eotv os l or and tudom anyegyetem -...
TRANSCRIPT
EOTVOS LORAND TUDOMANYEGYETEM
Bebes Andras
Hatekony portfoliok kulonbozo kockazati
mertekek szerint
Temavezeto: Madi-Nagy GergelyBSc szakdolgozat
Termeszettudomanyi Kar
Matematika BSc szakon
2011. junius 2.
EOTVOS LORAND TUDOMANYEGYETEM
Kivonat
Termeszettudomanyi Kar
Matematika BSc
A penzugyi vilagban rendkıvul nagy jelentoseggel bır, hogy penzunket milyen formaban,
hol es hogyan fektessuk be. A befektetesek kialakıtasanak elso es legfontosabb szempont-
ja a befekteto penzugyi viselkedese, hogy mekkora kockazatot hajlando vallalni, illetve,
hogy mekkora hozamot var el az adott befektetestol. A szakdolgozat a portfoliokepzes,
gyakorlati alkalmazasait mutatja be nehany alapveto modell segıtsegevel. A portfolio
elmelet alapja a portfolio, ami tobbfele ertekpapır egy kosarat jelenti. Az egyes ertekpapı-
rok tetszoleges sullyal szerepelhetnek a kosarban, celunk, hogy a befekteto igenyeinek
megfeleloen optimalis legyen az adott portfolio. Tehat, adott kockazat mellett a varhato
hozam maximalis, illetve adott hozam mellett a kockazat minimalis legyen. A vallalt
kockazat, illetve az elvart hozam pedig a befekteto magatartasatol fuggoen valtozik.
Az elso fejezetben bemutatjuk a portfolio alapveto tulajdonsagait. Megmutatjuk, hogy
mikent csokkentheti a diverzifikacio, tehat a portfolioban szereplo eszkozok csokkentesere
iranyulo magatartas, a kockazatot. A portfolio elmelet temakorevel eloszor Harry Marko-
witz foglalkozott 1952-ben megjelent cikkeben. A cikk a kovetkezo feltevesen alapul:
egy befekteto minel magasabb varhato hozamu, de minel alacsonyabb hozamszorasu
portfoliora vagyik. Ezutan definialjuk a Markowitz-fele hatekony portfoliokat.
A masodik fejezetben definialunk nehany a kockazat meresere alkalmas merteket. Majd
ezek segıtsegevel felırunk nehany alapveto modellt, amely a hatekony portfolio kialakıta-
sara alkalmas.
A harmadik fejezetben roviden bemutatjuk a szimplex algoritmus mukodeset, amely
a linearis programozasi feladat megoldasara alkalmas, valamint ennek a modosıtott
valtozatat, amely a programozasban optimalisabb a tarhelyigeny csokkentese miatt.
Az altalanosıtott redukalt gradiens modszer a nemlinearis programozasi feladatokra ad
megoldasi algoritmust. A fejezet vegen a korabban felırt modelleket olyan alakra hozzuk,
hogy tudjuk rajuk alkalmazni a kulonfele algoritmusokat.
Az utolso fejezet temaja egy konkret modellen bemutatni a korabban leırt modszereket.
A korabbi evek adatai rendelkezesunkre allnak, ıgy azokat rendszerezve kepesek vagyunk
kialakıtani sajat magunk szamara egy olyan adatbazist, amelyet aztan felhasznalva
megoldhatjuk a portfolio problemat.
Koszonetnyilvanıtas
Szeretnek koszonetet mondani mindazoknak, akik segıtettek munkamat. Kulonoskeppen
temavezetomnek, Madi-Nagy Gergelynek, akinek ideje nem volt draga, hogy foglalkozzon
velem, s kerdeseimmel barmikor nyugodtan fordulhattam hozza. Szeretnem meg megko-
szonni Biszak Elodnek a segıtseget, amit a dolgozat megırasa kozben nyujtott, valamint
Druszamnak, illetve barataimnak, hogy vegig mellettem alltak. Ezenfelul szeretnek
koszonetet mondani csaladomnak, kulonoskeppen Tamasovics Ritanak, aki mindvegig
mellettem allt.
ii
Tartalomjegyzek
Kivonat i
Koszonetnyilvanıtas ii
Abrak jegyzeke v
Tablazatok jegyzeke vi
1. Hatekony portfolio 11.1. A portfolio fogalma, alapveto tulajdonsagai . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1. Diverzifikacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Hatekony portfolio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2. Portfolio problema 52.1. A kockazat mertekei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.1. Portfolio kockazatanak szamıtasa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2. A problema modellezese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2.1. Az atlag-variancia problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2.2. Az atlagos abszolut-elteres modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2.3. Az atlag negatıv-elteres problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3. Linearis, illetve kvadratikus programozasi feladatta alakıtas 123.1. Megoldasi modszerek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.1.1. Szimplex algoritmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.1.2. Modosıtott szimplex algoritmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.1.3. Redukalt gradiens modszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2. A modellek megfelelo alakra hozasa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2.1. Az atlag abszolut-elteres modell, mint linearis programozasi feladat 173.2.2. Az atlag negatıv-elteres modell, mint linearis programozasi feladat 18
4. A hatekony portfolio kialakıtasa 204.1. Az adatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.1.1. Reszvenyek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.1.2. Elvart hozam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.2. A problema megoldasa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.2.1. Az atlag-variancia modell megoldasa . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.2.2. Az atlag abszolut-elteres modell megoldasa . . . . . . . . . . . . . 274.2.3. Az atlag negatıv-elteres modell megoldasa . . . . . . . . . . . . . . 31
iii
Contents iv
4.3. Osszegzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
A. Adatgyujto program 34
Irodalomjegyzek 35
Abrak jegyzeke
1.1. A kockazat alakulasa a diverzifikacio hatasara . . . . . . . . . . . . . . . . 3
4.1. Az atlag-variancia modell kezdeti allapota . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.2. Az atlag-variancia problema megoldasa Emin mellett . . . . . . . . . . . . 244.3. Az atlag-variancia problema megoldasa Eatlag mellett . . . . . . . . . . . . 254.4. Az atlag-variancia problema megoldasa Emax mellett . . . . . . . . . . . . 264.5. Az atlag abszolut-elteres modell (alapfeladat) . . . . . . . . . . . . . . . . 274.6. Az atlag abszolut-elteres modell megoldasa (Emin mellett) . . . . . . . . . 284.7. Az atlag abszolut-elteres modell megoldasa (Eatlag mellett) . . . . . . . . 294.8. Az atlag abszolut-elteres modell megoldasa (Emax mellett) . . . . . . . . . 30
A.1. tozsde.pl implementacioja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
v
Tablazatok jegyzeke
1.1. Diverzifikacio hatasa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
3.1. Kezdeti szimplex tabla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.1. A BET-en 10 eve jelen levo reszvenyek varhato hozama . . . . . . . . . . 224.2. Elvart hozamok a dolgozatban . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.3. Reszvenyek eloszlasa a portfolioban Emin mellett (variancia probl.) . . . . 254.4. Reszvenyek eloszlasa a portfolioban Eatlag mellett (variancia probl.) . . . 264.5. Reszvenyek eloszlasa a portfolioban Emax mellett (variancia probl.) . . . . 274.6. Reszvenyek eloszlasa a portfolioban Emin mellett (abszolut-elteres) . . . . 284.7. Reszvenyek eloszlasa a portfolioban Eatlag mellett (abszolut-elteres) . . . . 294.8. Reszvenyek eloszlasa a portfolioban Emax mellett (abszolut-elteres) . . . . 294.9. Osszesıtett tablazat (abszolut-elteres) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.10. Osszesıtett tablazat (negatıv-elteres) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.11. Eredmenyek osszesıtese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
vi
1. fejezet
Hatekony portfolio
A fejezethez szukseges adatokat, illetve definıciokat a [1] konyv felhasznalasaval gyuj-
tottem ossze.
1.1. A portfolio fogalma, alapveto tulajdonsagai
1. Definıcio. (Portfolio) Penzugyben a portfolio tobbfele befektetesi lehetoseg egy cso-
portjat jelenti, amelyet egy intezmeny vagy egyenek birtokolhatnak.
