enseñando con curiosidades matemáticas · dedicatoria a una compañera de estudio de bachillerato...

Enseñando Con Curiosidades Matemáticas

José Servelión Graterol


Profesor del Departamento de Matemáticas

del Pedagógico de Maracay. Estado Aragua - Venezuela.

Msc. en la Enseñanza de la Matemática.

Doctorado en Ciencias de la Educación.

Enseñando con Curiosidades Matemáticas

Depósito Legal: If04320095101418

ISBN: 978-980-12-3710-5

Diseño de presentación: Msc. Milagros Hernández.

Corrector de Estilo: Msc. Milagros Hernández.

DEDICATORIA

A una compañera de estudio de bachillerato con quien

competí en clase, con quien aprendí a estudiar, a leer y a interpretar

porque siempre fue insuperable y sé, que aún lo es. También sé que

un camino emprendido como éste, ella lo hubiese hecho mejor que

yo. Para tí, Amalia Díaz de Ramos.

A un amigo, a un profesor, a un hermano, a un estudioso de

las curiosidades matemáticas; quien me mostró que la matemática

se podía enseñar por otras vías, y quien me inicio en la

investigación con sus regalos intelectuales. Para tí, José

Celestino, Silva Rón.

José Servelión Graterol Enseñando con Curiosidades Matemáticas

AGRADECIMIENTO

Hay cuatro maestras que dejaron en mí, la semilla del

conocimiento, la investigación, el estudio, el análisis y la

perseverancia.

Aminta de Mendez; quien en primer grado me animó a

aprender matemática utilizando paletas de helados. Tal vez,

comenzó aquí, la motivación por las curiosidades matemáticas.

Rosa de D´angelo, quien en segundo grado tuvo paciencia para

corregir en mí, errores que se veían incorregibles. Siempre pido a

Dios que me permita seguir su ejemplo.

Concepción Garofalo de Balza. ¡Mi querida maestra

Conchita!, de tercer grado con quien aprendí a tener seguridad en

lo que hago.

Micaela Castillo, de cuarto grado, quien me enseñó que uno

debe luchar por aprender, porque el conocimiento hay que

buscarlo.

A ellas, ¡gracias por formarme!


ÍNDICE

págs.

Prólogo...................................................................................... 8

Introducción.............................................................................. 10

Metodología a utilizar por el docente durante la ejecución del

programa.................................................................................. 12

Curioseando con la multiplicación.................................... 14

Multiplicación con los dedos de las manos......................... 15

Curioseando con fracciones............................................... 24

Estrategia para iniciar al niño en la adición de fracciones... 25

Una manera de abordar los números enteros en sexto grado 30

Relación “menor que” y “mayor que”............................... 41

Jugando con curiosidades matemáticas............................... 44

En busca de la motivación.................................................... 45

Jugando en grupos con las curiosidades............................... 51

Todos jugando con la misma actividad................................. 55

Adivinando números ........................................................... 56

Otra curiosidad para adivinar números................................. 62

Sigamos con curiosidades.................................................... 64

Estrategia para calcular el número de hermanos varones,

hembras y los abuelos.......................................................... 66

Curiosidades con los criterios de algunos números.............. 71

Curiosidades del 9............................................................... 72

Criterio del 2...................................................................... 77

1

2

3

4

Criterio del 3...................................................................... 78 Criterio del 4..................................................................... 79 Criterio del 5. Criterio del 6............................................. 70 Criterio del 7..................................................................... 81 Criterio del 8..................................................................... 83 Criterio del 10................................................................... 84 La división como resta....................................................... 85 La potencia y las curiosidades........................................... 92

Volvamos a curiosear con la multiplicación...................... 98 Curioseando con la multiplicación.................................... 99 Sigamos con las multiplicaciones.....................................103

Jugar, pensar y curiosear con la matemática.....................107 Jugando con todos.............................................................108 Trazando diagonales..........................................................112 Jugando con el calendario.................................................115 Una curiosa curva cerrada simple.....................................118 Problemas con material concreto......................................121 Soluciones a los problemas...............................................124 Con la adición también se puede curiosear......................128

Curiosidades con el dominó............................................133 Curiosidades con el dominó............................................134 Otra actividad con el dominó..........................................137 Haciendo cuadrados con el dominó................................140 Anotaciones.....................................................................143 Problemas propuestos con el dominó.............................146 Algunas soluciones..........................................................147

Referencias...............................................................................149

5

6

7

8

PRÓLOGO

El mundo actual depende cada vez más de las matemáticas

como lenguaje de las ciencias. No obstante, la naturaleza y

estructura de su contenido la convierten en una ciencia compleja,

como también lo es su aprendizaje por el razonamiento lógico, que

requiere para su comprensión. Situación que ha generado un

rechazo generalizado hacia esta asignatura.

De ahí que científicos, docentes y otros profesionales han

realizado variados esfuerzos por reorientar su modo de enseñanza.

José Servelión Graterol forma parte de ese grupo de docentes

preocupados por transformar la creencia que se tiene de la

matemática. Esta meta que se ha convertido en pasión, le

proporciona la motivación suficiente para convertirla en la acción

que aspira.

Su pasión fue tanta que logró encender ¨Una Fogata

Matemática¨ como título de su primer libro. Hoy aviva esa llama

con su nueva obra ̈ Enseñando con Curiosidades Matemáticas¨; en

la cual formula de manera sencilla, didáctica y agradable una serie

de lineamientos para que los docentes utilizen la curiosidad innata

de los estudiantes a la vez que encienden en ellos la llama del amor

al conocimiento matemático.


Es un texto en cuya escritura se puede revelar imágenes y

sentir el movimiento psíquico del compromiso que disuelve el

pensamiento petrificado que promueve la educación tradicional.

En éste se pueden leer los nuevos tiempos de la educación

matemática, donde se conjugan textos y ejemplos que replantean

su sentido.

De esta forma, despierta la creatividad y el ingenio de

aquellos que asumen el compromiso de leer este libro, porque no

se puede hacerlo sin transformarse. Enseñar y aprender

matemática requiere del pensamiento lógico, pero también de la

emoción y el sentimiento. De una nueva sensibilidad del docente,

de la cual abunda el autor del libro que prologamos y que lo hace

entregar todo en su búsqueda de transformación.

Podemos decir, que lo más enriquecedor de la experiencia

fue la construcción de una idea para poner a la disposición del otro

las reflexiones que, recogidas del torrente de la vida se

transforman en aportes. Deseamos que este proyecto sea un

espacio de intercambio y motivación para docentes y estudiantes.

Dra. Crisálida Villegas G.


9

INTRODUCCIÓN

El siguiente, es un programa de estrategias basado en

curiosidades matemáticas dirigidos al docente que enseña

matemática de manera distinta a la tradicional. El mismo, se hizo

tomando en cuenta las características de los estudiantes que

cursan la Educación Básica y los contenidos del área matemática

de acuerdo con el nuevo Diseño Curricular.

El fin principal, es la promoción de actividades tendientes a

despertar el interés de éstos por la matemática, pretendiendo

contribuir de forma sistemática al desarrollo de los procesos de

enseñanza y de aprendizaje en pro del mejoramiento de las fallas

existentes en los estudiantes cursantes de Educación Básica.

Esta idea es la continuación de lo que inicie en Una fogata

matemática; ahora te traigo algunas estrategias que se pueden

aplicar en el aula para motivar al estudiantado.

Con ellas, se pone a los estudiantes a descubrir cuáles son los

contenidos que deben dominar para desarrollar una situación

problemática, además ilustran situaciones que los lleva a


10

al mismo tiempo, los hace pensar para desarrollar las actividades,

buscando que éstos pongan en juego el pensamiento lógico para

crear situaciones donde relacionen los contenidos matemáticos

aprendidos.

Aquí, se recogen curiosidades matemáticas para que el

docente realice una clase de matemática divertida donde los

estudiantes se mantengan interesados desde el inicio hasta el final

de la clase, siguiendo el sentido que persigue cada contenido

matemático impartido, logrando un aprendizaje de un modo

entretenido contagiándose de entusiasmo por la matemática

facilitando que éste explote la curiosidad que está en toda

persona.


11

Metodología a utilizar por el docente

durante la ejecución del programa

Las clases se cumplirán en tres etapas bien diferenciadas que se

enumeran a continuación:

Primero, segundo y tercer grado de primaria

El estudiante actúa solo, frente a la curiosidad matemática. A

medida que lee, descubre las características principales tales

como: condición, datos, incógnita o pregunta y escribe en un

cuaderno. Como no hay pensamiento sin lenguaje, el estudiante

necesita ejercitar utilizando sus poderes de expresión. Durante

esta etapa el docente, a través de sus observaciones, se preparará

para la próxima etapa que es de trabajo colectivo.

Cuarto, quinto y sexto grado de primaria

Para comenzar en esta etapa, el docente interrumpe el trabajo

individual de la etapa anterior. Ahora, la clase se transforma en

una colectividad que va a dedicarse a un trabajo común donde el

docente, debe incitar a que se inicie el debate de modo que los

estudiantes aporten sus observaciones y sugerencias, ya sean para

enriquecer, modificar o ampliar lo que se discute. El docente,

debe encausar este debate hasta llegar a obtener conclusiones

definitivas sobre la curiosidad en cuestión, y a la vez, precisar el

lenguaje y simbolismo.


12

Tercera Etapa:

El estudiante tiene que trabajar ahora con los contenidos, y el

lenguaje con que acaba de enfrentarse. La asimilación consciente

de lo anterior, es un trabajo individual que el docente debe fijar

cuidando las diferencias individuales.

Con estas estrategias se facilita la tarea de enseñanza y

aprendizaje de la matemática; de esta manera se esta dando un

aporte a la enseñanza de esta ciencia para que el estudiante

entienda mejor las operaciones básicas de la matemática, las

comunique con facilidad y siga el método de razonamiento

matemático acorde con su nivel.

También, el docente debe tener consciencia de que hay

conocimientos matemáticos que son muy rígidos; por lo tanto, no

requieren de muchas estrategias para enseñarlos sino, que se debe

a la práctica del estudiante para adquirirlos pero, si éste tiene la

ayuda del docente quien facilita éstos contenidos con recursos y

estrategias que puedan ser llevadas al aula con el propósito de

hacer ver que la matemática tiene un sin número de caminos por

donde se puede llegar a un mismo destino, entonces, podrá

lograrlos. En este caso, el destino es el conocimiento de un

contenido matemático que para adquirir las habilidades y

destrezas, sólo tiene que practicar la resolución de problemas.


13

Curioseando con la multiplicación

1

Las curiosidades matemáticas son tarjetas de presentación de la matemática, para aquellos que pasean su creatividad por lo nuevo, lo fantástico y lo grandioso de esta ciencia. José Servelión Graterol

14


Multiplicación con los dedos de las manos

Antes de iniciar la explicación quiero decirles que esto, sólo se

puede hacer con la tabla de multiplicar a partir del seis y cuando

digo, después del seis se debe tener claro que: 2 X 6; 3 X 6; 4 X 6;

5 X 6; no se multiplica con los dedos pues aquí observamos que el

dos, tres, cuatro y cinco no son mayores que seis. Por lo tanto,

cuando se trabaje con esta estrategia se debe hacer esta acotación

antes de comenzar para evitar mal entendido o que el estudiante

pierda la motivación.

ACLARANDO DUDAS:

La tabla de multiplicar del 2 comienza en 2 x 2

Porque debe quedar claro que el uno, es el elemento

neutro de la multiplicación.

Así, siguiendo esto que acabamos de ver podemos apreciar que

la tabla del 3 comienza en 3 x 3 pues 3 x 2 es igual a decir 2 x 3 y

ese resultado, pertenece a la tabla del dos.

De igual manera, la tabla del 4 comienza en 4 x 4 ya que 4 x 2 y

4 x 3 son de las tablas dos y tres respectivamente.

Esto también pasa con la tabla del 6, ella comienza en 6 x 6. La

razón es la misma que se ha seguido en los casos anteriores; de

modo que 6 x 5 es un resultado que lo encontramos en la tabla del

cinco.


15

Comencemos con 6 X 6.

1.- Con una mano se representa el primer número y con la otra el

segundo número así: Se puede decir cinco que tengo aquí

abriendo la mano y dejando que los estudiantes observen los cinco

dedos de la mano, como se muestra en la ilustración:

2.- Posteriormente con la misma mano que tenemos extendida

doblamos cuatro dedos dejando uno levantado, así: diciendo ¿y

uno?

Los niños responderán, seis.

De esta manera, hemos representado el primer seis.

Luego dejamos esta mano como se muestra en la segunda figura

y seguidamente, con la otra mano, pasamos a representar el otro

seis, así:


16

3.- Para representar el otro seis hacemos el mismo procedimiento

pero, con la otra mano y dejamos la mano con que representamos el

primer seis como lo indica el dibujo del segundo paso.

El otro seis sería así: CINCO Y UNO

Sabemos que los niños dirán seis.

Y

Esto se hace con una misma mano.

4.- En este momento tenemos las dos manos como lo indican las

figuras:

Preguntamos a los estudiantes ¿Cuántos dedos están doblados

en esta mano? Mostrando la mano izquierda, ellos por su puesto

dirán: ¡Cuatro!. Repetimos este procedimiento con la mano

derecha.

