espacial posição
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Prof.: Rodrigo Carvalho
GEOMETRIA ESPACIAL DE
POSIÇÃO
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O ponto, a reta e o plano são conceitos primitivos, isto é, não definimos esses elementos da geometria. Sabemos intuitivamente o que são e como são.
Notação usual
→ Pontos: letras latinas maiúsculas (A, B, C,...).
→ Retas: letras latinas minúsculas (r, s, t,...).
→ Planos: letras gregas minúsculas (α, β, γ,...).
Exemplo
α
rA
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São propriedades aceitas sem demonstração, e que servem de base para o desenvolvimento da teoria.
Axioma Fundamental
Existem infinitos pontos, infinitas retas e infinitos planos.
Postulados sobre pontos e retas
P1) A reta é infinita.
r
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P2) Numa reta, bem como fora dela, existem infinitos pontos.
Pr
P3) Por um ponto passam infinitas retas.
Pr
s
t
V
T
S
R
Q
U
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P5) Um ponto qualquer de uma reta a divide em duas semi-retas.
Ar
P4) Dois pontos distintos determinam uma única reta.
rA B
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Postulados sobre plano e espaço
P5) Três pontos não colineares determinam um único plano.
αA
BC
P6) O plano é infinito, isto é, ilimitado.
Atenção
PONTOS COLINEARES → pertencem a uma mesma reta.
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P7) Por uma reta pode ser traçada uma infinidade de planos.
P8) Toda reta contida em um plano o divide em duas regiões chamadas semi-planos. A reta é a origem dos semi-planos, que são chamados opostos.
α rα1
α2
r
r
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P9) Qualquer plano divide o espaço em duas regiões chamadas de semi-espaços.
α
E1
E2
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No espaço, duas retas podem ser coplanares ou não-coplanares.
α
RETAS COPLANARES: retas que estão contidas em um mesmo plano.
Duas retas coplanares podem ser paralelas ou concorrentes.
r
s
Retas paralelas distintas (r // s)
α
r ≡ s
Retas paralelas coincidentes (r ≡ s)
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α
r
s Retas concorrentes oblíquas (r s)∠
As retas r e s são concorrentes perpendiculares (r ┴ s)
quando formam entre si ângulos congruentes de 90º.
Atenção
Duas retas r e s são concorrentes se a intersecção entre elas for um único ponto.
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Duas retas r e s são não-coplanares ou reversas, se estiverem contidas em planos distintos.
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Sejam duas retas t e r reversas. Quando a projeção de uma delas for perpendicular à outra, elas serão chamadas de retas ortogonais.
P10) Sendo uma reta r e um ponto A, A r, existe uma única reta que passa por A e é paralela à r.
∉
r
s Ar // s
r
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Um plano pode ser determinado por:
• três pontos não-colineares;
• uma reta e um ponto não pertencente a essa reta;
αA
BC
αA
BC
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• duas retas concorrentes;
• duas retas paralelas distintas.
αA
BC
αA
BC
r
s
r
s
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1) Reta contida num plano
Se uma reta r possui dois pontos distintos pertencentes a um plano α, então r está contida em α.
2) Reta concorrente a um plano
Dizemos que a reta r “fura” o plano α ou que r e α são concorrentes(secantes) em P quando r ∩ α = {P}.
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3) Reta paralela a um plano
Uma reta r é paralela a um plano α quando não possui ponto em comum com esse plano.
sr // s
s
t
ur // s
r // t
r // u
Se uma reta não está contida num plano e é paralela a uma reta do plano, então ela é paralela ao plano.
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Uma reta r é perpendicular a um plano quando ela é concorrente com o plano e perpendicular a todas as retas do plano que passam pelo seu traço.
P
4) Reta perpendicular a um plano
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Se uma reta não contida em um plano é perpendicular a duas retas concorrentes de um plano, então ela é perpendicular ao plano
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1) Planos paralelos coincidentes
2) Planos paralelos distintos
Dois planos são paralelos coincidentes se têm todos os pontos em comum.
Dois planos são paralelos distintos quando não possuem pontos em comum.
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Teorema 1 Se dois planos são paralelos distintos, qualquer reta de um deles é paralela ao outro.
Teorema 2 Se dois planos são paralelos distintos, toda reta concorrente a um deles é concorrente ao outro.
Teorema 3 Se um plano contém duas retas concorrentes que são paralelas a um outro plano, então esses planos são paralelos distintos.
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3) Planos concorrentes ou secantes
Dois planos α e β são concorrentes ou secantes se têm uma única reta em comum.
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Dois planos α e β são perpendiculares se um deles contém uma reta perpendicular ao outro.
s
4) Planos perpendiculares
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Sugestão de exercícios:
CAPÍTULO 1Questões: 06, 10, 12, 13, 17, 19, 22, 25, 28, 35, 37, 44 e 48.