leonhard euler leben und werk - tu-dresden.de · leonhard euler lisez euler, lisez euler, c'est...

Leonhard Euler

Leben und Werk

Dr. rer. nat. Frank Morherr Technische Universität

Dresden

Messer Seminar 2018/19

Leonhard Euler

-- Pierre-Simon Laplace

Lies Euler, lies Euler, er ist unser aller Meister.

Bilder von Euler

http://images.google.com/imgres?imgurl=http://www.amt.canberra.edu.au/euler.jpg&imgrefurl=http://www.amt.canberra.edu.au/euler.html&h=259&w=225&sz=26&hl=en&start=9&um=1&tbnid=dzF6RJnLseImXM:&tbnh=112&tbnw=97&prev=/images?q=Euler&svnum=10&um=1&hl=en&sa=Nhttp://images.google.com/imgres?imgurl=http://www.usna.edu/Users/math/meh/euler.gif&imgrefurl=http://www.usna.edu/Users/math/meh/euler.html&h=337&w=260&sz=99&hl=en&start=1&um=1&tbnid=haA86Fbqj3Vj1M:&tbnh=119&tbnw=92&prev=/images?q=Euler&svnum=10&um=1&hl=en&sa=Nhttp://images.google.com/imgres?imgurl=http://th.physik.uni-frankfurt.de/~jr/gif/phys/euler.jpg&imgrefurl=http://th.physik.uni-frankfurt.de/~jr/physlist.html&h=600&w=549&sz=99&hl=en&start=15&um=1&tbnid=5hU1y81TnKWBKM:&tbnh=135&tbnw=124&prev=/images?q=Euler&svnum=10&um=1&hl=en&sa=N

Leonhard Eulers Lebenslauf

Geboren: 15. April, 1707, Basel, Schweiz

Gestorben: 1783, St. Petersburg, Russland

Vater: Paul Euler (1670 1745), Calvinistischer

Pastor

Mutter: Margaretha Brucker (1677 1761),

Tochter eines Pastors

Euler war zweimal verheiratet:

1. Frau: Katharina Gsell

2. Frau: Ihre Halbschwester Salomea Abigail

Dreizehn Kinder (drei haben ihn überlebt)

Er besucht das Gymnasium am Münsterplatz, nahm gleichzeitig Privatunterricht

beim Theologen Johannes Burckhardt (16911743), der von der Mathematik

begeistert war.

Ab 1720 (mit 14) Studium an der Universität Basel, er hört hier Vorlesungen von

Johann I Bernoulli.

1723 erlangt er durch einen Vergleich der newtonschen und cartesianischen

Philosophie in lateinischer Sprache die Magisterwürde.

Den Plan, auch Theologie zu studieren, gab er 1725 auf.

Am 17. Mai 1727 beruft ihn Daniel Bernoulli an die Petersburger Akademie der

Wissenschaften.

Er erbt die Professur des 1726 verstorbenen Nikolaus II Bernoulli. Hier trifft er

auf Christian Goldbach, mit dem er jahrzehntelang in Briefwechsel stand.

1730 erhält Euler die Professur für Physik und tritt schließlich 1733 die

Nachfolge von Daniel Bernoulli als Professor für Mathematik an. Er bekommt

in den folgenden Jahren immer stärkere Probleme mit seinem Augenlicht und ist

ab 1740 rechtsseitig blind.

1741 wird er von Friedrich II. an die Königlich-Preußische Akademie der

Wissenschaften berufen. Euler korrespondiert weiterhin mit Christian Goldbach

vergleicht dessen Theorien mit seinen eigenen.

https://de.wikipedia.org/wiki/Augenlicht

Nach 25 Jahren in Berlin kehrt er 1766 zurück nach Sankt Petersburg, wo

Katharina die Große seit 1762 als Kaiserin von Russland residiert.

An der Akademie der Wissenschaften wird Euler ein ehrenvoller Empfang

bereitet. Er arbeitete wie in der ersten Sankt Petersburger Periode in der

Kunstkammer und lebte in einem von Katharina der Großen geschenkten Palais

mit seinem Sohn Johann Albrecht direkt an der Newa.