Luego, le decimos a los estudiantes, los dedos que están

doblados se multiplican y forman las unidades y los dedos que

están levantados se suman y forman las decenas:


17

Así, como en la mano izquierda tenemos cuatro de dedos

doblados y en la mano derecha también tenemos cuatro dedos

doblados, decimos 4 X 4 es 16.

Preguntamos también con la otra mano y en esta decimos

¿Cuántos están doblados? Ellos dirán: ¡Cuatro! Seguidamente se

les dice; los dedos que están doblados se multiplican y forman las

unidades y los dedos que están levantados se suman para formar

las decenas.

En este caso se escribe el 6 y llevamos uno, luego indicando

con cada mano: un dedo que esta levantado en esta mano,

mostrandole una de las manos y otro que tenemos levantado en la

otra mano son dos, y uno que llevamos serán tres, que como

sabemos forman las decenas.

La ilustración indica lo que hicimos:

son 16; escribimos ...

... y llevamos 1.

Como se aprecia; dos dedos levantados más uno que llevamos

nos dan tres en las decenas.


18

4 X 46

Veamos como se hace, en la práctica:

Se dice cuatro por cuatro Ellos dirán ¡Dieciséis! = 16

Es importante que deje participar a los estudiantes. Además,

como se tienen las manos ocupadas mostrándo la actividad, pídale

a uno de ellos que escriba en la pizarra.

Finalmente escribe, el estudiante que esta en la pizarra, 36.

Sabemos que escribimos el 6 y llevamos 1 luego preguntamos

con los dedos que están levantados ¿Uno más uno? Ellos dirán

¡Dos!

Usted dirá y uno que llevamos. Ellos dirán: ¡Tres!

Ahora el docente interviene explicando en el pizarrón que:

6 X 6 = 36

Multipliquemos ahora 6 X8

Con una mano representamos el siete y con la otra el ocho, así:

Cinco que tengo aquí y luego con la misma mano

cerrando cuatro dedos decimos y uno, ¡son seis!, mostrando la

mano como indica la figura. Luego dejando

esta mano así, pasamos a representar el ocho.


19

Ahora representamos el ocho de la manera siguiente:

Cinco Y tres son ocho.

Recordemos que tenemos para este momento las manos como sigue:

Mano izquierda

Mano derecha

Como se viene diciendo, los dedos que están doblados se

multiplican y forman las unidades; por eso aquí decimos

4 X 2 = 8.

Seguidamente, se suman los dedos que se dejaron levantados

que en este caso son 1+ 3= 4

Tengamos presente que el 4 representa las decenas, por eso

se escribe 4 decenas más 8 unidades; que es:

6 X 8= 48


20

Multipliquemos 8 X 8

1.- Con una mano se representa el primer número y con la otra el

segundo. Se dice:

Cinco mostrando la mano

Y luego doblando los dedos decimos...

... y Tres son Ocho.

Luego dejando la mano izquierda así; se hace lo mismo con la

con la otra mano para representar el otro ocho, quedando las

manos como indican las figuras:

Como tenemos en cada mano dos dedos doblados multiplicamos:

2 X 2 = 4 Es igual a cuatro. Estas son las unidades y luego los

dedos que están levantados se suman 3 + 3 = 6 para formar las

decenas por eso:

8 X 8 = 64 Porque el 6 está formado por los dedos levantados

y el 4 resulta de multiplicar los dedos doblados.


21

Multipliquemos 7 X 8

Se dice cinco y dos son siete.

Y

Luego con la otra mano decimos:

Cinco y tres son ocho.

Y

En este momento las manos están así:

Como tenemos en una mano tres dedos doblados

y en la otra dos. Significa que multiplicamos 3 X 2 = 6 para

formar las unidades; ya que los dedos doblados se multiplican.

Mientras que para formar las decenas, sumamos los dedos

levantados 2 + 3 = 5 y así, tenemos que:

7 X 8 = 56 Que proviene de las 5 decenas formada por los

dedos levantados y las 6 unidades formadas por los dedos

doblados. José Servelión Graterol Enseñando con Curiosidades Matemáticas

22

Ejemplo: Multipliquemos 7 X 9

Cinco y dos son siete

Y

Con la otra mano decimos:

Cinco y cuatro son nueve.

Y

Tenemos las manos dispuestas como siguen en la figura:

Observando bien, te darás cuenta que se ha tomado la posición

de la mano que resulta de 5 más 2 y la otra posición que resulta

de 5 más 4.

Se ve, claramente, que 3 dedos doblados multiplicado por 1

doblado es igual a 3. Por esta razón, escribimos 3 en el lugar de las

unidades y luego, formamos las decenas con los dedos que

tenemos levantados, así que: 2 dedos que están levantados más 4

dedos levantados son 6 por lo tanto 7 X 9 = 63.


23

2

Curioseando con fracciones

Las curiosidades matemáticas pueden

conducir a senderos matemáticos

insospechados.

José Servelión Graterol.

24


Estrategia para iniciar al niño en la adición de fracciones

Primero comencemos con mostrar la representación de una

fracción; por ejemplo:

3/5 =

Esto indica que la unidad se divide en 5 partes iguales

porque el denominador de la fracción es 5. Ahora bien, la parte

rayada indica que se tomaron tres partes de la unidad dividida y

está representada por el 3 del numerador.

No quiero seguir representando fracciones de esta forma porque

estoy seguro que usted sabe bien esto; además, a lo que quiero

llegar es a la pregunta que haría un niño:

¿Cómo se representa la misma fracción si el numerador pasa a

ser denominador y el denominador pasa a ser numerador?

¿Cómo se representa

5/3?


25

Esto puede ser que el estudiante, como ha entendido la manera

de representar una fracción, trate de representar esta fracción. Así,

que cuando él tiene 5/3 dice:

A mí, me explicó la maestra que las partes en

que se divide la unidad esta indicada por el

denominador y como el denominador es 3; tengo

que dividir la unidad en 3 partes iguales y el numerador indica las

partes que se toman de la unidad dividida pero, aquí tengo una

unidad dividida en 3 partes iguales ¿cómo hago para tomar las 5?

Esto es lo que el estudiante hace, como lo índica

el denominador.

Es importante entonces, que intervenga la explicación del

docente diciendo que:

La unidad se divide en tres partes iguales como lo indica el

denominador.

Por lo tanto, tienes razón cuando

te imaginas la figura de esta forma.

Pero como hay que tomar 5 partes de esas que son iguales, se

necesita otra unidad del mismo tamaño que sea dividida en 3 partes

iguales así como la anterior.

26


En tal sentido, para representar 5/3, se deben hacer dos figuras

exactamente iguales que estén unidas por el signo más (+).

Así, debemos hacer entonces lo siguiente:

,

,

,

De la primera se toman las 3 como se indica con la parte

rayada y de la segunda se toman las 2 que faltan para completar las

5 indicadas por el 5 del numerador.

Ahora bien, el estudiante tal vez quede un tanto desorientado y se

haga la siguiente pregunta: ¿por qué se necesita para representar

5/ 3 dos figuras? Esta pregunta puede hacerla.

Esto, el docente lo puede aprovechar para explicar que:

3/3 2/3

La primera figura sugiere La segunda indica que de las 3

que de las 3 se toman 3: se toman 2.

En otras palabras tenemos

El docente puede decir:

Si observan bien, notarán que

3/3 + 2/3 estamos sumando: 3/3 +2/3.


27

Por lo tanto, este es un buen momento para iniciar al

estudiante en la noción de adición de fracciones de igual

denominador, diciéndole a éstos que en la adición de fracciones de

igual denominador se copia el denominador y se suman los

numeradores.

Así pues, es importante que el estudiante aprenda, que

cuando las fracciones tienen el mismo denominador para

sumarlas, se coloca el mismo denominador y se suman los

numeradores.

Lo que quiere decir que si sumamos las 2 fracciones que

representan las figuras debemos llegar a la fracción 5/3.

3/3 + 2/3

Veamos:

La primera representa 3/3 + 2/3 = (3+2)/3 = 5/3

Bueno, observemos que la primera unidad esta dividida en tres

y de ella se toman las tres pero, como tenemos que tomar 5 partes

que es lo que indica el numerador; debemos tomar las otras dos que

nos faltan de la otra figura. Luego, sumando estas dos partes,

apreciamos que efectivamente llegamos a la fracción que originó

esta representación que en este caso es 5/3.


28


29

Veamos otros ejemplos:

Representar:

a) 7/2 Significa que la unidad debe dividirse en 2 partes iguales así:

Pero, como se tienen que tomar 7 partes, necesitamos 4

figuras. Por lo tanto:

7/2 =

Probemos: 2/2 + 2/2 + 2/2 + 1/2 = (2+2+2+1)/2 = 7/2

Representar:

b) 7/5 Ahora, debemos hacer una unidad para dividirla en

cinco partes iguales pero, como se deben tomar siete

necesitamos de otra unidad que sea del mismo tamaño

dividida exactamente igual.

7/5 =

Ya sabemos que para probarlo, basta sumar la fracción que

nos representa la primera figura más la fracción que representa

la segunda: 5/5 + 2/5 = (5+2)/5 = 7/5

Una manera de abordar los números enteros en sexto grado

Comencemos explicando a partir de los números naturales, los

cuales son enteros positivos.

Así:

!Vamos a contar y a la idea de número, le asignamos un

símbolo.

!Conocemos los signos más (+) y menos (-).

! Al signo más (+) lo llamaremos positivo y al menos (-) negativo.

!Entonces contemos primero signos más (+)

Veámos: + + + + +

- ¿Cuántos signos tenemos? Se pregunta a los estudiantes.

- Estudiantes: Cinco.

- Docente: Representemos este número así (+5) lo cual indica

cinco positivos.

- Ahora contemos signos menos: - - - - -

- Docente: ¿Cuántos signos menos tenemos?

- Estudiantes: Cinco.

- Docente: Representamos también con el cinco pero, como son

negativos los que estamos contando escribimos -5 lo cual indica


30

Observación:

Es importante que se note que cuando tenemos números enteros

positivos no se le coloca el signo, esto es porque si no es negativo

es positivo, aquí se dice que se sobreentiende que el número es

positivo.

Pero, cuando tenemos un número entero negativo se tiene

necesariamente que escribir el número acompañado del signo

menos (-). Por esta razón, se observa en la práctica que al

referirnos al cinco positivo se escribe solamente 5.

Cuando nos referimos al cinco negativo escribimos -5.

Lo que significa que estamos en presencia de otros números,

llamados enteros negativos y al igual que en los números naturales,

con estos enteros negativos podemos realizar operaciones.

Ejemplo:

Adición de números enteros negativos

!Si tenemos: - 3 + (-2)

Aquí decimos: Tenemos tres números negativos y nos dan dos

números también negativos ¿cuántos tenemos?


31

Es lógico, nos da cinco, pero como estamos sumando números

negativos decimos cinco negativos. Por lo tanto, escribimos:

-5

Observación:

Cuando escribimos 3 + (-2) el menos dos lo encerramos entre

paréntesis, esto es para que no se confunda el más (+) de la

operación con el signo menos (-) del número dos.

Pues en este caso, el menos es propio del dos negativo; en otras

palabras, lo hace ser distinto de un entero positivo llamado 2 entero

positivo.

Veamos esto de manera ilustradas, así:

Ilustremos entonces la adición -3 + (-2) como sigue:

- - - + - - = - - - - -

Estas son cajas:

En una tenemos tres negativos más dos negativos que tenemos

en la otra, nos da un resultado de cinco negativos, representado por

la caja: - - - - -

Luego contamos. Como son cinco, se escribe el símbolo que

representa el 5 pero acompañado del signo menos porque lo que

estamos contando son negativos. Por lo tanto escribimos -5.


32

Veamos otros ejemplos:

Sumemos -7 + (- 4)

Siguiendo la ilustración de las cajas podemos decir que

tenemos dos cajas, dispuestas como sigue:

- - - - - - - - -

- - - + - - - - = - - - - - -

Que al representarlo en símbolos numéricos es:

- 7 + ( - 4) = -11

Pues se aprecia que en la primera caja hay siete negativos y

se le suman cuatro negativos que tenemos en la segunda caja,

entonces nos resultan once negativos, estos se representan en la

caja mayor que la encontramos después de la igualdad con once

signos menos lo cual escribimos así: -11

Otro ejemplo:

Sumar -9 + (- 6)

- - - - - - - - - - - - - -

Ya sabemos que: - - - - + - - - = - - - - -

- - - -

-9 + - 6 = -15


33

De aquí se deduce, que los números que tienen el mismo signo

se suman o se agrupan para representarlos con un número

manteniendo siempre el signo.

En los casos anteriores mantuvimos el signo menos.

Ahora, revisemos que pasa si son enteros positivos y enteros

negativos, los que estamos sumando.

Sumemos -7 + 8 = 1

- - - - + + + +

Ilustrándolo: - - - + + + + + = +

Aquí ocurre algo parecido a una guerra de signos, donde un

signo menos se elimina con un signo más.

Veamos esto:

Se observa que hemos tachado 7 signos negativos de la primera

caja, y en la segunda caja 7 signos positivos. Indicando que los 7

signos positivos se eliminan con 7 negativos. Quedó 1 signo

positivo, que representa el número 1 en la operación.


