• Esercitazione web n°2

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Ogni giorno vi darò compiti per la lezione seguente….. Chi si ama mi segua!!

Ogni retta sul piano cartesiano è caratterizzata da una specifica equazione a seconda della posizione che ha rispetto agli assi.

Rette parallele agli assi cartesiani

y = q (q 0)x = p (p 0)

Rette passanti per l’origine degli assi

y = mx

Rette generiche

y = mx + q

Le equazioni di tutte le rette sono di 1° grado, a una o due variabili (x e y).

L’equazione di una retta parallela all’asse x è del tipo y = q (q 0),

dove q indica l’ordinata di tutti i punti della retta.

Deduciamo le coordinate di alcuni punti della retta r parallela all’asse x :A(−4; 4), B(−2; 4), C(2; 4), D(4; 4)

Hanno tutti la stessa ordinata: + 4

L’asse x e le rette parallele ad esso

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Queste rette sono tutte parallele all’asse x. I punti sull’asse x che caratteristica hanno? Hanno tutti ordinata zero. Ecco perché l’equazione relativa all’asse x è y=0. E le rette ad essa parallele? Possiamo notare che tutti i punti della retta rossa hanno ordinata -1 quindi l’equazione della retta sarà y=-1. Per la retta verde y=1, per la retta blu y=3 per la retta rosa y=4. Notiamo anche che quindi il coefficiente angolare di queste rette è m=0.

L’asse y e le rette parallele ad esso

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Queste rette sono tutte parallele all’asse y. I punti sull’asse y che caratteristica hanno? Hanno tutti l’ascissa zero. Ecco perché l’equazione relativa all’asse y è x=0. e le rette ad essa parallele? Possiamo notare che tutti i punti della retta rossa hanno ascissa -2 quindi l’equazione della retta sarà x=-2. per la retta verde x=2, per la retta blu x=4 per la retta rosa x=6. Notiamo anche che il coefficiente angolare di queste rette è m=∞.

y

xO

L’equazione di una retta generica del piano (non parallela all’asse y) è del tipo

y = mx + q

TERMINE NOTO

COEFFICIENTE ANGOLARE

Il coefficiente angolare m individua l’inclinazione della retta.

Il termine noto q rappresenta l’ordinata del punto in cui la retta interseca l’asse y.

q

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Il coefficiente angolare Il coefficiente angolare mmIl coefficiente angolare è strettamente legato alla misura dell’angolo che la retta forma con il semiasse orientato positivamente delle ascisse

10

Possiamo notare che se m>0 allora l’angolo formato dal semiasse positivo delle ascisse (quello verde) è acuto cioè 0°<<90°

y=mx

x

y

O

Osservazioni sul coefficiente angolare

Quando l’angolo è ottuso…

11

Possiamo notare che se m<0 allora l’angolo formato dal semiasse positivo delle ascisse (quello verde) è ottuso cioè 90°<<180°

y=mx

x

y

O

• Traccia sulla retta y = −1 dell’esempio un qualsiasi punto diverso da B: quali sono le sue coordinate? C (..................) Quanto misura la sua distanza dalla retta? d ...........

Il valore assoluto dell’ordinata è la misura della distanza della retta dall’asse x:

1

• La retta s è parallela all’asse x. Per scrivere la sua equazione consideriamo l’ordinata di uno solo dei suoi punti: B(0; −1).L’equazione della retta s è:

y = −1

Deduciamo le coordinate di alcuni punti della retta t parallela all’asse y :A(3; 2), B(3; 1), C(3; −1), D(3; −2)

Hanno tutti la stessa ascissa: +3

Il valore assoluto dell’ascissa è la misura della distanza della

retta dall’asse y:

• Rappresenta nel piano cartesiano il punto P (4; 2), la retta r passante per P e parallela all’asse x e la retta s, passante per P e parallela all’asse y. Scrivi l’equazione di ognuna delle due rette.

• La retta s è parallela all’asse y. Per scrivere la sua equazione utilizziamo l’ascissa di uno solo dei suoi punti: A(- ; 0)

L’equazione della retta s è:

x = -

32

32

L’equazione di una retta passante per l’origine è del tipo y = mx.

