etapa nº 2 atps calculo i 2 bim
TRANSCRIPT
![Page 1: ETAPA Nº 2 ATPS Calculo I 2 bim](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022082703/5572144a497959fc0b9431e2/html5/thumbnails/1.jpg)
ETAPA 1
Situação-problema 1: O valor da conta de água é dado por uma tarifa fixa, mais uma parte que varia de acordo com o volume, em metros cúbicos utilizados, caso exceda o volume considerado na tarifa fixa. O valor da tarifa fixa é de R$ 13,00 e a cada metro cúbico excedente acrescenta R$1,90 no valor da conta.
PASSO 1 – Faça a leitura do capítulo 1 – seção 1.1 do PLT e demonstre através da situação problema 1 o conceito de função linear. Escreva a equação para o custo total de água, em reais, de uma residência em função da quantidade de água utilizada, em metros cúbicos e interprete os resultados.
Função Linear:
Uma função é linear se seu coeficiente angular, ou taxa de variação, é a mesma em todos os pontos. A taxa de variação de uma função que não é linear pode variar de ponto a ponto.
Y= Ax + B
Y= F(x) = b + mx
Y= F (t)
Considerando os seguintes volumes: 1 m³, 2 m³, 3 m³, 4 m³, 5 m³, 6 m³, 7 m³, 8 m³, 9 m³ e 10m³, teremos:
Y = f(t)
Y = 1,9 . t + 13 Y = 1,9 . 1 + 13 Y = R$ 14,90
Y = 1,9 . t + 13 Y = 1,9 . 2 + 13 Y = R$ 16,80
Y = 1,9 . t + 13 Y = 1,9 . 3 + 13 Y = R$ 18,70
Y = 1,9 . t + 13 Y = 1,9 . 4 + 13 Y = R$ 20,60
Y = 1,9 . t + 13 Y = 1,9 . 5 + 13 Y = R$ 22,50
Y = 1,9 . t + 13 Y = 1,9 . 6 + 13 Y = R$ 24,40
Y = 1,9 . t + 13 Y = 1,9 . 7 + 13 Y = R$ 26,30
Y = 1,9 . t + 13 Y = 1,9 . 8 + 13 Y = R$ 28,20
Y = 1,9 . t + 13 Y = 1,9 . 9 + 13 Y = R$ 30,10
Y = 1,9 . t + 13 Y = 1,9 .10 + 13 Y = R$ 32,00
![Page 2: ETAPA Nº 2 ATPS Calculo I 2 bim](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022082703/5572144a497959fc0b9431e2/html5/thumbnails/2.jpg)
PASSO 2– Demonstre que o coeficiente angular de uma função linear y=f(t) pode ser calculado a partir de valores da função em dois pontos, descrita no Passo 1.
m = F (x2) – F (x1)
x2 - x1
Para a função de dois pontos 1m³ e 3m³:
m = F (x2) – F (x1) => m = F (22,50) – F (14,90) = 7,6 = 1,90
x2 - x1 5 - 1 4
Para a função de dois pontos 1m³ e 6m³:
m = F (x2) – F (x1) => m = F (32,00) – F (14,90) = 17,10 = 1,90
x2 - x1 10 - 1 9
Para a função de dois pontos 3m³ e 6m³:
m = F (x2) – F (x1) => m = F (32,00) – F (22,50) =9,50 = 1,90
x2 - x1 10 - 5 5
PASSO 3 – Utilizando o software Microsoft® Excel, construa o gráfico da função referente a situação-problema 1 e identifique se a função é crescente ou decrescente.
A função referente à situação problema 1 é crescente, conforme gráfico abaixo:
![Page 3: ETAPA Nº 2 ATPS Calculo I 2 bim](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022082703/5572144a497959fc0b9431e2/html5/thumbnails/3.jpg)
ETAPA 2
Situação-problema 2: Se a temperatura do planeta continuar subindo no ritmo atual e os países não tomarem medidas com a mesma velocidade para auxiliar o problema do aquecimento global, poderão ocorrer várias epidemias por microorganismos. Os modelos matemáticos têm mostrado como as alterações climáticas podem aumentar a distribuição de doenças transmitidas por microorganismos. O número da população de microorganismos pode ser representado matematicamente por uma equação exponencial. Considere a seguinte situação fictícia: em uma cultura de microorganismos, existem inicialmente 2.000 microorganismos presentes e estimativas mostram que, aumentando em 1ºC a temperatura em relação a temperatura anterior, o número de microorganismos passa a ser três vezes maior.
