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5/13/2018 ESTATIVA APUNTES - slidepdf.com

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EstáticaInstituto La Salle San Martín BB. Y SS. Electromecánica

Profesor: Lic. Ricardo Julián Aimó 2

ÍndiceESTÁTICA.................................................. ............................................................ ........................................................ 3

CONCEPTOS BÁSICOS .................................................... ........................................................... ..................................... 3 ELEMENTOS DEL VECTOR ....................................................... ........................................................... ........................... 6

RESULTANTE DEL SISTEMA DE FUERZAS: .......................................................... .............................................. 6

PRINCIPIO O REGLA DEL PARALELOGRAMO .......................................................... ........................................................ 6

FUERZAS CON LA MISMA RECTA DE ACCIÓN.................................................... .............................................. 9

TODAS LAS FUERZAS DADAS TIENEN EL MISMO SENTIDO ......................................................... ..................................... 9 FUERZAS DADAS CON SENTIDO DIFERENTE O CONTRARIO ........................................................ ..................................... 9 PRINCIPIO DE LOS SISTEMAS NULOS ........................................................... ........................................................... ..... 11

PRINCIPIO DE ACCIÓN Y REACCIÓN ........................................................... ...................................................... 12

PRINCIPIO DE ADICCIÓN Y SUSTRACCIÓN DE SISTEMAS NULOS ...................................................... ..... 13

FUERZAS CONCURRENTES.................................................................... ........................................................... ..... 14

FUERZAS COPLANARES O ESPACIALES............................................................................................ ............... 14

SISTEMAS DE FUERZAS COPLANARES Y CONCURRENTES............................ ............................................ 15

INTRODUCCIÓN ................................................... ............................................................ ............................................ 15 RESOLUCIÓN ....................................................... ............................................................ ............................................ 15

PROYECCIONES DE UN VECTOR ......................................................... ........................................................... ..... 18

RESOLUCIÓN DE POLÍGONOS DE FUERZAS O POLIOGONOS VECTORIALES PARA SISTEMASCOPLANARES Y CONCURRENTES..... ............................................................ ...................................................... 20

FUERZAS COPLANARES NO CONCURRENTES .................................................... ............................................ 24

RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO GENERAL .................................................... ........................................................... ..... 24 MÉTODO DEL POLÍGONO FUNICULAR.......................................................... ........................................................... ..... 25 RESULTANTES PARCIALES ...................................................... ........................................................... ......................... 29

FUERZAS COPLANARES PARALELAS .......................................................... ...................................................... 30

FUERZAS COPLANARES PARALELAS DE SOLO 2 FUERZAS ........................................................ ................................... 30 SISTEMAS DE FUERZAS COPLANARES PARALELAS CON MÁS DE 2 FUERZAS .......................................................... ..... 31

MOMENTO ESTÁTICO DE UNA FUERZA............................................ ........................................................... ..... 34

TEOREMA DE VARIGNON........................................................ ........................................................... ......................... 34

PARES DE FUERZAS ................................................... ........................................................... ................................... 35

MOMENTO DE UN PAR DE FUERZAS RESPECTO DE UN PUNTO COPLANAR........................................................... ..... 35 TRASLACIÓN DE UNA FUERZA........................................................... ........................................................... ............... 36

EQUILIBRIO DE LAS FUERZAS ................................................... ........................................................... ............... 37

EQUILIBRIO DE FUERZAS COPLANARES Y CONCURRENTES...................................................... ................................... 37 EQUILIBRIO DE FUERZAS NO CONCURRENTES....................................................... ...................................................... 38 BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA.................................................. ........................................................... ......................... 40





Estática

Conceptos Básicos

Introducción:

La física es la ciencia que estudia los cuerpos y sus propiedades mientras no cambia sucomposición química, ni los agentes naturales con sus fenómenos que ejercen influencia sobre loscuerpos en estudio.

La mecánica es la parte de la física que estudia las condiciones de movimiento o reposo de uncuerpo. La mecánica se divide en tres ramas:

• Cinemática: estudia el movimiento de los cuerpos prescindiendo de las causas que loproducen.

• Dinámica: estudia el movimiento de los cuerpos considerando las causas que loproducen.

• Estática: estudia las condiciones de nulidad e inexistencia de movimiento a pesar de lascausas que actuen.

Estática:

Podemos decir que:

Es la parte de la mecánica que se ocupa de todos los problemas relativos a las fuerzas en loscuerpos sólidos, estudiando las condiciones de equilibrio que deben cumplir las “FUERZAS

EXTERIORES” o “CARGAS APLICADAS” a dichos cuerpos.Para el estudio a los cuerpos se los considerara infinitamente resistentes e indeformables.

