estructuras geométricas: de euclides a la teoría de...
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Estructuras geométricas:de Euclides a la teoría de cuerdas
Vicente Muñoz (Universidad de Málaga)
Universidad de Sevilla, 20 febrero 2019
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 1 / 28
¿Qué es la geometría?
Del griego γεωµετρια (geo=tierra, metría=medida) es la rama de lasmatemáticas que se ocupa del estudio de las propiedades de lasfiguras en el plano o el espacio.
Euclides (siglo III A.C.) configuró la geometría en forma axiomática yconstructiva.
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 2 / 28
¿Qué es la geometría?
Del griego γεωµετρια (geo=tierra, metría=medida) es la rama de lasmatemáticas que se ocupa del estudio de las propiedades de lasfiguras en el plano o el espacio.
Euclides (siglo III A.C.) configuró la geometría en forma axiomática yconstructiva.
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 2 / 28
Geometría euclídea
Un punto no tiene dimensiones
Dados dos puntos, se puede trazar una recta por ellosToda recta puede ser prolongada indefinidamenteDado un segmento, se puede dibujar otro “igual” (congruente) apartir de un punto en otra recta
Se introducen conceptos:
Angulos, perpendicularesTriángulos, polígonosParalelas: rectas que no se cortan por mucho que lasprolonguemos (conceptualmente, tratamos con el infinito!)
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 3 / 28
Geometría euclídea
Un punto no tiene dimensionesDados dos puntos, se puede trazar una recta por ellos
Toda recta puede ser prolongada indefinidamenteDado un segmento, se puede dibujar otro “igual” (congruente) apartir de un punto en otra recta
Se introducen conceptos:
Angulos, perpendicularesTriángulos, polígonosParalelas: rectas que no se cortan por mucho que lasprolonguemos (conceptualmente, tratamos con el infinito!)
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 3 / 28
Geometría euclídea
Un punto no tiene dimensionesDados dos puntos, se puede trazar una recta por ellosToda recta puede ser prolongada indefinidamente
Dado un segmento, se puede dibujar otro “igual” (congruente) apartir de un punto en otra recta
Se introducen conceptos:
Angulos, perpendicularesTriángulos, polígonosParalelas: rectas que no se cortan por mucho que lasprolonguemos (conceptualmente, tratamos con el infinito!)
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 3 / 28
Geometría euclídea
Un punto no tiene dimensionesDados dos puntos, se puede trazar una recta por ellosToda recta puede ser prolongada indefinidamenteDado un segmento, se puede dibujar otro “igual” (congruente) apartir de un punto en otra recta
Se introducen conceptos:
Angulos, perpendicularesTriángulos, polígonosParalelas: rectas que no se cortan por mucho que lasprolonguemos (conceptualmente, tratamos con el infinito!)
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 3 / 28
Geometría euclídea
Un punto no tiene dimensionesDados dos puntos, se puede trazar una recta por ellosToda recta puede ser prolongada indefinidamenteDado un segmento, se puede dibujar otro “igual” (congruente) apartir de un punto en otra recta
Se introducen conceptos:
Angulos, perpendicularesTriángulos, polígonosParalelas: rectas que no se cortan por mucho que lasprolonguemos (conceptualmente, tratamos con el infinito!)
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 3 / 28
Geometría euclídea
Un punto no tiene dimensionesDados dos puntos, se puede trazar una recta por ellosToda recta puede ser prolongada indefinidamenteDado un segmento, se puede dibujar otro “igual” (congruente) apartir de un punto en otra recta
Se introducen conceptos:Angulos, perpendiculares
Triángulos, polígonosParalelas: rectas que no se cortan por mucho que lasprolonguemos
(conceptualmente, tratamos con el infinito!)
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 3 / 28
Geometría euclídea
Un punto no tiene dimensionesDados dos puntos, se puede trazar una recta por ellosToda recta puede ser prolongada indefinidamenteDado un segmento, se puede dibujar otro “igual” (congruente) apartir de un punto en otra recta
Se introducen conceptos:Angulos, perpendicularesTriángulos, polígonos
Paralelas: rectas que no se cortan por mucho que lasprolonguemos
(conceptualmente, tratamos con el infinito!)
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 3 / 28
Geometría euclídea
Un punto no tiene dimensionesDados dos puntos, se puede trazar una recta por ellosToda recta puede ser prolongada indefinidamenteDado un segmento, se puede dibujar otro “igual” (congruente) apartir de un punto en otra recta
Se introducen conceptos:Angulos, perpendicularesTriángulos, polígonosParalelas: rectas que no se cortan por mucho que lasprolonguemos
(conceptualmente, tratamos con el infinito!)
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 3 / 28
Geometría euclídea
Un punto no tiene dimensionesDados dos puntos, se puede trazar una recta por ellosToda recta puede ser prolongada indefinidamenteDado un segmento, se puede dibujar otro “igual” (congruente) apartir de un punto en otra recta
Se introducen conceptos:Angulos, perpendicularesTriángulos, polígonosParalelas: rectas que no se cortan por mucho que lasprolonguemos
(conceptualmente, tratamos con el infinito!)
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 3 / 28
Geometría euclídea
Un punto no tiene dimensionesDados dos puntos, se puede trazar una recta por ellosToda recta puede ser prolongada indefinidamenteDado un segmento, se puede dibujar otro “igual” (congruente) apartir de un punto en otra recta
Se introducen conceptos:Angulos, perpendicularesTriángulos, polígonosParalelas: rectas que no se cortan por mucho que lasprolonguemos (conceptualmente, tratamos con el infinito!)Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 3 / 28
Geometría euclídea
Las figuras se pueden “mover” o “copiar”. La geometría del espacio esla misma en cualquier punto que nos situemos.
ObservaciónUn espacio puede no tener esta propiedad!
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 4 / 28
Geometría euclídea
Las figuras se pueden “mover” o “copiar”. La geometría del espacio esla misma en cualquier punto que nos situemos.
ObservaciónUn espacio puede no tener esta propiedad!