1771 erblindet er vollständig. Trotzdem entsteht fast die Hälfte seines

Lebenswerks in der zweiten Petersburger Zeit. Hilfe erhält er dabei von seinen

Söhnen Johann Albrecht, Karl und Christoph sowie von seinem Sekretär

Nikolaus Fuß, der nach seinem Tod als erster eine Würdigung verfasst.

Trotz seiner wissenschaftlichen Produktivität wird er nie Präsident der

Universität.

1783 stirbt Euler an einer Hirnblutung und wird neben seiner Frau auf dem

lutherischen Smolensker Friedhof auf der Wassiljewski-Insel in Sankt Petersburg

begraben.

An seine Tätigkeit und sein damaliges

Wohnhaus in Berlin erinnert eine

Gedenktafel an der Behrenstraße 21/22,

dem heutigen Haus der Bayerischen

Vertretung in Berlin.

Zum Verständnis des Menschen Euler gehört auch seine religiöse Überzeugung im

Sinne des reformierten Glaubens, der für sein Verständnis der Wissenschaft wichtig

war.

Da sich Euler und Friedrich II. sich im Streit trennten, befinden sich heute neben

den Originaldokumenten aus der ersten und zweiten Petersburger Periode auch die

Dokumente aus der Berliner Zeit im Archiv in Sankt Petersburg.

In der Sowjetzeit wurden seine

sterblichen Überreste auf den

Lazarus-Friedhof des

Alexander-Newski-Klosters

umgebettet.

Euler war extrem produktiv: Insgesamt

gibt es 866 Publikationen von ihm.

Eulers Bedeutung für die Mathematik Euler kann als einer der Begründer der Analysis angesehen werden. Ein großer Teil

der heutigen mathematischen Symbolik geht auf ihn zurück (zum Beispiel e, , i,

Summenzeichen , f(x) als Bezeichnung eines Funktionsterms).

1736 findet er den Grenzwert für die unendliche Summe der reziproken

Quadratzahlen (siehe weiter unten). In einer Verallgemeinerung dieses sogenannten

Basler Problems findet er eine geschlossene Darstellung für die «geraden» (mit

geradem Index) Bernoulli-Zahlen.

1744 gibt er ein Lehrbuch der Variationsrechnung heraus.

1748 publiziert er das Grundlagenwerk Introductio in analysin infinitorum, in dem

In den Werken Institutiones calculi differentialis (1755) und Institutiones calculi

integralis (1768 1770) beschäftigte er sich außer mit der Differential- und

Integralrechnung unter anderem mit Differenzengleichungen und elliptischen

Integralen sowie mit der Theorie der Gamma- und Betafunktion.

Andere Arbeiten setzen sich mit Zahlentheorie, Algebra (Vollständige Anleitung zur

Algebra, 1770) und mit der Anwendung mathematischer Methoden in den

Sozial- und Wirtschaftswissenschaften auseinander (Rentenrechnung, Lotterien,

Lebenserwartung). Nach Euler sind verschiedene Zahlen und Zahlenfolgen benannt.

1736 Arbeit Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis beschäftigt sich mit

dem Königsberger Brückenproblem, erste Arbeit auf dem Gebiet der Graphentheorie.

Eulers Bedeutung für die Physik In der Mechanik arbeitet Leonhard Euler auf den Gebieten der Hydrodynamik

(Eulersche Gleichungen der Strömungsmechanik, Turbinengleichung) und der

Kreiseltheorie (Eulersche Kreiselgleichungen).

Die erste analytische Beschreibung der Knickung eines mit einer Druckkraft

belasteten Stabes geht auf Euler zurück; er begründet damit die Stabilitätstheorie.

In Schriften wie Mechanica, sive motus scientia analytica exposita (1736) und

Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum (1765) wendet Euler die

Mathematik auf Fragen der Physik an.

Am 3. September 1750 liest er vor der Berliner Akademie der Wissenschaften ein

Mémoire

und neue Entdeckung vorstellt.