Az egyik legfontosabb szempont a kulonbozo ertekpapırok osszevalogatasakor a multbeli
adatok felhasznalasa. Az ertekpapır egy adott idointervallum alatt megfigyelheto viselke-
dese jo esellyel mutatja, hogy az ertekpapır hogyan fog viselkedni a jovoben. Persze
ez az elvart viselkedes egyaltalan nem biztos, hiszen nem tudhatjuk, hogy a befektetok
magatartasa nem valtozott-e olyan markansan, hogy a multbeli adatok mutatta varhato
hozamok alakulasa relevansan megvaltozik. Ez ugyan mindig hordoz magaban kisebb-
nagyobb kockazatot, am egy adott eszkoznek a multban megfigyelheto mozgasa megis
segıtsegunkre lehet. Az elmult evek kulonbozo eszkozeinek mozgasa pedig tobb helyen
is dokumentalva van, ıgy tobb lehetosegunk is akad ezek osszegyujtesere, elemzesere.
2. Definıcio. (Hozam) Penz- vagy tokepiacon alkalmazott befektetesek eredmenyekent
elert tokenovekmeny. Ertekpapır altal biztosıtott tenyleges jovedelem, amelyet a nevleges
kamat es arfolyamnyereseg, ill. a papır megszerzeskori piaci arfolyamanak aranya hataroz
meg.
3. Definıcio. (Realhozam) Megmutatja, hogy adott idoszak alatt tenylegesen mennyit
nott befektetesunk erteke. A mindenkori nominalis kamatlabak ertekebol az aktualis
inflacios erteket levonva kapjuk meg az adott idoszakra ervenyes realhozamot.
1
1. fejezet Hatekony portfolio 2
4. Definıcio. (Varhato hozam) A lehetseges hozamok valoszınusegekkel sulyozott atlaga.
Jelolje: E.
Egy portfolio osszeallıtasakor tobbfajta befektetesi eszkoz kozul is valaszthatunk, am a
dolgozat csak a kulonbozo ertekpapırokra koncentral. Ezek kozul az alabbiakban csak a
kovetkezokkel foglalkozunk: kincstarjegy, allamkotveny, vallalati kotveny, nagyvallala-
tok reszvenyei, illetve kisvallalatok reszvenyei. A kulonbozo fajta ertekpapırok mind
kulonbozo kockazati szinteket kepviselnek. A kockazat novelesevel a varhato hozam is
novekszik. Mıg a kincstarjegy teljesıtmenye eppen csak meghaladja az inflacio erteket,
addig a kisvallalati reszvenyek megterulesi rataja jocskan felette teljesıt.
1.1.1. Diverzifikacio
5. Definıcio. (Diverzifikacio) A diverzifikacio egy befektetoi magatartas, amely a portfo-
lio kockazatanak csokkentesere iranyul, megpedig a portfolioban szereplo ertekpapırok
szamanak novelesevel.
Fontos kerdes azonban, hogy miert csokkenti a diverzifikacio a portfolio kockazatat. A
valasz pedig, hogy a diverzifikacio csokkenti a valtozekonysagot, tehat a hozamingado-
zast. Valojaban mar kisfoku diverzifikacioval jelentos csokkenest lehet elerni. Hatasa
azert ilyen jelentos, mert a kulonbozo papırok arfolyamai nem mozognak egyutt, vagyis
nem korrelalnak.
Figyeljuk meg a diverzifikacio hatasat a kovetkezo egyszerubb peldan. Vegyunk ket
gyarat, az egyik esokabatot, mıg a masik napernyot gyart. A kereslet nyilvanvaloan
idojarasfuggo, ıgy most feltesszuk, hogy egy adott szezonban ketfele eset lehetseges,
azonos valoszınuseggel. Vagy esos az ido a szezonban, vagy napos. A kovetkezo tablazat
mutatja a megfelelo reszveny hozamat, 1 dollarnyi reszveny vasarlasa eseten:
esokabat gyar napernyo gyar diverzifikacio (50%/50%)esos (50%) 0,5 0,1 0,3
napos (50%) 0,1 0,5 0,3E(r) 0,3 0,3 0,3σ(r) 0,2 0,2 0
1.1. tablazat. Diverzifikacio hatasa
Az elso ket sor jeloli a hozamunkat, amennyiben esos, illetve napos idonk volt a szezon-
ban. A harmadik sorban kiszamoltuk, hogy megfelelo aranyu befektetes mellett milyen
varhato hozamra szamıthatunk, mıg az utolso sorban a befektetesek szorasat szamoltuk
ki. Az oszlopok jelzik, hogy milyen aranyban fektetjuk be a penzunket. Az elso ket
oszlopban 100%-ban a penzunket vagy az esokabat gyarba, vagy a napernyo gyarba
1. fejezet Hatekony portfolio 3
fektetjuk, a harmadik oszlop jelzi, hogy mi tortenik, ha befektetesunket megosztjuk,
tehat diverzifikaljuk, a kulonbozo reszvenyek kozott. Konnyen leolvashato, hogy mıg
a varhato hozam mindenhol ugyanannyi, addig a diverzifikalt portfolioban a szoras 0,
tehat nincs kockazata a hozamnak.
Termeszetesen a fent felvazolt peldaban a ket reszveny korrelacioja teljesen ellentetes,
ıgy lehetseges, hogy azonos megosztas mellett nem csokken a varhato hozam, mıg a
kockazat eltunik. A valosagban a kulonfele ertekpapırok egymashoz valo viszonya ennel
lenyegesen arnyaltabb. A kockazatcsokkenes azonban nem korlatlan. Diverzifikacioval a
portfolio hozamanak szorasa korulbelul a felere csokkentheto, ez a javulas azonban mar
viszonylag csekely szamu reszvennyel, 15− 20 a portfolioban szereplo papırral elerheto.
1.1. abra. A kockazat alakulasa a diverzifikacio hatasara
A diverzifikacioval csokkentheto kockazatot egyedi kockazatnak nevezzuk. Ez a fajta
kockazat az egyedi vallalatok kozvetlen kockazatat jelenti, tehat a piac egeszere vonatko-
zo kockazati tenyezo kulonbozik ettol. Ezt a piac egesze altal generalt kockazatot
azonban nem lehet diverzifikacioval csokkenteni. Piaci kockazatnak hıvjuk azt a kockaza-
tot, amelyre a diverzifikacio nincs hatassal.
Jol diverzifikalt portfolionak azt nevezzuk, amelyre csak a piaci kockazat hat. Tehat,
ahol az egyedi kockazatot kikuszoboltuk. Igy egy jol diverzifikalt portfoliora valojaban
csak a piac valtozasa van hatassal, tehat csak a piaci fellendules illetve hanyatlas jelent
kockazatot.
1. fejezet Hatekony portfolio 4
1.2. Hatekony portfolio
Ahogy azt korabban megallapıtottuk a reszvenyek kulonbozo aranyu keveresevel, s a di-
verzifikacioval az elerheto kockazatok es hozamok lenyegesen szelesebb valaszteka johet
szoba. De mi a cel? A celunk, hogy ugynevezett hatekony portfoliot hozzunk letre.
Hatekonynak egy portfoliot akkor nevezunk, ha teljesulnek ra a kovetkezo tulajdonsagok:
1. nem allıthato elo a portfolioenal nem kisebb varhato hozamu, de kisebb kockazatu
portfolio,
2. nem allıthato elo a portfolioenal nem nagyobb kockazatu, de nagyobb varhato
hozamu portfolio.
Jol lathato, hogy a problemaval csak akkor erdemes foglalkozni, ha az ertekpapırok
kozott megtalalhato olyan is, amelynek varhato hozama elore veletlen. Hiszen, ha min-
den ertekpapır hozama egyertelmu lenne, akkor csak azokat valogatnank a portfolionkba,
amelyek hozama a legmagasabb.
A problemaval eloszor Harry Markowitz foglalkozott. Az ezzel kapcsolatos elso cikket
1952-ben publikalta, majd 1959-ben bovebben kidolgozva ”Portfolio Selection: Efficient
Diversification of Investment” cımen konyv formajaban jelentetett meg. A mu azota is
a temakor alapjaul szolgal.
Konnyen lathato, hogy attol fuggoen, mekkora kockazatot vallal vagy mekkora hozamot
var el a befekteto, tobb hatekony portfolio is kepezheto, e szempontok figyelembe
vetelevel. Ezen portfoliok altal alkotott halmazt hatekony hatargorbenek nevezzuk.
