exercÍcios de fenÔmenos de transporte
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UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS DEPARTAMENTO DE HIDRÁULICA E SANEAMENTO
EXERCÍCIOS DE FENÔMENOS DE TRANSPORTE
RODRIGO DE MELO PORTO
SÃO CARLOS 2021
I
J I
APRESENTAÇÃO
Esta coletânea de problemas tem por finalidade dar aos
alunos da disciplina Fenômenos de Transporte a oportunidade de
aprimorarem os conceitos teóricos desenvolvidos no curso.
Como ela se destina aos alunos dos curso de Engenharia desta
Escola foi dada ênfase especial a assuntos relacionados a Mecânica
dos Fluidos e as Leis Básicas dos Fenômenos de Transportes.
Procurou-se uniformizar conceitos, nomenclatura e simbo
logia, com objetivo de se padronizar as demais disciplinas de
responsabilidade do Departamento de Hidráulica e Saneamento.
Com isso acreditamos fornecer aos alunos um auxílio didático
para o acompanhamento do curso, sem todavia, dispensar a consulta
aos diversos livros sobre o assunto.
Esta apostila é o resultado da coleção de vários problemas
propostos em listas, provas, exames, tanto na Escola de Engenharia
de São Carlos, como na Faculdade de Engenharia de Limeira da
Unicamp, bem como retirados ou adaptados de exercícios propostos
na bibliografia apresentada.
Queremos apresentar nossos agradecimentos ao CETEPE - Centro
de Tecnologia Educacional para Engenharia, através do trabalho de
datilografia da Sra. Rita de Cássia D. B. Margarido, de desenhista
do Sr. João Paulo Moretti e da ajuda computacional do Sr. Paulo
Ceneviva, que tOrnou possivel a existência deste material.
São Carlos, agosto de 1991.
SUMÁRIO
Capítulo 1 - Propriedades dos Fluidos. Massa específica. Peso específico. Volume
específico. Gás perfeito. Módulo de elas-ticidade volumétrica ............................. 1
Capítulo 2 - Equação Fundamental da Estática dos Fluidos. Manometria. Estática da atmosfera. Pressões absoluta e relativa. Compressibilidade do ar •••••• J
Capítulo 3 - Forças sobre superfícies Submersas. Força sobre superfícies planas. Força sobre superfícies curvas. Princípio de Arquimedes •••••••••.• 15
Capítulo 4 - Leis Básicas dos Fenômenos de Transporte. Equação da viscosidade de Newton. Equação de
Fourier para Condução do Calor. Equação de Fick
para difusão . . ...................... -............ 3 7
Capítulo 5 - Cinemática dos Fluidos-Equação da Continuidade.
Campo de velocidade. Distribuição de velocidade.
Sistema relativo. Velocidade média. Escoamento
variável .. ....................................... 53
Capítulo 6 - Aplicações da Equação de Bernoulli.
Sifão. Tubo de Pitot. Medidor Venturi. Medidor tipo diafragm.a . .............................. · ......... 7 3
Capítulo 7 - Teorema da Quantidade de Movimento. Esforços sobre obstáculos. Ressalto hidráulico.
Bloco de ancoraqem . .•••..........•.•...•..••.... ~ 87
i i
i ( I
I
Capítulo 8 - Aplicações da Equação da Energia.
Perda de carga. Linha piezométrica. Cavitação.
Potência de bombas e turbinas ••••••••••••••••••• l05
Capítulo 9- Análise Dimensional ..••..••••.••••••••••••.•• 117
Capítulo 10 - Semelhança Física e Medidores de Vazão.
Grupos adimensionais. Efeito de escala. Medidores
de vazão tipo diafragma. Norma DIN •••••••••••••• 125
Anexo- Formulário, Gráficos e Tabelas ••••••••••••••••••• 143
iii
Símbolo
a A b c Cp
C v
c d D e E Eu f F F r g G G h h h
H Hm I J k K L m M Ma n n N p q
Q Q
r r R Rey s t
NOTAÇÃO
Grandeza
Aceleração Área Constante Celeridade Calor específico à pressão constante Calor específico à volume constante Concentração Densidade Diâmetro Espessura Módulo de elasticidade Número de Euler Coeficiente de atrito Força Número de Froude Aceleração da gravidade Vazão em massa Constante universal dos gases Carga;distância vertical Espessura coeficiente de troca de calor por convecção Carga total Altura manométrica Momento de inércia Perda de carga unitária Constante adiabática Condutibilidade térmica Distância Massa Momento Número de Mach Expoente;constante Rotação (rps) Potência Pressão Fluxo de calor por unidade de área Vazão Calor trocado na unidade de tempo Coeficiente Raio Constante particular do gás Número de Reynolds Distância Tempo
i v
Unidade(SI)
mjs
JjKg.K
JjKg.K
m m Pa
N
=,i:3 mN/Kg mol K m m
Wjm2 .K
m m4 m m/m
W/m°C m kg N.m
1/s Kgm N/m2
W~m2
m js
w
m mNjKg.K
m s
Dimensão
LT- 1
L2 T- 2 8
L2 T- 2 8
L L
-1 -2 ML T
MLT- 2
LT- 2
-1
~T-28 L L
L T
i I
Símbolo Grandeza
T u v v Vol w w We X x' y Y' z a {3 7 a e ., 8 À
IJ. v tP Tl
n p (]"
't"
t/1 w
Temperatura Componente de velocidade Componente de velocidade Velocidade Volume Componente de velocidade Peso Número de Weber Distância Distância ao centro de pressão Profundidade Distância ao centro de pressão Distância vertical AngUlo Ângulo Peso específico Espessura Rugosidade absoluta Rendimento Ângulo Escala de semelhança Viscosidade Viscosidade cinemática Coeficiente de vazão Constante Parâmetro adimensional Massa específica Tensão superficial Tensão de cisalhamento Coeficiente de pressão Velocidade angular
v
Unidade(SI)
oc ' m/s mjs m~s m mjs N
m m m m m
N/m 3
m m
Kgjm 3·
N/m N/m 2
radjs
Dimensão
L L L L L
-2 -2 ML T L L
-1 -1
~TT
-3 ML
-2 MT
-1 -2 ML T
T -1
CAPÍTULO 1
PROPRIEDADES DOS FLUIDOS
1.1 - Dar as dimensões de:
a) Potência;
b) Módulo de elasticidade;
c) Peso específico;
d) Velocidade angular;
e) Energia;
f) Momento de uma força;
g) Coeficiente de Poisson;
k) Viscosidade cinemática;
1) Pressão;
m) Tensão de cisalhamento;
n) Calor trocado por unidade
de tempo;
o) Descarga (vazão em massa);
p) Fluxo de calor;
h) Deformação unitária; q) Velocidade;
i) Tensão superficial; r) Aceleração.
j) Coeficiente de transmissão
de calor convectivo;
1.2 - A seguinte equação é dimensionalmente homogênea.
F = 4 E y [ (h-y). (h - ~ ) . t-t
3 ]
onde:
E = módulo de Young
u = coeficiente de Poisson
d,y,h = distâncias
Qual é a dimensão t?
R = relação de distâncias
F = força
1.3 - Se a água tem um módulo de compressibilidade volumétrica 2 E = 21.000 kgfjcm , qual o acréscimo de pressão requerido
para reduzir seu volume de 0,5%?
1.4 - Qual o valor do volume específico em m3jkgf, de uma
substância cuja densidade vale 0,8.
1.5 - Determinar o peso específico do ar à pressão atmosférica
normal p = 1,033 kgfjcm2 e a temperatura de 27°C. Dado a
constante do ar R = 287 N•mjkg.K.
1
1.6 - A massa específica da água a 20°C e a pressão atmosférica
vale 102 UTM/m3• Calcular o valor da massa específica de um
volume de água que sofreu um acréscimo de pressão de 2 1000 kgf/cm , mantendo-se a temperatura.
1.7 - Determinar o valor da constante R, em N.mjkg.K, para o ar
atmosférico, supondo que este seja composto de 80% de
nitrogênio e 20% de oxigênio.
Dados: massa molecular do nitrogênio - 28 kg
massa molecular do oxigênio - 32 kg
const. universal dos gases 8.312 N.mjkg.mol.K
1.8 - Qual o módulo de compressibilidade volumétrica de um
líquido que tem um aumento de O, 02% na massa específica
para um aumento na pressão de 4800 kgfjm 2 ?
1.9 - Um balão sonda de formato esférico foi projetado para ter
um diâmetro de 10m a uma altitude de 45.000m. Se a pressão
e a temperatura nesta altitude são respectivamente 2. 000
kgfjm2 (abs) e - 60°C, determinar o volume de hidrogênio a
10.000 kgfjm2 ( abs) e 20°C necessário para encher o balão
na Terra.
FOLHA DE RESPOSTAS
1.2 - ltl = ILI
1.3 - àp = 105 atm
1.4 -3 3 - v = 1, 25 x 10 m jkg s
1.5 - 7 = 1,171 kgf/m3
1.6 - p = 106,97 UTM/m3; p = 106,86 UTM/m3
1.8 - E = 2.400 kgfjcm2
1.9 - Vol = 144 m3
2
i.
I
CAPÍTULO 2
EQUAÇÃO FUNDAMENTAL DA ESTÁTICA DOS FLUIDOS
2.1 - Demonstrar que a equação fundamental da estática dos
fluidos : =- 7, pode ser deduzida diretamente da equação
geral da Física f = - V~, onde f é uma força por unidade de
volume e ~ um campo escalar, que no caso seria o campo de
pressões dentro da massa fluida.
2.2 Um campo ~e forças, por unidade de massa do material, é
dada por B = 16 x i + 10j. Se a massa específica do
material é dada por p = x2 + 2z, qual é a força resultante
sobre o material contido região mostrada na figura?
y
3
X
2.3 - Pode-se obter um campo vetorial tomando o gradiente de um
2.4
2 3 campo escalar. Se ~ = xy + 16t + yz qual é o campo
grad ~? Qual é o módulo do vetor grad ~ no ponto {0,3,2)
quando t=O.
- Dada a seguinte distribuição hipotética de pressões
p = xy + (x + z2) + 10, qual a força por unidade de
volume sobre um elemento do meio Sluido situado no ponto
X = 10, y = 3, z = 4, na direção e = 0,95i + Q 1 32j?
2.5 - Qual a pressão relativa em um ponto de um fluido distante h
da superfífie livre se a massa específica do fluido é 3 variável e dada por p = p + c h ( UTM/m ) onde p é a massa
o 1 o
específica na superfície e c uma constante. 1
3
2.6 - O peso específico da água em um oceano pode ser calculado
pela relação empírica 7 = 7 + K ~ h I onde 7 é o peso o o
específico na superfície e h é a distância entre a superfície do oceano e um ponto qualquer da massa de
água. Determine uma expressão para a pressão relativa em um
ponto qualquer situado a uma distância h abaixo da
superfície.
2.7 -Se na superfície de um líquido em repouso o peso específico
é 70
e o módulo de compressibilidade cúbica E for
constante, determine o peso específico do líquido a uma
distância h abaixo da superfície livre. Depois, mostre que,
se o líquido for a água, E = 21.000 kgfjcm2, para
profundidades relativamente baixas, por exemplo h = 100 m,
para propósitos práticos, a água pode ser considerada
praticamente incompressível.
2.8 Qual é a diferença de pressões entre os pontos A e B dos
depósitos da figura?
2. 9 - Qual a diferença de pressões entre os depósitos A - e B?
Densidade relativa do mercúrio igual a 13,5.
AR
MERCURIO
FIG. 2.8 FIG.2.9
2.10 - Qual a pressão P no ponto mostrado na figura abaixo? a
Densidade relativa do óleo igual a 0,8.
2.11 - Suponhamos unidos dois depósitos por um tubo de secção
constante em forma de 11U11 , como na figura. Os depósitos
estão cheios de água e suas cotas piezométricas são
4
..
respectivamente h e h (h1 > h2). As partes escuras do 1 2 manômetro contém mercúrio e o resto contém água. Pede-se
determinar a diferença de cotas (h h 2) 1 entre os
reservatórios. Dados 7ag, 7Hg e h.
ABERTO
FIG. 2.10 FIG. 2. li
2.12 - Um avião munido de um barômetro sobrevoa uma região do
Atlântico cuja distribuição média de temperatura é indicada
abaixo. o barômetro indica uma pressão absoluta de O, 275
kgfjcm2. Calcular a que altura voa o avião.
R = 287 N.mjkg.K
2.13 - Na medida de pequenas pressões de ar, utiliza-se um
manômetro de tubos em "U" cujo plano é inclinado de um
ângulo a relativamente à horizontal. Sabendo-se que o
fluido manométrico é álcool, de massa específica p = 0,78 x
102 UTM/m3, qual é a diferença de pressões Ap medida pelo
manômetro, expressa em mm de columa de água, quando a
distância entre os dois meniscos, contada segundo a linha
de maior declive do plano do manômetro for igual a
0,45m. Adotar a = are sen 1/2.
H(m)
FIG. 2.12
5
2.14 - Nas medidas de pressões elevadas utiliza-se uma combinação
de manômetros de peso morto, com um manômetro de coluna
líquida de um só tubo, conforme esquema. Conhecendo-se os
valores dados na figura, determinar a pressão no
reservatório que contém água. Dados ; , ; . e Hg Oleo
2.15 - Nas medidas de pressões com grande precisão, utiliza-se um
micromanômetro; a figura mostra um determinado tipo. Neste
sistema empregam-se dois líquidos imiscíveis de pesos
específicos
recipientes
desprezíveis,
;1
e ;2). Se
depósitos C
;1
e ;2
respectivamente. Supondo que nos
A e B temos gases de pesos específicos
calcular P a - P b em função dos dados ( cS , d,
a área da secção reta do tubo é ~, e a dos
e D é ~, determinar cS em função de d, e
justificar porque quando ajA for muito pequeno e ;1
quase
igual a ;2
, uma pequena diferença de pressão P P a b
produzirá uma grande variação de d, o que dará por sua vez
um instrumento muito sensível.
FIG. 2.14 FIG. 2.15
2.16 - Tem-se um tubo barométrico situado ao nível da superfície
livre de uma represa, na cota z = 520 m, indicando pressão 1
atmosférica local de 746 mmHg. Em uma secção da adutora que
sai da represa, situada na cota Z2
= 20 m, tem-se outro
tubo barométrico indicando pressão atmosférica local de
760 mmHg. Qual a pressão relativa, em Kgfjcm2, no eixo da
adutora na cota z = 20 m, sabendo-se que não há escoamento 2
através da adutora. Dado ; = 103 kgfjm3•
6
2.17 - Determinar analiticamente a diferença de pressões P P A B
entre os eixos dos dois reservatórios A e B indicados na
figura. Considerar como grandezas conhecidas ~hg, ~ag, Ah,
Ah1
e Ah2
•
FIG. 2.17
2.18 - Determinar as pressões efetivas e absolutas:
1) do ar
2) do ponto M, da configuração abaixo
Dados: leitura barométrica local 735 mmHg
densidade relativa do óleo 0,85
densidade relativa do mercúrio 13,6
2.19 - Em uma atmosfera adiabática a pressão varia com o volume
específico da seguinte forma Pvk = cte, onde k é uma
constante igual a relação dos calores específicos CP e Cv.
Mostrar que a expressão que relaciona a pressão P e a
elevação z para esta atmosfera, utilizando como referência
o nível do solo (índices zeros) é:
o k-1 ~ ( z - z ) --k- o p = p
Hg~~~~-----FIG. 2.18
7
2.20 -
2.21 -
Determinar pa' p e Poabs na configuração abaixo sendo
o
dados:
h = 0,1 m h= 0,2 m b a
100 UTM/m 3 p = p latm pb = = 2 b
latm 1.033 kgfjcm 2 g = 10 mjs 2 =
A figura representa um recipiente contendo um líquido
mantido a nível constante, cuja temperatura varia
linearmente com a profundidade, decrescendo da superfície ~.
para o fundo, onde vale 20°C. A taxa de variação é igual a
40°Cjm. Sabe-se que o peso específico do líquido varia
linearmente com a temperatura,
aumenta, com uma taxa de variação
peso específico vale 1.200 kgfjm3•
e os dados da figura calcular
diminuindo quando esta
de 5 kgfjm3 /°C. A 20°C o
Com as informações acima
o valor da altura H da
superfície livre do líquido contido no recipiente '1 = Hg
= 13600 kgfjm3•
H Hg \
-.- J:ocm pc.J I
1m
FIG. 2.20 ~ FIG. 2.21
2.22 - uma atmosfera tem uma temperatura ao nível do mar de 27°C e
cai 1°C para cada 275m de elevação. Se a constante do ar é
de 287 N.mjkg.K, qual é a elevação sobre o nível do mar
onde a pressão é 70% da que existe sobre o nível do mar?
2.23 - Para medida de pequenas variações de pressão em gases,
utiliza-se algumas vezes o manômetro de cúpula. Basicamente
consiste em uma cúpula cilíndrica de raio R e espessura de
parede e, colocada em um determinado líquido, como na
figura e sustentada por um contra-peso W. o gás cuja
8
variação de pressão se deseja medir fica aprisionado na
câmara C formada pela superfície do líquido e o fundo da
cúpula cilíndrica. Para um líquido de peso específico 7 e
um gás cuja pressão ~ deseja-se medir, calcular:
1) A expressão ~~' isto é, a relação entre a variação de
pressão e a variação z, demonstrando que este manômetro
é realmente sensível, isto é, para pequenos dp teremos
grandes dz.
2) Para R = 100 mm, e = 1,0 mm calcular o deslocamento
vertical da cúpula, devido ao aumento de pressão no gás
de 1 mm de coluna d'água.
2.24 - Calcule âH
Patm v--= z
GÁS
p
.., FIG. 2.23
2.25 - Calcular a leitura, em kgfjcm2, do manômetro A da figura.
Densidade relativa do mercúrio 13,6. 0,2 kgftcm2 ( VÁCUO)
AR
102,00 AR
100,00 . AR
dt = 0.80
A
FIG. 2. 25
FIG. 2.24
. AR." • .
t I 0, 15m
Hg _L
2.26 - Determinar a altura x e a pressão do ar dentro da
campânula, na configuração abaixo. Dado: densidade relativa
do mercúrio 13,6.
9
2.27 - Calcular a diferença de nível Ah entre as superfícies dos
dois reservatórios que contém água, quando o desnível
manométrico vale 0,50 m. Densidade relativa do líquido
manométrico igual a 0,70.
t-·20m
_tsom
FIG. 2.27
FIG. 2. 26
2.28 - Dado o dispositivo da figura, calcular a pressão relativa
na câmara ( 1) quando o manômetro de Bourdon indica uma
leitura de 2,5 kgfjcm2• Dado 7 = 13.600 kgfjm3
• Hq
2.29 - Os dois recipientes da figura são fechados e cheios de ar.
Quando as leituras nos manômetros A e C forem as indicadas,
determinar o desnível de mercúrio x. Leitura barométrica
local 750 mmHg.
2,0kgftcm2 ABERTO---..,.
AR . Hg
AR .
FIG. 2.28 FIG. 2. 29
2.30 - o manômetro mostrado na figura mede uma pressão cor
respondente a o, 10 m de coluna de mercúrio. Se a pressão
absoluta no ponto A for dobrada, qual será então a leitura
no manômetro, em metros de coluna de mercúrio?
Pressão atmosférica local 740 mmHg.
10
2.31 - Determinar o desnível no fluido manométrico de d = 1,60,
dentro do manômetro em "U", quando a válvula V for aberta .
Hg
FIG.2. 30
. -AR.· ___ -
2.10m
Q90m
OLEO dr = 0,85
FIG. 2.31
v
2.32 - Um cilindro oco de altura l = 0,20 m é mergulhado em água
até uma profundidade h = 1,00 m. Determinar a altura d'água
x dentro do cilindro supondo que o ar aprisionado no
cilindro se comprima isotermicamente, durante o processo.
Dado: leitura barométrica local= 735,7 mmHg.
2.33 - Determine o valor de ~H no manômetro da figura.
2.34
N_A_ r=
r---, 1 I I
1 I l•0.20m I I I
1 I
AR
FIG_ 2.32
IS,Om 1 I
1,0 m+ _..._ __ _,
FIG. 2. 33
PH 0
= IOOOkgtm3
2
àH = ?
No manuseio de substâncias químicas é mui to usado um
dispositivo denominado "pipeta 11 • A pipeta consiste de um
tubo de vidro aberto nas duas extremidades, que é
introduzido verticalmente no líquido a ser utilizado. A
extremidade superior é então tapada pelo polegar e o tubo
retirado, trazendo líquido suportado pela pressão
atmosférica. Quer-se retirar um volume Volo conhecido de um
líquido tóxico, p = p , através de uma pipeta de diâmetro d 1
11
e comprimento L, conforme a figura 2.34. Determine a pro
fundidade x a que a pipeta deva ser introduzida no líquido,
antes de ser tapada na extremidade superior, para retirar
exatamente o volume Valo.
VOLUME Vol0
( 1) ( 2)
FIG 2 34
12
FOLHA DE RESPOSTAS
~
2.2 - F = 8448i + 2000j
2.3 - 'iJtj> = yi + (x + z3)j + 3 yz 2k;
2.4 - f = -7 unidades
2.5 - p (po h+ h2
= g c -) 1 2
2.6 - p 7 h + 2 Kh3/2 = -3-o
7 e 2.7 o - 7 = e - 7 h o
Para h = 100 m ~ 7 = 1000,48
2 · 8 - PA- PB = 7 Hq d2 - 7 H o(d2 + d3) 2
I VtJ>
kgfjm 3
2.9 - PA- P8
= 7Hq d4
COS 45° + 7Hqd3 - 78 0
d 1 2
2.10 - P = 180 kgfjm2 (relativa) A
2.11 - Ah = 2 h ("'H - 7 H o>
2
2.12 - z = 7.473 m
2.13 -h= 17,2 em de água
I =
p 2.14 - P = -8 + 7
r Hq Z2 -"'H O Z1- 70
Z3 (relativa) 2
2.15 - c5 =
d =
2.16 - Pr
2.17 - p -A
2.18 - p ar
p ar
p H
p H
2.20 - PA p
A p
o
a --x- d
Ap
(72 71) + a - --x- 71
= p
= = = =
= = =
49,98 kgfjcm·2
B = (Ah + Ah ).(7 - "'H 1 2 Hq
0,340 kgf/ m 2
(rel.)
1,340 kgf/ m 2
( abs.)
0,3655 kgfjcm 2 ( rel. )
1,3655 kgfjcm 2 ( abs.)
50 UTMjm3
-100 kgfjm2 (rel.)
10.230 kgfjm2 (abs.)
2.21 - H = 1.92 m 13
o) + "'H A h o 2 2
37
2.22 - Z. = 3096 m
2.23 - dp 21'e dz =--R-
dz = - 50 :mm
2.24 - â.H = 1,875 m
2.25 - p 0,796 kgfjcm 2 =
2.26 - X = 3.22 m p 0,322 kgfjcm 2 = ar
2.27 - âH = 0,15 m
2.28 - p 2.704 kgfjcm 2 = • I
2.29 - X = 1,72 m
2.30 - L = 0,90 m.c.Hg
2.31 - h = 0,87 m
2.32 - X = 2 em
2.33 - âH = O
2.34 - X = L -
( 4. Volo Pat- p .g. )
1 d 2 v 1 ______ Tl.:...:...:..• .:.:._ __ • ( L _ 4 • O 2
o)
Pat Tl.d
14
•.