Cuerpo Rígido:

En estática no se tienen en cuenta las deformaciones que forzosamente sufriría un cuerpo comoefecto de las fuerzas que soporta. Al considerarse las deformaciones como nulas (que no seproducen cambios) se puede decir que un cuerpo es rígido:

“Cuando se mantienen invariables las distancias entre sus puntos, arbitrariamenteelegidos, bajo la acción de un sistema de fuerzas”

Inercia:

Un cuerpo animado de movimiento rectilíneo uniforme (MUR) o en estado de reposo, tiende apersistir en el estado en que se encuentra.

Tal tendencia se la denomina “INERCIA DEL CUERPO”.





Fuerza:

Se manifiesta cuando un cuerpo tiende a variar de estado. Se puede definir como la causa capaz deprovocar un desplazamiento en un cuerpo libre.

La presencia de una fuerza solamente puede apreciarse por sus efectos. Es la causa que puedemodificar el estado de movimiento (magnitud y/o dirección) de un cuerpo. Cuando a un cuerpo sele aplica una fuerza se modifica su estado de inercia.

La fuerza se representa por un vector.

Escala Gráfica:

Es utilizada para representar gráficamente los vectores mediante un segmento rectilíneo con unamagnitud escalar. Para ello se debe establecer una relación de proporcionalidad entre la magnitudvectorial y la escalar con la que se dibujara.

Es la relación que representa en unidades de longitud a las unidades de fuerza.

Por ejemplo 1cm = 1N

Unidad de Fuerza:

De la 2da. ley de Newton, define aceleración como la razón entre la fuerza aplicada y la masa querecibe esa fuerza (a = F/m) puede deducirse la fuerza como el producto de la masa por laaceleración (F = m . a) y de allí se obtiene:

• en el sistema cgs: g cm/s2 , que recibe el nombre de "dina" (Din) (término que, en griego,significa "fuerza").

• en el sistema MKS: kg m/s2 , que recibe el nombre de "Newton" (N) (en homenaje alcientífico inglés).

• en el sistema técnico, la unidad de fuerza es una unidad fundamental (no derivada de otras),el Kg fuerza, que es el peso del Kg, medido a nivel del mar y a 45º de latitud.





De allí se obtiene la unidad de masa en el sistema técnico (UTM) deduciendo que:

m = F/a y por tanto será kg/(m/s2), es decir, kg s2/m

La aceleración que relaciona el Peso (fuerza con que la Tierra atrae a una masa) con esa masaatraída (medido a nivel del mar y a 45º de latitud) es la llamada "aceleración de la gravedad" (g) ytiene un valor de 9,8 m/s2.

Podemos establecer así que:

Peso = masa . g

Nota:

No confundir kg (masa) con Kg (fuerza).

Son unidades de dos magnitudes diferentes.

La única relación que tienen es que l Kg (fuerza) es la fuerza con que la Tierra atrae 1 kg (masa) a

nivel del mar y a 45º de latitud .

Por el Sistema Legal Argentino (SIMELA) se adopta la unidad del sistema MKS, la unidad que seutilizara será el “ newton”, simbolizado con la letra “ N ” mayúscula. El “ newton” es la cantidad defuerza que se entrega a un cuerpo cuya masa es 1 Kg. y la aceleración de 1 metro sobre segundo alcuadrado.

211

seg

mKg N =

Antiguamente las unidades utilizadas eran el Kilogramo fuerza (Kgf ó→

Kg ) o sus derivadas.Actualmente se utiliza el newton (N) y sus derivadas. La relación entre unidades es:

N Din

Din N

Kg

N

N Kg

5

5

101

101

8,9

11

80665,91

−

→

→

=

=

=

=





Elementos del Vector

Punto de Aplicación:

Es lugar donde se ejerce la fuerza (se lo representa en el origen del vector).

Dirección:

Es la recta por la cual se halla aplicada la fuerza. Llamada Recta de Acción.

Sentido:

Es hacia donde se dirige la fuerza.

Intensidad:

Es el valor de la fuerza que gráficamente se representa por una longitud o modulo proporcional adicho valor.

Resultante del Sistema de Fuerzas:

Es una fuerza capaz de remplazar a todas las fuerzas del sistema causando los mismos efectos.Siempre tendrá sentido opuesto e igual dirección e intensidad que la fuerza que se necesitaríaagregar para equilibrar el sistema.

Principio o Regla del Paralelogramo

Gráficamente:

Dirección o Recta de acción

SentidoIntensidad

Punto de Aplicación

1F

2F

R

O





Analíticamente:

Se desprende de la aplicación trigonométrica que dice:

“el cuadrado de un lado de un triangulo es igual a la suma de los cuadrados de losotros lados menos el doble producto de ellos por el coseno del ángulocomprendido”.

Conocida como “Teorema del Coseno”

Donde: r2=a2 + b2 – 2 a b cos β .

Si lo aplicamos al paralelogramo de fuerzas:

Sí β = 180º - α

Siendo α el ángulo entre F1 y F2

Por lo cual podemos decir que:

cos β = - cos α .