2. fejezet
Portfolio problema
Az elozo fejezetben felvazolt problema megoldasara tobb alkalmas modell is szuletett.
Az alabbiakban bevezetjuk a kockazat mertekeit, majd bemutatunk nehany, a hatekony
portfolio kialakıtasara alkalmas modellt. A fejezetben definialt kockazati mertekeket,
illetve a modellek bemutatasahoz szukseges informaciok osszegyujtesehez a [1] iletve [2]
forrasokat hasznaltam.
2.1. A kockazat mertekei
6. Definıcio. (Variancia) A hozam varianciaja a varhato piaci hozamtol valo elteres
negyzetenek varhato erteke. Keplete:
V ar(rm) = E(rm − rm)2,
ahol rm az aktualis piaci hozam, rm = E[rm] pedig a varhato piaci hozam. Jelolese: σ2
7. Definıcio. (Szoras) A szoras a variancia negyzetgyoke. Jelolese: σ
A piaci bizonytalansag altalanosan hasznalt mertekei tehat a szoras es a variancia.
Azonban a kulonfele modellek megertesehez meg szukseg van nehany tovabbi, a kockazat
meresere hasznalhato mertek bevezetesere.
8. Definıcio. (Benchmark) A penzugy teruleten a benchmark (mas neven referencia-
index) egy viszonyıtasai alap, egy kuszobszam, melynek segıtsegevel osszehasonlıthatova
valnak az eltero penzpiaci befektetesek adatai.
A negatıv-elteres fogalmat a multbeli hozam statisztikak segıtsegevel vezetjuk be. Legyen
rti az i-edik ertekpapır hozama a t-edik megfigyelesi periodusban, ahol i = 1, . . . , n
5
2. fejezet Portfolio problema 6
valamint t = 1, . . . , T . Legyen bmt a benchmark hozam a t-edik periodusban, t =
1, . . . , T . Elofordulhat, hogy bmt = c konstans ∀t-re. Barmely x portfolio vektor es E
eseten:
9. Definıcio. Az atlaghoz viszonyıtott negatıv-elteres:
SE(x) =1T
T∑t=1
(n∑
i=1
rtixi − E
)−,
a benchmarkhoz viszonyıtott negatıv-elteres:
Sbm(x) =1T
T∑t=1
(n∑
i=1
rtixi − bmt
)−,
ahol
z− =
{|z| , ha z < 0,
0, ha z ≥ 0.
10. Definıcio. Az atlag abszolut-elterest a kovetkezokeppen definialjuk:
Sn(x) =1T
T∑t=1
∣∣∣∣∣n∑
i=1
rtixi − E
∣∣∣∣∣ ,ahol a parameterek megegyeznek a fentiekkel.
2.1.1. Portfolio kockazatanak szamıtasa
Adott portfolio varhato hozamanak szamıtasa konnyu, hiszen annak erteke egyszeruen
a benne szereplo reszvenyek varhato hozamanak sulyozott atlaga:
Portfolio varhato hozama =N∑
i=1
xiri,
valamint∑N
i=1 xi = 1, ahol
ri jeloli az i-edik ertekpapır varhato hozamat, xi pedig az i-edik ertekpapır sulyat a
portfolioban.
A portfolio kockazata azonban korantsem ilyen egyszeru, hiszen amennyiben ott is
ezt a becslest vennenk, akkor azt felteteleznenk, hogy a portfolioban szereplo papırok
arfolyamai teljesen egyutt mozognak. De pont amiatt, hogy a reszvenyek mozgasa nem
2. fejezet Portfolio problema 7
azonos, lehetseges, hogy a diverzifikacio csokkenti a kockazatot. Azonban, hogy pontosan
lassuk az osszefuggeseket a portfolioban szereplo reszvenyek kozott ıgy szukseges bevezet-
ni a kovariancia, illetve a korrelacio fogalmat.
11. Definıcio. (Kovariancia) Az X Y ertekpapırok kovarianciaja, melyet a cov(X,Y )
jelol, egyenlo az
E((X − rX)(Y − rY ))
kifejezessel, ahol rX , rY az X, Y varhato erteke. Ha X, Y fuggetlenek egymastol, akkor
cov(X,Y ) = 0.
12. Definıcio. (Korrelacio) Ket ertekpapır korrelacioja annak merteke, hogy az egyik
papır megvaltozasa mennyire mutat osszefuggest a masik papır megvaltozasaval. A
korrelacio magas vagy alacsony attol fuggoen, hogy a ket ertekpapır kozti kapcsolat
szoros vagy sem. Azonos iranyu megvaltozasok eseten a papırok pozitıvan korrelalnak,
mıg ellentetes iranyu megvaltozasok eseten negatıvan. Egymastol fuggetlen ertekpapırok
korrelacioja zerus. A korrelacio merteke a korrelacios egyutthato:
ρ :=cov(X,Y )√D2(X)D2(Y )
Ezek segıtsegevel mar kepesek vagyunk kiszamolni egy portfolio kockazatat. Egy olyan
portfolio eseten, amelyN db reszvenyt tartalmaz, a kiszamolashoz vegyunk egy matrixot,
ahol minden oszlop egy adott reszvenyt jelent, tehat a matrix i-edik oszlopa a portfolio-
ban szereplo i-edik reszveny. Ugyanıgy a sorok is ugyanezt jelentik. Ekkor az i-edik
sor i-edik eleme jelenti az i-edik reszveny sulyozott varianciajat (σ2i ), ahol a suly a
portfolioban szereplo reszveny aranyanak negyzete (x2i ). Illetve az i-edik sor j-edik eleme
(ahol i 6= j) jelenti a ket reszveny, az elobbiekhez hasonloan, sulyozott kovarianciajat
(xixjσij). A portfolio varianciajahoz pedig a matrix elemeit kell osszeadnunk.(σ2
Portfolio =N∑
i=1
N∑i=1
xixjσij
)
Konnyen meggondolhato, hogy ha N reszvenybe fektetunk be ugy, hogy minden resz-
venybol egyenlo aranyban veszunk, akkor amennyiben N 7−→ ∞, akkor a portfolio
varianciaja az atlagos kovarianciahoz tart. Tehat, ha az atlagos kovariancia nulla lenne,
akkor minden kockazatot ki tudnank kuszobolni kelloen nagy mennyisegu ertekpapır
tartasaval. Azonban a reszvenyarfolyamok nem egymastol fuggetlenul mozognak, ami
ıgy korlatozza a diverzifikacio lehetosegeit. A jol diverzifikalt portfolio kockazata nem
tartalmaz specifikus kockazatot, hanem kizarolag piaci kockazatbol all.
2. fejezet Portfolio problema 8
2.2. A problema modellezese
Hatekony portfoliokbol a befekteto igenyei szerint tobbfele is eloallıthato. Feladatunk,
hogy adott kockazat mellett maximalizaljuk a varhato hozamot, illetve, hogy adott
varhato hozam mellett minimalizaljuk a kockazatot. Az ilyen portfoliokat hatekony
portfolioknak nevezzuk. Ezeknek egy halmaza egy gorben abrazolhato, amelyet hatekony
hatargorbenek hıvunk.
Markowitz modelljeben a portfolio kockazatat annak varianciajaval merte. Igy a prob-
lemara a programozasi modellek egy valtozatat, az un. kvadratikus programozasi fe-
ladatot kapta. Az alabbiakban ennek bemutatasara teszunk kıserletet.
Jelolje a j-edik ertekpapır hozamat a ξj valoszınusegi valtozo, xj pedig a j-edik papırba
fektetett penzmennyiseget, j = 1, . . . , n. M legyen a rendelkezesunkre allo toke. Ebbol
kiszamolhatjuk a portfolio varhato hozamat: E(ξTx) = µTx, ahol
ξ = (ξ1, . . . , ξn)T
µ = (µ1, . . . , µn)T
x = (x1, . . . , xn)T
µi = E(ξi), i = 1, . . . , n.
Legyen C a ξ kovariancia matrixa:
C = (cij), C = E[(ξ − µ)(ξ − µ)T ].
