evaluacion de int. multiples(4)

6
1 CAPITULO IV IIª Parte Integración Sobre Conjuntos más Generales. 2 Teor. Sea d y c y v x y u y x S ), ( ) ( / , 2 R donde u y v son funciones reales continuas definidas sobre el intervalo cerrado d c, . Si f es integrable sobre S y para cada d c y , existe y v y u dx y x f , , entonces: d c y v y u S dy dx y x f y x d f , , . 3 Ejemplo. Sea S la región del plano XY limitada por las curvas 3 : 2 2 1 y x C , 2 2 : y x C . Calcule S y x d x ) , ( Ejercicio. 1. Calcule la integral y x d e I S y , 2 ) 1 ( donde 1 0 , 1 y : y x, 2 y x S R 4 Nota. a) Sea d x c x h y x g y x S ), ( ) ( / , 2 R donde g y h son funciones reales continuas definidas sobre el intervalo cerrado b a, . Si f es integrable sobre S, y para cada b a x , existe x h x g dy y x f , , entonces: b a x h x g S dx dy y x f y x d y x f , , , .

Upload: daniel-perez-villalobos

Post on 11-Jan-2016

214 views

Category:

Documents


1 download

DESCRIPTION

int multiples

TRANSCRIPT

Page 1: Evaluacion de Int. Multiples(4)

1

CAPITULO IV

IIª Parte

Integración Sobre Conjuntos más Generales.

2

Teor.

Sea � �� �dycyvxyuyxS ������ ),()(/, 2R donde u y v son

funciones reales continuas definidas sobre el intervalocerrado dc, .Si f es integrable sobre S y para cada dcy ,� existe

� �� �

� �

�yv

yudxyxf , , entonces:

� � � �� �

� �

� �� � ��

���

d

c

yv

yuSdydxyxfyxdf ,, .

3

Ejemplo.

Sea S la región del plano XY limitada por las curvas 3: 22

1 �� yxC , 22 : yxC � . Calcule ��S yxdx ),(

Ejercicio.1. Calcule la integral

� �yxdeIS

y ,2)1(�� ���

donde� �� �10,1y:yx, 2 ������ yxS R

4

Nota.

a) Sea � �� �dxcxhyxgyxS ������ ),()(/, 2R donde g y h

son funciones reales continuas definidas sobre el intervalocerrado ba, .Si f es integrable sobre S, y para cada bax ,� existe

� �� �

� �

�xh

xgdyyxf , , entonces:

� � � � � �� �

� �

� �� � ��

���

b

a

xh

xgSdxdyyxfyxdyxf ,,, .

Page 2: Evaluacion de Int. Multiples(4)

5

b) Si� �� �dycyvxyuyxS ������ ),()(/, 2

R

� �� �dxcxhyxgyxS ������ ),()(/, 2R

donde u y v, g y h son funciones reales continuas definidas sobre el intervalo cerrado dc, , ba, respectivamente . Si f es continua sobre S, entonces

� � � � � �� �

� �

� �� � ��

���

d

c

yv

yuSdydxyxfyxdyxf ,,, = � �

� �

� �

� � � ��

��b

a

xh

xgdxdyyxf ,

6

Ejercicios

1. Evaluar � ��S yxdxy , donde S es la región limitada por las

curvas xy � e 26 xy �� .

2. Calcule � ��2

0

24

0

xdxdyxy integrando primero con respecto a x,

y después con respecto a y.

3. Calcule � �1

0

1 2

x

y dxdye .

7

Nota.El teorema anterior tiene su análogo para 2�n .Así, para 3�n :

Teor.Sea R una región cerrada y acotada de 2

R y sea � � � �� �RyxyxvzyxuzyxS ����� ,),,(),(/,, 3

R

donde u y v son funciones reales continuas definidas sobre laregión R.Si f es integrable sobre S y si para cada � � Ryx �, existe la integral � �

� �

� �

�yxv

yxudzzyxf

,

,,, , entonces:

� � � � � �� �

� �� �� �� �

��

���

R

yxv

yxuSyxddzzyxfzyxdzyxf ,,,,,,,

,

,.

