equilíbrio do corpo rígido etep_aula5
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A Terra exerce uma força sobre cada um dos pontos materiais que
formam um corpo. Todas essas pequenas forças podem ser substituídas
por uma única força equivalente (P) sobre o corpo aplicada num ponto G
(no centro de gravidade do corpo) chamado de baricentro.
Introdução
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As forças exercidas pela Terra sobre a placa são denominadas ∆P, e estão
orientadas para o centro da Terra.
Introdução
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Se aumentarmos o número de elementos em que a placa é dividida e
diminuirmos simultaneamente o tamanho de cada elemento, teremos no
limite as seguintes expressões que definem o peso P e as coordenadas
do baricentro.
dPyPydPxPxdPP
Podemos observar que para se encontrar as coordenadas do baricentro G de um
arame ou cabo , o baricentro G geralmente não estará sobre o arame se ele não
for reto.
Introdução
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Centróide de placas e curvas
No caso de superfícies homogêneas de espessura
uniforme, o módulo ∆P do peso de um elemento de placa
pode ser expresso como:
Onde:
= peso específico no material (peso por volume)
t = espessura da superfície
∆A = área do elemento
AtP
Placa homogênea
Podemos definir o módulo P do peso da placa inteira como:
Onde A é a área total da placa.
AtP
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Centróide de placas e curvas
Para calcular as coordenadas 𝑥 e 𝑦 do centróide de uma superfície por tanto
temos:
𝑥 =1
𝐴 𝑥𝑑𝐴 𝑦 =
1
𝐴 𝑦𝑑𝐴
Se aumentarmos o número de elementos em que a placa homogênea é dividida e
diminuirmos simultaneamente o tamanho de cada elemento, teremos no limite as
seguintes expressões que definem as coordenadas 𝑥 e 𝑦 por integral.
dAyAyedAxAx
O ponto G definido pelas coordenadas 𝑥 e 𝑦 é conhecido como Centróide C da
superfície A.
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Centróide de placas e curvas
No caso de um arame homogêneo de seção
transversal uniforme, o módulo ∆P de um elemento do
arame pode ser expresso como:
Onde:
= peso específico no material (peso por volume)
a = área da sessão transversal do arame
∆L = comprimento do elemento
LaP
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𝑥 =1
𝐿 𝑥𝑑𝐿 𝑦 =
1
𝐿 𝑦𝑑𝐿
Centróide de placas e curvas
Para calcular as coordenadas 𝑥 e 𝑦 do centróide de um arame homogêneo temos:
Podemos definir o módulo P do peso do arame inteira como:
Onde L é o comprimento total do arame.
LtP
dLyLyedLxLx
O ponto G definido pelas coordenadas 𝑥 e 𝑦 é conhecido como centróide C da
superfície delimitada pelo arame.
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Momentos de primeira ordem (Q)
O cálculo de momento de primeira ordem é útil para se calcular as forças cortantes
devido a carregamentos transversais em elementos de máquina, e sua
determinação é simples:
A integral é conhecida como momento de primeira ordem da superfície A em
relação ao eixo y , representada por Qy
A integral é conhecida como momento de primeira ordem da superfície A em
relação ao eixo x, representada por Qx.
Assim, teremos:
xdA
ydA
ydAQxexdAQy
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Comparando essa equação com podemos chegar na
equação do momento de primeira ordem em função da área.
AyQxeAxQy
Observação: o momento de primeira ordem estático pode ser negativo dependendo
do quadrante em que se encontra.
dAyAyedAxAx
Portanto podemos calcular as coordenadas 𝑥 e 𝑦 como:
𝑥 =𝑄𝑦
𝐴 𝑦 =
𝑄𝑥
𝐴
Momentos de primeira ordem (Q)
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Centróide de uma superfície
Livro: BEER, Ferdinand P.;
JOHNSTON JR., E. Russell.
Mecânica vetorial para
engenheiros. São Paulo:
Makron Books, 2006. 5ª
edição, página 295.