Innen a variancia:V ar(ξTx) = E[(ξ − µ)Tx]2 =
= E[xT (ξ − µ)(ξ − µ)Tx] = xTCx
A portfolio problema kvadratikus programozasi feladatkent a kovetkezokent ırhato fel:
min xTCx
n∑j=1
µjxj ≥ pM
n∑j=1
xj = M
0 ≤ xj ≤ uj , j = 1, . . . , n
(2.1)
megszorıtasokkal, ahol uj , j = 1, . . . , n eloırt felso korlatok, p pedig a befekteto altal
elvart hozam.
2. fejezet Portfolio problema 9
A (2.1) feladat gyakorlati alkalmazasahoz szukseges n(n + 1)/2 kovariancia ismerete.
Ezeket a rendelkezesre allo multbeli adatok segıtsegevel szamolhatjuk ki. Azonban, ha
pl. n = 500, akkor ez rengeteg idobe telik, s ennyi ertekpapır mellett a megoldas is
rengeteg idobe telik.
A portfolio problema masik megfogalmazasa a kovetkezo:
maxn∑
j=1
µjxj
xTCx ≤ vn∑
j=1
xj = M
0 ≤ xj ≤ uj , j = 1, . . . , n
(2.2)
A v parametert megfeleloen valtoztatva kiszamolhatok a hatekony hatargorbe elemei.
A problema felırasa parametrikus kvadratikus programozasi feladatkent:
min12
T
Cx− λn∑
j=1
µjxj
tekintve 0 ≤ xj ≤ uj , j = 1, . . . , n λ ∈ [0,∞)
(2.3)
felteteleket, ahol λ egyfajta atvaltasi parameter a varhato hozam es kockazat kozott,
melyet (megfeleloen) valtoztatva megkaphatjuk a hatekony hatargorbe pontjait.
2.2.1. Az atlag-variancia problema
Az atlag-variancia problema a klasszikus Markowitz-fele modellnek nevezett portfolio
keresesi feladat, amelyben a kockazatot a portfolio hozamanak varianciajaval merjuk.
Parametrikus kvadratikus programozasi feladatkent a kovetkezokepp ırhato fel:
min V ar = xTCx
tekintve µTx = E,
Ax = b
x ≥ 0
felteteleket ∀E ∈ [Emin, Emax]− ra,
(2.4)
ahol az x n-dimenzios vektor koordinatai a portfolioban tartott egyes ertekpapırokba
fektetett osszegek szulyait, a µ n-dimenzios vektor az ertekpapırok hozamanak varhato
2. fejezet Portfolio problema 10
ertekeit jeloli, az A(n × m)-es matrix illetve a b m-dimenzios vektor pedig a linearis
megszorıto felteteleket hatarozza meg. E jeloli a portfoliotol elvart hozamot, Emax a
maximalisan elerheto E-t, mıg Emin a minimalis varianciahoz tartozo E-t.
2.2.2. Az atlagos abszolut-elteres modell
Az atlagos abszolut elteres modelljet Konno es Yamakazi vezettek be:
min Sn(x)
tekintve, hogy µTx = E,
Ax = b,
x ≥ 0.
felteteleket ∀E ∈ [Emin, Emax]− ra,
(2.5)
ahol a parameterek ugyanazt jelentik, mint (2.4)-ben.
2.2.3. Az atlag negatıv-elteres problema
A problema megkozelıtheto mas szempontbol is, ha a befekteto csak a varhato hozam
alulteljesıtettsege miatt aggodik. Ilyenkor az atlagtol valo negatıv elterest minimalizal-
hatjuk.
Felırhato az atlag negatıv elteres problema ket megfelelo valtozatat:
min SE(x)
tekintve a µTx = E,
Ax = b
x ≥ 0
felteteleket ∀E ∈ [Emin, Emax]− ra,
(2.6)
ahol minden parameter ugyanazt jelenti, mint (2.4)-ben, Emin kivetelevel, amely most a
minimalis negatıv elteresu portfolio hozamat jelenti. A masik valtozata a problemanak
a kovetkezo:
2. fejezet Portfolio problema 11
min Sbm(x)
tekintve a µTx = E,
Ax = b
x ≥ 0
felteteleket ∀E ∈ [Emin, Emax]− ra,
(2.7)
ahol a parameterek ugyanazt jelentik, mint az elobb.
3. fejezet
Linearis, illetve kvadratikus
programozasi feladatta alakıtas
3.1. Megoldasi modszerek
13. Definıcio. (Linearis programozasi feladat) Meghatarozando egy adott linearis cel-
fuggveny optimuma egy adott linearis egyenlotlensegrendszer megoldasainak halmazan
es keresunk egy hozza tartozo optimalis megoldast is. (LP)
14. Definıcio. (Kvadratikus programozasi feladat) Kvadratikus programozasi feladatban
a feltetelek elsofokuak, a celfuggvenyben a valtozo masodfokon is szerepel. (QP)
Az ıgy felırt feladatok megoldasahoz az Excel Solver-t fogjuk majd hasznalni a kovetkezo
fejezetben. A Solver a linearis programozasi feladat megoldasahoz a szimplex algoritmust
alkalmazza, mıg a kvadratikus programozasi feladathoz a altalanosıtott redukalt gradiens
modszert alkalmazza. A Microsoft Excel 2007 problemamegoldo bovıtmenye azonban
nem kepes bonyolultabb modellek megoldasara, ugyanis nem tud nagyobb meretu vek-
torvaltozokkal szamolni. A problema elkerulese erdekeben a linearis programozasi fela-
datokat, ahol szukseg van a nagyobb vektorvaltozora, a nyılt forraskodu OpenOffice.org
program tablazatkezelojenek a Calc-nak Solver bovıtmenyevel fogjuk megoldani. A
Calc Solver az LP feladatok megoldasahoz a javıtott szimplex algoritmust vagy az
ugynevezett Elagaztatas es korlatozas modszer (Branch and Bound (BB)) hasznalja.
Ez utobbit azonban csak egeszerteku programozasi feladatok eseteben alkalmazza, ezert
a modszerrel kulon nem foglalkozunk a szakdolgozatban.
12
3. fejezet Linearis, illetve kvadratikus programozasi feladatta alakıtas 13
3.1.1. Szimplex algoritmus
A linearis programozasi feladat kanonikus alakja:
min cx
Ax = b
x ≥ 0
(3.1)
Ilyenkor a szimplex algoritmus a kovetkezo lepesekbol all:
1. Ha a tekintett lehetseges kanonikus alaku feladat celfuggvenye nem tartalmaz
negatıv egyutthatot, akkor vege az eljarasnak, a feladat bazismegoldasa optimalis
megoldas. Ellenkezo esetben a 2. lepes kovetkezik.
2. Vegyuk a negatıv cs-ek minimumat. Jelolje cj a minimummal megegyezo cs-ek
kozul a legkisebb indexut. Ha arj ≥ 0(r = 1, ..., n), akkor vege az eljarasnak,
a celfuggveny alulrol nem korlatos a lehetseges megoldasok halmazan. Ellenkezo
esetben a 3. lepes kovetkezik.
3. Ha min {br/arj : arj > 0, 1 ≤ r ≤ n} = bk1/ak1j = ... = bks/aksj , akkor valasszuk
az aktj(t = 1, ..., s) elemek kozul a legkisebb sorindexut generalo elemkent, majd
hajtsuk vegre a kovetkezo atalakıtasokat:
r′k =1
akjrk
r′i = ri −aij
akjrk (1 ≤ i ≤ n, i 6= k)
z′ = z − cjakj
rk,
ahol ri jeloli a kanonikus feladat i. egyenletet, z a celfuggveny egyenletet, r′i es z′
pedig az uj feladat i. egyenletet, illetve celfuggvenyet. Az ıgy kapott lehetseges
kanonikus alaku feladattal folytassuk az eljarast az 1. lepesnel.
3.1.2. Modosıtott szimplex algoritmus
Programozasi feladatokhoz azonban nem a fenti algoritmust hasznaljak, hanem annak
egy modosıtott valtozatat. A modosıtott szimplex lenyegesen kevesebb tarhelyet foglal.
Az alapotlet azon alapszik, hogy a modosıtott szimplex tablaba nem kerul be minden
valtozo, hanem csak az eppen hasznalt bazisvaltozok. Az algoritmus ennek megfeleloen
a kovetkezo lepesekbol all:
3. fejezet Linearis, illetve kvadratikus programozasi feladatta alakıtas 14
• Elokeszıto resz: v = 0. Ahol a kezdo szimplex tabla a kovetkezokepp nez ki:
b valt. b(v) x1, . . . , xn xn+1, . . . , xn+m
x1... b(0) E Axn
v = 0 −α 0, . . . , 0 c
3.1. tablazat. Kezdeti szimplex tabla
• Iteracios resz (v-edik iteracio).
