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Estadística II 5. Contraste de Hipótesis
ADMINISTRACIÓ I DIRECCIÓ D'EMPRESES
Conceptos previos
Conceptos previos
Prueba unilateral a una cola superior
Prueba unilateral a una cola inferior
Prueba Bilateral, a dos colas
000 :: ϑϑϑϑ ≠= AHversusH
000 :: ϑϑϑϑ <= AHversusH
000 :: ϑϑϑϑ >= AHversusH
Conceptos previos
Etapas de un test de hipótesis 1. Formular la hipótesis nula y la hipótesis alternativa. 2. Fijar el nivel de significación. 3. Determinar un Estadístico de Prueba (muestra-hipótesis nula):
selección de estadístico muestral 4. Formular una Regla de Decisión. 5. Calcular el correspondiente valor del Estadístico de Prueba. 6. Aplicar la Regla de Decisión:
– Si el valor del Estadístico de Prueba cae en la Región de Rechazo, entonces Rechazamos la H0.
– Si el valor del Estadístico de Prueba cae en la Región de Aceptación, entonces NO hay evidencia para Rechazar la H0.
Tipos de Error
βα ↓⇒↑Si βα ↑⇒↓Si
Posibles resultados de un test:
Tipos de Error
H1 H0
1-β 1-α
α β
H1 H0
Tipos de Error
EJEMPLO-Población Normal con desviación igual a 8. Se plantean las siguientes hipótesis: Criterio: Rechazo H0 si la media muestral es superior a 193 Muestra de 12 observaciones que han proporcionado una media muestral de 194.
196:190:
1
0
==
µµ
HH
α β
H1 H0
190 196 193
Tipos de Error
196:190:
1
0
==
µµ
HH
β α
H1 H0
190 196 193
10,0)30,1(128190193)190/193(
cierta) es H/HRechazar ()IError( 00
≈>=
−>
−==>=
==
ZPn
XPXP
PP
σµµα
α
10,0)30,1(128196193)196/193(
falsa) es H/HRechazar No()IIError( 00
≈−<=
−<
−==<=
==
ZPn
XPXP
PP
σµµβ
β
90,010,01contraste del Potencia1
≈−==−=
ηβη
Tipos de Error
196:190:
1
0
==
µµ
HH
β H1 H0
190 196 a
192,08en fijado queda criterio nuevo El192,08258
19030,1
10,0)(258
190)190/(
cierta) es H/HRechazar ()IError( 00
⇒=⇒−
=
≈>=
−>
−==>=
==
aa
aZPan
XPaXP
PP
σµµα
α
007,0)45,2(258
19608,192)196/08,192(
falsa) es H/HRechazar No()IIError( 00
≈−<=
−<
−==<=
==
ZPn
XPXP
PP
σµµβ
β
993,0007,01contraste del Potencia1
≈−==−=
ηβη
Ejemplo. Si se cambia el tamaño de la muestra, n= 25, pero queremos que el nivel de significación siga siendo del 10%.
Contraste de hipótesis TEST DE LA MEDIA POBLACIONAL A-Población: siendo σ2 conocido
Estadístico de Prueba: Región crítica: un nivel de significación, α
);( 2σµNX ≈
α/2 α/2
μ0 a b
1-α 0
00
::
µµµµ
≠=
AHH
)1,0(0 N
n
XZ ≈−
= σµ
Dos colas (bilateral)
02/0
02/0
H la Rechazo siH la Rechazo si
α
α
ZZZZ
+>−<
En la distribución N(0,1):
00 : µµ =H
Contraste de hipótesis Cola Inferior:
α
μ0
a
1-α 0
00
::
µµµµ
<=
AHH
0
00
::
µµµµ
>=
AHH
α
μ0
b
1-α
Cola superior:
00 H la Rechazo si αZZ −<
00 H la Rechazo si αZZ +>
En la distribución N(0,1):
En la distribución N(0,1):
Contraste de hipótesis B-Población: siendo σ2 desconocido Estadístico de Prueba: Región crítica: establecemos un nivel de significación, α
);( 2σµNX ≈
01
00
::
µµµµ
≠=
HH
)1(0
−→−
= ntnS
Xt µ
α/2 α/2
t0
H0
2/αt− 2/αt+02/0
02/0
H la Rechazo siH la Rechazo si
α
α
tttt+>−<
A dos colas (bilateral)
Contraste de hipótesis
α
t0
H0
αt−
00 H la Rechazo si αtt −<
α
t0
H0
αt+
00 H la Rechazo si αtt +>
Cola superior:
Cola inferior:
Contraste de hipótesis TEST de IGUALDAD DE MEDIAS POBLACIONALES A.-Las varianzas poblacionales conocidas de Poblaciones Normales
( )
+−≈
y
2y
x
2x
x y nσ
nσ,μμNY-X
02/0
02/0
