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Politecnico di Torino - DIGEP A.A. 2012-2013

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Esercitazione 1

1. Studio delle tensioni secondo il criterio di Von Mises

Da una prova di trazione si ottengono come dati di rottura = 125 % e = 2063 MPa.

Si trovino in tali condizioni (usando il criterio di Von Mises):

a) la tensione equivalente eq .

b) le tensioni 1, 2, 3;

c) le deformazioni 1, 2 , 3 ;

SOLUZIONE

a) Calcolo della tensione equivalente eq:

In condizioni di rottura, Y = rott, da cui

b) Calcolo delle tensioni 1, 2, 3:

Essendo la curva riferita a una prova di trazione, la forza applicata si traduce solo in

uno sforzo assiale

c) Calcolo delle deformazioni 1, 2 , 3:

Considerando per la prova di trazione l’asse del provino come primo asse principale si ha:

= 1 = 125 %.

Per la legge di conservazione del volume, il prodotto dei tre rapporti è unitario:

Che passando ai relativi logaritmi diventa

Essendo la prova di trazione assial-simmetrica 2 = 3 (cioè le deformazioni sono

simmetriche), da cui si ricava:


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2. Studio delle tensioni

Un corpo cubico di lato 10 mm è sollecitato da tre forze di cui una applicata

perpendicolarmente alla faccia x che vale 100N, una applicata alla faccia y vale -100N.

Sapendo che la tensione di plasticizzazione Y vale 2,5 MPa,

a) calcolare la forza F3.

SOLUZIONE

Considerando la formula di Von Mises:

Sostituendo con i valori dell’esercizio abbiamo:

A questo punto è possibile calcolare la forza F3:

La forza F3 (come la tensione 3) è composta da due forze con verso opposto per

garantire l’equilibrio sul corpo cubico.


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3. Studio delle tensioni

Si applichi il criterio di Tresca e di Von Mises alla trazione, alla compressione, alla

tensione piana e alla deformazione piana.

SOLUZIONE

a) Trazione

Lo stato di tensione è uniassiale, positivo perché in trazione

- Tresca

- Von Mises

Tresca e Von Mises danno risultati uguali a meno del segno (indeterminato per Von

Mises).

b) Compressione

Lo stato di tensione è sempre uniassiale ma negativo

- Tresca

- Von Mises

Anche per quanto riguarda la compressione, Tresca e Von Mises danno lo stesso

risultato.

c) Tensione piana

Esistono solo due tensioni principali, mentre la terza è nulla. Si possono individuare 2

casi se si considera alternativamente nulla 1 e 3.

Caso 1 2 > 0, 3 = 0

- Tresca

- Von Mises


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Caso 2 2 = 0, 3 < 0

- Tresca

- Von Mises

d) Deformazione piana

Si suppone che il corpo si deformi solo in due direzioni, mentre lungo la terza sia

vincolato a non potersi deformare, 2 = 0.

La tensione dovuta alla reazione vincolare è pari alla media aritmetica delle altre due

tensioni, quindi

- Tresca

- Von Mises


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4. Compressione in condizioni di deformazione piana

Si vuole comprimere un corpo di forma cubica, di lato l=100mm, dentro lo stampo

indicato in figura, in modo da portarne l’altezza a 50mm. Il corpo è stimato rigido

plastico con tensione di snervamento Y=200MPa e viene deformato in condizioni di

attrito nullo. Calcolare la forza di compressione.

SOLUZIONE

La forma dello stampo è tale da costringere il corpo a deformarsi solo nelle due

direzioni x e z. Si può quindi studiare il fenomeno di deformazione piana nel piano xz.

In questo esercizio d’ora in poi il piano x viene rinominato 1, y 2 e z 3.

I passi da seguire per risolvere l’esercizio sono i seguenti:

· Ottenere tutte le dimensioni del pezzo

· Calcolare la tensione in direzione 3

· Moltiplicare tensione per superficie in modo da calcolare la forza di stampaggio.

Calcolo delle dimensioni del pezzo

Chiamo li1, li2, li3 le dimensioni iniziali del pezzo, tutte pari a 100mm

Chiamo lf1, lf2, lf3 le dimensioni finali del pezzo. So che lf3 è 50mm e che lf2 rimane

invariato rispetto alla dimensione iniziale perché la deformazione in direzione 2 è nulla.

Applico la conservazione del volume

Nota Bene: le due dimensioni iniziale e finale in direzione 2 si semplificano nella

formula. Per ridurre al massimo gli errori numerici è consigliabile fare sempre tutte le

semplificazioni possibili delle espressioni in forma algebrica ed eseguire

numericamente solo i calcoli indispensabili.