34


35

Veamos otros ejemplos como sigue a continuación:

a) 7 + (-9) = - 2

Representemos esto como sigue:

Recuérdese que se va eliminando un signo positivo con un

signo negativo y como en una de las cajas quedaron 2 signos

negativos, éstos, indican el - 2.

b) -8 + (-10) + 7 + 2

Representando queda:

- - - - + - - - - - + + + + + + + - - - - - - - - - + + + +

- 8 + - 10 + 7 + 2

Agrupemos los signos negativos en un solo grupo y los signos

positivos en otro grupo; así:

- - - - - - - - - + + + + + - - - - - - - - - + + + + +

- 18 + 9

Ahora, a partir de la ilustración siguiente...

...se observa, que se eliminaron 9 signos negativos con los 9

signos positivos, quedando 9 signos negativos en una de las cajas,

lo cual se representa con - 9.

Es el tiempo para enseñarle al estudiante que signos diferentes

se restan y se mantiene el signo del que tenga mayor valor absoluto.

Hasta aquí, hemos venido agrupando los signos en cajas, bien

puede aprovecharse esto para llevar al estudiante a la noción de

conjunto pues, se puede decir que cada caja representa un conjunto

que agrupa elementos de una misma naturaleza por lo que,

entonces, tenemos:

Un conjunto formado por los signos negativos y, otro conjunto

formado por los signos positivos. Además, se aprecia que hay un

conjunto resultante el cual puede estar formado por elementos

negativos o positivos pero, en ningún caso se agrupan positivos y

negativos al mismo tiempo.


36

Así, realicemos la siguiente operación donde tenemos cuatro

números; dos de ellos representan a los positivos y los otros dos, a

los negativos, veamos como se hace:

4 + (-5) + 9 + (-2)

++ + - - - + + + + + + + - -

++ - - + + + +

Entonces, al agrupar signos iguales queda así:

Observe que ganaron los positivos.

Por eso, el número 6 es positivo.


37

Pasemos ahora a introducir al estudiante al conocimiento de la

recta numérica. Por lo que podemos hacer algunas

representaciones de números enteros, tanto positivos como

negativos. Veamos:

- 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Aquí, se aprecia que el 0 es el número que actúa como

mediador que a partir de él, se sitúan los números a igual distancia

unos a la derecha y otros a la izquierda. Los números a la derecha

del 0 son positivos y los situados a la izquierda son negativos.

Otra propiedad que se observa en esta recta es que: los números

enteros negativos a medida que se alejan del 0 son cada vez

menores; lo que significa que -2 es menor que -1 por cuanto -2 es

dos veces menor y -1, es solamente una vez menor.

De igual manera; al comparar el - 4 con el - 2 apreciamos

que el - 4 es cuatro veces menor; mientras el - 2 es sólo dos

veces menor.

De modo que, en la recta numérica es importante que el

estudiante reconozca que a cada punto que conforma la recta se le

puede asignar un número entero, tanto positivo como negativo.


38

También se puede deducir de esta recta que un número situado

a la izquierda de otro es menor y el que está a la derecha es mayor

por lo tanto, podemos comparar los números situados sobre la

recta numérica haciendo uso de los signos “ ” mayor que y

“ ” menor que.

Para este momento es conveniente explicarle al estudiante la

existencia del elemento simétrico; esto se puede hacer usando la

recta numérica.

Veamos:

- 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Aquí se observa que el 2 situado a la derecha del 0 es el

simétrico del - 2 situado a la izquierda del cero.

Es importante que se le explique al estudiante que al simétrico

también se conoce con el nombre de inverso aditivo u opuesto.

Por eso, en la practica generalmente se habla de opuesto.

Por ejemplo:

- 4 tiene como opuesto 4.

5 tiene como puesto - 5.

7 tiene como opuesto - 7.


39

En general, el opuesto de un número entero “a” es un

“- a” lo cual indica que el opuesto de un número entero es el mismo

número, pero con signo opuesto.

Lo que significa que si a un número se le suma su opuesto se

obtiene cero.

Ejemplo:

Opuesto

-7 + 7 = 0

5 + (-5) = 0

Opuesto

Observación:

Es importante que el estudiante entienda que el cero no es ni

positivo ni negativo, pues él, es neutro.

A partir de aquí, el estudiante debe notar que el conjunto de los

números naturales se conocen también con el nombre de enteros

positivos.

Además, se puede hablar entonces de números enteros positivos

con el cero, enteros positivos sin el cero.

Al hablar de enteros, nos estamos refiriendo a todos los enteros;

es decir, a la unión de los enteros positivos y negativos.


40

Relación “menor que” y “mayor que”

Cuando se enseñe a los alumnos la relación “menor que” y

“mayor que” es importante señalar que si un número es menor que

otro, aquí también se puede decir que el ultimo es mayor que el

primero.

Ejemplo: Lo dicho anteriormente se entiende mejor

observando los ejemplos:

a) 4 5

Aquí se dice, que 4 es menor que 5. Si se lee de

izquierda a derecha.

Ahora bien, si leemos la misma relación de derecha a izquierda,

se tiene que 5 es mayor que 4 por lo que quedará como sigue:

b) 5 4 Si nos detenemos a observar con detalle la

primera relación y la segunda, notaremos que en ambas la abertura

del signo ( ) está del lado del número mayor.

Se deduce entonces, que en la relación “menor que” ( ) y

“mayor que” ( ) el número menor estará señalado con la punta

del signo y el mayor con la abertura.


41

Otro ejemplos:

La ilustración muestra a dos alumnos que están situados en

sentidos diferentes uno a la derecha y otro a la izquierda.

Pedro que está a la izquierda observa que 7 es “mayor” que 2;

mientras que Ana que está a la derecha observa que 2 es “menor

que” 7.

Así se observa que:

Los dos están observando lo mismo

pero; cada uno lo expresa ubicándose

de acuerdo al sentido en que se

encuentra.


42

Observemos:

Que cuando escribimos 2 7 es igual a escribir 7 2.

Pero aquí, no es que el 7 pasa a la izquierda y el 2 a la derecha

sino; que estamos viendo la situación desde sentidos contrarios.

En esto de las relaciones mayor que y menor que, el estudiante

ya esta familiarizado con las edades de sus compañeros por lo que

considero que el docente puede hacer uso de estas edades de un

modo muy cuidadoso.

Estas relaciones se deben hacer entender bien, pues es aquí

donde el estudiante funda las bases teóricas para comprender más

tarde en noveno grado de Educación Básica lo relacionado a las

inecuaciones.

De modo que, es importante abundar con ejemplos donde se

utilice elementos del entorno del estudiante para que se realicen

actividades con el fin de que éste, fije el conocimiento.

Entiéndase que el entorno del estudiante no es el entorno de la

escuela o la institución educativa, ya que hay quienes creen que el

ambiente de la institución educativa es el entorno del estudiante.


43

3 Jugando con curiosidades matemáticas

Las curiosidades matemáticas

alimentan la imaginación y llevan al

hombre a ser cada vez más creativo.


44


En busca de la motivación

Los estudiantes escriben en su cuaderno

un número; como se explica a continuación:

Nota: Para iniciar esta actividad el docente realiza lo siguiente:

!Escribe, en el pizarrón, un número (puede ser de dos cifras, tres

o más dependiendo del grado) y luego, le dice a los estudiantes:

!Réstale dos.

!Lo que te quedó del número multiplícalo por 3.

!A este nuevo resultado súmale 12.

!A este nuevo número divídelo por 3.

!Ahora a este número réstale el número que escribiste

inicialmente.

!A lo que te quedó súmale 4.

Aquí el docente dice: ¿Te quedó 6?

Esto también puede hacerse simultáneamente docente y

estudiantes:

El docente dice: Vamos a jugar un poco con la matemática,

escriban un número (de tantas cifras) en su cuaderno y yo les voy

indicando en el pizarrón porque también escribiré otro, así:


45

El docente escribe 10 Réstenle -2

8

Luego multiplíquenlo 8

X 3 24

Súmenle 24 + 12 36 Divídelo entre 3 36 entre 3 = 12

12Réstale el número que escribiste -10 2 + Ahora súmale 4 4 6

El docente pregunta

¿Les dio también 6?

Como estamos en presencia de estudiantes normales

seguramente quedaran con las ganas de saber por qué les dio igual

que el docente; o querrán aprender por eso es bueno seguir jugando

con ellos antes de explicarles el por qué. Y, si alguno de ellos logra

comprender el por qué, felicítelo.


46

Veamos otro ejemplo:

El docente propone que hagan otro conjuntamente con él.

El docente escribe en el pizarrón el número

20 así como sigue a continuación:

20

Pide que le resten dos - 2

18

Dice: Multipliquen por tres x 3

54

Súmenle doce +12

Dividan entre tres 66 entre 3 = 22

Réstenle el número que escribieron -20

2

Ahora el docente para variar el juego dice súmenle +10

12

Y luego pregunta ¿les dio doce?

El estudiante dice: ¡Sí!

Y tal vez algunos dirán:

Pero a ésta, ahora, le sumamos 10 y antes, sumamos 4.

El docente puede intervenir diciendo si es verdad vamos a hacer

otro, a ver qué pasa.


47

Se realizará igual que en los ejemplos anteriores: estudiante y docente.

El docente escribe catorce 14

Pide que le resten dos - 2

12


36

Súmenle doce +12

Dividan entre tres 48 ÷ 3 = 16


2

+15

17

Esta vez, el docente o la docente dice:

¡ Ahora les dio diecisiete! ¿Verdad?

En este momento puede explicar que la operación inversa de la

adición es la sustracción.

Y la inversa de la multiplicación es la división.

Antes de explicar el caso que los mantiene motivado, debe

iniciar la explicación de múltiplos de un número.

Esto es, porque en este caso siempre el número que se da a sumar

debe ser múltiplo de tres.


48

Por ejemplo, en este caso siempre se debe sumar un número múltiplo de tres.

Es importante observar que si le sumamos 6 y luego le restamos

el número escrito inicialmente da cero; si se suma 9 da uno. Sí

sumamos 12 quedan 2. Sí sumamos 15 quedan 3; si sumamos 18

quedan 4. Entonces, se puede concluir que:

En los ejemplos anteriores, sabíamos que después de restar el

número que inicialmente escribimos quedaba 2 porque dijimos

súmale 12. Pero, si hubiésemos dicho súmele 6 queda cero. De

igual manera, si decimos súmele 9 nos va a quedar uno; si en vez

de alguno de esos números decimos súmele 15, sabemos entonces

que va a quedar 3 y, si decimos súmele 18 quedan 4. Así que

podemos entonces decir ahora, para finalizar, súmele 4 o

multiplíquelo por 4 y sabremos cuanto dará.

Aquí, no se trata de que el estudiante entienda de buenas a

primera lo que ocurre sino, de motivarlo a realizar las operaciones

y que vea esta actividad como un juego donde puede aplicar los

conocimientos dados en clase.

Puede también el docente decirle al estudiante que todo número

cuya suma de sus dígitos sea divisible entre 3; es múltiplo de 3. Por

ejemplo 12, al sumar sus dígitos 1+2=3 por lo tanto 12 es múltiplo

de 3; 18, al sumar sus dígitos 1+8=9 y como 9 es divisible entre 3

entonces 18 es múltiplo de 3; también 24 es múltiplo de 3 pues

2+4= 6 y seis es divisible entre 3.


49

Para terminar con esta curiosidad veamos otro ejemplo y luego la explicación de todo lo que ocurre:

El docente escribe: 14

Luego pide que le resten dos 14

a ese catorce. - 2

12


36

Súmenle doce +12

Dividan entre tres 48 ÷ 3 = 16


2

Súmele cinco + 5

7

Observación:

Nótese, que cuando el estudiante resta al 16 catorce le

quedan 2; esto es porque el docente dijo en el paso tres que le

sumara 12. Ahora bien, como ya se sabe que le quedan 2 y el

docente dice en esta parte final que le sumen cinco, entonces sólo

hay que sumar 2 más 5 por eso da 7.


50

Jugando en grupos con las curiosidades

Para realizar esta actividad pídale a los estudiantes que se formen

en grupos de tres o cuatro. Dígale que van a realizar una suma de

varias cantidades y que usted, le dará la respuesta antes de terminar

pero, que para ello se requiere que sigan las instrucciones:

1) Un miembro del grupo escribirá un número de cuatro cifras en

su cuaderno.

2) El docente escribirá la respuesta, en un papelito, de la suma a

realizar y se lo dará a uno de los miembros del grupo.

El docente sabrá la respuesta porque al número que escribe el

estudiante debe restarle dos a las unidades y colocarlo al principio

de la cifra, así por ejemplo:

Si el estudiante escribe 3567

Entonces la respuesta será 23565.

Como se aprecia al 7 de las unidades se le restó 2 y quedó en 5

y este dos, se escribe al inicio del número por eso el nuevo

número es 23565, que será la respuesta.


51

Si el número que el estudiante escribe termina en cero entonces

debe quitar prestado al restar, así:

Supongamos que el estudiante escribe 5630

La respuesta que el docente escribirá será 25628.

Como se aprecia al diez le resto dos y queda en 8 y, el tres de

las decenas quedó en dos por la unidad que presta.

3) Ahora puede continuar la actividad de la manera siguiente:

Otro estudiante escribirá un número de cuatro cifras debajo

del que escribió su compañero de grupo respetando el valor

posicional.

4) El docente debe escribir otra cantidad debajo de las dos que han

escrito los estudiantes, para ello debe completar nueve en cada

número, por ejemplo si el estudiante escribe 1234; el docente

escribe 8765, como se aprecia siempre se debe llevar a nueve cada

número.