I '
I •
3.1
CAPÍTULO 3
FORÇAS SOBRE SUPERFÍCIES SUBMERSAS
Determinar a força resultante sobre a
superfície submersa. Determinar de
resultante.
parte superior da
forma completa a
3.2 Determinar o módulo e a linha de ação da força resultante
da ação dos fluidos sobre a comporta mostrada. Dado 780
= 2
= 1000 kgfjm3• Pman = 7 kgfjcm2
2,4m
FIG. 3.1 FIG. 3. 2
3.3 - Que altura de água fará girar a comporta da figura no
sentido dos ponteiros do relógio? A comporta tem uma
largura de 2 m. Despreze o atrito e o peso próprio da
comporta.
3.4 - A placa OB mostrada na figura tem largura b e comprimento
a e é articulada em Q. Se o peso da placa é W e esta é
suportada pela coluna d'água, determinar o ângulo e de
equilíbrio em função da altura h da coluna d'água.
h
FIG.3.3 FIG.3.4
15
3. 5 - A comporta ABCDEF da figura, articulada no extremo A,
mantém-se em equilíbrio pela ação da força horizontal H
aplicada em F. Sendo a largura da comporta i qual a 2, O m,
determinar o valor da força H e as componentes horizontal e
vertical da força que solicita a articulação A.
3.6 - Determinar a força necessária para levantar
quadrada da figura, cujo peso é 500 kqf.
= 1000 kqfjm3•
F - H 0,3m
- ;, 0,3m --
I E \1-:J
I 0,4 m
1,~ l,Om ·I
- I ---HzO O,Sm
A
~o H20
FIG. 3.5 FIG. 3.6
a comporta
Dado 7H 0
= 2
- ITo.sm --
3.7 -A comporta da figura pode qirar em torno do ponto o. Determinar a mínima altura h para a qual a comporta irá
abrir. Dado 7H 0
= 1000 kqfjm3•
2
3 • 8 - Determinar o mínimo valor de Z, para o qual a comporta da
figura girará em torno do ponto o, se a comporta é
retanqular de 2 m de largura. Dado 7H 0
= 1000 kqfjm3•
2
0,5 kgf/cm2
z o Ji(
. ·. . - ·. ~ :
..• ·• . . . AR h
O ..,_._1. ---=2'-"'---m --~ :.·:-<;-v
Sm ·_: ; ...... _. ·.: ... _
: -~ :· .: ... ·'
FIG. 3.7 FIG. 3.8
16
~ I
I•
3.9 A figura representa a secção de uma barragem de concreto.
Admitindo que não haja subpressão, determinar para um
metro de largura, as componentes horizontal e vertical do
empuxo de água sobre a face de montante. Supondo um
coeficiente de atrito entre a barragem e o terreno da base,
igual a o, 4, verificar se haverá tombamento da barragem.
Verificar a estabilidade ao deslisamento. Definir
coeficiente de segurança em relação ao escorregamento e
tombamento e calcular seus valores para a barragem. Peso
específico do concreto igual a 2,4 tonfjm3•
3.10- Fazer o exercício 3.9., admitindo um diagrama de sub-pres
são hidrostática, triangular, agindo sobre a base da
barragem, e cujo maior valor da pressão vale 8 7, e mostrar
que a resultante das forças ativas passa pelo terço médio
da base da barragem. Traçar o diagrama de tensões para a
base da barragem. Adote um coeficiente de atrito entre o
maciço e a base igual a 0,6.
12m
FIG.3 .lO
3.11 - A comporta retangular mostrada na figura está articulada em
A e apoiada em uma parede vertical lisa em B. A largura da
comporta é 5 m. Determine as componentes horizontal e
vertical das reações em A e B. Dado = 78 0
= 1000 kgf/m3•
2
3.12 - Imagine um líquido que quando está em repouso se
estratifica de forma que seu peso específico é proporcional
a raiz qu~drada da pressão. o peso específico na superfície
17
livre é 7 • Qual é a pressão em função da profundidade h o
medida a partir da superfície livre? Qual é a força
resultante sobre uma das faces da placa que é mostrada na
figura. A largura da placa é b.
A
12m
Bm B
H~
A
FIG. 3.11 FIG. 3.12
3.13 - Determinar o módulo e o ponto de aplicação da resultante
das forças devido aos fluidos que atuam sobre a comporta da
figura, de 1,50 m de largura e articulada em o. Despreze o
peso da comporta.
3.14 - Determinar o momento M, necessário para que a comporta da
figura mantenha-se fechada. A comporta está articulada em o e apoiada em B. Largura da comporta 1,80 m.
2 0,3 kgf/cm O,Sm
O,Sm
FIG. 3. 13
dr= 5, O
FIG. 3.14
3.15 - A comporta AB de 1 metro de largura é articulada em B e
repousa sobre uma superfície lisa em A. A comporta separa
dois reservatórios contendo água. No reservatório da
esquerda existe um ••colchão" de ar comprimido, e o
manômetro colocado em C, indica uma pressão de 0,3 kgfjcm2•
18
O reservatório da direita é aberto para a atmosfera. Com os
dados da figura, calcule as componentes da reação na
articulação B. Dado 78 0
= 1000 kgfjm3•
2
3.16 - A comporta triangular ABB de peso desprezível é articulada
por um eixo que passa por BB e apoiada em A. Um peso w colocado em C e rigidamente ligado a placa ABB, serve de
contra-peso para manter a comporta fechada. Determinar o
peso W para que a comporta esteja na iminência de abrir,
quando a altura d'água no canal for h = 0,6 m.
~:-+]:-~--1-:±:.~...! w -
!• 1,20~
t:~: ," lo,sm __l_
h=0,6m
H f> A
4m Visto A-A
FIG. 3.15 FIG. 3.16
3.17 - Calcular o módulo e o ponto de aplicação, com relação a
superfície livre, da força provocada pela água sobre um
lado de área plana vertical mostrada.
3.18 - A comporta retangular mostrada na figura, de peso
desprezível, está articulada em O e apoiada em B.
Determinar a altura h, a partir da qual a comporta girará
em torno do eixo que passa em o.
- r 1,20m 1,50m 1,20 m -= -
I, 20m
B
0,90m
FIG. 3.17 FI G. 3_ 18
19
3.19 - Determine o módulo da força resultante que atua sobre a
superfície esférica da figura e explique porque a linha de
ação passa pelo centro o.
3.20 - Qual é a força resultante sobre a comporta AB, cuja secção
é um quarto de circunferência? A largura da comporta é
1,2 m. Determine a cota a partir da soleira, do centro de
pressão.
1 3m SOem
A
FIG. 3.19 FIG. 3.20
3.21 - A comporta ABCO de peso desprezível, separa dois depósitos
com líquidos de peso específico 7 e 7 • Sendo r o raio da 1 2
circunferência e estando a comporta em equilíbrio na
posição mostrada na figura, determine a relação 72
/ 71
• A
comporta está articulada em c.
3.22 - Determine a força horizontal devido aos fluidos que atuam
sobre o obturador cônico mostrado na figura.
A
h 29
FIG. 3.21 FIG. 3. 22
20
3.23 - Determine as componentes horizontal e vertical da re
sultante do empuxo sobre a superfície cilíndrica da figura,
cujo raio é 1,0 m e cuja geratriz mede 4,0 m.
3.24 - Determine o módulo e o ponto de aplicação das componentes
horizontal e vertical da força exercida pela água sobre a
comporta AB da figura sabendo-se que sua largura é de 3,0 m
e o raio é de 0,9 m e a comporta está articulada em c.
2,5 m ~ B
FIG. 3. 23 FI G. 3.24
3.25 - O peso específico de un 11 iceberg11 é de 915 kgfjm3 e o da
água do mar é de 1.025 kgfjm3• Se da superfície livre do
mar emerge um volume de 11 iceberg11 igual a 30.000 m3 qual
é o volume total do 11 iceberg11 ?
3.26 - Um cilindro de ferro fundido de 30 em de diâmetro e 30 em
de comprimento é imerso em água do mar ('1 = 1030 kgfjm3).
Qual o empuxo que a água exerce sobre o cilindro? Qual o
empuxo se o cilindro fosse de madeira? Neste caso, qual
seria a altura submersa do cilindro? 7 mad = 750 kgfjm3•
FIG. 3.26
21
3.27 - Calcular o raio mínimo que deve ter a esfera oca e peso
desprezível a fim de que a comporta articulada em o não
abra. Admita que o cabo que liga a esfera à comporta bem
como a roldana A sejam ideais. Dado: 780
= 1.000 kgfjm3•
2
3.28 - A figura mostra um reservatório com uma abertura circular
fechada por uma esfera. A pressão no interior do
reservatório é de 50 lbfjpol2 (absoluta). Qual a força
horizontal exercida pela esfera sobre a abertura?
Dado latm = 14 1 7 lbf/pol2•
AR A
0,6 m
FIG. 3.27 FIG. 3. 28
3.29 -Uma semi-esfera cheia de líquido está submetida a pressão
correspondente a uma altura h. Achar o empuxo vertical na
parede interior da semi-esfera de raio r. Dado peso
específico do líquido 7·
3.30 - Uma cúpula hemisférica cobre um tanque fechado. Se o tanque
está completamente cheio de gasolina (densidade relativa = = o 1 72) 1 e o manômetro indica a pressão de O, 9 kgfjcm2
1
qual é a força total sobre os parafusos que prendem a
cúpula?
PARAFUSO /
h
I,SOm
dr =O, 72
FIG. 3. 29 FIG. 3. 30
22
•
3.31 - Uma comporta cilíndrica de raio r e largura t, barra a
água, como mostra a figura. O contato entre o cilindro e a
parede é liso. Calcular a força exercida contra a parede o
peso da comporta, para que o nível d'água seja o mostrado.
Determine também as linhas de ação das componentes
horizontal e vertical da força devido a água sobre a
comporta, tomando como referência o ponto o.
3.32 - Determine o módulo, direção, sentido e o ponto de aplicação
das componentes horizontal e vertical da ;orça devido ao
líquido de peso específico 7, sobre a comporta cilíndrica
de comprimento t e a secção igual a 3/4 de circunferência
de raio r.
h
FIG. 3.31 FIG. 3. 32
3.33 - Verificar as condições de estabilidade da barragem da
figura, por metro de largura, calculando os coeficientes de
segurança ao deslizamento e ao tomabamento. Verificar se há
possibilidade de aparecer tensões de tração na base da
barragem. Coeficiente de atrito entre a barragem e a
fundação o, 50. Determinar também a tensão de compressão
mínima, na base do maciço.
3.34 - Um submarino pesa 900 tonf. Com esse peso ele flutua na
superfície da água doce com 90% do seu volume total imerso.
Que volume de água deve ser admitido em seus tanques a fim
de que ele possa submergir totalmente? 2 Dados: g = 9,8 mjs
p = 102 UTM/m3
23
4m
6m
~~
I I 1 P = 120 ton
·I
3.35 - Determine o módulo e as linhas de ação, em relação ao ponto
O,das componentes horizontal e vertical da força que a água
exerce sobre o cilindro mostrado na figura. O cilindro, de
0,80 m de diâmetro, está articulado por um eixo horizontal
que passa por o. Calcule as forças por unidade de largura
no cilindro.
3.36 - O cilindro de 3,0 m de comprimento está articulado no ponto
A. Calcular o momento, em relação ao ponto A, requerido
para manter em equilíbrio o cilindro, na posição mostrada.
-dr= 0,80 0,6m )M
-H~ 0,6m
FIG. 3. 35 FIG. 3. 36
3.37 - A figura mostra uma comporta semi-esférica de ferro fundido
(dr = 7,8) articulada em A e simplesmente encostada em B.
Determine os módulos das componentes horizontal e vertical
das forças em A e B. o centro de gravidade da semi-esfera
dista 3~ da base onde r é o raio.
24
•
3.38 - o cilindro de 0,60 m de diâmetro e 2,0 de comprimento está
em repouso na posição mostrada na figura. Determinar o
módulo e a linha de ação com relação ao ponto o, das
componentes horizontal e vertical da força devido a água
sobre o cilindro.
FIG. 3. 37 FIG. 3.38
3.39 - Determinar os módulos das componentes horizontal e
vertical, bem como suas linhas de ação com relação ao ponto
o, da força devido a água sobre a comporta tipo setor,
mostrada na figura. A comporta é articulada a um eixo que
passa pelo ponto o e seu comprimento é 6,20 m.
3.40- Um sarrafo de pinho de secção reta (2,5 x 5 em), está
articulado em B. A extremidade A está presa ao piso do
depósito que contém água, por um cordão c, mantido
vertical • Com os dados da figura, calcule a tensão no
cordão. Dado: massa específica do pinho p = 17 gjcm3•
8
FlG. 3. 39 FIG. 3.40
25
3.41 - Dois cubos iguais de 1 m3 de volume, um de densidade
relativa igual a 0,80 e outro de 1,10, estão unidos
mediante um cordão curto e colocados na água. Que volume,
do cubo mais leve, fica acima da superfície livre da água?
Qual a tração a que o cordão está submetido?
3.42 -Um cubo de 60 em de aresta, tem sua metade inferior de
densidade relativa igual a 1,4 e a metade superior igual a
0,6. Está submerso na massa de dois fluidos imiscíveis, o
inferior de densidade relativa igual a 1,2 e o superior de
0,9. Determinar a altura do cubo que sobressai por cima da
interface dos dois líquidos.
V e= ? SUP. LIVRE
dr = 0,9
dr = 1,10 dr = I, 2
FIG. 3.41 FIG. 3.42
3.43 - Determinar a densidade e o volume de um objeto que pesa
3 kgf quando colocado na H20 e 4 kgf quando colocado em·um
óleo de massa específica relativa 0,8.
3.44 - Deseja-se determinar a densidade em gjcm3 de uma pequena
amostra de basalto, para isso foi determinada a massa da
amosta no ar e na água, a primeira medida foi de 31 g e a
segunda de 20 g. Qual a densidade da amostra?
3.45 - O densímetro é um aparelho destinado a medir a densidade
relativa dos líquidos, baseado no princípio da flutuação. o aparelho é tarado com pequenas esferas metálicas, para que
seu peso seja w. O densímetro tem uma haste de secção reta
' ,, '.'
26
'' I '
constante e igual a ~· É feita a calibração do aparelho
colocando-o em água destilada (dr = 1), determinando-se o
volume submerso V é marcando-se na haste, o zero da o
escala, correspondente ao nível da superfície livre da
água. Quando o densímetro flutua em outro líquido a haste
sobe ou desce em relação ao zero da escala de calibração,
de uma altura âh, como no diagrama da direita. Calcular em
função de V , s e âh a densidade relativa dr de um líquido o
qualquer.
3.46 - A parede de um reservatório d'água tem a forma apresentada
na figura. As ondulações tem a forma de semicircunferências
de raio R. Determinar a força horizontal provocada pela
água e seu momento em relação ao ponto A. A largura do
reservatório é L e pede-se a resposta para um número n de
ondulações.
ÁGUA DESTILADA
o
w
à h
FIG. 3. 45
A
~o
dr
w
FIG. 3.46
3.47 - Qual o valor do empuxo sobre a esfera da figura se as
secções do depósito estão totalmente isoladas uma da outra.
3.48 - o cilindro da figura está cheio com um líquido conhecido.
Determine:
a) a componente horizontal da força sobre AB por pé de
comprimento, inclusive sua linha de ação em relação ao
centro o. b) a componente vertical da força sobre AB por pé de
comprimento, inclusive sua linha de ação, em relação ao
centro o.
27
Patln
A 2,5m
ÓLEO dr= 0,80
FIG. 3.47 FIG. 3. 48
3.49 - Calcular o módulo e o ponto de aplicação (em relação ao
ponto O) , da resultante das forças devido aos fluidos,
agindo sobre a tampa do depósito cilíndrico de raio r, com
meia secção contendo água e meia secção contendo ar sob
pressão.
Dado: momento de inércia de um círculo, com relação ao 4.
diâmetro rrr • ~
3.50 -Uma comporta cilíndrica de raio r
igual a 2 , o m, retem óleo e água,
= 0,60 m e largura
conforme a figura. o contato entre o cilindro e a parede, é liso. Calcular a
força exercida contra a parede e o peso da comporta, para
que os níveis dos líquidos sejam os mostrados. Determine
também as linhas de ação dos componentes horizontal e
vertical da força devido aos líquidos sobre a comporta,
tomanqo como referência o ponto o.
lt._~ Ar r
o~ r~~ ~
~o ' r
"""' TAMPA
FIG. 3 .49 F I G. 3. 50
28
.,
3.51 - A comporta de peso desprezível, de largura L, está suspensa
por um eixo que passa pelo· ponto o, e separa dois
reservatórios que contém água. Qual deverá ser o valor da
medida x, para que a comporta permaneça na posição da
figura, sem haver tendência de girar? Despreze o atrito no
ponto A.
3.52 - Determine o módulo e a linha de ação, com relação ao ponto
c, das componentes horizontal e vertical da força devido a
água, sobre a comporta ABC de 4 m de largura.
r- X •1-,----==-
2r
FIG. 3.51 FIG. 3.52
3.53 - Determinar o módulo, direção, sentido e o ponto de
aplicação dos componentes horizontal e vertical da
força devido ao líquido de peso específico '1, sobre a
comporta AB de comprimento L e secção igual a 1/4 de
circunferência de raio R. Relacionar as linhas de ação dos
componentes com o ponto o.
3.54 - Determinar o mínimo valor da força F para manter a comporta
de 1,20 m de comprimento, peso desprezível e cuja secção é
1/4 de circunferência de r = 1 m, em equilíbrio. A comporta
é articulada em A.
1 H
8
FIG 3. 53
29
2,0m
2 P = 0,25 kgf /em
FIG. 3. 54
3.55 - Na parede de um depósito há uma chave de fechamento que
gira em torno de o. Seu comprimento é L e sua secção é 3/4
de círculo. Calcular:
a) Os empuxos vertical e horizontal sobre o eixo da chave,
devido ao líquido de peso específico 7·
b) A inclinação do empuxo em relação a um plano horizontal.
c) o momento em relação ao eixo da chave.
3.56 - A quilha de um navio é curva na forma de um arco de círculo
de 1, o m de raio. Com a água no nível mostrado, calcule
para uma faixa de 2,0 m de largura, as componentes
horizontal e vertical da força de pressão sobre A - B, bem
como as respectivas linhas de ação. 3 Dado 7 = 1025 kgf/m .
mar
FIG. 3. 55
2,70m
lm o r--- e 1 mi
A
FIG. 3.56
3.57 - Calcular a força necessária para manter a comporta de 1,2 m
de largura, mostrada na figura fechada, quando R = 0,45 m.
A comporta está articulada em A e tem peso desprezível.
3.58 - A comporta AB mostrada na figura é articulada em A e
repousa contra uma parede vertical perfeitamente lisa em B.
A comporta tem 6, O m de largura. Com a água no nível
mostrado, determine as componentes horizontal e vertical das
reações em A e B. Dado 7 = 103 kgfjm3•
30
A
F
FIG. 3. 57
1,20m
....... ...... ÓLEO
dr = 0,8 A
--
8
r=4,0 F I G 3 58
3.59 -Um reservatório d'água, de largura L tem os cantos
superiores em forma de 1/4 de circunferência de raio r. Com
o nível d'água mostrado, calcule as componentes horizontal
e vertical, bem como as linhas de ação da força devido a
ãgua sobre a superfície curva AB.
8
FIG 3.59
31
FOLHA DE RESPOSTAS
3.1 -F = 1585,5 kgf
y' - y = 0,033 m c
X 1 - X = - 0,023 m c
3.2 -F = 484 tonf
3.3
3.4
r
Y' - y = 0,975 x 10- 2 m c
-h= 2,78 m 2
-sen e . cos e =
-H = 3.5 408 kgf
3.6
3.7
3.8
3.9
H = a
v = a
-F =
-h =
-z =
1032 kgf
240 kgf
1000 kgf
3.47 m
6,7 m
-Coef. seg. deslizamento
Coef. seg. tombamento
= 1,17
= 4,65
3.10 -0,53 kgfjcm 2 2
2, 54 kgfjcm
L!!!!!! 11!!!11111 3.11 -H = 35 "1
A
v = 120 "1 A
HB = 125 "1
"12 h2 3.12 -P o + Patm + "1 h = 4 Patm o
2 t3
[ "1 t2 t ] F b
o + + Patm = "1 -2- . 12 Patm o
3.13 -F = 3,45 tonf c--'=1 X = 0,53 m de A
3.14 -M = 518,4 kgf.m
3.15 -v = 1750 kgf B
H = 6000 kgf B
32
,.
·,
3.16 - w = 90 kgf
3.17 - F = 4644 kgf
h'= 2,456 m
3.18 -h= 1,51 m
3.19 - F 2. + 2 3 •
= 37nr 1. 7H' r J r 3
3.20 - F = r
1,43 X 10 3 kgf
d = 0,55 m
3.21 - 72 I 71 = 6,88
3.22 - F [ Pa +h+
d ] [ntg2
e = 7 -- --X 7 a
3.23 - F = 14,1 7 h
F = v
20,4 7
3.24 - F = 1215 kgf X
F = 1908 kgf y
y = 0,60 m abaixo de C
X = 0,38 m a esquerda de c 3.25 -v 280.000 m 3
= t
3.26 - E = 21,8 kgf
E = 15,9 kgf
h = 0,218 m
3.27 -R = 44 em
3.28 - F = 1770 lbf h 2 3.29 - E
2 (h r) = 7nr - 3 v
3.30 - E = 33,2 tonf v 1 2 3.31 - F = - 7r t d 2
(1 + l Peso 2 t n) = 7r 4 y
X
3.32 - F h
=
=
1 3 r, acima de o 0,049 r, a direita
r = 7 t r (h - 2 ) de o
3 Fv = 7 l r (h+ 4 n r)
X =
y =
r (h - 213 r) , a direita de o 2 h + 3/2 n r
r (h - 213 r) , acima de O 2 h - r
33
( d - t )] 2tge
3.33 -c = 2,33 desl
c = 4,95 tomb
15,69 tonfjm 2 u = a in
3.34 -v = 100 3 m
3.35 -F = 233,14 kgf h
F = 467,20 kgf v
y = 0,06 m, abaixo de o X = 0,03 m, a esquerda de o .
