exmeca_0910_f_m7

PTSI j Exercices - Mecanique 2009-2010 Forces centrales conservatives

M7

Ex-M7.1 Point materiel tire par une corde (*)Un palet P de masse M glisse sans frottementsur un plateau horizontal (Oxy) perce d'un trou al'origine O.Sa position est reperee par les coordonnees polairesr et , d'axe (Oz).L'experimentateur lance le palet, a la distance r0du point O, avec une vitesse initiale orthoradiale!v (0) = v0!e (t=0) (on prendra (t = 0) = 0), ettire sur le l de facon a rapprocher regulierementle palet du point O : r(t) = r0 V t.

Or

F

z

x

y

P

r0

P0

v0

On admet que la force exercee par le l (qui reste toujours tendu) sur P est!T = F!er .

1) Montrer que la vitesse angulaire du palet s'ecrit ! = _ =r0v0

(r0 V t)2 . En deduire l'evolutionde la force

!F qu'il faut exercer pour realiser cet objectif. Commenter.

2) Calculer directement le travail de traction fourni par cet operateur s'il fait passer la distancedu mobile a l'axe de la valeur r0 a la valeur r1. Retrouver ce resultat par une methode energetique.

Rep : 1) F =Mr20v

20

(r0 V t)3 ; dont!T = MC

2

r3!er = dEp

dravec Ep = MC

2

2r2+Cte (avec

Ep(1) = 0 et C = r0v0 la constante des aires) ; 2) W0!1(!F ) = Mr20v

20

2

1

r21 1r20

Applications directe du cours

M7

Ex-M7.2 Etat de diusion et etat lie1) Un electron de vitesse v0 = 4:103 m:s1 se trouve a une distance a = 10 nm d'un proton.Peut-il y avoir formation d'un atome d'hydrogene ? (etat lie) (on veriera que l'energie potentiellede gravitation est negligeable devant les autres)2) Quelle est la vitesse limite de l'electron pour qu'il n'y ait pas d'etat lie possible ?Donnees : masse de l'electron : me = 9:1031 kg ; masse du proton : mp = 1; 7:1027 kg ;1

40= 9:109 u:S:I:

Rep. : 1) Ep;elec = 2; 3:1020 J , Ep;grav = 1:1060 J , Ek = 7; 2:1024 J ! etat lie carEm = Ek + Ep ' Ep;elec < 0 ; 2) vl =

q 2me : 140 :

qeqpa = 2; 26:10

5 m:s1

Ex-M7.3 Masse de la terreEn faisant l'hypothese que la lune eectue un mouvement circulaire autour de la terre (hypothesejustiee car l'excentricite de la trajectoire lunaire est de 0,0549), de periode T = 27; 32 jours etde rayon RL = 384 400 km, calculer la masse de la terre en appliquant le PFD.

Rep. : MT ' 6; 0:1024 kg.

Ex-M7.4 Vitesse de liberationCalculer la vitesse de liberation (ou vitesse d' vasion ) la surface des astres suivants, dontles masses et les rayons respectifs sont :1) pour la Lune : ML = 7; 4:1022 kg et RL = 1700 km,2) pour Mars : MMa = 6; 4:1023 kg et RMa = 3400 km,3) pour Mercure : MMe = 3; 3:1023 kg et RMe = 2440 km.

Rp : La vitesse de libration est caractrise par une nergie mcanique (trajectoire parabolique)nulle du point matriel de masse m tudi (dans le rfrentiel astrocentrique ) la surface de

lastre de rayon R et de masse M : Em =1

2mv2l G

m:M

R= 0, soit : vl =

q2GMR .

vl;L = 2; 4 km:s1 ; vl;Ma = 5 km:s1 ; vl;Me = 4; 2 km:s1.

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2009-2010 Exercices - Mecanique j PTSI

Ex-M7.5 Distance minimale de passage d'un asterodeLe rfrentiel gocentrique R0 = Ox0y0z0 est suppos galilen, et on nglige les eets gravita-tionnels du Soleil.Un astrode de masse m et de taille ngligeable parrapport la masseMT de la Terre est repr enM0, une distance trs grande de la Terre o on supposeraque son inuence gravitationnelle est ngligeable. Onmesure son vecteur vitesse !v0 = v0!ex0 , port parla droite (M0x0) telle que la distance du centre dela Terre (M0x0) est b (b est le paramtre dim-pact ).1) Montrer que Em(M) et

!LO=R0(M) se conservent. Exprimer les deux constantes du mouvement

en fonction des donnes initiales.2) Exprimer lnergie potentielle eective Ep;e(r) en fonction de m, MT , et LO.3) Dterminer la distance minimale rmin laquelle lastrode passe du centre de la Terre etdonner la condition de non collision. On utilisera trs utilement le potentiel eectif.Rp : 1) Em = 12mv

20 ;!LO=R0(M) =

!OM0 m!v0 = mbv0!ez0 ;

2) Ep;e = Em 12m _r2 =L2O2mr2

Gm:MTr ; 3) rmin = GMTv20r

1 +b2v40G2M2T

1

Orbites circulairesM7

Ex-M7.6 satellite Phobos et Deimos de MarsLa plante Mars (masse MM = 6; 24:1024 kg) possde deux sa-tellites naturels, Phobos et Dimos, considrs comme des ast-rodes en raison de leur petite taille et de leur forme irrgulire.La distance moyenne du centre de ces satellites au centre de Marsest rP ' 9 379 km pour Phobos et rD ' 23 459 km pour Dimos.1) Calculer les vitesses de satellisation vP et vD de Phobos etDimos.2) En dduire leurs priodes de rvolution respectives TP et TD,en jours, heures, minutes, secondes.