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 4 / 28
V Postulado de Euclides
Por un punto exterior a una recta se puede trazar una y solo unaparalela
Es la perpendicular a la perpendicularAl prolongarlas, estas rectas mantienen la distanciaEquivalente: suma de los ángulos de un triángulo es de 180o
Trigonometría planaExistencia de homotecias (incluso gigantescas)
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 5 / 28
V Postulado de Euclides
Por un punto exterior a una recta se puede trazar una y solo unaparalela
Es la perpendicular a la perpendicularAl prolongarlas, estas rectas mantienen la distanciaEquivalente: suma de los ángulos de un triángulo es de 180o
Trigonometría planaExistencia de homotecias (incluso gigantescas)
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 5 / 28
V Postulado de Euclides
Por un punto exterior a una recta se puede trazar una y solo unaparalela
Es la perpendicular a la perpendicular
Al prolongarlas, estas rectas mantienen la distanciaEquivalente: suma de los ángulos de un triángulo es de 180o
Trigonometría planaExistencia de homotecias (incluso gigantescas)
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 5 / 28
V Postulado de Euclides
Por un punto exterior a una recta se puede trazar una y solo unaparalela
Es la perpendicular a la perpendicularAl prolongarlas, estas rectas mantienen la distancia
Equivalente: suma de los ángulos de un triángulo es de 180o
Trigonometría planaExistencia de homotecias (incluso gigantescas)
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 5 / 28
V Postulado de Euclides
Por un punto exterior a una recta se puede trazar una y solo unaparalela
Es la perpendicular a la perpendicularAl prolongarlas, estas rectas mantienen la distanciaEquivalente: suma de los ángulos de un triángulo es de 180o
Trigonometría planaExistencia de homotecias (incluso gigantescas)
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 5 / 28
V Postulado de Euclides
Por un punto exterior a una recta se puede trazar una y solo unaparalela
Es la perpendicular a la perpendicularAl prolongarlas, estas rectas mantienen la distanciaEquivalente: suma de los ángulos de un triángulo es de 180o
Trigonometría plana
Existencia de homotecias (incluso gigantescas)
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 5 / 28
V Postulado de Euclides
Por un punto exterior a una recta se puede trazar una y solo unaparalela
Es la perpendicular a la perpendicularAl prolongarlas, estas rectas mantienen la distanciaEquivalente: suma de los ángulos de un triángulo es de 180o
Trigonometría planaExistencia de homotecias (incluso gigantescas)
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 5 / 28
V Postulado de Euclides
Los matemáticos estuvieron intentando desde entonces por:Demostrar el V Postulado, es decir, concluir que se deducía de losdemás
Refutar el V Postulado, es decir, partiendo del resto de axiomas yañadiendo “el V Postulado es falso”, construir una geometríacoherente
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 6 / 28
V Postulado de Euclides
Los matemáticos estuvieron intentando desde entonces por:Demostrar el V Postulado, es decir, concluir que se deducía de losdemásRefutar el V Postulado, es decir, partiendo del resto de axiomas yañadiendo “el V Postulado es falso”, construir una geometríacoherente
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 6 / 28
V Postulado de Euclides
Los matemáticos estuvieron intentando desde entonces por:Demostrar el V Postulado, es decir, concluir que se deducía de losdemásRefutar el V Postulado, es decir, partiendo del resto de axiomas yañadiendo “el V Postulado es falso”, construir una geometríacoherente
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 6 / 28
V Postulado de Euclides
Los matemáticos estuvieron intentando desde entonces por:Demostrar el V Postulado, es decir, concluir que se deducía de losdemásRefutar el V Postulado, es decir, partiendo del resto de axiomas yañadiendo “el V Postulado es falso”, construir una geometríacoherente
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 6 / 28
Geometría esférica
Estudiada desde la antigüedad, útil para posicionar puntos en elglobo terráqueo
Las “rectas” (geodésicas) son las curvas de mínima distanciaLa suma de los ángulos de un triángulo es > 180o
Trigonometría esférica
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 7 / 28
Geometría esférica
Estudiada desde la antigüedad, útil para posicionar puntos en elglobo terráqueoLas “rectas” (geodésicas) son las curvas de mínima distancia
La suma de los ángulos de un triángulo es > 180o
Trigonometría esférica
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 7 / 28
Geometría esférica
Estudiada desde la antigüedad, útil para posicionar puntos en elglobo terráqueoLas “rectas” (geodésicas) son las curvas de mínima distanciaLa suma de los ángulos de un triángulo es > 180o
Trigonometría esférica
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 7 / 28
Geometría esférica
Estudiada desde la antigüedad, útil para posicionar puntos en elglobo terráqueoLas “rectas” (geodésicas) son las curvas de mínima distanciaLa suma de los ángulos de un triángulo es > 180o
Trigonometría esférica
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 7 / 28
Geometría esférica
Cumple las condiciones para ser geometría en el sentido deEuclides
Las rectas se prolongan indefinidamente, pero vuelven al puntode partidaV Postulado es falso: no hay paralelas
Las rectas se cortan en dos puntos, pero se puede arreglar plano proyectivo (geometría elíptica)Las figuras se pueden mover
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 8 / 28
Geometría esférica
Cumple las condiciones para ser geometría en el sentido deEuclidesLas rectas se prolongan indefinidamente, pero vuelven al puntode partida
V Postulado es falso: no hay paralelas
Las rectas se cortan en dos puntos, pero se puede arreglar plano proyectivo (geometría elíptica)Las figuras se pueden mover
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 8 / 28
Geometría esférica
Cumple las condiciones para ser geometría en el sentido deEuclidesLas rectas se prolongan indefinidamente, pero vuelven al puntode partidaV Postulado es falso: no hay paralelas
Las rectas se cortan en dos puntos, pero se puede arreglar plano proyectivo (geometría elíptica)Las figuras se pueden mover
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 8 / 28
Geometría esférica
Cumple las condiciones para ser geometría en el sentido deEuclidesLas rectas se prolongan indefinidamente, pero vuelven al puntode partidaV Postulado es falso: no hay paralelas
Las rectas se cortan en dos puntos, pero se puede arreglar plano proyectivo (geometría elíptica)
Las figuras se pueden mover
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 8 / 28
Geometría esférica
Cumple las condiciones para ser geometría en el sentido deEuclidesLas rectas se prolongan indefinidamente, pero vuelven al puntode partidaV Postulado es falso: no hay paralelas
Las rectas se cortan en dos puntos, pero se puede arreglar plano proyectivo (geometría elíptica)Las figuras se pueden mover
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 8 / 28
La forma de los espacios
El plano euclídeo parte de la idea de la superficie terrestre como unplano (infinito)
Esto es cierto localmente (para una región) pero no globalmente
Hay un paso de lo local a lo global, en el que el ser humano esproclive a generalizar “al infinito”El V Postulado es un ejemplo de esta instancia
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 9 / 28
La forma de los espacios
El plano euclídeo parte de la idea de la superficie terrestre como unplano (infinito)Esto es cierto localmente (para una región) pero no globalmente
Hay un paso de lo local a lo global, en el que el ser humano esproclive a generalizar “al infinito”El V Postulado es un ejemplo de esta instancia
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 9 / 28
La forma de los espacios
El plano euclídeo parte de la idea de la superficie terrestre como unplano (infinito)Esto es cierto localmente (para una región) pero no globalmente
Hay un paso de lo local a lo global, en el que el ser humano esproclive a generalizar “al infinito”
El V Postulado es un ejemplo de esta instancia
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 9 / 28
La forma de los espacios
El plano euclídeo parte de la idea de la superficie terrestre como unplano (infinito)Esto es cierto localmente (para una región) pero no globalmente
Hay un paso de lo local a lo global, en el que el ser humano esproclive a generalizar “al infinito”El V Postulado es un ejemplo de esta instancia
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 9 / 28
Variedades
DefiniciónUn espacio E (variedad, en matemáticas) es un conjunto (espaciotopológico) en el que todo punto p ∈ E tiene un entorno U que separece (es homeomorfo) a un trozo de plano (o Rn)
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 10 / 28
Nuestro universo es una variedad de dimensión 3
Si la Tierra resultó no ser plana, el Universo ... ¿Qué forma tendrá?
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 11 / 28
Nuestro universo es una variedad de dimensión 3
Si la Tierra resultó no ser plana, el Universo ... ¿Qué forma tendrá?
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 11 / 28
Formalización de la geometría
¿Qué se puede medir?
Ejemplo: Teoría de la relatividad
Velocidad de la luz es constante c = 299.892′458 km/sLos cuerpos en movimiento se contraen (contracción de Lorentz)El tiempo se ralentiza
De hecho, en el espacio-tiempo M = E × R,lo que se puede medir es `2 − c2t2
Necesitamos:
Una variedad MUna estructura geométrica: nociones que tiene sentido medirF1,F2, . . . ,Fk
Desplazar objetos en M ?