3.36 -M = 1,09 tonf.m
3.37 -H = 0,206 tonf A ~
v = 0,912 tonf A
H = 0,598 tonf B
3.38 -Fh = 810,0 kgf
Fv = 1324,1 kgf
y = 0,14 m acima de o X = 0,09 m a direita de o
3.39 -Fh = 13,39 tonf
Fv = 4,50 tonf
y = 0,60 m acima de o X = 2,05 ma esquerda de o
3.40 -T = 0,30 kgf
3.41 -v 0,10 3 = m
T = 100 kgf
3.42 -x = 0,40 m
3.43 1,6 gjcm 3 -p =
3.44 2,8 gjcm 3 -p =
3.45 -d 1 = r 1 s Ah - vo
3.46 -F = 27R2 n 2L
h
M 8 R3 3L = -1' n A 3
3.47 -F = 210 kgf, para baixo
34
3.48 -F = 225 lbf h
F = v
353,4 lbf
y = 2,0 pés, acima de o X = 1,27 pés, a esquerda de o
3.49 -R 3 ( .!! + 2 = 7r 3 2
y = 0,1765, abaixo de o
3.50 -F = 288,0 kgf h
y = 0,20 m acima de o F = p = 2159 kgf
v
X = 0,033 m a direita de o
3.51 -x = r v'"2
3.52 -F = 8,0 tonf h
y = 0,46 m acima de c F =
v 12,0 tonf
X = 0,64 m a esquerda de c
3.53 -F R L (H R = 7 - -) h 2
R (H - 2/3 R) acima y = de o 2 H - R
F = 7RL (H -~) v 4
R (H - 2/3 R) X = a esquerda de o rr R (2H - -2- )
3.54 -F = 0,86 tonf
3.55 -F = 27hrL h
Í Ilr2
L7 F = v
tge Ilr - Bh
M 1 3 (horário) = --7r L r 3
3.56 -F = 6560 kgf h
F = 7145 kgf v
~ X = 0,49 ma direita de A
y = 0,47 m acima de A
3.57 -F = 259,1 kgf
35
3.58 -F = 3.000 kgf h
.F = 4.712 kgf v
A = h
1.712 kgf
B = 4.712 kgf h
A = 4.712 kgf v
3.59 -F 1 Lr2 = - '1 h 2
F 7Lr2
(1 Tr ) = - 4 v
2 r esquerda de B x= 3 4-Tr I a
1 y= 3 r, acima de A
36
CAPÍTULO 4
LEIS BÁSICAS DOS FENÔMENOS DE TRANSPORTE
4.1 - uma placa infinita se move com velocidade constante Vo,
sobre uma película de óleo que descansa por sua vez sobre
uma segunda placa, como mostrado na figura. Para h pequeno
pode-se supor nos cálculos práticos, que a distribuição de
velocidade no óleo é linear. Qual é a tensão cortante sobre
a placa superior?
PLACA MÓvEL 'I
h ~---·7
7
/
t":=7/ ____ ._ ______ ~~~--·--------~·X
PLACA FIXA ).1
FIG. 4.1
V o -
4 .• 2 a) Determinar o torque M requerido para se girar um disco
de diâmetro d, com uma velocidade angular constante w,
sobre um filme de óleo de espessura h e v~scosidade ~.
b) ·Determinar o torque M requerido parà se girar um
cilindro A concêntrico a outro B com uma velocidade angular
constante w. Entre os dois cilindros existe um filme de
óleo de espessura h e viscosidade ~. Assuma em ambos os
casos uma distribuição linear da velocidade no filme de
óleo.
ai b)
FILWE
~_..ll...._l ._I _...._...~.~111..._ ---..&.· --~----------------~--~~· h T
FIG. 4.2
37
4.3 - Um óleo de densidade igual a 0,85 escoa por uma canalização
de 10 em de diâmetro. A tensão cisalhante na parede da
canalizaÇão é o, 33 kgf/m2 e o perfil de velocidade é dado 2 por V = 2 - 800 r (mjs) , onde r é a distância radial
medida a partir do eixo da tubulação. Qual é a viscosidade
cinemática do óleo?
Um bloco pesa 25 kgf e tem 20 em de aresta. Deixa-se o
bloco escorregar em um plano inclinado no qual existe uma
película de óleo cuja viscosidade é igual a 2,2x10-4
kgf.sjm2 .Qual é a velocidade limite que o bloco atingirá,
supondo-se que a espessura do óleo é de 0,025 mm? Utilize a
hipõtese de distribuição de velocidade li~ear.
4.5 - A figura mostra o escoamento de um fluido viscoso, sobre
uma placa plana. Supondo que:
1 - a velocidade varie somente em y.
2 - o perfil de velocidade seja parabólico, ou seja, possa 2 ser expresso por uma expressão V (y) = ay + by + c.
3 - a tensão tangencial entre o fluido e o ar possa ser
totalmente desprezada.
4 - o fluido é Newtoniana.
Pede-se calcular a expressão da tensão tangencial na parede
da placa plana ( y = o ) em função da velocidade V o, da
espessura h e da viscosidade absoluta do fluido.
25 kgf 0,025 mm
FIG. 4.4 FIG. 4. 5
38
4.6 - A figura representa o perfil de velocidade um fluido em
escoamento. São dados: /J., a, b e o valor V Pede-se max
calcular o valor da tensão tangencial no ponto de
coordenadas x = a, y = o. Fazer as hipóteses necessárias.
4.7 -Um corpo cônico gira a uma velocidade constante igual a w
radjs. Uma película de óleo de viscosidade 1J. separa o cone
do recipiente que o contém. A espessura da película de óleo
é h. Que torque se necessita para manter o movimento? o cone tem uma base de raio igual a r e uma altura H. Suponha
uma distribuição de velocidade linear e o fluido
Newtoniana.
FIG. 4.6 FIG.4.7
4.8 - O peso da figura, ao descer, gira o eixo que está apoiado
em dois mancais cilíndricos de dimensões conhecidas, com
velocidade angular constante w. Determinar o valor do peso
G, desprezando a rigidez e o atrito na corda e supondo que
o diagrama de velocidade no lubrificante seja linear.
Dados: /J., De, Di, L, w e o. Discutir a solução.
4.9 - São dados dois planos paralelos distanciados de 0,5 em. o espaço entre os dois é preenchido com um fluido de
viscosidade absoluta 10-5 kgfjm2• Qual será a força
necessária para arrastar uma chapa de espessura de 0,3 em,
colocada a igual distância dos dois planos, de área 100
cm2, à velocidade de 0,15 mjs.
39
FIG. 4.8 FIG. 4.9
4.10 - Classificar as seguintes substâncias com base nos dados de dv velocidade de deformação -ay- e tensão cisalhante ~.
a) b)
!dV ldy (rQ.js) o 1 3 5 ~; (rdjs) o 3 4 6 5 4
~ kgf/cm 2 0,1 0,2 0,3 0,4 ~ kgfjcm 2 0,2 0,4 0,6 0,8 0,6 0,4
~; (rdjs) o 0,5 1,1 1,8 ~; (rdjs) o 3 4 6 5
~ kgfjcm 2 o 0,2 0,4 0,6 ~ kgfjcm 2 o 0,2 0,4 0,6 0,8
4.'11 -.Dois discos são dispostos coaxialmente face a face
separados por um filme de óleo lubrificante de viscosidade
~ e espessura h. Aplicando-se um momento torsor M ao disco t
1 este inicia um movimento em torno de seu eixo e através
do óleo, estabelece-se
velocidades angulares w
o
e w 2
regime, de forma que as
ficam constantes. Admitindo o 1
regime estabelecido, demonstre
onde D é o diâmetro dos discos.
que w 1
w 2
= 32 h M
t
4 1l D ~
4.12 - Entre duas placas, paralelas e infinitas existe um filme de
óleo Newtoniana de viscosidade ~ e espessura h. A placa
superior move-se com uma velocidade constante Va e, uma vez
atingido o regime, a placa interior desloca-se com uma
velocidade Vb constante (Vb < Va) devido a viscosidade do
óleo. Supondo um perfil de velocidade linear, determine:
a) a tensão tangencial sobre a placa A.
40
b) a relação entre a tensão tangencial sobre a placa A e a
tensão tangencial sobre a placa B.
1:):) fiiF" jJ M W
1 (,)2
~~ 8
FIG. 4.11 FIG.4.12
4.13 - Três placas planas, paralelas e infinitas, separadas pelas
distâncias h1
e h2
, possuem entre elas ól~os Newtonianos de
viscosidade ~1e ~2 , respectivamente. A placa A move-se com
uma velocidade constante V A e a placa C com velocidade
constante (V < V ) . A placa B, inicialmente em repouso, C A
começa a deslocar-se para a direita. Calcular a velocidade
VB de regime, isto é, a velocidade VB constante, após o
equilíbrio do sistema .
.Qual· a relação entre V e V para que a placa B não se A C
mova? considere em ambos os casos um perfil de velocidade
linear em ambos os filmes de óleo .
. . . .. . . .. . . . . ..
.. _ .... -.
:~>'::·j '• ·: ~ •. ·. ,· .·:_· ':' .. ·: ... : ; ' . ·;' > iz; z p p 2 z z z z z z p p z z z z z j z z (? 2 p p z z z a z z z t p paz p (? z z p ta
FIG. 4.13
Uma placa delgada e de grande área é colocada no meio
(centro) de uma brecha cheia com um óleo de viscosidade ~ o
e é puxada com uma velocidade constante v. Se um outro óleo
de viscosidade IJ.1
for colocado na brecha substituindo o
primeiro, verifica-se que para a mesma velocidade V a força
41
de atrito sobre a placa só será igual a força anterior se a
placa estiver localizada fora do eixo de simetria (centro)
da brecha, mas paralela as paredes. Determine, em termos de
JJ. , Jl e h (altura da brecha) , a que distância deve f i c ar a 1 o
placa da parede mais próxima, para que a força de atrito
seja a mesma para os dois óleos. Discuta a fórmula
encontrada. o que acontece se JJ.1
> JJ.0? Faça todas as
hipóteses necessárias à resolução do problema.
4.15 - Determinar o torque necessário para girar com velocidade
angular constante w, o tronco de cone da figura. Um filme
de óleo de viscosidade Jl e espessura _!!: preenche o espaço
entre o tronco de cone e as paredes.
Despreze o momento desenvolvido na face inferior do tronco
de cone.
Faça as hipóteses necessárias.
b
o
FIG. 4.15
4.16 - A distribuição de velocidade em uma determinada secção de
uma tubulação cilíndrica é dada por:
onde ~ é uma constante, r distância do eixo da tubulação ao
ponto considerado, D o diâmetro da tubulação e V a
velocidade a uma distância r do eixo. Determinar:
a) a tensão cortante na parede da tubulação.
b) a tensão cortante em um ponto tal que r = D/4.
42
\,
c) se a distribuição de velocidades se mantem em um
comprimento L ao longo da tubulação, que força de reação
sofre o' fluido devido a parede da tubulação?
4.17 - Através de uma brecha estreita de altura h, uma placa
delgada e de grande área está sendo puxada com velocidade
constante V o. Sobre uma face da placa existe um óleo de
viscosidade Kg e sob a outra face um óleo de viscosidade g.
Calcular a posição da placa, com relação a parede da
brecha, de tal forma que a força tangencial sobre ela seja
mínima. Verifique a resposta quando K = 1.
4.18 - Em um canal retangular de 0,50 m de lar~a e 0,30 m de
altura, escoa água e o perfil de velocidade é parabólico
com velocidade máxima de 0,80 m/s ocorrendo na superfície
da água. Desprezando a tensão tangencial entre a água e o
ar e sabendo que a água é um fluido Newtoniana, determine o
módulo da força tangencial que a água provoca sobre o fundo
do canal, por metro de comprimento longitudinal. ~/ / -4 2 /--< · Dado: gH
0 = 1 , o 3 x 1 o kgf . s ;m . ~·
2
~ -1 0,50 m
VISTA A-A
FIG. 4.18
4.19 - o coeficiente de transmissão de calor entre uma superfície
e um líquido é 10 kcal/h m2 °C. Quantos watts por m2 e por
°C são dissipados nesse sistema?
43
4.20 - A condutibilidade térmica do amianto ou asbestos,à 100 °C é
0,165 kcalfh m °C. Qual é seu valor em wjm °C?
4.21 - A prata, que é um dos melhores condutores de calor, tem k = = 410 w;m °C. Qual é o valor do k em kcalfh m°C?
4.22 - Se o peso é o parâmetro mais significativo no isolamento
térmico de uma parede de avião, mostre analiticamente, que
o isolamento mais leve para uma determinada resistência
térmica é o que apresenta o menor produto densidade x
condutibilidade térmica, p.k.
Uma parede de fornalha deve ser construí~a em tijolos de
dimensões 22 x 11 x 6 cm3• Existem 2 tipos de material: um
para altas temperaturas e com condutibilidade térmica k = = 1,5 kcalfh m °C, e o outro com k = 0,75 kcalfh m °C mas
com temperatura máxima de 850 °C. Qual a forma mais
econômica para o assentamento dos tijolos se o lado quente
tem 1000 °C, o lado frio 200 °C e a max1ma quantidade de
troca de calor é 81,5 kcal/h para cada m2 de área.
4.24 - Dois corpos de prova semelhantes, com 2,5 em de
são colocados no aparelho da figura (4.24)
condutividade térmica. o aquecedor de forma
isolado por anel de proteção, é alimentado por
espessura,
para medir
quadrada,e
corrente
contínua e dissipa 10 w. As temperaturas, nas faces quente
e fria de amostra, são respectivamente 50 e 37 °C. Calcule
a condutividade térmica das amostras.
ANEL DE PROTEÇÃO
CORPOS DE PROVA
AQUECEDOR
TE~ PERATURA FACE QUENTE
TEMPERATURA FACE FAIA
FIG.4.24
44
4.25 - Para determinar a condutividade térmica, de um material
estrutural, uma grande laje, com 15 em de espessura, foi
submetida a um fluxo de calor de 800 kcal/h m2. Pares
termoelétricas embutidos na laje, distantes 5 em um do
outro, eram lidos ao longo do tempo. Após o equilíbrio
foram registradas
diferentes:
as temperaturas
Teste 1
Distância Superfície Temperatura
(em) (°C)
o 38
5 65
10 97
15 132
para 2 condições
Teste 2
Temperatura (oC)
93
130
168
208
Determine uma expressão aproximada para a condutividade
térmica como função da temperatura entre 40 e 200 °C.
4.26 - Uma placa plana exposta a luz solar recebe 540 kcal/h m2 de
calor radiante. Se a temperatura do ar é 27 °C e o
coeficiente de troca de calor por convecção entre o ar e a
placa é 10 kcal/h m2 °C, determine a temperatura da placa.
Suponha que a placa está isolada na face de baixo.
~~
'"' 4.27 - Uma placa plana horizontal de cobre, com 3 mm de espessura,
60 em de comprimento e 30 em de largura é exposta à
radiação solar no ar à 25 °C. A quantidade de radiação
solar incidente é 100 kcaljh m2, e os coeficientes de troca
de calor entre a superfície e o ar nas superfícies superior
e inferior são, respectivamente, 20 e 15 kcaljh
Determine a temperatura de equilíbrio da placa.
45
2 • G-m.
4.28 - Desenhe o circuito térmico para a transmissão de calor
através de uma janela de vidro para o ar em um
compartimento. Identifique cada elemento do conjunto.
4.29 -As temperaturas nas duas faces de uma parede plana de
concreto de 150 mm de espessura, são mantidas à 10 e 40°C
respectivamente. Compare os fluxos de calor do concreto
seco e do concreto com 10% de umidade.
k = O, 70 kcal/h m °C concreto seco
kconcreto lOY. tm1ldade = 0 1 94 kcaljh m °C
4.30 - o calor transmitido por condução, por ~idade de compri
mento e de tempo i , através da superfície de um cilindro
vazado de raios interno r e externo r é: 1 e
l1T i (r- r )
e 1
ond~ A = 2rr (r- r )
e 1 Determine o er:r:o percentual no ln r jr e 1
cálculo do calor transmitido se a área média aritmética é
usada no lugar da área média logarítmica A, para as razões De de diâmetros externo e interno -or- = 1,5; 2,0 e 3,0. Faça
um gráfico do resultado.
4.31 -Mostre que o calor transmitido por condução, por unidade de
tempo, através da parede de um cilindro vazado, de raios r 1
e r , feito de material cuja conduti v idade térmica varia e
linearmente com a temperatura é dado pela equação:
T - T i e
(r -r.)/k mA e 1
46
•
onde:
T = Temp. interna 1
T = Temp. externa e
A = área média logarítmica
km = k [1 + {3k (Ti - T )/2] e e
L = comprimento do cilindro
4.32 -Um longo cilindro vazado é construído de material cuja
condutividade térmica é do tipo k = 0,118 + 0,0016 T, T em
°C e k em cal/h. m . °C. Os raios interno e externo são,
respectivamente, 127 e 254 mm. Nas condições de regime
permanente a temperatura na superfície interna é 400 °C e
na externa é 100°C.
a) Calcular o calor transmitido por condução (por unidade de
tempo e de comprimento).
·b) Se o coeficiente de troca de calor entre o cilindro e o 2o ar vale 15 kcaljhm c, calcular a temperatura do ar fora do
cilindro.
4.33 - A lã de rocha tem a condutividade térmica dada pela tabela
abaixo:
T(°C) 50 100 150 200 250 300
k(kcal) 0,0462 0,0520 0,0583 0,0655 0,0735 0,0827 hm°C
Uma camada de lã de rocha de 100 mm de espessura é usada
para isolar uma parede de forno. se a temperatura na face
interna é 400°C e na externa é 40 °C, calcule o fluxo de
calor e faça um gráfico de distribuição de temperatura
para:
a) Usando um valor médio de k e
b) Usando uma equação para k obtida por ajuste dos dados
acima.
4.34 -Uma parede de 0,3 m de espessura é de material com k = 0,75
kcal/h m °C. o calor transmitido por condução pela parede
deve ser reduzido, colocando-se uma camada de material com
47
4.35 -
paredes são 1.150 e 40 o c I calcule a espessura mínima de
isolante que garante fluxo máximo de 1600 kcaljh 2 m.
Uma parede termo isolante composto por duas camadas de
cortiça (k = 0,037 kcal/h m OC) tem a forma mostrada na
figura. Se os espaços são preenchidos com ar, determine a
resistência térmica por unidade de área e compare com uma
parede de cortiça maciça. (K = 0,024 kcal/h m °C). ar
4.36 - Achar a resistência térmica por unidade de área de uma
parede de madeira e lã de rocha, montada conforme a figura.
(k - 0,15 kcaljh m °C; k _ = 0,04 kcal/h m °C). madeira la
som~ som f
FIG. 4.35 FIG. 4. 36
LÃ C€ ROCHA
SOX 100 mm
4.37- Uma placa plana de sal,de grandes dimensões, inicialmente
seca, passa a absorver umidade do ar. Qual é o fluxo de
absorção se a concentração de vapor de água no ar é 0,065 e
0,070, junto à superfície e à distância de 8,0 em,
respectivamente,
água no ar é D vap
e o coeficiente de 2
= 0,08 m /h. difusão do vapor de
Suponha que o perfil de concentrações seja linear junto à
placa.
4.38 - No problema acima, qual seria o fluxo se a 4,0 em de
distância da placa a concentração fosse 0,068 e o perfil de
concentração pudesse ser descrito pela equação:
c = A + By + Cy 2
48
•
4.39 - No problema anterior, e se a concentração fosse 0,067?
Análise dos três resultados obtidos permitirá concluir que
a especificação ou a definição do perfil de concentração é
bastante crítica e importante. A hipótese de que o perfil
seja linear não pode, em geral ser feita sem apoio
experimental ou de um bom modelo teórico.
4.40 - Ar seco à temperatura de 20 °C e pressão atmosférica escoa
sobre uma placa porosa encharcada com água. Se o perfil de
concentração de vapor de água no ar em um ponto x = x é 1
dado por: -0 7y c = 0,05 e ' o ~ y ~ 1 (y em metros)
Calcule o fluxo de água que sai da placa na posição x = x . . 1
A difusividade do vapor d'água no ar vale D = 0,08 m2jh. vap
49
FOLHA DE RESPOSTAS
4.1 - 't; = 11 V o
-h-
4.2 - M rr w 11 d4
M = rr w 11 d3 L = ; 32 h 4 h
4.3 - 1.1 = 4,75 X 10-5 m2js
4.4 - V o = 24,2 mjs
4.5 - 't; = .211VO y--0 ,h
11V 4.6 --r= max
/ a2+b2
4.7 - M = rr w 113R 2 h ( L + R) onde L 2 = H 2 + R2
4.8 G 11 2Tr w Di3
L - = D (De - DJ.)
4.9 - F = 3 X 10-5 kgf
4.10 - a) Plástico ideal b) Não-newtoniana c) Não-newtoniana d) Newtoniana
v - v 4.12 a)
a b - 't; = 11 h b) -1
111 v +
112 v h A 11 c
4.13 a) v 1 2 - = B 111 112
11 + 11 1 2
v 112 h b)
A 1 = ---v- 111 h
B 2
4.14 - y = h - h ..; 1 - 11 /11 '
1 o
2
Se 111
> 110
~ fisicamente impossível.
4
[ (a + b) 4
- a 4
] 4.15 - M 11 w rr tg a o 2 h sencx
4.16 - a) 't; = - (3 D 4
b) 't; = (3 o 8
c) IFI 7l (3 D2 L = -4-
50
4.17 - y h = 1 + h
4.18 - F = 2,75 X 10-4 kgf
4.19 h 11.61 w - = h 2 o c m
4.20 k 0.192 w - = h m °C
4.21 - k 353 Kcal = h m °C
4.23 - Tijolo de maior condutibilidade L1
= 0.32 m
Tijolo de maior condutibilidade L2
= 0.17 m
4.24 - k = 0.96 w
-0.306
4.25 - Exponencial decrescente (Ex:4.82 T
4.26 - T = 81 °C s
4.27 - T = 40.9 °C s
4.29 ql
0.74 --- = q2
4.32 a) Q 1408 Kcal - ~ = h m
b) T = 41.2 o c
4.33 a) 227 Kcal - q = hm 2
b) 250 Kcal q =
h m 2
4.34 - L = 0.088 m
4.35 - a) R = 0.311 t
h m2 °C
Kcal
b) R = 0.405 t
h m2 °C Kcal
4.36 - R "" 5.0 t
51
4.37 - J 0.0059 Kg ];;- =
h m 2
4.38 - J 0.2363 Kg ];;- =
h m 2
52
CAPÍTULO 5
CINEMÁTICA DOS FLUIDOS - EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE
5.1 - Dado o escoamento permanente de um fluido incompressível, ~ 7 7 ~
caracterizado por: V = a x 1 + b y J - (a + b) z k
a) Verificar se o escoamento satisfaz a equação da conti
nuidade.
b) Determinar a equação das linhas de corrente do escoamen
to no caso de a = -b.
5.2 - Conhecendo o escoamento variável caracterizado por: ~ 2 7 2 7 V = ( 2 + t ) x 1 - ( 2 + t) y J pedem-se:
a) as linhas de corrente no instante t = 1
b) a trajetória de uma partícula que no instante t = o tem
por coordenadas x = y = 1.
5.3 - Demonstrar que o campo de velocidade
~
v= 4X 7 1 + satisfaz a continuidade
todos os pontos do plano xy, exceto na origem.
em
a) Qual a equação da trajetória que passa no ponto (2.1).
b) Desenhar algumas linhas de corrente que permitam a
visualização do escoamento.
c) Calcular o módulo do vetor velocidade e mostrar que a
vazão através de cada círculo concêntrico com a origem
(por metro na direção z) é constante e igual a 8 rr.
Admita fluido incompressível.
