Objetivos Recordar lo que son ecuaciones diferenciales ordinarias. Ver las diferencias entre el Mtodo de Euler y Euler mejorado. Aprender como emplear Matlab para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias, en particular con estos mtodos.

Ecuaciones diferenciales ordinarias Las palabras ecuacin diferencial indican que se ha de resolver algn tipo de ecuacin que contiene derivadas.Si una ecuacin contiene solo derivadas ordinarias de una o ms variables dependientes con respecto a una sola variable independiente, entonces se dice que es un EDO (ecuacin diferencial ordinaria).Solucin de una ecuacin diferencial ordinaria La solucin general de una ecuacin diferencial ordinaria es una funcin y = f(x,c1, c2,), la cual puede depender de una o varias constantes tal que cualquier solucin de la ecuacin diferencial se puede obtener dando valores especficos a una o ms de las constantes. Cuando se da valores especficos a las constantes, surge una solucin particular, esta puede depender de las condiciones iniciales que tenga el problema. Geomtricamente, la solucin general de una ecuacin diferencial de primer orden representa una familia de curvas, denominadas curvas solucin, una para cada valor concreto asignado a la constante arbitraria.Ejemplo de una EDO

Mtodo de Euler

Este mtodo es conocido como una de las tcnicas ms simples para la aproximacin de ecuaciones diferenciales. Consiste en considerar la aproximaciny (x+h) y (x) +h (x) = y (x) +hf (x, y)En donde el miembro derecho se obtiene a partir de la ecuacin diferencial dada) y el siguiente proceso de iteracin.Procedimiento El primer paso consiste en dividir los intervalos que van de a ennsubintervalos de anchoh:

En lo que se obtiene un conjunto discreto de n+1 puntos, que se encuentran dentrodel intervalo de inters. Los puntos se obtienen de la siguiente forma:

Dnde:

Ya con estos datos podemos proceder a calcular:

Ventajas Es un mtodo sencillo de implementar. A medida que se divide el tamao de h, los errores tambin disminuyen.Desventajas Este mtodo puede llegar a tener errores muy grandes. Este mtodo solo puede resolver edos de este tipo

Ejemplo:Mtodo de Euler mejoradoEste mtodo se basa en la misma idea del mtodo anterior, pero este se llama Euler mejorado porque hace un refinamiento en las aproximaciones, obteniendo resultados con una mayor precisin, el mtodo se basa en un promedio entre ciertas pendientes.

Procedimiento Al igual que el mtodo anterior primero definimos los subintervalos:

Obtenemos los puntos :

Dnde: Siguiendo con el mtodo y a diferencia del anterior, primero calculamos el valor auxiliar: (1)

y luego se calcula el nuevo valor (2)El mtodo de Euler mejorado es un mtodo predictor-corrector, ya que en cada paso primero se predice un valor mediante frmula (1) y luego se corrige mediante frmula (2).Ventaja A comparacin del mtodo anterior este tiene ms exactitud en sus respuestas.Desventaja No se puede resolver ecuaciones diferenciales muy complejas. Este mtodo solo puede resolver edos de este tipo

Para ambos mtodo se necesita como valores iniciales: hErrorPara hallar el error relativo de estas aproximaciones es necesario conocer la solucin de la ecuacin diferencial con la que se est trabajando:

Conclusiones En conclusin podemos decir que el mtodo de Euler es un procedimiento sencillo, que las frmulas empleadas por este mtodo son fciles de desarrollar y que su desventaja sera el de hacer muchas iteraciones dando como resultado el tener que realizar ms operaciones si queremos llegar a una mejor exactitud en las respuesta y por esta razn se vio que en el mtodo de Euler mejorado se resuelve este inconveniente, ya que con las frmulas que emplea este mtodo se obtienen resultados con una mejor exactitud que con el mtodo anterior y sin tener que aumentar el nmero de iteraciones.Referencias bibliogrficas http://www.um.es/docencia/plucas/manuales/mat/mat4.pdfhttp://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_EulerZill, D. (1986) Ecuaciones diferenciales con aplicaciones. Mxico.http://personal.us.es/niejimjim/tema01.pdf