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Prof. Erivelton Geraldo Nepomuceno
2016
MÉTODO DOS MOMENTOS - MOM
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA
UNIVERSIDADE DE JOÃO DEL-REI
PRÓ-REITORIA DE PESQUISA
CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO
TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS
DIRETORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO
étodos
uméricos
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Introdução
O método dos momentos é uma técnica numérica, analiticamentesimples e versátil, usada para solucionar equações integrais lineares.A idéia básica associada ao MOM é reduzir uma equação integral emuma equação matricial.
Suas soluções nos casos práticos são aproximadas, porém com elevadaprecisão para os propósitos da engenharia.
O MOM requer grande esforço computacional, levando-o a terlimitações que são a velocidade de simulação e a capacidade dearmazenamento de dados no computador. Assim a utilização dessatécnica numérica é “limitada” para geometrias complexas.
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MOMSeja a equação:
Onde:• L é um operador qualquer (conhecido)• g é a fonte ou excitação (conhecida) • f é o campo ou resposta (função desconhecida).
L f g
A função desconhecida f é expandida em uma combinação linear deN funções, no domínio do operador L:
1 1 2 2
1
...N
n n n n
n
f f f f f
Onde• n são constantes desconhecidas• fn é conhecida como função de base (ou de expansão).
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MOM
Substituindo a última equação na penúltima tem-se:
Onde, f e g são funções complexas.
1 1
N N
n n n n
n n
L f g L f g
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MOM
Assumindo um produto escalar ajustável <f, g> a solução do problemaindicado pode ser determinada. Para isso definem-se funções de peso(ou de teste) da forma w1,w2,…,wm, no domínio de L, e faz-se oproduto escalar da última equação para cada wm, tem-se:
Tal equação transportada para a forma matricial gera:
1
, , 1,2,3,...,N
n m n m
n
w L f w g m N
mn n mI g
1 1 1
1
, ,
, ,
n
mn
m m n
w L f w L f
I
w L f w L f
1,
,
m
m
w g
g
w g
1
n
n
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MOM
Se a matriz [Imn ] é não singular então [Imn]-1 existe, assim n é dadopor:
com o valor de n encontrado determina-se o valor de f.
A solução para f pode ser mais ou menos aproximada dependendo dasescolhas do tipo das funções de base e de peso, fn e wm,respectivamente.
Por um lado, para se ter soluções mais exatas pode-se assumir umnúmero maior de funções de base e de peso.
1
n mn mI g
1
n n n mn mf f f I g
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MOM
• Uma das principais tarefas na solução pelo MOM é a escolha de fn ewm apropriadas.
• Um caso particular, conhecido como Método de Galerkin, é quandofn=wm.
• A função fn deve ser linearmente independente e escolhida de modoa aproximar a função de f relativamente bem quando for superposta.
• A função wm também deve ser linearmente independente e escolhidade maneira tal que os produtos escalar <wm, g> sejam relativamenteindependentes das propriedades de g.
• É vantajoso escolher funções de base e de peso que minimizem osesforços computacionais para o cálculo da integral e do produtoescalar respectivamente.
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MOM
Outros fatores a serem considerados:
• Precisão da solução desejada
• Facilidade de avaliação dos elementos da matriz.
• Tamanho da matriz a ser invertida .
• Obtenção de uma matriz [Imn ] bem comportada.
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MOM
De acordo com a equação:
têm-se N2 termos para avaliar. Cada termo exige duas ou maisintegrações, uma para o calculo de L(f) e uma no produto escalar.
Quando se utiliza a integração numérica uma grande capacidadecomputacional é requerida, ou seja, é exigido um grande tempo desimulação.
1 1 1
1
, ,
, ,
n
mn
m m n
w L f w L f
I
w L f w L f
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MOM
Para diminuir o esforço computacional é possível utilizar um grupo defunções de peso que reduzem o número de integrais a seremresolvidas. Essas wm são conhecidas como funções de teste Delta deDirac e são definidas como:
Onde p é a posição de referência e pm é a posição onde a condição decontorno é forçada.