5.4 - Comprovar se os seguintes campos de velocidade satisfazem
ao princípio da conservação da massa, para um fluido
incompressível. ... 7 7 ~
a) v = 6X1+6y] - 7 t k ~ 7 (x2 + y2) 7 ~
b) v = 10 1 + J - 2 y X k ~
xy + t 2) 7 2 7 ~
c) v = (6 + 2 1 - (x y + 10t) J +25 k
53
5.5 - Um escoamento tem seu campo de velocidade expresso por: -+ -t 2 -t 2 J-+ V = ( x - 4) 1. + 15 a y J + (a - a - 12) t z k.
Para quais valores de ~' as linhas de corrente deste campo
coincidem com as trajetórias, qualquer que seja o tempo t?
Para os valores de ~ encontrados determinar os pontos do
espaço ( x, y, z) para os quais o campo de velocidade
satisfaz a equação da continuidade, para um fluido
incompressível.
5.6 - Para cada um dos escoamentos descritos, dizer se as acele
rações de transporte e local,são zero ou diferente de zero.
a) escoamento em um conduto curvo de secção constante, com
vazão constante.
b) escoamento em um conduto longo de se~ção constante, com
vazão constante.
c) idem, idem, com vazão variável.
d) escoamento em um conduto de secção variável. com vazão
crescente.
5 . 7 - Determinar a relação entre a velocidade máxima e a velo
cidade média correspondente a vazão Q· nos escoamentos
dados.
a) Escoamento bidimensional com distribuição parabólica de
velocidades.
b) Escoamento com simetria axial e distribuição parabólica
de velocidades.
Distribuição parabólica V = V max [ 1 - <+> 2 J
A
h
PLACAS PLANAS DUTO
FIG. 5. 7
54
5.8 - Determine a relação entre a velocidade média e a velocidade
máxima, para os dois escoamentos bidimensionais, cujos
perfis de velocidade são mostrados.
~=~== CIRCULO max
FIG. 5. 8
5.9 - No dispositivo mostrado na figura, através da tubulação ~
se introduz uma vazão de 140tjs de água,. enquanto que pela
tubulação ~ se introduzem 28 tjs de óleo, de densidade
relativa 0,8. Se os líquidos são incompressíveis e formam
uma mistura homogênea de gotículas de óleo em água, qual é
a velocidade média e a massa específica da mistura que
abandona o dispositivo pela tubulação c de 30 em de
diâmetro. Admitir uma massa específica média constante para
·a mistura.
I
..:..;;;=-=-õõii r.;;-- _ _j L_j
Hp ' A
FIG. 5.9
5.10 - se no problema anterior o pistão D se move para a esquerda
com uma velocidade de 30 cmjs e seu diâmetro é igual a
15 em, qual é a velocidade média do fluido que sai para c.
55
5 .11 - Em um elevador pneumático tem-se um pistão deslocando-se
com velocidade v constante, de tal meneira que também é o
constante a descarga G (vazão em massa) através do tubo de
alimentação indicado na figura. Sabe-se que a massa
específica do ar comprimido varia, dentro do cilindro,
desde o valor p0
, correspondente a posição inicial de
equilíbrio x , até o valor genérico p, assumido no instante o
t. Determinar a lei de variação de p em função do tempo t,
conhecendo-se os valores p , x , G e A área da secção reta o o
do cilindro.
'5.12- Por um conduto uniformemente convergente escoa água em
, ,__/ regime permanente. Na secção 1 de diâmetro igual a o, 60 m o
perfil de velocidade é dado por:
v = 2 r 0,30
e na secção 3 de diâmetro igual a O, 40 m o perfil de
velocidade tem uma distribuição cônica. Determinar a
velocidade máxima na secção 3 e a velocidade média na
secção 2 que dista L/6 da secção 1.
t vo (
~
ÁREA A (J I
I
FIG. 5.11
L/6
I .,. _I
I 2
L
FIG. 5.12
-
5.13 - Considere-se um fluxo bidimensional permanente ao redor de
um cilindro de raio a conforme a figura. Utilizando
coordenadas cilíndricas podemos expressar o campo de
velocidades, para o fluxo de um fluido não viscoso e
incompressível da seguinte maneira: ,.
56
V(r,e) = -(v cos e -o
+
o cos e) e + (V r o sen e +
onde V0
é uma constante e er e ee são os vetores unitários
nas direções radial e tangencial, respectivamente, como
é mostrado na figura. Qual é a aceleração de uma partícula
fluida em e = e e situada no contorno do cilindro cujo o
raio é a ?
5.14 - Na figura aparece um dispositivo no qual penetra água
axialmente a razão de 280 ljs e se dirige radialmente
através de tres condutos idênticos, cujas secções de saída 2 são iguais a 460 em em direção perpendicular ao fluxo. A
água sai com um angulo de 30°, em relação ao conduto e
medido a partir da direção radial, como se mostra na
figura. Se a roda dos condutos gira em sentido dos
ponteiros do relógio a uma velocidade angular constante de
10 radjs com relação à Terra, qual o módulo da velocidade
média com que sai a água pelos condutos medida com relação
à Terra. Admitir fluido incompressível.
FIG. 5. 13 FIG. 5. 14
5.15 - Por um longo conduto circular de 0,30 m de diâmetro escoa
água em regime permanente, com um perfil de velocidade
v= [0,0225 - r 2] (mjs). Determinar a velocidade média com
que a água sai pelas tubulações de 0,05 m de diâmetro.
57
5.16 -
FIG. 5.15
Ar escoa por um tubo de secção constante de 5 em de
diâmetro. Numa secção (1) a massa específica é de 0,12
UTMjm3 e sua velocidade é de 20 mjs. Sabendo-se que o
regime é permanente e que o escoamento é isotérmico,
determinar:
a) a velocidade do ar na secção (2), s~endo que a pressão
na secção (1) é 1 kgfjcm2 (abs) e na secção (2) é 2 de 0,8 kgfjcm (abs)
b) a vazão em massa
c) a vazão em volume nas secções (1) e (2).
5.17 - Uma piscina de 20 m x 9 m x 2 m é alimentada através de um
sistema, como mostra o esquema abaixo. o·sistema consta de
um poço cilíndrico de 1,20 m2 de área transversal,
alimentado por uma vazão constante Q0
= 10 tjs, do qual uma
bomba recalca a água com uma vazão constante Q = 14 tjs, 1
através de uma tubulação de recalque. Uma boia
convenientemente instalada no poço provoca o funcionamento
da bomba no instante t = o, quando o nível d'água atinge o
ponto (1) e a desliga quando o nível d'água atinge o ponto
(2). Admitindo que uma válvula de retenção evita o
esvaziamento da tubulação de recalque, e que a piscina está
vazia no tempo t = o, determinar:
a) o intervalo de tempo entre o início e o fim do
funcionamento da bomba, em cada ciclo, em minutos.
b) o intervalo de tempo que a bomba permanece desligada, em
cada ciclo, em minutos.
58
c) o tempo necessário para o enchimento total da piscina
em horas.
d) o número de vezes que a bomba é ·ligada até encher a
piscina.
e) trace o gráfico Q (tjs) x t (min) correspondente ao
funcionamento da bomba.
FIG. 5. 17
5.18 - Um autoveículo possui um sistema automático para o enchi
mento dos próprios pneumáticos, para compensar uma eventual
perda de ar, ocasionada por um furo pequeno. o compressor
do veículo, por hipótese, fornece uma descarga de ar G , 1
constante, independente da pressão p no interior do pneu, e
é acionado no momento em que a massa específica do ar
·dentro do pneu atinge o valor pc. Por hip~tese a descarga
(vazão em massa) G2
, que sai por um furo pequeno é dada por
p onde K = cte. Admitindo que p o
seja a massa G =K 2 po
específica do ar nas condições normais de uso do pneumático
e que houve um pequeno furo, provocando o funcionamento do
compressor no instante t = o, calcular o intervalo de tempo
t de funcionamento do compressor, necessário para que o o
pneumático atinja as condições iniciais de uso. Dado,
volume do pneumático Vol = cte.
·5.1~- A figura mostra esquematicamente um pistão perfurado que se
move no interior de uma câmara cilíndrica fixa, com uma
velocidade constante V . Sabendo-se que a câmara está cheia o
de óleo, que o diâmetro do pistão é Q e o diâmetro do furo
é ~' e que o fluido é incompressível. Determinar:
59
a) a velocidade absoluta do óleo no furo
b) a velocidade relativa entre o óleo e o pistão no furo
c) a vazão Q.
FIG. 5.19
5.20 -Para simular o escoamento de um rio construiu-se uma
canaleta por onde escoa água com uma vazão variável em
função do tempo, conforme mostra o gráfico abaixo.
A canaleta alimenta um reservatório regularizador cuja
comporta é comandada de tal forma a fornecer para jusante
uma vazão média do intervalo de tempo considerado. Tem-se
disponível para o reservatório a altura de 2,0 m e uma área
horizontal ilimitada. Determinar:
1 -·A vazão média no intervalo de 24 horas.
2 - A área mínima para a execução do reservatório para que
este nunca extravase, observando que no instante
inicial t = O h o nível d'água no reservatório é de
/""""\ 1,0 m.
~-o nível mínimo que ocorre no reservatório.
4 - Traçar a curva Volume x Tempo, para o reservatório.
5.21 - Determinar a velocidade média do escoamento na secção
3, conhecendo-se as distribuições de velocidade nas secções
1 e 2 e sabendo-se que fluido é incompressível.
Seção 1 - distribuição parabólica
v = Vmax 1 1
60
Seção 2 - distribuição cônica
V = Vmax 2 2
r (1 - -) R2
Dado: raio da secção 3 igual a R 3
-o -----~~ CANALETA
2.0m RESERVA· TÓRIO 1-==--r--1--ll
h
/
1.0
FIG. 5. 20
6,0 24,0
t (hora) FIG. 5. 21
5. 22 - Como se mostra na figura, por um conduto de secção retan
____; gular entram 10 m3/s de água. ·Duas faces do conduto são
porosas. Pela face superior se admite água a uma vazão, por
unidade de comprimento, de distribuição parabólica, segundo
se mostra, enquanto que pela face frontal se perde água com
uma distribuição de vazão por unidade de comprimento,
linear. Na figura são dados os valores máximos da
distribuição. Qual é o valor da velocidade média na secção
de saída do conduto que tem 1 m de comprimento e área de
secção reta igual a 10 m ?
5.23 - O filtro de admissão de combustível de uma certa máquina é
formado por um elemento poroso em forma de tronco de cone.
o combustível penetra no filtro pela tubulação de 5 em de
diâmetro, na qual o perfil de velocidade é parabólico com
Vmax = 1,20 mjs. O perfil de velocidade na face superior,
de 10 em de diâmetro, é cônico com Vmax = 0,3 mjs. Qual a
vazão de combustível que será filtrada pela parede porosa ?
61
z
a= 10m3 /s
FIG.5.22
y
FIG. 5.23
PAREDE POROSA
5.24- Determinar a velocidade média na secção {3), sabendo-se que
na secção ( 1), de diâmetro 2D, o escoamento é unidimen
sional e na secção (2), de diâmetro D, o perfil de
velocidade é dado por V = K r 2, onde K é uma constante e
r uma dimensão linear marcada a partir do eixo do conduto.
Faça as hipóteses necessárias.
5. 25 - Determinar a descarga média, em relação ao tempo, em um
duto onde escoa a descarga variável senoidal, G = Gmax
sen·wt, proveniente de um compressor de ar mono cilíndrico.
- 20
FI G. 5.24 FIG. 5.25
62
5. 26 - Determinar o volume específico do fluido compressivel em
escoamento permanente na secção de diãmetro d3
= 15 em
sabendo que a velocidade média v3
= 30 m;s e que as
descargas em peso valem w1
= 0,3 kgf/s e w2
= 0,2 kgfjs.
FIG.5.26
5.27 - Um recipiente de volume constante Vol , deverá ser "enchido" o
de ar por um compressor
·com o tempo, da forma:
que fornece uma descarga variável
2rr G = Gmax sen (~ t), onde T é o período.
No instante t = o em que o compressor é
específica do ar no recipiente é
variação de p com o tempo.
Dados: Gmax, Vol , p e T. o o
p . o
ligado a massa
Determinar a
5. 2~ - Tem-se um escoamento de um fluido compres.sível em regime
variável, através de um conduto de secção circular de área
A constante. A velocidade média na secção, assim como a
massa específica média, variam com o tempo segundo os
gráficos abaixo. Determinar a vazão e a descarga médias em
relação ao tempo. Dados: Vmax, pmax, pmin e A.
v
Vmo:bs: P mox ~ T
Pmin t---- __ ._I ___ _,
o
zs 2T 3T
.. t
L T 2T 3T
.. t
FIG.5.28
63
5.29 - Água é bombeada através de uma tubulação de borracha para
um reservatório cujo topo pode se mover livremente para
cima. Na base do reservatório existe uma tubulação pela
qual a água escoa em condições de regime laminar, com uma
distribuição de velocidade dada por
V=Vmax [1-( ~ )2
]
onde R é o raio da secção reta da tubulação.
Sendo Q (m3 js) a vazão que penetra no reservatório, A a
área da secção reta e h a altura do reservatório, sendo
Vmax = Kh, determine h como uma função do tempo. Assuma que
h= o quando t = o.
5.30 -Um reservatório cilíndrico de área da base igual a 10 m2 é
.alimentado por uma vazão variável com o tempo de acordo com
a equação Q = - 450 t 2 + 3600 t, com t em horas e Q em
litros por hora. Por outro lado o reservatório pode ser
descarregado pelo duto de descarga que é regulado para
fornecer uma vazão constante e igual a 1,25 tjs. No
instante inicial, quando o nível d'água no reservatório é
h = 1, O m este começa a ser alimentado e descarregado
simultaneamente. Determine:
a) a vazão média de alimentação no intervalo de O a 8
horas;
b) o tempo em que ocorre os níveis máximos e mínimos no
reservatório;
c) os níveis máximos e mínimos da água no reservatório.
,-:::Q=Q(t)
h = h ( t)
FIG. 5.29 FIG. 5.30
64
5.31 - a) Por um conduto convergente escoa água com uma vazão de
10 tjs. A maior secção do conduto tem 20 em de diâmetro
e a menor 10 em. Determinar, em mjs, a expressão da
velocidade média em uma secção genérica do conduto, de
abscissa ~' sendo L o comprimento do conduto.
5. 32 - No fundo de um reservatório prismático a 4 m2 de área
existe um orifício para descarga que fornece uma vazão
variável com a altura d'água no reservatório, segundo a
equação: Q = 0,02121 ~ ,Q (m3js) e h (m) onde h é a
altura d'água no reservatório em um tempo qualquer. Se no
instante inicial (t = O} a altura d'água no reservatório é
de 2 m, determine em quantos minutos o reservatório será
esvaziado.
ÁREA =4m2
FIG. 5. 31 FIG. 5·. 32
5.33 - Uma caldeira opera em regime permanente, admitindo uma
vazão de 100 litros de água por minuto a 20°C, e produzindo
vapor saturado a 200°C. Determine a vazão de vapor em m3 js. 3
Dado: Pvs = 7,86 kgjm.
5.34 - Água é introduzida com velocidade média V = 1 mjs através ml
de um tubo de diâmetro D 2,5 em em um recipiente 1
cilíndrico com diâmetro D = 25 em. Por um tubo de diâmetro
D2
= 5 em retira-se água do recipiente com velocidade média
V = 2, 5 mjs. Verifique se o nível da água no recipiente m2
está subindo ou descendo, e calcule a velocidade U com que
se movimenta a superfície livre.
65
5.35 - Um botijão de volume Vol contém inicialmente gás comprimido
à pressão P com massa específica p • O botijão está em um o o
ambiente onde mantém-se o vácuo: uma vávula aberta no
instante t = O permite uma descarga constante G. Mostre
como variará a massa de gás no botijão em função do tempo.
Quanto tempo se passará até que escape a metade do gás ?
5.36 - Uma vazão Q de vapor superaquecido é usado para, misturado 1
com água (vazão Q2
= 1,0 m3/h) produzir uma vazão Q3
=
1486 m3 /h de vapor saturado. O processo é feito em um
misturador fechado à pressão de 15 atm. As propriedades dos
três fluidos são:
= 300°C T2
= 20°C T3
= 197°C 3 = 5,9 kg/m p
2 = 998 kgjm3
p 3
= 7 , 7 kg jm 3
Determine a vazão Q1
do vapor superaquecido em regime
permanente.
5.37 - O escoamento turbulento em tubo cilíndrico tem o perfil de
velocidade descrito aproximadamente pela equação:
. 1/7
v = v (_x__) x max R
onde y é igual a (R- r), isto é, a distância a partir da
parede, medida radialmente. Mostre que
v = med
98 120
v max
5.38 - Um reservatório cilíndrico de área A possui um vertedor no
qual a vazão que escoa obedece a equação Q2
= ch onde c =
= cte e h é a altura entre o nível da água e a soleira
do vertedor, como na figura 5.38. Sabendo-se que o instante
t = O, h = o e que nesse momento aduz-se ao reservatório
uma vazão de entrada Q 1
que escoa pelo vertedor.
66
cte, determinar a vazão Q2
(t)
ÁREA A
FIG. 5.38
5.39 - Tem-se um balão esférico de volume inicial Vol contendo ar o
nas condições de pressão p a massa específica p • A partir I O O
do instante t = o, através de um orifício, introduziu-se
uma descarga G, constante, de ar comprimido. Sabendo-se que
o,· volume do balão varia linearmente com a pressão Vol =
= Vol ( pp ) , determinar o volume do balão em função do • o o
tempo ~· Considerar o ar como um gás perfeito e admitir o processo
como isotérmico.
5.40 - Os dois reservatórios mostrados na figura têm áreas iguais
a A .e no tempo t=O, os níveis d'água estão distanciados de
H. Os reservatórios são interconectados po~ um orifício de
pequenas dimensões, para o qual a vazão é da forma
Q=a: ~I onde y é a diferença de níveis nos
reservatórios, num instante qualquer. Determine o tempo
necessário para que os níveis
reservatórios se igualem
FIG. 5. 40
67
d'água em ambos os
/ '5. 41 '- Um rese:r:·vatório de forma cônica de área superior A e altura
H, possui um orifício para esgotamento, no fundo. Sabendo
que a vazão através do orifício é da forma Q = a ~' onde y ~ a altura d'água num instante qualquer, determine o
tempo necessário para o esvaziamento total do reservatório.
FIG. 5. 41
68
FOLHA DE RESPOSTAS
5.1 - a) sim
b) xy= c te {hipérbole)
5.2 a) tnx 1 + c - = -y
tnx 2t + t3
= -3-
1/ t2
+ 2t + 1 y = -2-
5.3 - b) X = 2y
d) I vi = 4/r
5.4 - a) Não
b) Não, para y ':1: o c) Não, para X ':1: 1 e ou y ':1: o
5.5 - a = 4 e a = - 3
X = z =v 1 1 y = 120 ou y = 90
5.6 Transp. Local
a. ':1: o o b o o c o ':1: o d ':1: o ':1: o
5.7 - a) Vmed = 2/3 Vmax
b) Vmed = 1/2 Vmax
5.8 - a) Vmed Tl Vmax = -4-
b) Vmed 3 Vmax = -4-
5.9 98,6 UTM/m 3 - p =
m
v = m 2,37 m/s
69
5.10 - Vm = 2,41 mjs
pOA.Xo + Gt 5.11 - p = + V At AX
o o
5.12 - Vmax = •6 I 75 mjs
Vmed = 1,12 mjs
-+ 2 -+ 2 2 -+
5.13 2V sen 28 4V sen e - a = e: e c a a r
5.14 - Vabs = 5,29 mjs
5.15 - V = 0,20 m/s
5.16 - a) v = 25 mjs 2
b) G = 4,71 X 10- 3 UTM/s
c) Ql = 39,2 tjs
Q2 = 49,1 tjs
5.17 - a) t = 10 min
b) t = 4 min
c) :t = 10 horas
d) n = 43 vezes
G - k PC
Vol -po 1 po
5.18 - t = ln o k G - k
1
5.19 - a) Vabs = v [ (D/d) 2 - 1] o
b) Vrel = v (D/d) 2
o
70
c) Q rr v (02 = -4- o
a) 3 5.20 - Q = 2,5 m js
b) A 24.300 2 = m m 1 n•
c) h = 0,67 m min
1 R2
5.21 v (-1- Vmax - = m R2 2 3
5.22 -v = 0,85 mjs
5.23 - Q = 0,40 e;s
5.24 - Vmed 4 v k = 2 1
5.25 -.Gm = Gmax rr
3 5.26 - v = 1,06 m /kgf
5.27 + Gmax T - p = po 2 Vol rr o
5.28 Qmed Vmax A - = 4
Gmed pmax Vmax A = 4
5.29 -h= 2Q
5.30 - a) Qmed = 4800 ljh
b) tmin = 1,55 h
c' hmin = 0"68 m I
5.31 v 4 - = 2 X
1! ( 2- -.,.-) J...J
5.32 - t = 8,9 mir:
0,212 3
5.33 - Q = m js
- d2)
R2 + 2 Vmax 2 ) -3-1
( 1
e
e
e
- c os
KrrR 2 t 2A
tmax
hmax
(mjs)
2rrt ---;y;-
J
= 6,45
= 1,55
5.34 - u = 0,090 mjs,. para baixo
71
h
m
5.35 - a) m(t) = p Vol - Gt o
po Vol b) t = 2 G
5.36 - 1.770 m3/h ct
5.38 - Q2(t) = Q 1 [1 - e
- p;:-
J
5.39 - Vol p Vol + Gt
o o
p Gt - _o_+ 2
po Vol
o
5.40 - t = A a:
5.41 - t= 2 ~~ -5- a:
72
CAPÍTULO 6
APLICAÇÕES DA EQUAÇÃO DE BERNOULLI
6.1 Determinar a velocidade média e a pressão na secção (2) de
uma tubulação circular e horizontal, pela qual escoa um
fluido incompressível e não viscoso em regime permanente. As
condições na secção (1) são conhecidas.
6.2 - Calcule a vazão de gasolina (densidade relativa 0,82)
através da linha de tubos da figura, primeiro usando as
leituras dos manômetros e depois usando a leitura do
manômetro diferencial, que contém mercúrio.
Dado: densidade relativa do mercúrio 13,6.
( 1)
FIG. 6.1
I I
(2) 0,47{
1,22m
.FJG. 6. 2
6.3 -A figura mostra um sifão; desprezando-se totalmente as
perdas, qual será a velocidade da água que sai por C como
jato livre? Quais são as pressões da água no tubo, nos
pontos A e B?
6. 4 - A entrada E de uma tubulação si tua-se a 1, O m abaixo da
superfície 1 i vre de um reservatório, de grandes dimensões
que contém água. A saída T da canalização situa-se a 3,0 m
abaixo da mesma superfície livre. A tubulação tem um
diâmetro de 8 em e termina na extremidade T por uma
contração cujo diâmetro é 4 em.
1 - Qual o valor da velocidade Vt na saída da tubulação ?
2 - Qual a vazão da água que escoa ?
73
3 - Qual é na tubulação, o valor da pressão estática no
ponto E ?
Admita g = 10 mjs2, 7 = 1000 kgfjm3 e suponha que o
escoamento se efetue sem perdas.
