Modelación de Variograma y Kriging Ordinario Geoestadística

Sara Amigo S. 18 de noviembre de 2015

1

Contenido Introducción ........................................................................................................................................ 2

Mapa de isolíneas: Ley de Molibdeno................................................................................................. 3

Mapa de isolíneas: Espesor ................................................................................................................. 4

Estimación de la cantidad de tonelaje en el sector............................................................................. 5

Inverso a la distancia ........................................................................................................................... 9

Variogramas Experimentales ............................................................................................................ 11

Kriging ordinario ................................................................................................................................ 14

Conclusiones ..................................................................................................................................... 16

2

Introducción

La geoestadística es una rama de la estadística aplicada que se especializa en el análisis y la modelación de la variabilidad espacial en ciencias de la tierra. Su objeto de estudio es el análisis y la predicción de fenómenos en espacio y/o tiempo, tales como: ley de metales, porosidades, concentraciones de un contaminante, etc. Aunque el prefijo geo- es usualmente asociado con geología, sin embargo la geoestadística tiene sus orígenes en la minería. Por otro lado, el Kriging ordinario es un método geoestadístico de estimación de puntos, que utiliza un modelo de variograma para la obtención de los ponderadores que se darán a cada punto de referencias usadas en la estimación. Esta técnica de interpolación se basa en la premisa de que la variación espacial continúa con el mismo patrón. Fue desarrollada inicialmente por Danie G. Krige a partir del análisis de regresión entre muestras y bloques de mena, las cuales fijaron la base de la geoestadística lineal. En el presente trabajo elaboraré una estimación de la ley de molibdeno (Mo) muestreadas en menas de molibdenita (MoS) en un sector en particular. El método Inverso de la distancia es similar al Kriging ordinario, ya que considera a los valores cercanos a un punto, pero a su vez posee una menor complejidad del cálculo. El Inverso de la distancia utiliza un formula simple basado en distancias.

3

Mapa de isolíneas: Ley de Molibdeno.

A través de un block de notas con una tabla del Este, Norte y Ley obtenemos un mapa de isolíneas

escogiendo MBA.

Este [m] Norte [m] Ley Mo [gr/ton]

0 0 100

10 0 130

20 0 120

30 0 140

0 10 120

20 10 150

30 10 150

0 20 90

10 20 110

20 20 130

0 30 90

10 30 130

30 30 140

4

Mapa de isolíneas: Espesor

Análogamente obtenemos el mapa del espesor.

Este [m] Norte [m] Espesor[m]

0 0 8

10 0 9

20 0 11

30 0 9

0 10 7

20 10 10

30 10 8

0 20 9

10 20 10

20 20 9

0 30 9

10 30 12

30 30 11

5

Estimación de la cantidad de tonelaje en el sector.

Mediante triangulaciones calculamos el área del sector y con el espesor obtenemos un volumen.

Tenemos las siguientes triangulaciones:

Triángulo Muestra Este [m] Norte[m] Espesor [m] Ley Mo [gr/ton] Área Volumen[m3]

1_2_5 1 0 0 8 100 50 433,3

2 10 0 11 120

5 0 10 7 120

0 0 8,7

Triángulo Muestra Este [m] Norte[m] Espesor [m] Ley Mo [gr/ton] Área Volumen[m3]

5_2_9 5 0 10 7 120 100 866,7

2 10 0 9 130

9 10 20 10 110

0 10 8,7

1 2 3 4

5 6 7

8 9 10

11 12 13

0

5

10

15

20

25

30

35

0 5 10 15 20 25 30 35

Gráfico Este-Norte

6

Triángulo Muestra Este [m] Norte[m] Espesor [m] Ley Mo [gr/ton] Área[m2] Volumen[m3]

5_9_8 5 0 10 7 120 50 433,3

9 10 20 10 110

8 0 20 9 90

0 10 8,7

Triángulo Muestra Este [m] Norte[m] Espesor [m] Ley Mo [gr/ton] Área[m2] Volumen[m3]

