Fomento. Centro Español de Metrología. Edición 2000. [2] CEA-ENAC-LC/02 Rev. 1 Enero 98. “Expresión de la incertidumbre de medida en las calibraciones”. [3] NTC 2194. Vocabulario de términos básicos y generales de metrología. (1997-11-26). [4] GTC 51. Guía para la expresión de la incertidumbre en las mediciones.(1997-11-26). [5] EVALUACIÓN Y EXPRESIÓN DE LA INCERTIDUMBRE DE MEDICIÓN LM01-I04-SIC- Versión 2. 2008-05-09.

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