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 12 / 28
Formalización de la geometría
¿Qué se puede medir?
Ejemplo: Teoría de la relatividad
Velocidad de la luz es constante c = 299.892′458 km/sLos cuerpos en movimiento se contraen (contracción de Lorentz)El tiempo se ralentiza
De hecho, en el espacio-tiempo M = E × R,lo que se puede medir es `2 − c2t2
Necesitamos:
Una variedad MUna estructura geométrica: nociones que tiene sentido medirF1,F2, . . . ,Fk
Desplazar objetos en M ?
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 12 / 28
Formalización de la geometría
¿Qué se puede medir?
Ejemplo: Teoría de la relatividadVelocidad de la luz es constante c = 299.892′458 km/s
Los cuerpos en movimiento se contraen (contracción de Lorentz)El tiempo se ralentiza
De hecho, en el espacio-tiempo M = E × R,lo que se puede medir es `2 − c2t2
Necesitamos:
Una variedad MUna estructura geométrica: nociones que tiene sentido medirF1,F2, . . . ,Fk
Desplazar objetos en M ?
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Formalización de la geometría
¿Qué se puede medir?
Ejemplo: Teoría de la relatividadVelocidad de la luz es constante c = 299.892′458 km/sLos cuerpos en movimiento se contraen (contracción de Lorentz)
El tiempo se ralentiza
De hecho, en el espacio-tiempo M = E × R,lo que se puede medir es `2 − c2t2
Necesitamos:
Una variedad MUna estructura geométrica: nociones que tiene sentido medirF1,F2, . . . ,Fk
Desplazar objetos en M ?
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 12 / 28
Formalización de la geometría
¿Qué se puede medir?
Ejemplo: Teoría de la relatividadVelocidad de la luz es constante c = 299.892′458 km/sLos cuerpos en movimiento se contraen (contracción de Lorentz)El tiempo se ralentiza
De hecho, en el espacio-tiempo M = E × R,lo que se puede medir es `2 − c2t2
Necesitamos:
Una variedad MUna estructura geométrica: nociones que tiene sentido medirF1,F2, . . . ,Fk
Desplazar objetos en M ?
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Formalización de la geometría
¿Qué se puede medir?
Ejemplo: Teoría de la relatividadVelocidad de la luz es constante c = 299.892′458 km/sLos cuerpos en movimiento se contraen (contracción de Lorentz)El tiempo se ralentiza
De hecho, en el espacio-tiempo M = E × R,lo que se puede medir es `2 − c2t2
Necesitamos:
Una variedad MUna estructura geométrica: nociones que tiene sentido medirF1,F2, . . . ,Fk
Desplazar objetos en M ?
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 12 / 28
Formalización de la geometría
¿Qué se puede medir?
Ejemplo: Teoría de la relatividadVelocidad de la luz es constante c = 299.892′458 km/sLos cuerpos en movimiento se contraen (contracción de Lorentz)El tiempo se ralentiza
De hecho, en el espacio-tiempo M = E × R,lo que se puede medir es `2 − c2t2
Necesitamos:
Una variedad MUna estructura geométrica: nociones que tiene sentido medirF1,F2, . . . ,Fk
Desplazar objetos en M ?
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 12 / 28
Formalización de la geometría
¿Qué se puede medir?
Ejemplo: Teoría de la relatividadVelocidad de la luz es constante c = 299.892′458 km/sLos cuerpos en movimiento se contraen (contracción de Lorentz)El tiempo se ralentiza
De hecho, en el espacio-tiempo M = E × R,lo que se puede medir es `2 − c2t2
Necesitamos:Una variedad M
Una estructura geométrica: nociones que tiene sentido medirF1,F2, . . . ,Fk
Desplazar objetos en M ?
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 12 / 28
Formalización de la geometría
¿Qué se puede medir?
Ejemplo: Teoría de la relatividadVelocidad de la luz es constante c = 299.892′458 km/sLos cuerpos en movimiento se contraen (contracción de Lorentz)El tiempo se ralentiza
De hecho, en el espacio-tiempo M = E × R,lo que se puede medir es `2 − c2t2
Necesitamos:Una variedad MUna estructura geométrica: nociones que tiene sentido medirF1,F2, . . . ,Fk
Desplazar objetos en M ?
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 12 / 28
Formalización de la geometría
¿Qué se puede medir?
Ejemplo: Teoría de la relatividadVelocidad de la luz es constante c = 299.892′458 km/sLos cuerpos en movimiento se contraen (contracción de Lorentz)El tiempo se ralentiza
De hecho, en el espacio-tiempo M = E × R,lo que se puede medir es `2 − c2t2
Necesitamos:Una variedad MUna estructura geométrica: nociones que tiene sentido medirF1,F2, . . . ,Fk
Desplazar objetos en M ?
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 12 / 28
Geometría riemanniana
La métrica riemanniana es la estructura geométrica por antonomasia
M variedadEn cada punto se pueden medir longitudes, ángulos
gp : TM × TM → R, gp(u, v) = u · v|u| =
√u · u,
θ = ∠(u, v), cos θ = u·v|u| |v |
Longitudes de curvas: `(c) =∫ b
a |c′(t)|dt
Geodésicas: curva más corta (o curva sin aceleración)Distancias: longitud de la geodésica
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 13 / 28
Geometría riemanniana
La métrica riemanniana es la estructura geométrica por antonomasia
M variedad
En cada punto se pueden medir longitudes, ángulos
gp : TM × TM → R, gp(u, v) = u · v|u| =
√u · u,
θ = ∠(u, v), cos θ = u·v|u| |v |
Longitudes de curvas: `(c) =∫ b
a |c′(t)|dt
Geodésicas: curva más corta (o curva sin aceleración)Distancias: longitud de la geodésica
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 13 / 28
Geometría riemanniana
La métrica riemanniana es la estructura geométrica por antonomasia
M variedadEn cada punto se pueden medir longitudes, ángulos
gp : TM × TM → R, gp(u, v) = u · v|u| =
√u · u,
θ = ∠(u, v), cos θ = u·v|u| |v |
Longitudes de curvas: `(c) =∫ b
a |c′(t)|dt
Geodésicas: curva más corta (o curva sin aceleración)Distancias: longitud de la geodésica
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 13 / 28
Geometría riemanniana
La métrica riemanniana es la estructura geométrica por antonomasia
M variedadEn cada punto se pueden medir longitudes, ángulos
gp : TM × TM → R, gp(u, v) = u · v|u| =
√u · u,
θ = ∠(u, v), cos θ = u·v|u| |v |
Longitudes de curvas: `(c) =∫ b
a |c′(t)|dt
Geodésicas: curva más corta (o curva sin aceleración)Distancias: longitud de la geodésica
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 13 / 28
Geometría riemanniana
La métrica riemanniana es la estructura geométrica por antonomasia
M variedadEn cada punto se pueden medir longitudes, ángulos
gp : TM × TM → R, gp(u, v) = u · v|u| =
√u · u,
θ = ∠(u, v), cos θ = u·v|u| |v |