PASSO 1– Faça a leitura do capítulo 1 – seção 1.2 do PLT e elabore um texto explicando a utilização da função exponencial.
Função Exponencial:
Toda relação de dependência, onde uma incógnita depende do valor da outra, é denominada função. A função exponencial possui essa relação de dependência e sua principal característica é que a parte variável representada por x se encontra no expoente. Veja a seguir:
y = 2x
![Page 4: ETAPA Nº 2 ATPS Calculo I 2 bim](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022082703/5572144a497959fc0b9431e2/html5/thumbnails/4.jpg)
y = 3x + 4
y = 0,5x
y = 4x
f: R R tal que y = ax, sendo que a > 0 e a ≠ 1.
Uma função exponencial é utilizada na representação de situações onde a taxa de variação é considerada grande, por exemplo, em rendimentos financeiros capitalizados por juros compostos, no decaimento radioativo de substâncias químicas, desenvolvimento de bactérias e microorganismos, crescimento populacional entre outras situações. As funções exponenciais devem ser resolvidas utilizando, se necessário, as regras envolvendo potenciação.
A função f é chamada função exponencial se f(x) = bx onde b é uma constante positiva e x um número real. Neste caso, x é chamado expoente e b a base.
A lei de formação de uma função exponencial indica que a base elevada ao expoente x precisa ser maior que zero e diferente de um, conforme a notação:
f: R→R tal que y = a x, sendo que a > 0 e a ≠ 1.
PASSO 2– Considere a situação-problema 2 e obtenha a equação exponencial que relaciona o número de microorganismos em função da temperatura.
Considerando P(função exponencial de t com base a se P=Po . at), Po(condição inicial quando t=0),e a(valor segundo o qual P muda quando t aumenta de 1), teremos:
P = Quantidade total de uma cultura de microorganismos;
Po = Quantidade inicial;
a = Fator de crescimento desta cultura;
t = Número de ºC aumentado.
Teremos a seguinte equação:
P = Po . at => P = 2000 . (3)t
Passo 3 – Utilizando o software Microsoft® Excel, construa o gráfico da função referente à cultura de microorganismos e identifique se há crescimento ou decaimento exponencial. Defina meiavida e tempo de duplicação. Dê exemplos.
![Page 5: ETAPA Nº 2 ATPS Calculo I 2 bim](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022082703/5572144a497959fc0b9431e2/html5/thumbnails/5.jpg)
Adotando os seguintes aumentos de temperatura:1°C, 2ºC, 3ºC, 4ºC e 5ºC,teremos:
P = 2000 . (3)1 P = 2000 . 3 P = 6000
P = 2000 . (3)2 P = 2000 . 9 P = 18000
P = 2000 . (3)3 P = 2000 . 27 P = 54000
P = 2000 . (3)4 P = 2000 . 81 P = 162000
P = 2000 . (3)5 P = 2000 . 243 P = 486000
P = 2000 . (3)6- P = 2000 . 729 P = 1458000
Note no gráfico abaixo que houve um crescimento na cultura de microorganismos:
![Page 6: ETAPA Nº 2 ATPS Calculo I 2 bim](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022082703/5572144a497959fc0b9431e2/html5/thumbnails/6.jpg)
Meia - Vida:
A meia-vida é a quantidade de tempo característica de um decaimento exponencial. Se a quantidade que decai possui um valor no início do processo, na meia-vida a quantidade terá metade deste valor.
Exemplo:
Se tomarmos hoje (2010) um elemento A de massa 100 kg, sendo seu período de meia vida de 80 anos, terá sua massa igual a 50 kg no ano de 2090! Ou seja, daqui a oitenta anos. No ano de 2170 sua massa será de 25 kg e assim por diante.
Tempo de Duplicação:
O Tempo de Duplicação é a quantidade de tempo de um aumento exponencial. Se a quantidade que aumenta possui um valor no inicio do processo, no Tempo de Duplicação a quantidade terá o dobro deste valor.