1. Ha c(v) ≥ 0, akkor vege az eljarasnak, a v-edik feladat bazismegoldasa optima-
lis megoldas. Ellenkezo esetben a 2. lepes kovetkezik.
2. Vegyuk a negatıv c(v)s -k minimumat. Jelolje c(v)
j a minimummal megegyezo
c(v)s egyutthatok kozul a legkisebb indexut. Hatarozzuk meg az xj-hez tartozo,
a v-edik feladatban szereplo egyutthatokat az A(v)j = B−1
v A(0)j osszefugges
alapjan, majd kepezzuk a
∆ = min
{b(v)r
a(v)rj
: a(v)rj > 0, 1 ≤ r ≤ n
}
mennyiseget. Ha ez a minimum nem letezik, akkor vege az eljarasnak, a
celfuggveny alulrol nem korlatos a lehetseges megoldasok halmazan. Ellenkezo
esetben a 3. lepes kovetkezik.
3. Ha ∆ =b(v)k1
a(v)k1j
= ... =b(v)kw
a(v)kwj
, akkor valasszuk az a(v)ktj
(t = 1, ..., w) elemek kozul
a legkisebb sorindexut generalo elemkent. Kepezzuk a valasztott generalo
elem es A(v)j felhasznalasaval a Q(v) matrixot. Hatarozzuk meg az aktualis
bazisvaltozokat, es az illeto valtozoknak megfelelo dv+1 vektort. Szamıtsuk ki
a B−1v+1 = Q(v)B−1
v matrixot, a c(v+1) = c(0) − dv+1B−1v+1A
(0), bv+1 = B−1v+1b
(0)
vektorokat, es az α(v+1) = α(0) + dv+1B−1v+1b
(0) konstanst, ahol d k-adik
komponense c(v)j a tobbi pedig 0, tovabba Q(v):
1 −a(v)1j /a
(v)kj
. . ....
1
1/a(v)kj
1...
. . .
−a(v)nj /a
(v)kj 1
3. fejezet Linearis, illetve kvadratikus programozasi feladatta alakıtas 15
matrixot jeloli, ahol a feltuntetett elemektol kulonbozo elemek rendre 0-val
egyenlok. Ezt kovetoen noveljuk 1-gyel v erteket, es folytassuk az eljarast a
kovetkezo iteracios lepessel.
3.1.3. Redukalt gradiens modszer
A modszer a kovetkezo problema megoldasara koncentral:
min f(x)
tekintve a Ax = b
x ≥ 0,
(3.2)
ahol rang(A) = m es f ∈ C2
x = (v, w) partıciot vesszuk, ahol v jeloli a bazisvektorokat, w pedig a fuggetlen valtozo-
kat. Vesszuk tovabba az A = [BC], oly modon, hogy a matematikai program ekvivalens
legyen a kovetkezovel:
min f(v, w)
tekintve a Bv + Cw = b
(v, w) ≥ 0,
(3.3)
A modszer feltetelezi, hogy B nemszingularis (invertalhato), valamint v > 0 (nemdege-
neratıv feltetelezes). Jelolje dw a fuggetlen valtozok eltereset, valamint legyen dv =
−B−1[Cdw], megpedig ugy, hogy x + dx = (v + dv, w + dw)-re teljesuljon A[x + dx] =
A[x] + A[dx] = b + 0 = b. A modszer lenyege, hogy vesz egy iranyt a fuggetlen
valtozoknak, amelyek meghatarozzak majd a bazisvaltozok iranyat. Gyakorlatban tehat
dw erteke az f(B−1[b − Cw,w]) gradiense. Ezt az erteket (tekintettel w-re) nevezik
redukalt gradiensnek:
r = gradwf(x)− gradvf(x)B−1C,
ha x=(v,w). Ekkor dw = r lezarja az iteracio elso reszet. A masodik resze az iteracionak,
hogy meghatarozzuk a meretet. Fontos, hogy ne seruljon v nem-negativitasi feltetele.
Az iteracios lepes hatasara f erteke csokken.
3. fejezet Linearis, illetve kvadratikus programozasi feladatta alakıtas 16
Altalanosıtott redukalt gradiens modszer
Az altalanosıtott redukalt gradiens modszer kiterjeszti a redukalt gradiens modszert
nemlinearis modellekre, illetve megengedve, hogy a valtozoink tetszoleges hatarokon
belul mozogjanak:
min f(x)
tekintve a h(x) = 0
L ≤ x ≤ U,
(3.4)
ahol h dimenzioja m, x = (v, w) partıcionalhato, ugy hogy,
• v dimenzioja m
• v ertekei szigoruan a hatarokon belul van: Lv < v < Uv (nemdegeneratıv felt.)
• gradvh(x) nemszingularis (x = (v, w))
Mint ahogy a linearis esetben is, ∀w∃v(w), hogy h(v(w), w) = 0 (implicit fv. tetel),
amibol kovetkezik, hogy dv/dw = gradvh(x)−1gradwh(x). Az otlet, hogy dw-t a kovet-
kezokeppen valasszuk meg:
gradw(f(x)− yh(x)),
ahol y = dv/dw Ezutan megvalasztjuk a meretet, majd egy korrekcios lepes szukseges,
hogy visszakapjuk h(x) = 0-t.
3. fejezet Linearis, illetve kvadratikus programozasi feladatta alakıtas 17
3.2. A modellek megfelelo alakra hozasa
Az atlag-variancia probleman (2.4) latszik, hogy ez mar eredetileg is kvadratikus alakban
van felırva, ıgy itt nincs szukseg tovabbi atalakıtasra. Azonban az egyszeruseg kedveert
a kovetkezo ekvivalens alakban fogjuk hasznalni:
min1T
T∑t=1
(n∑
i=1
rtixi − E
)2
tekintve µTx = E,
Ax = b
x ≥ 0
felteteleket ∀E ∈ [Emin, Emax]− ra,
(3.5)
3.2.1. Az atlag abszolut-elteres modell, mint linearis programozasi feladat
Az atlag abszolut-elteres modelljet a korabbi fejezetben a kovetkezokeppen ırtuk fel:
min1T
T∑t=1
∣∣∣∣∣n∑
i=1
rtixi − E
∣∣∣∣∣tekintve, hogy µTx = E,
Ax = b,
x ≥ 0.
felteteleket ∀E ∈ [Emin, Emax]− ra,
(3.6)
A feladat atalakıthato linearis programozasi feladatta, ha az abszolut erteken beluli
erteket felbontjuk ket nemnegatıv reszre. Ekkor szukseges meg tovabbi korlatozo felte-
teleket bevezetnunk. z+t illetve z−t (t ∈ {1, . . . , T}) valtozok fogjak korlatozni az elvart
hozamtol valo negatıv illetve pozitıv eltereseket. Igy vegul az atalakıtas utan a feladat
a kovetkezo:
3. fejezet Linearis, illetve kvadratikus programozasi feladatta alakıtas 18
min1T
T∑t=1
z+t + z−t
tekintve, hogy µTx = E,
n∑i=1
rtixi − E ≤ z−t
−
(n∑
i=1
rtixi − E
)≤ z+
t
Ax = b,
x, z−t , z+t ≥ 0.
felteteleket ∀E ∈ [Emin, Emax]− ra,
(3.7)
ahol a parameterek ugyanazok, mint korabbiakban.
Az ıgy felırt feladat mar linearis programozasi feladat. Megoldasara a szimplex algorit-
must hasznalhatjuk.
