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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
• EDOs de primeira ordem –
Problema de Valor Inicial (PVI)
• Método de passo simples
• Método de Euler
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑦 𝑥0 = 𝑦0
𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑛𝑜𝑣𝑜 = 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑎𝑛𝑡𝑖𝑔𝑜 + 𝑖𝑛𝑐𝑙𝑖𝑛𝑎çã𝑜 × 𝑝𝑎𝑠𝑠𝑜
𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + 𝑓 𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 ℎ
EXEMPLO 22
A taxa de transformação de um composto dentro de um reator segue uma cinética de
primeira ordem conforme a equação
onde k é a constante de velocidade. Considerando uma concentração inicial c0 = 10 g L-1
e k = 0,2 min-1, calcule os valores da concentração do composto no intervalo de 0 até 30
minutos. Use o método de Euler e compare o cálculo com passos de 3, 1 e 0,5 minutos,
para fazer a comparação use o valor exato da equação diferencial como uma
referência.
𝑑𝑐
𝑑𝑡= −𝑘𝑐
MÉTODO DE EULER MODIFICADO
𝑦𝑖+ 1 2= 𝑦𝑖 + 𝑓 𝑥𝑖 , 𝑦𝑖
ℎ
2
𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + 𝑓 𝑥𝑖+ 1 2, 𝑦𝑖+ 1 2
ℎ
EXEMPLO 23
Considere um reator em estado transiente conforme a representação abaixo
O balanço de massa para esse reator pode ser escrito como Acúmulo = Entrada – Saída, ou
seja,
onde V (m3) é o volume do reator, c (mg m-3) a concentração no interior do reator, Q (m3 min-1)
é a vazão e cin (mg m-3) é concentração na entrada do reator. Considere cin = 50 mg m-3, Q =
5 m3 min-1, V = 100 m3 e que para t = 0 min, c0 = 10 mg m-3. Calcule a concentração no
interior do reator para o intervalo de 0 a 60 min usando o método de Euler e Euler modificado.
Compare os valores calculados usando um passo de 10 min e depois 5 min, use a solução exata
representada pela equação abaixo como referência.
𝑉𝑑𝑐
𝑑𝑡= 𝑄𝑐𝑖𝑛 − 𝑄𝑐
𝑐 = 50 1 − 𝑒−0,05𝑡 + 10𝑒−0,05𝑡
MÉTODOS DE RUNGE-KUTTA (RK)
• Classe de métodos de passo simples
• A função incremento (inclinação) pode ser de ordem n
• Os valores de de a, p e q são constantes usadas para calcular as relações de
recorrência k e possibilitam infinitos métodos de RK.
RUNGE-KUTTA NO MATLAB
• No MATLAB existem diversos esquemas RK para a solução de EDOs:
ode45, ode15s, ode23, ode113, ode23t, ode23tb, ode23s e ode15i.
• A função ode45 é a primeira escolha para a maioria dos problemas.
• ode45: método de passo simples adaptativo de ordem variável entre 4
e 5 (Dormand-Prince).
• >> [x,y] = ode45(odefun,x,y0);
EXEMPLO 24
Suponha que um grande tanque para misturas, figura ao lado,
contenha inicialmente 300 L de água, no qual foram dissolvidos 50 g
de sal. Então, quando a solução está bem misturada, uma outra
solução de sal com concentração de 2 g L-1 é bombeada para dentro
do tanque a uma taxa de 3 L min-1 e a solução do tanque é
bombeada para fora a uma taxa de 3,5 L min-1. (a) Determine uma
equação diferencial para a massa de sal no tanque em qualquer
instante t. (b) Calcule uma solução para essa equação usando o
método de Euler, Euler modificado e RK usando a função ode45 do
MATLAB. Faça gráficos para comparar as respostas usando passos
de 30 min e 15 min.
SISTEMAS DE EDOS
• n EDOs com n condições iniciais.
• Os métodos de passo simples
podem ser empregados.
EXEMPLO 25
A hidrogenação do óleo de soja em presença de um catalisador metálico é um
processo muito empregado pela indústria de alimentos para produzir gorduras com
características bem definidas. Para o óleo de soja, a hidrogenação pode ser
representada de maneira simplificada por um mecanismo de três reações consecutivas.