3) Vrier que le rapportT 2

r3est indpendant du satellite. Quelle

est lexpression littrale de ce rapport en fonction de MM ?Phobos

Rp : 1) vP = 6; 67 km:s1 ; vD = 4; 21 km:s1 ; 2) TP = 8835 s = 2h 27min 15 s ; TD =35 010 s = 9h 43min 31 s ; 3) T

2P

r3P= 9; 46:1014 s2:m3 ; T

2D

r3D= 9; 49:1014 s2:m3 ; 3e loi de

Kpler : T2

a3= 4

2

GMM avec a = r pour une trajectoire circulaire.

Ex-M7.7 Vitesse d'un lanceur selon la latitudeLes lanceurs (ou fuses) sont tirs dans lespace depuis desbases situes des latitudes varies : Cap Canaveral auxtats-Unis (1 = 28; 5), Pletsek en Russie (2 = 63),Bakonour dans le Kazakhstan (3 = 46; 3), Tanegashimaau Japon (4 = 30; 5) et Kourou en Guyane Franaise(5 = 5; 2).La fuse tant xe au sol, calculer la norme v de sa vitesse,par rapport au rfrentiel gocentrique R0 = Tx0y0z0 due la rotation uniforme de la Terre, de vecteur rotation

!

=

!T!e S!N et de vitesse angulaire !T = 7; 29:105 rad:s1

autour de son axe sud-nord. Commenter.

Rp : v1 = 410 m:s1 ; v2 = 212 m:s1 ; v3 = 323 m:s1 ; v4 = 402 m:s1 ; v5 = 465 m:s1.

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PTSI j Exercices - Mecanique 2009-2010

Ex-M7.8 Etude des planetes1) Premire loi de Kepler : Dans le rfrentiel de Kpler, une plante (point M , masse m)dcrit une ellipse de foyer le soleil (point S, masse MS) .En choisissant correctement la direction des axes Sx et Sy, lquation polaire dune telle trajec-toire est : r =

p

1 + eavec e =

c

aet p = b

2

a

a est de demi grand-axe ; b le demi petit-axe ; c = S ; p le paramtre et e lexcentricit.Lexcentricit e, comprise entre 0 et 1, donne uneindication prcise de la forme de la trajectoire. Pluslexcentricit est grande, plus lellipse est crase ;au contraire, une excentricit de zro est celle duncercle (r = a = b = p).Laphlie (A) est le point de la trajectoire le plusloign du soleil et le prihlie (P ) le point le plusproche.! Montrer que : rA = a(1 + e) et rP = a(1 e)

x

y

r

S

F

M

a

b

c

a

A

P

(RK)v

er

e

Les plantes du systme solaire ayant une excentricit faible (voire trs faible), par la suite, nousferons toujours lapproximation dun mouvement circulaire de centre S et de rayon R pour leurstrajectoires (a = b R).

Plante Mercure Vnus Terre Mars Jupiter Saturne UranusExcentricit 0,2056 0,0068 0,0167 0,0934 0,0484 0,0542 0,0472Priode (ans) 0,241 0,615 1 1,88 11,9 29,5 84,0

2) Rappeler la dnition du rfrentiel hliocentrique.3) En appliquant le PFD, dterminer la vitesse v de la plante en fonction de G, MS et R.4) Troisime loi de Kepler :

T 2

a3= Cte pour toutes les plantes

4.a) Dmontrer que la valeur deT 2

R3est identique pour toutes les plantes (redmontrer la

troisime loi de Kepler).4.b) Application de la troisime loi de Kpler : Calculer numriquement les valeurs de R en ua(unit astronomique) pour toutes les plantes sachant que pour la terre, R 1 ua.4.c) Autre application de la troisime loi de Kepler : Sachant que 1 an = 365; 25 jours et1 ua = 1; 49:108 km, dterminer la masse MS du soleil.5) Calculer alors la valeur numrique de la vitesse v de la terre dans le rfrentiel hliocentrique.

Ex-M7.9 Orbite geostationnaire (telecommunications, television, meteo)Un corps se trouvant sur une orbite gostationnaire possde une priode de rvolution gale lapriode de rotation de la Terre sur elle-mme (24 h). Il parat immobile par rapport la surfacede la Terre. Lorbite est circulaire.Le maintien ncessite des manuvres de correction dorbiteconsommant des ergols 1, leur puisement tant la cause principale de n de vie du satellite. Au1er janvier 2005, on dnombrait 1 124 objets de plus d1 m sur lorbite gostationnaire. Parmieux, 346 seulement sont des satellites oprationnels !La ceinture de Van Allen 2 est, pour simplier, une altitude comprise entre 2000 km et 22 000 km.Elle est constitue de particules charges piges dans le champ magntique terrestre qui aveuglentles quipements des satellites.La masse de la terre est MT = 6:1024 kg et son rayon RT = 6400 km.1) En appliquant le PFD, dterminer le rayon R de lorbite, puis son altitude h, et vrier quilnest pas dans la ceinture de Van Allen.2) Dterminer les formules donnant la vitesse et lnergie en fonction de G, R, msat et MT .3) En orbite, un rservoir dappoint du satellite explose et lui procure la vitesse v = 6 km:s1.

