ndice

lgebra Elementar e Conjuntos 5Funes 6Logaritmos 7Trigonometria 8Progresses 14Matrizes e Determinantes 16Sistemas Lineares 22Anlise Combinatria 23Binmio de Newton 24Nmeros Complexos 26Polinmios 29Geometria Analtica 32Geometria Espacial 39Geometria Plana 43

lgebra ElementarSimbologia

(e) (pertence) (ou) (no pertence)| (tal que) (contm)$ (existe) (no contm)$ (no existe) (contido)" (qualquer que seja) (no contido) (vazio)

Conjuntos

InterseoA B = { x | x A x B }

UnioA B = { x | x A x B }

DiferenaA - B = { x | x A x B }

ComplementarB se B A ento C = A - BA

onde:a, b, x Ra > 0 e a 1 e b > 0

Decorrncias da definio

log 1 = 0 ( 0 < a 1)alog a = 1 ( 0 < a 1)a

a = b (0 < a 1 e b > 0)log b = logc b = c (0 < a 1, b > 0 e c > 0)a a

Propriedades operatrias

Mudana de base

"

"

Logaritmoslog b = x a

x a = b

log b + log c = log bca a alog b - log c = loga a abc

alog b = a . log ba alog b = . log ba aa 1a

log b = alog bclog ac

log ab

5 7

Exatas Handbook

Estudo da funo

Uma relao R: A B ser uma funo de A em B, se e somente se:

- D(R) = A- Cada elemento x A se relaciona (forma par) com um nico elemento B.

Notao: f : A B ou y = f(x)

Funo do 2 grau2- f: R R, definida por f(x) = ax + bx + c

- D(f) = R- Coordenadas do vrtice:

- Se a > 0, valor mnimo = y. v- Se a < 0, valor mximo = y.v

Funes

V = ( )-b ; -D2a 4a

TrigonometriaRazes Trigonomtricas

Seja um tringulo retngulo, fixando um ngulo agudo a, temos:

seno - a razo entre o cateto oposto ao ngulo e a hipotenusa:

cosseno - a razo entre o cateto oposto ao ngulo e a hipotenusa:

tangente - a razo entre o cateto oposto ao ngulo e o cateto adjacente ao ngulo:

a

a

c

b

sena = ba

tga = bc

cosa = ca

8 6

Para lembrar...

Lembre-se da frase: Corri, ca e tomei uma coca.corri - co/hip (cateto oposto/hipotenusa) = senoca - ca/hip (cateto adjacente/hipotenusa) = cossenococa - co/ca (cateto oposto por adjacente) = tangente

Valores notveis

30 45 60

sen

cos

tg

12

12

22

32

33

3

22

32

1

Radianos - Graus180 = p rad

y = x radx = y p

180

De 1 temos:

De 2 temos:

2 2sen a + cos a = 12 2cotg a + 1 = cossec a2 2tg a + 1 = sec a

tga = senacosa cotga =cosasena

seca = 1cosa cosseca =1

sena

Tringulos Quaisquer

ab

Seja um tringulo abc, qualquer:

Lei dos Senos:

Lei dos Cossenos:a = b + c - 2bc.cosAb = a + c - 2ac.cosBc = b + a - 2ab.cosC

c

C

A B

asenA

= bsenB

csenC

=

1111

Transformao de Arcos

Arcos negativos:

sen(-a) = -senatg(-a) = -tgacos(-a) = cosa

Adio/Subtrao de arcos:

sen(a + b) = sen a . cos b + sen b . cos asen(a - b) = sen a . cos b - sen b . cos acos(a + b) = cos a . cos b - sen a . sen bcos(a - b) = cos a . cos b + sen a . sen b

tg(a + b) = tg a + tg b1 - tg a . tg b

tg(a - b) = tg a - tg b1 + tg a . tg b

Arco dobro:sen(2a) = 2 . sen a . cos acos(2a) = cosa - sena

Arco metade:

sen(x/2) = 1 - cos x2cos(x/2) = 1 + cos x2tg(x/2) = 1 - cos x1 + cos x

tg(2a) = 2tga1 - tga

PG (Progresses Geomtricas)

Termo geraln - 1a = a . qn 1

Soma dos termos

PG infinita (-1 < q < 1)

Mdia da PGSeja uma PG(...,a,b,c,...)

b = a . c

Escrevendo 3 termos consecutivos-1(...,xq ,x,xq)

S = na - a . q1 n

1 - q S = nna . (1 - q )1

1 - q

S = a1

1 - q

9

1513

11

Relaes TrigonomtricasFundamentais

sena cosa

tga cotga

seca cosseca

1

A partir desse hexgono, podemos retirar todas as relaes trigonomtricas fundamentais. Notemos as seguintes propriedades:1) Somamos o quadrado de dois vrtices dos tringulos azuis (tendo que a reta base do segmento de reta formado por esses dois vrtices deve ser paralela ao eixo tg-cotg) e igualamos ponta do tringulo.2) Seguindo as setas, igualamos o primeiro vrtice razo dos dois vrtices seguintes.

1010

Ciclo Trigonomtrico

cosseno

seno ta

ng

ente

2p (360)

0 (0)(180) p

3p/2 (270)

p/2 (90)

p/3 (60)

p/4 (45)

p/6 (30)

(120) 2p/3

(135) 3p/4

(150) 5p/6

(210) 7p/6

(225) 5p/4

(240) 4p/3

11p/6 (330)

7p/4 (315)

5p/3 (300)

3

3/3

1

-1

-3/3

-3

1-1 3/22/21/2-1/2-2/2-3/2

1/2

2/2

3/2

-1/2

-2/2

-3/2

-1

1

Progresses

PA (Progesses Aritmticas)Termo geral

a = a + (n - 1) . rn 1

Soma dos termos

Mdia da PATendo-se uma PA(...,a,b,c,..)