Onde C18:3 representa o ácido linolênico, C18:2 o ácido linoleico, C18:1 o ácido
oleico, C18:0 o ácido esteárico e ki a constante de velocidade de cada reação
consecutiva. (a) Escreva um sistema de EDOs para representar esse mecanismo de
reação. (b) Resolva o sistema de EDOs no intervalo de 0 até 5 horas considerando k1
= 0,0760 min-1, k2 = 0,0454 min-1, k3 = 0,0039 min-1, CC18:3,0 = 6,0 g/100g óleo,
CC18:2,0 = 48,0 g/100g óleo, CC18:1,0 = 29,0 g/100g óleo e CC18:0,0 = 5,0 g/100g
óleo. Teste a solução para os passos de 30 min, 15 min e 5 min.
𝐶18: 3 𝑘1𝐶18: 2
𝑘2𝐶18: 1
𝑘3𝐶18: 0
EDO DE ORDEM SUPERIOR
• EDOs de ordem superior podem ser reduzidas a um sistema de EDOs de
primeira ordem.
• Suponha uma EDO de segunda ordem
𝑎𝑑2𝑦
𝑑𝑥2+ 𝑏
𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 𝑐𝑦 = 0
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑧
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2=𝑑𝑧
𝑑𝑥
𝑎𝑑𝑧
𝑑𝑥+ 𝑏𝑧 + 𝑐𝑦 = 0
𝑑𝑧
𝑑𝑥=−𝑏𝑧 − 𝑐𝑦
𝑎 𝑦 0 = 𝑦0𝑑𝑦(0)
𝑑𝑥= 𝑦1
EXEMPLO 26
O movimento harmônico livre pode ser utilizado para
descrever o deslocamento realizado por um peso preso
em uma mola, figura ao lado, conforme a equação abaixo
onde s (m) é o deslocamento em relação à posição de
equilíbrio, k (N m-1) é a constante elástica da mola e m
(kg) é a massa do corpo peso preso na mola. Suponha
que um peso de 1 kg seja deslocado em 50 cm da
posição de equilíbrio da mola e que após ser solto o
deslocamento tenha uma velocidade inicial de 1,0 m s-1 e k
= 49 N m-1. Resolva a EDO de ordem superior no
intervalo de 0 a 10 s usando os métodos de Euler, Euler
modificado e RK45. Teste os passos de 0,1 s 0,01 s e
0,001 s.
𝑑2𝑠
𝑑𝑡2+𝑘
𝑚𝑠 = 0
EDO – PROBLEMAS DE VALORES DE CONTORNO
• Método de diferenças finitas:
• Divisão do domínio em um conjunto de pontos
nodais (malha)
• Aproximação das derivadas por diferenças
finitas usando a série de Taylor (sempre que
possível usar diferenças finitas centrais)
• Colocação da equação de diferenças
(montagem do sistema de equações
algébricas)
• Incorporação das condições de contorno:
Dirichlet (tipo 1) ou Neumann (tipo 2)
• Resolução do sistema de equações
algébricas
EXEMPLO 27
A variação de temperatura ao longo de uma haste longa e
fina pode ser modelada pela equação
onde T (°C) é a temperatura em qualquer posição x (m) da
haste, k (m-2) é o coeficiente de transferência de calor e Ta
(°C) é a temperatura ambiente. Considere uma haste de 10
m, figura ao lado, com T(0) = 40°C, T(L) = 200°C, Ta = 20°C
e k = 0,01 m-2. Faça a previsão da temperatura ao longo da
haste usando o método de diferenças finitas centrais.
Compare a solução com 6 pontos nodais ao resultado exato
dessa equação.
𝑑2𝑇
𝑑𝑥2+ 𝑘 𝑇𝑎 − 𝑇 = 0
𝑇 = 73,4523𝑒0,1𝑥 − 53,4523𝑒−0,1𝑥 + 20
EXEMPLO 28
Reconsidere o exemplo 27 alterando a condição de contorno em x = 0 para
𝑑𝑇
𝑑𝑥= 0. Resolva o problema usando diferenças finitas centrais com uma malha
de 11 pontos.