FIG. 6.3 FIG. 6. 4
6.5 - A figura indica o escoamento de água em um canal de 3,0 m de
largura. Desprezando todas as perdas de_energia, determinar
as possíveis profundidades do fluxo na secção B.
6.6 - Calcular a vazão, de água, para um fluxo ideal através das
tubulações mostradas, a partir das leituras no piezõmetro e
no Pitot.
FIG. 6.5
I
8
FIG. 6.6
6.7 -A cavitação é um fenômeno que ocorre no seio de um líquido,
quando a pressão num ponto do líquido atinge a pressão de
vapor. Então no ponto onde ocorre a cavi tação, o líquido
começa a vaporizar, ocorrendo uma descontinuidade do fluxo.
Na figura apresentada, a velocidade no ponto A é igual a 1,5
vezes a velocidade no ponto B. Se a profundidade da água
dentro do tanque é igual a 0,90 m, qual é o máximo valor de
74
L que pode ser utilizado sem que se produza
Admita que a pressão de vapor seja igual a
a pressão atmosférica igual a 10.330
= 1000 kgfjm3•
a c avi tação?
330 kgfjm2 e 2 kgfjm , õ =
6.8 - Calcular a vazão do escoamento de ar, internamente ao duto
esquematizado na figura. Considere o ar incompressível.
Despreze o peso da coluna de ar.
Q o - )
\ - .J -_L ------
à~]-àH1
T Hg
FIG. 6.7 FIG. 6.8
6.9 Se a pressão de vapor da H20 a 25°C é 0,33 m.c.a., a que
altura, sobre a superfície livre, pode estar o ponto B do
exercício 6. 3, antes que o sifão falhe por cavi tação?
Leitura barométrica 730 mm Hg.
6.10-- Calcular a velocidade V para R= 30 em.
6.11 - Na instalação abaixo para h > 0,61 m, fenômenos de cavitação
são observados na secção contraída de 5 em de diâmetro. Se a
tubulação é horizontal e a secção se mantém cheia, determine
a pressão de vapor de água. Leitura barométrica local
700 mm Hg .
.. - ...... dr= 0,8
h
FIG. 6.10 FIG. 6. li
75
6.12 - A figura 6.12 mostra o esquema de um medidor de vazão, que
funciona com base na variação da pressão devido à variação
da área do escoamento, denominado medidor tipo Venturi. Com
os dados apresentados na figura, determine a vazão teórica
Q, em função do desnível do manômetro AH.
6.13 - A figura 6.13 mostra o esquema de um medidor de vazão, que
funciona com base na variação da pressão devido à variação
da área do escoamento, denominado medidor tipo Diafragma.
Com os dados apresentados na figura, determine a vazão
teórica Q, em função do desnível do manômetro AH. Observe
que neste caso existe uma contração da veia líquida após a
passagem pelo orifício do medidor, e a relação entre as
áreas é definida como coeficiente de contração c c
FIG. 6.12 FIG. 6.13
6.14 - Calcular a vazão do escoamento de ar internamente ao duto
esquematizado na figura. Fazer as hipóteses necessárias.
6.15 - Um submarino navega a 12 metros de profundidade com veloci
cidade constante e igual a 3, 2 mjs, em água inicialmente
parada. A diferença de pressão existente entre o nariz do
submarino (ponto A) e o ponto B distante 1,20 m de A e na
mesma horizontal é de 0,3 m.c.a., diferença esta provocada
pela perturbação causada à massa fluida, devido ao movimento
do submarino. Determine a velocidade da água no ponto B. 3 3 Dado: 7 = 10 kgfjm .
76
N.A.
FIG. 6. 14 FIG. 6. 15
6.16 - A água sai de um recipiente aberto 1 de grandes dimensões 1
através de um tubo com contração gradual até o diâmetro d e 1
depois um alargamento gradual até o diâmetro d . Desprezando 2
as perdas de energia determinar a pressão absoluta na secção
contraída 1-1 1 se a relação dos diâmetros é d /d = ~ . 2 1
Achar a carga crítica para qual a pressão absoluta na secção
J-1 é igual a zero.
6.17 - A figura representa um sifão composto de um tubo de 3 11 de A
até B 1 seguido de um tubo de 4 11 de B à extremidade aberta c. As perdas de carga são as seguintes:
de 1 a 2 0.335 m
de 2 a 3 0,213 m
de 3 a 4 0.762 m
Com os valores da figura calcular a vazão e tabelar as
pressões relativas nos pontos 11 21 3 I 4.
Patm 3
-- 12 -11 H20
I H=3m I I ldl
I d2
-------+- I
1Patm
H20 A
I
I I
I I I 1 12
FIG. 6.16 FIG. 6. 17
6.18 - Qual deve ser a vazão Q 1 de tal forma que se tenha para uma
velocidade V = 3 mjs a altura H = 3m .Despreze o peso do ar.
77
6 .19 - Deseja-se misturar continuamente uma solução concentrada A
com água. Para isso utiliza-se um dispositivo como nos
mostra a figura. Sabendo-se que:
Q = 23,6 tjs, d1
= 10, O em, d2
= 5 em, d3
= O, 5 em
(PA = 110 UTM/m3 P1
= 1,2 x 104 kgfjm2 (abs)
a - de"t._erminar a.vazão da solução em função da altura h.
b determing.r a máxima altura h admissível para que o
dispositivo ainda funcione.
H -v
FIG. 6. 18
)))( . .EJJ) .. JlX .h .... J5S\(( JJACCJ)).t())?.,_ .. J\, ... Jh_,;;;"_JJ\tt
SOLUCÃO CONCENTRADA
FIG. 6.19
6.20 - A água está fluindo entre dois reservatórios abertos. Qual o
máximo valor de h para que não ocorra cavi tação na secção
contraída de diâmetro igual a 10 em. Leitura barométrica
730 mm Hg. Tensão de vapor da água 0,30 m.c.a. (22°C).
6. 21 - O canal e a comporta da figura têm 1, O metro de largura.
Calcule Q1
, Q2
, e Q3
• Despreze as perdas.
h
·--------~--
lt D -• 20 em D ~ lO em 2 I
FIG. 6.20
6m I, 20m
Potm a2lw--FIG. 6.21
COMPORTA
6.~- Um medidor Venturi cuja secção estrangulada tem um diâmetro
-~ de 5 em, é instalado em uma tubulação vertical de 10 em de
78
diâmetro, como na figura. Desprezando as perdas, calcule a
vazão de água que passa pela tubulação, utilizando os dados
da figura. O fato do medidor estar na vertical ou na
horizontal, afeta a solução desse problema ?
6.23 - Determine a leitura no manômetro em m.c.a. Densidade
relativa do mercúrio 13,4.
~o ABERTO
/
D,30m C f.' 15m
--~ti9 dr = 1,50
FIG. 6.22 FIG. 6.23
6. 24 - De uma tubulação cujo diâmetro é D sai um jato d'água
através de um bocal cujo diâmetro é d. A saída está a metros
acima da linha de centro da tubulação. Um manômetro colocado
na secção 1 mede uma pressão P. Conhecendo-se a velocidade v
da água no ponto mais alto da trajetória, determinar a cota
H deste ponto. Despreze as perdas.
6.25 - Dado o dispositivo da figura, calcular a vazão de água pelo 2 -2 2 2 conduto. Dados: P = 2000 kgf/m i A = 10 m i g = 10 mjs .
2 1
v
-Füm
FIG. 6. 24 FIG. 6. 25
79
6. 26 - Pelo conduto da figura escoa um fluido incompressível em
regime permanente. Entre as secções (1) e (2) colocou-se um
tubo Pi tot associado a dois manômetros diferenciais, cujo
líquido manométrico é mercúrio. Sendo a relação das áreas
~ ~ 2 ~ = m, mostre que ~ = 1 - m .
1 1
6.27 - No tubo convergente-divergente mostrado na figura ocorre
cavitação. O lado direito do manômetro diferencial está
conectado à zona de cavitação e a água no tubo manométrico
foi toda evaporada ficando somente vapor. Assumindo um
escoamento de água a 20°C, sem perdas, calcule a vazão e a
leitura P no manômetro em kgfjcm2, se a leitura barométrica
local for 714,6 mmHg. Densidade relativa do mercúrio 13,6.
(1) (2)
F IG. 6. 26 FlG. 6. 27
6.28 - Pela tubulação de secção circular escoa água. Se as veloci
dades das linhas de corrente que passam por 1 e 2 são
respectivamente V = 3,0 mjs e V = 0,5 mjs, determinar o 1 2
desnível h no manômetro conectado com os Pitot. Dr =13.6. Hq
6.29 -No final de um canal existe uma estrutura bidimensional que
serve para descarregar a água, dirigindo-a para baixo como
um jato livre, conforme a figura. Desprezando as perdas de
carga, calcular a vazão de descarga, por metro linear da
estrutura e a pressão no ponto A em m.c.a.
80
FJG. 6. 28 FJG. 6. 29
6. 30 - Pelas tubulações da figura escoa água a 20°C, se a pressão
barométrica é 679,8 mmHg, qual a máxima vazão que se pode
obter pela abertura da válvula ? Despreze as perdas.
6. 31 - Determine a vazão de água através da _tubulação mostrada.
Despreze as perdas de carga. Densidade relativa do mercúrio
13,6.
--:==--f--.--.--.- 5,2m
d = 5,0 em
FJG. 6. 30 FIG. 6.31
6. 32 - Pelas tubulações da figura escoa água a 20°C, se a pressão
barométrica local é de 679,8 mmHg, qual a máxima vazão que
se pode obter pela abertura da válvula ? Despreze as perdas.
6. 3 3 - Para um escoamento de água a 24 °C, determine a leitura no
manômetro, em kgfjcm2, colocado no reservatório mantido a
nível constante, tal que provoque uma cavitaçào incipiente
no estrangulamento de diâmetro d. Leitura barométrica local
685,4 mmHg.
81
FIG. 6. 3 I FIG. 6. 33
3,0 ==~
6. 34 - Um líquido de densidade relativa igual a 1,2 escoa de um
reservatório, mantido a nível constante, para a atmosfera,
através de um bocal. Se a perda de carga no bocal for 10% da
carga H qual a relação entre o desnível manométrico R e a
carga H ?
6.35 - Determinar a vazão Q, para a instalação abaixo. Despreze as
perdas.
H
FIG. 6.34 FIG. 6.35
6. 36 - Calcular a vazão de água através do bocal. Dado densidade
relativa do mercúrio igual a dr.
6. 37 - O tanque da figura 6. 37 contém um fluido ideal de massa
específica p = 80 UTMjm3• Determinar a vazão através do
orifício O, sabendo-se que o nível se mantém
devido as dimensões do tanque. 2 P = 0,05 kgfjcm
d = 60 mm
h= 1.2 m
82
constante
p
Hg
FIG. 6.36 FIG. 6.37
6.38 - Tem-se escoamento de um fluido ideal incompressível em
regime permanente através de um duto como
6 • 3 8 • Conhecendo-se a vazão Q, as áreas A 1
mostra a figura
e A e a massa 2
específica
alcançadas
tubo (o) é
do fluido, calcular as alturas h e h
nos tubos (1) e ( 2)
dado pela altura h . o
1 2
sabendo-se que o nível no
6.39 -A estrutura mostrada na figura tem 1.20 m de largura.
Desprezando as perdas de carga, determine a vazão.
I I I
(0)
ÁREA Al
( 1) ( 2)
FIG. 6.38 FIG. 6.39
83
-=- Q ·-0,90m
FOLHA DE RESPOSTAS
p p v2
[ D 4
- 1 J 6.1 2 1 1 ( ) = 2"9 (i '1 '1
6.2 Q = 3 0,22 m js
6.3 p 0,24 kgfjcm 2 = A
p 0,36 kgfjcm 2 =
B
6.4 v = 7,75 mjs t
Q 9,7 e;s
p 0,0814 kgfjcm 2 = E
6.5 h = 0,64 m
h = 4,66 m
6.6 v = j 2gh' d
0,12 3 6.7 Q = m js
6.8 L = 3,95 m
6.9 Q = rrD2 j 2 (l~H -âH ) 7Hg 4 g 2 1 7ar
6.10 - h = 9,60 m
6.11 - v = 1,082 mjs
6.12 p
0,35 (abs) - = m.c.a. '1
A /2g '10
1) (--~ V2 real 6.13 a) Q c
2 '1 C= - = v ;: v V2 teor1co
D 4
(-2-D
1
/2g '10
1) âh (-b) Q = c A '1
i C= C· c d o
/1-D
d c v 4
c2 (-0 c D
1
6.14 Q rrD
2 /2g(
)'Hg - 1)f1H - = -4- '1
ar
84
6.15 -
6.16 -
6.17 -
6.18 -
v = 0,78 mjs B
p a) 1 1,33 -- =
ã
b) H = 3,40 c r l t
3 Q = 0.047 m ;s
p2 = 7.32 m
ã
p3
ã = 3.81 m
Q = 2,82 ljs
m.c.a. (abs)
m.c.a.
6.19 - a) Q = 0,87 1(4,52 -h) x 104 m3 js
b) h < 4,52 m
6.20 - h= 7,0 m
6.21 - Ql 2,39 3 = m /s
º2 0,44 3 = m js
Q3 1,95 3 = m /s
6.22 - Q = 4,5 ljs
6.23 -p
1,59 = m.c.a ã.
6.24 - P/ã - a H =
1 - (d/0) 4
6.25 - Q = 20 tjs
6.27 - Q = 31 tjs
6.28 -
6.29 -
6.30 -
6.31 -
3 P = 0,24 kgfjcm
h = 3,54 em
3,55 3 q = m jsm
p = 1,79 m.c.a A
Q = 120 ljs
Q = 15,6 ljs
v2 + a- 2g
85
6.32 - Q = 95,8 tjs max
6.33 -2 P = 0,18 kgfjcm
R 6.34 - ~ = 0,067
6.35 - Q= 20,3 tjs
6.36 - Q = n~2
/ 2g.O.H( dr - 1)
6.37 - Q = 16,96 tjs
6.38 - h =h = h + (Q/At )2
1 2 o 2g
6.39 Q = 4.63 3 - m js
86
I
I
J
I . I
CAPÍTULO 7
TEOREMA DO IMPULSO OU DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO
7.1 -Um jato de água que sai de uma tubulação a uma velocidade
média de 6 mjs, choca-se com uma placa plana, que está em
repouso e orientada normalmente a direção do jato. A secção
da área de saída da tubulação é de 7 cm2, qual é a força
horizontal total que . os fluidos em contato com a placa
exercem sobre ela?
Resolver este problema usando três volumes de controle
diferentes.
FIG. 7. I
7.2 -No problema anterior, a tubulação se move a uma velocidade
de 1,5 mjs em relação ao terreno, para a esquerda.
a) Se a água sai a uma velocidade de 6 mjs, com relação a
tubulação, qual é a força horizontal que sobre a placa
exercem todos os fluidos?
b) Se ademais, a placa se move para a direita a uma
velocidade uniforme de 3 m;s, em relação ao terreno,
qual a força horizontal que sobre a placa exercem os
fluidos?
Um jato de líquido, permanente e unidimensional com vazão Q
e velocidade V, incide sobre uma placa inclinada de um
ângulo e. Desprezando completamente o atrito e a perda de
energia no choque, deterniine a força exercida pelo jato
sobre a placa, e também Q e Q • 1 2
}~~ .+ ·:- ~' .r~.=..-· .. \-~-
87 ~ · ,~) ~~Uütec S J ' -/ :-_ }
' '/~~:,_)~--
7.4
.L_-----.....
FIG. 7.3 .
Um jato de água, de velocidade Vo e vazão Qo, incide sobre
uma placa e é defletido conforme a figura.
a) Se a placa está parada, calcule as compon~ntes Fx e Fy
da força devido ao·jato sobre a placa.
b) Se a placa desloca-se para a direita com uma velocidade
u, constante, na direção do jato, calcule a componente
Fy, da força devido ao jato sobre a placa.
Faça as hipóteses necessárias à resolução do problema.
7.5 -Uma placa fixa divide um jato de tal maneira, que passa em
cada direção 28,4 tjs de água, como mostra a figura. Se a
velocidade do jato é de 10 mjs, calcule as forças P e P X y
para suportar a pl~ca. Admita escoamento permanente e
unidimensional.
FIG. 7.4 FIG. 7.5
7. 6 - Nas curvas de uma canalização, costuma-se utilizar blocos
de concreto conforme esquema mostrado, denominados "blocos
88
I
'I
I • I
de ancoragem11 • Calcule o volume de um 11 bloco de ancoragem 11 ,
agindo por atrito numa curva horizontal de 90°, de uma
tubulação na qual passa uma vazão de 0,3 m3js, de água, com
uma velocidade média de 1, 1 mjs, constante, sob pressão
interna de 5 kgfjcm2• O coeficiente de atrito entre o solo
e o bloco é o, 7 e a massa específica do concreto é 2. 400
kgjm3• Desprezar o atrito da água na parede do tubo
(-r = O) , o peso da água, do tubo e não levar em conta a
possibilidade de tombamento do bloco.
A
VISTA A-A
FI G. 7. 6
. 7.7 - ~em-se um carrinho movendo-se sobre um plano horizontal sem
atrito. Sobre o carrinho incide um jato de água com
velocidade absoluta V1
e sai outro jato· de água com
·velocidade V2
, relativa ao carro. As áreas de ambos os
jatos são iguais e seu valor é A. o carro movimenta-se com
velocidade · constante para a direita.
qualquer força de atrito e sendo dados:
p, V1
; V2
e A pedem-se:
Desprezando-se
1) Determinar a velocidade do carro, no instante t
2) Determinar a potência fornecida ao carro, no instante t
FIG. 7. 7
89
7. 8 - Deseja-se colocar um bocal na saída de um duto por onde
escoa água. o bocal será fixado no duto através de 4
parafusos de diâmetro igual a 8 mm. A pressão na secção
onde o bocal deve ser fixado é P1
= 3.104 kgfjm2
(relativa). Com os dados fornecidos (ver figura), determine
a tensão a que os parafusos estarão submetidos.
vl a 2m/a --~~--·----·~---
FIG. 7. 8
7.9 - Dois jatos unidimensionais e permanentes de mesma veloci-
dade V, um com diâmetro d1
e outro
chocam-se sem perda de energia. Nestas
usando o Teorema do Impulso que:
d2 - d2 cos e = 1 2
d2 + d2 1 2
com diâmetro d2
,
condições demonstre
7.10 -Um obstáculo de forma mostrada na figura,
cialmente o final de uma tubulação de 0,30 m
preenche par
de diâmetro.
Calcular a força F necessária para manter o obstáculo
imóvel, quando a velocidade média da água na tUbulação for
3 mjs. Despreze as perdas.
FIG. 7.9
90
3 m/5 E --o ,.,
cS
EE/_.---0 / Cl.l < cS ', ---
F I G. 7.10
' f
. '
7.11 -um jato permanente e unidimensional de área s e velocidade
V, sai de um bocal na direção paralela e linha de maior
declive do plano inclinado da figura. Após chocar-se com a
pla~a recurvada, desvia-se de um ângulo e, conforme a
figura. Nestas condições determine a velocidade V, tal que
o carrinho de peso P permaneça imóvel. Discuta a solução.
7.12 - Determine o peso P, necessário para equilibrar, na
vertical, a estrutura mostrada, a qual é submetida a ação
de um jato incompressível, permanente e unidimensional.
Dados: Área do jato-s
Velocidade uniforme do jato-V
Massa específica da água-p
FlG. 7.11 FIG. 7.12
7~13 -Tem-se um jato d'água permanente e unidimensional incidindo
sobre uma placa recurvada, conforme o esquema. Sabe-se que
a placa pode sofrer um movimento de translação na direção
do jato. Conhece-se a área Aj da secção transversal do jato
e a vazão Q, através do bocal.
Pedem-se:
a) A força exercida pelo jato sobre a placa recurvada
quando esta estiver imobilizada.
b) Idem, quando a placa se desloca com a velocidade Vo
constante no sentido do jato.
c) Cálculo da potência entregue pelo jato à placa .
91
d) Cálculo da relação entre a velocidade Vo e a velocidadê
do jato, para a máxima potência entregue pelo jato à
placa.
7. 14 - Dado um escoamento laminar (grande efeito da viscosidade)
em regime permanente, num conduto cilíndrico, onde o perfil
de velocidade é:
V = Vmax [ 1 - ( ~ ) 2 J
determinar a perda de carga (pressão perdida por atrito)
entre duas secções (1) e (2) distanciadas de t.
ti .12. ld A [) ~ L -~
( 1) (2)
FIG. 7. 1.3 FIG. 7. 14
7.15 -Um ventilador do tipo axial, insufla ar em regime
permanente na canalização bidimensional, conforme o esquema
da figura. Conhecendo-se a vazão de ar Q e a dimensão h,
pedem-se:
e a) a velocidade máxima Vmax.
b) a força que atua sobre o fluido na direção -do eixo da
canalização.
Desprezando-se as perdas de carga no orifício tipo Borda,
da figura, lembrando que a velocidade teórica de um jato
através de um orifício é V = ~, demonstre, usando o
coeficiente de contração do Teorema do Impulso, que
A' orifício vale Cc = ~ = Ao
Ao a área do orifício.
92
o
0,5. Onde Aj é a área do jat~ e
. ..-
\ .
. I .....,
f
.: ~
r
'.
I ,
H Aj
=~I v . ,--~
FIG. 7.15 FIG. 7.16
7.17 - De um bocal sai um jato permanente e unidimensional da área
A e velocidade V e choca-se contra o obstáculo da figura,
que se . desloca para esquerda com · velocidade absoluta e
constante Vo, dividindo-se em partes iguais. Desprezando as
perdas de energia no choque, determine a força horizontal
que age sobre obstáculo •
.. ,
7/a Dado: massa específica do líquido p •
A água flui sobre um vertedor de uma barragem de concreto
como mostrado na figura. A montante, a corrente tem uma
profundiaade de 12 m e uma velocidade média de 30 cmjs,
enquanto que a j usante, a corrente tem uma profundidade
praticamente constante . e igual a 90 em. Se a largura do
vertedor é 9 m, determine a força horizontal exercida sobre
a barragem.
- 12·1ft
FIG. 7.17 FIG. 7. 18
Ressalto hidráulico é uma elevação brusca no nível de água
em um canal, quando o escoamento passa de um estágio de
93
grande velocidade (secção 1) para outro de baixa velocidade
(secção 2) . Esta mudança é acompanhada por grande
turbulência, redemoinhos, entrada de ar no líquido e
ondulaçoes na superfície do líquido. Para um canal
retangular onde escoa uma vazão por unidade de largura
igual a q (vazão por metro de comprimento na direção
perpendicular ao desenho) e assumindo nas secções (1) e (2)
escoamento unidimensional e distribuição de pressões,
hidrostática, prove que:
I a~ =+ [../1+ 1 gyl
onde y2
e y1
, chamadas alturas conjugadas do ressalto, são,
respectivamente,- as alturas d'água nas secções (2)·e (1).
7.20 - Sobre trilhos horizontais e sem atrito, desloca-se em linha
reta, com velocidade constante V o carro da figura. Sobre
ele está agindo um jato d'água permanente e unidimensional
de velocidade absoluta Vo e área A o qual, após chocar-se
sem perdas com a placa defletora, desvia-se como na figura.