Longitudes de curvas: `(c) =∫ b
a |c′(t)|dt
Geodésicas: curva más corta (o curva sin aceleración)
Distancias: longitud de la geodésica
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 13 / 28
Geometría riemanniana
La métrica riemanniana es la estructura geométrica por antonomasia
M variedadEn cada punto se pueden medir longitudes, ángulos
gp : TM × TM → R, gp(u, v) = u · v|u| =
√u · u,
θ = ∠(u, v), cos θ = u·v|u| |v |
Longitudes de curvas: `(c) =∫ b
a |c′(t)|dt
Geodésicas: curva más corta (o curva sin aceleración)Distancias: longitud de la geodésica
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 13 / 28
Holonomía
Se puede trasladar un vector “rígidamente” (paralelamente,inercialmente) a lo largo de una curva
Se llama holonomía Hol(M) al conjunto de todas las transformacionesque se obtienen por transporte paralelo a lo largo de curvas cerradas(lazos)Si algo es “medible”, debe ser preservado por la holonomía
La longitud es medible (en una variedad riemanniana), luegoHol(M,g) ⊂ O(n)
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 14 / 28
Holonomía
Se puede trasladar un vector “rígidamente” (paralelamente,inercialmente) a lo largo de una curva
Se llama holonomía Hol(M) al conjunto de todas las transformacionesque se obtienen por transporte paralelo a lo largo de curvas cerradas(lazos)
Si algo es “medible”, debe ser preservado por la holonomía
La longitud es medible (en una variedad riemanniana), luegoHol(M,g) ⊂ O(n)
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 14 / 28
Holonomía
Se puede trasladar un vector “rígidamente” (paralelamente,inercialmente) a lo largo de una curva
Se llama holonomía Hol(M) al conjunto de todas las transformacionesque se obtienen por transporte paralelo a lo largo de curvas cerradas(lazos)Si algo es “medible”, debe ser preservado por la holonomía
La longitud es medible (en una variedad riemanniana), luegoHol(M,g) ⊂ O(n)
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 14 / 28
Holonomía
Se puede trasladar un vector “rígidamente” (paralelamente,inercialmente) a lo largo de una curva
Se llama holonomía Hol(M) al conjunto de todas las transformacionesque se obtienen por transporte paralelo a lo largo de curvas cerradas(lazos)Si algo es “medible”, debe ser preservado por la holonomía
La longitud es medible (en una variedad riemanniana), luegoHol(M,g) ⊂ O(n)
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 14 / 28
Holonomía
Grupo ortogonal: O(n) =
A =
a11 · · · a1n...
. . ....
an1 · · · ann
|AT A = I
Ejemplo
Para la esfera, la orientación es un dato medible,Hol = SO(2) = {A|AT A = I, detA = 1}Para la banda de Möbius, la orientación no es medible, Hol = O(2)
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 15 / 28
Holonomía
Grupo ortogonal: O(n) =
A =
a11 · · · a1n...
. . ....
an1 · · · ann
|AT A = I
Ejemplo
Para la esfera, la orientación es un dato medible,Hol = SO(2) = {A|AT A = I, detA = 1}Para la banda de Möbius, la orientación no es medible, Hol = O(2)
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 15 / 28
Holonomía
Grupo ortogonal: O(n) =
A =
a11 · · · a1n...
. . ....
an1 · · · ann
|AT A = I
Ejemplo
Para la esfera, la orientación es un dato medible,Hol = SO(2) = {A|AT A = I, detA = 1}
Para la banda de Möbius, la orientación no es medible, Hol = O(2)
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 15 / 28
Holonomía
Grupo ortogonal: O(n) =
A =
a11 · · · a1n...
. . ....
an1 · · · ann
|AT A = I
Ejemplo
Para la esfera, la orientación es un dato medible,Hol = SO(2) = {A|AT A = I, detA = 1}Para la banda de Möbius, la orientación no es medible, Hol = O(2)
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 15 / 28
Geometrías
Una geometría es una estructura geométrica en la que podemoscambiar de lugar los objetos sin deformarlos (isométricamente)
Variedad riemanniana homogénea(M,g) tal que para todos p,q ∈ M, existe ϕ : B(p)→ B(q) isometría
Por tanto, la variedad se “ve” igual en todas partes. La curvatura esconstante
En el caso de superficies:
K > 0. Geometría esférica S2
K = 0. Geometría euclídea R2
K < 0. Geometría hiperbólica H2
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 16 / 28
Geometrías
Una geometría es una estructura geométrica en la que podemoscambiar de lugar los objetos sin deformarlos (isométricamente)
Variedad riemanniana homogénea(M,g) tal que para todos p,q ∈ M, existe ϕ : B(p)→ B(q) isometría
Por tanto, la variedad se “ve” igual en todas partes. La curvatura esconstante
En el caso de superficies:
K > 0. Geometría esférica S2
K = 0. Geometría euclídea R2
K < 0. Geometría hiperbólica H2
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 16 / 28
Geometrías
Una geometría es una estructura geométrica en la que podemoscambiar de lugar los objetos sin deformarlos (isométricamente)
Variedad riemanniana homogénea(M,g) tal que para todos p,q ∈ M, existe ϕ : B(p)→ B(q) isometría
Por tanto, la variedad se “ve” igual en todas partes. La curvatura esconstante
En el caso de superficies:
K > 0. Geometría esférica S2
K = 0. Geometría euclídea R2
K < 0. Geometría hiperbólica H2
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 16 / 28
Geometrías
Una geometría es una estructura geométrica en la que podemoscambiar de lugar los objetos sin deformarlos (isométricamente)
Variedad riemanniana homogénea(M,g) tal que para todos p,q ∈ M, existe ϕ : B(p)→ B(q) isometría
Por tanto, la variedad se “ve” igual en todas partes. La curvatura esconstante
En el caso de superficies:
K > 0. Geometría esférica S2
K = 0. Geometría euclídea R2
K < 0. Geometría hiperbólica H2
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 16 / 28
Geometrías
Una geometría es una estructura geométrica en la que podemoscambiar de lugar los objetos sin deformarlos (isométricamente)
Variedad riemanniana homogénea(M,g) tal que para todos p,q ∈ M, existe ϕ : B(p)→ B(q) isometría
Por tanto, la variedad se “ve” igual en todas partes. La curvatura esconstante
En el caso de superficies:
K > 0. Geometría esférica S2
K = 0. Geometría euclídea R2
K < 0. Geometría hiperbólica H2
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 16 / 28
Geometrías
Una geometría es una estructura geométrica en la que podemoscambiar de lugar los objetos sin deformarlos (isométricamente)
Variedad riemanniana homogénea(M,g) tal que para todos p,q ∈ M, existe ϕ : B(p)→ B(q) isometría
Por tanto, la variedad se “ve” igual en todas partes. La curvatura esconstante
