espacosvetoriais_aula01

Notas de aula de lgebra LinearCursos de Engenharia

Espaos Vetoriais Aula 1 - Conceitos Iniciais

Instituto Federal de Santa CatarinaCampus Florianpolis

Louis Augusto Gonalves (IFSC, DALTEC) Sem 2013-2 1 / 17

ndice

1 IntroduoCorpos

2 Espaos VetoriaisDefinio de Espao VetorialAxiomas Operacionais dos Espaos VetoriaisPropriedades dos Espaos VetoriaisExemplos de Espaos Vetoriais

Espao Kn

Sumrio

1 IntroduoCorpos

Espao Kn

Definio matemtica de corpoPrecisamos inicialmente definir que tipo de conjunto numrico vamos usar.Chamamos corpo a um conjunto numrico K que aceite duas operaes, denotadaspor (+), adio, e (), multiplicao, e satisfaa a 9 propriedades - chamados axiomas,4 para cada operao, e um envolvendo as duas operaes. Considere a, b, c K:

A1: a+ b = b + a: Propriedade comutativa da adio.

A2: (a+ b) + c = a+ (b + c): Propriedade associativa da adio.

A3: 0 K, tal que a+ 0 = a,a K : elemento neutro da adio.A4: a K, b, tal que a+ b = 0. b chamado inverso aditivo de a, ou

simtrico de a, e ser escrito a. (1)M1: a b = b a, a, b, c K: comutatividade da adio.M2: a (b c) = (a b) c: associatividade da multiplicao.M3: 1 K tal que 1.a = a.1 = a, a K : elemento neutro da

multiplicao.

M4: a 6= 0, a1 K, tal que a a1 = a1 a = 1: elemento neutro damultiplicao, ou elemento unitrio.

AM: (a+ b) c = a b + a c : Propriedade distributiva.1Em Matemtica no definimos operao de subtrao, mas sim operao de adio por

simtrico.Louis Augusto Gonalves (IFSC, DALTEC) Sem 2013-2 4 / 17

A3: 0 K, tal que a+ 0 = a,a K : elemento neutro da adio.A4: a K,b, tal que a+ b = 0. b chamado inverso aditivo de a, ou

multiplicao.

Onde estamos pisando

CUIDADO!!!O elemento unitrio no necessariamente o nmero real 1. simplesmente um elemento do corpo que possui a propriedade descrita.O mesmo ocorre com 0, chamado elemento nulo.

Exemplos:Nos nmero complexos, 1 o elemento 1 + 0i , e o elemento nulo 0 + 0i .Em matrizes quadradas ( 2 ) o elemento 1 a matriz identidade, e o nuloas matrizes que possuem todas as entradas iguais a zero.

Para evitar confuso, pode-se escrever o elemento unitrio por 1.

2As matrizes no formam um corpo, porque no ocorre comutatividade para a multiplicao.

Exemplos de corpos

So corpos em Matemtica:Os nmeros reais.Os nmeros complexos.Os nmeros racionais.

No so corpos:Os nmeros inteiros. Falha o axioma M4.Os nmeros naturais. Falha o axioma A4.As Matrizes.( 3 )

3As matrizes formam um outro tipo de conjunto, chamado grupo no-abeliano, que no estudado no nosso curso.

Exemplos de corpos

Sumrio

1 IntroduoCorpos

Espao Kn

Definio de Espao Vetorial

Um conjunto no vazio V um espao vetorial sobre um corpo K se, emseus elementos, denominados vetores, estiverem definidas as operaes desoma e multiplicao por escalar (4), obedecendo aos axiomas existenciais eoperacionais dos espaos vetoriais, a saber:

Axiomas Existenciais

Adio de vetores: Dados u, v V, temos que u + v V.Esta a propriedade conhecida por fechamento para a adiode vetores. A soma de dois elementos do EV(5 ) devemobrigatoriamente pertencer ao conjunto.

Multiplicao de vetor por escalar: Se u V, e K, entoobrigatoriamente u K.Esta propriedade obriga que mltiplos de um elemento doespao vetorial pertenam ao EV.

No nosso curso vamos considerar dois corpos somente, os reais e os complexos.

4Escalar um elemento do corpo.5Vamos denotar espao vetorial de EV daqui para frente.