Exemplo:
Se tomarmos hoje (2010) um elemento A de massa 100 kg, sendo seu Tempo de Duplicação de 80 anos, terá sua massa igual a 200 kg no ano de 2090! Ou seja, daqui a oitenta anos. No ano de 2170 sua massa será de 400 kg e assim por diante.
ETAPA 3
PASSO 1 – Faça a leitura do capítulo 1 – seção 1.4 do PLT e elabore um texto explicando a utilização dos logaritmos.
Aplicação dos Logaritmos:
Os logaritmos possuem várias aplicações na Matemática e em diversas áreas do conhecimento, com Física, Química, Medicina, Geografia entre outras. Veja o exemplo abaixo para entender a utilização das técnicas de logaritmos na busca de resultados para as variadas situações em questão:
Exemplo 1:
Uma pessoa aplicou a importância de R$500,00 numa instituição bancária que paga juros mensais de 3,5%, no regime de juros compostos. Quanto tempo após a aplicação o montante será de R$ 3.500,00?
Resolução:
As técnicas de logaritmos são imprescindíveis para a determinação do tempo e juros compostos.
![Page 7: ETAPA Nº 2 ATPS Calculo I 2 bim](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022082703/5572144a497959fc0b9431e2/html5/thumbnails/7.jpg)
Fórmula para o cálculo dos juros compostos: M = C* (1 + i)t. De acordo com a situação problema, temos:
M (montante) = 3500
C (capital) = 500
i (taxa) = 3,5% = 0,035 t = ?
M = C*(1 + i)t
3500 = 500*(1+0,035)t => 3500/500 = 1,035t => 1,035t = 7
Aplicando logaritmo
log 1,035t = log 7
t* log 1,035 = log 7
t* 0,0149 = 0,8451
t = 0,8451/0,0149
t = 56,7
O montante de R$3.500,00 será originado após 56 meses de aplicação.
Passo 2 – Desenhe o gráfico de uma função logaritma do tipo Log(x) e LN(x). Qual a diferença entre esses dois logaritmos? Escolha um exemplo para ilustrar a sua resposta.
(Falta gráfico)
Ambas as funções crescem lentamente a medida que aumenta o eixo x e tendem ao infinito. A intersecção de ambas é x=1. Em ambas as funções, a resultante será a mesma. Exemplo:
t = log (7) = 0,845 = 2,807
log (2) 0,301
t = ln (7) = 1,946 = 2,807
ln (2) 0,693
ETAPA 4
![Page 8: ETAPA Nº 2 ATPS Calculo I 2 bim](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022082703/5572144a497959fc0b9431e2/html5/thumbnails/8.jpg)
PASSO 1-Leia o capítulo 1 – seção 1.7 e o capítulo 2 – seções 2.1 e 2.2 do PLT, pesquise e elabore umtexto explorando o conceito de limites, suas propriedades, continuidade de funções e limites no infinito.
CONCEITO DE LIMITES
Em matemática, o conceito de limite é usado para descrever o comportamento de uma
função à medida que o seu argumento se aproxima de um determinado valor, assim
como o comportamento de uma seqüência de números reais, à medida que o índice (da
seqüência) vai crescendo, e “E” tende para infinito. Os limites são usados no cálculo
diferencial e em outros ramos da análise matemática para definir derivadas e a
continuidade de funções. O conceito de limite é formalmente definido da seguinte
forma: Seja f uma função definida num intervalo aberto contendo a (exceto
possivelmente a) e seja A um número real.
A expressão significa que qualquer que seja existe um tal que para todo x, satisfazendo , vale . ou, usando a notação simbólica: Dito de maneira mais formal, um limite A é dado da seguinte maneira, segunda a idéia originalmente formulada por Cauchy:
Limite é o conceito mais fundamental do calculo; de fato, limite é o que distingue, no
nível mais básico, o calculo de álgebra, geometria e o resto da matemática.
Portanto, em termos do desenvolvimento ordenado e lógico do calculo, limites devem
vir primeiro. Em matemática, o conceito de limite é usado para descrever o
comportamento de uma função à medida que o seu argumento se aproxima de um
determinado valor, assim como o comportamento de uma sequência de números reais, à
medida que o índice (da sequência) vai crescendo, tende para infinito.