1. Produits initiaux, separes, utilises dans un systeme propulsif a reaction (constitues d'elements oxydant etreducteur).

2. James Alfred Van Allen, USA (1914 - 2006)



Est-ce susant pour larracher lattraction terrestre ?4) Chute du satellite4.a) En admettant que les deux formules tablies en 2) restent correctes par la suite, dterminerla loi donnant lvolution de R au cours du temps dans le cas du frottement du satellite danslatmosphre (de masse volumique ) :

!f = k!v . On utilisera le thorme de lnergie mca-

nique.4.b) Dans le cas dun satellite spot (msat = 2 tonnes) de coecient k = 1; 35:105 uSI, 822 kmdaltitude la masse volumique de lair est = 3:1014 kg:m3. Calculer de combien de mtres lesatellite chute en 1 jour.4.c) Sil voluait 250 km daltitude, la masse volumique de lair serait = 6; 8:1011 kg:m3.Eectuer le mme calcul et conclure.

Rp. : 1) R = 42 300 km ; h = 35 900 km ; 2) Em = 12GMT :msatR ; 3) Em = msat:(8; 5:106) > 0 ;4.a) R(t) = R(0):exp

2kmsat :t

; 4.b) z = 2; 5 m=jour ; 4.c) z = 5; 3 km=jours

Ex-M7.10 La station spatiale internationaleEn faisant lhypothse que ISS a un mouvement circulaire (excentricit = 0,00031) et une altitudede 384 km, dterminer sa vitesse v ainsi que sa priode T en fonction uniquement de RT ,g0 = G(RT ) (champ gravitationnel terrestre la surface de la Terre) et RISS.Eectuer les applications numriques.Donnes : RT = 6400 km

Rp. : v =q

g0:R2TRISS

et T =r

42R3ISSg0R2T

Approche des orbites elliptiquesM7

Ex-M7.11 Methode du vecteur excentricite [d'apres ecole de l'air 1987]On se propose dtudier le mouvement dun satellite autour de la Terre. La seule force est lat-traction newtonienne de la Terre

!F = m

r2!er . Le satellite M de masse m est repr par ses

coordonnes polaires r et .1) tablir la relation direntielle liant la vitesse !v et !e . Cette relation sintgre sous la forme!v = (!e +!e ) o !e est un vecteur constant appel vecteur excentricit et une constante dterminer en fonction de et C (o C est la constante des aires).2) Calculer le produit scalaire !v .!e . En dduire lquation polaire de la trajectoire sous laforme :

r() =p

1 + e cos ( 0) o e = jj!e jj et 0 = (!ey ;!e ).

Exprimer p en fonction de et C.3) Montrer que lon peut exprimer lnergie totale E sous la forme : E = k (e2 1). Exprimer ken fonction de , C et m.

Rp : 1)d!vdt

=

C

d!edt

! !v = C(!e +!e ) ; 2) k =

2m

2C2

Autres exercicesM7

Ex-M7.12 Experience de Rutherford

Lexprience de Rutherford est lexprience historique quia tabli le caractre lacunaire de la matire, lessentiel dela masse dun atome tant concentre dans un noyau trspetit devant les dimensions de latome.On se propose dtudier la dviation angulaire ' de la tra-jectoire dune particule par un noyau massif de masse Met de charge Ze. Une particule est un noyau dhlium demasse m et de charge 2e (ion hlion).



La particule arrive avec une vitesse !v0 = v0!ex et une ordonne b loin du noyau, situ loriginedes coordonnes.1) En supposant la masse M susamment grande pour que le noyau massif reste pratiquementimmobile, dterminer deux constantes du mouvement de la particule .2) En dduire que le mouvement est plan, et dterminer la vitesse !v1 loin du noyau massif, aprslinteraction.3)3.a) Montrer que la composante selon !ey de lacclration de la particule peut sexprimer enfonction de et de _, o r et reprsentent les coordonnes polaires de la particule dans leplan de la trajectoire.3.b) Dterminer la composante selon !ey de !v1 et en dduire langle de dviation '.4) On rpte lexprience de Rutherford en envoyant sur une cible xe dans le rfrentiel dulaboratoire et constitu par une trs mince feuille dor, des hlions dnergie E0 = 5 MeV . Onsupposera la masse des atomes dor grande devant la masse des hlions. On observe une dviationdes hlions atteignant 150 au maximum.4.a) Calculer la valeur minimale bmin du paramtre dimpact.4.b) Calculer la plus petite distance dapproche r0 dun hlion et dun noyau dor, lorsque leparamtre dimpact a pour valeur bmin. En dduire une borne suprieure de la valeur du rayondu noyau de latome dor.Donne : Numro atomique de lor Z = 79.

Rp : 3.b) tan'

2=

2Ze2

40mbv20; 4.b) bmin = 6; 17:1015 m ; 4.b) r0 = 4; 5:1014 m.