8

Nota.

Si � �� �bxaxhyxgyxR ������ ),()(/, 2R , donde g y h son

funciones continuas sobre [a, b], y si f es continua sobre Sentonces

� � � � � �� �

� �

� �

� �

� � �� �b

a

xh

xg

yxv

yxuSdxdydzzyxfzyxdzyxf

,

,,,,,,,

Page 3: Evaluacion de Int. Multiples(4)

9

Ejemplo.

Calcular� ��S zyxdxyz ,,

donde S es la región en 3R , con 0�y , limitada

superiormente por el cono 222 zyx �� , inferiormente por el plano 0�z , lateralmente por el cilindro 122 �� yx , y el plano

0�y .

10

Def. (Transformación Regular)

Sea DST �: con S, D nR� . Diremos que T es una

transformación regular de coordenadas si: 1. T es uno a uno 2. � �DCT 1�3. � �uTJ , es invertible en cada Su�

Nota. Si � �STST �: , es una transformación regular de nR en n

R

1. Entonces T admite inversa � � SSTT �� :1

2. Si S es abierto entonces T(S) es abierto. 3. Si � �STD � , entonces � �� � � �DFrSFrT �

11

Ejemplos

1. Si DST �: , con S, D 2R� , es lineal, S cerrado y acotado

en 2R y � �uTJ , es invertible para cada u entonces T es

regular

2. Sea DST �: , con [2,0[[,0] ����S y D 2R� , tal que

� � � � � ���� sin,cos,, rryxr �� , entonces T es una transformación regular de coordenadas. Se denomina Transformación a Coordenadas Polares

12

CAMBIO DE VARIABLES EN LAS INTEGRALES MULTIPLES.

Teorema. (Cambio de variables).Sea nS R� conjunto acotado tal que su frontera, S� , es de contenido cero y sea nAT R�: una aplicación de clase C1

sobre un abierto de nR que contiene a S, tal que la

restricción de T al interior �

S sea regular de �

S en su imagen, entonces el conjunto T(S) es integrable, y si R�)(: STf es una función continua sobre T(S), entonces Tf � es integrable sobre S

� � �� �S

TsT

duuJuTfdxxf )())(()( ,

con � �� �xTJxJT ,det)( �

Page 4: Evaluacion de Int. Multiples(4)

13

Aplicaciones.I) Paso a Coordenadas Polares.

Consideremos la transformación a coordenadas polares� � )sen,cos(,),(,: ��� rryxrDST ���

donde� � � � � ������� 21,/,{ grgrS �����

tal que ��� 20 ��� , 21, gg continuas sobre ],[ �� . T verifica

rrJT �),( �

Si � � R�STf : es integrable, entonces � ��� sin,cos rrfes integrable sobre S, y se verifica

� � � �

� �

� ��� ��

����

2

1

)sen,cos(),(),(g

gSTrdrdrrfyxdyxf

14

Ejemplos.1) Si D es el disco unitario de centro 0, se tiene:

� ��� � �

���

��

��

1

0

2

0 222 11),( dr

rrd

yxyxd

D

� �

)12(21

21

0 2���

���

�� � ��

rrdr .

2) Si D es el disco de centro 0 y de radio R,

2),()(

4

0

2

0

322 RdrdryxdyxIR

DR

��

�� ��

����� � ��� .

3) Calcular � �yxdyxD

,4 22�� ��

donde � � }2/,{ 22 yyxyxD ���

15

II) Paso a Coordenadas Cilíndricas.

La Transformación 33: RR ��ST , definida por),sen,cos(),,( zrrzrT ��� �

con S es un compacto contenido en ],[],[],[ 21 dcba �� ���donde 0�a , ��� 20 12 ��� , R�dc,

se denomina “Trasformación a Coordenadas Cilíndricas”.