Remplazando llegamos a la siguiente ecuación:

( )α cos2 21

2

22

12

−−+= F F F F R

( )α cos2 2122212 F F F F R ++=

b

ar

β α

β

α

1F

2F

R

O





Si α es un ángulo recto el coseno es igual a cero, por lo cual por lo cual se aplica directamente elTeorema de Pitágoras, que es un desprendimiento del Teorema del Coseno.

Sí α= 90º cos 90º = 0 .

( )α cos2 212

22

1

2F F F F R ++=

02 212

22

1

2F F F F R ++=

De donde:

22

21

2F F R +=

Teorema de Pitágoras

0





Fuerzas con la Misma Recta de Acción

Entendemos como Recta de Acción al elemento que en un vector es la dirección.

De Igual Sentido

De igual recta de acción

De Sentido contrario

Todas las fuerzas dadas tienen el mismo sentido

Gráficamente:

Analíticamente:

∑=

=+++=

n

i

iF F F F F R1

4321 ∑=

=

n

i

iF R1

Fuerzas dadas con sentido diferente o contrario

Gráficamente

La solución Gráfica se puede realizar de varias maneras:

1.

Sumar las fuerzas de un sentido y luego las del sentido contrario, Para luego restarlas dedonde se obtiene la RESULTANTE del sistema de Fuerzas

1F

2F

3F

4F

5F

1F 2F 3F 4F 5F

1F 2F 3F 4F

R





2. Sumar y restar las fuerzas ordenadas por sentido sobre una misma recta de acción. Siendola RESULTANTE del sistema aquel sector en el cual las fuerzas no se han superpuesto.

3. Sumar y restar miembro a miembro en el orden de las fuerzas. Encontrándose comoRESULTANTE el segmento de recta que va del inicio de la primera fuerza al final de laúltima fuerza del sistema de fuerzas.

Analíticamente:

∑=

=−+−=

n

i

iF F F F F R1

4321

Por ser una suma Algebraica de Vectores los signos indican el sentido de las fuerzas.

Por lo cual podemos enunciar:

∑=

=

n

i

iF R1

Nota, a tener en cuenta: 1. Los sistemas utilizados están sobre una recta de acción horizontal, pero los conceptos son

validos para todas las rectas de acción, posibles en el plano y el espacio.

2. Para resolver los casos de fuerzas con una misma recta de acción no es necesario tener encuenta si es un sistema que se halla en el espacio (espacial) o en el plano (coplanar), laresolución siempre es la misma.

R

3F 1F

2F 4F

R

5F

3F

3F 1F

2F 4F

R

5F 4F 1F 2F





Principio de los Sistemas Nulos

Las fuerzas de igual intensidad, igual dirección y sentido contrario se equilibran entre sí, dando lo

que se conoce como “Sistema Nulo” . En otras palabras son dos fuerzas opuestas que se anulanmutuamente y se hallan en la misma recta de acción

Sí:

F1 y F2 son de igual intensidad y dirección, pero de sentido opuesto.021 =−= F F R

De donde:

01

==∑=

n

i

iF R

Ecuación de Equilibrio

1F 2F

1F

2F

1F

2F





Principio de Acción y Reacción

Cuando una fuerza exterior actúa sobre un cuerpo, hace nacer de este otra fuerza de igual Intensidad, Dirección y de Sentido contrario.

Esta reacción del cuerpo busca mantener el equilibrio del Sistema de Fuerzas. En otras palabrashace que el cuerpo se quede quieto.

Acción R

Reacción R− Acción R





Equilibrio:

Se dice de la tendencia de un cuerpo a mantener el estado en el que se encuentra (reposo omovimiento).

Cuando se aplica una fuerza y el cuerpo se mantiene quieto se dice que se mantiene en equilibrio.Pero si el cuerpo se desplaza, cambia de posición y/o gira se dice que se ha roto el equilibrio.

Para que el cuerpo no se mueva será necesario ejercer una fuerza R− , igual y

contraria a R . En este caso la acción esta representada por R y la reacción

por R− .

Principio de Adicción y Sustracción de Sistemas Nulos

Si se tiene un sistema de fuerzas que actúa sobre un cuerpo rígido y se le agrega o quita un sistemade fuerzas nulo, el efecto que producía el sistema original no se vera alterado.

De este principio se desprende que el punto de aplicación de una fuerza puede ser cualquiera de

los puntos de su recta de acción, o sea que el punto de aplicación de una fuerza puede desplazarsesobre su recta de acción sin que se modifique su efecto.

Veamos el siguiente ejemplo, (para simplificar tomaremos un sistema de una sola fuerza y

aplicaremos el sistema nulo sobre la misma recta de acción de la 1F )

Este principio también es conocido como

TEOREMA DE LA TRANSMISIBILIDAD

DE FUERZAS.