3.2.2. Az atlag negatıv-elteres modell, mint linearis programozasi feladat
A feladatot az elozo fejezetben a kovetkezokeppen fogalmaztuk meg:
min1T
T∑t=1
(n∑
i=1
rtixi − bmt
)−tekintve a µTx = E,
Ax = b
x ≥ 0
felteteleket ∀E ∈ [Emin, Emax]− ra,
(3.8)
A kovetkezo atalakıtasokra lesz szuksegunk, hogy a feladat megoldhato legyen a szimplex
modszerrel. Az elozo modellhez teljesen hasonloan az elvart hozamtol valo negatıv elteres
kezelesere bevezetjuk a z−t valtozot ∀t ∈ {1, . . . T}, a valtoztatas hatasara a kovetkezo
ekvivalens modellt kapjuk:
3. fejezet Linearis, illetve kvadratikus programozasi feladatta alakıtas 19
min1T
T∑t=1
z−t
tekintve, hogy µTx = E,
n∑i=1
rtixi − bmt ≤ z−t
Ax = b,
x, z−t ≥ 0.
felteteleket ∀E ∈ [Emin, Emax]− ra,
(3.9)
ahol a parameterek ugyanazok, mint korabbiakban.
Igy megfogalmazva a feladat mar linearis programozasi feladat, tehat alkalmazhatjuk ra
a szimplex modszert.
4. fejezet
A hatekony portfolio kialakıtasa
Az utolso fejezetben a felırt problemakat fogjuk megoldani. A megoldashoz a Budapesti
Ertektozsde bizonyos reszvenyeit fogjuk felhasznalni. A modellek gyakorlati alkalmaza-
sahoz szukseges adatok megszerzesehez a [7] forrast hasznaltam, mıg az algoritmusok
mukodesehez a [4]-t vettem utmutatoul, a hianyzo reszeket pedig a [5] illetve [6] oldalak
segıtsegevel potoltam. A gyakorlati alkalmazashoz nagy segıtseget nyujtott a [3] oldal.
4.1. Az adatok
4.1.1. Reszvenyek
A megoldashoz, s azok elemzesehez szuksegunk van egy adatbazisra, amelybol varhato
hozamot tudunk szamolni. A Budapesti Ertektozsde honlapjan (http://www.bet.hu)
az elmult tız ev adatai megtalalhatoak. A feladathoz csak a tozsden tız eve jelen levo
reszvenyeket fogjuk felhasznalni. Honapos adatokkal fogunk szamolni.
15. Definıcio. (Likviditas) Egy befektetes azon tulajdonsaga, hogy milyen ido- es hozam-
veszteseggel ”szamolhato fel”, ertekesıtheto, milyen konnyen forgathato, mennyire meg-
bızhato a masodlagos piaca. Maskent a toke keszpenzze teteli kepesseget, illetve mas
megfogalmazas szerint a penzeszkozokkel valo megfelelo ellatottsagot jelent.
Fontos, hogy a reszvenyek, amelyekkel foglalkozunk kelloen kis likviditasi kockazattal
legyenek kereskedhetoek, hiszen szeretnenk elkerulni egy-egy eszkoz alacsony piaci for-
galmabol eredo kockazatot. A szakdolgozatban nem szamolunk kulon ezzel a kockazattal
is, ezert a kulonosen kis forgalmu reszvenyeket egyszeruen kihagyjuk a felhasznalando
eszkozok listajabol.
20
4. fejezet A hatekony portfolio kialakıtasa 21
Mielott azonban tovabbmennenk fontos felhıvni a figyelmet a bet.hu bizonyos hianyos-
sagaira. Az adatok letoltesekor feltunt, hogy nehany havi jelentes hianyzik, letolteskor
az elozo havit kapjuk kezhez. Ezen hibaval a szakdolgozat nem foglalkozik, egyszeruen
helyben hagytuk, s a havi adatot a letoltott rossz (korabbi) jelentest helyesnek felte-
teleztuk. Igy elofordul, hogy a reszvenyek nemely havi hozama teljesen megegyezik
egymassal. Am a hiba korantsem volt akkora, hogy szamottevo problemat okozhasson,
a letoltott 110 havi jelentesbol, mindossze 2 bizonyult az ot megelozo honappal meg-
egyezonek.
Adatok osszegzese
A Budapesti Ertektozsde (bet) honlapjarol letoltheto havi adatok azonban igencsak
szerteagazoak, sokretuek, raadasul szamunkra a problema lejegyzesehez, az adathalmaz
igencsak csekely reszere van szuksegunk. Az adatok kivalogatasara, a gyorsabb megoldas
elerese erdekeben egy egyszerubb programot ırtunk Perlben. A nyelv egyik legfontosabb
resze a regularis kifejezesek szeles koru tamogatasa es alkalmazasa, ezaltal kivaloan
alkalmas nagymeretu szoveg- vagy adatfajlok egyszeru feldolgozasara.
Feladatunkat alaposabban meggondolva konnyen lathato, hogy a letoltott havi jelen-
tesekben szereplo informacio igencsak elenyeszo hanyadara tartunk csak igenyt. Egeszen
pontosan a Reszvenypiaci Adatok munkafuzet Jegyzett ’A’ illetve Jegyzett ’B’ tabla-
zatainak mindosszesen ket oszlopa szukseges:
• A reszvenyek neveire feltetlen szuksegunk van, hiszen ebbol tudjuk szamon tartani
melyik reszvenyrol beszelunk, illetve kovetni akarjuk azt is, hogy az adott reszveny
az elmult tız evben mindvegig a tozsden volt.
• A kulonfele reszvenyek havi hozamara is szuksegunk van, hiszen ezekbol az ada-
tokbol tudunk majd kesobb varhato hozamot szamolni (szerencsenkre ezt nem kell
kulon kiszamolnunk, a letoltott fajlban mar kiszamoltak helyettunk).
Mielott azonban a programmal foglalkoztunk volna, a szamunkra fontos tablazatokat
kimentettuk egy nagyobb fajlba. A programnak majd ezt adjuk meg inputkent, s ezen
adatsorokbol valogatja majd ki a szamunkra relevans informaciokat. Fontos meg itt
megjegyezni, hogy az elmult evekben tobb esetben is elofordult olyan, hogy a tozsden
jegyzett reszveny nevvaltozason esett at, aminek okaira most nem terunk ki, am figye-
lemmel kısertuk ezen valtozasokat, ıgy emiatt nem maradt ki reszveny a felsorolasbol. A
program (A.1) mukodese ezek utan mar nagyon egyszeru, soronkent veszi az input fajl
adatait, majd ezekbol kikeresi a lenyeges reszeket, s azokat eltarolja a megfelelo datum
ala.
4. fejezet A hatekony portfolio kialakıtasa 22
Felhasznalt reszvenyek
Az alabbi tablazatban tehat a tız eve folyamatosan a beten levo reszvenyek lathatoak,
amelyekkel legalabb havi szinten volt kereskedes. A paros sorokban pedig a varhato
hozam (havi) lathato, amit az elmult tız ev adataibol szamoltunk ki.
Nev: DANUBIUS ECONET EGIS FOTEX LINAMARµi(%) : 0,43 -0,48 0,87 1,84 0,91MOL MTELEKOM OTP PANNERGY PHYLAXIA RABA2,14 -0,12 2,18 0,51 5,54 -0,10
RICHTER SYNERGON TVK ZWACK BIF ELMU1,47 0,27 0,56 1,02 1,26 1,55
EMASZ GENESIS KONZUM NUTEX PFLAX1,50 3,06 -0,32 -2,13 1,06
4.1. tablazat. A BET-en 10 eve jelen levo reszvenyek varhato hozama
4.1.2. Elvart hozam
A befekteto preferenciait is szukseges szamıtasba venni, ıgy fontos elore meghatarozni
milyen elvart hozamokkal fogunk szamolni. A feladatokban osszesen harom elvart
hozammal fogunk szamolni, megpedig a kovetkezokkel:
Emin Eatlag Emax
% 1,00487 1,04673 4,54124
4.2. tablazat. Elvart hozamok a dolgozatban
ahol:
• Emin = {MNB alapkamat}
• Eatlag = 1n
∑ni=1 µi
• Emax = max {µ1, ..., µn} − 1%
Jelen esetben a Magyar Nemzeti Bank alapkamata eves szinten 6%, n = 22, hiszen
osszesen 22 reszvennyel szamolunk.
4. fejezet A hatekony portfolio kialakıtasa 23
4.2. A problema megoldasa
Fontos megjegyezni, hogy a feladatokban az Ax = b feltetel egyszeruen csak a reszvenyek
osszsulyat hatarozza meg, tehat 1Tx = 1. Az Excel illetve Openoffice tablazatok fel-
toltese adatokkal, a valtozok, valamint a fuggvenyek attekintheto felırasanak modjaban
nagyon sokat segıt a kovetkezo honlap:
http://www.math.bme.hu/˜gnagy/ExcelSolver.htm
Ezen felıras reszleteibe nem is bocsatkozunk most bele.