En el caso de superficies:
K > 0. Geometría esférica S2
K = 0. Geometría euclídea R2
K < 0. Geometría hiperbólica H2
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 16 / 28
Geometrías
Una geometría es una estructura geométrica en la que podemoscambiar de lugar los objetos sin deformarlos (isométricamente)
Variedad riemanniana homogénea(M,g) tal que para todos p,q ∈ M, existe ϕ : B(p)→ B(q) isometría
Por tanto, la variedad se “ve” igual en todas partes. La curvatura esconstante
En el caso de superficies:
K > 0. Geometría esférica S2
K = 0. Geometría euclídea R2
K < 0. Geometría hiperbólica H2
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 16 / 28
Geometría no-euclídea
En la geometría hiperbólica:Por un punto exterior a una recta hay infinitas paralelas (no secumple el V Postulado)
La suma de ángulos de un triángulo es < 180o
Trigonometría hiperbólica
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 17 / 28
Geometría no-euclídea
En la geometría hiperbólica:Por un punto exterior a una recta hay infinitas paralelas (no secumple el V Postulado)La suma de ángulos de un triángulo es < 180o
Trigonometría hiperbólica
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 17 / 28
Geometría no-euclídea
En la geometría hiperbólica:Por un punto exterior a una recta hay infinitas paralelas (no secumple el V Postulado)La suma de ángulos de un triángulo es < 180o
Trigonometría hiperbólica
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 17 / 28
Geometrías
G = Isom(M) ⊂ O(n) es un grupo de Lie (subgrupo de matrices)
H = {ϕ ∈ G|ϕ(p0) = p0}M ∼= G/H espacio cociente, ϕ ∈ G/H 7→ ϕ(p0) ∈ M
GeometríaVariedad M tal que para todo p ∈ M hay un homeomorfismo
B(p)∼=−→ U ⊂ G/H
Las figuras se pueden mover con los elementos de G
EjemploGeometrías de Thurston en dimensión 8S3,R3,H3,S2 × R,H2 × R,Nil,Sol, S̃L(2,R)
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 18 / 28
Geometrías
G = Isom(M) ⊂ O(n) es un grupo de Lie (subgrupo de matrices)H = {ϕ ∈ G|ϕ(p0) = p0}
M ∼= G/H espacio cociente, ϕ ∈ G/H 7→ ϕ(p0) ∈ M
GeometríaVariedad M tal que para todo p ∈ M hay un homeomorfismo
B(p)∼=−→ U ⊂ G/H
Las figuras se pueden mover con los elementos de G
EjemploGeometrías de Thurston en dimensión 8S3,R3,H3,S2 × R,H2 × R,Nil,Sol, S̃L(2,R)
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 18 / 28
Geometrías
G = Isom(M) ⊂ O(n) es un grupo de Lie (subgrupo de matrices)H = {ϕ ∈ G|ϕ(p0) = p0}M ∼= G/H espacio cociente, ϕ ∈ G/H 7→ ϕ(p0) ∈ M
GeometríaVariedad M tal que para todo p ∈ M hay un homeomorfismo
B(p)∼=−→ U ⊂ G/H
Las figuras se pueden mover con los elementos de G
EjemploGeometrías de Thurston en dimensión 8S3,R3,H3,S2 × R,H2 × R,Nil,Sol, S̃L(2,R)
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 18 / 28
Geometrías
G = Isom(M) ⊂ O(n) es un grupo de Lie (subgrupo de matrices)H = {ϕ ∈ G|ϕ(p0) = p0}M ∼= G/H espacio cociente, ϕ ∈ G/H 7→ ϕ(p0) ∈ M
GeometríaVariedad M tal que para todo p ∈ M hay un homeomorfismo
B(p)∼=−→ U ⊂ G/H
Las figuras se pueden mover con los elementos de G
EjemploGeometrías de Thurston en dimensión 8S3,R3,H3,S2 × R,H2 × R,Nil,Sol, S̃L(2,R)
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 18 / 28
Geometrías
G = Isom(M) ⊂ O(n) es un grupo de Lie (subgrupo de matrices)H = {ϕ ∈ G|ϕ(p0) = p0}M ∼= G/H espacio cociente, ϕ ∈ G/H 7→ ϕ(p0) ∈ M
GeometríaVariedad M tal que para todo p ∈ M hay un homeomorfismo
B(p)∼=−→ U ⊂ G/H
Las figuras se pueden mover con los elementos de G
EjemploGeometrías de Thurston en dimensión 8S3,R3,H3,S2 × R,H2 × R,Nil,Sol, S̃L(2,R)
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 18 / 28
Geometrías
G = Isom(M) ⊂ O(n) es un grupo de Lie (subgrupo de matrices)H = {ϕ ∈ G|ϕ(p0) = p0}M ∼= G/H espacio cociente, ϕ ∈ G/H 7→ ϕ(p0) ∈ M
GeometríaVariedad M tal que para todo p ∈ M hay un homeomorfismo
B(p)∼=−→ U ⊂ G/H
Las figuras se pueden mover con los elementos de G
EjemploGeometrías de Thurston en dimensión 8S3,R3,H3,S2 × R,H2 × R,Nil,Sol, S̃L(2,R)
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 18 / 28
Variedades complejas
Sea F (x , y) = 0 un polinomio con x , y ∈ C
y2 = (x − λ1)(x − λ2)(x − λ3)
Al ser x , y ∈ C hay una parte “imaginaria” que no se ve en el dibujox = a + i b ∈ C ⇐⇒ (a,b) ∈ R2. Por tanto, C tiene dos dimensiones
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 19 / 28
Variedades complejas
Sea F (x , y) = 0 un polinomio con x , y ∈ C
y2 = (x − λ1)(x − λ2)(x − λ3)
Al ser x , y ∈ C hay una parte “imaginaria” que no se ve en el dibujox = a + i b ∈ C ⇐⇒ (a,b) ∈ R2. Por tanto, C tiene dos dimensiones
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 19 / 28
Variedades complejas
Sea F (x , y) = 0 un polinomio con x , y ∈ C
y2 = (x − λ1)(x − λ2)(x − λ3)
Al ser x , y ∈ C hay una parte “imaginaria” que no se ve en el dibujo
x = a + i b ∈ C ⇐⇒ (a,b) ∈ R2. Por tanto, C tiene dos dimensiones
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 19 / 28
Variedades complejas
Sea F (x , y) = 0 un polinomio con x , y ∈ C
y2 = (x − λ1)(x − λ2)(x − λ3)
Al ser x , y ∈ C hay una parte “imaginaria” que no se ve en el dibujox = a + i b ∈ C ⇐⇒ (a,b) ∈ R2. Por tanto, C tiene dos dimensiones
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 19 / 28
Variedades complejas
Sea F (x , y) = 0 un polinomio con x , y ∈ C
y2 = (x − λ1)(x − λ2)(x − λ3)
Al ser x , y ∈ C hay una parte “imaginaria” que no se ve en el dibujox = a + i b ∈ C ⇐⇒ (a,b) ∈ R2. Por tanto, C tiene dos dimensiones
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 19 / 28
Variedades complejas
Variedad compleja. Las cartas toman valores en Cd
(z1, . . . , zd) ∈ Cd ⇐⇒ (x1, y1, . . . , xd , yd) ∈ R2d
zj = xj + i yj , j = 1, . . . ,d
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 20 / 28
Variedades complejas
En un variedad compleja, tenemos I : TM → TM, I(v) = i v , conI2 = −id, llamada estructura compleja
Variedad de Kähler. Hay una métrica compatibleg(Iu, Iv) = g(u, v)El transporte paralelo preserva I
Hol(M) = U(n) =
A =
z11 · · · z1n...
. . ....
zn1 · · · znn
|zij ∈ C,ATA = I
ω(u, v) = g(u, Iv) es antisimétrica. Es una 2-forma
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 21 / 28
Variedades complejas
En un variedad compleja, tenemos I : TM → TM, I(v) = i v , conI2 = −id, llamada estructura compleja
Variedad de Kähler. Hay una métrica compatibleg(Iu, Iv) = g(u, v)El transporte paralelo preserva I
Hol(M) = U(n) =
A =
z11 · · · z1n...