8_9_12 8 0 20 9 90 50 516,7

9 10 20 10 110

12 10 30 12 130

0 20 10,3

Triángulo Muestra Este [m] Norte[m] Espesor [m] Ley Mo [gr/ton] Área Volumen[m3]

8_11_12 8 0 20 9 90 50 450,0

11 0 30 9 90

12 10 30 12 130

20 9 103,3

Triángulo Muestra Este [m] Norte[m] Espesor [m] Ley Mo [gr/ton] Área[m2] Volumen

10_12_13 10 20 20 9 130 100 1066,7

12 10 30 12 130

13 30 30 11 140

20 20 10,7

Triángulo Muestra Este [m] Norte[m] Espesor [m] Ley Mo [gr/ton] Área[m2] Volumen[m3]

9_10_12 9 10 20 10 110 50 516,7

10 20 20 9 130

12 10 30 12 130

10 20 10,3

7

Triángulo Muestra Este [m] Norte[m] Espesor [m] Ley Mo [gr/ton] Área[m2] Volumen[m3]

7_10_13 7 30 10 8 150 100 933,3

10 20 20 9 130

13 30 30 11 140

30 10 9,3

Triángulo Muestra Este [m] Norte[m] Espesor [m] Ley Mo [gr/ton] Área[m2] Volumen[m3]

6_9_10 6 20 10 10 150 50 483,3

9 10 20 10 110

10 20 20 9 130

20 10 9,7

Triángulo Muestra Este [m] Norte[m] Espesor [m] Ley Mo [gr/ton] Área[m2] Volumen[m3]

6_7_10 6 20 10 10 150 50 450,0

7 30 10 8 150

10 20 20 9 130

20 10 9

Triángulo Muestra Este [m] Norte[m] Espesor [m] Ley Mo [gr/ton] Área[m2] Volumen[m3]

2_6_9 2 10 0 9 130 100 966,7

6 20 10 10 150

9 10 20 10 110

10 0 9,7

Triángulo Muestra Este [m] Norte[m] Espesor [m] Ley Mo [gr/ton] Área[m2] Volumen[m3]

2_3_6 2 10 0 9 130 50 500,0

3 20 0 11 120

6 20 10 10 150

10 0 10

8

Triángulo Muestra Este [m] Norte[m] Espesor [m] Ley Mo [gr/ton] Área[m2] Volumen[m3]

3_6_7 3 20 0 11 120 50 483,3

6 20 10 10 150

7 30 10 8 150

20 0 9,7

Triángulo Muestra Este [m] Norte[m] Espesor [m] Ley Mo [gr/ton] Área[m2] Volumen[m3]

3_4_7 3 20 0 11 120 50 466,7

4 30 0 9 140

7 30 10 8 150

20 0 9,3

Sabiendo que la densidad promedio de la roca es 2,7 [ton/m3] y habiendo obtenido:

Volumen Total 8566,7 m3

𝐷𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 =𝑀𝑎𝑠𝑎

𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛

𝑀𝑎𝑠𝑎 = 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑥 𝐷𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑

𝑀𝑎𝑠𝑎 = 8566,7 𝑚³x 2,7 ton/m³

𝑀𝑎𝑠𝑎 = 23.130,09 Ton.

