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ECONOMETRIA CLEF
Esercizi teorici - Soluzioni
21 ottobre 2015
1. Date le variabili y e x si speci�ca il seguente modello di regressione lineare semplice:
yi = βxi + εi con E(εi|xi) = 0
Si consideri il seguente stimatore:
β̃ =
∑ni=1 xiyi∑ni=1 x
2i
.
(a) Si discutano le proprietà dello stimatore β̃ e si metta in relazione β̃ con lo stimatore dei MQO β̂.
Poichè nel modello non è inclusa la costante, lo stimatore β̃ =∑n
i=1 xiyi∑ni=1 x
2i
è di fatto lo stimatore
dei MQO.
Infatti, applicando il metodo dei MQO, minimizzando la funzione
S(β) =
n∑i=1
ε2i =
n∑i=1
(yi − βxi)2
otteniamo
∂∑n
i=1 ε2i
∂β= 0⇒− 2
n∑i=1
xi(yi − βxi) = 0
− 2n∑
i=1
xiyi + 2βn∑
i=1
x2i = 0
βn∑
i=1
x2i =n∑
i=1
xiyi ⇒ β̂ =
∑ni=1 xiyi∑ni=1 x
2i
.
In un modello senza costante, β̃ = β̂. Essendo in questo caso lo stimatore dei MQO, β̃ è
ovviamente non distorto, cioè E(β̃|xi) = β.
In un modello senza costante, si ha inoltre che la varianza dello stimatore dei MQO è:
Var(β̃|x) = Var(β̂|x) = σ2∑ni=1 x
2i
Per il teorema di Gauss Markov, tra tutti gli stimatori lineari e corretti del coe�ciente β del
modello yi = βxi + εi, β̃ è e�ciente, cioè è lo stimatore con la varianza minima.
1
2. La teoria economica ci indica che la variabile y è spiegata dalle variabili x1 e x2 mediante il seguente
modello:
y = β1x1 + β2x2 + ε.
Essendo interessati unicamente al parametro β1, abbiamo commesso un errore ed abbiamo stimato il
modello ridotto:
y = β1x1 + u.
(a) Si dimostri che il termine di errore u non soddisfa le proprietà della variabile errore di un modello
correttamente speci�cato.
Abbiamo che u = β2x2 + ε. La media condizionale del termine di errore u è
E(u|x) = E(β2x2 + ε|x) = E(β2x2|x) + E(ε|x) = β2x2 6= 0
(b) Veri�care se lo stimatore β̂1 ottenuto nel modello ridotto è uno stimatore corretto per β1.
Lo stimatore dei MQO per il coe�ciente β1 in un modello senza costante è dato da β̂1 =∑
x1y∑x21.
Possiamo riscrivere lo stimatore in un modo più conveniente come segue:
β̂1 =
∑x1y∑x21
=
∑x1(β1x1 + β2x2 + ε)∑
x21
= β1
∑x21∑x21
+ β2
∑x1x2∑x21
+
∑x1ε∑x21
= β1 + β2
∑x1x2∑x21
+
∑x1ε∑x21
.
Il valore atteso dello stimatore è dato da:
E(β̂1|x) = β1 + β2
∑x1x2∑x21
.
Lo stimatore risulta quindi essere distorto.
(c) Dall'espressione ottenuta per E(β̂1|x) in (b) si ricavi il termine di distorsione dello stimatore β̂1.
Il termine di distorsione è dato da E(β̂1|x)− β1, cioè β2∑
x1x2∑x21.
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