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Calcolo della tensione in direzione 3

Applico il criterio di Von Mises. Conoscendo dall’esercizio 3 che la relazione tra

tensione di snervamento e tensioni applicate al corpo, nel caso di deformazione piana,

si semplifica in:

Siccome sappiamo che la tensione in direzione 1 deve essere zero perché non ci sono

né forze applicate né contatti con pareti dello stampo, possiamo ricavare la tensione in

direzione 3:

Calcolo della forza di compressione

Moltiplico la tensione in direzione verticale per la superficie in pianta del pezzo.

Siccome la superficie aumenta durante la compressione, considero nei calcoli la

superficie finale, ossia mi metto nelle condizioni in cui la forza è massima.


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5. Stato di tensione multiassiale

Un metallo snerva plasticamente sotto lo stato di tensione mostrato nella figura

seguente:

a) Si indichino gli assi delle tensioni principali in accordo con la convenzione (1,2,3).

b) Qual è la tensione di snervamento in accordo con il criterio di Tresca?

c) Quale se si usa il criterio di Von Mises?

d) Lo stato di tensione determina deformazioni misurate pari a 1=0,4 ed 2=0,2 con

3 che non viene misurato. Qual è il valore di 3?

SOLUZIONE

a) Ciò che si ottiene è: 1=50 MPa, 2=20 MPa e 3=-40 MPa.

b) Applicando il criterio di Tresca si ottiene che la tensione di snervamento è:

c) Applicando il criterio di Von Mises si ha che la tensione di snervamento è:

d) Applicando la legge di conservazione dei volumi, si ottiene che

20 MPa

40 MPa

50 MPa


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6. Tensioni e deformazioni

Sono noti i seguenti dati per una prova di trazione su di un provino (costituito per l’80%

da Rame e il 20% da Nichel) avente una sezione iniziale di 6,35 mm x 6,38 mm e una

lunghezza iniziale di 25 mm.

l (mm) L (mm) A (mm2) F (N)

0 25 40,513 0

2 9100

4 11200

6 12600

8 13500

10 14000

12,5 14200

ROTTURA 9,98 -

Tracciare i diagrammi tensioni-deformazioni nominali, reali e su scala doppio-

logaritmica.

Calcolare inoltre il valore di Kw0 ed n (costanti della legge di Hollomon).

SOLUZIONE

Il provino è realizzato in Cu-Ni

P [N] l [mm]

[MPa]

0 0 0 0 0 0

9100 2 224,6 0,08 242,6 0,08

11200 4 276,5 0,16 320,7 0,15

12600 6 311 0,24 385,7 0,22

13500 8 333,2 0,32 439,9 0,28

14000 10 345,6 0,40 483,8 0,34

14200 12,5 350,5 0,50 525,8 0,41


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Rottura AR = 9,98 mm2

Calcolo dei coefficienti della legge di Hollomon:

x y


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P l s e log log

0 0 0 0 0 0

9100 2 224,6 0,08 242,59 0,08 2,3849 -1,1137

11200 4 276,5 0,16 320,69 0,15 2,5061 -0,8285

12600 6 311 0,24 385,65 0,22 2,5862 -0,6673

13500 8 333,2 0,32 439,86 0,28 2,6433 -0,5565

14000 10 345,6 0,40 483,80 0,34 2,6847 -0,4731

14200 12,5 350,5 0,50 525,76 0,41 2,7208 -0,3920


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Un componente di un velivolo è costituito da una barra di diametro D = 20 mm e

lunghezza l0 = 400 mm sottoposta a trazione pura. Per la sua produzione si propone di

utilizzare una lega Al 7075-T6 oppure la lega di titanio Ti-6Al-4V oppure acciaio AISI

4340 (temprato e raffreddato a 425 °C). Calcolare:

a) l’allungamento sotto il carico a trazione di 80 kN;

b) il carico di snervamento;

c) il carico prima della frattura.

Per i materiali indicati, si assumano i seguenti dati:

Ti-6Al-4V AISI 4340 Al7075-T6

E [MPa] 119500 210000 70000

s [MPa] 825 1365 496

UTS [MPa] 898 1470 558

SOLUZIONE

Analizziamo il componente in Al 7075-T6 (E=70 GPa, s=496 MPa, UTS=558 MPa)

Barra ha D=20 mm e lunghezza lo=400 mm.

Verificare che n < Y < s regime elastico, quindi n = E*e


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Ti-6Al-4V (E=119500MPa, s=825 MPa, UTS=898 MPa)

AISI 4340 (E=210000MPa, s=1365 MPa, UTS=1470 MPa)

Dalla tabella, confrontare le caratteristiche dei materiali.


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Un componente è costituito da una barra di 400 mm di lunghezza. Esso deve

sopportare senza snervamento un carico di 80 kN di trazione con un fattore di

sicurezza SF = 2 (ossia la tensione non deve mai superare il 50% della tensione di

snervamento). La barra è realizzata nella lega di Al 7075-T6 o in uno dei materiali

dell’esercizio precedente. Considerate le seguenti densità

Ti-6Al-4V AISI 4340 Al7075-T6

Densità

[Kg/dm3] 4.43 7.86 2.77

quale dei materiali darà luogo al componente più leggero?

