は測度ですか？？s.t.@simizut22

• Twitter: s.t.@simizut22 でやってます• 某企業の数理計画 / 数理最適化部員 (programmer) やってます• s.t. は such that でも subject to でもどちらでも

数を数えてください今日鞄に入ってたテキストを数えます

でも自分で数えるのは難しい

自分で数えられないなら積分したらいいじゃない！！

今日の内容•オイラー標数 # とは•オイラー積分 # とは• Target Enumeration( 応用 )

なるべく数学の言葉を出さないよう頑張ります ( 努力目標

§1 オイラー標数 # とは• 三角形分割 / セル分割された空間 X に対し

⇒組み合わせ的な Euler 標数

§1 オイラー標数 # とは ( 例 )• 離散集合

⇒ 個数 ( 離散集合の上の個数測度 ) みたいに”思える” ( 思えない

§1 オイラー標数 # とは ( 例 )n-dim 球面

のセル分割をのセル分割からここで、は立体射影

§1 オイラー標数 # とは ( 例 )• Oriented closed リーマン面

𝑔=0 𝑔=1 𝑔=2

§1 オイラー標数 # とは ( 例 )種数 2(g=2) のリーマン面の三角形分割

⇒ 他の種数 g > 0 でも同様

§1. オイラー標数 # とは• オイラー標数は次の関係を満たす ( 集合は適切なクラスと仮定 )1.

2.

A B

測度と思うなら積分じゃっ！！

§2. Euler積分 (被積分関数 ) に対し、ここで、 以下、対象とする関数の集合をとする

§ 2. Euler積分 を

で定義する

§ 2. Euler積分簡単な Lemmaに対し、(i.e. A の定義関数をかませると A の “面積” )

§ 2. Euler積分 を単体複体の間の写像 (Piecewise Linear) とする

証明は tame map に対する Hardt Theorem( 分解定理 ) とオイラー標数に対する積の性質から ■

Sheaf cohomology からの定義 ( 補足 )

により 与える を用いて、 Euler 積分を

where

§3. Target Enumeration( 問題の設定 )Target の集合：有限集合Sensor の集合 : (dense) Counting Function h: のセンサーは 内の target の個数のみ数える (target の id 認識などはできない )

§3. Target Enumeration target α を認識できるセンサーの集合 (Target Support)

を満たす。このとき、( 証明は容易 )

§3. Target Enumeration( 例 )1. Enumerating Vehicles:仮定 )各車両が曲線 にそって動くとするは可縮な近傍 をもつCounting function h:Sensor x が に入ったとき、 x はそのカウンターを increment

§3. Vehicle Enumeration

§3. Vehicle EnumerationProp用いて、先の定理からFubini ( 前 chapter) を用いると ok.

§3. Target Enumeration( 例 )例 (Enumerate via beams)各 target : は凸集合Sensor: 各センサー Counting Function h : k-dim のビームで target を観測する→ Sensor Space = (Grassmannian でﾊﾟﾗﾒﾄﾗｲｽﾞ )

§3. Target Enumeration( 例 )Prop:(n, k) は ( 偶数 , 奇数 ) 以外のペアとする。このとき 証明）略を使って計算するだけ

まとめ

手で数えられなければEuler 積分しような

4. 今日話せなかったこと ( 能力の問題 )• Z-value の constructible function から R-valued の definable

function に定義を拡張• (stratified)Morse Theoretic な解釈！！！！！！• 実際の問題では、 sampling が完全にはできない→ 上下限を与える / 期待値を求める。などが実際には行われる• duality• Microlocal Fourier Transformation

終わり