5) Nuevamente el docente pide a otro miembro del grupo que

escriba otro número debajo de los que ya se tienen escrito con las

mismas instrucciones antes señaladas.

52


6) Por último, el docente vuelve a escribir otro número para

completar la cuenta, llevando a nueve los números como en el

paso anterior.

7) Luego, el docente, indica a los miembros del grupo que realicen

la adición de las cantidades y que verifiquen el resultado con los

que ya escribió al inicio en el papelito.

Observación:

Antes de dar un ejemplo, le recuerdo que debe memorizar los

pasos bien antes de comenzar este juego con los estudiantes.

Como puede apreciar, los estudiantes escriben tres veces y el

docente también lo hace tres veces, sólo que inician ellos y la

primera cantidad que escribe el docente, es la respuesta.

Veamos un ejemplo, si el estudiante escribe 3567

Y, otro escribe debajo 4212


53

Expliquemos el ejemplo:

Para el caso de un grupo que escribe un número que no termina en

cero :

El docente escribe 23565 en un papelito

Uno escribe 3567 y se lo entrega a uno de los miembro del

Otro escribe 4212 grupo; diciéndole ¡esta es la respuesta!

El docente 5787

Otro escribe 1352

El docente 8647

23565

El docente indica una vez que escribe el número 8647 que

realicen la adición de estas cantidades y que la comparen con la que

dió a uno de los miembros del grupo, para ver si efectivamente ese

es el resultado.

Otro ejemplo, caso donde el número termina en cero:

Uno escribe 7850 La respuesta del docente es: 27848

Otro escribe 1111

El docente 8888

Otro escribe 2222

El docente 7777

27848 Observese que el docente siempre

Llevó las cantidades a nueve.


54

Todos jugando con la misma actividad

Veamos como jugar con todos los estudiantes en el aula por

medio de esta actividad. El docente pide a uno de ellos que

escriba en el pizarrón un número de cuatro cifras. Por ejemplo,

supongamos que uno escribe:

4580 Y el docente dice que dará: 24578 y

Escribe este resultado en una parte

visible del pizarrón.

También dice: escriban todos en el cuaderno el número 4580.

Cada uno debe sumarle una cantidad de cuatro cifras, luego me

dicen la cantidad y yo, les indicaré que cantidad sumarle.

Así, que tendremos tantas cuentas que sumar como alumnos en

el aula y cada uno, se encargará de realizar su actividad.

Imaginémonos que los estudiantes hacen:

4580 4580 4580 4580 4580

1234 1111 3333 7777 8888

8765 8888 6666 2222 1111

4523 1568 1234 1289 5555

5476 8431 8765 8710 4444

24578 24578 24578 24578 24578

Aquí se muestra un ejemplo con cinco estudiantes.


55

Adivinando números

1.- Escribe un número de tres cifras tal que, el valor absoluto de

la tercera orden, sea mayor que la del primer orden.

2.- Invierte la colocación de las cifras.

3.- Efectúa la diferencia.

Ejemplo:

Si se escribe 451 al invertir la colocación de las cifras tenemos

154, es decir, se ha escrito el mismo número alrevés.

4 5 1 - 1 5 4 2 97

Después que se haya efectuado la diferencia, el estudiante

debe comunicarle al docente qué número le resultó en la

posición de las centenas; es decir:

En este caso resulta un 2. Por lo tanto, el estudiante dice: me

dió dos.

El docente dirá entonces: ¡Te dio 297!


56

Otro ejemplo:

Supongamos que uno de los estudiantes escribió:

732

Al invertir el orden de colocación entonces queda: 237; de

manera que, éste es el número que debe restar al primer número

que escribió. Así que:

732 -237 495

Observamos que una vez realizada la operación por el estudiante,

éste, le debe comunicar al docente que en el lugar de las centenas le

dio cuatro.

A lo que contestará entonces: ¡ Tu resultado es 495!

Observación:

Esta actividad también se puede aplicar a todo el grupo de

estudiantes en el aula de clase. Colocando a éstos en fila e

indicando que el primero de cada fila le comunicara a sus

compañeros el número que deben escribir y una vez que todos

hallan realizado la operación se escoge uno al azar, por fila, para

que diga al docente qué número debe dar en las centenas; mientras

que éste comunica el resultado que tiene que dar a todos los de esa

fila.


57

Con esta curiosidad, se motiva al estudiante y al mismo tiempo,

se utiliza para evaluar la sustracción; por cuanto sí el estudiante le

comunica al docente un número que no es el que realmente queda

en las centenas entonces, se le dice, sin ver el cuaderno de éste

revisa la operación que hiciste porque tienes un error en la resta.

Explicación:

En este caso siempre el número del medio es 9 y la suma del

primero con el tercero suman 9. Por tal razón: si escribió 7 2 3

723

-327

396

El estudiante dice: Me dió 3 y el docente le dice el número

completo; porque ya sabe que es 3; en el medio esta el 9 y al 3

le faltan 6 para llegar a 9; por lo tanto, el número es 3 9 6.

Así que si un estudiante dice 6, el docente deduce que el primer

número es 3, y como siempre el número del medio es 9, el número

es entonces el 693.

Se sugiere que después de haber jugado con el estudiante se le

explique por qué se conoce el resultado, esto para que él aprecie

que puede aprender sí despierta el interés por la matemática.


58

Estrategia para Adivinar una palabra

de la página de un libro

Se le pide a un estudiante que seleccione un libro y que escoja

una palabra sin que se pase de la página 9 ni de la línea 9, ni de la

palabra 9. Podemos adivinar cuál es la palabra que esta persona

seleccionó.

Primer Paso: Se le pide que multiplique el número de la página

donde esta la palabra selecciona por 10. Con esto, estamos

colocando nuestra primera pista porque no cambia el número sólo

cambia el valor posicional; es decir, la posición unidad pasa a las

decenas.

Segundo Paso: Se le dice, que sume 25 (esto es para hacerlo

más divertido, como para que la persona se distraiga).

Posteriormente, se pide que sume el número de la fila donde está la

palabra seleccionada y este nuevo número se debe multiplicar por

10 con lo cual esta pasando el número de la página a la posición de

las centenas y el de las filas a las decenas.

Tercer Paso: Se le pide, que agregue el número donde esta la

palabra seleccionada, esto no varía por cuanto ocupa el valor de las

unidades.

59


Cuarto Paso: Aquí es importante notar que el 25 que se sumó

luego se multiplicó por 10 y esta, es la razón que justifica por

qué se debe restar 250. Porque en realidad, lo que se suma es 250

ya que; 25 x 10 = 250 y de esta manera, los números sólo

cambiaran de posición.

Ejemplo:

Si el alumno selecciona de la pagina 6, en la fila 4, la palabra

número 5. Se le manda a que proceda así:

Multiplica el número de la pág. x 10

6 x 10 = 60

Luego se le dice que le sume 25 (Este es el distractor)

60+ 25 85

Posteriormente se le dice: Suma el número de la fila donde está la palabra.

85+ 4 89

Luego, este 89 lo multiplica por 10

89 X 10 = 890

60


Y ahora, suma el número donde esta la palabra que seleccionó:

890 + 5 = 895

Finalmente, el estudiante le comunica al docente el último

número de la operación (895) y el docente le resta

mentalmente 250.

895 - 250 645

Entonces, se tiene que el 6 de las centenas es

el número de la página. El 4 de las decenas es

el número de fila y el 5 de la unidad es el lugar

de la palabra seleccionada.

61


Otra Curiosidad para Adivinar Números

El docente pedirá a los estudiantes que escriban en el cuaderno,

sin que él los pueda ver, un número del 50 al 100.

Después que lo escriba se le pide que sume un número que el

docente le da. El número que le da a sumar es siempre del 50 al

100. Y el docente le dirá el resultado.

El docente puede hacer uno en el pizarrón a manera de ejemplo

o, puede hacerlo conjuntamente con los estudiantes. Éstos en el

cuaderno y él, en el pizarrón, así:

El docente escribe 70

Los estudiantes escriben X número del 50 al 100.

El docente dice suménle a ese 70 + 60

70

+ 60

130

Luego se quita el número de la centena y se suma con el de la

unidad. Así que del 130 resulta 31.


62

Este nuevo número se le resta al número que escribió al inicio,

en este caso:

Entonces si los estudiantes

70 hicieron las operaciones y los

- 31 procedimientos indicados por el

39 docente también su resultado final

será 39.

Explicación:

El secreto está en el número que el docente dio a sumar. Por

ejemplo, si dijo súmenle 60, el resultado será lo que le falta a 60

para llegar a 99. En este caso, el resultado final es 39.

Si da a sumar 73 el resultado será 26 porque esto es lo que falta

para llegar a 99. En consecuencia, el número que el docente dice al

estudiante que sume debe ser mayor al 50 pero menor que 99.

Ejemplo:

Supongamos que el estudiante escriba 74 y el docente le pide

que sume 63 (el resultado será 137). Porque 74 + 63 = 137.

A este número le quita el 1 y se lo suma al 37 dando el resultado

de 38. Luego, este número se resta del original que es 74 - 38 = 36.

Resultado que sabe el docente de antemano.


63

Sigamos con Curiosidades

!El estudiante escribe en su cuaderno un número de 3 cifras, sin

decirlo al docente.

!Luego el docente propone que halle la suma de los valores

absolutos de las cifras de ese número.

!Réstale este nuevo número, al que escribiste inicialmente.

Ahora, sin que el docente vea lo que hace, se le pide al

estudiante que encierre uno de los dígitos del resultado obtenido

con un círculo, el que desee y que le comunique al docente los

dígitos restantes y, el docente le dirá inmediatamente el número

encerrado o seleccionado.

Ejemplo:

El estudiante escribió 456 la suma de los valores absolutos de

las cifras de este número es 4 + 5 + 6 = 15. Este es el número que

restará al 456.

Así: 456

- 15

4 4 1

En este caso el estudiante encierra uno de los dígitos y le

comunica al docente que dejó el 4 y el 1.

El docente le dice ¡encerraste un 4!


64


El estudiante escribe 788 suma 7 + 8 + 8 = 23

788

-23

76 5

El estudiante le comunica al docente que dejó por fuera al 6 y 7.

Entonces, el docente le dice: ¡Encerraste el 5!

Explicación:

La clave consiste en sumar los números que dejó el estudiante

para luego buscar lo que falta a dicha suma para formar un numero

divisible por 9.

Por ejemplo: en el primer caso el estudiante dijo que dejó el

4 y el 1.

Así, que 4 + 1 = 5. Como al 5 le faltan 4 para llegar al número

más próximo divisible entre 9. Ésta es la cifra encerrada.


65

Estrategia para Calcular el Número de Hermanos Varones,

Hembras y los Abuelos

Para realizar esta actividad, el docente pedirá a un estudiante

voluntario que haga en el cuaderno, sin que el docente observe, la

siguiente operación:

!Escribe el número de hermanos (varones) que tienes.

!Multiplícalo por 2.

!Súmale 3 al resultado anterior.

!Multiplica por 5.

!Súmale el número de hermanas.

!Multiplica por 10.

!Luego, súmale el número de abuelos vivos que tienes.

!Finalmente, se le dice que reste 150 al número final.

Todo esto es para adivinar cuántos hermanos tiene, cuántas

hermanas y cuántos abuelos vivos.

Probablemente, después de hacerlo con un estudiante los demás

se sientan motivados y quieran hacerlo, por lo que se pueden

formar grupos de 3 estudiantes o 4, dependiendo el caso, para que

realicen esta actividad.

Veamos los ejemplos:

Para el caso de un estudiante que tenga: 6 hermanos varones, 4

hembras y 1 abuelo vivo, se hace de la siguiente manera:

66


El estudiante debe realizar las siguientes operaciones:

6 X 2 = 12 a este 12 le suma 3.

12+3=15 este 15 debe multiplicarlo por 5

15X5= 75 ahora este 75 le sumará 4

75+4= 79 este 79 debe multiplicarlo por 10

79X10= 790 aquí debe sumar uno (porque en este caso es un

abuelo que tiene)

790 + 1= 791 Como este es el número final debe restarle 150

791- 150 = 641

Este resultado final nos muestra que efectivamente el

estudiante tiene 6 hermanos, 4 hermanas y 1 abuelo vivo.

Esta actividad sirve para evaluar sin que el estudiante sienta

presión (pues no se le ha dicho que van a evaluar las operaciones

aquí involucradas).

Por ejemplo, cuando multiplica por 10; si no se ha dado cuenta

que en la multiplicación por la unidad seguida de cero se copia la

cantidad y se le agrega los ceros de la unidad, es el momento de

recordar este proceso.

También, se aprecia que con esta curiosidad, se evalúa la resta.

67


Explicación de lo que ocurre:

Primero se multiplicó por 2 el número de varones que tiene; en

este caso resulta 12. A este 12 le sumamos 3 resultando 15.

Posteriormente se multiplica por 5 lo que nos da 75.

Es importante observar que hasta este momento tenemos 3 (tres)

que se dieron a sumar al doble de la edad que al multiplicarlo por 5

da 15; lo que significa que realmente se ha sumado 15 al doble de

la edad.

Ahora, le sumamos a este 75 el número de hermanas que en este

caso es 4; por esta razón, observamos 79.

Seguimos multiplicando 79 X 10 y es importante observar

que estamos multiplicando el 15 que se había agregado X 10.