9

Inverso a la distancia

ESTE [m] NORTE [m]

10 10

30 20

20 30

Muestra Este [m] Norte [m] Espesor[m] Ley Mo [gr/ton] Centro geométrico DistanciaCG

Inverso a la distancia

1 0 0 8 100 x y 14,14 120,25

2 10 0 9 130 10 10 10 3 20 0 11 120

14,14

5 0 10 7 120

10

6 20 10 10 150

10

8 0 20 9 90

14,14

9 10 20 10 110

10

10 20 20 9 130

14,14

10 10

1 2 3 4

5 6 7

8 9 10

11 12 13

0

5

10

15

20

25

30

35

0 5 10 15 20 25 30 35

Este[m]-Norte [m]

10

Muestra Este [m] Norte [m] Espesor[m] Ley Mo [gr/ton] Centro geométrico Distancia CG

Inverso a la distancia

6 20 10 10 150 x y 14,14 141,91

7 30 10 8 150 30 20 10 10 20 20 9 130

10

13 30 30 11 140

10

30 20

Muestra Este [m] Norte [m] Espesor[m] Ley Mo [gr/ton] Centro geométrico Distancia CG

Inverso a la distancia

9 10 20 10 110 x y 14,14 128,88

10 20 20 9 130 20 30 10 12 10 30 12 130

10

13 30 30 11 140

10

20 30

11

Variogramas Experimentales

Coordenadas E-O

Paso 10

H (10)= 271,42

Paso 20

H (5)= 310

Paso 30

H (3)= 833,33

Coordenadas N-S

Paso 10

H (7)= 221,42

Paso 20

H (5)= 160

Paso 30

H (3)=16,66

Realizo los gráficos de cada variograma para analizar la mejor opción frente a la estimación de

leyes en el muestreo.

Así obtengo 2 gráficos de dispersión que representan el comportamiento de los muestreos en

función a sus direcciones.

Pasos Variograma E-O

10 271,42

20 310

30 833,33

12

Usando una línea de tendencia de la forma lineal y mostrando la ecuación de la recta

Y=24.224x obtenemos los datos que se ajustan al Y=w|h|.

Pasos Variograma N-S

10 221,42

20 160

30 16,66

y = 24,224x R² = 0,7835

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

0 5 10 15 20 25 30 35

Sem

i-V

aria

nza

Distancia

Variograma E-O

13

Análogamente Y=4.2243x obtenemos los datos que se ajustan al Y=w|h|.

En el variograma (N-S) la línea de tendencia no se logra interpolar ni ajustar a los puntos dados. Lo

que R² = -1,261 me confirma lo antes dicho. A su vez me demuestra que existe una mala

correlación en los datos del variograma (N-S), indicando que en esta dirección las leyes se

comportan de forma más errática.

y = 4,2243x R² = -1,261

0

50

100

150

200

250

0 5 10 15 20 25 30 35

Sem

i- v

aria

nza

Distancia

Variograma N-S

14

Kriging ordinario

Donde;

X0= puntos en las coordenadas Este [m]

Y0= puntos en las coordenadas Norte [m]

Y en ellos estimaremos las leyes de Mo.

15

Así obtenemos las leyes estimadas en los puntos.

Sondeo Este [m] Norte [m] Ley (E-O) [gr/ton] Ley ( N-S) [gr/ton]

1 10 10 126,1959 126,1959

2 30 20 144,09 144,09

3 20 30 133,3301 133,3301

16

Conclusiones

A modo de finalizar el proyecto puedo concluir:

1. Como mencione anteriormente el variograma (N-S) posee una mala correlación en los

datos, y esto nos indica que en esta dirección las leyes se comportan de forma más

errática vs Variograma (E-W).

2. A demás con el desarrollo del kriging ordinario sabemos que es un estimador de varianza

mínima e insesgado, por lo tanto la correlación de los datos es más correcta.

3. Si bien en el kriging obtuvimos los mismos resultados en las distintas direcciones, solo es

por el hecho de que el mallado en el que trabajamos es de dimensiones insuficientes para

ver una diferencia, aun así continuo afirmando que el variograma (E-W) es el menos

errático para realizar la estimación de la ley.

4. También se puede decir que el método de kriging es más acertado, al ser un media

ponderada de los datos, por lo tanto el resultado se ajusta mejor a los datos, mientras

que el inverso a la distancia hay ciertos valores que no se pueden considerar, y se

transforma en un método más errático para calcular leyes.