2F 3F

Sistema Nulo

1F

O2F

3F

Sistema Adicionado

Sistema Original1F

O32 F F

r r

−=





Fuerzas Concurrentes

Un sistema concurrente es todo aquel en el cual las fuerzas que se consideran poseen un únicopunto en común donde sus rectas de acción se intersecan (ej. Punto M).

Fuerzas Coplanares o Espaciales

Los sistemas de fuerzas pueden ser considerados Coplanares o Espaciales.

Los sistemas coplanares son aquellos que se despliegan en un único plano, (si se tratara de unelemento diríamos que solo posee 2 dimensiones largo y alto, por ejemplo la hoja de papel) por locual los vectores que componen las fuerzas se pueden descomponer en 2 direcciones.

Los sistemas espaciales son los que consideran la descomposición de los vectores en tresdirecciones.

Sistemas

Coplanares

Espaciales

2 direcciones

3 direcciones

X; Y

X; Y; Z

En estos casos cada una de estasfuerzas esta equilibrada por todaslas restantes.

2F

1F

4F

3F M





Sistemas de Fuerzas Coplanares y Concurrentes

Introducción

El sistema compuesto por 2 vectores fuerzas como hemos visto en los casos anteriores nos resultaindiferente si están en el espacio o en el plano ya la solución es la misma, esto se debe a losprincipios de geometría que establecen para definir un plano, entre otras posibilidades, dos rectasparalelas o 2 rectas que se intersectan. Tengamos en cuenta que el vector se definía por treselementos Modulo, Sentido y Dirección, siendo este ultimo también conocido por RECTA DEACCION.

En los sistemas coplanares y concurrentes el problema consiste en que se tendrán tres o masfuerzas, lo que establece la diferencia con los casos anteriores.

Resolución

Para resolver un sistema de fuerzas coplanares y concurrentes, con lo visto hasta ahora podríamosplantear una resolución sucesiva de paralelogramos de fuerzas. Con lo cual se irían hallando lasresultantes parciales mediante el método del paralelogramo, este se aplicaría a pares de fuerzas yasí obtendríamos resultantes parciales y repitiendo el método de manera sucesiva hasta obtener laRESULTANTE DEFINITIVA.

Las soluciones, grafica y analítica serian las siguientes, pero al llegar a esta última solo seráaplicable desde la teoría y no en la práctica. Por lo cual el método NO SRA VERIFICABLE.

Gráficamente: El sistema dado es:

M

2F

1F 4F

3F

2F

1F 3F





Primer paso: se debe hallar la resultante parcial entre F1 y F2 “R1-2”

Segundo paso: luego se halla la resultante entre F3 y F4 “R3-4”

Por ultimo se halla la resultante entre las resultantes parciales “R”

M

2F

3F

21− R

1F 4F

M

2F

3F

21− R

1F 4F

43− R

M

2F

3F

21− R

43− R

1F 4F

R





Analíticamente:

Para proceder a hallar la resultante del sistema se debeproceder en forma análoga al método gráfico. La formula

a aplicar será la del coseno modificada que hemos vistoen el título Fuerzas Concurrentes.

β cos..2 .21212122

F F F F R ++=−

α cos..2 .43434322

F F F F R ++=−

Habiendo resuelto por 1 y 2 lasresultantes parciales, el sistemaoriginal ha sido remplazado por elsiguiente sistema:

Siendo la formula final:

δ cos..2 .43212

432

21 −−−−++= R R R R R

Llegados aquí nos encontramos con un problema práctico NO CONOCEMOS el valor de “δ”, por

lo cual NO ES POSIBLE llegar al valor de R , la Resultante.

Por lo cual No Podremos Aplicar este Método.

M

β α

2F

1F 4F

3F

λ 1

2

б

M

21− R

43− R





Proyecciones de un Vector

El objetivo de las proyecciones es el descomponer un vector, en nuestro caso fuerza, en dosvectores (en el caso coplanar) o en tres (en el caso espacial) que sigan direcciones preestablecidaspor el operador. Esto nos permitirá luego de tener todos las proyecciones aplicar la resolución porel método de Fuerzas con la Misma Recta de Acción.

Al proyectar un Vector Fuerza en un sistema de Ejes Cartesianos se los descompone en dosproyecciones ortogonales. Esto nos permitirá operar con ellas en forma separada. Para la resoluciónanalítica como gráfica.

Para conocer el valor de sus proyeccionesoperamos trigonometricamente. A aplicarlos ejes cartesianos ortogonales VectorFuerza y sus proyecciones forman un

triángulo rectángulo .

β cosF F x =

β senF F y =

Para resolver aplicando este método ante todo debemos tener en cuenta las siguientes pautas sobrelos sistemas de coordenadas.

1. Las proyecciones llevaran el signo según corresponda al sentido que tomen respecto al ejede proyección con que se este operando.