Ex-M7.13 Force centrale en 1=r3 (**, a chercher apres avoir travaille le reste)Un point matriel M de masse m est soumis, dans un rfrentiel galilen R, une force dex-pression

!F = a

r3!er en coordonnes sphriques de centre O, a tant une constante posi-

tive. linstant initial, M est la position M0 telle que!OM0 = r0

!ex, avec une vitesse!v0 = v0(cos!ex + sin!ey).1) Montrer que le mouvement est plan et dterminer le plan de la trajectoire.2) Montrer que la force

!F est une force conservative. En dduire lnergie potentielle Ep(r) dont

elle drive (on prendre Ep(1) = 0)). Dterminer lexpression de lnergie potentielle eectiveEp;e compte tenu des conditions initiales.3) r0 tant donn, indiquer la condition sur v0 pour que le systme soit dans un tat de diusion.4) La particule est dans un tat de diusion et =

2.

a) tablir que _r =r0v0r2

dr

d. En dduire que _r = r0v0u0 avec u() =

1

r()et u0 =

du

d.

b) Exprimer la conservation de lnergie mcanique en fonction de la variable u et de u0.

En dduire que u vrie lquation : u00 + 2u = 0 avec =

r1 a

mr20v20

.

c) Dterminer lquation polaire de la trajectoire compte tenu des conditions initiales.d) Donner lallure de la trajectoire pour = 0; 1, 0 = 0 et r0 = 1 m.

Solution Ex-M7.131) La force est centrale de centre de force O. Le T.M.C. pour M valu en O dans le rfrentiel

R scrit : d!LO=R(M)

dt

!R=MO(!F ) = !OM !F = !0 , soit !LO=R(M) =

!Cte, dexpression :

!LO=R(M) =

( !LO=R(M0) = r0!ex mv0(cos!ex + sin!ey) = mr0v0 sin!ez!OM !vM=R = r!er ( _r!er + r _!e ) = mr2 _ vez = mC !ez

avec C = r2 _ = r0v0 sin , la constante des aires.



Le vecteur position!OM est orthogonal tout instant

!LO, donc !ez , direction xe de lespace :

la trajectoire est donc plane, contenue dans le plan (Oxy)?!ez .2) Lors dun dplacement lmentaire de M , le travail de la force

!F est : W = a

r3ver (d!er +

rd!er ) = ar3

dr = dEp, avec Ep = a2r2

(en choisissant lnergie potentielle nulle linni).

ThmEm : dEm = WNC = 0, soit Em = Cte : le systme est conservatif.Le systme fM;mg a pour nergie mcanique :

Em = Ek + Ep =1

2mv2M=R + Ep(r) =

1

2m( _r2 + r2 _2) + Ep(r) =

1

2m _r2| {z }Ek;r

+1

2

mC2

r2+ Ep(r)| {z }

Ep;e(r)

Do Ep;e(r) =1

2

mC2

r2+ Ep(r) =

mr20v20 sin

2 a2r2

3) Lnergie potentielle sannule linni. Le systme est donc dans un tat de diusion si sonnergie mcanique est positive, ce qui se traduit par :

Em = Cte = Em(0) =1

2mv20

a

2r20> 0 , v0 >

ra

mr20

4.a) Comme la constante des aires scrit : C =LOm

= r2 _ = r0v0 sin = r0v0 pour =

2,

on a : _r =dr

d_ =

r0v0r2

dr

d

Comme u0 =d

1

r

d

= 1r2

dr

d,on a :

dr

d= r2u0

9>>>>=>>>>; Soit : _r = r0v0u0

Alors Em = Ek;r + Ep;e =1

2m _r2 +

mr20v20 a

2r2=

1

2mr20v

20(u

0)2 +

mr20v20 a2

u2

4.b) Puisque Em = Cteen drivant!

par rapport 0 = mr20v

20u00 :u

0 + (mr

20v

20 a)u:u0

Comme le cas u0 = 0 ne nous intresse pas (on tudie le mouvement de M), on obtient :

u00 +1 a

mr20v20

u = 0 , u00 + 2u = 0 avec =

r1 a

mr20v20

Rq : est bien dni puisque 1 amr20v

20

> 0 daprs la condition sur la vitesse tablie en 3).

4.c) La solution gnrale de lquation est : u() = A cos() +B sin() t = 0, 0 = 0 (puisque

!OM0 =

!0 ), donc !er (0) = !ex, !e (0) = !ey

Soit !v0 =

v0!ey

_r(0)!er + r0 _(0)!e = _r(0)!ex + r0 _(0)!eyDonc : _r(0) = 0 = r0v0u0(0) (daprs 4.a)).

Do

8


DL no10 { Satellite geostationnaire

Le mouvement des satellites articiels de la Terre est tudi dans le rfrentiel gocentriqueRGsuppos galilen. Ce rfrentiel a pour origine le centre O et ses axes sont orients dans ladirection de trois toiles loignes xes. Dans le rfrentiel gocentrique, la Terre tourne autourde son axe avec une priode de rvolution T et une vitesse angulaire .On dsignera par MT et RT respectivement la masse et le rayon de la Terre. G est la constantede gravitation universelle.Donnes : T = 86 164 s ; MT = 5; 98:1024 kg ; RT = 6370 km ; G = 6; 67:1011 N:m2:kg2.Un satellite articiel M de masse m est en orbite circulaire de rayon r autour de la Terre. Lesfrottements dus latmosphre sur le satellite sont ngligs.

1) Montrer quun satellite articiel en orbite circulaire autour de la Terre a ncessairement unetrajectoire plane contenant le centre O de la Terre.