4.2.1. Az atlag-variancia modell megoldasa
A feladat kezdeti allapotaban a kovetkezokeppen nez ki:
4.1. abra. Az atlag-variancia modell kezdeti allapota
A feladat merete miatt sajnos csak kiragadott reszletek bemutatasara van esely. Azonban
a jobb attekinthetoseg erdekeben a lenyeges mezoket kulonfele szınekkel szıneztem.
Ugyanezen megfontolasbol a tablazat valamennyi erteket %-ban adtam meg.
A portfolioban szereplo reszvenyek sulyozasa (x) aD3−Y3 mezokben talalhato, kezdetben
ez az ertek 0. A portfolio hozammatrixa a D10 − Y119 mezokben lett eltarolva, RT×n
(T = 110, n = 22), ahol rti jeloli a i. reszveny t. idopontban elert hozamat. A varhato
4. fejezet A hatekony portfolio kialakıtasa 24
hozamvektor (µ) ertekeit a D5 − Y5 mezokben rogzıtettem, az i. reszveny ertekeit a
kovetkezo egyenlet adta:
µi =1T
T∑t=1
rti.
AD7−D9 mezokben a befekteto altal elvart hozam, mellette pedig a hozzajuk kapcsolodo
korlatozo feltetelek E = µTx. A H9 − J9 mezok orzik a helyes sulyozasra vonatkozo
feltetelt (1Tx = 1). A10 −A119 mezokben az alabbi egyenletek talalhatoak:
n∑i=1
ttixi −n∑
i=1
µixi
A mellette talalhato mezokben (B10 − B119) ezen ertekek negyzetei talalhatoak. Vegul
pedig a pirossal kiemelt J7-es mezoben a minimalizalando mennyiseg a B10−B119 mezok
osszege talalhato.
Elsokent a minimalis elvart hozammal fogunk szamolni: 1, 00487 = µTx feltetelt vesszuk
be a feladatba:
4.2. abra. Az atlag-variancia problema megoldasa Emin mellett
4. fejezet A hatekony portfolio kialakıtasa 25
Az alabbi tablazat a portfolioban szereplo reszvenyek sulyat adja meg, valamint rogzı-
tettem az ıgy kapott varianciat is:
Nev: DANUBIUS ECONET EGIS FOTEX LINAMARxi(%) : 13,09 0,00 2,77 0,00 0,39MOL MTELEKOM OTP PANNERGY PHYLAXIA RABA0,21 0,80 0,00 0,00 0,00 0,00
RICHTER SYNERGON TVK ZWACK BIF ELMU13,86 0,00 6,87 25,43 8,70 2,57
EMASZ GENESIS KONZUM NUTEX PFLAX z
16,80 0,00 5,55 0,00 2,97 0,16179
4.3. tablazat. Reszvenyek eloszlasa a portfolioban Emin mellett (variancia probl.)
Ha az atlagos hozam az amit elszeretnenk erni, akkor a feladat megoldasa a kovetkezo-
keppen alakul:
4.3. abra. Az atlag-variancia problema megoldasa Eatlag mellett
4. fejezet A hatekony portfolio kialakıtasa 26
Ebben az esetben a reszvenyek eloszlasa a portfolioban: (az utolso helyre ismet a kapott
varianciat ırtam)
Nev: DANUBIUS ECONET EGIS FOTEX LINAMARxi(%) : 12,47 0,00 2,58 0,00 0,15MOL MTELEKOM OTP PANNERGY PHYLAXIA RABA1,71 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
RICHTER SYNERGON TVK ZWACK BIF ELMU13,98 0,00 6,61 24,85 9,09 2,89
EMASZ GENESIS KONZUM NUTEX PFLAX z
17,41 0,00 5,23 0,00 3,03 0,16467
4.4. tablazat. Reszvenyek eloszlasa a portfolioban Eatlag mellett (variancia probl.)
Konnyen lathato, hogy az ıgy kapott portfolio varianciaja alig kisebb, mint aze, ame-
lyiknel az alapkamattal szamoltunk, azonban eves szintre vetıtve a ket portfolio varhato
hozama lenyegesen elter. Emin-nel szamolva az eves kamatunk 6%, azonban, ha elvarjuk,
hogy havi szinten megkapjuk a portfolioban szereplo reszvenyek varhato ertekenek at-
lagat, akkor ez eves szintre vetıtve varhatoan 73%, ami lenyegesen magasabb.
Ha az elvart hozamnak a korabban felırt Emax-ot vesszuk, akkor a modell megoldasa a
kovetkezo:
4.4. abra. Az atlag-variancia problema megoldasa Emax mellett
4. fejezet A hatekony portfolio kialakıtasa 27
Ebben az esetben a portfolioba csak ket reszvenybol valogatunk:
Nev: PHYLAXIA GENESISxi(%) : 59,72 40,28
4.5. tablazat. Reszvenyek eloszlasa a portfolioban Emax mellett (variancia probl.)
Ahogy az fenti abran is lathato a variancia joval magasabb, mint az elozo ket esetben.
Ennek oka a keves szamu reszvenyben keresendo, hiszen itt nem erzodik olyan erovel a
diverzifikacio hatasa. Lathato tovabba az is, hogy a varhato hozam novelesevel megno
a kockazat is.
4.2.2. Az atlag abszolut-elteres modell megoldasa
Az alapfeladat a kovetkezokeppen nez ki:
4.5. abra. Az atlag abszolut-elteres modell (alapfeladat)
Az ujdonsag az elozo feladathoz kepest a z+ = (z+1 , . . . , z
+110) illetve a z− = (z−1 , . . . , z
−110)
valtozok, amelyek elemeinek osszege vegul generalja a celfuggvenyt. Valamint a z+-t es
z−-t korlatozo feltetelek:
n∑i=1
rtixi − E ≤ z+, ∀t ∈ {1, . . . , T}
4. fejezet A hatekony portfolio kialakıtasa 28
−
(n∑
i=1
rtixi − E
)≤ z−, ∀t ∈ {1, . . . , T}
A harom kulonbozo oszlopban (D,E, F ), a haromfele elvart hozamra mind felırtuk ezeket
az egyenlotlensegeket. A megoldaskor termeszetesen majd csak a megfelelo oszlopot
vesszuk be a korlatozo feltetelek koze.
A feladatnak megadva az Emin feltetelt, valamint lefuttatva az algoritmust a kovetkezo
megoldast lathatjuk:
4.6. abra. Az atlag abszolut-elteres modell megoldasa (Emin mellett)
Az ıgy kapott eredmenyeket tablazatba helyezve:
Nev: DANUBIUS ECONET EGIS FOTEX LINAMARxi(%) : 10,95 0,00 0,00 0,00 2,69MOL MTELEKOM OTP PANNERGY PHYLAXIA RABA0,00 0,00 0,00 0,69 0,00 0,00
RICHTER SYNERGON TVK ZWACK BIF ELMU13,05 0,00 7,25 32,20 5,42 0,40
EMASZ GENESIS KONZUM NUTEX PFLAX z
19,08 0,18 6,06 0,00 2,03 2,96057
4.6. tablazat. Reszvenyek eloszlasa a portfolioban Emin mellett (abszolut-elteres)
4. fejezet A hatekony portfolio kialakıtasa 29
Az Eatlag feltetellel szamolva a kovetkezo megoldast kapjuk:
4.7. abra. Az atlag abszolut-elteres modell megoldasa (Eatlag mellett)
Az eredmenyt az alabbi tablazat jegyzi:
Nev: DANUBIUS ECONET EGIS FOTEX LINAMARxi(%) : 9,27 0,00 0,00 0,00 0,36MOL MTELEKOM OTP PANNERGY PHYLAXIA RABA0,49 0,00 0,00 1,22 0,00 0,00
RICHTER SYNERGON TVK ZWACK BIF ELMU13,70 0,00 6,46 33,25 6,88 0,00
EMASZ GENESIS KONZUM NUTEX PFLAX z
20,59 0,29 5,39 0,00 2,10 2,98344
4.7. tablazat. Reszvenyek eloszlasa a portfolioban Eatlag mellett (abszolut-elteres)
Emax-val szamolva lenyeges eltereseket tapasztalhatunk. Az eredmeny tablazatban:
Nev: MOL OTP PHYLAXIA GENESISxi(%) : 24,09 2,82 69,58 3,51
4.8. tablazat. Reszvenyek eloszlasa a portfolioban Emax mellett (abszolut-elteres)
A feladat kockazata: z = 14, 73037. OpenOffice-ban a megoldas ıgy nez ki:
4. fejezet A hatekony portfolio kialakıtasa 30
4.8. abra. Az atlag abszolut-elteres modell megoldasa (Emax mellett)
Az eredmenyeket osszefoglalva jol lathato, hogy a varhato hozam novelesevel egyutt
a vallalt kockazat is novekszik. Mint ahogy a variancia problema eseteben is, az elso
ket (Eatlag,Emin) esetben a ket portfolio kozti kulonbseg igencsak csekely, ennek az oka,
hogy az elvart hozam nagyon kozel esik egymashoz, s szemben az utolso esettel itt van
lehetosegunk mindenfele reszvenybol valogatni. Ha kiugroan magas (mint nalunk is) az
elvart hozam, akkor abban az esetben a hasznalhato reszvenyek szama sokkal kevesebb.