In der Optik veröffentlicht er Werke zur Wellentheorie des Lichts und zur Berechnung

von optischen Linsen zur Vermeidung von Farbfehlern.

1745 übersetzt Euler das Werk New principles of gunnery des Engländers Benjamin

Robins ins Deutsche. Es erscheint im selben Jahr in Berlin unter dem Titel Neue

Grundsätze der Artillerie enthaltend die Bestimmung der Gewalt des Pulvers nebst

einer Untersuchung über den Unterschied des Wiederstands der Luft in schnellen und

langsamen Bewegungen.

Seit Galilei hatten die Artilleristen die Flugbahnen der Geschosse als Parabeln

angesehen, wobei sie den Luftwiderstand für vernachlässigbar hielten.

Robins hat als einer der ersten Experimente zur Ballistik ausgeführt und gezeigt,

dass die Flugbahn durch den Luftwiderstand wesentlich beeinflusst wird.

Es wird in Frankreich (in französischer Übersetzung) als offizielles Lehrbuch in

den Militärschulen eingeführt.

Napoleon Bonaparte musste es als Leutnant studieren.

Weniger bekannt sind seine Arbeiten zum Stabilitätskriterium von Schiffen, in

denen er das bereits erworbene, aber wieder verlorengegangene Wissen von

Archimedes erneuert.

Eulers Bedeutung für die Physik

Über den Seiten eines gegebenen Dreiecks ABC werden drei gleichseitige

Dreiecke gezeichnet und in diesen jeweils die Geometrischen

Schwerpunkte (Flächenschwerpunkte) eingetragen. Das Napoleon-

Dreieck entsteht durch Verbinden dieser Schwerpunkte. Werden die

gleichseitigen Dreiecke nach außen gerichtet angelegt, so ergibt die

Schwerpunktsverbindung das Äußere Napoleon-Dreieck, bei Anlage der

gleichseitigen Dreiecke nach innen hin erhält man das Innere Napoleon-

Dreieck. Das Napoleon-Dreieck ist unabhängig von der Form des

ursprünglichen Dreiecks stets gleichseitig.

Satz von Napoleon

Mathematische Vorgänger

Isaac Newton

Pierre de Fermat

René Descartes

Blaise Pascal

Gottfried Wilhelm Leibniz

Mathematische Nachfolger

Pierre-Simon Laplace

Johann Carl Friedrich Gauss

Augustin Louis Cauchy

Bernhard Riemann

Mathematische Zeitgenossen

Bernoullis: Johann, Jakob,

Daniel

Alexis Clairaut

Jean le Rond

Joseph-Louis Lagrange

Christian Goldbach

Nicht-mathematische Zeitgenossen

Voltaire

Candide oder der Optimismus Buch von Voltaire

Akademie der Wissenschaften, Berlin

Benjamin Franklin

George Washington

Vielzahl mathematischer Arbeiten

856 Publikationen - 550 vor seinem Tod

1904 Arbeiten werden katalogisiert durch Gustav

Eneström (schwedischer Mathematiker)

Tausende Briefe an Freunde und Kollegen

12 große Bücher

Precalculus, Algebra, Analysis, Populäre

Wissenschaftsbücher

Beiträge zur Mathematik

Analysis

Zahlentheorie Eigenschaften der natürlichen

Zahlen, Primzahlen.

Logarithmus

Unendliche Reihen - unendliche Summen von

Zahlen

Analytische Zahlentheorie Benutzung von

unendlichen Reihen, Grenzwerten, Analysis,

Funktionentheorie, um die Eigenschaften

natürlicher Zahlen und hier speziell Primzahlen zu

untersuchen

Beiträge zur Mathematik

Komplexe Zahlen

Algebra Nullstellen (Wurzeln) von

Polynomen, Faktorisierung von Polynomen

Geometrie - Eigenschaften von Kreisen,

Dreiecken (Euler Gerade), in Dreiecken

einbeschriebene Kreise.