Mthode : tude systmatique dun problme de mcanique : cas de mouvement forcecentrale. Dnir le systme tudi. Choisir le rfrentiel dtude. Bilan des forces appliques au systme.,! Le systme est-il conservatif ?Dit autrement, les forces appliques au systme drivent-elles dnergies potentielles ? Les-quelles ?,! Le mouvement est-il force centrale conservative ?Auquel cas, ltude dun tel mouvement est systmatique : tablir la conservation du moment cintique : montrer que le mouvement a lieu dans unplan x par les conditions initiales sur la position et la vitesse du systme, et obit la loides aires. tablir la conservation de lnergie mcanique.

2) Dmontrer que le mouvement du satellite autour de la Terre est uniforme et exprimer litt-ralement sa vitesse v0. On exprimera dabord v0 en fonction de G, MT et r, puis en fonction deg0, RT et r, o g0 dsigne lintensit du champ de pesanteur la surface de la Terre.Le satellite SPOT (Satellite sPcialis dans lObservation de la Terre) est en orbite circulaire laltitude h = 832 km au-dessus de la Terre. Calculer numriquement la vitesse v0 de SPOT surson orbite.

Mthode : Prciser le nombre de degrs de libert du problme Dtermination des quations du mouvement (par projection du PFD dans une baseadapte)! Le thorme du moment cintique ayant t utilis en 1) , on peut utiliser le cacactrevectoriel du Principe Fondamental de la Dynamique.! Les coordonnes polaires dans le plan de la trajectoire sont adaptes au mouvement forcecentrale. Lorigine O est au centre de force.

Rappels : Grandeurs cinmatiques dans le cas gnral en base polaire dans un rfrentielR :!OM = r!er !v M=R = _r!er + r _!e !a M=R = (r r _2)!er + (r + 2 _r _)!e Pour une trajectoire circulaire, les expressions prcdente se simplient en posant r = Cste :!OM = r!er !v M=R = r _!e !a M=R = r _2!er + r!e Puisque le problme sintresse la vitesse v = r _ du satellite, il est plus judicieux dcrire :!OM = r!er !v M=R = r _!e = v!e !a M=R = v

2

r!er + dv

dt!e

3) Lorigine de lnergie potentielle gravitationnelle est choisie nulle linni. Exprimer lnergiemcanique Em du satellite autour de la Terre en fonction de G, MT , r et m. Quel est leet desforces de frottements de latmosphre sur le rayon de la trajectoire et sur la vitesse du satellite ?

Mthode : tablir (ou revenir sur) la conservation de lnergie mcanique en appliquantle Thorme de lnergie mcanique.



4) Exprimer lnergie mcanique m du satellite immobile la surface de la Terre en un point delatitude en fonction de G, MT , m, RT , et de la priode T de rotation de la Terre autour delaxe Sud-Nord.Pourquoi lance-t-on prfrentiellement les satellites depuis les rgions de basse latitude (Kourouen Guyane franaise : latitude 5 Nord ; Cap Canaveral en Floride : latitude 28 Nord). Leslance-t-on plutt vers lEst ou vers lOuest ?

Mthode : Le satellite est immobile sur la surface de la Terremais en rotation dans le rfrentiel gocentrique RG.Attention : Ce rfrentiel ne tourne pas avec la Terre dansle rfrentiel de Copernic, car ses axes sont orients vers destoiles loignes xes. Cest la Terre qui tourne autour de laxedes ples (SN) dans RG.La vitesse du satellite xe au sol M est donc la vitesse dunpoint de la surface de la Terre confondu avec lui (un pointconcident) en rotation autour de laxe (SN).,! La trajectoire du satellite est donc circulaire de rayon R =HM qui sexprime en fonction de RT et de , dans le planpassant par H parallle au plan de lquateur.,! Il faut donc crire la vitesse de M en coordonnes polaires(cf. Rappels en 3) ), avec origine en H, en faisant apparatre

= _ qui est la vitesse angulaire de la Terre autour de son axe. La vitesse angulaire est associe la priode de rvolution parquelle relation ?

H

Ol

S

N

W

orbite hors duplan de l'quateur

orbite dans leplan de l'quateur

M

Un satellite articiel de la Terre est gostationnaire sil est immobile dans le rfrentiel terrestre :son orbite est circulaire, il survole constamment le mme point de la surface de la Terre.Le satellite Telecom de masse ms = 1 t est en orbite circulaire dans le plan de lquateur. Ilest gostationnaire .

5) Peut-on placer un satellite gostationnaire en orbite en dehors du plan de lquateur ?

6) Calculer laltitude hG (ou distance au sol), la vitesse vG et lnergie mcanique EmG dusatellite Telecom sur son orbite gostationnaire. Tous les satellites gostationnaires doivent-ilsavoir la mme masse ?

Mthode : Utiliser la Troisime loi de Kepler : loi propre aux trajectoires circulaires ouelliptiques dastres tournant autour du mme centre de force et dont linteraction mutuelle estnglige.! Lappliquer ici au cas de satellites en orbite autour de la Terre. Cette loi est indpendante de la masse m du satellite. Elle dpend de a, rayon de la trajectoirecirculaire ou demi-grand axe de la trajectoire elliptique. Elle dpend aussi de MT , masse de la Terre associe au centre de force O. La Terre est cicisuppose symtrie sphrique : cema signie que la rpartition de sa masse ne dpend que der. Dans ce cas, la Terre se comporte comme un point matriel situ en O auquel on associe lamasse totale MT .