Limites nos apresentam um grande paradoxo. Todos os conceitos principais do cálculo -
derivadas, continuidade, integral, convergência/divergência - são definidos em termos
de limites. Limite é o conceito mais fundamental do Cálculo; de fato, limite é o que
distingue, no nível mais básico, o cálculo de álgebra, geometria e o resto da matemática.
Portanto, em termos do desenvolvimento ordenado e lógico do cálculo, limites devem
vir primeiro.
Em matemática, o conceito de limite é usado para descrever o comportamento de uma função à medida que o seu argumento se aproxima de um determinado valor, assim como o comportamento de uma seqüência de números reais, à medida que o índice (da seqüência) vai crescendo, e “E” tende para infinito. Os limites são usados no cálculo diferencial e em outros ramos da análise matemática para definir derivadas e a continuidade de funções. O conceito de limite é formalmente definido da seguinte
![Page 9: ETAPA Nº 2 ATPS Calculo I 2 bim](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022082703/5572144a497959fc0b9431e2/html5/thumbnails/9.jpg)
forma: Seja f uma função definida num intervalo aberto contendo a (exceto possivelmente a) e seja A um número real.
A expressão significa que qualquer que seja existe um tal que para todo x, satisfazendo , vale . ou, usando a notação simbólica: Dito de maneira mais formal, um limite A é dado da seguinte maneira, segunda a idéia originalmente formulada por Cauchy:
PROPRIEDADES DOS LIMITES
Muitas funções do cálculo podem ser obtidas como somas, diferenças, produtos,
quocientes e potências de funções simples. Introduziremos propriedades que podem ser
usadas para simplificar as funções mais elaboradas. Em todas as situações abaixo,
consideraremos x a.
1. Se f(x)=C onde C é constante, então Lim f(x) = Lim C = C;
2. Se k e b são constantes e f(x) = kx+b, então Lim f(x) = Lim (kx+b) = ka+b;
3. Se f e g são duas funções, k uma constante, A e B números reais e além disso
Lim f(x)=A e Lim g(x)=B, então:
a. Lim(f ± g)(x) = [Lim f(x)] ± [Lim g(x)] = A ± B
b. Lim(f·g)(x) = [Lim f(x)]·[Lim g(x)] = A·B
c. Lim(k·f)(x) = k·Lim f(x) = k·A
d. Lim(f)n(x) = (Lim f(x))n = An
e. Lim(f÷g)(x) = [Lim f(x)]÷[Lim g(x)] = A÷B, se B é não nulo.
f. Lim exp[f(x)]= exp[Lim f(x)] = exp(A)
4. Se acontecer uma das situações abaixo:
a. Lim f(x) = 0
b. Lim f(x)>0 e n é um número natural
c. Lim f(x)<0 e n é um número natural ímpar
Então
![Page 10: ETAPA Nº 2 ATPS Calculo I 2 bim](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022082703/5572144a497959fc0b9431e2/html5/thumbnails/10.jpg)
PODEMOS ESTABELACER AS SEGUINTES PROPRIEDADES OPERATÓRIAS PARA OS LIMITES:
Propriedade 1 – Limite da soma (subtração) de duas ou mais funções - Será a soma dos limites de cada função.
Propriedade 2 - Limite do produto de duas ou mais funções - Será o produto dos limites de cada função.
Propriedade 3 – Limite do quociente - Será quociente entre os limites de cada função.
Propriedade 4 - Limite do produto de uma constante por uma função - Será o produto da constante pelo limite da função. Seja uma constante.
Propriedade 5 - Limite da potência - Será a potência do limite.
Propriedade 6 - Limite da raiz - Será a raiz do limite.
Propriedade 7 - Limite do logaritmo de uma função - Será o logaritmo do limite da função.
OBSERVAÇOES SOBRE AS PROPRIEDADES:
1-As propriedades que valem para duas funções valem também para um número finito
de funções;
2-As propriedades 3-a, 3-b e 3-e estabelecem que se existem os limites das parcelas,
então, existirá o limite da operação, mas a recíproca deste fato não é verdadeira, pois o
limite de uma operação pode existir sem que existam os limites das parcelas.
Teorema do anulamento: Se f é uma função limitada e g é uma função tal que Lim
g(x)=0, quando x a, então: Lim f(x)·g(x) = 0. Este resultado é útil para podermos
obter cálculos com limites.