Determinar a· potência instantânea transmitida ao éarro, bem
como a quantidade de massa de água, que por segundo entra
no volume de controle escolhido. Massa específica da água
p.
v
o
(I) (2)
FIG. 7. 19 F~. 7. 20
7.21 - Considere uma turbina Pelton fictícia, que possua somente
uma "caneca". sendo·Q a vazão descarregada pelo bocal, Vj a
94
\ I
- I
I
•
\
'· \
I
. l
velocidade do jato, w a velocidade angular da turbina, r o
raio da turbina, determine a potência cedida pelo jato à
turbina. Determine que relação deve haver entre Vj e wr
para que a potência cedida seja máxima. Despreze as perdas.
DnAI..HE DA CANECA
FIG. 7.21
7 . 2 2 - Resolver o problema anterior para o caso de uma turbina
Pel ton real,. com várias canecas. Demonstrar que, neste
caso, a potência transmitida á turbina pelo jato é máxima
quando Vj = 2 wr. Despreze as perdas.
7.23 - Desprezando o atrito com o ar, a perda de energia no choque
e no bocal·, determine a distância x, necessária a um jato
d'água que sai do bocal com velocidade V, equilibrar uma
semi-esfera oca de peso P.
Dados 7 da água e a área A.
FIG. 7. 22 FIG. 7.23
7. 24 - Calcular a perda de carga (pressão perdida por atrito)
entre duas secções 1 e 2 distanciadas em t em um tubo
horizontal de diâmetro D. Na secção 1 o escoamento é
95
unidimensional de velocidade V e na secção 2 o perfil de 1
velocidade tem uma distribuição cônica dada por
v = Vmax [1 - · ~ J. Dados p, D, V
1, t e ~ (tensão média de cizalhamento entre o
fluido e a parede do tubo).
7.25 - Pela tubulação da figura escoa água, determinar o esforço
sobre os parafusos da flange (1).
Dado g = 10 mjs2•
01 • 20 .em
FIG.7~ . r::~2.s
ABERTO
7.26 -Uma canilização de· diâmetro D,
~ v,
(1)
7. 2..':;1 FIG/-5
v (2) max
na· qual está fluindo uma
vazão Q, faz um "laço" em forma de circunferência, sitUado
em um plano vertical. os ramos horizontais do "laço" estão
escorados por uma . barra de aço de diâmetro d, como na -:::;:-:- --
figura. Calcule a tensão na J:~arra de aço. Esta tensão é de
tração ou compressão? A pressão interna na canalização é
igual a P, constante.
7.27 -Calcule o volume de concreto que deve ter o bloco de
ancoragem da figura. A tubulação tem um diâmetro de 600 mm
e transporta uma vazão de 400 tjs e a pressão interna à
tubulação naquele local é 45 mca. o coeficiente de atrito
estático entre
específica do
possibilidade de
água e do tubo.
o bloco e o solo vale O , 7 , . e a massa
concreto é 2. 400 kgjm3• Despreze a
tombamento do bloco e o peso do volume de
96 :\~ -- \o \. ---i \
\
\
-.
, r
r.
. '
-..
7 .,28 . !
T
Q
Q
FIG. 7. 26 . FIG. 7. 27
A rampa corrugada mostrada na figura é usada como um
dissipador de energia em um canal aberto retangular. Para
uma vazão de 2, 80 m3 js .m, determine a perda de carga, a
potência dissipada pela rampa em CV e o módulo da
componente horizontal da força que a água exerce sobre a
rampa, por metro de largura.
7. 29 - O fluxo de água no final de um canal aberto é defletido,
sem perdas, verticalmente para baixo, por uma comporta AB.
Na secção B o fluxo pode ser considerado jato livre.
Calcule a força, por unidade de largura, exercida pela água
sobre a comporta. A
-
FIG. 7. 28 FIG. 7. 29
7.30 - Os pilares de uma ponte estão separados, de centro a
centro, de uma distância igual a 6,0 m. A montante, perto
da ponte, o tirante d'água é de 3,00 m e a velocidade média -----da corrente é de 2, 00 mjs e em uma secção a jusante, o
tirante d'água é de ~~~s>__~· Desprezando a declividade do
-:--.-·~.
97
t ' .:. ' -\.'r· I -:-ô • ' ~
J .- '.:::.J. _, l .d--cõr./·.·
,__ ' 11,.. ' .C,-,·-:-'-·~
/--t;. J
rio e o atrite co--'~
corrente sobre ·~ -c: -
·::' a força exercida pela
2,0m/s -FIG. 7.30
7.31 - Calcular o módulo da component:: horizontal da resultante da
força exercida pelo fluxo de água sobre o desviador de jato
AB, por unidade de largura. A jusante de B o fluxo pode ser considerado jato livre.
7. 32 - Para uma vazão de _..:. .~ s d; água d~i:ermine a força total
que atua sobre os parafusos da flange. A perda de carga na v2
2 curva é igual a 2,2 ~ e no bocal igual a 0,1 ~
tubulação está em 1.1:11. plano horizontal.
FIG. 7. 3'
e = 15 em
FIG. 7. 32
A
A água que abandona c· :..s;;·6si to d3. figura tem uma velocidade de 3 mjs e a ár!;;.::: :,~: ~·:~:i::: .,.-als 13 ::m
2• o jato incide sobre
uma placa desviando-se de um ângulo de ~ :c_:-:='::.:nento permanente e o
jato unidimensionõ.l :c::.'.~_::'-'18 '-": sm::::uxo sobre a vagoneta, se
I
I I-
I
..
esta se mantém fixa ao solo mediante uma corda. Resolva o
problema de duas maneiras diferentes (volumes de controle
diferentes).
7. 34 - Determinar o módulo da força horizontal, provocada pela
água, sobre a estrutura de descarga localizada no fim de um
canal de 0,60 m de largura.,Assuma distribuição uniforme de I ,
:_,/ c( .~· ~ ~;; ~ ; - : ~ ~ /"~r ' • Cr ~ ( ·~ Kh ~ .
velocidades.
---
FIG. 7.33
7.35- Uma bomba injetora.de água tem uma área ic]ual a A com uma o
7.36
velocidade V , que entra em uma corrente secundária de um . o
fluxo de água de velocidade uniforme V , em um tubo de 1
secção constante cuja área total é A. Na secção 2 admite-se-
que a água _injetada já está totalmente misturada. Calcular:
a) a velocidade média V2
na secção 2.
b) demonstrar que o aumento de pressão P - P entre as 2 1
secções 2 e 1, supondo que na secção 1 a pressão do jato
e da corrente secundária é a mesma, é dado por:
.6p = p2 p A (A - A ) (V - V )
2
o o o 1
Despreze as perdas.
- um ressalto hidráulico ocorre em uma tubulação cuja secção
reta é um losango, como na figura. o conduto ·é horizontal e
a.a_ltura d'água a montante do ressalto é 0,60 m. O conduto
está completamente cheio de água (secção plena) a j usante
-~ 1/ !'i
\ ·""'. ·y---
do ressalto e um manômetr~ ~li colocado indica uma pressão
de O, 06 kgfjcm2• Determine a vazão que está escoando, ~
notando que, por causa da turbulência no ressalto, existe
uma substancial perda de energia.
0,06ktflcJ o 9Qm I ' ·1
- '/'\J1 r,~ iVi,20m ----~----------._-
C 1 I (2)
Q --PERFIL SECÇÃO lfETA
A FIG. 7. 35 FIG. 7. 36
7.37 -Uma comporta de fundo está montada em um canal retangular
de 4 m de largura. A uma pequena distância da comporta a
altura d'água é 2 m; a comporta está a 0,50 m do fundo do
canal e o coeficiente de contração da lâmina a jusante da
comporta é 0,60. Determinar a força sobre a comporta.
Despreze as perdas .
. 7.38 - Como mostrado na figura a água escoa com uma altura y e uma
velocidade ~édia V em um canal retangular, o qual é fechado
por uma comporta, a qual faz com que a água encaminhe-se
para baixo, suavemente. Calcule a elevação Ay da superfície
da água a montante da comporta, usando primeiro, o
princípio da energia (equação de Bernoulli) e depois usando
a equação da quantidade de movimento, levando em conta que
~ ~ o. Qual das duas respostas é a correta? Por que?
F IG. 7. 37 FIG. 7. 3 B
100
( .
'-
I
I
- I
I
7.39 - Partindo da resposta do exercício 7.14 1 demonstre a equação
que fornece a perda de carga em um conduto circular de
diâmetro D e comprimento l 1 percorrido por um fluido
viscoso e Newtoniano em escoamento laminar (equação de
Hagen - Poiseuille) âp = 128~tQ rrD
4
7.40 - Um jato permanente e unidimensional sai de um reservatório
mantido· a nível constante e incide sobre uma superfície
lisa que flutua sobre a água de um outro reservatório. Se o 3 volume submerso da superfície é o 1 1.1 m 1 .calcular o peso da
água dentro da superfície curva 1 isto é 1 abaixo da linha
AB. o peso próprio da superfície curva é desprezível.
Despreze as perdas.
FIG. 7.40
7. 41 - Para uma vazão de 15 tjs e uma velocidade de rotação da
turbina Pelton igual a 65 rpm, estime a potência em CV
transferida à turbina pelo jato de água. As canecas da
turbina são planas.
3m
I 20m
FIG. 7. 41
101
FOLHA DE RESPOSTAS
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
7.6
- F = 2,57 kqf
- a) F = 1,44 kqf
b) F = 0,16 kqf
- F = pQVsene
Ql = Q (1+cose) -2-
Q2 = Q (l-cose) -2-
- a) F = 0,9pV0
Q0 X
F ~ pVOQO = y 10
~ b) F =
y 10
- p = X
29,84 kqf
p = 33,36 kgf y
3 - Vol = 11,40 m
(V p
7.7 - a) v =v -v c 1 2
o
2 b) Pot = 2pV
2 A(V
1-V2 )
7.8 - ~ = 141,3 kgfjcm2
7.10 - F = 21 kgf
I Psena 7 •11 -V= pS(l-cose)
7.12 - p = 2pV2S(l-cosa:)
- U) 2
v o
= pQV / 2 (l-cosa)' J ~------~
= p(V -v ) 2A / 2(1-cosa:)'
7.13 - a) F
b) F J o J
Qo
c) Pot = p(V -v )2A v (l-cosa:) J o J o
d) v = 3 v J o
7.14 - fl.p
102
./
'
7.15 - a) vmax = 4 Q -3-ll
b) F 5 2 = -- pVmed h 27
7.17 - F = p(V+V ) 2A( 1+cos [3) X o
7.18 - F = 632,13 tonf
7.20 - a) Pot = p(V0-V) 2 AV(1+coscx)
b) Q = p(V0
-V)A
7.21 - a) Pot = _eg_ wr(V - wr) 2 (1+cos(3) v J
b) V = 3 wr J
v2 P 7.23 -X=~- 478
7.24 - Ap =-i- pv: + 4~t
7.25 -R= 35,7 kqf
7.26 32 eo2 + 2 PD 2
de compressão - ,; = 7l'2 D2 d2 d2 '
7.27 - Vol = 3,90 3 m
7.28 - F = 195,1 kqfjm, Pot = 5,04 cv, AH = 0,135 m
7.29 -R = 1,92 tonf/m
7.30 - F = 1513 kq:f
7.31 - F = 664 kqf X
7.32 - F = 53,4 kqf
7.33 - F = 1.03 kqf
7.34 - F = - 653,5 kqf
7.35 - v =·[v A +V (A - Ao>] I A 2 o o 1
7.36 - Q 1,70 3 ~ m js
7.37 -R = 4288 kqf ·2
7.38 - Ay = v 29
103
7.40 - p = 33,2 kgf
7.41 - Pot = 0,56 cv
,.-
I -
I
8.1
CAPÍTULO 8
APLICAÇÕES DA EQUAçAO DE BERNOULLI A BOMBAS E TURBINAS
PERDAS DE CARGA - LINHA PIEZOMÉTRICA - CAVITAçAO
- A água de um grande depósito, como mostra a figura tem sua
superfície livre submetida a uma pressão manométrica de
O , 35 kqf/cm2• Segundo se mostra, a água é bombeada e
expulsa em forma de jato livre mediante uma boquilha de
7, 5 em de diâmetro. Com os dados da f iqura calcule a
potência da bomba, em cavalos vapor, necessária para o
bombeamento. Despreze as perdas de carga. - /~\
/ \
~~---~ - Desprezando o atrito com a tubulação, calcular · a potência
em cavalos vapor desenvolvida~ na turbina, pela água
procedente de um depósito de grandes dimensões. Despreze as
perdas de carga.
30
FIG. 8.1 FIG.8.2
8.3 - Uma bomba retira água de um reservatório por um conduto de
sucção de o, 20 m de diâmetro descarrega através de um conduto de 0,15 m de diâmetro, no qual a velocidade média é
de 3, 66 mjs. A pressão no ponto A é de - O, 35 kgfjcm2• O
conduto de diâmetro o, 15 m descarrega horizontalmente no
ar. Até que altura H, acima do ponto B, poderá a água ser
elevada. estando B a 1,80 m acima de A e sendo de 20 c.v. a
potência aplicada pela bomba? Admitir que a bomba funciona
com um rendimento de 70% e que as perdas por atrito entre
A e c totalizem 3,05 m.
105
~:. =: -
reservatório B, como na figura. A J>~:rda de carga entre A e
1 é igual a 3 vezes a carga cinética no conduto de diâmetro
0,15 m e a perda de carga entre 2 e B é igual a 20 vezes a
carga cinética no conduto de diâmetro 0,10 m. Admitindo um
rendimento de 80%, determinar a potência desenvolvida pela
bomba quando a vazão for 15 t;s. Determine também as
pressões em 1 e 2. Esboçar a linha piezométrica.
c H
1,80m
FIG. 8. 3
o. o _v-
FIG. 8.4
z O,lOm
8.5 - Um conduto de 0,60 m de diâmetro alimenta uma turbina que
descarrega água através de outro ·tul:·o de o, 50 m de diâmetro
para o canal de fuga B. A perda de carga entre o
reservatório A e o ponto 1 é 5 vezes a carga cinética no
conduto·, e a perda de carga entre o ponto 2 e o canal B é
0,2 vezes a carga cinética no tubo. Sendo a vazão 0,71m3 js,
determinar a potência fornecida a t.urbi.~3, pela. água, e as
pressões nos pontos 1 e 2. Rendimento da turbina 70%.
61,0
FIG. 8.5
8.6
- !
na tubulação de saída ( "canal de fuga" ) da turbina a
pressão de estagnação é igual a 250 mmHg (vácuo). Para um
rendimento igual a 0,95 qual a potência desenvolvida pela
turbina?
FIG. 8.6
8. 7 - Uma bomba tem uma vazão de 9000 t;min de água. Seu conduto
de sucção horizontal, tem um diâmetro de 30 em e possui um
manômetro, como na figura.
Seu conduto de saída, horizontal, tem um diâmetro de 20 em
e sobre seu eixo, situado a 1,22 m acima que o precedente
reina uma pressão P2
= 0,70 kgfjcm2, superior a atmosférica.
Supondo o rendimento da bomba igual a 80%, qual a potência
necessária para realizar este trabalho? 3 Dado 7
89 = 1.3. 600 kgf/m •
8.8 - Determinar a potência da bomba em cv necessária para
manter uma vazão de 62,8 tjs, sendo de 80% o rendimento da
instalação. D~spreze as perdas. Se a pressão de vapor de
água é 0,33 m e a leitura bârométrica local é 686,4 mmHg,
calcule a máxima distância x para que não ocorra cavitação.
Dado 1 atm = 10,33 mca.
0 .. 0,30111
O, 26,.
FIG. 8.7 FIG. 8.8
107
o esquema indica o transporte de 60
reservatório I para o reservatório II,
tubulação de 200 mm de diâmetro. Com os
determinar:
tjs de água do
através de uma
dados da figura
a) a posição da bomba, definida pela distância ~' para que
a pressão a
b) a potência
80%.
c) traçar mais
indicando os
a jusante da
montante da mesma seja 0,90 mca.
da bomba em CV admitindo um rendimento de
ou menos em escala, a linha piezométrica,
valores da pressão no ponto B, a montante e
bomba.
A perda de carga por metro (perda unitária) ao longo da
tubulação é dada por J = o, 1 ~ j2g. Desprezar as perdas
localizadas e a carga cinética.
LAB = 500 m, LBC = 1000 m.
8~- De um reservatório de grandes dimensões parte uma tubulação
de 15 em de diâmetro, a qual termina por um bocal com
diâmetro de saída igual a 5 em e que descarrega o jato na
atmosfera. Um manômetro colocado na secção ( 1) mede uma
pressão de 0,32 ~~cm2 • Sabendo-~e que a perda de carga na
tubulação de 15 em é dada por 2
4,Vi -----·- e a perda de carga no 2g
bocal é dada por 0,05 ~~ , determine
Se, após o bocal for instalada uma
a vazão e a carga H.
turbina Pelton com
TI = 90%, qual a potência consumida pela turbina?
2,0 "' =
20,0"' H
FIG. 8.9 FIG. 8.10
108
8.1.1. - conhecidos: Na instalação abaixo, são 2
Q = 10 ljs, A = o, 01. m , P = O, 5 kgfjcm2, g = 10 mjs2
o 2
P = 0,7 kgf/cm, AHcn = 7.5 m, rendimento da máquina 80%
Determinar:
a) o sentido de escoamento do fluxo
b) a perda de carga entre A e B
c) o tipo de máquina (bomba ou turbina)
d) a potência da máquina
e) a linha piezométrica entre A e D, determinando o valor
das cotas piezométricas nos ~ontos A, B, c e o.
No esquema da figura a pressão na secção (2) é 2,1. kgf/cm2
a perda de carga entre as secções (1.) e (4) é 2 m, a vazão
de 10 tjs, a área- da secção das duas tubulações é 1.00 cm2•
Determinar:
a) o sentido do escoamento
b) o tipo de máquina (bomba ou turbina)
c) a potência da máquina se seu rendimento é de 70%
Assuma 7 = 1.000 kgfjm3 e g = 1.0 mjs2
' I c
FIG. 8. li -
p
(I I
·A .:.:-.::~:: _:_::·-::·:; 10m
-5m
FIG. 8.12
8.1.3 - o sistema de recalque mostrado na figura possui uma bomba
com 1.0 cv de potência e 75% de rendimento. A tUbulação que
liga o reservatório I até o ponto A é de 4" de diâmetro e
transporta uma vazão de 10 tjs com uma perda unitária J = 1
= 3,14 m/100 m, e a tubulação que liga o reservatório II ao
ponto A é de 4"
16 ljs com uma
de diâmetro e transporta uma vazão
perda unitária J = 5,1.0 m/100 m. A 2
de
distância do reservatório II ao ponto A é 65 m, da bomba
1.09
é 155 m.
antes da
unitária
Impondo ql>.e a press§ç 5,:.~pcni·'lel imediatamente
bomba seja 3! o mca 1 e s~~:-~:_-_2~: ~1:"1.~ a perda de carga
entre o ponto A e c ~ .s~e.=va:.:6rio III á J = 2,55 m/100 m, determine:
a) a distância do reservatório I ao ponto A
b) a distância do ponto A até a bomba
c) a perda de carga no registro
d) traçar a linha piezométrica para !;1;::,
cando o valor das cotas piezométri~~~
registro, antes e depois da bc=be_ :s :2
no ponto A.
tubulações, indi-
e depois do
;jisponível
8 .14 - O sistema de bombeamento mostrado na figura, deve ter uma
pressão de O, 75 kgfjcm2 no tubo dé descarga, quando a
cavi taçãc na entrada da bomba f-:~ im::ipier:_te, Calcular o
comprimento da tubulação de su.c~3.c- pa3::·,;:_ ~~·::a :;,:;:-:.d:~..ç;;:o de
3.15
operação, se a perda de carga nest~
L ~ por O, 90 """""i)"" 2
g . Qual a -oo-·:incl~ -
bomba ao fluido? Qual a percer~·c=..~;s=
utilizada para vencer as perdas?
Dados: temperatura da água 20°C
leitura barométrica local 701 i 8S :r-n;-:~-;
rendimentc da :b::mba 8 c 5;
despreze as demais perdas.
:v--l]l -:o '
--"'"'""~-==-~ ,/''
~;,
-~R I . ~---·-~-'
~:;ela
:jue é
!O em
~:sla
perda de carga unitária igual a J = 1,57 m/100 m.o registro
que deve ser colocado na cota 80,00m, provoca uma perda de
carga localizada igual a 2 m. Qual deve ser a potência da
bomba e a que distância do ponto A deve ser colocado o
registro para que a pressão disponível no ponto A seja
igual a 25 mca? Os reservatórios possuem níveis constantes
e o rendimento da bomba é 70%. Despreze a carga cinética.
8.16 - A figura mostra o sistema de bombeamento de água do reser
vatório A para o B, através de uma tubulação de 400 mm de
diâmetro, pela qual escoa uma vazão de 150 tjs, com uma
perda de carga unitária igual a J=O, 55m/100 m, as
distâncias AB1
e B2B são respectivamente 300m e 554m. A
bomba B tem potência de 50 cv, rendimento de 80% e o 1
manômetro colocado na .· entrada desta bomba indica uma . pressão de 0,25 kgfjcm~ Com os dados da figura, determinar:
a) a perda de carga localizada no registro R.
b) a que distância de B1
deverá ser instalada a bomba B2
para que a pressão na entrada de B2
seja 4 mca.
c) a potência da bomba B , se seu rendimento for de 70%. 2 .
d) as cotas piezométricas antes e após as bombas.
90,0
X • ?
FIG. 8.15 FIG. 8.16
30,0 v--
8.17 - Água está sendo bombeada de um grande reservatório para um
de largura,
Calcule a
é de 80% e
canal de irrigação retangular de o,s m
produzindo a situação mostrada na figura.
potência requerida pela bomba se seu rendimento
sabendo que as perdas de carga localizadas e distribuídas
nas canalizações de sucção e recalque totalizam 2, 4 m.
Despreze a carga cinética nas tubulações.
111
Na instalação da i::..;·_;;_:::.s., c .::.istema que liga os rese.:.~_·ató
rios A e B, de níveis constantes, é constituído por uma
canalização de diâmetro constante e igual a o, 10 m e de
comprimento total L = 100 m e pela máquina M. A perda de
carga unitária na tubulação é dada por J = 0,2 V2/2g(m/m);
sendo L.E. o trecho da linha de energia e L.P o trecho da
linha piezométrica como indicado na secção 1, pedem-se:
a) o tipo da máquina, bomba ou turbina, justificando.
b) a potência em CV fornecida ou · retirada no eixo da
máquina cujo rendimento é 80%.
N.A. ~ _L. E.
1,50 m
80 m .j (I)
-15m
FTG.B.I7 FI G. 8 .IB
8.19 - Um bomba eleva água do reservatório A para o reservatório
B, como na figura. A perda de carga entre A e 1 é igual a 7
vezes a carga cinética do conduto na secção e a perda de
carga entre 2 e B é igual a 25 vezes a carga cinética do
conduto de recalque< Admitindo um rendimento ~= 30%,
determinar a potência fornecida pela bomba quando a vazão
for de 3 O, o tjs. Determinar as pressões nos pontos 1 e 2.