H la Rechazo siH la Rechazo si
α
α
ZZZZ
+>−<
( ) ( )1,0
nσ
nσ
Y-X
y
2y
x
2x
0 NZ ≈
+
=El est. de prueba:
≠
=
μμ:
μμ:
x y
x y0
AH
H
<−
=−
0μμ:
0μμ:
x y
x y0
AH
H
>−
=−
0μμ:
0μμ:
x y
x y0
AH
H
00 H la Rechazo si αZZ −<
00 H la Rechazo si αZZ +>
Contraste de hipótesis B.- Poblaciones Normales con varianzas poblacionales son iguales, pero no conocidas ( )
)2(
yx
2
0
n1
n1·
Y-X−+≈
+
=yx nn
p
t
S
t
≠−
=−
0μμ:
0μμ:
x y
x y0
AH
H
02/0
02/0
H la Rechazo siH la Rechazo si
α
α
tttt+>−<
El estadístico de prueba:
<−
=−
0μμ:
0μμ:
x y
x y0
AH
H00 H la Rechazo si αtt −<
>−
=−
0μμ:
0μμ:
x y
x y0
AH
H00 H la Rechazo si αtt +>
Contraste de hipótesis
C.- Las varianzas poblacionales son distintas y no conocidas
( ))(
y
2y
x
2x
0
nS
nS
Y-Xvtt ≈
+
=
≠−
=−
0μμ:
0μμ:
x y1
x y0
H
H
02/0
02/0
H la Rechazo siH la Rechazo si
α
α
tttt+>−<
( ) ( )1n
nS1
nS
n
S
n
S
y
y2y
22
2
222
−+
−
=
+
x
xx
y
x
x
x
n
v
El estadístico de prueba:
<−
=−
0μμ:
0μμ:
x y1
x y0
H
H00 H la Rechazo si αtt −<
>−
=−
0μμ:
0μμ:
x y1
x y0
H
H00 H la Rechazo si αtt +>
1-α
221 αχ −
22αχ
α/2
α/2
Contraste de hipótesis
20
21
20
20
:
:
σσ
σσ
≠
=
H
H
Estadístico de prueba ( ) 2)1(2
0
220
·S1−→−= n
n χσ
χ
Contraste de hipótesis
022
0 H la Rechazo si αχχ >20
21
20
20
:
:
σσ
σσ
>
=
H
H
20
21
20
20
:
:
σσ
σσ
<
=
H
H0
21
20 H la Rechazo si αχχ −<
20
21
20
20
:
:
σσ
σσ
≠
=
H
H
02
220
02
2120
H la Rechazo si
H la Rechazo si
α
α
χχ
χχ
>
< −
Contraste de hipótesis
TEST de IGUALDAD DE VARIANZAS POBLACIONALES
Poblaciones Normales e independientes
Estadístico muestral:
Hipótesis nula:
Estadístico de prueba:
( )1;12
2
2
2
· −−≈yx nn
x
y
y
x FSS
σσ
220 : yxH σσ =
2
2
0y
x
SSF =
Contraste de hipótesis
21 α−F 2αF
α/2
α/2
H0
020
0210
H la Rechazo si
H la Rechazo si
α
α
FF
FF
>
< −
221
220
:
:
yx
yx
H
H
σσ
σσ
≠
=
221
220
:
:
yx
yx
H
H
σσ
σσ
<
=010 H la Rechazo si α−< FF
221
220
:
:
yx
yx
H
H
σσ
σσ
>
=00 H la Rechazo si αFF >
Contraste de hipótesis TEST de la PROPORCIÓN POBLACIONAL Población dicotómica. Muestra de n observaciones. Estadístico muestral
α/2 α/2
p0 a b
1-α
α−=<< 1)ˆ( bpaP
≈
nqppNp ·,ˆ
01
00
::
ppHppH
≠=
Estadístico de prueba
)1,0(·
ˆ
00
00 N
nqpppZ ≈
−=
Contraste de hipótesis
α/2 α/2
Z0
H0
2/αZ− 2/αZ+
01
00
::
ppHppH
≠=
02/0
02/0
H la Rechazo siH la Rechazo si
α
α
ZZZZ
+>−<
01
00
::
ppHppH
<=
00 H la Rechazo si αZZ −<
01
00
::
ppHppH
>=
00 H la Rechazo si αZZ +>
Contraste de hipótesis TEST de IGUALDAD DE PROPORCIONES POBLACIONALES Dos poblaciones dicotómicas e independientes. Muestras con tamaños muestrales nx y ny observaciones. Estadístico muestral
0pp: x y0 =−H
+−≈−
y
yy
x
xxyxyx n
qpnqpppNpp ,)ˆˆ(
yx
yyxx
yx nnpnpn
nnYXp
+
+=
++
=ˆ·ˆ·
p ó
)1,0(11)·1·(
)ˆˆ(0 N
nnpp
ppZ
yx
yx ≈
+−
−=
Hipótesis nula:
Estadístico de prueba:
Siendo:
Contraste de hipótesis
02/0
02/0
H la Rechazo siH la Rechazo si
α
α
ZZZZ
+>−<
α/2 α/2
Z0
H0
2/αZ− 2/αZ+
0pp:
0pp:
x y1
x y0
≠−
=−
H
H
0pp:
0pp:
x y1
x y0
<−
=−
H
H00 H la Rechazo si αZZ −<
0pp:
0pp:
x y1
x y0
>−
=−
H
H00 H la Rechazo si αZZ +>
RESULTADO del Test: P-VALOR
RESULTADO del Test: P-VALOR
Ejemplo a dos colas
RESULTADO del Test: P-VALOR
Ejemplo a una cola inferior
RESULTADO del Test: P-VALOR
Ejemplo a una cola superior
H0
H0
Rechazar la H0
No rechazar la H0
RESULTADO del Test: P-VALOR Dos ejemplos a una cola superior
Relación: Test- Intervalo de Confianza
0
00
::
ϑϑϑϑ
≠=
AHH