Teorema do Confronto (regra do sanduiche): Se valem as desigualdades f(x)<g(x)<h(x)
para todo x em um intervalo aberto contendo a, exceto talvez em x=a e se Lim f(x) = L
= Lim h(x) então: Lim g(x) = L
Exemplo: Se para x próximo de 0, vale a relação de desigualdades:
cos(x) < sen(x)/x < 1 então, quando x 0: 1 = Lim cos(x) < Lim sen(x)/x < Lim 1 = 1
Observações: Todas as propriedades vistas para o cálculo de limites são válidas também
para limites laterais e para limites no infinito. Quando, no cálculo do limite de uma
função, aparecer uma das sete formas, que são denominadas expressões indeterminadas,
![Page 11: ETAPA Nº 2 ATPS Calculo I 2 bim](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022082703/5572144a497959fc0b9431e2/html5/thumbnails/11.jpg)
nada se poderá
concluir de imediato sem um estudo mais aprofundado de cada caso.
CONTINUIDADE DE FUNÇÕES
Dizemos que uma função f(x) é contínua num ponto a do seu domínio se as seguintes
condições são satisfeitas:
Propriedade das Funções contínuas
Se f(x) e g(x)são contínuas em x = a, então:
f(x) g(x) é contínua em a;
f(x) . g(x) é contínua em a;
é contínua em a .
Um conceito fundamental no Cálculo, no que diz respeito ao estudo de
funções, é o de continuidade de uma função num ponto de seu domínio.
![Page 12: ETAPA Nº 2 ATPS Calculo I 2 bim](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022082703/5572144a497959fc0b9431e2/html5/thumbnails/12.jpg)
![Page 13: ETAPA Nº 2 ATPS Calculo I 2 bim](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022082703/5572144a497959fc0b9431e2/html5/thumbnails/13.jpg)
O conceito de continuidade de uma função em um ponto de seu domínio pode ser
colocado na forma de uma definição precisa:
Definição: f é contínua num ponto a de seu domínio quando . Quando f é
contínua em cada ponto de seu domínio, dizemos que f é contínua.
Observamos que para questionarmos se uma dada função é contínua em determinado
ponto, precisamos tomar o cuidado de verificar se esse ponto pertence ao domínio da
função. Se tal ponto não está no domínio, a função não é contínua nesse ponto. Assim,
é uma função contínua em todos os pontos de seu domínio ,
porém não é contínua no conjunto R, pois não é contínua em x=0, uma vez que não está
definida nesse ponto. Uma propriedade importante relaciona a continuidade de uma
função num ponto de seu domínio com a derivabilidade dessa função, ou seja, com a
![Page 14: ETAPA Nº 2 ATPS Calculo I 2 bim](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022082703/5572144a497959fc0b9431e2/html5/thumbnails/14.jpg)
existência de reta tangente ao gráfico nesse mesmo ponto. Se f é derivável num ponto x0
de seu domínio, então f é contínua em x0. Dessa forma, a existência de reta tangente ao
gráfico de uma função num ponto de seu domínio acarreta necessariamente na
continuidade da função nesse ponto.
Obs.: A recíproca desse Teorema é falsa.
Para verificar esse fato, basta exibir um contra-exemplo:
·. Essa função é evidentemente contínua em todo seu domínio, em particular,
em x=0. Entretanto, não é derivável na origem.
LIMITES NO INFINITO
Limite no infinito significa um valor elevado para x quando queremos saber o quanto esse número ficaria perto do valor L ou seja, a expressão x (x tende para infinito) significa que x assume valores superiores a qualquer número real e x (x tende para menos infinitos), da mesma forma, indica que x assume valores menores que qualquer número real. , ou seja, à medida que x aumenta, y tende para zero e o limite é zero. , ou seja, à medida que x diminui, y tende para zero e o limite é zero. , ou seja, quando x se aproxima de zero pela direita de zero ou por valores maiores que zero, y tende para o infinito e o limite é infinito. , ou seja, quando x tende para zero pela esquerda ou por valores menores que zero, y tende para menos infinito
IDÉIA INTUITIVA DE LIMITE
Observaremos o comportamento de uma função f nas proximidades de um ponto. Para
fixar idéias, consideremos a função f:R-{1} R definida por:
f(x)=
x²-1
x-1
Para x diferente de 1, f pode ser simplificada e reescrita na forma mais simples:
f(x) = x + 1. Ao analisarmos o comportamento desta função nas vizinhanças do ponto
x=1, ponto este que não pertence ao domínio de f, constatamos que esta função se
aproxima rapidamente do valor L=2, quando os valores de x se aproximam de x=1,
tanto por valores de x<1 (à esquerda de 1) como por valores x>1 (à direita de 1).