Tabela de centróides
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Centróide de placas compostas
Em muitos casos, uma placa ou superfície não tem o formato comum
como mostrado na tabela de baricentros, Neste caso, uma placa pode
ser dividida em retângulos ou triângulos.
nn
nn
PyPyPyPnPPY
PxPxPxPnPPX
...)...21(
...)...21(
2211
2211
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Centróide de placas compostas
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Centróide de placas compostas
Determine as coordenadas do centróide para a superfície plana e
homogênea abaixo (Exercício Resolvido 5.1 da página 299 do livro BEER,
Ferdinand P.; JOHNSTON JR., E. Russell. Mecânica vetorial para
engenheiros. São Paulo: Makron Books, 2006. 5ª edição.). :
Exemplo 1
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Centróide de placas compostas
Dividir a figura em partes geometricamente conhecidas e tabeladas
Exemplo 1
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Centróide de placas compostas
Calcular a área de cada figura e completar a tabela com as coordenadas x e y
utilizando a tabela de baricentros.
Exemplo 1
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Centróide de placas compostas Determinação do centróide por integração
Exemplo 1
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Exercícios da página 304 do livro BEER, Ferdinand P.; JOHNSTON JR., E.
Russell. Mecânica vetorial para engenheiros. São Paulo: Makron Books, 2006. 5ª
edição.
Centróide de placas compostas
Exemplo 1
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Centróide de placas compostas
Exemplo 2
O triângulo da figura é feito de um arame fino e homogêneo. Determinar seu
baricentro (Exercício Resolvido 5.2 da página 301 do livro BEER, Ferdinand P.;
JOHNSTON JR., E. Russell. Mecânica vetorial para engenheiros. São Paulo: Makron
Books, 2006. 5ª edição.).
65 cm
60 cm
C
A B
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Centróide de placas compostas
Exemplo 2
Segmento L,cm 𝒙 ,cm 𝒚 ,cm 𝒙 𝐋, 𝒄𝒎𝟐 𝒙 𝐋, 𝒄𝒎𝟐
AB BC CA
60 65 25
30 30 0
0 12,5 12,5
1,8 x 103 1,95 x 103
0
0 0,81 x 103 0,31 x 103
ΣL= 150 Σ𝑥 𝐿 = 3,75 x 103 Σ𝑦 𝐿 = 1,12 x 103
25 cm
60 cm
y
x
30 cm
12,5 cm
C
A B
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Centróide de placas compostas
Exemplo 2
𝑋 𝐿 = 𝑥 𝐿 𝑋 150 𝑐𝑚 = 3,75 𝑥 103𝑐𝑚2
𝑌 𝐿 = 𝑦 𝐿 𝑌 150 𝑐𝑚 = 1,12𝑥 103𝑐𝑚2
𝑋 =3,75 𝑥 103𝑐𝑚2
150 𝑐𝑚= 25,0 cm
𝑌 =1,12 𝑥 103𝑐𝑚2
150 𝑐𝑚= 7,5 cm
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Determinação do centróide por integração
y