7) Comparer les termes EmG, EkG et EpG dun satellite gostationnaire avec les termes corres-pondants Em0, Ek0 et Ep0 du satellite immobile la surface de la Terre dans le plan de lquateur.

Solution DL no101) Systme tudi : fM;mg, satellite de la Terre tudi le rfrentiel gocentrique supposgalilen RG. Bilan des forces : la seule force appliqu M est la force gravitationnelle :

!F ext =

!F = GMTm

r2!er = GMTm

r3!OM

Cette force est conservative, drivant de lnergie potentielle gravitationnelle :



Ep;grav = GMTmr

(en choisissant lorigine de lnergie potentielle pour r !1). Cette force est galement centrale, donc MO(!F ) = !OM !F = !0 .,! le thorme du moment cintique appliqu en O dans RG conduit donc :

d!LO=RG(M)

dt

!RG

=MO(!F ) = !O , !LO=RG(M) =!Cste

Comme 8t !LO=Rg(M) ? T = (!OM;!v M=Rg), on en dduit que la trajectoire (constitue par

lensemble des points M contenus dans les plans T ) est tout le temps orthogonale une directionconstante qui celle de

!LO=Rg quon peut librement choisir selon

!ez .Ds lors, la trajectoire de M est contenue dans le plan (Oxy).

2) Pour le point matriel M en mouvement circulaire dans le rfrentiel gocentrique, lePrincipe Fondamental de la Dynamique scrit :

m!a M=RG =!F , m(r _2!er + r!e ) = GMTm

r2!er , soit :8>: m

v2

r= GMTm

r21,

mdv

dt= 0 2, ,

8>:2,! v = v0 = ctse Mouvement circulaire uniforme1,! v0 =rGMT

r

la surface de la Terre, si lon assimile le champ de pesanteur au champ gravitationnel :

mg0 GMTmR2T

, do : GMT g0R2T .

Alors : v0 = RT

rg0r

= RT

rg0

RT + h= 7; 44 km:s1

3) Le satellite ntant soumis qu une force conservative, le Thorme de lnergie mcaniquescrit :

dEm = WNC = 0, Em = CsteOr :

Ek =1

2mv2 = cste =

1

2mv20 =

1

2GMTm

r, Ek = cste = 1

2Ep;grav

Do :Em = Ek + Ep;grav = Ek = 1

2GMTm

r

Lorsque des forces de frottements (forces non conservatives qui sopposent au mouvement)apparaissent, le Thorme de la puissance mcanique scrit :

dEmdt

= PNC=RG =!f !v M=RG < 0

Alors, lnergie mcanique diminue au cours du temps : le rayon de la trajectoire sera de plusen plus faible (r &) et le mouvement tourbillonnaire autour du centre de force se fera avec unevitesse. . . de plus en plus grande (v %) !

4) Lorsque le satellite est pos sur la Terre en un point de latitude , son nergie mcaniquedans le rfrentiel gocentrique se compose : de lnergie cintique dun point matriel M en rotation de rayon = RT cos autour de laxedes ples la vitesse angulaire : Ek =

1

2mv2M=RG =

1

2m()2, soit :

Ek =1

2m

2

TRT cos



de lnergie potentielle gravitationnelle qui est inversement proportionnelle la distance duisatellite au centre de force (r = OM = RT dans ce cas) : Ep;grav = GMTm

RT! Do :

Em = E0 =1

2m

2

TRT cos

2 GMTm

RT

On constate que cette nergie mcanique est maximale lorsque = 0, cest--dire sur lqua-teur. Puisque le terme dnergie potentielle est indpendant de la latitude (on suppose la Terreparfaitement sphrique), cela veut dire qu lnergie mcanique maximale correspond une nergiecintique maximale dans le rfrentiel gocentrique due la rotation de la Terre :

Erotationk;max =1

2m

2

TRT

2Or, pour lancer le satellite, il faut lui fournir un supplment dnergie cintique dans le rfrentielgocentrique. Ce supplment sera dautant plus faible que lnergie cintique du satellite est djimportante ce qui est le cas lorsquon est lquateur.Mais pour bncier de cette nergie cintique maximale lquateur d la rotation de laTerre, il faut bien entendu envoyer le satellite dans le sens de rotation de la Terre, cest--direvers lEst.

vsol( = 0) =2

TRT = 0; 46 km:s

1 .

5) Le plan de la trajectoire circulaire du satellite M doit contenir le centre de force O (cf. 1 ).Pour quun satellite gostationnaire soit toujours au-dessus dun mme point de la surface ter-restre, il est impratif que le plan de sa trajectoire circulaire soit orthogonale laxe des ples.Cl : tous les satellites gostationnaires sont contenus dans le plan de lquateur.

6) Un satellite gostationnaire doit tourner dans le plan de lquateur (cf. 5 ) sur un cerclede rayon rG avec la mme vitesse angulaire que la Terre (de manire tre en permanence

au-dessus du mme point de la surface de le Terre) : vG = rG = rG2

T.