Por lo tanto, ahora podemos decir que realmente hemos sumado

150.

Por esta razón, al número que resulta se le resta 150; mientras

que el número de hermanos y de hermanas sólo cambian de

lugar posicional.

Esto puede servir como medio para recordar por lo menos las

posiciones de unidad, decena, centena, unidad de mil, decena de

mil y centena de mil.

68


Observación:

Todo parece indicar que al multiplicar el 2 con el que se dobla la

edad X 5 da 10. Por lo que automáticamente estamos

multiplicando el número de hermanos que se escribió al principio

X 10. Por lo tanto, se esta enviando a la posición de las decenas lo

cual, al multiplicarlo X 10 pasa a la posición de las centenas.

Por ejemplo, si queremos que el 4 pase a la posición de las

centenas, procedemos así:

4 X 2 = 8

+ 3 Se suma 3

11

X 5 Se multiplica X 5

55

x 10 Se multiplica X 10

550

- 150 Finalmente, se le dice al estudiante que le reste 150.

400

Es importante considerar lo siguiente: el estudiante le

gustaría tal vez aprender por qué eso se da de esa manera, en otras

palabras qué sucede, por eso trato de explicar lo que pasa; pero de

lo que se trata es que él esté motivado a querer aprender

matemática, en este sentido me parece interesante dejar que sea el

propio estudiante quien busque el por qué eso se da así.

69


Una explicación puede ser:

Aquí, se puede apreciar que 3 X 5 = 15 pues recordemos que

se suma 3 y se multiplica X 5, pero anteriormente el número

original fue multiplicado X 2. Por lo que sí multiplicamos 2 X 5

nos da 10. Número por el que realmente se está multiplicando el

número original, y como se vuelve a multiplicar X 10 entonces,

el número original pasa al lugar de las centenas, mientras que el 15

queda multiplicado X 10 dando 150 que es lo que se resta, ya que

es la cantidad sumada.

No olvide que todo docente debe dejar en el estudiante el

deseo de querer seguir aprendiendo y tenga en cuenta que cuando

se le explica a un estudiante todos los detalles en un mismo

momento éste siente que ya lo aprendió todo, de modo que lo ve

fácil y en algunos casos se desmotiva.

Lo que quiero dejar claro, es que debe ser cuidadoso cuando

este enseñando con las curiosidades; es decir, esto es como contar

cuentos matemáticos pero, llevando a la audiencia (que en este

casos son sus estudiantes) hacia esos momentos que tienen que ver

con la imaginación, crear situaciones, buscar la respuesta a los

hechos.

Dicho de otra manera, no es bueno saber el final del chiste

antes de contarlo porque nadie se interesará por saber el

desarrollo y en esto del aprendizaje de la matemática lo más

importante es el desarrollo del proceso.

70


4Curiosidades con los criterios de

algunos números

La mejor idea del hombre fue haber

creído en la noción de número.


71


Curiosidades del 9

Parece interesante revisar los siguientes múltiplos de nueve:

18 -------------- 81

27 -------------- 72

36 -------------- 63

45 -------------- 54

90 -------------- 9

99 -------------- 99

108 ------------- 801

117 --------------711

126-------------- 621

135 --------------531

144 -------------- 441

153 ------------- 351

162-------------- 261

171-------------- 171

Aquí se aprecia que un múltiplo de nueve si lo escribimos

invirtiendo el orden de las posiciones (escribirlo de derecha a

izquierda ) sigue siendo múltiplo de nueve el nuevo número

formado por los dígitos invertidos.

También se observa que si el número que resulta al sumar los

dígitos es múltiplo de tres el número es divisible entre 9; siempre

que esta suma sea mayor o igual a nueve.


72

Esto puede servir para que el estudiante se familiarice con los

múltiplos de un número; además que se puede también indicar

cuando un número es capicúa.

Entendiendose éste, como todo número que al invertir sus

dígitos no cambia de valor, es decir no se trasforma en otro sino que

sigue representando al mismo número, por ejemplo:

99 al invertir sus dígitos queda 99

171 al invertir sus dígitos queda 171

En esto de la multiplicación sería conveniente que el docente

explique a los estudiantes que las tablas de multiplicación son

infinitas y que en el cuaderno aparecen generalmente hasta el diez

porque la hoja de éstos no permiten hacerlo con mayor amplitud

por que son muy pequeñas.

Por ejemplo la tabla del 3 no termina en tres por diez, pues

podemos decir 3 x 11=33; 3 x12= 36; 3 x 13= 39; en fin, se puede

seguir con la tabla del tres hasta donde pueda llegar nuestra

imaginación y más, por que ella es infinita.

Por eso cuando el proceso se hace muy largo se coloca así:

23456 23456

X 3 X 4


73

De modo que es un error decirle al estudiante apréndete la tabla

del tres, lo que pasa es que estamos tan acostumbrado que lo

decimos sin darnos cuenta que ella es infinita; por esa razón, nunca

el estudiante se aprenderá ninguna tabla.

Lo importante es que tenga la noción de que multiplicar es una

suma sucesiva; es decir, si estamos en la tabla del 5 por ejemplo

que el estudiante reconozca que es una suma sucesiva del cinco.

Tenga presente que la tarea del matemático no es hacer grandes

cálculos, ni tener habilidad para memorizar grandes cantidades

sino que, debe pensar analíticamente, buscar la lógica, coherencia,

interpretar los hechos, deducir, inferir, para llegar a demostrar.

Porque los grandes cálculos se lo dejamos a las maquinas, que

como se sabe, son excelentes para realizar esta tarea y en cuanto a

la memorización, ya se sabe que en el disco duro de una

computadora se puede guardar mucha información.

Claro, que se reconoce que todo estudiante tiene que dominar

cierta teoría pero, no basta saberla, sino saber aplicar dicha teoría

y esto se logra, cuando se hacen actividades con éstos donde más

que memorizar se debe interpretar; aplicar eso que dicen los

conceptos a situaciones tanto reales como imaginarias.


74

Por ejemplo:

Ahora que el estudiante ya conoce lo que es un múltiplo de nueve

y visualizó, el comportamiento de algunos de ellos cuando se

invertían los dígitos, se le puede pedir que trate de buscar otros

múltiplos que cumplan esta condición pero, que no sea del nueve.

Aclaro, se le puede decir que pruebe revisando algunos múltiplos

del cuatro, cinco o seis.

No le diga que tal vez con los múltiplos del tres esto también

puede suceder déjelo que él llegue. Comience a creer en sus

estudiantes pero, dele tiempo, porque recuerde la matemática es

para pensar. Motívelos a que revisen las actividades que hacen, en

otras palabras, llévelos a que usen la curiosidad matemática.

Quizás revisando ellos, hagan lo siguiente:

12 -------------- 21

15-------------- 51 Diciendo luego ¡mira con el tres!

18-------------- 81

21-------------- 12

27 -------------- 72

30 -------------- 3

33 -------------- 33

36 --------------- 63


75

Entonces, este puede ser un buen momento para decirle que todo

número cuya suma de sus dígitos sea múltiplo de tres, lo divide el

tres.

También se puede explicar a partir de aquí, cuándo un número

contiene otro pues, la idea de contener en el lenguaje ordinario o

cotidiano no es la misma que se maneja en matemática.

Por ejemplo, un estudiante que se está iniciando en la

matemática cree que el 2 esta contenido en el 5.

Veamos que el 5 = 2 + 2 + 1

Se aprecia que tiene un 1 que esta suelto.

Mientras que el 6 si contiene al 2 porque:

6= 2 + 2 + 2

Entonces, para que un número contenga a otro debe tenerlo

exactamente un número de veces.

De manera que así, debe quedar fijada la idea de múltiplo de un

número; el cual es el número que contiene a éste un número exacto

de veces.


76

En general, se dice que los múltiplos de un número se forman

multiplicando este número por la serie infinita de los números

naturales.

Se deduce de esto que todo número tiene infinitos múltiplos por

eso, ya se dijo anteriormente, que las tablas de multiplicar son

infinitas.

La enseñanza de esto se verá recompensado cuando esté

enseñando mínimo común múltiplo y Máximo Común Divisor.

Por tanto, considero importante manejar ciertos criterios de

divisibilidad los cual permite conocer, por simple inspección, si

un número es divisible por otro.

Criterio del 2

Todo número que termine en cero o en par:

Lo divide el 2

Ejemplo: 20 ÷ 2 = 10 50 ÷ 2 = 25

24 ÷ 2 = 12 48 ÷ 2 = 24

Observación

Todo número que divide a otro, divide a sus múltiplos.


77

Criterio del 3

Todo número cuya suma de los valores absolutos de sus cifras

(dígitos) sea múltiplo de 3, lo divide el 3.

Ejemplo:

117 ÷ 3 = 39

Se aprecia que en 117, la suma de los dígitos es: 1 + 1 + 7 = 9

y como nueve es múltiplo de tres entonces 117 lo divide el 3.

Otro ejemplo: 1023 ÷ 3 = 341

Veamos si la suma de los dígitos de 1023 es un múltiplo de 3.

1 + 0 + 2 + 3 = 6 y como seis es múltiplo de tres entonces 1023

lo divide el tres.

Es importante notar que un número puede tener más de un

divisor, por ejemplo 5034.

Este número lo divide el 3 porque la suma de sus dígitos es

múltiplo de 3; pues 5 + 0 + 3 + 4 = 12 y como doce es múltiplo de 3

entonces 5034 ÷ 3 = 1678. Lo que indica que lo divide el tres.

También a 5034 lo divide el 2 porque este número termina en

cifra par; así 5034 ÷ 2 = 2517


78

Criterio del 4:

Un número lo divide el cuatro cuando sus dos últimas cifras de

la derecha son ceros o forman un múltiplo de cuatro.

Ejemplo: 2100 ÷ 4 = 525

Aquí, apreciamos que las cifras que forman las decenas junto

con las de las unidades son ceros por lo tanto, lo divide el 4.

Otro ejemplo: 4524 ÷ 4 = 1131

En esta cantidad, cuando separamos las cifras que forman las

decenas con las unidades tenemos que es el 24 y como este número

es múltiplo de 4, entonces a 4524, lo divide el cuatro.

Veamos que también puede ocurrir que un número tenga como

divisor a: 2; 3 y 4. Pero, la idea es que usted como docente

domine estos criterios para que cuando coloque actividades a los

estudiantes tenga seguridad de lo que esta haciendo.

Se, que con esto no estoy enseñando a dividir, porque usted

sabe y domina muy bien esta operación, sólo quiero que se

visualice parte de la teoría que se debe dominar para comprender

mejor algunas de las curiosidades matemáticas expuestas hasta

aquí.


79

Criterio del 5:

Todo número que termina en cero o en cinco lo divide el 5.

Ejemplo: 320 ÷ 5 = 64

325 ÷ 5 = 65

Al dividir éstos números apreciamos que el primero termina en

cero; por lo tanto, lo divide el 5. Resultando 64.

Por otra parte, el 325 como termina en cinco lo podemos

dividir entre cinco, lo cual resulta 65.

Criterio del 6:

Un número es divisible entre 6, si es divisible entre 2 y entre 3.

Ejemplo: 48 ÷ 6 = 8

48 es divisible entre 6 porque: se puede dividir en 2 y entre 3.

48 ÷ 2 = 24 y 48 ÷ 3 = 16

Por lo tanto, como lo divide el dos y el tres también lo divide el 6.


80

Criterio del 7:

Un número es divisible entre 7 cuando separando la primera

cifra de la derecha, multiplicándola por 2, luego restando este

producto de lo que queda a la izquierda y así sucesivamente, resulta

cero o un número múltiplo de 7.

Ejemplo:

Veamos si 1827 es divisible entre 7.

Lo primero que hacemos es separar de 1827 a la cifra de la

derecha que en este caso es 7 y lo multiplicamos por 2 .

Así que 7 x 2 = 14; este número lo restamos de 182 que es lo

que queda.

De modo que lo que hemos hecho es:

182 7

-14 7 x 2

16 8 Aquí, nuevamente separamos la cifra

-16 8 x 2 de la derecha que en este caso es 8 y

0 multiplicamos por 2.

Como al realizar el procedimiento indicado por el criterio

resulta que la resta da cero, entonces, el número 1827 es divisible

entre 7.

Como en efecto se aprecia 1827 ÷ 7 = 261


81


Queremos saber si el número 5901 lo divide el 7.

5901 Como ya sabemos, separamos el 1 y lo multiplicamos

-2 por 2 para restar este producto a lo que queda; que en

588 este caso, es 590. Recuerda que el 2 = 2 x 1.

Ahora, nuevamente separamos la cifra de la derecha que como

se sabe es el 8 y lo multiplicamos por dos para restar el resultado

de este producto a lo que queda, que en este caso es 58.

Sigamos entonces: 58 8

-16 8 x 2

42

Como en este caso no se puede seguir realizando la operación

indicada por la teoría del criterio, verificamos si este número que

nos queda es múltiplo de siete.

Luego como 42 es múltiplo de 7, entonces, concluimos que 5901

es divisible entre 7.

Por lo tanto, al dividir 5901 ÷ 7 = 843.

Sin duda que este criterio del 7

requiere de mayor práctica. Por lo que

te recomiendo repasar bien.


82

Criterio del 8:

Un número es divisible entre 8 cuando sus tres últimas cifras de

la derecha son ceros o forman un múltiplo de 8.

