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CAPITULO IV
IIª Parte
Integración Sobre Conjuntos más Generales.
2
Teor.
Sea � �� �dycyvxyuyxS ������ ),()(/, 2R donde u y v son
funciones reales continuas definidas sobre el intervalocerrado dc, .Si f es integrable sobre S y para cada dcy ,� existe
� �� �
� �
�yv
yudxyxf , , entonces:
� � � �� �
� �
� �� � ��
���
d
c
yv
yuSdydxyxfyxdf ,, .
3
Ejemplo.
Sea S la región del plano XY limitada por las curvas 3: 22
1 �� yxC , 22 : yxC � . Calcule ��S yxdx ),(
Ejercicio.1. Calcule la integral
� �yxdeIS
y ,2)1(�� ���
donde� �� �10,1y:yx, 2 ������ yxS R
4
Nota.
a) Sea � �� �dxcxhyxgyxS ������ ),()(/, 2R donde g y h
son funciones reales continuas definidas sobre el intervalocerrado ba, .Si f es integrable sobre S, y para cada bax ,� existe
� �� �
� �
�xh
xgdyyxf , , entonces:
� � � � � �� �
� �
� �� � ��
���
b
a
xh
xgSdxdyyxfyxdyxf ,,, .
5
b) Si� �� �dycyvxyuyxS ������ ),()(/, 2
R
� �� �dxcxhyxgyxS ������ ),()(/, 2R
donde u y v, g y h son funciones reales continuas definidas sobre el intervalo cerrado dc, , ba, respectivamente . Si f es continua sobre S, entonces
� � � � � �� �
� �
� �� � ��
���
d
c
yv
yuSdydxyxfyxdyxf ,,, = � �
� �
� �
� � � ��
��b
a
xh
xgdxdyyxf ,
6
Ejercicios
1. Evaluar � ��S yxdxy , donde S es la región limitada por las
curvas xy � e 26 xy �� .
2. Calcule � ��2
0
24
0
xdxdyxy integrando primero con respecto a x,
y después con respecto a y.
3. Calcule � �1
0
1 2
x
y dxdye .
7
Nota.El teorema anterior tiene su análogo para 2�n .Así, para 3�n :
Teor.Sea R una región cerrada y acotada de 2
R y sea � � � �� �RyxyxvzyxuzyxS ����� ,),,(),(/,, 3
R
donde u y v son funciones reales continuas definidas sobre laregión R.Si f es integrable sobre S y si para cada � � Ryx �, existe la integral � �
� �
� �
�yxv
yxudzzyxf
,
,,, , entonces:
� � � � � �� �
� �� �� �� �
��
���
R
yxv
yxuSyxddzzyxfzyxdzyxf ,,,,,,,
,
,.
8
Nota.
Si � �� �bxaxhyxgyxR ������ ),()(/, 2R , donde g y h son
funciones continuas sobre [a, b], y si f es continua sobre Sentonces
� � � � � �� �
� �
� �
� �
� � �� �b
a
xh
xg
yxv
yxuSdxdydzzyxfzyxdzyxf
,
,,,,,,,
9
Ejemplo.
Calcular� ��S zyxdxyz ,,
donde S es la región en 3R , con 0�y , limitada
superiormente por el cono 222 zyx �� , inferiormente por el plano 0�z , lateralmente por el cilindro 122 �� yx , y el plano
0�y .
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Def. (Transformación Regular)
Sea DST �: con S, D nR� . Diremos que T es una
transformación regular de coordenadas si: 1. T es uno a uno 2. � �DCT 1�3. � �uTJ , es invertible en cada Su�
Nota. Si � �STST �: , es una transformación regular de nR en n
R
1. Entonces T admite inversa � � SSTT �� :1
2. Si S es abierto entonces T(S) es abierto. 3. Si � �STD � , entonces � �� � � �DFrSFrT �
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Ejemplos
1. Si DST �: , con S, D 2R� , es lineal, S cerrado y acotado
en 2R y � �uTJ , es invertible para cada u entonces T es
regular
2. Sea DST �: , con [2,0[[,0] ����S y D 2R� , tal que
� � � � � ���� sin,cos,, rryxr �� , entonces T es una transformación regular de coordenadas. Se denomina Transformación a Coordenadas Polares
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CAMBIO DE VARIABLES EN LAS INTEGRALES MULTIPLES.
Teorema. (Cambio de variables).Sea nS R� conjunto acotado tal que su frontera, S� , es de contenido cero y sea nAT R�: una aplicación de clase C1
sobre un abierto de nR que contiene a S, tal que la
restricción de T al interior �
S sea regular de �
S en su imagen, entonces el conjunto T(S) es integrable, y si R�)(: STf es una función continua sobre T(S), entonces Tf � es integrable sobre S
� � �� �S
TsT
duuJuTfdxxf )())(()( ,
con � �� �xTJxJT ,det)( �
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Aplicaciones.I) Paso a Coordenadas Polares.