Comme, par ailleurs, cette vitesse scrit galement (cf. 2 ) : vG =rGMT

rG, on en dduit la

troisime loi de Kpler :

vG =

rGMTrG

= rG2

T, T

2

r3G=

42

GMT Sachant que rG = RT + hG, on en dduit laltitude dun satellite gostationnaire :

rG =

T 2GMT42

1=3= 42 170 km , hG = rG RT = 35 800 km

La vitesse de rotation du satellite gostationnaire est :

vG = rG = (RT + hG)2

T= 3; 07 km:s1

ces rsultat son indpendant de la masse du satellite gostationnaire considr. On retiendraque laltitude de lorbite gostationnaire est 36 000 km. Lnergie mcanique du satellite TELECOM dans le rfrentiel gocentrique est :

EmG =1

2mv2G| {z }

4;7:109 J

GMTmrG| {z }

9;4:109 J

= 4; 7:109 J



7) Ces grandeurs sont comparer avec les termes dnergie cintique de rotation et dnergiepotentielle gravitationnelle du satellite immobile la surface de la Terre :

Em0 =1

2m

2

TRT

2| {z }

0;1:109 J

GMTmRT| {z }

62;6:109 J

= 62; 5:109 J

DL no11 { Atome de Bohr

Quantication du moment cinetique

En 1913, le physicien danois Niels Bohr (1885-1962) imagine unmodle plantaire de latome an dexpliquer les raies misespar des atomes dhydrogne excits. Ce modle, aujourdhui ob-solte, ne permit pas dexpliquer les spectres des autres atomes.Une nouvelle physique fut ncessaire : la physique quantique.

Dans le modle de Bohr, latome dhydrogne est un systme deux corps ponctuels constitu dun noyau, le proton de massemp et charge lectrique +e, et dun lectron M , de masse me etde charge e.La masse du proton tant prs de 2 000 fois celle de llectron,le proton est considr comme xe dans le rfrentiel dtudesuppos galilen Rg(O;!ex;!ey ;!ez ) o lorigine O correspond aunoyau de latome.Donnes : h = 6; 626:1034 J:s ; 0 = 8; 84:1012 C2:N1:m2 ;

Bohr [c. 1922]c = 3:108 m:s1 ; me = 9; 1:1031 kg ; e = 1; 6:1019 C.

Premier postulat de Bohr : Llectron se dplace uniquement sur certaines orbitescirculaires appels tats stationnaires.Ce mouvement peut tre dcrit par la physique classique.Daprs Bohr, llectron a un mouvement circulaire de rayon r et de vitesse v autourde O.Le champ de pesanteur est ngligeable lchelle atomique et llectron nest soumis

qu la force dinteraction lectrostatique :!F = e

2

40r2!er .

1) Montrer que le mouvement circulaire de llectron autour du noyau est uniforme et exprimerv2 en fonction de r, e, me et 0.2) Exprimer lnergie cintique Ek(r), lnergie potentielle dinteraction lectrostatique Ep(r) etlnergie (mcanique) E(r) de llectron : E(r) = Ek(r) + Ep(r).

Deuxime postulat de Bohr daprs une ide de Planck : Llectron acclr parle proton ne peut pas rayonner de faon continue, mais doit attendre de passer duneorbite permise n une autre orbite dnergie infrieure m pour mettre brutalementun rayonnement sous la forme dun photon dnergie : hn!m = En Em (avecn > m).En et Em sont les nergies des deux tats n et m, h sappelle la constante de Plancket n!m est la frquence du rayonnement correspondant la transition n! m. Pour quantier lnergie de llectron, Bohr ajouta un troisime postulat ou condi-tion de quantication : les seules trajectoires circulaires permises sont celles pourlesquelles le moment cintique orbital est un multiple entier de la constante de Planckrduite ~ :

LO(M) = n~ = nh

2.



3) Dterminer la vitesse v de llectron en fonction de r, me, h et du nombre quantique principaln (n entier 1).4) Les trajectoires stables de llectron sont des cercles de rayons r quantis par n tel que :r = n2r0.Calculer (en pm) le rayon de Bohr not r0.

5) En dduire lnergie totale de llectron quantie sous la forme : En = E0n2

.6) En supposant llectron dans son tat fondamental (n = 1), calculer sa vitesse v0 et lnergiedionisation de latome (lexprimer en eV : 1 eV = 1; 6:1019 J).Llectron est-il relativiste ?7) Dterminer lexpression littrale de la constante de Rydberg RH relative latome dhydro-gne et calculer sa valeur sachant que :

1

n!m=

n!mc

= RH

1

m2 1n2

(avec n > m et c la vitesse de la lumire dans le vide).

Solution DL no11 Systme tudi : fM;m;eg, lectron dans le rfrentiel terrestre suppos galilen Rg. Bilan des forces : le poids et linteraction lectrostatique exerce par le proton (O). Le poidstant ngligeable devant cette dernire force, on a :!F ext =

!F =

e240r2

!er . Cette force est centrale, donc MO(!F ) = !OM !F = !0 .

1) Le Principe Fondamental de la Dynamique appliqu llectron donne :

me!a M=Rg =

e240r2

!er

La base adapte une trajectoire circulaire (r = Cste) et plane est la base polaire (!er ;!e ).Lacclration de llectron dans cette base est : !a M=Rg = r _2!er + r!e =

v2

r!er + dv

dt!e

Le P.F.D. scrit donc : v2

r!er + dv

dt!e = e

2

40r2!er , soit :

,! En projection selon !e : dvdt

= 0, v = r _ = Cste : llectron a un mouvement circulaireuniforme autour du noyau.

