Estadística Empresarial: Tema 1 - Ejercicio 2

ICADE (UPCo)

2005/06

Tema 1 - Ejercicio 2

• Se está realizando un estudio sobre la ayuda que reciben los niños de sus padres en las tareas escolares. Se ha definido una variable que toma los valores 0, 1 y 2 del siguiente modo:

· = 0 significa que el niño no recibe ayuda.· = 1 significa que el niño recibe ayuda de uno de sus

progenitores.· = 2 significa que el niño recibe ayuda de su padre y de

su madre.

Tema 1 - Ejercicio 2

• Se ha aceptado que esta variable sigue la siguiente distribución:

: número de padres que

ayudan al hijo

0 P(=0) = 1/4

1 P(x=1) = 1/2

2 P(x=2) = 1/4

x P(=x)

Tema 1 - Ejercicio 2

• Supongamos que se eligen dos niños de forma aleatoria.

Tema 1 - Ejercicio 2

Se pide:a) Construir la distribución de probabilidad correspondiente al espacio de todos los posibles sucesos que se nos pueden presentar.b) Construir la distribución de probabilidad correspondiente a la variable número medio de adultos que ayudan a los niños.c) Construir la distribución de probabilidad correspondiente a la variable aleatoria número máximo de adultos que prestan su ayuda.

Tema 1 - Ejercicio 2

Para cada niño:

: número de padres que

ayudan al hijo

0 P(=0) = 1/4

1 P(x=1) = 1/2

2 P(x=2) = 1/4

x P(=x)

Tema 1 - Ejercicio 2

De entre todos los niños se elige a dos:

De forma aleatoria: pueden ser cualesquiera

x1: primer niño elegido x2: segundo niño elegido

Tema 1 - Ejercicio 2Como para cada niño:

: número de padres que

ayudan al hijo

0 P(=0) = 1/4

1 P(x=1) = 1/2

2 P(x=2) = 1/4

x P(=x)

Tema 1 - Ejercicio 2También para cada uno de los dos niños elegidos:

x1: número de padres que ayudan

al primer niño elegido

0 P(x1=0) = 1/4

1 P(x1=1) = 1/2

2 P(x1=2) = 1/4

x P(x1=x)

x2: número de padres que ayudan

al segundo niño elegido

0 P(x2=0) = 1/4

1 P(x2=1) = 1/2

2 P(x2=2) = 1/4

x P(x2=x)

Tema 1 - Ejercicio 2a) Los sucesos que se pueden presentar son las combinaciones de los correspondientes al primer niño elegido con los del segundo niño elegido:

0

1

2

x2

0

1

2

0

1

2

0

1

2

x1

(0; 0)

(0; 1)

(0; 2)

(x1; x2)

(1; 0)

(1; 1)

(1; 2)

(2; 0)

(2; 1)

(2; 2)

Tema 1 - Ejercicio 2a) Sus respectivas probabilidades se obtienen a partir de las de los sucesos individuales (suponiendo independencia entre éstos, P(x1,x2)=P(x1)·P(x2)):

0

1

2

x2

0

1

2

0

1

2

0

1

2

x1

(0; 0)

(0; 1)

(0; 2)

(x1; x2)

(1; 0)

(1; 1)

(1; 2)

(2; 0)

(2; 1)

(2; 2)

1/4

1/2

1/4

1/4

1/4

1/4

1/4

1/4

1/4

1/2

1/2

1/2

1/4·1/4=1/16

1/4·1/4=1/16

1/2·1/4=1/8

1/2·1/4=1/8

1/4·1/4=1/16

1/4·1/4=1/16

1/4·1/2=1/8

1/4·1/2=1/8

1/2·1/2=1/4

Tema 1 - Ejercicio 2a) En resumen, la distribución de probabilidad del conjunto de ambas variables es:

P(x1; x2)

1/16

1/8

1/16

1/8

1/4

1/8

1/16

1/8

1/16

(0; 0)

(0; 1)

(0; 2)

(x1; x2)

(1; 0)

(1; 1)

(1; 2)

(2; 0)

(2; 1)

(2; 2)