Sumrio

1 IntroduoCorpos

Espao Kn

Axiomas Operacionais dos Espaos Vetoriais

Considere u, v ,w V, e , K.Axiomas da adio

A1: u + (v + w) = (u + v) + w . Associatividade da adio.A2: u + v = v + u: Comutatividade aditiva.A3: 0 V, tal que u + 0 = u: Elemento neutro da adio.A4: v V, (v) V tal que v + (v) = 0 : Elemento simtrico.

Axiomas da multiplio por escalar

M1: () v = (v) : Associatividade.M2: 1 v = v , 1 K.

Axiomas de distribuio

AM1: (u + v) = u + v .AM2: (+ ) v = v + v .

Sumrio

1 IntroduoCorpos

Espao Kn

Propriedades dos Espaos Vetoriais

Quanto notao dos EVs temos:Qualquer soma de vetores v1 + v2 + . . .+ vn no necessita deparnteses, e no depende de ordem dos termos.Em outras palavras no identificamos o primeiro, segundo, terceiro vetor.Vale a mesma idia de conjuntos, ou seja, {A,B,C} no se diferencia de{C,B,A}.O vetor nulo nico, assim como o vetor simtrico de um vetor vtambm nico.Vale a lei do corte, ou seja, se u + v = u + w , ento v = w .Definimos a subtrao de vetores como a adio pelo simtrico, ou seja,u v = u + (v).

Vamos considerar V um EV sobre um corpo K.Valem as afirmaes:

k K, e para 0 V, k 0 = 0.Para 0 K e u V, 0 u = 0.k u = 0 k = 0 ou u = 0.k K, (k) u = k(u) = ku.

No confunda o nulo do EV com o nulo do corpo. Existe um nulo para cadaconjunto, e cada um tem uma interpretao diferente. Costuma-se chamar dezero ao nulo do corpo, mas no para o nulo do EV.Em Geometria Analtica costuma-se escrever o nulo do Rn, que um EV queser amplamente estudado, como

0 .

Vamos considerar V um EV sobre um corpo K.Valem as afirmaes:k K, e para 0 V, k 0 = 0.Para 0 K e u V, 0 u = 0.k u = 0 k = 0 ou u = 0.k K, (k) u = k(u) = ku.

0 .

Sumrio

1 IntroduoCorpos

Espao Kn

Definindo espaoes vetoriais

Vale lembrar que:EV no somente somente um conjunto. um conjunto munido de duasoperaes:

Uma operao de adio entre os seus vetores, que deve ser definida.Uma operao de multiplicao de seus vetores com escalares (elementosde um corpo), que tambm deve ser definida.Deve-se ainda definir para o EV:

O elemento nulo do EV.O elemento simtrico de um vetor genrico.

As operaes devem satisfazer os axiomas operacionais.Vamos ento a exemplos de Espaos Vetoriais. Nossa lista de exercciostrar contraexemplos de conjuntos munidos de operaes de soma emultiplicao por escalar que no so EVs.

O espao Kn

A princpio considere K um corpo arbitrrio.Kn significa todas as n-uplas de elementos de K (voc provavelmente ouviufalar em par ordenado, que um dupla de elementos reais), ou seja,u = (u1,u2, . . . ,un).Vamos definir K n como um EV sobre K munido das seguintes operaes:Soma de vetores:Multiplicao por escalar:Estudaremos dois espaos deste tipo, especificamente, o Rn e o Cn, dasn-uplas de reais e complexos, respectivamente.

O espao Kn

Bibliografia

Flavio Ulhoa Coelho e Mary Lilian Loureno,Um curso de lgebra LinearLedUsp - So Paulo.Editora da Universidade de So Paulo.

Seymour Lipschutz e Marc Lipson,lgebra LinearColeo Schaum, 3a edio.Editora Bookman, Porto Alegre 2004.

Bibliografia

Flavio Ulhoa Coelho e Mary Lilian Loureno,Um curso de lgebra LinearLedUsp - So Paulo.Editora da Universidade de So Paulo.

Seymour Lipschutz e Marc Lipson,lgebra LinearColeo Schaum, 3a edio.Editora Bookman, Porto Alegre 2004.

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Appendix

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