,! En projection selon !er : v2

r=

e240r2

, v = ep40mer

1,2) Lnergie cintique de llectron dans Rg est :

Ek(M) =1

2mv2 =

e2

80r= Ek(r)

Pour dterminer lnergie potentielle lectrostatique, il faut revenir au travail lmentaire fournipar la force lectrostatique

!F :

W (!F ) =

!F d!OM = e

2

40r2!er (dr!er + rd!e ) = e

2

40r2dr = dEp(r)

Do : Ep(r) = e2

40r2+ Cste, soit, en prenant Ep(r !1) = 0 :

Ep(r) = e2

40r2= 2Ek(r)

Lnergie totale de llectron est donc :

E(r) = Ek(r) + Ep(r) = Ek(r) = Ep(r)2

= e2

80r(?)



3) Lexpression du moment cintique de llectron dans Rg valu en O est :!LO=Rg(M) =

!OM me!v = r!er mev!e = merv!ez

Or, ce moment cintique est quanti, dexpression : LO(M) = merv = nh

2,

do la vitesse de llectron : v = nh

2mer2,

4) 1, et 2, permettent dcrire :v =

ep40mer

= nh

2mer

Cette quation permet dtablir les rayons des trajectoires circulaires stables de llectron autourdu noyau :

r = n20h

2

mee2 n2r0 3,

On en dduit la rayon de Bohr qui correspond la trajectoire de llectron dans son tatfondamental n = 1 :

r0 =r

n2=

0h2

mee2= 53 pm

5) (?) 3,! E(r) = e280r

= e2

80

1

n2mee

2

0h2Ainsi :

E(r) = E0n2

avec E0 =mee

4

820h2

4,6) Lorsque llectron est dans son tat fondamental, cest--dire dans son tat de plus bassenergie (n = 1) correspondant lorbite la plus proche du noyau : E(r) = E0 = 13; 6 eV Dnition : Lnergie dionisation dun atome est lnergie minimale fournir un atomegazeux X(g) dans son tat fondamental pour lui arracher un lectron.

Elle correspond au processus : X(g)Eion! X+(g) + e(g).

Cette dnition applique latome dhydrogne :

H(g)|{z}tat initial : n = 1

+Eion! H+(g) + e(g)| {z }tat nal :n!1

Do :

Eion = E(n!1) E(n = 1) = E0 = 13; 6 eV dans ltat fondamental, la vitesse de llectron est, daprs 2, et 4, :

v0 =h

2mer0= 2; 2:106 m:s1

Cette vitesse reste loigne de la vitesse de la lumire dans le vide (v

c< 0; 1) : llectron nest

pas relativiste.

7) Pour dterminer la constante de Rydberg, crivons lnergie de llectron dans les deuxniveaux quantiques n et m considrs :

:::::::Niveau

:::::::::::suprieur

::n::: En = E0

n2

:::::::Niveau

::::::::::infrieur

:::::::m < n

::: Em = E0

m2< En



Lorsque latome dans le niveau dnergie suprieur n se dsexcite en passant dans le niveaudnergie infrieur m, il libre un photon dnergie hn!m telle que :

hn!m = En Em = E0

1

m2 1n2

h c

n!mAinsi, le nombre donde de ce photon est :

1

n!m=E0

c

1

m2 1n2

RH

1

m2 1n2

Do :

RH =E0

c=

mee4

820h2c

= 1; 09:107 m1

Rq : Le succs de la thorie de Bohr vient de la concidence entre les valeurs exprimentales dela constante de Rydberg et la valeur calcule.

Solution Ex-M3.3Q : Masse de la terre ?On travaille dans le Rfrentiel gocentrique, suppos galilen.Systme S = fLuneg.Hypothse : trajectoire circulaire car excentricit proche de 0.

PFD : mL

v

2

R!er + dv

dt!e

| {z }Mvmt circulaire

= GMT :mLR2

!er , do v =rG:MT

R

Or, pour un mouvement circulaire : v = R! =2:R

T, donc : MT =

42

G :R3

T 2= 6; 0:1024 kg

Solution Ex-M7.10On travaille dans le Rfrentiel gocentrique, suppos galilen.Systme S = fStation Spatiale Internationaleg.Hypothse : trajectoire circulaire car excentricit proche de 0.

PFD : mISS

v

2

RISS

!er + dvdt!e

| {z }Mvmt circulaire

= GMT :mISSR2ISS

!er , do v =rG:MT

RISS

Df : le champ gravitationnel en un point M est la force gravitationnelle que subit un point

matriel plac en M divise par sa masse m :!G(M) =

!F gravm

Donc, le champ gravitationnel d la Terre de masse MT est, la surface de la Terre :

G(RT ) =GMTR2T

Comme G:MT = G(RT ):R2T , on peut crire : v =sG(RT ):R

2T

RISS

Or, en identiant pour un corps de massem quelconque le champ gravitationnel d la Terre avec

le champ de pesanteur, on a : G(RT ) = g0 ' 9; 8 m:s2, et donc : v =sg0:R

2T

RISS' 7; 7 km:s1

Comme v = RISS! = RISS:2

Tpour un mouvement circulaire, on a :

T =

s42

g0:R2T:R3ISS ' 1h 32min


exmeca_0910_f_m7

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