. . ....
zn1 · · · znn
|zij ∈ C,ATA = I
ω(u, v) = g(u, Iv) es antisimétrica. Es una 2-forma
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 21 / 28
Variedades complejas
En un variedad compleja, tenemos I : TM → TM, I(v) = i v , conI2 = −id, llamada estructura compleja
Variedad de Kähler. Hay una métrica compatibleg(Iu, Iv) = g(u, v)El transporte paralelo preserva I
Hol(M) = U(n) =
A =
z11 · · · z1n...
. . ....
zn1 · · · znn
|zij ∈ C,ATA = I
ω(u, v) = g(u, Iv) es antisimétrica. Es una 2-forma
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 21 / 28
Variedades complejas
En un variedad compleja, tenemos I : TM → TM, I(v) = i v , conI2 = −id, llamada estructura compleja
Variedad de Kähler. Hay una métrica compatibleg(Iu, Iv) = g(u, v)El transporte paralelo preserva I
Hol(M) = U(n) =
A =
z11 · · · z1n...
. . ....
zn1 · · · znn
|zij ∈ C,ATA = I
ω(u, v) = g(u, Iv) es antisimétrica. Es una 2-forma
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 21 / 28
Otras estructuras geométricas
Geometría simpléctica(M, ω), ω : TM × TM → R antisimétrica2-forma con dω = 0
G = Symp(R2n)Permite medir áreas pero no longitudes
Geometría conforme(M, [g]), [g1] = [g2] ⇐⇒ g1 = f · g2, f > 0G = Conf(R2n) = R · O(n)Permite medir ángulos pero no longitudes
Geometría de Lorentz (relatividad)
(M,h), h = g − c2dt2
G = O(n,1)
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 22 / 28
Otras estructuras geométricas
Geometría simpléctica(M, ω), ω : TM × TM → R antisimétrica2-forma con dω = 0
G = Symp(R2n)Permite medir áreas pero no longitudes
Geometría conforme(M, [g]), [g1] = [g2] ⇐⇒ g1 = f · g2, f > 0G = Conf(R2n) = R · O(n)Permite medir ángulos pero no longitudes
Geometría de Lorentz (relatividad)
(M,h), h = g − c2dt2
G = O(n,1)
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 22 / 28
Otras estructuras geométricas
Geometría simpléctica(M, ω), ω : TM × TM → R antisimétrica2-forma con dω = 0G = Symp(R2n)
Permite medir áreas pero no longitudes
Geometría conforme(M, [g]), [g1] = [g2] ⇐⇒ g1 = f · g2, f > 0G = Conf(R2n) = R · O(n)Permite medir ángulos pero no longitudes
Geometría de Lorentz (relatividad)
(M,h), h = g − c2dt2
G = O(n,1)
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 22 / 28
Otras estructuras geométricas
Geometría simpléctica(M, ω), ω : TM × TM → R antisimétrica2-forma con dω = 0G = Symp(R2n)Permite medir áreas pero no longitudes
Geometría conforme(M, [g]), [g1] = [g2] ⇐⇒ g1 = f · g2, f > 0G = Conf(R2n) = R · O(n)Permite medir ángulos pero no longitudes
Geometría de Lorentz (relatividad)
(M,h), h = g − c2dt2
G = O(n,1)
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 22 / 28
Otras estructuras geométricas
Geometría simpléctica(M, ω), ω : TM × TM → R antisimétrica2-forma con dω = 0G = Symp(R2n)Permite medir áreas pero no longitudes
Geometría conforme(M, [g]), [g1] = [g2] ⇐⇒ g1 = f · g2, f > 0
G = Conf(R2n) = R · O(n)Permite medir ángulos pero no longitudes
Geometría de Lorentz (relatividad)
(M,h), h = g − c2dt2
G = O(n,1)
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 22 / 28
Otras estructuras geométricas
Geometría simpléctica(M, ω), ω : TM × TM → R antisimétrica2-forma con dω = 0G = Symp(R2n)Permite medir áreas pero no longitudes
Geometría conforme(M, [g]), [g1] = [g2] ⇐⇒ g1 = f · g2, f > 0
G = Conf(R2n) = R · O(n)Permite medir ángulos pero no longitudes
Geometría de Lorentz (relatividad)
(M,h), h = g − c2dt2
G = O(n,1)
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 22 / 28
Otras estructuras geométricas
Geometría simpléctica(M, ω), ω : TM × TM → R antisimétrica2-forma con dω = 0G = Symp(R2n)Permite medir áreas pero no longitudes
Geometría conforme(M, [g]), [g1] = [g2] ⇐⇒ g1 = f · g2, f > 0G = Conf(R2n) = R · O(n)
Permite medir ángulos pero no longitudes
Geometría de Lorentz (relatividad)
(M,h), h = g − c2dt2
G = O(n,1)
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 22 / 28
Otras estructuras geométricas
Geometría simpléctica(M, ω), ω : TM × TM → R antisimétrica2-forma con dω = 0G = Symp(R2n)Permite medir áreas pero no longitudes
Geometría conforme(M, [g]), [g1] = [g2] ⇐⇒ g1 = f · g2, f > 0G = Conf(R2n) = R · O(n)Permite medir ángulos pero no longitudes
Geometría de Lorentz (relatividad)
(M,h), h = g − c2dt2
G = O(n,1)
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 22 / 28
Otras estructuras geométricas
Geometría simpléctica(M, ω), ω : TM × TM → R antisimétrica2-forma con dω = 0G = Symp(R2n)Permite medir áreas pero no longitudes
Geometría conforme(M, [g]), [g1] = [g2] ⇐⇒ g1 = f · g2, f > 0G = Conf(R2n) = R · O(n)Permite medir ángulos pero no longitudes
Geometría de Lorentz (relatividad)
(M,h), h = g − c2dt2
G = O(n,1)
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 22 / 28
Otras estructuras geométricas
Geometría simpléctica(M, ω), ω : TM × TM → R antisimétrica2-forma con dω = 0G = Symp(R2n)Permite medir áreas pero no longitudes
Geometría conforme(M, [g]), [g1] = [g2] ⇐⇒ g1 = f · g2, f > 0G = Conf(R2n) = R · O(n)Permite medir ángulos pero no longitudes
Geometría de Lorentz (relatividad)
(M,h), h = g − c2dt2
G = O(n,1)
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 22 / 28
Otras estructuras geométricas
Geometría simpléctica(M, ω), ω : TM × TM → R antisimétrica2-forma con dω = 0G = Symp(R2n)Permite medir áreas pero no longitudes
Geometría conforme(M, [g]), [g1] = [g2] ⇐⇒ g1 = f · g2, f > 0G = Conf(R2n) = R · O(n)Permite medir ángulos pero no longitudes
Geometría de Lorentz (relatividad)
(M,h), h = g − c2dt2
G = O(n,1)
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 22 / 28
Posibles holonomías
Teorema (Berger, 1955)Sea (M,g) variedad riemanniana. Si M no es un producto devariedades de dimensiones menores,
ni un espacio simétrico,entonces:
Hol0(M) = SO(n), dimensión nHol0(M) = U(n), dimensión 2n. KählerHol0(M) = SU(n), dimensión 2n. Calabi-YauHol0(M) = Sp(n), dimensión 4n. Hiper-KählerHol0(M) = Sp(n) · Sp(1), dimensión 4n. Cuaterniónica-KählerHol0(M) = G2, dimensión 7Hol0(M) = Spin(7), dimensión 8
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 23 / 28
Posibles holonomías
Teorema (Berger, 1955)Sea (M,g) variedad riemanniana. Si M no es un producto devariedades de dimensiones menores,
ni un espacio simétrico,entonces:
Hol0(M) = SO(n), dimensión nHol0(M) = U(n), dimensión 2n. KählerHol0(M) = SU(n), dimensión 2n. Calabi-YauHol0(M) = Sp(n), dimensión 4n. Hiper-KählerHol0(M) = Sp(n) · Sp(1), dimensión 4n. Cuaterniónica-KählerHol0(M) = G2, dimensión 7Hol0(M) = Spin(7), dimensión 8
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 23 / 28
Posibles holonomías
Teorema (Berger, 1955)Sea (M,g) variedad riemanniana. Si M no es un producto devariedades de dimensiones menores, ni un espacio simétrico,
entonces:
Hol0(M) = SO(n), dimensión nHol0(M) = U(n), dimensión 2n. KählerHol0(M) = SU(n), dimensión 2n. Calabi-YauHol0(M) = Sp(n), dimensión 4n. Hiper-KählerHol0(M) = Sp(n) · Sp(1), dimensión 4n. Cuaterniónica-KählerHol0(M) = G2, dimensión 7Hol0(M) = Spin(7), dimensión 8
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 23 / 28
Posibles holonomías
Teorema (Berger, 1955)Sea (M,g) variedad riemanniana. Si M no es un producto devariedades de dimensiones menores, ni un espacio simétrico,entonces:
Hol0(M) = SO(n), dimensión n
Hol0(M) = U(n), dimensión 2n. KählerHol0(M) = SU(n), dimensión 2n. Calabi-YauHol0(M) = Sp(n), dimensión 4n. Hiper-KählerHol0(M) = Sp(n) · Sp(1), dimensión 4n. Cuaterniónica-KählerHol0(M) = G2, dimensión 7Hol0(M) = Spin(7), dimensión 8
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 23 / 28
Posibles holonomías
Teorema (Berger, 1955)Sea (M,g) variedad riemanniana. Si M no es un producto devariedades de dimensiones menores, ni un espacio simétrico,entonces:
Hol0(M) = SO(n), dimensión nHol0(M) = U(n), dimensión 2n. Kähler
Hol0(M) = SU(n), dimensión 2n. Calabi-YauHol0(M) = Sp(n), dimensión 4n. Hiper-KählerHol0(M) = Sp(n) · Sp(1), dimensión 4n. Cuaterniónica-KählerHol0(M) = G2, dimensión 7Hol0(M) = Spin(7), dimensión 8
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 23 / 28
Posibles holonomías
Teorema (Berger, 1955)Sea (M,g) variedad riemanniana. Si M no es un producto devariedades de dimensiones menores, ni un espacio simétrico,entonces:
Hol0(M) = SO(n), dimensión nHol0(M) = U(n), dimensión 2n. KählerHol0(M) = SU(n), dimensión 2n. Calabi-Yau
Hol0(M) = Sp(n), dimensión 4n. Hiper-KählerHol0(M) = Sp(n) · Sp(1), dimensión 4n. Cuaterniónica-KählerHol0(M) = G2, dimensión 7Hol0(M) = Spin(7), dimensión 8
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 23 / 28
Posibles holonomías
Teorema (Berger, 1955)Sea (M,g) variedad riemanniana. Si M no es un producto devariedades de dimensiones menores, ni un espacio simétrico,entonces:
Hol0(M) = SO(n), dimensión nHol0(M) = U(n), dimensión 2n. KählerHol0(M) = SU(n), dimensión 2n. Calabi-YauHol0(M) = Sp(n), dimensión 4n. Hiper-Kähler
Hol0(M) = Sp(n) · Sp(1), dimensión 4n. Cuaterniónica-KählerHol0(M) = G2, dimensión 7Hol0(M) = Spin(7), dimensión 8
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 23 / 28
Posibles holonomías
Teorema (Berger, 1955)Sea (M,g) variedad riemanniana. Si M no es un producto devariedades de dimensiones menores, ni un espacio simétrico,entonces:
Hol0(M) = SO(n), dimensión nHol0(M) = U(n), dimensión 2n. KählerHol0(M) = SU(n), dimensión 2n. Calabi-YauHol0(M) = Sp(n), dimensión 4n. Hiper-KählerHol0(M) = Sp(n) · Sp(1), dimensión 4n. Cuaterniónica-Kähler
Hol0(M) = G2, dimensión 7Hol0(M) = Spin(7), dimensión 8
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 23 / 28
Posibles holonomías
Teorema (Berger, 1955)Sea (M,g) variedad riemanniana. Si M no es un producto devariedades de dimensiones menores, ni un espacio simétrico,entonces:
Hol0(M) = SO(n), dimensión nHol0(M) = U(n), dimensión 2n. KählerHol0(M) = SU(n), dimensión 2n. Calabi-YauHol0(M) = Sp(n), dimensión 4n. Hiper-KählerHol0(M) = Sp(n) · Sp(1), dimensión 4n. Cuaterniónica-KählerHol0(M) = G2, dimensión 7
Hol0(M) = Spin(7), dimensión 8
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Posibles holonomías
Teorema (Berger, 1955)Sea (M,g) variedad riemanniana. Si M no es un producto devariedades de dimensiones menores, ni un espacio simétrico,entonces:
Hol0(M) = SO(n), dimensión nHol0(M) = U(n), dimensión 2n. KählerHol0(M) = SU(n), dimensión 2n. Calabi-YauHol0(M) = Sp(n), dimensión 4n. Hiper-KählerHol0(M) = Sp(n) · Sp(1), dimensión 4n. Cuaterniónica-KählerHol0(M) = G2, dimensión 7Hol0(M) = Spin(7), dimensión 8
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 23 / 28
Variedad Hiper-Kähler
CuaternionesH = {a + bi + cj + dk |a,b, c,d ∈ R} = R4
i2 = −1, j2 = −1, k2 = −1ij = k , jk = i , ki = j , ji = −k , kj = −i , ik = −j
H es asociativo, no conmutativo
Sp(n) =
A =
q11 · · · q1n...
. . ....
qn1 · · · qnn
|qij ∈ H,ATA = I
En una variedad hiper-Kähler, Hol(M) = Sp(n)cada TM tiene I, J,K, estructura cuaterniónica
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 24 / 28
Variedad Hiper-Kähler
CuaternionesH = {a + bi + cj + dk |a,b, c,d ∈ R} = R4
i2 = −1, j2 = −1, k2 = −1ij = k , jk = i , ki = j , ji = −k , kj = −i , ik = −j
H es asociativo, no conmutativo
Sp(n) =
A =
q11 · · · q1n...
. . ....
qn1 · · · qnn
|qij ∈ H,ATA = I
En una variedad hiper-Kähler, Hol(M) = Sp(n)cada TM tiene I, J,K, estructura cuaterniónica
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Variedad Hiper-Kähler
CuaternionesH = {a + bi + cj + dk |a,b, c,d ∈ R} = R4
i2 = −1, j2 = −1, k2 = −1ij = k , jk = i , ki = j , ji = −k , kj = −i , ik = −j
H es asociativo, no conmutativo
Sp(n) =
A =
q11 · · · q1n...