Qual o máximo nível em que se deve instalar a bomba, para
que não se produza cavi tação? Temperatura da água 20°C,
leitura barométrica local 712,4 mmHg.
8.20 - A figura mostra o sistema de bombeamento de á~~a do
reservatório R1
para o reservatório R2
, através de uma
tubulação de diâmetro igual a 400 mm, pela qual escoa uma
vazão de 150 l/S cc·m uma perda de carga unitária ig-ual a
J = 0,55 m/100 m. As distâncias R B e 1 1
respectivamente 18,5 m e 1800 m. A bomba B1
igual a 50 CV e rendimento igual a 80%. Com
112
B1
R2
são,
tem pot.ência
os dados da
figura, determinar:
a) a que distância de B1
deverá ser instalada B2
, para que
a pressão na entrada de B seja 2 mca. 2
b) a potência da bomba B2
, sendo seu rendimento igual a 80%.
c) a pressão disponível logo após as bombas B1
e B2
•
Despreze em todos os ítens a carga cinética.
. ' ( = --
FIG. 8. 19
21,40
B
1,80 r=
FIG. 8. 20
22,0
8.21 - No sistema de tubulações mostrado na figura a bomba recalca
pela tubulação BM uma vazão de 10 tjs, fornecendo uma
potência de 5 CV com rendimento de 80%. A perda de carga
unitária nesta tubulação é J = 2,24 m/100 m. o registro
colocado na tubulação AM, pela qual passam 7 tjs provoca
uma perda de carga localizada igual a 1,50 m. com os dados
da figura, determinar:
a) A pressão disponível no ponto M.
b) A perda de carga unitária na tubulação AM em mjm.
c) o nível d'água no reservatório c, se a perda de carga
unitária em MC for 11,6 mjkm.
d) Traçar as linhas piezométricas, determinando as cotas
piezométricas antes e depois da bomba.
Oespreze a carga cinética.
FIG. 8. 21
113
FOLHA DE RESPOSTAS
8.1 - Pot = 7,8 cv
8.2 - Pot = 13,8 cv
8.3 H= 7,40 m
8.4 - a) Pot = 19,2 cv p
b) 1 5,86 mca -- = 7
p c) 2 = 82,47
7 mca
8.5 - a) Pot = 393 CV pl
b) 7
= 54,48 mca
= - 4,86 mca
8.6 - Pot = 3781 cv
8.7 - Pot = 30,0 cv
8.8 - X < 50 m
8.9 - a) X= 318 m
b) Pot = 48,0 c v 8.10 -Q = 15,2 lfs
H = 3,39 m; Pot = 0,56
8.11 -a) B -+ c b) llH =
AB 2,95 mca
c) Bomba, Pot = 0,41 cv p
d) A
7 = 10,0 mca
PB 7,0 -- = mca
7
d) PC
9,45 mca = 7
cv
114
= 2, o mca
8 .12 - a) 2 ... 1 b) Bomba c) Pot = 4,95 cv
8.13 - a) 126,60 m b) 87,10 m c) âH = 1,99 m
r
d) 626,08 m; 624,09 m; 607,00 m; 628,63 m; 2,0 mca
8.14 -L= 7,10 m Pot = 7,05 cv 24%
8.15 - Pot = 10,42 cv x = 141 m
8.16 - a) âH = 1,85 m r
b) L= 272,7 m c) Pot = 30,14 cv d) B
1 2,50 m e 22,50 m
B2
: 21,00 m e 31,55 m
8.17 - Pot = 51 CV
8.18 - a) TUrbina b) Pot = 1,67 cv c) y = 14 m
8.19 - Pot = 15 cv. pl
8.20 -
z
= -2,98 mca "(
p 2
7 = 26,92 mca
max = 8,26 m
a) 527,3 m b) Pot = 30 cv
p c)
1 21,9 lÍl = '1
p·
d) 2 14,0 m - =
'1
115
"{
b) J = 0;020 mjm c) N.A, = 125,40 m d) C.P
1 = 102,52 m
C.P2
= 132,52 m
CAPÍTULO 9
ANÁLISE DIMENSIONAL
/~. 0 - Admite-se que a força F devido ao vento sobre um edifício
alto, depende da massa específica do ar p, da viscosidade
do ar ~' da velocidade do vento V, da largura b e da altura
do edifício h. Determinar os números adimensionais em
função dos quais pode ser expressa a força do vento.
9. 2 - De que grupos · adimensionais depende a força de arrasto
sobre uma asa de avião, sabendo-se que o arrasto é afetado
pelo tamanho da asa, pelo ângulo de ataque, pela velocidade
do vôo, pela viscosidade e massa especifica do ar, e pela
velocidade das ondas de compressão no ar ?
- Estudar dimensionalmente a perda de carga (pressão) de um
fluido incompressivel e viscoso, através de uma tubulação
reta de comprimento L. As variáveis conhecidas que intervém
no problema são: a perda de pressão âp, a velocidade média
V, a viscosidade ~' o diâmetro da tubulação D, o
comprimento do trecho L, a massa específica p e a
rugosidade da tubulação e, representada pela variação média
do raio interior.
9.4 - Para movimentar uma embarcação ou uma aeronave a uma certa
velocidade, há necessidade de se aplicar uma força, cuja
intensidade dependerá da resistência que o fluido oferece
ao deslocamento da embarcação, àquela velocidade. o mecanismo capaz de produzir este esforço diz-se um
propulsor. Admitindo que a potência N de propulsão é
função única e exclusiva das seguintes variáveis:
diâmetro propulsor D
número de rotações por segundo n
velocidade do avanço v
117
massa específica do fluido
viscosidade do fluido
Determine os números adimens ionais independentes que
descrevem o problema.
9.5 A velocidade do som em um gás depende da pressão e da massa
específica. Qual a relação de dependência existente?
\ 9 • 6 - No estudo de bombas hidráulicas consideram-se como
9.7
grandezas físicas que intervém no fenômeno:
- a massa específica do fluido: p
- a rotação do rotor da bomba : w
- o raio do rotor: R
- a diferença de pressões: âP
- a vazão da bomba: Q
Consideremos então uma bomba com uma rotação w
transportando uma vazão Q, de um fluido de massa específica
p, fornecendo uma diferença de pressão âP e cujo rotor tem
raio R. Sabemos que a potência requerida pela bomba nessas
condições é dada por N a âP.Q . uma mudança na ciclagem da
rede alterou o valor da rotação para o valor w' , tal que w' -w = 1, 12 ... Chamando de N' , a potência da bomba nas novas
N' condições, pede-se calcular a relação ~
- Admite-se que a sobrelevação h do nível de um lago, devido
ao vento depende da profundidade média y do lago, de sua
largura L, do peso específico 1' da água e da tensão
tangencial L devido ao vento.
Ache uma fórmula geral que exprima h em função das demais
variáveis. Variável importante y, profundidade média do
lago.
9.8 - Um vertedor triangular é uma abertura feita em uma placa de
madeira ou metal, colocada verticalmente na secção reta de
um canal aberto. o líquido do canal é forçado a escoar pelo
vertedor.
118
A vazão Q medida pelo vertedor é função da elevação H da
corrente a montante do vertedor, medida acima da soleira do
vertedor, da aceleração da gravidade g, do ângulo q, de
abertura do vertedor e da velocidade V de aproximação da o água para à vertedor; esta última variável, V
0 é algumas
vezes desprezível. Determine, usando análise dimensional, a
equação da vazão Q, em função das demais variáveis.
9 . 9 - A vazão Q, que escoa sobre um vertedor retangular de
paredes finas, é função do comprimento L da soleira do
vertedor, da elevação ·H da água a montante do vertedor,
medida acima da soleira (crista) do vertedor e da
aceleração da gravidade g. Despreza-se a influência da
tensão superficial, da viscosidade e da velocidade de
aproximação v. Usando análise dimensional encontre ~a
fórmula que dê a vazão Q, em função das demais variáveis.
9.10 - o conjugado T desenvolvido por uma turbina hidrá~lica,
depende da descarga Q, da altura de queda H, do peso
específico da água 7, da velocidade angular do rotor w e do
rendimento ~. Determine por análise dimensional a equação
para o conjugado.
9.11 - A vazão Q de fluido que atravessa um medidor Venturi,
depende da diferença de pressões medida entre a secção
normal e a secção contraída do Venturi, do diâmetro D da
secção normal, do diâmetro d da secção contraída e dq
fluido em escoamento, caracterizado por p e J.L. Determine os
adimensionais independentes envolvidos no problema.
9.12 - Quando um fluido escoa em torno de um cilindro cujo eixo é
perpendicular a corrente, forma-se atrás do cilindro uma
esteira de redemoinhos cuja frequência f depende de:
Diâmetro do cilindro D
119
Velocidade da corrente v Massa específica do fluido p
Viscosidade cinemática do fluido v
Quais são os grupos adimensionais
descrevem o fenômeno?
independentes que_
9.13 - O momento de arfada máximo desenvolvido pela água sobre um
hidro-avião ao amarar, se representa por Cmax. Nesta ação
intervém as seguintes variáveis:
a = ângulo da trajetória de vôo do avião com a horizontal
~ = ângulo que define a posição do avião
M = massa do avião
L = comprimento do casco
p = massa específica da água
g = aceleração da gravidade
R = raio de giração com respeito ao eixo de arfada
Quantos e quais são os grupos adimensionais que descrevem o
fenômeno?
9.14 - A altura h que a água se eleva em um tubo capilar de vidro
é função da tensão superficial u, e do peso específico da
água -, • Quantos e quais são os grupos adimensionais que
descrevem o fenômeno? Determine uma relação entre h e as
demais variáveis usando análise dimensional.
9 .15 - O conjugado T necessário para girar um disco com uma
velocidade angular constante, sobre um filme de óleo,
depende do diâmetro D do disco, da velocidade angular w,
da espessura e do filme de óleo e da viscosidade ~ do óleo.
Determinar, usando análise dimensional, uma expressão que
relacione o conjugado T com as demais variáveis envolvidas
no problema.
9 .16 - A vazão Q de um líquido ideal que escoa para a atmosfera
através de um orifício de bordo delgado, feito na parede
120
I -I
lateral de um reservatório é função do diâmetro O do
orifício, de massa específica p do líquido e da diferença
de pressão Ap entre a superfície livre do reservatório e o
centro de gravidade do orifício. Determinar, por análise
dimensional, a expressão da vazão em . função das demais
variáveis.
r~ ··~ 17 - A vazão Q de um líquido através de um pequeno orifício em
uma tubulação, depende do diâmetro do orifício d, do
diâmetro da tubulação o, da diferença de pressão Ap entre
os dois lados do orifício, da massa específica p e da
viscosidade 1J. do líquido. Demonstre, usando análise
dimensional, que a vazão pode ser expressa por:
Q = d2 .íff' f ( ~ 1 IJ. )
pd /!F IJ.
9.18 - Derive, por análise dimensional, uma expressão para a
potência de uma máquina hidráulica, se esta potência
depende somente da velocidade angular, do diâmetro e da
rugosidade do rotor da máquina, da vazão, da massa
específica e viscosidade absoluta do fluido em escoamento.
9.19 - Gás sob pressão escoa para a atmosfera através de um
pequeno orifício. A vazão do fluxo depende da diferença de
pressão Ap entre o reservatório e a atmosfera, da
viscosidade cinemática v e da massa específica do gás p, e
do raio R do orifício. Mostre que:
9.20 - Derive por análise dimensional uma expressão para a queda
de pressão Ap, sobre um comprimento x, de um escoamento não
estabilizado na entrada de uma tubulação, se Ap depende
121
somente de x 1 do diâ:n::e:·t::co da tubulação D 1 da vazão Q, da
massa específica p e da viscosidade ~ do fluido.
9.21 - Derive uma expressão para a velocidade limite de uma esfera
sólida e lisa caindo através de um líquido incompressível
se esta velocidade só depende do diâmetro D e massa
específica da esfera pe, da aceleração da gravidade g, da
massa específica pr e da viscosidade do fluido ~·
122
. I I
I
9.1
9.2
9.3
9.4
9.5 - c = p 1/2
f(-} p
FOLHA DE RESPOSTAS
9.6 Q' = w' -o:- w w' 2
N' w' 3
= (-w-> ;-N- =(-w-> ;-f-h L 't" 9.7 --- = f(y- 'ry> y
9.8 - Q =
9.9 - Q =
9.10 - T
D 9.11 - --cr-
9.13 - a, ~
9.14 - h =
9.15 - T =
,/q ~ V o H'5/~ f( ,t/J) ,;-;
,/q 3
H~/2 f(~) H
cmax R pL3
' MLg '---y;- ' M
K /I_ 7
1.LWD3 te-º e )
123
9.20 - ~p
=
CAPÍTULO 10
SEMELHANÇA FÍSICA E MEDIDORES DE VAZÃO
10.1 - Através de uma tubulação de 25 em de diâmetro está
escoando um óleo de 5,62 x 10-6 m2/s de viscosidade
cinemática. A que velocidade deve fluir água a 20°C pela
tubulação, para se ter um escoamento dinamicamente
semelhante? Qual é a relação das forças de resistências, " para comprimentos correspondentes da tubulação, proguzidas
pelos dois fluxos? Densidade relativa do óleo é de 0,8.
10.2 - Se quer ensaiar um modelo de submarino, na escala 1/20, em
um túnel aerodinâmico em que pressão da corrente livre é .. . .. 2 o
p = 21 kqfjcm ( abs) _e. a temperatura T = 50 C. A velocidade
a que se quer estimar o arrasto no protótipo é 15 nós. Qual
deve ser a velocidade da corrente livre do ar no túnel?
Qual será a relação entre os arrastos no modelo e no
protótipo? Explicar porque, apesar da elevada pressão no
túnel aerodinâmico, pode considerar-se o fluxo
incompressível.Dado: viscosidade cinemática da água do mar • -6 2
1. gual a 1 , 3 x 1 O m I s .
10. 3 - Explicar porque no problema anterior não se teria seme
lhança dinâmica, se o protótipo do submarino se movesse
perto da superfície livre do mar.
10.4 - Um pequeno modelo de uma piscina foi construído na escala
1/10 a fim de, experimentalmente, se determinar o tempo de
descida do nível d'água (esvaziamento) . Determine o tempo
de esvaziamento para o protótipo, se para o modelo foi de 5
minutos.
10. 5 - Para se estudar as forças longitudinais que aparecem na
decolagem de um hidro-avião, utiliza-se um modelo reduzido
125
em escala geométrica 1:5. Pede-se estabelecer as condiçõe~
necessárias para que subsista semelhança física entre o
modelo e o protótipo, sabendo-se que o ensaio é feito com o
mesmo fluido e no mesmo local. Variáveis que influem p, V,
IJ., g, F, t.
10.6 - Um aeroplano que terá uma asa de 12 pés, é desenhado para
voar a 100 m.p.h. Usando-se um túnel de vento à pressão
atmosférica, determinou-se a resistência sofrida pelo
protótipo, através de um modelo na escala 1/5 • Qual deve
ser a velocidade do vento no túnel, para que os:escoamentos
sejam semelhantes?
10.7 -Num tanque de provas de navios está sendo testado o modelo
de um novo navio, de modo a determinar a resistência devido
a formação de ondas que será encontrada por este. Sabe-se
que:
a) o deslocamento (peso) do protótipo é igual a 27.000 tonf
b) o comprimento do modelo é s,o m
c) o comprimento do protótipo é igual a 200 m
d) a densidade da água do tanque é igual a da água do mar
Pedem-se:
Qual deve ser o deslocamento (peso) do modelo?
Se a velocidade máxima a ser atingida pelo protótipo é 16
nós, qual deve ser a velocidade do modelo no tanque de
provas, a fim de que se obtenha uma configuração de ondas,
dinamicamente semelhante a do protótipo, a 16 nós?
Qual a resistência de ondas no protótipo a 16 nós, se foi
determinado que no modelo, à velocidade correspondente,
essa resistência é igual a 1,2 kgf?
10.8 - No estudo de ondas de gravidade, de pequena amplitude, cuja
equação da velocidade de propagação (celeridade) é dada por
2 = (~ 2rr + ~) tanh ~ c p -L- 2rr L
126
. I
/
as variáveis que intervém no fen6meno são: c celeridade, L comprimento de onda, y altura do líquido não perturbado, g aceleração da gravidade, p massa específica do líquido e u /tensão superficial do líquido. Determinar: a)) os números adimensionais independentes que descrevem o ~· fen6meno. ~) um líquido cuja tensão superficial é 1/4 da tensão
superficial da água e de densidade relativa igual a 1,02
é usado para simular o movimento de ··ondas de pequena amplitude na água. Qual deve ser a escala geométrica, para que se estabeleça semelhança . dinâmica, . entre os
dois escoamentos?
10. 9 - Deseja-se construir uma ponte sobre um canal, cuja velocidade máxima da corrente é de 3,6 mjs, e para o estudo da formação de ondas nos pilares da ponte, foi construido um modelo reduzido na escala 1:20. a) Qual a velocidade a ser tomada no modelo, de modo a aa
conae~ir uma idAntica configuraçlo geom,trica da auperficie daa ondaa?
b) Se a vazio por baixo da ponte ' de 0,2 m3/a, no modelo, qual aer4 a vazio correapondente no protótipo?
10 .10- No eatudo de bombaa hidr4ulicaa conaicleram-•• como grandeza• tiaicaa que int•rv•m no tan6meno. 1 - a maaaa eapecitica do fluido p 2 - a rotaQio do rotor da bomba w 3 - o raio do rotor R 4 - a diteren9~ de preaalo AP
5 - a vazio de liquido Q Na hipóteae de aomente eataa grandeza• intluirom no ten6meno pedem-ae: a) oa n~eroa adimenaionaia nocoaa4rioa ao oatudo da bomba
em laboratório partindo de AP,• t (p, w, R, Q). b) uaando oa adimenaionaia obtidoa, reaolva o aequinte
problema:
127
,~:;:,::... .,
Uma bomba centrífuga deve ser projetada para a vazão de 3 220 mjh, altura manométrica (~p) de 30m e uma rotação
de 1740 rpm. No projeto do modelo desta bomba, as
condições desejadas são: vazão 5 m3/h, altura manométri
ca (~p) de 20 m e o mesmo líquido que escoará na bomba
protótipo. Pedem-se:
1 - A escala geométrica À
2 - A rotação da bomba modelo.
10.11- Quer-se ensaiar um modelo de perfil de pá de uma hélice de
avião, em um túnel aerodinâmico. Sabe-se que o protótipo
tem uma corda de 50 em e que a velocidade do escoamento do
fluido não perturbada é de 10mjs. Pedem-se:
a) os grupos adimensionais que descrevem o fenômeno, saben
do-se que as variáveis que intervém são: p, ~' g, F, V,
t. b) a velocidade do escoamento de ar na secção de ensaio do
túnel, se o modelo tiver 5 em de corda? Justifique.
c) como diminuir a velocidade do item b, permanecendo
satisfeitas as condições de semelhança física, entre os
dois escoamentos?
~ ......
~ 10.12- Deseja-se determinar a perda de carga em uma curva de uma
tubulação de 1 metro de diâmetro, na qual escoará ar 3 -6 2 comprimido de p = o, 6 UTM/m e ~ = 2 x 10 kgf. sjm a uma
3 vazão de 3,30 mjs. Para isto deseja-se construir um modelo
reduzido da tubulação e os testes serão feitos com água a
25°C, de p = 102 UTMjm3 em laboratório cuja capacidade
máxima de suprimento de água para o modelo é de 50 tjs.
Qual deve ser a escala geométrica do modelo, para se ter
semelhança dinâmica entre· os escoamentos no modelo e no
protótipo? Qual a relação entre as perdas de pressão no
protótipo e no modelo?
10.13- Deseja-se conhecer as perdas de carga de uma galeria
circular onde irá escoar água, para isto mediu-se a perda
128
I •
I·
! '\
de carga devido ao escoamento de ar, insuflado na própria
galeria.
a) a vazão de água que irá circular na galeria é de 3 7, 5 m js, qual deve ser a vazão de ar, para se ter
semelhança dinâmica entre os escoamentos?
b) sobre um trecho de comprimento igual a 500 m , obteve-se
com aquela vazão de ar, um valor da perda de carga igual
a 0,12 mca. Qual o valor da perda de carga em um trecho
de 6050 m de galeria, quando escoar 7,5 m3 js de água?
Dados:·viscosidade cinemática do ar- v = 14,7 x 10-6m2js ar
viscos. cinemática da água - v H O
= 1,15 X 10-6m2 js
massa específica do ar - par = Í,25 kg/m 3
massa específica da água - p = 1000 kgjm3
H O 2
10.14- Um trecho do rio Paraná, no qual deverá ser construída uma
ponte, foi reconstituído em um laboratório na escala 1/100.
Para se estudar o arrasto sobre um pilar da ponte, o modelo
foi testado para uma velocidade média da corrente igual a
O, 20 mjs. Medindo-se o arrasto sobre o pilar da ponte
modelo,a essa velocidade, encontrou-se o valor de 0,01 kgf.
'--- Determinar a velocidade. correspondente no protótipo e o
valor da força de arrasto sobre o pilar da ponte protótipo.
10.15- Em um certo fenômeno físico a funyão representativa é dada
por f (N, g, p, V, L) = O onde N é potência e L uma
dimensão característica qualquer. Ao determinar os grupos
adimensionais pelo teorema dos rr e efetuando-se uma série
de experiências em laboratórioJ chegou-se ao gráfico
indicado abaixo. Se em uma certa experiência tem-se 3 2
p = 100 UTM/m , V = 2 mjs, L = O, 5 m e g = 10 mjs , qual
será a potência em CV?
FIG. 10.15
129
'-... ~
O model.;:, .::.: ~d'.lz.::..C"l·:: .~e um vertedor de barragem foi construído
na escala 1/60. o vertedor protótipo foi projetado para uma
vazão milenar igual a 3.200 m3 js. Qual deverá ser a máxima
vazão requerida nos testes do modelo? Que tempo, em
minutos, representa um dia no protótipo?
10 .17- Um determinado laboratório de hidráulica montou um modelo
reduzido para o estudo do alargamento da praia de
Copacabana. Segundo informações não oficiais, o estudo da
semelhança foi baseado exclusivamente nos adimensionais
Weber e Reynolds. Qual a sua opinião sobre esta informação?
critique-a, se for o caso, justificando o seu ponto de
vista. r-~cL-
Um modelo reduzido de um porto foi construído na escala
1:225 (sem distorção da escala vertical). Fortes ondas de
4,5 m de amplitude e 6 mjs de velocidade deverão ser
contidas pelo quebra-mar do porto protótipo.
a) Desprezando o efeito do atrito, qual deverá ser a
amplitude e a velocidade das ondas no modelo, para se
ter semelhança física entre o modelo e o protótipo?
b) Se o período das marés no protótipo for de 12 horas,
qual deverá ser o período das marés no modelo?
10.19- Para simular ~ resistência oferecida pela água um trecho de
100 m de comprimento e 1 m de diâmetro, de um emissário
submarino de esgotos, quando este for rebocado, totalmente
submerso, no mar, foi 'feito um teste, à pressão
atmosférica, em um túnel de vento, de um modelo reduzido, a
uma velociGa2e de 20 mjs. Que dimensões deverá ter o modelo
para que se estabeleça semelhança física entre o modelo e
protótipo 1 sabendo-se que o trecho de emissário será
rebocado a '=:.. -~=:.ocidade constante de 6mjmin.
