exerice finance d entreprise berk
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8/21/2019 Exerice finance d entreprise berk
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Chapitre 5 : Théorie et Gestion dePortefeuille
I. Notions de rentabilité et de risque
II. Diversification de portefeuille
III. Optimisation de Markowitz
III.1. Portefeuilles composés d’actifs risqués
III.2. Prise en compte de l’actif sans risque
IV. Modèle de marché
V. Modèle d’évaluation des actifs financiers (MEDAF)
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I. Notions de rentabilité et de risque
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Moyennes et écarts-type des rentabilités des actions etemprunts d’Etat entre 1900 et 2000
Actions Emprunts d’Etat
Rentabilité Ecart-type Rentabilité Ecart-type
La relation rentabilité - risque
France 6,3 23,1 0,1 14,4
Allemagne 8,8 32,3 0,3 15,9
RoyaumeUni
7,6 20 2,3 14,5
Etats-Unis 8,7 20,2 2,1 10,0
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Rentabilité d’un portefeuille
Exemple:
Vous constituez un portefeuille d’une valeur totale de 15000 €
composé de 100 actions Michelin au prix unitaire de 60 € et 200
actions Carrefour au prix unitaire de 45 €. Un mois plus tard, le
prix de l’action Michelin est de 66 € et celui de l’action Carrefour
, .
1) Quelle est la valeur finale du portefeuille ?
2) Calculez la rentabilité du portefeuille de deux manières.
3) Quelles sont les nouvelles pondérations des titres si vous
décidez de garder la même composition ?
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• La volatilité d’un portefeuille P composé de deux titres
Cas 1: ρρρρ1,2 = 1
Volatilité d’un portefeuille
2211 σ σ σ x xP +=
Relation risque-rentabilité
21
1221
21
21
E E
E E E
E E PP
−
−+×
−
−=
σ σ σ σ σ
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• La volatilité d’un portefeuille P composé de deux titres
Cas 2: ρρρρ1,2 = - 1
Si
Volatilité d’un portefeuille
2
2211
2
)( σ σ σ x xP −=
2
1σ σ
σ
+
> x
2211 σ σ σ x xP −=
2211 σ σ σ x x
P −=
Relation risque-rentabilité
Si
Relation risque-rentabilité
21
2112
21
21
E E
E E E
E E PP
−
+−×
−
+=
σ σ σ σ σ
21
2
1σ σ
σ
+
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• La volatilité d’un portefeuille P composé de deux titres
Cas 3: -1 < ρρρρ1,2 < 1
Relation ris ue-rentabilité
Volatilité d’un portefeuille
2,121
2
2
2
2
2
1
2
1
2 cov2 ××++= x x x x p
σ σ σ
PPP E
E E
E E E
E E ×
−
−×+−×
×+×
−
−+
=
)²(
²)(cov²)(cov2²
)²(
cov2²²²
21
12,1222,11
21
2,121 σ σ σ σ
σ
)²(
cov2²²²²
21
2,1212112
E E
E E E E
−
××−×+×
+
σ σ
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• La volatilité d’un portefeuille P composé de deux titres
Volatilité d’un portefeuille
Exemple:
On considère un portefeuille composé de deux actions dont lescaractéristiques sont les suivantes :
Action Rentabilité espérée Volatilité
X 26% 50%
1) Représenter l’ensemble des portefeuilles possibles pour descorrélations égales à 1 et -1.
2) Déterminer la rentabilité et la volatilité des portefeuillescomposés respectivement de 100%; 80%; 60%; 40%; 20% et 0%du titre X (pour une corrélation nulle).
3) Représenter ces portefeuilles dans l’espace (espérance-volatilité).