SOLUZIONE

Barra lunghezza l0=400mm.

Carico max a trazione 80kN (SF=2)

Valutiamo quale materiale permetterà l’ottenimento del componente più leggero.

(Nell’esercitazione svolgere i calcoli solamente per un materiale..)

Ti-6Al-4V


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AISI 4340

Al7075-T6

Da tutto ciò si evince che il componente più leggero sarà in Ti-6Al.


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9. Determinazione della curva caratteristica -

Data la curva:

l [mm] F [N]

0 1600

0,2 2500

0,8 3000

2 3600

4 4200

6 4500

8,6 4600

9,8 3300

Noti:

- Il carico di rottura Fm = 3300 N ,

- La lunghezza iniziale del provino l0 = 20 mm ,

- L’area della sezione iniziale S0 = 5,6 mm2,

- L’area della sezione di rottura Sstr = 1,6 mm2

Calcolare le curve (n , e ) e , )

SOLUZIONE

Dalle seguenti relazioni:

- Lunghezza del provino:

- Area della sezione del provino:

- La tensione nominale:

- La deformazione nominale:


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- La tensione reale:

- La deformazione naturale:

- La deformazione a rottura:

Si completa la tabella che permette di ricavare la caratteristica -

A questo punto è possibile ricavare la caratteristica in un grafico tensione – deformazione:


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10. Determinazione della tensione di rottura

Data la curva trovare il carico di rottura.

SOLUZIONE

Con la condizione di instabilità si ottiene derivando la curva rispetto ad

In questo modo si ottiene:


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Di una prova di trazione si conosce Re = 150 MPa, Rm = 300 MPa e A = 20%

(allungamento a rottura). Si vogliono conoscere i corrispondenti valori espressi in

grandezze reali.

SOLUZIONE

Per la risoluzione dell’esercizio bisogna richiamare alcuni passaggi che mettono in

relazione grandezze reali con grandezze nominali.

- La deformazione nominale:

- La tensione reale:

- La deformazione naturale

Inoltre bisogna fare delle assunzioni sugli allungamenti poiché non sono noti: per

l’allungamento a snervamento, si supponga che l’allungamento sia nullo, quindi:

Per quanto riguarda il carico di rottura si suppone che l’allungamento sia

l’allungamento a rottura, per cui:


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Una barretta cilindrica ha diametro di d = 3 mm ed è sollecitata da una forza F = 100 N.

Calcolare:

a) la perpendicolare alla sezione trasversale

b) la perpendicolare a un piano inclinato di = 45° rispetto all’asse.

SOLUZIONE

a) Calcolo della perpendicolare alla sezione trasversale

b) Calcolo della perpendicolare a un piano inclinato di = 45° rispetto all’asse

L’area della superficie S45° si ricava proiettandola sulla superficie S; la proiezione si

esegue attraverso il prodotto scalare dei versori normali alle due superfici. Tale

prodotto vale cos45°.


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Data la seguente curva:

Consideriamo una legge lineare di approssimazione della curva caratteristica in campo

elastico. Il modulo di Young equivale a E = 210000 MPa, A = 1294MPa, B = 650 MPa.

a) Trovare il carico di snervamento secondo le norme UNI (res = 0,2%)

b) Ricavare la caratteristica del materiale in campo elasto-plastico

SOLUZIONE

a) Trovare il carico di snervamento secondo le norme UNI (res = 0,2%)

Mettendo a sistema le curve in campo elastico e plastico, il carico di snervamento

risulta pari a = 1299 MPa.

Si può visualizzare questa situazione nel grafico tensioni-deformazioni:


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b) Ricavare la caratteristica del materiale in campo elasto-plastico


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Si calcoli il valore del carico limite di snervamento di un materiale nota la legge

costitutiva esponenziale:

di cui C = 1294MPa, n = 0,2 e

Inoltre il comportamento elastico è lineare con modulo di Young E = 210 GPa ed il

carico residuo è calcolato secondo le norme UNI (res = 0,2%).

SOLUZIONE

Svolgendo con i dati noti l’equazione costitutiva del materiale si ottiene:

L’equazione risultante è risolubile al computer con un metodo iterativo. Dai dati si

ottiene un valore = 797 MPa che corrisponde al limite di snervamento del materiale.

Come nell’esercizio 13 per il calcolo del limite di snervamento la legge costitutiva valida

solo in campo plastico si estende al tratto elastico.


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A questo punto è possibile ricavare il grafico della caratteristica del materiale con

relazione in campo elastico (lineare) e plastico (esponenziale):

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