Se verifica rzrJT �),,( �

16

Teor.Sea S es un sólido que puede describirse

� � � � � � � � � �},,,,/,,{ 2121 �������� rkzrkgrgzrS �������

en donde 21, gg son continuas sobre ],[ �� y 21, kk continuas

en las variables � ��,r .Si f es una función continua sobre el conjunto � �ST ,entonces

� �� �

� �

� �

� �

� � ���� � ��

�� �

��

���

���� ddrdzrzrrfzyxdzyxf

g

g

rk

rkST

2

1

2

1

,

,),sen,cos(),,(),,( .

Page 5: Evaluacion de Int. Multiples(4)

17

Ejercicios

1. Escribir la ecuación de paraboloide 22 yxz �� , del cono 222 2yxz �� y del hemisferio 221 yxz ��� en coordenadas cilíndricas.

2. Calcular � ��S zyxzd ,, , donde S es la región del espacio limitada por las superficies 22 yxz �� y 224 yxz ��� .

3. Evaluar la integral iterada

� � ��

��

��

2

0

4

4

82

2

22

22

y

y

yx

yxdydxdz

18

III) Paso a Coordenadas Esféricas.

La Transformación 33: RR ��ST , definida por)cos,sins,sincos(),,( !"!�"!�"!�" inT �

con S es un compacto contenido en ],[],[],[ 2121 !!�� ��ba

donde 0�a , ��� 20 12 ��� , �!! ��� 120

se denomina “Trasformación a Coordenadas Esféricas”.

Se verifica !"� sin),,( 2�zrJT

19

Teor.

Sea S es un sólido que puede describirse

� � � � � � � � � �},,,,/,,{ 2121 !�"!��!����!�" kkggS �������

en donde 21, gg son continuas sobre ],[ �� y 21, kk continuas

en las variables � �!�, .Si f es una función continua sobre el conjunto � �ST ,entonces

� �

� �� �

� �

� �

� �

� � ���� � ��

�� �

��

���

!�

!��!"!"!�" dddTfzyxdzyxf

g

g

k

kST

2

1

2

1

,

,

2 sin),,(),,(),,( .

20

Ejercicios

I) Escribir la ecuación de paraboloide 22 yxz �� , del cono 222 yxz �� y del hemisferio 221 yxz ��� en coordenadas

esféricas.

II) Calcular el volumen del sólido S situado al interior de la esfera zzyx 2222 ��� e interior al manto cónico

0,222 ��� zyxz

III) Calcular el volumen del sólido S limitado superiormente por la esfera 4222 ��� zyx , inferiormente por el manto cónico 22 yxz �� , lateralmente por xy � y 0�x ; 0�y

Page 6: Evaluacion de Int. Multiples(4)

21

Transformación lineal de coordenadas

Ejercicio. Calcular � � � �� �D

yxdyx ,4 en donde D es el paralelogramo limitado por las rectas 1�� yx ,

2�� yx , 12 �� yx , 32 �� yxSol. Sea 22: RR �# definida por

� � � � � �yxyxyxvu 2,,, ���� ##

Es claro que # es lineal y verifica � � 32111

, ���

�yxJ#

Luego, # es una transformación regular. Sea � �D#�$ , y sea T la transformación inversa D�$� :1#(regular) . Se verifica :

� �� � 3

1,

1, ��yxJ

vuJT#

, 3,1]2,1[ ��$

22

Así,� � � � � �� � � � � �vudvuJvuTfyxdyxf T

D,,,,, �� $

= � � � �� � dudvvuyvux� � �2

1

3

0 31,4,

3

32

vuy

vux

��

��

� � dudvvu� � ��2

1

3

0 312

=23

23

Ejercicio. Calcular � �yxd

yxe

D

yx

,� �

, donde D es el rectángulo limitado

por las rectas xy � , 5�� xy , xy �� 2 , xy �� 4

________

24