Consideremos la transformación a coordenadas polares� � )sen,cos(,),(,: ��� rryxrDST ���
donde� � � � � ������� 21,/,{ grgrS �����
tal que ��� 20 ��� , 21, gg continuas sobre ],[ �� . T verifica
rrJT �),( �
Si � � R�STf : es integrable, entonces � ��� sin,cos rrfes integrable sobre S, y se verifica
� � � �
� �
� ��� ��
�
�
����
2
1
)sen,cos(),(),(g
gSTrdrdrrfyxdyxf
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Ejemplos.1) Si D es el disco unitario de centro 0, se tiene:
� ��� � �
���
��
��
1
0
2
0 222 11),( dr
rrd
yxyxd
D
� �
)12(21
21
0 2���
�
���
�� � ��
rrdr .
2) Si D es el disco de centro 0 y de radio R,
2),()(
4
0
2
0
322 RdrdryxdyxIR
DR
��
�
�� ��
����� � ��� .
3) Calcular � �yxdyxD
,4 22�� ��
donde � � }2/,{ 22 yyxyxD ���
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II) Paso a Coordenadas Cilíndricas.
La Transformación 33: RR ��ST , definida por),sen,cos(),,( zrrzrT ��� �
con S es un compacto contenido en ],[],[],[ 21 dcba �� ���donde 0�a , ��� 20 12 ��� , R�dc,
se denomina “Trasformación a Coordenadas Cilíndricas”.
Se verifica rzrJT �),,( �
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Teor.Sea S es un sólido que puede describirse
� � � � � � � � � �},,,,/,,{ 2121 �������� rkzrkgrgzrS �������
en donde 21, gg son continuas sobre ],[ �� y 21, kk continuas
en las variables � ��,r .Si f es una función continua sobre el conjunto � �ST ,entonces
� �� �
� �
� �
� �
� � ���� � ��
�� �
��
���
�
�
�
�
�
���� ddrdzrzrrfzyxdzyxf
g
g
rk
rkST
2
1
2
1
,
,),sen,cos(),,(),,( .
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Ejercicios
1. Escribir la ecuación de paraboloide 22 yxz �� , del cono 222 2yxz �� y del hemisferio 221 yxz ��� en coordenadas cilíndricas.
2. Calcular � ��S zyxzd ,, , donde S es la región del espacio limitada por las superficies 22 yxz �� y 224 yxz ��� .
3. Evaluar la integral iterada
� � ��
��
��
�
2
0
4
4
82
2
22
22
y
y
yx
yxdydxdz
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III) Paso a Coordenadas Esféricas.
La Transformación 33: RR ��ST , definida por)cos,sins,sincos(),,( !"!�"!�"!�" inT �
con S es un compacto contenido en ],[],[],[ 2121 !!�� ��ba
donde 0�a , ��� 20 12 ��� , �!! ��� 120
se denomina “Trasformación a Coordenadas Esféricas”.
Se verifica !"� sin),,( 2�zrJT
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Teor.
Sea S es un sólido que puede describirse
� � � � � � � � � �},,,,/,,{ 2121 !�"!��!����!�" kkggS �������
en donde 21, gg son continuas sobre ],[ �� y 21, kk continuas
en las variables � �!�, .Si f es una función continua sobre el conjunto � �ST ,entonces
� �
� �� �
� �
� �
� �
� � ���� � ��
�� �
��
���
�
�
�
�
!�
!��!"!"!�" dddTfzyxdzyxf
g
g
k
kST
2
1
2
1
,
,
2 sin),,(),,(),,( .
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Ejercicios
I) Escribir la ecuación de paraboloide 22 yxz �� , del cono 222 yxz �� y del hemisferio 221 yxz ��� en coordenadas
esféricas.
II) Calcular el volumen del sólido S situado al interior de la esfera zzyx 2222 ��� e interior al manto cónico
0,222 ��� zyxz
III) Calcular el volumen del sólido S limitado superiormente por la esfera 4222 ��� zyx , inferiormente por el manto cónico 22 yxz �� , lateralmente por xy � y 0�x ; 0�y
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Transformación lineal de coordenadas
Ejercicio. Calcular � � � �� �D
yxdyx ,4 en donde D es el paralelogramo limitado por las rectas 1�� yx ,
2�� yx , 12 �� yx , 32 �� yxSol. Sea 22: RR �# definida por
� � � � � �yxyxyxvu 2,,, ���� ##
Es claro que # es lineal y verifica � � 32111
, ���
�yxJ#
Luego, # es una transformación regular. Sea � �D#�$ , y sea T la transformación inversa D�$� :1#(regular) . Se verifica :
� �� � 3
1,
1, ��yxJ
vuJT#
, 3,1]2,1[ ��$
22
Así,� � � � � �� � � � � �vudvuJvuTfyxdyxf T
D,,,,, �� $
�
= � � � �� � dudvvuyvux� � �2
1
3
0 31,4,
3
32
vuy
vux
��
��
� � dudvvu� � ��2
1
3
0 312
=23
23
Ejercicio. Calcular � �yxd
yxe
D
yx
,� �
�
, donde D es el rectángulo limitado
por las rectas xy � , 5�� xy , xy �� 2 , xy �� 4
________
24