Tema 1 - Ejercicio 2a) Obsérvese que:

x1: número de padres que ayudan

al primer niño elegido

: número de padres que

ayudan a su hijo (en general)

x2: número de padres que ayudan

al segundo niño elegido

(x1;x2): número de padres que ayudan al primer niño elegido

y al segundo niño elegido, respectivamente

Son todas variables aleatorias – con su respectiva distribución de probabilidad

Tema 1 - Ejercicio 2b) El número medio de adultos que ayudan a sus hijos se obtiene como:

2221

2

1 xxx

a ii

x

Tema 1 - Ejercicio 2b) Obsérvese que:

x1: número de padres que ayudan al primer

niño elegido

: número de padres que

ayudan a su hijo (en general)

x2: número de padres que ayudan al primer

niño elegido

(x1;x2) número de padres que ayudan al primer niño elegido y

al segundo niño elegido, respectivamente

Son todas variables aleatorias – con su respectiva distribución de probabilidad

Tema 1 - Ejercicio 2b) Obsérvese que:

x1: número de padres que ayudan al primer

niño elegido

: número de padres que

ayudan a su hijo (en general)

x2: número de padres que ayudan al primer

niño elegido

ax: número medio de padres que ayudan al primer niño elegido y al segundo niño

elegido

El número medio de padres que ayudan a los niños elegidos también es una variable aleatoria

tiene distribución de probabilidad

221 xx

ax

Tema 1 - Ejercicio 2b) Recordemos:

P(x1; x2)

1/16

1/8

1/16

1/8

1/4

1/8

1/16

1/8

1/16

(0; 0)

(0; 1)

(0; 2)

(x1; x2)

(1; 0)

(1; 1)

(1; 2)

(2; 0)

(2; 1)

(2; 2)

Tema 1 - Ejercicio 2b) Calculando:

P(x1; x2) = P(ax)

1/16

1/8

1/16

1/8

1/4

1/8

1/16

1/8

1/16

(0; 0)

(0; 1)

(0; 2)

(x1; x2)

(1; 0)

(1; 1)

(1; 2)

(2; 0)

(2; 1)

(2; 2)

ax

1,5

1

1,5

1

0,5

1

2

0

0,5

Tema 1 - Ejercicio 2b) Resumiendo:

P(ax)

1/16

1/8

1/16

1/8

1/4

1/8

1/16

1/8

1/16

ax

1,5

1

1,5

1

0,5

1

2

0

0,5

Tema 1 - Ejercicio 2b) Resumiendo:

P(ax)

1/4

1/16

1/16

1/4

3/8

ax

1,5

1

2

0

0,5

Tema 1 - Ejercicio 2c) El número máximo de adultos que ayudan a los niños elegidos se obtiene como:

);( 21 xxmáxxmáxM ii

x

Tema 1 - Ejercicio 2c) Obsérvese que:

x1: número de padres que ayudan al primer

niño elegido

: número de padres que

ayudan a su hijo (en general)

x2: número de padres que ayudan al primer

niño elegido

Mx: número máximo de padres que ayudan a los niños

elegidos

El número máximo de padres que ayudan a los niños elegidos también es una variable aleatoria

tiene distribución de probabilidad

);( 21 xxmáxM x

Tema 1 - Ejercicio 2c) Recordemos:

P(x1; x2)

1/16

1/8

1/16

1/8

1/4

1/8

1/16

1/8

1/16

(0; 0)

(0; 1)

(0; 2)

(x1; x2)

(1; 0)

(1; 1)

(1; 2)

(2; 0)

(2; 1)

(2; 2)

Tema 1 - Ejercicio 2c) Calculando:

P(x1; x2) = P(Mx)

1/16

1/8

1/16

1/8

1/4

1/8

1/16

1/8

1/16

(0; 0)

(0; 1)

(0; 2)

(x1; x2)

(1; 0)

(1; 1)

(1; 2)

(2; 0)

(2; 1)

(2; 2)

Mx

2

2

2

2

1

1

2

0

1

Tema 1 - Ejercicio 2c) Resumiendo:

P(Mx)

1/16

1/8

1/16

1/8

1/4

1/8

1/16

1/8

1/16

Mx

2

2

2

2

1

1

2

0

1

Tema 1 - Ejercicio 2c) Resumiendo:

P(Mx)

1/16

1/2

7/16

Mx

2

0

1