dx x
x
y
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Exemplo 1
Determinação do centróide por integração
Determine as coordenadas do centróide para a superfície plana e homogênea
abaixo:
x
30 cm
40 cm
y
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Primeiramente temos que determinar 𝑥 𝑒𝑙 , 𝑦 𝑒𝑙 e dA. Optando por efetuar a
integração na direção x. Os valores de 𝑥 𝑒𝑙 , 𝑦 𝑒𝑙 e dA são:
Exemplo 1
Determinação do centróide por integração
𝑥 𝑒𝑙 = 𝑥 𝑦 𝑒𝑙 =𝑦
2 𝑑𝐴 = 𝑦𝑑𝑥
x
30 cm
40 cm
y Observe que a y possui uma
dependência linear com x,
assim:
𝑦 =30
40𝑥 =0,75x
y = 0,75x
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Exemplo 1
Determinação do centróide por integração
Calculando a área abaixo da reta:
𝑄𝑦 = 𝑥𝑒𝑙𝑑𝐴 = 𝑥𝑦𝑑𝑥 = 0,75𝑥2𝑑𝑥 =0,75𝑥3
3
40
0
40
0
40
0=
0,75 (40)3
3= 16000 𝑐𝑚3
Calculando os momentos de primeira ordem Qx e Qy:
𝐴 = 𝑑𝐴 = 𝑑𝑥 = 0,75𝑥𝑑𝑥 =0,75𝑥2
2
40
0
40
0
40
0=
0,75 (40)2
2= 600𝑐𝑚2
𝑄𝑥 = 𝑦𝑒𝑙𝑑𝐴 = 𝑦
2𝑦𝑑𝑥 =
𝑦2
2𝑑𝑥 =
(0,75𝑥)2
2𝑑𝑥
40
0
40
0
40
0
𝑄𝑥 =0,752
2 𝑥2𝑑𝑥 =
0,752
2
𝑥3
3
40
0
40
0=
0,75 (40)3
6= 6000 𝑐𝑚3
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Calculando as coordenadas 𝑥 𝑒 𝑦 :
Exemplo 1
Determinação do centróide por integração
𝑥 =𝑄𝑦
𝐴=
16000
600= 26,6 cm 𝑦 =
𝑄𝑥
𝐴=
6000
600= 10,0 cm
x
30 cm
40 cm
y
26,6 cm
10 cm
Centróide
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x
b
a
y
𝑦 = 𝑘𝑥2
Determinar por integração direta , o centróide da superfície sob a parábola
(Exercício Resolvido 5.4 da página 314 do livro BEER, Ferdinand P.; JOHNSTON
JR., E. Russell. Mecânica vetorial para engenheiros. São Paulo: Makron Books,
2006. 5ª edição).
Exemplo 2
Determinação do centróide por integração
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Nesse caso primeiro determinamos a constante k. Para isso observamos que y = b
quando x = a. Substituindo na função obtemos 𝑘 = 𝑏/𝑎2.
Exemplo 2
Determinação do centróide por integração
Optando por efetuar a integração na direção x. Os valores de 𝑥 𝑒𝑙 , 𝑦 𝑒𝑙 , dA e da
função são:
𝑥 𝑒𝑙 = 𝑥 𝑦 𝑒𝑙 =𝑦
2 𝑑𝐴 = 𝑦𝑑𝑥 𝑦 =
𝑏
𝑎2𝑥2
𝐴 = 𝑑𝐴 = 𝑦𝑑𝑥 = 𝑏
𝑎2𝑥2𝑑𝑥 =
𝑏
𝑎2
𝑎
0
𝑎
0
𝑥3
3 𝑎
0=
𝑏𝑎3
3𝑎2=
𝑎𝑏
3
Calculando a área abaixo da curva:
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Exemplo 2
Determinação do centróide por integração
Calculando os momentos de primeira ordem Qx e Qy:
𝑄𝑦 = 𝑥𝑒𝑙𝑑𝐴 = 𝑥𝑦𝑑𝑥 = 𝑥𝑏
𝑎2 𝑥2 𝑑𝑥 =𝑏
𝑎2
𝑥4
4
𝑎
0
𝑎
0
𝑎
0=
𝑏 𝑎2
4
𝑄𝑥 = 𝑦𝑒𝑙𝑑𝐴 = 𝑦
2𝑦𝑑𝑥 =
1
2
𝑏
𝑎2 𝑥2
2
=𝑏2
2𝑎4
𝑥5
5 𝑎
0=
𝑎𝑏2
10
𝑎
0
𝑎
0
Calculando as coordenadas do centróide 𝑥 𝑒 𝑦 :
𝑥 =𝑄𝑦
𝐴=
𝑎2𝑏4𝑎𝑏3
=𝑎2𝑏
4
3
𝑎𝑏=
3𝑎
4 𝑦 =
𝑄𝑥
𝐴=
𝑎𝑏2
10𝑎𝑏3
=𝑎𝑏2
10
3
𝑎𝑏=
3𝑏
10