Ejemplo. 67000 ÷ 8 = 8375

Como se observa, las tres últimas cifras de la derecha son ceros.

Por lo tanto, el número es divisible entre 8.

Otro ejemplo: 9216 ÷ 8 = 1152

Aquí se ve que el 216 son las tres últimas cifras de la derecha del

número 9216 y, como estas tres cifras forman un número que es

múltiplo de 8, entonces lo divide el 8.

Criterio del 9:

Un número es divisible entre 9 si la suma de sus cifras es

múltiplo de 9.

Ejemplo: 8901 ÷ 9 = 989

Se aprecia que: 8 + 9 + 0 + 1 = 18

Y como 18 es múltiplo de 9, entonces el número 8901 lo divide

el 9.


83

Otro ejemplo:

311697 ÷ 9 = 34633

Como al sumar los dígitos de 311697 resulta que:

3 + 1 + 1 + 6 + 9 + 7 = 27

Y como 27 es múltiplo de 9; entonces concluimos que:

311697 lo divide el nueve, como se muestra en el ejemplo.

Criterio del 10:

Un número es divisible entre 10 cuando termina en cero.

Ejemplo: 320 ÷ 10 = 32

Como se observa aquí suprimimos los ceros.

Observación:

Esto nos conduce a entender que si un número termina en dos

cero se puede dividir entre 100. Si termina en tres cero será

divisible entre 1000.

En general, todo número que termine en cero será divisible por la

unidad seguida de tantos ceros como ceros haya a la derecha del

número.


84

La División como Resta

Sabemos que la multiplicación es una suma sucesiva y que la

multiplicación tiene como inversa a la división, entonces la

división es una resta sucesiva porque la inversa de la suma es la

resta.

MULTIPLICACIÓN es SUMA SUCESIVA

Inversas Inversas

DIVISIÓN es RESTA SUCESIVA

Veamos esto con un ejemplo:

El papá de María se enfermó y después

de llevarlo al médico éste, le manda unas

tabletas de 24 grageas indicando que

tiene que tomar 3 diarias. ¿En cuántos

días cumplirá el tratamiento?


85

Tiene 24 grageas Toma 3 diarias, significa cuántas veces

se puede restar del 24 el número 3.

Así que:

Primer día 24 Cuarto día 15 Séptimo día 6 -3 -3 -3 21 12 3

21 12 3Segundo día -3 Quinto día -3 Octavo día -3

18 9 0

18 9Tercer día -3 Sexto día -3 15 6

Por lo tanto 24 : 3 = 8

Tal vez, este procedimiento no es muy práctico con números

que pasen de las centenas pero, con esto no se pretende que el

estudiante la practique sino, que tenga consciencia de que la

multiplicación tiene como inversa a la división y que igual pasa con

la adición, ésta, tiene como inversa a la sustracción.

Ahora bien, vamos a ocuparnos nuevamente de 24 : 3 = 8

Aquí tenemos: 3 x 8 = 24


86

Lo que se interpreta como:

¿Cuál es el número en la tabla del 3 que multiplicado

por 3 nos da 24?

Es importante que se explique aquí a los estudiantes que en toda

división también hay una multiplicación. No se trata de enseñar

algo mecánico sino de hacer comprender el significado de la

división.

Otro ejemplo:

48 : 6 = 8 Observemos primero que estamos en presencia

de la tabla de multiplicar del 6.

Veamos cuántas veces podemos restar el 6 del 48.

Primera 48 Segunda 42 Tercera 36

-6 -6 -6

42 36 30

Cuarta 30 Quinta 24 Sexta 18

-6 -6 -6

24 18 12

Séptima 12 Octava 6

-6 -6

6 0


87

Como hemos podido restar 8 veces el 6 del 48 y nos quedó 0.

Significa que 48 entre 6 toca a 8.

Así 48 : 6 = 8

Realicemos 27: 4


-4 -4 -4

23 19 15

Cuarta 15 Quinta 11 Sexta 7

-4 -4 -4

11 7 3

Aquí observamos que al dividir 27: 4 toca a 6 y restan 3.

Una división hasta aquí se considera incompleta por cuanto

un niño que tenga una calculadora al rectificar obtendrá en la

calculadora que 27: 4 = 6,75 y tal vez diga ¿por qué no me da

igual si la maestra me explicó y yo aplique todo igual como ella

dijo?

Observamos que

la división es

repetir en partes

iguales, es decir,

equitativamente.


88

Por eso, es importante hacer ver a los estudiantes que esta

división está incompleta y esto se puede interpretar así:

Al dividir 27 entre 4 toca a 6 y sobran 3 unidades.

Estas unidades las convertimos en décimas;

recordando que las décimas son la primera

posición de izquierda a derecha después de la

coma decimal. Luego para convertir estas 3

unidades en décima multiplicamos el 3 por 10

teniendo presente que al multiplicar un número

por la unidad seguida de cero se copia el número

y se agrega los ceros de la unidad, por eso

3 x 10 = 30.

Sigamos para completar la división de 27: 4

Primera 27 26 10

-4 -4 - 4

23 22 6Segunda -4 -4 -4 19 18 20Tercera -4 -4 -4

15 14 16Cuarta -4 -4 -4 11 10 12Quinta -4 -4 7 Porque 8Sexta -4 multiplicamos -4

30 por 10 4

Séptima -4 -4

26 0

Convertimos estas

decimas a centésimas

multiplicando por 10


89

27: 4 = 6,75

El 7 después de la coma indica que a las 30 décimas le pudimos

restar 7 veces el 4 y restan 2 décimas. Luego, estas décimas se

convierten en centésimas, de aquí se obtienen 20 centésimas de la

que se restan 5 veces el 4 y no queda resto; esto explica el 5 de las

centésimas.

Observación: Esta actividad la puede hacer el docente con sus

estudiantes en el aula de clase para que ellos comprendan de dónde

sale la parte decimal; por lo que se recomienda seleccionar

números que faciliten el entendimiento y luego, puede seguir

dividiendo con los estudiantes utilizando una forma más práctica,

pero éstos ya están conscientes de lo que están haciendo.


90

Realicemos 25: 5 = 5


-5 -5 -5

20 15 10

Cuarta 10 Quinta 5

-5 -5

5 0

Aquí, podemos observar que la división por ser la operación

inversa de la multiplicación es una resta sucesiva; es decir, es restar

una cantidad constante (divisor) un mismo número de veces al

dividendo.

Observación: La mayoría de las personas desean

encontrar una forma fácil para entender

operaciones matemáticas pero, en realidad lo

importante no es encontrar una vía fácil sino

entender las operaciones, esto significa conocer

nuevas vías, varias vías, en fin, saber por qué se

da o se hace de esa forma.


91

La potencia y las curiosidades

Así como están establecidos unos criterios para la división

también en la potencia de números enteros hay ciertos criterios

que son validos que se cumplen cuando el número consta de dos

cifras. Estos, son de gran ayuda cuando uno los conoce pues,

facilitan el trabajo de cálculo.

Como ya conoces que:

2 2 2 = 4 6 = 36 2 23 = 9 7 = 49 2 24 = 16 8 = 64 2 2

5 = 25 9 = 81

Entonces, será fácil memorizar los siguientes casos de

cuadrados de números enteros de dos cifras:

Si el número de dos cifras termina en cinco:

1.- Se eleva al cuadrado las unidades y se coloca el número completo. 2.- Luego se aumenta en uno las decenas y se multiplican por este número.

Veamos esto en un ejemplo:

2 2 (25) = 625 5 = 25 y se coloca completo. Aumentamos en uno las decenas o sea 2 + 1 = 3 entonces este tres se multiplica por 2; así 3 x 2 = 6


92

Sigamos con otros ejemplos para que veas que todo se hace fácil

cuando se practica:

2 2 (45) = 2025 5 = 25

4 x 5 = 20

Aquí primero elevamos al cuadrado al 5 y se coloca completo.

Luego el número de las decenas le aumentamos uno; o sea 4 + 1 = 5 entonces este cinco se multiplica por el 4 de las decenas y se coloca detrás del 25.

En la práctica esto se hace entonces directo:

2 (65) = 4225

2 Verifica que se cumple: 5 = 25 y 7 x 6 = 42

por eso escribimos 4225

También puedes probar que :

2 2 (85) = 7225 (35) = 1225

2 2 (15) = 225 (75) = 5625


93

Veamos otro caso:

Si el número de dos cifras comienza en cinco.

Por ejemplo 52 elevado al cuadrado.

1) Aquí, primero elevamos al cuadrado las unidades y como

resulta 4 tenemos que rellenar con cero las decenas de modo que

escribimos 04.

2) Luego, elevamos al cuadrado el cinco de las decenas y le 2

sumamos el número de las unidades; así : 5 = 25 + 2 = 27

2 (52) = 2704

Otro ejemplo:

2 2 2 (56) =3136 6 = 36 y 5 = 25 + 6 = 31

Observa que al 25 le sumamos 6 porque este es el número de las

unidades de 56.

Verifica que:

2 2 2 (51) = 2601 1 = 01 y 5 = 25 más 1 de

las unidades = 26


94

Este es otro caso:

Si tienes un número entero de dos cifras cualesquiera

En cualquier caso, cuando quieras hallar el cuadrado de un

número entero puedes usar la fórmula que conoces como :

2 2 2( a + b) = b + 2ab + a

Por ejemplo: 2 (12 )

Aquí, diremos que 2 por estar en el lugar de las unidades será U

y el 1 por ocupar el lugar de las decenas lo representaremos por D

2 2 (12 ) = 144 2 = 4

2 x 2 x 1 = 4 2 1 = 1

De manera que si comparamos las expresiones:

2 2 2 ( a + b) = b + 2ab + a Con

2 2 2(U + D) = U + 2UD + D

Vemos que son las mismas expresiones.


95

Ejemplo:

Queremos conocer el cuadrado de 33

2 2(33) = 1089 cuadrado del primero 3 = 9

Luego: el doble del primero por el segundo 2 x 3 x3 = 18. Es lógico que colocamos 8 y llevamos uno.

2 Finalmente cuadrado del segundo: 3 = 9 más uno que llevamos es Diez. Por eso escribimos 1089.

2 (27) = 729

2 Se puede apreciar que 7 = 49 del que escribimos 9 y llevamos

cuatro ; luego 2 x 7 x2 = 28 más cuatro que llevamos es igual a 32,

del que escribimos 2 y llevamos tres , que al sumárselo al cuatro

que resulta de elevar al cuadrado al dos, entonces nos da 7

Observación:

Si el número es de tres cifras entonces los que forman las

centenas y decenas serán D y el de las unidades U. Esto es para

que se cumpla la expresión

2 2 2 (U + D) = U + 2UD + D


96

Te indico con los ejemplos:

2 (123) = 15129

Lo primero es reconocer que 12= D y 3=U 2

En esto decimos 3 = 9

Luego: el doble del primero por el segundo: 2 x 12 x 3= 72 del escribimos 2 y llevamos 7.

2 Finalmente (12) = 144 más 7 que llevamos son 151

Otro ejemplo:

2 2 (562) = 315844 2 = 4

2 x 56 x 2 = 224

Importante que te fijes que en este caso escribimos 4 y llevamos

22. Te digo esto porque no estamos acostumbrado a hacer esto,

pero es lo correcto.

2 Ahora veamos que: (56) = 3136 más 22 que llevamos nos da

un total de 3158; lo cual se aprecia detrás del 44 en la escritura

para completar el cuadrado de 562.

Observándose que es 315844.


97

5Volvamos a Curiosear con la

multiplicación


La enseñanza de la matemática requiere

de la incorporación de estrategias donde

se aprecie la vinculación con otras área,

haciendo ver la utilidad de la matemática

para el desarrollo de la ciencias en

general.


98

Curioseando con la multiplicación

Cuando se multiplican dos cantidades de dos cifras, hay casos,

en los que se pueden resolver de forma directa; es decir, colocar el

resultado.

Veamos:17 23 82 46

x 13 x 27 x 88 x 44 221 621 7216 2024

Se puede jugar con los estudiantes diciéndoles que pueden

utilizar la calculadora o que lo hagan como ellos están

acostumbrados para verificar si es o no el resultado, por supuesto

que querrán aprenderlo y la explicación es fácil.

Cuando se multiplican dos cantidades

de dos cifras en las que ambas tienen las

decenas iguales y las unidades suman

diez, se procede así:

Se multiplican las unidades y se coloca el número

completo, luego a una de las decenas le aumentamos

uno y se multiplica por la otra decena obteniendo de

esta forma el resultado completo de la multiplicación.


99

Revisemos esto con detalle:

72

x78

5616

Aquí se multiplica 2 X 8 = 16

Y se escribe completo el 16.

Esto, es porque las unidades suman 10

y las decenas son iguales.

Aumentamos 1 al primer 7

Así: 7+1= 8 Luego multiplicamos 8 x 7 = 56

Multipliquemos 94 x 96

94

x96

9024

Como las unidades suman 10

y las decenas son iguales

Se puede resolver así:

4 x 6 = 24

Aumentamos 1 al 9 Así: 9 +1 = 10

Luego se multiplica 10 x 9 = 90


100

Ahora bien, seguramente los estudiantes querrán saber cómo

hacer, si las cantidades de las unidades no suman 10 o cuando las

decenas no son iguales.

Entonces podemos operar como sigue:

23 x 34

En esta multiplicación las unidades no suman 10

y las decenas no son iguales.

