ECONOMETRIA CLEF

Esercizi teorici - Soluzioni

21 ottobre 2015

1. Date le variabili y e x si speci�ca il seguente modello di regressione lineare semplice:

yi = βxi + εi con E(εi|xi) = 0

Si consideri il seguente stimatore:

β̃ =

∑ni=1 xiyi∑ni=1 x

2i

.

(a) Si discutano le proprietà dello stimatore β̃ e si metta in relazione β̃ con lo stimatore dei MQO β̂.

Poichè nel modello non è inclusa la costante, lo stimatore β̃ =∑n

i=1 xiyi∑ni=1 x

2i

è di fatto lo stimatore

dei MQO.

Infatti, applicando il metodo dei MQO, minimizzando la funzione

S(β) =

n∑i=1

ε2i =

n∑i=1

(yi − βxi)2

otteniamo

∂∑n

i=1 ε2i

∂β= 0⇒− 2

n∑i=1

xi(yi − βxi) = 0

− 2n∑

i=1

xiyi + 2βn∑

i=1

x2i = 0

βn∑

i=1

x2i =n∑

i=1

xiyi ⇒ β̂ =

∑ni=1 xiyi∑ni=1 x

2i

.

In un modello senza costante, β̃ = β̂. Essendo in questo caso lo stimatore dei MQO, β̃ è

ovviamente non distorto, cioè E(β̃|xi) = β.

In un modello senza costante, si ha inoltre che la varianza dello stimatore dei MQO è:

Var(β̃|x) = Var(β̂|x) = σ2∑ni=1 x

2i

Per il teorema di Gauss Markov, tra tutti gli stimatori lineari e corretti del coe�ciente β del

modello yi = βxi + εi, β̃ è e�ciente, cioè è lo stimatore con la varianza minima.

1

2. La teoria economica ci indica che la variabile y è spiegata dalle variabili x1 e x2 mediante il seguente

modello:

y = β1x1 + β2x2 + ε.

Essendo interessati unicamente al parametro β1, abbiamo commesso un errore ed abbiamo stimato il

modello ridotto:

y = β1x1 + u.

(a) Si dimostri che il termine di errore u non soddisfa le proprietà della variabile errore di un modello

correttamente speci�cato.

Abbiamo che u = β2x2 + ε. La media condizionale del termine di errore u è

E(u|x) = E(β2x2 + ε|x) = E(β2x2|x) + E(ε|x) = β2x2 6= 0

(b) Veri�care se lo stimatore β̂1 ottenuto nel modello ridotto è uno stimatore corretto per β1.

Lo stimatore dei MQO per il coe�ciente β1 in un modello senza costante è dato da β̂1 =∑

x1y∑x21.

Possiamo riscrivere lo stimatore in un modo più conveniente come segue:

β̂1 =

∑x1y∑x21

=

∑x1(β1x1 + β2x2 + ε)∑

x21

= β1

∑x21∑x21

+ β2

∑x1x2∑x21

+

∑x1ε∑x21

= β1 + β2

∑x1x2∑x21

+

∑x1ε∑x21

.

Il valore atteso dello stimatore è dato da:

E(β̂1|x) = β1 + β2

∑x1x2∑x21

.

Lo stimatore risulta quindi essere distorto.

(c) Dall'espressione ottenuta per E(β̂1|x) in (b) si ricavi il termine di distorsione dello stimatore β̂1.

Il termine di distorsione è dato da E(β̂1|x)− β1, cioè β2∑

x1x2∑x21.

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