Kombinatorik - Abzählmethoden

Graphentheorie (Königsberger

Brückenproblem, Eulersche Polyederformel

Über 50 mathematische Objekte sind nach

Euler benannt

Andere Beiträge und Highlights Mechanik

Bewegungen in der Himmelsmechanik

Bewegungen von starren Körpern

Antrieb von Schiffen

Optik

Strömungsmechanik

Theorie von Maschinen

Euler-

Winkel

Gyroskop: Euler Kreisel

Eulersche Polyeder-Formel (Euler

Charakteristik )

Angewandt auf ebene Polygone

Anzahl Ecken-Anzahl Kanten = 0

E K = 0

Ohne Fläche:

Mit Fläche:

E K + F= 2

Anzahl Ecken - Anzahl Kanten + Anzahl Flächen = 2

Eulersche Polyeder Formel

(Euler- Charakteristik)

Fünf Platonische Körper Tetraeder

Hexaeder (Würfel)

Oktaeder

Dodekaeder

Ikosaeder

#Ecken - #Kanten + #Flächen = 2

Mit der Eulerschen Polyederformel kann man beweisen, dass es nur die obigen fünf platonischen Körper geben kann.

E K + F= 2

http://en.wikipedia.org/wiki/Image:Tetrahedron.jpghttp://en.wikipedia.org/wiki/Image:Hexahedron.jpghttp://en.wikipedia.org/wiki/Image:Octahedron.svghttp://en.wikipedia.org/wiki/Image:Dodecahedron.jpghttp://en.wikipedia.org/wiki/Image:Icosahedron.jpg

Eulersche Polyeder Formel

(Euler Charakteristik)

Was ist die Euler-Charakteristik eines

eines dreiseitigen Prismas ?

einer quadratischen Pyramide?

http://images.google.com/imgres?imgurl=http://cse.ssl.berkeley.edu/rainbows/img/lightproject/prism.gif&imgrefurl=http://cse.ssl.berkeley.edu/rainbows/layouts/U2/U2.2.html&h=143&w=197&sz=4&hl=en&start=9&um=1&tbnid=xmXEKAr2__n0QM:&tbnh=75&tbnw=104&prev=/images?q=triangular+prism&svnum=10&um=1&hl=en&sa=Nhttp://images.google.com/imgres?imgurl=http://www.korthalsaltes.com/foto/Cheops_pyramid_Egypt_3.jpg&imgrefurl=http://www.korthalsaltes.com/pyramid.htm&h=1011&w=1011&sz=293&hl=en&start=2&um=1&tbnid=Eo6CTqFFwH3y-M:&tbnh=150&tbnw=150&prev=/images?q=pyramid&svnum=10&um=1&hl=en

Eulersche Polyederformel und

Eulercharakteristik

Gegeben Polyeder (Vielflach)

e : Anzahl der Ecken

k : Anzahl der Kanten

f : Anzahl der Flächen

Dann gilt

Eulercharakteristik:

Platonsche Körper

www.solon-line.de/2007/03/31/

mysterium-cosmographicum

http://www.faltgeometrie.ch/ueberuns/

platonische-koerper/index.html

Historisch: Versuch der Gleichsetzung der

Platonischen Körpern mit den 4 bzw. 5 (Quintessenz!)

Elementen der griechischen Antike

http://www.rhenania-

buchversand.de/data/pictures/930864_1.jpg

Flächen unterschiedlicher

Eulercharakteristik

Kugel Torus Brezelfläche

2006 Heiko Burkhardt Lilano.com

http://mathworld.wolfram.com

GriffithsHarrisAlgebraicGeometry

Mathematik im Fernsehen: Simpsons

Topologie von Schmalzkringeln (Donuts)

Beweis des Eulerschen

Polyedersatzes

Beweisschritt 1

Beweis des Eulerschen

Polyedersatzes

Beweis mit Polyedersatz: Es gibt nur

5 Platonische Körper

Eulersche Polyederformel und

planare Graphen Ein Graph heißt eben dargestellt oder planar dargestellt, wenn er ohne

Überkreuzung seiner Kanten gezeichnet ist. Graphen,

die eine solche Darstellung besitzen, heißen planar.