2. El sentido de los ejes se toma por convención:

F ΛY

Y

X

ΛX

0 0

yF

xF

β

F

xF

yF





a. El más utilizado en las diversas materias de estudio es aquel que toma valorespositivos para X del centro hacia la derecha y negativos hacia la izquierda. Mientrasque para el eje Y los positivos se toman del centro hacia arriba y hacia abajo losnegativos.

b. Otra convención de signos que se puede encontrar habitualmente al estudiarbibliografía sobre Estática es aquella que coloca el signo positivo de Y hacia abajo,haciendo coincidir así gran cantidad de fuerzas que toman el sentido de la gravedad .El horizontal por tratarse de un reacomodamiento de los ejes espaciales, se lo

conocerá con el nombre de Eje Z, siendo positivo a la izquierda y negativo a laderecha.

Por lo cual en el plano queda:

X

Y

En el PlanoZ

Y

Z

Y X

o

Y

X

Zo

En el Espacio

Reacomodamiento





Resolución de Polígonos de Fuerzas o Polígonos

Vectoriales para Sistemas Coplanares y Concurrentes

Gráficamente:

En el título “Fuerzas Coplanares y Concurrentes” dimos como forma de resolución el ir tomandode a pares de fuerzas y remplazándolas por Resultantes Parciales. Ahora lo resolveremos con elmétodo del Polígono Vectorial o Polígono de Fuerzas.

Supongamos el mismo sistema que es el utilizado enel titulo anterior, Fuerzas Coplanares y Concurrentes,:

La solución para resolver este método, como ya indicamos antes, es la de recurrir a la noción de suma de vectores. Para ello desde un punto cualquiera del plano se pueden trazar a escala losvectores representativos, uno a continuación delotro. Siguiendo un orden cardinal1 solo a los finesprácticos.

Dicho orden sí es alterado no cambiara el resultado del sistema.

1 Siguiendo el orden numérico que le hemos dado a los vectores (1, 2, 3, 4, etc.)

1F

4F

2F

3F

1F 4F

2F

3F

M





Del final de la última fuerza (F4) hasta el inicio de la primera (F1) se traza una línea que cierra elsistema.

Esta figura que se obtiene recibe el nombre de Polígono

de Fuerzas. Es fácil comprobar que si se permuta elorden de las fuerzas la línea de cierre siempre será lamisma.

Sí se rompe la Inercia del cuerpo con el Sistema deFuerzas que actúa sobre él, la línea de cierre estarárepresentando a la Resultante del Sistema.

En el caso de estar buscando la fuerza que equilibre elsistema para evitar vencer la Inercia del Cuerpo, lalínea de cierre representara a la Equilibrante.

Si se desea verificar las resultantes parciales halladas por el método del Paralelogramo de Fuerzaspueden trazarse en el Polígono de Fuerzas.

E

4F

1F

1F

R

2F

3F 4F

2F

3F

4F

1F

F

3F





Nota: el método del Polígono de Fuerzas resulta más prolijo y menos engorroso para el trazadográfico que el Paralelogramos de Fuerzas con resultantes parciales sucesivas.

Analíticamente:

Al obtener las proyecciones de las fuerzas que componen el sistema en los ejes de coordenadas X eY se puede proceder con todas las proyecciones halladas de cada eje de igual manera que en elcaso de Fuerzas con la misma Recta de Acción.

Analizando de a un eje por ves tendremos que todas las proyecciones de las fuerzas en el eje X

están sobre la misma recta de acción, en otras palabras tienen la misma DIRECCIÓN; lo mismoocurre en el eje Y.

Por lo visto en “Proyecciones de un Vector” las correspondientes al eje X se hallaran aplicando:

β cosF F x =

De donde podemos decir que la proyección de la Resultante en el eje X será (para el sistemaconsiderado):

4433221 cosFcosFcosFcosFxR β β β β +++=

1 En forma general:

∑=

=

n

1i

cosFxR βι ι

Siendo:

icosRxR β =

Podemos decir:

∑=

=

n

1iiR cosFcosR β β i

21− R

43− R

R

1F

2F

3F

4F

4321X xFxFxFxFR +++=





Para el Eje Y:

β senF F y =

De donde podemos decir que la proyección de la Resultante en el eje X será (para el sistemaconsiderado):

4321 yFyFyFyFyR +++=

4433221 senFsenFsenFsenFyR β β β β +++=1

En forma general:

∑=

=

n

i

iisen1

FyR β

Siendo:

RsenRyR β =

Podemos decir:

∑=

=

n

1iR FsenR

i

sen β β

Esto resulta de observar el siguiente gráfico:

Y

0

2xF

xR 3xF

X 0 1xF

4xF

2F

4F

M1F 4F

3F

2F

R

2F

3F

2yF

yR

3yF

1yF

4yF





Fuerzas Coplanares No Concurrentes

Estas fuerzas se hallan en una mismo plano, pero no todas sus rectas de acción se intersectan en unmismo punto.