Y 6% 25%
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• La volatilité d’un portefeuille P composé de deux titres
Volatilité d’un portefeuille
Issu de l’ouvrage « Finance d’entreprise », J. Berk et P. DeMarzo
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• La volatilité d’un portefeuille P composé de deux titres
Volatilité d’un portefeuille
Titre X
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Titre Y
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• La volatilité d’un portefeuille P composé de deux titres
Volatilité d’un portefeuille
Titre X
Ensemble des portefeuilles possibles pour descorrélations égales respectivement à 1; 0,5; 0; -0,5 et -1
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Titre Y
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II. Diversification de portefeuille
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• Diversification d’un portefeuille équipondéré composéde N titres
Diversification de portefeuille
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Risque spécifique
Risque systématique
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III. Optimisation de Markowitz
III.1. Portefeuilles composés d’actifs risqués
III.2. Prise en compte de l’actif sans risque
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• Portefeuilles efficients composés de deux titres
Portefeuilles efficients
Titre X
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Titre Y
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• Formulation 2:
• Les conditions de premier ordre sont :
• Condition 1 (N équations)
:
Frontière efficiente
0)(2...2²2211112211
1
=+++++= λ λ σ σ σ δ
δ R E x x x
x
L N N
• Condition 2 (1 équation)
• Condition 3 (1 équation)
0)(²2...22212211
=+++++= λ λ σ σ σ δ
N N N N N
N
R E x x x x L
0)*()(...)()( 22111
=−+++= P N N R E R E x R E x R E x L
δλ
δ
01...21
2
=−+++= N
x x x L
δλ Rim AYADI
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• Formulation 2:
• Formulation matricielle du système :
C X K
Frontière efficiente
0
0
1)(2...²22
1)(2...2²2
2
1
22221
11121
N
N
x
x
R E
R E
σ σ σ
σ σ σ
X = C-1 K
=
×
1
*)(
0::
001...11
00)(...)()(
1)(²2...22::::::
2
121
21
P
N
N
N N N N
R E
x
R E R E R E
R E
λ
λ
σ σ σ
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• Représentation graphique
Frontière efficiente
Solution du problème : hyperbole dans l’espace risque-rentabilité.
La partie supérieure de cette hyperbole représente la frontièreefficiente.
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Frontière efficiente
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• Portefeuilles efficients composés de deux titres
Titre XTitre X
Frontière efficiente
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Titre Y
Titre Y
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Portefeuille optimal
Investisseur A
Le portefeuille optimal se situe au point de tangence entrela frontière et la courbe d’indifférence la plus haute.
Investisseur B
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III. Optimisation de Markowitz
III.1. Portefeuilles composés d’actifs risqués
III.2. Prise en compte de l’actif sans risque
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Rentabilité - risque (3)
A
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Exemple:
Jean dispose de 10 000 € et décide d’emprunter la même somme au taux
5%. Il place les 20 000 € dans le PF Q, dont la rentabilité espérée est de
10% et la volatilité est de 20%. Quelles sont l’espérance de rentabilité et la
volatilité de son PF ?
Quelle est la rentabilité effective du PF si Q augmente de 30% à la fin de
’ ’
Rentabilité - risque (5)
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Nouvelle frontière efficiente
A
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Nouvelle frontière efficiente
• Pour un niveau de risque donné, l’investisseur cherchant àobtenir la rentabilité espérée la plus élevée possible doitchercher la droite la plus pentue combinant l’actif sans risqueet un PF appartenant à la frontière efficiente des actifs risqués.Cette pente pour un PF donné A correspond au ratio de Sharpedu PF.
f A R R E −)(
• Le ratio de Sharpe exprime la prime de risque offerte par le PFpour une unité de risque.
• La nouvelle frontière efficiente est la demi-droite passant parl’actif sans risque et tangente à la frontière efficiente des PFrisqués.
Aσ
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• Le portefeuille tangent est le seul PF risqué efficientlorsqu’un actif sans risque existe.
• Théorème de séparation:
Tous les investisseurs doivent détenir le même PF d’actifs
ris ués indé endamment de leur aversion our le ris ue.
Nouvelle frontière efficiente
• L’aversion pour le risque d’un investisseur détermine
exclusivement la proportion de sa richesse investie dans le
PF tangent.
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Nouvelle frontière efficiente
Investisseur A
Investisseur B
A
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Exemple:
Jean dispose de 100 000 €, investis dans le PF A (figure 11.10). Ce
portefeuille a une rentabilité espérée de 10,5% et une volatilité de 8%. Le
taux sans risque est de 5%, le PF tangent a une espérance de rentabilité
de 18,5% et une volatilité de 13%. Quel PF jean doit-il détenir pour
maximiser la rentabilité espérée du PF sans augmenter sa volatilité ? Si
Nouvelle frontière efficiente
risque, quel PF Jean doit-il détenir ?
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