. . ....
qn1 · · · qnn
|qij ∈ H,ATA = I
En una variedad hiper-Kähler, Hol(M) = Sp(n)cada TM tiene I, J,K, estructura cuaterniónica
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Variedad Hiper-Kähler
CuaternionesH = {a + bi + cj + dk |a,b, c,d ∈ R} = R4
i2 = −1, j2 = −1, k2 = −1ij = k , jk = i , ki = j , ji = −k , kj = −i , ik = −j
H es asociativo, no conmutativo
Sp(n) =
A =
q11 · · · q1n...
. . ....
qn1 · · · qnn
|qij ∈ H,ATA = I
En una variedad hiper-Kähler, Hol(M) = Sp(n)cada TM tiene I, J,K, estructura cuaterniónica
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Variedad Hiper-Kähler
CuaternionesH = {a + bi + cj + dk |a,b, c,d ∈ R} = R4
i2 = −1, j2 = −1, k2 = −1ij = k , jk = i , ki = j , ji = −k , kj = −i , ik = −j
H es asociativo, no conmutativo
Sp(n) =
A =
q11 · · · q1n...
. . ....
qn1 · · · qnn
|qij ∈ H,ATA = I
En una variedad hiper-Kähler, Hol(M) = Sp(n)cada TM tiene I, J,K, estructura cuaterniónica
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Geometrías excepcionales
OctonionesO = {a+bi+cj+dk+αe+βei+γej+δek |a,b, c,d , α, β, γ, δ ∈ R} = R8
e2 = −1
O no es asociativo
No se puede duplicar más veces
Aut(O) = G2 < SO(R7)
Spin(7) < SO(R8), versión de Aut(O) que permite mover la unidad 1
Las variedades con holonomía G2,Spin(7) tienen ciertos tensoresinvariantes (3-formas, 4-formas, productos mixtos, etc)Se investigan mucho en la actualidad
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 25 / 28
Geometrías excepcionales
OctonionesO = {a+bi+cj+dk+αe+βei+γej+δek |a,b, c,d , α, β, γ, δ ∈ R} = R8
e2 = −1
O no es asociativo
No se puede duplicar más veces
Aut(O) = G2 < SO(R7)
Spin(7) < SO(R8), versión de Aut(O) que permite mover la unidad 1
Las variedades con holonomía G2,Spin(7) tienen ciertos tensoresinvariantes (3-formas, 4-formas, productos mixtos, etc)Se investigan mucho en la actualidad
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 25 / 28
Geometrías excepcionales
OctonionesO = {a+bi+cj+dk+αe+βei+γej+δek |a,b, c,d , α, β, γ, δ ∈ R} = R8
e2 = −1
O no es asociativo
No se puede duplicar más veces
Aut(O) = G2 < SO(R7)
Spin(7) < SO(R8), versión de Aut(O) que permite mover la unidad 1
Las variedades con holonomía G2,Spin(7) tienen ciertos tensoresinvariantes (3-formas, 4-formas, productos mixtos, etc)Se investigan mucho en la actualidad
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Geometrías excepcionales
OctonionesO = {a+bi+cj+dk+αe+βei+γej+δek |a,b, c,d , α, β, γ, δ ∈ R} = R8
e2 = −1
O no es asociativo
No se puede duplicar más veces
Aut(O) = G2 < SO(R7)
Spin(7) < SO(R8), versión de Aut(O) que permite mover la unidad 1
Las variedades con holonomía G2,Spin(7) tienen ciertos tensoresinvariantes (3-formas, 4-formas, productos mixtos, etc)Se investigan mucho en la actualidad
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Geometrías excepcionales
OctonionesO = {a+bi+cj+dk+αe+βei+γej+δek |a,b, c,d , α, β, γ, δ ∈ R} = R8
e2 = −1
O no es asociativo
No se puede duplicar más veces
Aut(O) = G2 < SO(R7)
Spin(7) < SO(R8), versión de Aut(O) que permite mover la unidad 1
Las variedades con holonomía G2,Spin(7) tienen ciertos tensoresinvariantes (3-formas, 4-formas, productos mixtos, etc)Se investigan mucho en la actualidad
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 25 / 28
Teoría de cuerdas
Teoría física que intenta unificar las 4 fuerzas de la naturaleza(gravedad, electro-magnetismo, interacción débil, interacción fuerte)
Dificultad: integrar efectos cuánticos con la gravedad
La teoría de cuerdas supone que las partículas son pequeñas cuerdasque vibran y sus estados vibracionales determinan las fuerzas
Super-cuerdas se refiere a la unificación de bosones y fermiones
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 26 / 28
Teoría de cuerdas
Teoría física que intenta unificar las 4 fuerzas de la naturaleza(gravedad, electro-magnetismo, interacción débil, interacción fuerte)Dificultad: integrar efectos cuánticos con la gravedad
La teoría de cuerdas supone que las partículas son pequeñas cuerdasque vibran y sus estados vibracionales determinan las fuerzas
Super-cuerdas se refiere a la unificación de bosones y fermiones
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 26 / 28
Teoría de cuerdas
Teoría física que intenta unificar las 4 fuerzas de la naturaleza(gravedad, electro-magnetismo, interacción débil, interacción fuerte)Dificultad: integrar efectos cuánticos con la gravedad
La teoría de cuerdas supone que las partículas son pequeñas cuerdasque vibran y sus estados vibracionales determinan las fuerzas
Super-cuerdas se refiere a la unificación de bosones y fermiones
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 26 / 28
Teoría de cuerdas
Teoría física que intenta unificar las 4 fuerzas de la naturaleza(gravedad, electro-magnetismo, interacción débil, interacción fuerte)Dificultad: integrar efectos cuánticos con la gravedad
La teoría de cuerdas supone que las partículas son pequeñas cuerdasque vibran y sus estados vibracionales determinan las fuerzas
Super-cuerdas se refiere a la unificación de bosones y fermiones
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 26 / 28
Teoría de cuerdas
La teoría necesita de variedades de dimensiones grandes
En general M = E ×S, donde E es un espacio-tiempo (4-dimensional)y S es una variedad con holonomía especial (Calabi-Yau, G2,variedades complejas, variedades simplécticas, etc)
La teoría M propuesta por Witten unifica las teorías de cuerdasrequiere M de dimensión 11
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 27 / 28
Teoría de cuerdas
La teoría necesita de variedades de dimensiones grandes
En general M = E ×S, donde E es un espacio-tiempo (4-dimensional)y S es una variedad con holonomía especial (Calabi-Yau, G2,variedades complejas, variedades simplécticas, etc)
La teoría M propuesta por Witten unifica las teorías de cuerdasrequiere M de dimensión 11
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 27 / 28
Teoría de cuerdas
La teoría necesita de variedades de dimensiones grandes
En general M = E ×S, donde E es un espacio-tiempo (4-dimensional)y S es una variedad con holonomía especial (Calabi-Yau, G2,variedades complejas, variedades simplécticas, etc)
La teoría M propuesta por Witten unifica las teorías de cuerdasrequiere M de dimensión 11
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 27 / 28
Estructuras geométricas
Gracias por la atención!
Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 28 / 28