Resolución por el Método General

Este método también conocido como del Paralelogramo de Fuerzas. Tomamos de a pares defuerzas encontrando así resultantes parciales, y se repite el método hasta llegar a la Resultante detodo el Sistema.

1. Hallamos lasresultantes parciales

1F2F

4F3F

2F 4F

3F

2-1 R

1F4-3 R





2. Tomando las Resultantes Parciales hallamos la Resultante del Sistema.

Método del Polígono Funicular

Definamos Funicular: esta palabra proviene del latín FUNICULUS que significa

CUERDA. Al haber desarrollado el método observaremos donde se encuentra lasemejanza.

Principio de descomposición de una Fuerza

La fuerza a descomponer será la Resultante, en 2 fuerzas coplanares,cuyas rectas de acción se cortan en un mismo punto de la recta deacción de la Resultante.

El planteo sería el siguiente:

Dada la fuerza R y las direcciones (o rectas de acción) de las fuerzas

en las que se descompone la Resultante, se desea hallar las fuerzas P1 y P2.

R

2 1

2-1 R

4-3 R

R





El procedimiento a seguir será:

1. Por un punto “a” cualquiera se representa el vector R, al punto final del vector lo llamamos“b”;

2. Por los puntos a y b se trazan paralelas a las direcciones 1 y 2;

3. Queda así cerrado el triángulo abo, cuyos segmentos ao y bo representan los valores de P1 yP2 respectivamente;

4. los sentidos de las fuerzas componentes son los que van al encuentro del sentido de lafuerza R.

Polígono de Fuerzas o Polígono Vectorial

De lo anterior podemos entonces suponer que si invertimos el método, partiendo de conocer losvectores fuerzas del sistema, al componer un polígono con los vectores ordenados en formasucesiva, uniendo el inicio del primero con el final del último el segmento obtenido representara el

vector resultante buscado.Apliquemos esto al sistema de fuerzas dado para el ejemplo del Método General.

1F2F

4F3F

a1

2

O

b

a

P1

O

b

P2R





Resolviendo:

De esta manera hemos obtenido la Resultante delSistema. Ahora resta ubicarla dentro del sistema defuerzas. Para ello debemos hallar un punto de la rectade acción del vector Resultante.

Para ubicar dicho punto en el sistema de fuerzasaplicaremos nuevamente el Principio dedescomposición de una Fuerza, para cada una de lasfuerzas componentes del sistema.

Se procede de la siguiente manera

1. Se construye el polígono vectorial;2. Damos un punto “p”, llamado polo, donde se

desee, la única condición es que no este sobreuno de los vectores;

3. Se trazan rayos polares que unen cada uno delos puntos (a, b, c, d, e) con el punto p (polo);

4. Cada uno de los rayos proyectantes se losenumera con números Romanos.

Nota: es recomendable que al elegir el polo visualmente los rayos polares I y el último rayo formen

un ángulo aproximado de 90º.

R

b

c

e

d

a

1F

2F

3F

4F

b

c

e

d

a

p

I

II

III

VI

V

R

1F

2F

3F

4F





Polígono Funicular

El polígono funicular se arma a partir del sistema de fuerzas dados, trasladando los rayos polares alsistema. Hasta encontrar “el punto” que pertenece a la recta de acción de la resultante. Allí secolocara el vector R.

El proceso será el siguiente:

1. Se traslada el rayo polar I de manera que intercepte en un punto cualquiera la recta deacción de la F1;

2. por donde el rayo polar I interfecto la recta de acción de F1, se hace pasar el rayo polar II yse lo prolonga hasta intercepte la recta de acción de la F2;

3. en esta nueva intersección se pasa el rayo polar III y se lo prolonga hasta la recta de acciónde F3;

4. así se seguí sucesivamente hasta interceptar la ultima recta de acción, en nuestro sistema es

la recta de la F4;5. en esa ultima intersección se hace pasar el ultimo rayo polar

6. el rayo I y el ultimo rayo se los prolonga hasta que se intercepten;

7. la intersección determina el punto que pertenece la recta de acción de la fuerza resultante. Aeste punto se traslada el vector R.

Conclusión: El método reduce las fuerzas a un vector resultante y a este lo descompone en dosfuerzas (el primer rayo polar y el último) por medio del Principio de descomposición de una

Fuerza.

V

IV III

II

I

R

1F

2F

3F

4F





1F

3F

2F

4F

V

IV III

II

I

21− R

43− R

Resultantes Parciales

Al trazar el polígono vectorial se pueden hallar lasresultantes parciales entre las fuerzas trazadas en formaconsecutivas. Sí observamos el rayo polar que seencuentra en el inicio de la primera fuerza y el rayo quese halla en el final de la fuerza siguiente, son también losrayos del vector resultante parcial, veámoslo en elsiguiente gráfico.

La resultante de las F1 y F2 es R1-2, va desde el punto “a”hasta el “c” y sus rayos son I y II.