Reescrevendo 3 termos consecutivos

PA(...,x - r, x, x + r)

S = n(a + a ) . n1 n

2

a + c2b =

MatrizesMatriz m x n uma tabela de nmeros reais, dispostos em m linhas e n colunas.

Onde a indica a posio de cada elemento, sendo i = ijlinha e j = coluna.

Casos EspeciaisMatriz quadrada: m = nMatriz linha: m = 1Matriz coluna: n = 1Matriz nula: a = 0, i, j.ij

Adio de matrizesTendo as duas matrizes o mesmo nmero de linhas e colunas, soma-se cada elemento um a um.Propriedades

associativa: (A + B) + C = A + (B + C)comutativa: A + B = B + Aelemento neutro: A + O = 0 + A = A

"

M = [ [a11 a12 a13 a1n...a21 a22 a23 a2n............ .... . ... .. .... .am1 am2 am3 amn...

16 14

12 10

elemento oposto: A + (-A) = O.

Multiplicao de um numero real por uma matrizMultiplica-se todos os elementos da matriz pelo nmero real.

Multiplicao de duas matrizesDadas duas matrizes A e B, o produto AB s existe se o nmero de colunas de A for igual ao nmero de linhas de B, pois A do tipo m x n e B do tipo n x p.O produto AB uma matriz que tem o nmero de linhas de A e o nmero de colunas de B, pois C = AB do tipo m x p.Ainda pela definio, deve-se obter cada elemento c ikda matriz AB da seguinte forma:(I) Toma-se a linha i da matriz A.(II) Toma-se a coluna k da matriz B.(III) Coloca-se a linha i de A na vertical ao lado da coluna k de B.(IV) Calcula-se os n produtos dos elementos que ficaram lado a lado.(V) Somam-se esses n produtos, obtendo c.ik

Propriedadesassociativa: (AB).C = A . (BC)distributiva dir.: (A + B) . C = AC + ABdistributiva esq.: A.(B+C) = AB + AC

Transposta de uma matriz

DeterminantesDeterminante de matriz de ordem 2

Determinante de matriz de ordem 3

Repetimos as duas primeiras colunas ao lado do determinante e a seguir multiplicamos os elementos na direo das flechas. Os produtos dos elementos indicados pelas flechas azuis so somados e os dos elementos indicados pelas flechas vermelhas so subtrados. Est a regra de Sarrus, s vlida para determinantes de ordem 3.

Menor complementarSe a um elemento da matriz A de ordem n, ento o ijmenor complementar do elemento a o determinante ijque se obtm retirando-se a linha i e a coluna j da matriz A. Indicamos o menor complementar do elemento a por ijM .ij

Complemento algbrico ou cofatorIndica-se por A e dado por:ij

i+jA = (-1) . Mij ij

a bc d = ad - bc

a a a a a11 12 13 11 12

a a a a a21 22 23 21 22

a a a a a31 32 33 31 32

Determinantes do produto de matrizesSendo A e B matrizes quadradas de mesma ordem ento:

det(A.B) = detA . detB

Determinante de inversa de uma matriz:

Obs.: uma matriz A s inversvel se, e somente se, detA 0.

-1detA = 1detA

Anlise CombinatriaFatorialn! = n . (n - 1) . (n - 2) ... 3 . 2 . 1 n . (n - 1)!1! = 10! = 1

Princpio multiplicativoSe um evento A pode ocorrer de m maneiras distintas e a seguir, um evento B pode ocorrer de n maneiras distintas, ento o nmero de probabilidades de ocorrer A seguido de B m vezes n.

Arranjos simplesSo agrupamentos onde a ordem com que os elementos participam considerada e no existe repetio de elementos. dado pela frmula:

Permutaes simplesSo arranjos onde n = p.

Combinaes simplesSo agrupamentos onde no importa a ordem dos elementos.

A = n,pn!

(n - p)!

P = n!n

C = n,p (n - p)! p!n!

21 23

1917

Sendo A uma matriz do tipo m x n, a transposta de A, tque se indica por A, a matriz do tipo n x m que se

obtm trocando as linhas por colunas da matriz A. Isto t t, a 1 linha de A igual 1 coluna de A, a 2 linha de A

igual a 2 coluna de A e assim sucessivamente.

Propriedadest t (A ) = A

t t t(A + B) = A + Bt t(a . A) = a . A

t t t(AB) = B . A

Matriz Identidade

I = (a) onde a = 1 (se i = j) e a= 0 (se i j)n ij nxn ij ij

PropriedadeA . I = I . A = An n

Inverso de matrizesA matriz inversa da matriz quadrada A, se existir, ser

-1indicada por A e ser tal que:-1 -1A . A = A . A = In

Propriedades-1 -1(A ) = At -1 -1 t(A ) = (A )

-1 -1 -1(AB) = B . A

Teorema de LaplaceO determinante de uma matriz quadrada de ordem n(n>1), igual soma dos produtos dos elementos de uma fila (linha ou coluna) pelos seus respectivos cofatores.

Propriedades dos determinantest- detA = detA

- Trocando-se a posio de duas filas paralelas de uma matriz, seu determinante no se altera em mdulo, apenas trocando de sinal.- Se duas filas paralelas de uma matriz so iguais, ento seu determinante nulo.- Multiplicando-se (ou dividindo-se) uma fila qualquer de uma matriz por um nmero, seu determinante fica multiplicado (ou dividido) por esse nmero.- Sendo