1 2, ,...m mw p p p p p p
1
, , 1,2,3,...,N
m n m n
n
p p g p p L f m N
,f g f g ds
1
1,2,3,...,N
m n m n
n
p p g ds p p L f ds m N
1
1,2,3,...,m m
N
n np p p pn
g L f m N
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MOM
Deste modo observa-se que a única integral a ser calculada é L(fn).Tal simplificação possibilita algumas soluções que são impraticáveiscom o uso de outras funções de teste. Fisicamente o uso das funçõesdelta de Dirac são tidas como a relaxação das condições decontorno, que fazem com que sejam forçados pontos discretos nasuperfície da estrutura analisada.
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MOM
Funções de Base
As funções de base que são utilizadas, na prática, nos problemasdeterminísticos numéricos dividem-se em duas classes. A primeiraclasse são as funções de subdomínio que são não nulas apenas sobre auma parte da superfície da estrutura analisada. A segunda classe sãoas funções de domínio-inteiro que existem ao longo de todo o domínioda função desconhecida.
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MOM
Funções de Subdomínio
São as mais comuns entre as funções de expansão. Sua vantagemreside no fato de sua utilização ser possível sem o conhecimentoprévio da natureza das funções que devem representar. Ao contráriodas funções de domínio-inteiro.
A abordagem dessa classe envolve a subdivisão da estrutura em Nsegmentos não coincidentes. Para tornar mais claro o entendimento,os segmentos são colineares e de igual comprimento, embora essacondição não seja necessária.
As funções fn são definidas em conjunto com os limites de um oumais segmentos.
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MOM
A função de base mais comum dessa classe e conceitualmente maissimples é ao pulso, definido como:
Uma vez que os coeficientes n associados a fn são determinados,então está função produz uma representação em escada da funçãodesconhecida.
11
0
n n
n
x x xf x
caso contrário
nf x
1 1f x 2 2f x 3 3f x
n n
n
f x
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MOM
Outra função comum nesse grupo são as triangulares, definidas como:
O aumento das funções desubdomínio para além da funçãotriangular não se justifica, poisa melhora da precisão nãocompensa, tendo em vista oaumento da complexidadecomputacional. Contudo outrasfunções podem ser usadas emcasos específicos.
nf x
11
1
11
1
0
nn n
n n
nn n n
n n
x xx x x
x x
x xf x x x x
x x
caso contrário
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MOM
Outra função comum nesse grupo são as Senoidais, definidas como:
1
1
1
1
1
1
sin
sin
sin
sin
0
n
n n
n n
n
n n n
n n
x xx x x
x x
x xf x x x x
x x
caso contrário
nf x
1 1f x 2 2f x
3 3f x
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MOM
Também podem ser definidas funções truncadas:
1
1cos2
0
n nn n
n
x xx x x x
f x
caso contrário
nf x
1 1f x 2 2f x 3 3f x
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MOM
Funções de Domínio-inteiro
São definidas não nulas ao longo de toda a estrutura considerada.Segmentações não são utilizadas nessa classe. Uma função comumdessa classe é a senoidal representada por:
A principal vantagem dessas funções está associada à problemas onde afunção desconhecida tem inicialmente um padrão.
A representação de uma função cosseno e/ou seno de domínio-inteiro ésemelhante à expansão da série de Fourier para funções arbitrárias.
Por meio dessas funções é difícil modelar funções desconhecidascomplicadas ou arbitrárias.
22
12cos
lx
l
l
xnxfn
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MOM
Método do Ponto de Observação (Point Matching)
A transformação da integral na matriz é geralmente difícil emproblemas práticos. Assim desenvolveu-se uma maneira simples parase obter soluções aproximadas.
A função fn é escolhida para cada L(fn), onde seu valor possa serconvenientemente especificado, em forma fechada preferencialmenteou numericamente.
Têm-se uma equação com N partes desconhecidas, mas somente issonão é suficiente para que seja calculado o valor da constantedesconhecida n. Para se encontrar a resposta desse último problemaé necessário se obter N equações lineares independentes, o que podeser feito por avaliação em N pontos discretos e distintos. Esseprocedimento é denominado método dos pontos de observação (pointmatching method).
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MOM - Aplicações
Eletrostática:
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MOM - AplicaçõesConsidere um fio fino condutor de raio a e comprimento L (L>>a)localizado no espaço livre:
Estando o fio em um potencial Vo deseja-se determinar a densidadede cargas ao longo do fio e os valores do campo em qualquer ponto.