La resultante de las F3 y F4 es R3-4, va desde el punto “c”hasta el “f” y sus rayos son IV y V.

Así se pueden hallar las resultantes parcialescombinando cualquier par de fuerzas. Y los rayos quelleguen a sus extremos serán los que darán su posiciónen el polígono funicular.

b

c

e

d

p

I

II

III

VI

V

a

R

1F

2F

3F

4F

43R −

21− R





Fuerzas Coplanares Paralelas

Este caso tiene varias posibilidades que se planteen:

Fuerzas Coplanares Paralelas de solo 2 Fuerzas

De Igual Sentido

21 FFR +=

De Diferente Sentido

R

21 FFR −=

FuerzasCoplanares

aralelas

Solo 2 fuerzas

Más de 2 fuerzas

De igual sentido

De sentidos contrarios

De igual sentido

De diferentes sentidos





Sistemas de Fuerzas Coplanares Paralelas con más de 2 Fuerzas

De igual sentido:

La solución del sistema resulta de la aplicación Polígono Funicular veámoslo aplicado en siguienteejemplo:

Supongamos tener el siguiente sistema de fuerzas.

Desarrollamos el Polígono de Fuerzas o Polígono Vectorial

1F

2F

3F

4F

5F

P

I

II

III

IV

V

IV

R

1F

2F

3F

4F 5F





Trasladamos la resultante al sistema planteado construyendo el polígono funicular.

De diferente sentido:

1F 2F

3F

4F 5F

F

2F 3F

4F 5F

I

II

III IV

V

VI





Desarrollamos el Polígono de Fuerzas o Polígono Vectorial

Trasladamos la resultante al sistema planteado construyendo el polígono funicular.

1F 2F

3F

4F 5F

R

I

II

III IV

VVI

F

2F

3F

4F

5F P

I

II

III

IV

V

VI

R





Momento Estático de una Fuerza

Si sobre un cuerpo se ejerce una fuerza (F), y dicho cuerpo se halla fijado un punto (O). La fuerza(F) provocara que el cuerpo gire alrededor del punto (O) en cuestión.

“Se llama momento estático de una fuerza con respecto a un punto al producto de la intensidad de

la fuerza por la distancia del punto a la recta de acción de dicha fuerza”

d F M .r

=

[ ] [ ][ ]m N Nm .=

La distancia (d) es el brazo de la fuerza o brazo de palanca.

Se considera que el giro del momento es positivo cuando sigue el sentido de las agujas del reloj ynegativo cuando ocurre lo contrario.

Las unidades están dadas por la unidad vectorial de la fuerza en newton o sus derivadas y ladistancia en la unidad escalar en metros o sus derivadas. Siendo las más frecuentes dNcm, dNm yMNcm.

Teorema de Varignon

El teorema de Varignon constituye el teorema fundamental de los momentos estáticos.

Dice así:

“El momento respecto a un punto (O) de la resultante (R) de un sistema de fuerzas, es igual a la suma algebraica de los momentos de cada una de las fuerzas que lo componen

respecto del mismo punto (O)”

Aplicando la noción del momento estático de una fuerzapodemos decir que:

Remplazando:

Sí:

Podemos decir que:

Generalizando:

OF

d

O

F

O

F

O

R M M M 21

r r r

+=

2F

β

1F

R

O

d2

dR

d1

α

2211 .. d F d F M O

R

r r r

+=

dr R M O

R .r r

=

2211 ... d F d F dr Rr r r

+=

i

n

i

i

O

R d F M .1∑==

r r





Pares de Fuerzas

Son sistemas compuestos por 2 fuerzas de igual intensidad, sentido contrario y sus rectas de accióno direcciones son paralelas. Separadas por una distancia (dicha distancia nunca puede llegar a serigual a cero).

21 F F r r

−=

Un par de fuerzas se caracterizan por tener una resultante nula(R = 0). Su efecto se mide por el producto de una de susfuerzas por la distancia que las separa.

d F d F M .. 21

r r r

==

d F M .r r

=

Si el giro que provocan es en el sentido de las agujas del reloj se considera al momento positivo;

Si el giro que provocan es en el sentido contrario de las agujas del reloj se considera al momentonegativo.

Este efecto es observable en la vida diaria cuando utilizamos un sacacorchos o al abrir o cerrar unacanilla de patio.

Momento De Un Par De Fuerzas Respecto De Un Punto Coplanar

Veremos a continuación que el momento de un par de fuerzas respecto de un punto cualquiera (O)es igual al valor del Momento del propio Par.

2211 .. d F d F M or r r

−=

Si 21 F F r r

= podemos plantear

).( 21 d d F M o −=r r

(F es lo mismo que F1 o F2)

Siendo:

)( 21 d d d −=

De donde podemos decir que

d F M o .

r r

=

Llegando así a la conclusión que el momento con respecto a cualquier punto de un plano generadopor un par de fuerzas SIEMPRE es igual al momento del propio par.

d

1F

2F

+ -





Traslación de una Fuerza

Si se tiene una fuerza (F) que se desea trasladar de un punto de aplicación a otro (O), respetando sudirección, sentido e intensidad, sin que el sistema de fuerzas cambie el efecto que causa al cuerporígido sobre el que se aplica, se puede recurrir a un Par de Fuerzas.