Ob ein Graph planar ist, ist gar nicht so leicht festzustellen, aber mit

der Eulerschen Polyederformel kann man feststellen, dass er es nicht

ist. Für jeden planaren Graph gilt die Eulersche Polyederformel. Kann

man zeigen, dass ein Graph die Eulersche Polyederformel nicht

erfüllt, dann kann er nicht planar sein. Beispiel: Petersengraph.

Dies ist der sogenannte Petersengraph. Ist der Petersen-Graph planar?

Nun kann man zeigen, dass der Graph nicht planar ist.

Das Königsberger Brückenproblem

- Die Geburt der Graphentheorie

1. Frage: Gibt es irgendeinen Weg durch

Königsberg, der jede Brücke genau einmal

(Eulerscher Weg)

2. Frage Gibt es irgendeinen Rundweg durch

Königsberg, der jede Brücke genau einmal

benutzt und wieder am selben Punkt endet

(Eulerscher Rundweg, Eulerkreis)



Man kann von A nach B gehen via a (AaB).

Man benutzt Folgen dieser Buchstaben um einen

Pfad (Weg) zu identifizieren, Euler zählte, wie

auftaucht.



Wenn A mit einer ungeraden Anzahl k an

Brücken verbunden ist, wie aktuell, dann muss

A n mal verlassen werden, wobei n=(k+1)/2.



Euler fand, dass die Folge der Brücken (kleine

Buchstaben), die notwendig waren, größer war, als

die vorhandenen sieben Brücken, unter der

Voraussetzung ihrer Orte.



Der endgültige Satz in moderner Form und zwei bekannte Beispiele:

Das Königsberger Brückenproblem lässt sich auf folgenden Graphen

reduzieren:



Beispiele im Mathematikum:

Nicht-Eulersch:

Rösselsprung auf einem Schachbrett

http://images.google.com/imgres?imgurl=http://www.sjgames.com/proteus/img/chessboard.jpg&imgrefurl=http://www.sjgames.com/proteus/&h=1210&w=1200&sz=198&tbnid=lezl536gQYNMKM:&tbnh=150&tbnw=149&prev=/images?q=chessboard&start=1&sa=X&oi=images&ct=image&cd=1http://images.google.com/imgres?imgurl=http://user.cybrzn.com/~dpintar/knight.jpg&imgrefurl=http://www.worth1000.com/cache/contest/contestcache.asp?contest_id=12268&h=1050&w=585&sz=53&hl=en&start=14&um=1&tbnid=bvLsu269UHC_hM:&tbnh=150&tbnw=84&prev=/images?q=knight+chess&svnum=10&um=1&hl=en&sa=N

Das Problem wurde von Euler während eines

Schachspiels vorgeschlagen:

Ist es möglich, und wenn ja, von welchen

Feldern aus, mit einem Springer alle Felder des

Schachbretts genau einmal zu besuchen?



http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/df/Knights_tour_(Euler).png


http://en.wikipedia.org/wiki/Image:Knight's_tour.svghttp://en.wikipedia.org/wiki/Image:Turk-knights-tour.svg

Baseler Problem

1644 fragte sich der Italiener Pietro Mengoli, ob diese Summe konvergiere,

und wenn ja, gegen welchen Wert, konnte diese Frage aber nicht beantworten.

Etwas später erfuhr der Basler Mathematiker Jakob Bernoulli von diesem

Problem, fand jedoch auch keine Lösung (1689). Daraufhin versuchten sich

mehrere Mathematiker an der Fragestellung, waren aber alle erfolglos.

1726 begann Leonhard Euler, ebenfalls Basler Mathematiker und Schüler von

Jakob Bernoullis Bruder Johann, sich mit dem Problem zu befassen.

1735 fand er die Lösung und veröffentlichte sie in seinem Werk "De Summis

Serierum Reciprocarum".

6...

1...

3

1

2

1

1

1 2

2222 k

Lösung des Baseler Problems

durch Euler

Moderner Beweis über Fourierreihen

leonhard euler leben und werk - tu-dresden.de · leonhard euler lisez euler, lisez euler, c'est...

Documents