Nestas condições qual será a relação entre as resistências
oferecidcs ::.:.::· ;:;.s=:locamento do protótipo e do modelo.
130
. I
. '
Sendo a função representativa do fenômeno f (F, v, L,
p, IJ.) = o e como o teste é feito em um túnel de vento,
pergunta-se se não ocorrerá um "efeito escala" pelo fato do
número de Mach não ser um dos grupos adimensionais
independentes que representam o fenômeno físico. Explique: 3 -6 2 Assuma que 7
8 0 = 1000 kgfjm , v
8 0 = 10 m js
2 3 2 -5 2 7 = 1 1 2 kgfjm 1 V = 10 m /S
ar ar
10.20- Uma esfera totalmente submersa em um líquido movimenta-se
em um plano horizontal com uma velocidade
necessária uma força F1
para manter o movimento.
foi medida para di versas velocidades, tendo-se
dados da tabela abaixo. Se · uma outra esfera,
V , sendo 1
Essa força
obtido os
totalmente submersa, de diâmetro
fluido com velocidade
necessária?
D = 50 2
v2
= 2
em movimenta-se
mjs, qual será
no mesmo
a força
Dado: D = 20 em. 1
v1 (mjs)
Fl (kgf)
2
4
7 (
. 4 6 8 10
10 18 30 45
10.21- Uma determinada companhia de eletricidade pretende fazer
ensaios em um modelo reduzido na escala 1/50, de um canal
de desvio para uma obra de aproveitamento hidrelétrico, no 3 .
qual a máxima vazão esperada é de 1500 m js. Para isto
entrou em contato com um laboratório de hidráulica, cuja
capacidade máxima de suprimento de água para o modelo é de
50 tjs. Você acha que este laboratório tem condições de
fazer os ensaios no modelo com aquela escala? Por que?
10.22- Um modelo _reduzido de um projeto de aproveitamento hidre
létrico possui um ressalto hidráulico (dissipador de ener-
gia) que dissipa, para uma
o modelo é construído na
determinada vazão, 0,013 HP.
escala 1/40. Qual a potência
dissipada no protótipo do ressalto hidráulico?
131
10.23- Duas bombas A e B, geometricamente .semelhantes, são
instaladas am série e o escoamento em ambas e francamente
turbulenta ( Rey alto) • Para a bomba
dados: altura manométrica HA = 25 m, nA
e diâmetro do rotor D = 20 em. Determinar a A
bomba B e a sua altura manométrica, sabendo que o diâmetro
do seu rotor é 15 em.
~ 10.24- Em ~
um certo fenômeno físico as forças viscosas e da '\ gravidade são predominantes. Em um determinado ensaio o
modelo construído na escala 1:4, deverá ser testado para um
determinado f 1 ui do. Se o protótipo irá funcionar com um
fluido de viscosidade cinemática v = 4, 8 x. 10-5 m2 /s, qual
deve ser a viscosidade do fluido utilizado nos testes do
modelo, para que haja semelhança física entre os dois casos
particulares do fenômeno?
10. 25- Você foi informado, oficiosamente, que o laboratório de
aerodinâmica que estudou o arrasto sobre a asa do caça P-47
Thunderbolt, utilizado pelo 1~ Grupo de Caça da FAB, na
Itália, foi o mesmo que fez os testes do arrasto sobre a
asa do caça Northrop F-5B, adquirido pela FAB, e que nestes
testes o laboratório considerou, para ambos os aviões, como
importantes, os mesmos grupos adimensionais envolvidos no
fenômeno. Qual a sua opinião sobre esta informação.
Expresse seu ponto de vista justificando.
10.26- Um modelo de uma bomba centrífuga, construído na escala
1: 4, é testado sob uma carga de 7, 6 m a 500 rpm. Foi
determinado no ensaio que a potência requerida pelo modelo
é igual a 10 HP. Calcule a velocidade de rotação e a
potência requerida pelo protótipo, quando a carga for
de 4 4 m. Qual a relação entre as vazões bombeadas pelo
protótipo e pelo modelo, sob estas condições?
132
)
~~ 10.27- Um modelo de um fenômeno de escoamento no qual as forças de
gravidade e de tensão superficial são dominantes, está para
ser construído. Determine uma expressão para a escala do
modelo em termos das propriedades físicas dos fluidos.
10. 28- Para se determinar a resistência oposta pelas ondas a um
barco, fizeram-se ensaios no laboratório, em um tanque de
provas, - com um modelo reduzido na escala 1: 25. Se a
velocidade máxima que o protótipo desenvolverá é de 3 7
km/h qual deve ser a velocidade máxima desenvolvida pelo
modelo, para se obter ondas dinamicamente semelhantes as
reais. Se a força de arrasto medida no modelo foi de
0,227 kgf, qual a potência, em cv, que o motor do barco
protótipo deverá ter para desenvolver aquela velocidade, se
seu rendimento for de 80%.
10.29- o gráfico mostra a curva de calibração de um vertedor
retangular de paredes finas, cujo comprimento L da soleira - 1
é 0,40 m, descarregando com a veia vertente livre. Mostre
como uma curva de calibração para um vertedor semelhante
com comprimento de soleira L = O, 60 m pode ser traçada 2
partindo somente da curva dada. Desenhe esta nova curva
sobre o gráfico dado. Dimensão importante do fenômeno H,
carga. Despreze a viscosidade e a tensão superficial.
0,40m H (m)
H
Q(its)
FIG. 10.29
10.30- Tem-se dois medidores de vazão, tipo diafragma, montados em
tubulações, como mostra a figura.Determinar a relação ~H/~h
133
e-
'\j ....-../ = ---~
--..) _,;..._., é \
quando existir semelhança física entre os dois escoamentos.
Líquido em escoamento: água.
I Q d LJ
~- 2T~ d1= Sem
l Ql . -
~ vHg
Hg
FIG. 10.30
Por meio de um modelo experimental deseja-se estabelecer a
profundidade mínima, h min, desde a superfície livre, em
que se deve colocar o tubo . de sucção de uma bomba, para
que não se produzam vórtices na entrada e não exista
arrastamento de ar para dentro da bomba. O líquido que se
deseja bombear é petróleo, v = 0,7~ stokes, com uma vazão
de 140 tjs; o diâmetro do tubo de sucção é igual a d = = 250 mm. o ensaio se deseja efetuar com um modelo na
escala geométrica igual a 1:5. Para se obter no modelo um
líquido de qualidade desejada pode-se utilizar uma solução
de glicerina em água, que modifica a viscosidade da mistura
desde 0,01 stokes (água pura) até 8 stokes (glicerina
pura). Calcular:
a) a viscosidade do líquido que deve ser usado no modelo
b) a vazão Qm no modelo e a velocidade média Vm no tubo de
sucção do modelo.
c) a profundidade h min em que se formará os vórtices no
protótipo, se no modelo se obteve h min = 60 mm.
-hmin )
FIG .. 10.31
134
10.32- Um laboratório de hidráulica deverá testar um modelo
reduzido de um quebra-mar de um porto. o período médio das
ondas no local onde será construído o porto é de lOs. Se o
gerador de ondas do laboratório somente pode fazer ondas
com 1, Os de ·período, qual deverá ser a escala do modelo
para se ter semelhança física?
10.33- Um modelo reduzido de um vertedor de uma barragem foi
construído na escala 1:60. Quando a altura d'água sobre a
crista do vertedor modelo é 3 em, a vazão descarregada vale
42,6 tjs. Qual a altura sobre a crista e a vazão
descarregada correspondentes no protótipo?
10.34- Um grande medidor Venturi para medida de escoamentos de ar
tem um diâmetro de secção estrangulada igual a 0,90 m. Este
Venturi está sendo calibrado usando-se um modelo na escala
1:12 e sendo água o líquido. Quando uma vazão de 0,02 m3 js
de água passa através do Venturi a queda de pressão
correspondente é de 1,52 kgfjcm2• Calcule a correspondente
vazão e a queda de pressão no protótipo.
-6 2 Dados: vH 0
_ = 1,14 x 10 m js 2
Par = 0,125 UTMjm3
JJ.ar = 0,18 -5
X 10 kgf -2 m s.
10.35- No teste de um modelo em um tanque de carena, verificou-se
que as variáveis que intervêm no fenômeno são: v, g, t e v. O protótipo vai trabalhar em água a 20°C, de viscosidade
cinemática v = 10-6 m2 js. Sendo a escala geométrica 1:2,
escolher entre os fluídos abaixo aquele no qual deve ser
135
água a 90°C
mercúrio
gasolina
querosene
-7 3,54 X 10 -7 1,25 X 10 -7 5,12 X 10
-6 3 1 1 X 10
10.36- Tem-se um diafragma com as dimensões indicadas na figura.
Sabe-se que este diafragma foi projetado segundo as normas
DIN. Determine:
1) Qual o m deste medidor.
2) Qual o valor da vazão de água quando AH = 0,80 mcHg
3) Qual a mínima vazão que pode escoar neste medidor para
que ainda se tenha Co = cte.
10.37- Em uma tubulação estão instalados um diafragma e um tubo de
Prandtl, como na figura. Conhecendo os coeficientes m e Co
do diafragma, determine a relação AH 1 AH . Faça as 2 1
hipóteses necessárias.
Hg
FIG. 10.36 FIG. 10.37
10.38- Deseja-se construir um diafragma, segundo as normas DIN,
para medidas de vazão de água através de um duto de 200 mm
de diâmetro. Sabe-se que a vazão máxima que escoará é de
66 tjs. Para as medidas de pressão antes e após o
diafragma, dispõe-se de um manômetro em U, com mercúrio,
que pode acusar um desnível máximo de 250 mm. Determinar o
diâmetro do orifício do medidor e a mínima vazão para qual
ainda se tem Co constante.
136
I
I •
10.39- Em uma tubulação está instalado um medidor de vazão tipo
orifício para medir vazões de água. Sabe-se que o medidor
foi projetado para a medida de vazão máxima igual a
4 7, 8 m3 /h a qual corresponde o desnível de 100 mm em um
manômetro em U que contém mercúrio. o desnível máximo
possível neste manômetro é de 120 mm. Surge porém a
necessidade de se medir uma vazão de água até 55 m3 jh.
Pergunta-se: é possível a utilização do mesmo medidor e do
mesmo manômetro ou deverão ser escolhidos outros?
São dados: diâmetro da canalização D = 113 mm, Reynolds
crítico para o medidor 1,5 x 105•
10.40- Quer-se projetar um diafragma conforme as normas DIN, para
ser instalado em uma tubulação de 8" de diâmetro, para
medir vazões de água. Sabe-se que as vazões a serem medidas
variam entre 31.5 t;s e 90 tjs. o projeto deve obedecer os
seguintes requisitos:
a) Mesmo para a mínima vazão Co deve permanecer constante.
b) O máximo valor de ~H não deve ultrapassar 500 mmHg.
Determine o diâmetro do medidor, seu coeficiente de vazão
Co e a função Q = Q(~H) no seu campo de utilização.
10.41- Tem-se dois diafragmas instalados em série. O primeiro em
uma tubulação de 8" e o segundo em uma tubulação de 6" de
diâmetro. O coeficiente m do primeiro é 0,2, determine qual
deve ser o coeficiente m do segundo para que o desnível de
mercúrio ~H em ambos os manômetros seja o mesmo. o escoamento é francamente turbulento e os medidores foram
construídos segundo as normas DIN.
10.42- Um diafragma projetado e construído segundo as normas DIN,
foi instalado em uma tubulação de 200 mm de diâmetro para
medidas de vazões de água. As diferenças de pressões foram
medidas com um manômetro em U tendo como fluido manométrico
bromofórmio p = 280 UTM/m3• Para uma vazão de 45 tjs o
137
' desnível manométrico é de 800 mm. Determine o diâmetro do
medidor e seu coeficiente de vazão para a região de
constância.
10.43- o diafragma do laboratório de Hidráulica da EESC foi
ensaiado com água. Traçou-se a curva Q ( tjs) contra
~ (mmHg), resultando o gráfico abaixo. Sabendo que esse
diafragma foi construído e montado segundo a norma DIN em
tubulação de 3" de diâmetro. Determine:
1) O valor do produto m x Co
2) o valor do diâmetro do orifício do medidor
3 ) o valor da mínima vazão para a qual o Co do medidor
ainda é constante.
Q(!!s)
18
13,5
9
15 20 25 30
FIG. 10.43
138
FOLHA DE RESPOSTAS
10.1 -a) v = 0,178 v 2 1
b) 25,2
F 10.2
p = 100 F m
10.4 -t = 15,8 min p
10.5 -v = .;-;: v p m
F = 125 F p m
10.6 -v = 500 mph m
10.7 -a) p = 1728 kgf m
b) v = 3,2 nós m
c) F p = 18,8 tonf
10.8 -a) Fr, We, Y/L
b) À ~ 1/2
10.9 -a) v = 0,80 m/s m
b) Q 357,6 3 = m js p
10.10-a)
"' l1E llJ
Q
p(wR) 2 ' wR 3
b) À = 1:6
c) w = 8524 rpm m
10.11-a) Fr, Rey, Cd.
b) v = 100 mjs m
l1P 10.12-
p
AP = 5764 m
139
10.13-a) Q = 95,8 m3 ,/s ar
b) Ap = 7,12 me a
10.14-V = 2,0 m;s p
F = 10 tonf p
10.15-N = 3,33 cv ou N =
10.16-a) o. = 0,1.15 m3 js
b) t = 1.86 min m
1.0.18-a) v m
= 0,4 m/s
b) t = 0,8 horas m
10.19-a) L = 5m m
D = 5 em m
b) F = 8,34 Fm p
c) Não
10.20-F = 1.4 kgf
10.21-Não
10.22-Pot = 5262 HP
10.23-a) w = 2844 rpm
b) Ap = 79 m
10.26-a) w ~ 300 rpm
Pot = 2223,2
Q b)
p = 38,4 Q
m
10.27-i\. = I Um
<Tp xeE
pm
10.28-a) v = 7,40 km/h
b) Pot = 607 cv
HP
2,13 c v
140 , I
I ~
âH 1 10.30- ~h=~
10.31-a) v = 0,067 stokes m
b) Q = 2,50 tjs m
c) h = 300 mm p
10.32-Ã. = 1:100
10.33-H = 1,80 m p
Q = 1188 m3 js p
10.34-Q 3,03 3
= m js p
âH = 0,0021 kgfjcm p
, o 10.35-Agua a 90 c
10.36-m = 0,25
Q = 38,7 tjs
Q = 11,5 tjs min
âH 10.37- 2 m2Co2 =
âH 1
10.38-00
= 126,5 mm
Q = 30,8 tjs min
2
10.39-Deverá ser trocado o manômetro.
10.40-D = 126,5 mm o
Co = 0,660
Q = 0,13 ~ ~H (m) e Q(m 3 js)
10.41- m = 0,35 2
10.42- D = 128 mm o
'#K, Co = 0,67
10.43- me o = 0,27
D = 48 mm j
:-o
Qmln = 8,66 tjs ._
142
f,
J
ANEXO
FÓRMULAS I GRÁFICOS E TABELAS
1 - PROPRIEDADES DOS FLUIDOS
Massa específica
Volume específico
dm P = dVol
1 v=--p
Equação dos gases perfeitos
P.Vol = n.G.T
G = 8.312 k N.ml K g.mo • G R = __,.,,_..-Mal
p = R.T p
P -Pressão absoluta Vol -Volume n -Número de moles G -constante universal dos gases. R -constante particular do gas. Mol- Massa molecular.
/ Módulo de elasticidade volumétrica
dP K = - ---=dv,:.:.;;..o.,....l-
2 - ESTÁTICA DOS FLUIDOS
Pressão
dF p = """dA"
F = P.dX à
Vol
~! - força de pressão 1 perpendicular aA - área
Equação da estática dos fluidos.
ou
143
L
ap = o 8X ~=O ay .
dP --az=-7
Medida da pressão: manometria.
Pressão relativa
Pr = Pa - Pata
Diferença manométrica
Manômetro diferencial
Piezômetro
3 - FORÇAS SOBRE SUPERFÍCIES SUBMERSAS
Módulo da fôrça
J = p .A cg
Centro de pressões
I x' = X + xy
cg Ycg .A
I Y' + XX
= Ycg y .A onde
cg
Ixy = Produto de inércia relativo ao centróide Ixx = Momento de inércia relativo ao centróide
da da
Força sobre corpos submersos. Princípio de Arquimedes.
F = '1 • Vat I c Vat - Volume de fluido deslocado.
144
área área
4 - LEIS BÁSICAS DOS FENÔMENOS DE TRANSPORTE
Equação da Viscosidade ( Newton )
ôV -r = - ll a.,.,
Equação da condução do calor ( Fourier )
Q=-KA~ a.,.,
Equação da difusão ( Fick )
J =- D p aCA a .,.,
5 - CINEMÃTICA DOS FLUIDOS. EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE.
Velocidade:
Aceleração aV á= (V·V)V + at
Linha de corrente
~-~-~ Vx - Vy Vz Trajetória
dx dt; ~ - dt; dz - dt -v;- = Vy v;:-Descarga
vazão
Q = JI. !·dX Velocidade média
v. -i JJ v.d1 Á
Equação da Continuidade (conservação da massa)
Diferencial a(pVx) + a(pVy) + a(pVz) óp ax ay az -- at
145
Diferencial, escoamento permanente
a(pVx) + a(pVy) + a(pVz) ax ay az o
Diferencial, escoamento incompressível
8Vx + 8Vy + 8Vz O ax ay az -
Integral
JJ.~v.dl + :t JJJv~~vol = o
Integral, escoamento permanente
JI. ~v.dl = o
Integral, escoamento incompressivel
J[.!·dA + :t JJJV~:ol o
6 - APLICAÇÕES DA EQUAÇÃO DE BERNOULLX
Equação de Euler
- v _R_ - g. v z = c v. v) v p
Equação de Bernoulli P v2
--- + z + - Constante 7 29-
7 - TEOREMA DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO
8 - APLICAÇÕES DA EQUAÇÃO DA ENERGIA
Equação da energia
Q + W = JJ~! + ~ + qz + u).(pV.dÂ) + 8~ JJJ~~2
+ qz + u)pdVol
146
Equação de Bernoulli generalizada
Pl + Zl + V~ = P2 + Z2+ V~ + .LU!perda 7 2g 7 2'g
Potência de Bombas Hidráulicas
N= 7Qlle TI
Potência de Turbinas Hidráulicas
N = 717Qlle
9 - ANÁLISE DIMENSIONAL
Sistema probásico para Mecânica dos Fluidos
p - massa específica do fluido V - velocidade O - dimensão característica
-3 -ML - LT-1
- L
10 - SEMELHANÇA FÍSICA E MEDIDORES DE VAZÃO
Adimensionais mais usados
Número de Reynolds Rey = pVD = 4eQ ll rrDI.L
Número de Froude F r v2
= gD
Número de Euler Eu llP = --p~
Número de Mach Ma v = --c
Número de Weber We = V2 Dp U'
Medidores de vazão
C nD2 Prp Q = m Q -- --4 p
Do - Diâmetro do orifício D - Diâmetro da tubulação
CQ - Coeficiente de vazão
147
MEDIDOR 1E VAZ'kJ TFO DIAFRAGMA
NORMA DIN
o u
0, ..
0,12
0.10
0,71
0,75
o 0,72 IC N
~ 0,70
3 0,51 ... ....
:o,u u k: ~0,64 u
0,52
0,60
I'
~ ~
' I'.._,
~
"'"" ~
"" """
0,51 • 3 45 lO 2 s 45
0,10
0,71
~o.u
~ 0,74 N c > 0,72 ... Q
... 0,70
.... z !!! 0,51 u k:
~lo...
... ü ~
~~I
-lui j
!JI ~I
a•l 7
[O
a-o. C m
0,05 0.10 0,15
•G. 0.20 0.25 Q.30
1-•a.lt q35
0.40 0,45
... 11. 0,50
0.55 . q60
-11. !l65 joo-q ls 0,70
/ / v
/ v
/
/
... 0,66 o u v Co MRA
E. CANT'D! TU80 UISO VIVOS
/ ./
~
0,64
0,52
0,60
~o DIAFRAGMA
0,598 0_.602 0.608 0,615 0,624
0,634
0,645 0,660
0.676 0,695
r0,716 0,740 0,768
. 0,802 --
O, I 0,2 0,5 0,4 0,5 0,5 •Co
148
11 - PERDA DE CARGA
Equação Universal de Perda de Carga
L v2
âllperda = f I> 2g
Equação de perda de carga localizada
v2 Ahperda = K 2g
Perda de carga unitária
J = âllperda L
Fórmulas para determinação do coeficiente de perda de carga
Escoamento laminar
f = 64 Rey
Equação de Blasius
0,316 f = _ ___, __ _ Reyo ,25
válida para tubos lisos e 104 < Rey < 105
Equação de Colebrook
1
.[f = - 2,0 log [o,27 (-e-) + 2
'51 J
10 D Rey .[f
válida para Rey >2.3.103
Equação de Haaland
1
.[f [
10/9
= - 1, 8 log10
( ~ ) + 6.9 Rey ]
válida para: e o ~I>~ 0,5 e, 4.000 ~ Rey ~ 108
Equação de Swamee & Jain
f = 1,325
[ln ( 3,;.0 + 5,74 Reyo,9
válida para: e ~ 8 ~ I> ~ 1 o e, 5 • o o o ~ Rey ~ 1 o
149
Equação de Churchill
f = 8. [ ( 8 12
1 J 1/12 ) + Rey (A+B) 3/
2 onde:
A= [ 2,457 ln ( 1
7 )0,9+ e Rey 0,27--o-
e
B ( 27.530 r6 = Rey
DIAGRAMA DE MOODY
0.1
0.09
0.01
0.0
~~=-~-~r j '1~Jt ~--t=·""'~l
'! , tH t+ttl!t4: , t JflRJ.AP''':l~il:' 1 +:-j1HtltttHil. - ~-l [)~--- ;_a•~+!~i.J -~-{~Ulill!Uf -
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BIBLIOGRAFIA
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York, Intercience Division John Wiley & Sons, 1972,392p.
2. - HENDERSON, J.F. - Open Channel Flow. New York, Macmillan
Co. 1966, 522p.
3. - KREITH, F. - Princípios da Transmissão de Calor. São Paulo,
Editora Edgard Blücher Ltda. 1977, 550p.
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York, Harper & Row Publishers Inc. 1970, 582p.
5. - PIMENTA, c.F. - curso de Hidráulica Geral.-Vol 2. São Paulo,
Centro Tecnológico de Hidráulica, 1978, 436p.
6. - SHAMES, I.H. - Mecânica dos Fluidos. São Paulo, Editora
Edgard Blücher Ltda. 1973, 534p.
7. - STREETER, V.L.& WYLIE, E.B. -Mecânica dos Fluidos. 5.ed, São
Paulo, McGraw-Hill, 1982, 585p.
8. - VENNARD, J.K. & STREET, R.L.
Fluidos. 5ed, Rio de Janeiro,
1978, 687p.
151
Elementos de Mecânica dos
Editora Guanabara Dois,