Do ponto de vista numérico, as tabelas abaixo mostram o comportamento da função f,
para valores x à esquerda e à direita de x=1.
![Page 15: ETAPA Nº 2 ATPS Calculo I 2 bim](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022082703/5572144a497959fc0b9431e2/html5/thumbnails/15.jpg)
Pela esquerda de x=1
x 00,
5
0,
8
0,
9
0,9
9
0,99
91
f(x) 11,
5
1,
8
1,
9
1,9
9
1,99
92
Pela direita de x=1
x 2 1,5 1,2 1,1 1,01 1,001 1
f(x
)3 2,5 2,2 2,1 2,01 2,001 2
Neste caso, dizemos L=2 é o limite da função f quando x se aproxima de 1, o que
denotaremos por: Limx 1 f(x) = 2. Este resultado pode ser visto através da análise
gráfica de f, cujo esboço vemos na figura abaixo:
PASSO 2
Pesquise o uso de limites em outras áreas, como por exemplo, em Física para o cálculo davelocidade instantânea, e elabore um texto.
LIMITES EM OUTRAS ÁREAS
Limites são fáceis de serem colocados em fundações rigorosas e, por esse motivo, são a abordagem padrão para os todos os tipos de cálculos.
Limite não é utilizado apenas em matemática, e sim, em diversas outras áreas, como por exemplo, na Física. Temos como exemplo, o cálculo da velocidade instantânea. Para fazermos este cálculo, precisamos conhecer a posição y do objeto em cada instante x, e precisamos conhecer a função y = f(x). Munidos deste conhecimento, a velocidade em cada instante x é o valor para o qual se aproxima a velocidade média entre os instantes x e x + Δx (i.e. Δf/Δx ), quando o intervalo de tempo Δx se aproxima de 0, ou seja o limite do quociente anterior. A este tipo de limites chamamos derivada.
Podemos ver que a velocidade média se vai aproximando do declive da reta tangente no ponto x, pois a reta secante, que une os pontos f(x) e f(x + Δx), tende para a reta tangente quando Δx se aproxima de 0. No caso geral em que a variável y não é necessariamente a posição e a variável x não é necessariamente o tempo, chamamos derivada de f no ponto x à velocidade no ponto x, ou seja, o declive da reta tangente.
![Page 16: ETAPA Nº 2 ATPS Calculo I 2 bim](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022082703/5572144a497959fc0b9431e2/html5/thumbnails/16.jpg)
Veja o exemplo abaixo:
Qual seria o limite da velocidade média de um corpo qualquer quando o intervalo de tempo do seu movimento tender à zero?
Considerando-se que:
velocidade média = vm = ΔS / Δt;
a função horária do espaço: S(t) = So + Vo.t + (1/2)a.t²
e o deslocamento: ΔS = S - So = S(t + Δt) - S(t)
O cálculo do limite é:
lim vm =Δt→0
lim ΔS / Δt =
Δt→0
lim [S(t + Δt) - S(t)] / Δt =Δt→0
lim {So + Vo(t + Δt) + (1/2)a.(t + Δt)² - [So + Vo.t + (1/2)a.t²]} / Δt =
Δt→0
lim [Vo.Δt + (1/2)a.(t² + Δt² + 2tΔt) - (1/2)a.t²] / Δt =
Δt→0
lim [Vo.Δt + (1/2)a.(Δt² + 2tΔt)] / Δt =
Δt→0
lim Δt.[Vo + (1/2)a.(Δt + 2t)] / Δt =
Δt→0
lim Vo + (1/2)a.(Δt + 2t) =
Δt→0
Vo + a.t
O limite da velocidade média quando o intervalo de tempo tender a zero é a velocidade instantânea do corpo.