2 3 Al multiplicar 3 x 4 = 12

3 4 escribimos 2 y llevamos 1.

782 Luego multiplicamos en cruz y

sumamos los resultados así:

2 x 4 = 8 y 3 x 3 = 9

Entonces:

8 + 9 = 17 y 1 que llevamos es 18.

Escribimos 8 y llevamos 1.

Ahora multiplicamos 2 x 3 = 6 y 1 que llevamos es 7.


101


4 5 5 x 2 = 10 escribimos 0 y llevamos 1.

7 2 Luego 4 x 2 = 8 y 7 x 5 = 35.

3240 Entonces, 8 + 35 = 43 + 1 que llevamos

resulta 44. Escribimos 4 y llevamos 4.

Finalmente, multiplicamos 4 x 7 = 28 + 4 que llevamos es 32.

Observación: En las multiplicaciones rápidas donde las unidades

suman 10 y las decenas son iguales cuando se multiplican las

unidades y nos da un número inferior a 10, se rellena con 0 el lugar

de las decenas, así:

3 9

3 1

1209

9 x 1 = 9 Escribimos 09

porque el lugar de las decenas

esta vacío.

Luego: 4 x 3 = 12


102

Sigamos con las multiplicaciones

Ahora veremos una estrategia para motivar, al estudiante, a

estudiar la tabla de multiplicación a partir del 6.

Queremos multiplicar 8 x 7

Lo escribimos como se indica

con una X grande y preguntamos:

¿Cuánto le falta al 8 para llegar a 10?

El alumno dirá: 2 por esta razón

Escribimos 2 al lado del 8.

Luego preguntamos:

¿Y al 7 cuánto le falta para llegar al 10?

El alumno contesta 3.

Y lo escribimos al lado del 7.

Hasta ahora los números están dispuestos así:

Se multiplican para formar las unidades 2 x 3 = 6

Y al restar en cruz 8 - 3 = 5.

También si restamos 7 - 2 = 5

Entonces en las decenas colocamos 5.

Lo que significa que 8 x 7 = 56

8

7

8 2

7 3

8 2

7 3

56


103

Observación: Esta multiplicación también es válida para

las tablas menores que el 6 pero, el estudiante tiene que

llevar para sumarlos al número de las decenas y como lo

más seguro es que ellos, en su mayoría, en la II etapa

conocen estas tablas y tienen dificultad para captar tablas

a partir del 6. Entonces, es recomendable utilizar esta

estrategia a partir de la tabla del 6.



El docente pregunta:

- ¿ cuánto le falta al 7 para llegar a 10?

El alumno dice 3 .

- Y al 9 ¿cuánto le falta para llegar a 10?

El alumno dice: 1 .

Luego procedemos así:

Multiplicamos 3 x 1 = 3

Posteriormente restamos en forma

cruzada 7 - 1 = 6 Y 9 - 3 = 6

Concluimos 7 x 9 = 63.

7 3

9 1

7 3

9 1

63


104


El docente pregunta,

- ¿Cuánto le falta al 6 para llegar a 10?

El alumno dice 4.

- ¿Y a este 6 cuánto le falta para llegar a 10?

El alumno dice 4.

Luego multiplicamos 4 x 4 = 16.

Se escribe 6 y llevamos 1.

Ahora restamos en forma cruzada

6 - 4 = 2 + 1 que llevamos 3

Concluimos que 6 x 6 = 36.

Observación: Al utilizar esta estrategia tenga presente

que 6 x 2 = 2 x 6 por lo tanto, esto lo conoce el estudiante

desde que aprendió la tabla del 2. También conoce que

6 x 3 = 3 x 6. Lo aprendió en la tabla del 3.

Igual pasa con 6 x 4 = 4 x 6. Por lo tanto, hágale saber

esto a los estudiantes, o por lo menos, es bueno explicarlo

para que ellos lo aprecien mejor.

6 4

6 4

6 4

6 4

36


105

Observe cuando la tabla es menor que 6.


El docente pregunta,

- ¿Cuánto le falta al 4 para llegar a 10?

El alumno dice 6.

- ¿Y al 5 cuánto le falta para llegar a 10?

El alumno dice 5.

Entonces, 6 x 5 = 30

Se escribe el 0 y llevamos 3.

Luego 4 - 5 = -1 y 5 - 6 = -1

Porque restando en forma cruzada resulta menos uno (-1)

Luego: -1 + 3 = 2

Esta es la razón por lo que es recomendable

no utilizarla con tablas menores a 6.

4 6

5 5

2 0


106

Jugar, pensar y curiosear con la matemática

6


La matemática no es una ciencia del más

inteligente, es de todos los que la hacen

útil, del que cree en ella y la busca.


107

JUGANDO CON TODOS

Pida a sus estudiantes que realicen en sus cuadernos la siguiente

actividad:

1. ¿Cuántas veces por semana le apetece comer chocolate?

Escribe el número.

El número de veces debe ser un número mayor o igual que 0,

pero menor o igual que 12.

2. Multiplica el número escogido por el número 2, de esta manera

obtendremos un número par.

3. Súmale 5 a ese producto.

4. Multiplica el resultado por 50.

5. Si ya has cumplido años en el 2009, al producto obtenido súmale

1759; pero, si todavía no has cumplido años, entonces, súmale

1758.

6. Por último, al total obtenido réstale el año en que naciste; que sea

un número de cuatro dígitos, ejemplo 1998.

Observación:

Con este juego nos proponemos adivinar la edad de nuestros

estudiantes..

Lo de sumar 1758 ó 1759

se debe a que se tiene que aumentar,

dependiendo del año en que estemos.


108

Ahora usted le dirá a los estudiantes sin ver el resultado de las

operaciones:

1.- Si escogiste un número de veces mayor que cero pero, menor

que 10, el resultado obtenido es un número de tres dígitos.

2.- Si escogiste un número de veces mayor o igual que 10 pero,

menor o igual que 12, el resultado obtenido es un número de cuatro

dígitos.

3.- Si escogiste cero veces, obtendrás un resultado de dos dígitos.

Hasta aquí se cumple una fase del juego tal vez con esto los

estudiantes comiencen a preguntarse ¿cómo lo sabe?

Luego, pídale a cada uno que le dicte el número del resultado

final o que pase y lo escriba identificándolo con su nombre.

Una vez escrito todos los números en el pizarrón interviene el

docente leyendo cada uno de los resultados:

1. Este resultado de tres dígitos, nos indica que el dígito de la

izquierda corresponde al número de veces que le apetece comer

chocolates (se supone que dirá el nombre del estudiante ).

2. Este de cuatro dígitos, nos dice que los dos dígitos de la izquierda

corresponden al número de veces que le apetece comer chocolates.

3. Y este resultado de dos dígitos, nos indica que no le apetece

comer chocolates.

¿Qué sucede con los dos dígitos de la derecha?

Los dos dígitos de la derecha, corresponden a: ¡TUS AÑOS

CUMPLIDOS! ¡ O sea, tu EDAD!


109

Veamos un ejemplo:

Supongamos que un estudiante escribe:

9 que al multiplicarlo por 2 queda: 18

18

+5 al que le suma 5 dictado por el docente.

23

x 50 multiplica por 50.

1150

+ 1758 Le suma 1758 porque no ha cumplido año para el

2908 2009 que es el momento en que se realizó esta

actividad.

Ahora a este número 2908 se le debe restar el número del año de

nacimiento del estudiante que realizó la actividad. Supongamos

que nació en 1997; entonces resta:

2908

- 1997

911 Este resultado final nos dice que efectivamente este

estudiante tiene 11 años y le apetece comer 9 veces

Chocolate a la semana.


110


111

El docente pide a sus estudiantes que realicen en sus cuadernos:

1.- Escribe el número del zapato que usas.

2.- Multiplícalo por 2.

3.- Súmale 5 al producto.

4.- Multiplica el resultado por 50.

5.- Súmale el número 1758 ( sino ha cumplido año para el 2009

pero si ya cumplió habrá que sumar 1759, y así).

6.- Finalmente, debe restar el año del nacimiento al número que

resulte después de sumar 1758.

Ejemplo:

Supongamos que un estudiante calza 36

36 x2 = 72

+ 5 Este 5 es dictado por el docente para sumar

77 x 50 = 3850 El docente dice que multiplique por 50

Luego al resultado 3850 El docente dice que se sume 1758

Así se tendrá: 3850 + 1758 = 5608

Al número 5608 resta el año de nacimiento, que en este caso es

-1996 porque el estudiante nació el 1996.

Resultando 3612

Con este resultado se sabe que calza 36

Y que su edad es de 12 años.

TRAZANDO DIAGONALES

Pídale a sus estudiantes para esta actividad una hoja de papel

cuadriculada (puede utilizar el cuaderno cuadriculado si lo tiene).

El estudiante dibujará varios rectángulos (por ejemplo tres); es

importante que se guíe por las cuadriculas del papel para que

visualice la curiosidad.

Para esto debe considerar la base (b) contando las cuadriculas

del papel y de la misma manera para la altura (h).

Por ejemplo:

Este rectángulo tiene por base 6 porque hay seis cuadrados a

lo largo y su altura es 3 porque son tres los cuadrados de ancho.

Su área es A = b x h entonces es A = 6 x 3 = 18 que como se

aprecia el rectángulo tiene 18 cuadrados.


112

Supongamos que los estudiantes dibujan:

Este rectángulo tiene b = 10

h = 4

Este su base es b = 7

Y su altura h = 3

Este tiene una base:

b = 5 y su altura h = 5

Analizando cada uno de los rectángulo podemos visualizar una

curiosidad entre la base, la altura y el número de cuadrados que

corta la diagonal trazada en ellos.

Para lo cual tenemos que hallar el máximo común divisor

(M.C.D) de la base y la altura de cada rectángulo. Así el

rectángulo que tiene b = 10 y h = 4

Su M. C. D = 2

Con este valor podemos aplicar la fórmula: d = (b + h) - (M.C.D).

Donde d es igual al número de cuadrados que corta la diagonal;

veamos entonces:

D = (10+4) - 2 = 14 - 2 = 12 Se puede verificar que son 12

los cuadrados que atraviesan la

diagonal.


113

Sigamos con los otros dos rectángulos:

Sabemos que el segundo tiene: b = 7 y h = 3

Entonces, aplicando d = (b + h) - (M.C.D) = (7 + 3 ) - 1 = 9

Lo que indica que en este caso son 9 los cuadrados que se ven

cortados por la diagonal.

En el tercer rectángulo sera: d = (5+5)- 5 = 10-5 = 5

Por lo tanto, en este rectángulo la diagonal corta a cinco

cuadrados.

Observación:

En este momento es oportuna la ocasión para explicarle al

estudiante que todo cuadrado es un rectángulo pero, no todo

rectángulo es un cuadrado.

La tercera figura es un cuadrada y por lo antes dicho, queda

claro, que cuando tenemos un cuadrado también tenemos un

rectángulo.


114

JUGANDO CON EL CALENDARIO

La curiosidad que veremos a continuación consiste en sumar

los números de un calendario.

El docente puede pedir a sus estudiante que lleven a clase un

calendario. Esta actividad puede ser individual o grupal; en caso

de ser en grupo, estos no deben ser mayor de tres estudiantes:

1.- Se le pide a los grupos que encierren en uno de los meses del

calendario un cuadrado de nueve números, como se indica con la

ilustración.

MARZO D L M M J V S

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

2.- Luego, el docente, indica al estudiante que le diga cuál es el número menor encerrado en el cuadrado que seleccionó.

3.- Por ejemplo, en la ilustración el menor número de los seleccionados que esta encerrado en el cuadrado es, el 9. A este se le debe sumar 8 y multiplicar luego, dicha suma por 9.

Así: 9+8 = 17 x 9 = 153 Esto es la suma de los números encerrados en el cuadrado.


115

Otro ejemplo:

Supongamos que un grupo en el mes de Junio encierra los

siguientes números:

JULIO D L M M J V S 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

Deben comunicarle al docente que el número menor encerrado

en el cuadrado es el 5.

El docente hace mentalmente lo siguiente: Suma 8 a este

número y luego lo multiplica por 9 para saber la suma de los

números encerrados en dicho cuadrado.

Así, 5 + 8 = 13 x 9 = 117

Después de que esta actividad se realice con todos los grupos el

docente puede explicar que para saber la suma de éstos números

sólo hay que sumar al número menor 8 y luego multiplicarlo por 9.

También, puede indicar que para hacer más emocionante el

juego, antes de decir la suma, se puede encontrar el número que

está en el centro de este cuadrado.


116

Por ejemplo:

En el primer caso de esta curiosidad Jugando con el

Calendario se observa que el número que está en el centro es el 17

y éste se adivina sumándole al número menor 8.

Si, efectivamente, lo adivinas si le sumas al número

menor 8. En este caso, fue 9 + 8 = 17

Y en el segundo caso, también se ve claramente que si al

número menor, que en este caso es 5, le sumas 8 obtienes 13 que es

el número que está, en el medio del cuadrado seleccionado.

Otro detalle que es bueno señalar al utilizar esta curiosidad,

es que todo número debajo de otro en el calendario, se obtiene

sumándole 7.

Ejemplo:

JULIO D L M M J V S 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

Observa que: Si nos dicen ¿ Qué número está debajo del 6?,

fácilmente podemos decir 13. Porque solamente tenemos que

sumar 7 al 6.