Lathato az is, hogy a kockazatunk az utolso esetben sokszorosa az masik ket esetben
elert kockazatnak, ennek oka, hogy keves szamu reszveny kerult a portfolionkba, ıgy erre
sokkal inkabb hat az egyeni kockazat.
Az alabbi tablazatban lathatoak az eredmenyek osszesıtve, ertelemszeruen x(min)i (%) az
i. reszveny Emin elvart hozam melletti sulyat jelenti az adott portfolioban, az utolso
sorba pedig a megfelelo elvart hozamhoz tartozo kockazatokat ırtuk:
4. fejezet A hatekony portfolio kialakıtasa 31
Nev: x(min)i (%) : x
(atlag)i (%) : x
(max)i (%) :
DANUBIUS 10,95 9,27 0,00ECONET 0,00 0,00 0,00
EGIS 0,00 0,00 0,00FOTEX 0,00 0,00 0,00
LINAMAR 2,69 0,36 0,00MOL 0,00 0,49 24,09
MTELEKOM 0,00 0,00 0,00OTP 0,00 0,00 2,82
PANNERGY 0,69 1,22 0,00PHYLAXIA 0,00 0,00 69,58
RABA 0,00 0,00 0,00RICHTER 13,05 13,70 0,00
SYNERGON 0,00 0,00 0,00TVK 7,25 6,46 0,00
ZWACK 32,20 33,25 0,00BIF 5,42 6,88 0,00
ELMU 0,40 0,00 0,00EMASZ 19,08 20,59 0,00
GENESIS 0,18 0,29 3,51KONZUM 6,06 5,39 0,00NUTEX 0,00 0,00 0,00PFLAX 2,03 2,10 0,00
z 2,96057 2,98344 14,73037
4.9. tablazat. Osszesıtett tablazat (abszolut-elteres)
4.2.3. Az atlag negatıv-elteres modell megoldasa
Az atlag negatıv-elteres modelljenek implementacioja teljesen hasonlo, mint az atlag
abszolut-elteres modelljenek leırasa. A kulonbseg, hogy itt csak z−t (∀t ∈ {1, . . . , T}),tehat az elvart hozamtol valo negatıv elterest vesszuk figyelembe.
Egy masik lenyeges valtozas az elobbi modellhez kepest, hogy ez esetben a benchmarkhoz
viszonyıtunk. A szakdolgozatban az egyszeruseg kedveert bmt = c, tehat t-tol fuggetlenul
hatarozzuk meg ezt az erteket. Ez a meghatarozott ertek egyszeruen annyit jelent, hogy
van egy bizonyos elvart hozam, s ”buntetjuk”, ha ez ala megyunk. Jelen esetben legyen
ez az ertek Emin.
A modell ıgy a kovetkezokeppen nez ki:
4. fejezet A hatekony portfolio kialakıtasa 32
minT∑
t=1
z−t
tekintve, hogy µTx = E,
n∑i=1
rtixi − Emin ≤ z−t
Ax = b,
x, z−t ≥ 0.
felteteleket ∀E ∈ {Emin, Eatlag, Emax} − ra,
(4.1)
ahol minden ugyanaz, mint a korabbiakban.
Elsokent vegyuk azt az esetet, ha az elvart hozam Emin.
4.1. Lemma. Ha az atlag negatıv-elteres modellben bmt = E ⇒ 2Sbm(x) = Sn(x)
Bizonyıtas: Tudjuk, hogy
µi =1T
T∑t=1
rti
Fejezzuk ki E-t:
E = µTx =n∑
i=1
xiµi =1T
T∑t=1
n∑i=1
rtixi
Irjuk fel az elteresek osszeget:
T∑t=1
(n∑
i=1
rtixi − E
)=
T∑t=1
n∑i=1
rtixi − TE,
amibe E-t helyettesıtve 0-t kapunk. Mivel
T∑t=1
(n∑
i=1
rtixi − E
)=
T∑t=1
(. . .)+ +T∑
t=1
− (. . .)−
ezert lathato, hogy a negatıv elteresek osszege ugyanannyi, mint a pozitıv elteresek osszege
⇒
2T∑
t=1
(n∑
i=1
rtixi − E
)−=
T∑t=1
∣∣∣∣∣n∑
i=1
rtixi − E
∣∣∣∣∣4.2. Kovetkezmeny. Ebben az esetben az atlagos negatıv-elteres modellnek nincs semmi
elonye az atlagos abszolut-elteres modelljevel szemben.
A negatıv-elteres modell megoldasa innentol kezdve teljesen hasonloan megy a korabbi-
akhoz. Az eredmenyeket tablazatba rendezve a kovetkezoket lathatjuk:
4. fejezet A hatekony portfolio kialakıtasa 33
Nev: x(atlag)i (%) : x
(max)i (%) :
DANUBIUS 9,75 0,00ECONET 0,00 0,00
EGIS 0,00 0,00FOTEX 0,00 0,00
LINAMAR 0,10 0,00MOL 0,39 27,64
MTELEKOM 0,00 0,00OTP 0,00 0,20
PANNERGY 0,85 0,00PHYLAXIA 0,00 69,97
RABA 0,00 0,00RICHTER 13,44 0,00
SYNERGON 0,00 0,00TVK 5,65 0,00
ZWACK 33,80 0,00BIF 6,67 0,00
ELMU 0,00 0,00EMASZ 21,37 0,00
GENESIS 0,23 2,18KONZUM 5,61 0,00NUTEX 0,00 0,00PFLAX 2,14 0,00
z 1,51385 8,66582
4.10. tablazat. Osszesıtett tablazat (negatıv-elteres)
4.3. Osszegzes
A kulonfele modellek kulonbozo befektetoi preferenciakat testesıtenek meg.
Kockazat Emin Eatlag Emax
Variancia 0,16179 0,16467 26,99604Abszolut-elteres 2,96057 2,98344 14,73037Negatıv-elteres - 1,51385 8,66582
4.11. tablazat. Eredmenyek osszesıtese
Altalanossagban leolvashato, hogy az elvart hozam novelesevel no a vallalt kockazat.
A portfolio osszeallıtasakor a legfontosabb szempontok mindig is a befekteto elvarasai.
Ezek szerint kulonboztettuk meg a haromfele modellt, s ezek lettek vegul az eredmenyek
meroszamai is. Tehat tulajdonkepp az elvart hozamok illetve vallalt kockazatok szeles
skalajan rengetegfele hatekony portfoliot kepezhetunk. Ezen megoldasok mind rajta
vannak a hatekony hatargorben.
A. fuggelek
Adatgyujto program
A.1. abra. tozsde.pl implementacioja
34
Irodalomjegyzek
[1] Brealey-Myers: Modern vallalati penzugyek 2005, Panem Konyvkiado, Budapest
[2] http://www.math.bme.hu/˜gnagy/diplij.pdf
[3] http://www.math.bme.hu/˜gnagy/ExcelSolver.htm
[4] http://gazdasz2.atw.hu/opkut jegyzet nemme.pdf
[5] http://en.wikipedia.org/
[6] http://google.co.uk/
[7] http://bet.hu/
35