Da equação de Poisson tem-se:
L
L
R
dlV
00
04
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MOM - Aplicações
Para um ponto fixo Yk no fio, tem-se:
Se y é pequeno, pode-se considerar a seguinte aproximação:
L
k
L
yy
dyyV
00
04
1
N
k
yk
yNyy
L
yf
yfyfyfdyyf
1
210
...
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MOM - Aplicações
Com o fio dividido em n segmentos de comprimento , tem-se:
=L/N = y
L
k
L
yy
dyyV
00
04
1
Nk
N
kk yyyyyyV
...4
2
2
1
100
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MOM - Aplicações
Sendo a densidade de carga desconhecida k e como a equaçãoanterior deve ser válida para todos os pontos sobre o fio, tem-se:
Funções de base: Pulso Funções de Peso: Delta de Dirac (point matching)A integral foi aproximada
NN
N
NN
N
N
N
N
yyyyyyV
yyyyyyV
yyyyyyV
...4
...4
...4
2
2
1
100
222
2
12
100
121
2
11
100
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MOM - Aplicações
Ou seja:
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MOM - Aplicações
Para os termos da diagonal principal, cuidado ! Singularidades !
Escrevendo de uma forma mais rigorosa,tem-se:
Para minimizar a
singulariadade uma opção é:
pontos de observação no
centro e fonte na superfície.
Proceder a avaliação da
integral de forma numérica ou
fechada.
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MOM - Aplicações
Como o fio é condutor, a densidade de carga superficial aparecesomente na superfície. Pode-se considerar a seguinte solução:
>> a:
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MOM - Aplicações
O campo pode ser calculador por:
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MOM - Aplicações
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MOM - Aplicações
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MOM - Aplicações
Sendo V0=1 V, L = 1m, a = 1 mm e N = 10, tem-se:
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MOM - Aplicações
Sendo V0=1 V, L = 1m, a = 1 mm e N = 10, tem-se:
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MOM - Aplicações
Sendo V0=1 V, L = 1m, a = 1 mm e N = 10, tem-se:
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MOM - Aplicações
De forma mais rigorosa tem-se:
Função de base
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MOM - Aplicações
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MOM - Aplicações
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MOM - Aplicações
Considerando outra geometria de condutor:
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MOM - Aplicações
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MOM - AplicaçõesEletrostática: Determine a capacitância de um capacitor de placasparalelas. Seja a = 1m, b = 1 m, d = 1m e r = 1.
Para determinar s a placa P1 foi dividida em n subáreas S1, S2, ...,Sn e a placa P2 em n subáreas Sn+1, Sn+2, ..., S2n.
20
Q
V
QC
dsq s
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MOM - Aplicações
Assumindo que a densidade de carga é uniforme:
O potencial no centro de cada subárea,Vi, é:
i
i
S ij
n
j
j
S ij
j
S
n
j
Si
R
dS
R
dS
R
dSV
2
1 0
2
1 00
4
1
4
1
4
iS ij
ij
n
j
ijji
R
dSA
AV
0
2
1
4
1
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MOM - Aplicações
Funções de base: Pulso Funções de Peso: Delta de Dirac (point matching)
n
j
jnjn
n
j
jnjn
n
j
njjn
n
j
jj
n
j
jj
AV
AV
AV
AV
AV
2
1
,22
2
1
,11
2
1
2
1
22
2
1
11
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
1
2,22,21,2
2,22221
2,11211
nnnnn
n
n
AAA
AAA
AAA
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MOM - Aplicações
Para determinar Aij as subáreas podem estar sobre a mesma placa ouplacas diferentes.
Assumindo:
Pode-se mostrar que:
222
0
)()()(
4
1 2
1
2
1
ijijijij
y
yy
x
xx ij
ij
zzyyxxR
R
dydxA
1212 yylxx
ji
R
l
R
SA
ijij
iij
0
2
0 44 ji
llAii
8814.021ln
00
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MOM - Aplicações
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MOM - Aplicações
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MOM - Aplicações
N = 9 C= 26.51 pFN= 16 C=27.27 pFN=25 C=27.74 pF
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Referencias Bibliográficas
SADIKU, M. N. O. Elemens of Eletromagnetics. 3rd ed. New York, USA:
Oxford University Press. 769p.
BALANIS, C. A. Advanced Engineering Electromagnetics. 1st ed. USA:
John Wiley &Sons, 981p.
HARRINGTON, R.F. Field Computation by Moment Methods. New
York: IEEE Press. 225p.