Rappresentiamo nel piano cartesiano l’equazione: y = 4x.

x y = 4x Coordinate

−2 y = 4 • (−2) = −8 A (−2; −8)

−1 y = 4 • (−1) = −4 B (−1; −4)

0 y = 4 • (0) = 0 C (0;0)

1 y = 4 • (1) = 4 D (+1;+4)

I punti sono tutti allineati: appartengono cioè a una retta, che è la rappresentazione grafica dell’equazione y = 4x.

Rappresentiamo nel piano cartesiano l’equazione: y = 2x − 1

x y = 2x − 1 Coordinate

−2 y = 2 • (−2) − 1 = −5 A (−2; −5)

−1 y = 2 • (−1) − 1= −3 B (−1; −3)

0 y = 2 • (0) − 1 = -1 C (0; − 1)

y = 2 • ( ) − 1 = 0 D ( ; 0)

1 y = 2 • (1) − 1 = 1 E (+1; +1)

1

2+ 1

2+

12

+

Rappresentando i punti A, B, C, D, E nel piano cartesiano e unendoli, otteniamo una retta non passante per l’origine O.

Rappresentiamo nel piano cartesiano l’equazione y = x − 3 con coefficiente angolare m = 1 e termine noto q = −3.

x y = x − 3 Coordinate

−1 y = −1 −3 = −4 A (−1; −4)

0 y = 0 −3 = − 3 B (0; −3)

+1 y = 1 − 3 = − 2 C (+1; −2)

+3 y = 3 − 3 = 0 D (+3;0)

+4 y = 4 − 3 = +1 E (+4; +1)

Il valore di q (−3) coincide con l’ordinata del punto B(0; −3) in cui la retta interseca l’asse y.

• Rappresenta nel piano cartesiano la retta di equazione y = x + 2. In quale punto interseca l’asse y ? ……...

x y = x +2 Coordinate

B(0; 2)

Il grafico è una semiretta.

Una scala mobile parte e si muove con una velocità costante di 2 m/s.La legge del suo moto rettilineo uniforme è:

s = v • t = 2 • tÈ una funzione di proporzionalitàdiretta e il suo dominio è R+.

Dopo 3 secondi dalla partenza,quanti metri ha percorso la scala mobile? …………….. 6 m

• Completa con i termini e i simboli ascissa, ordinata, x, y.L’equazione di una retta:parallela all’asse ........ è del tipo y = q, dove q indica l’................. di tutti i punti della retta;parallela all’asse ........ è del tipo x = p, dove p indica l’................. di tutti i punti della retta.

• Riconosci tra le seguenti equazioni quelle che rappresentano rette parallele all’asse x e rette parallele all’asse y.

a) y = 7x b) y = 7

c) x = 7 d) y = x + 7

e) x = 5 f) y = 1

7

ordinata

x

y

ascissa

parallela asse x: b, fparallela asse y: c, e

• Stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false e correggi quelle false.

Data l’equazione di una retta passante per l’origine… V F Correzione

il suo coefficiente angolare è m = (x, y 0)

se m > 0 allora giace nel I e nel III quadrante

se m < 0 allora giace nel II e nel IV quadrante

xy

x

x

x

y

xm =

• Scrivi l’equazione e disegna una retta passante per l’origine e che giace:

nel I e nel III quadrante: ....................

nel II e nel IV quadrante: ...................

• Completa scegliendo i termini e i simboli corretti tra x, y, q, m, numerico, angolare, ascissa, ordinata, noto.

Una equazione del tipo y = mx + q rappresenta una retta

generica del piano (non parallela all’asse ........);

m è il coefficiente ..................... e q è il termine ..................

e rappresenta l’..................... del punto in cui la retta

interseca l’asse ...........

• Riconosci tra le seguenti equazioni quelle di rette generiche e indica quali sono i valori di m e di q.

a) y = −x + 3 m = ........., q = .........

b) y = 3x − 1 m = ........., q = .........

c) y = 3 − 1 m = ........., q = .........

xangolare

noto

ordinata

y

−1

+3

0

+3

−1

2

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