Se ha de proceder de la siguiente manera en el lugar que se hallaF se debe colocar un fuerza (P1) de igual dirección e intensidadpero de sentido contrario y con una distancia igual a la que separaa la fuerza (F) al punto (O) otra fuerza (P2) de igual intensidad ysentido pero de dirección paralela a lafuerza (F).

De esta manera se logra desplazar la fuerza deseada sin alterar el sistemay a pesar que se agregan fuerzas estas al ser de igual intensidad ydirección y sentido contrario se anulan sin modificar la situación deequilibrio del sistema en estudio.





Equilibrio de las Fuerzas

Un sistema de fuerzas esta en reposo si sus resultante vale cero, entonces podremos decir que elsistema esta en equilibrio.

En otras palabras hay equilibrio cuando el sistema de fuerzas es un “sistema nulo”.

Equilibrio de Fuerzas Coplanares y Concurrentes

Es condición necesaria y suficiente para que un sistema de fuerzas planas y concurrentes este enequilibrio que la resultante del sistema sea nula.

Para ello se debe verificar que el polígono vectorial o polígono de fuerzas sea cerrado, ello secomprueba si se lo recorren todas las fuerzas en orden cíclico indicado por las flechas de losvectores.

Resulta evidente que cada una de las fuerzas equilibra al resto de las que componen el sistema.

Analíticamente la condición esta dada sobre las proyecciones respecto a cada uno de los ejescoordenado. Sí la resultante del sistema es nula debiera ser nula la proyección de cada una de ellassobre los ejes correspondientes.

Por lo tanto:

En la proyección del eje x;

0cos1

=∑=

i

n

i

iF α

En la proyección del eje y;

01

=∑=

i

n

i

isenF α

Con i = 1 hasta la n-ésima fuerza.

Nota: Sí el sistema no estuviera en equilibrio, existiría resultante y el sistema de fuerza provocaría una traslación del objeto sobre el cual actúa.

1F

3F

F3

2F

F4

4F

F

F2





Equilibrio de Fuerzas no Concurrentes

En este caso para que el sistema este en equilibrio no alcanza con que el polígono de fuerzas seacerrado. Sino también que en el polígono funicular el primer (I) rayo y el ultimo (n-ésima) coincidaya que de esta manera se asegura que tampoco el sistema pueda rotar.

Son condiciones necesarias y suficientes para que un sistema de fuerzas coplanarno concurrente este en equilibrio en forma gráfica que:

1. su polígono de fuerzas sea cerrado, para evitar la traslación .

2. su polígono funicular tenga sus primer y ultimo rayos coincidentes (polígonofunicular cerrado), para evitar la rotación .

Analíticamente este planteo de las nulidades gráficas se traduce en tres ecuaciones que se puedenplantear de tres maneras diferentes. Las enunciaremos por la combinación más frecuente.

1F

2F

4F

3F

3F

4F 1F

2F

Sistema de FuerzasCoplanar no concurrente

Polígono de Fuerzas oPolígono Vectorial cerrado

Polígono Funicular cerrado

3F

4F1F

2F IV

II

III

I = V

P





Primer caso:

Dos ecuaciones de proyecciones sobre dos ejes una ecuación de momentos con respecto a un punto cualquiera del plano:

0cos1

=∑=

i

n

iiP α

r

01

=∑=

i

n

iisenP α

r

01

=∑=

n

i

C

iP M r

Segundo caso:

Una ecuación de proyecciones sobre un eje y dos ecuaciones de momentos con respecto

a dos puntos cualquiera del plano, con la única condición que la recta que pase por esos dos puntos no sea perpendicular al eje de proyección.

0cos1

=∑=

i

n

iiP α

r

01

=∑=

n

i

C

iP M r

01

=∑=

n

i

A

iP M r

Tercer caso:

Tres ecuaciones de momentos con respecto a tres puntos no alineados del plano.

01

=∑=

n

i

C

iP M r

01

=∑=

n

i

A

iP M r

01

=∑=

n

i

A

iP M r





Bibliografía Consultada

Curso Básico de Estática, de Aarón Helfgot, Ediciones Marymar.Estática Gráfica, de Horacio Vidal y Carlos Agustín, Librería Mitre.

Física Elemental, José S. Fernández y Ernesto Galloni, Editorial Nigar.

Curso Elemental de Física, Pérez Avedaño, Liberia Garcia Santos.

Estabilidad I, Enrique Flies, Editorial Kapeluz.

Sitio Web http://olydan.iespana.es/fisica.htm ,

estativa apuntes

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