117

Una curiosa curva cerrada simple

El estudiante esta, tal vez, un tanto familiarizado con la

circunferencia por eso creo conveniente que se le presente este

dibujo, con el que se le puede pedir que siga la linea traza desde un

punto y verifique que ciertamente esta es una curva cerrada.

Que dicha curva se cierra sobre sí misma y no tiene extremos; en

otras palabras no se corta a sí misma, de modo que si pudiéramos

estirarla sobre una superficie, se podría convertir en una

circunferencia.

Esta imagen puede ser una fuente motivadora para los

estudiantes que son de tipo visual; como ya sabes tienes en tu aula

estudiantes que aprenden con mayor facilidad cuando aprecian los

contenidos por medio de dibujo, esquemas, figuras o cualquier

representación gráfica de lo que se quiere enseñar.

También, puede servir como medio para que el estudiante

agudice su creatividad, de modo que sera una manera de ejercitar la

visión, imaginación y lo lleva a prestar atención a las cosas en

detalles.


118

El docente puede llevar esta imagen fotocopiada y presentarla

a los estudiantes una vez que se hallan colocado en grupos de tres

para que discutan en cuanto a:

1.- Si el punto A esta en el interior o exterior de la curva.

2.- Si el punto B esta en el interior o exterior de la curva.

Por lo tanto, deben anotar la conclusión a la que lleguen para

luego discutirlo en una plenaria donde cada grupo tendrá un

relator.

Observación:

Mientras los grupos discuten sus respuestas es importante que

el docente, visitando a cada grupo, explique que no es nada fácil

determinar a simple vista si un punto esta dentro o fuera en este

tipo de curva.

Este problema toca de cerca elementos de topología la cual es la

rama de la matemática que estudia en abstracto el concepto de

punto límite.

De manera que, al presentarle a nuestros estudiantes

ilustraciones como la que estamos estudiando, lo estaríamos

llevando a reconocer el significado preciso de la conexión de una

figura geométrica.


119

Ahora bien, una vez que se halla dejado trabajar con libertad de

pensamiento a los estudiantes, es bueno decirles que:

1.- Para saber si un punto esta fuera o dentro de la curva basta con

trazar desde un punto exterior claramente definido una línea que

una al punto que queremos averiguar si es externo o interno con el

que ya tenemos como exterior claramente definido.

2.- Luego, se cuentan las intersecciones de la línea trazada con el

contorno de la curva.

3.- Si el número de intersecciones es par el punto está fuera (es

exterior) pero, si el número de intersecciones es impar el punto

está dentro (es interior).

Veamos esto siguiendo el ejemplo:

Situemos un punto P fuera de la figura que este claramente

exterior y desde el punto A tracemos una línea al punto P

Sea el punto Q Exterior a

la curva en estudio. Así:

. Q

Este punto Q es

Interior porque el

Número de intersección es

Impar.

P . Al contar las intersecciones sabemos que son

dos por lo tanto, se concluye que el punto A es exterior a la curva.


120

Problemas con material concreto

Como ya estamos curiosiando con figuras geométricas me

parece conveniente jugar con algunos problemas que se pueden

plantear utilizando palos de fósforo o paletas de helados; veamos

algunos:

La ilustración representa palos de fósforos con la que el docente

puede solicitar a los estudiantes que cambiando sólo un fósforo de

lugar debe hacer esta operación correcta.

Solución:

Después que los estudiantes ensayen varias veces tal vez, más de

uno conseguirá que la solución es mover el palo de fósforo que

representa el signo menos y pasarlo antes de los que representan el

signo de la multiplicación; así:

De modo que queda así :


121

Otro problema:

Para este problema se necesitan 12 palos de fósforos con los

que el estudiante representará el dibujo que el docente hará en el

pizarrón:

Cambie tres fósforos de lugar para formar tres cuadrados

iguales, cuidando que no quede fósforo suelto y ni tampoco

sobren.

Como este problema es de mayor dificultad, los estudiantes

necesitan más tiempo para resolverlo, aunque, si alguno lo

resuelve de forma rápida sugiero que le asignes otro de los que en

la página siguiente planteo.

Solución:

La solución que voy a dar es la forma como quedará el dibujo, así

que el docente verificará que los estudiantes pueden llegar a la

misma solución en distinta posición, a esta que estoy señalando.

Queda así:


122

Las ilustraciones representan problemas que puedes resolver

siguiendo las instrucciones en cada caso:

1.- Cambia 2 fósforo de lugar para formar 2 cuadrados iguales.

2.- Cambia 4 fósforo de lugar para formar 2 cuadrados iguales.

Importante, en este problema el espacio que separa a cada

fósforo es igual a la longitud de un fósforo.

3.- Cambia 2 fósforo de lugar para formar 3 cuadrados.


123

Soluciones a los problemas anteriores.

Las siguientes son las ilustraciones de los dibujos de como

queda la solución de los problemas planteados en la página

anterior:

El problema uno queda así:

Recordando que en un cuadrado sus lados tienen igual medida

y como se aprecia estos cuadrados tienen lado igual a un fósforo de

longitud.

Del problema dos la solución es:

La solución del problema tres es:

En este problema sólo se pide tres cuadrados.

Aquí tenemos 2 cuadrados de lado un

fósforo y el otro, tiene lado dos fósforos.

Observación:

Importante, se sobreentiende que los fósforos tienen igual

longitud.


124

Otros problemas:

1.- En la ilustración cambia 3 fósforos de lugar para formar 3

cuadrados.

2.- Cambia 2 fósforos de lugar para formar 3 cuadrados.




125






126

Soluciones


127

Con la adición también se puede Curiosear

7


Quien resuelve un problema matemático es

porque capta tanto el sentido del lenguaje

matemático como de las definiciones y

propiedades de los objetos que en él se

encuentran.


128

Estamos acostumbrados a decirle a los estudiantes; siempre se

debe sumar por el lado derecho; es decir, comenzar a sumar por las

unidades, luego le siguen las decenas y así, sucesivamente, hasta

terminar.

Pero, cuando llegamos a la propiedad conmutativa de la adición

le decimos que el orden de los sumando no altera el resultado.

Dicho en otras palabras, podemos comenzar por donde sea más

cómodo para quien esté realizando la operación.

Sumemos 496 + 978

496 Comencemos por la izquierda para ver que pasa:

+ 978

13 Tenemos 4 + 9 = 13

1 6 Luego le sigue 9 + 7 = 16

1 4 Ahora tenemos 6 + 8 = 14

1 4 7 4

Para obtener el resultado de la operación sumamos así:

496

+ 978

147 4

Como puedes observar resulta igual comenzar a sumar por la

izquierda como por la derecha.


129

Ahora, veamos qué pasa si comenzamos por los números del

centro; es decir, las decenas.

4 9 6

+ 9 7 8

1 6

1 4

13

1 4 7 4

Explicación:

Comenzamos por 9 + 7 = 16 y lo escribimos debajo del

9 y el 7.

Ahora, podemos sumar indistintamente derecha o izquierda

6 + 8 = 14

Luego decimos 4 + 9 = 13

Si te fijas bien, es el mismo resultado que nos dio cuando

sumamos como estamos acostumbrados; es decir, cuando lo

hacemos empezando por la derecha.

Observación: Tal vez, para el docente, esta actividad parezca

larga y de poco interés para el estudiante pero, así, éste ve otra

manera de realizar la operación de la adición además, comprueba

el cumplimiento de la propiedad conmutativa para la adición.

Observa que hemos comenzado

a sumar por la posición central,

es decir, por las decenas.


130

Al sumar obtenemos 1474 el cual es el resultado de esta

adición si comenzamos tanto por la izquierda como por el medio.

¿Si se comienza por la derecha da otro resultado

o es el mismo?

496

+ 978 Veamos que pasa.

4 9 6

+ 9 7 8

1 4 Aquí tenemos 6+8 = 14 y lo escribimos así debajo.

1 6 Aquí sumamos 9 + 7 = 16 y se escribe así debajo.

1 3 Luego decimos 4 + 9 = 13.

1 4 7 4 Finalmente sumamos para obtener el resultado.

¡Qué bueno, llegamos al mismo resultado!

Lo que significa, que se puede sumar comenzando tanto por la

derecha como por la izquierda o por la parte central; lo importante,

es tener presente que estamos sumando; es decir, si son centenas,

decenas, unidades u otras, por cuanto cada una va en la posición

que le corresponde.


131

Esta última forma de sacar la operación conduce a afirmar que

podemos enseñar a sumar sin llevar. Veamos como.

7 8 5

+ 8 6 9

15

14

15

16 55

Explicación:

Tenemos 5 + 9 = 15. Se escribe el 15 completo, debajo de las

unidades porque son unidades las que sumamos.

Luego le sigue 8 + 6 = 14 como es la segunda posición

escribimos 14 debajo de la segunda posición, es decir, debajo de

las decenas.

Ahora, nos quedan las centenas 7 + 8 = 15. Este 15 va debajo

de la tercera posición porque sumamos centenas.

Finalmente, sumando los resultados obtenemos la suma total

en este caso es 1655.

Observación: Tal vez, esta manera de sumar no sea más fácil o

cómoda para los estudiantes pero, así estamos presentando otro

camino para llegar a la suma.


132


8Curiosidades con el dominó

Las curiosidades matemáticas son terrenos

fértiles para cultivar estrategias de

enseñanza y aprendizaje de la matemática

vinculados a la realidad del estudiante

teniendo como eje aquello que le interesa y,

que pueda despertar su interés.


133

Curiosidades con el Dominó

A manera de motivación el docente después de tener los

estudiantes en grupos de 4, dispuestos a jugar con el dominó

sugiere la siguiente actividad:

Después de mover las piezas del dominó (por parte de los

grupos) el docente toma una pieza y luego, indica que traten de

formar la línea de juego ininterrumpida que normalmente se

forma hasta agotar las 27 piezas restantes. También explica que

deben intervenir todos.

Por ejemplo, supongamos que el docente toma la pieza:

Sin que los estudiantes se den cuenta que tiene esa pieza.

Ahora con las 27 piezas restantes, los estudiantes deben

formar el juego sin que quede pieza por fuera; es decir, que no se

tranque el juego.

Para esto, pueden ayudarse unos a los otros de manera que se

aprecie armonía entre ellos, pues el juego es para unirlos. Sigue el

ejemplo de la página siguiente.


134

Ahora, el docente, sin ver como quedo la línea de

juego le comunica al grupo que por un extremo

quedo blanco y por el otro, dos.

Importante reconocer

que los estudiantes

tienen distintas líneas

de formar el juego, esta

es una de ellas.


135

El docente se retira lo suficiente como para no observar la

manera como quedaran dispuestas las piezas, una vez terminada la

línea sin visualizar la línea del dominó el docente comunica al

grupo, los tantos que hay en cada extremo.

Explicación:

Este resultado se conoce por la pieza que el docente tomó.

Ésta pieza, tiene los tantos que quedan en cada extremo formada

por la línea que se sigue en el juego.

Es importante que el docente le explique a los estudiantes que el

juego del dominó forma un anillo y por esta razón, se conoce

cuáles son los tantos de los extremos. En otras palabras, las piezas

de este juego todas dispuestas como en la página anterior, se

cierran formando un anillo; por esta razón, cualquier pieza que se

extraiga, indicará cuáles son las que quedan en cada extremo.

Como el estudiante esta acostumbrado a utilizar las piezas del

dominó para armar el juego tradicionalmente, es recomendable

que el docente seleccione una pieza que no sea un doble, pues en el

juego tradicional se acostumbra a encerrar estas piezas.

Tal vez, esto no tenga mucho sentido para un estudiante de este

nivel, pero más tarde comprenderá que su docente le sembró la

semilla de un contenido matemático que toma sentido en el estudio

del álgebra.


136

Esta actividad puede hacerse también tomando una pieza y

luego, indicar al grupo qué tanto le quedará en cada extremo de la

línea de juego con las 27 piezas restantes.

Se supone que el docente no debe hacerse ver la pieza para que

tenga mayor motivación, aunque, después de haber jugado un poco

puede decirle a éstos en qué consiste la solución de esta curiosidad

explicando que las 28 piezas del dominó pueden siempre cerrarse

por los extremos formando un anillo.

Otra actividad con el Dominó

El docente le comunica al grupo que cuente los tantos de las 28

piezas del dominó. Probablemente, éstos se tarden un poco para

luego decir que tiene 168 tantos (cosa que es verdad).

Después, el docente puede preguntar ¿cómo lo hicieron?

Una vez oída la explicación del grupo, les indica que ordenen las

28 piezas de menor a mayor.

Así, hasta

ordenar

todas las piezas.

Luego, explica que al unir los extremos de la línea formada por

las piezas tomando una de cada uno resultan 12 tantos, esto se

repite hasta formar 14 pares de 12 tantos. Por lo tanto, si

multiplicamos 12 x 14 = 168 observamos que obtenemos los 168

tantos del dominó.


137

Veamos esto con un ejemplo para apreciar lo que dije

anteriormente. Así como se ilustra:

Uno blanco

unido con seis

cinco es igual

a doce.

Doble blanco

u n i d o c o n

doble seis es

igual a doce.

D o b l e u n o

u n i d o c o n

doble cinco es

igual a doce.

De manera que al unir

los extremos de esta

línea siempre dará

doce hasta agotar las

piezas.

S i g u i e n d o e l

procedimiento se

obtienen 14 pares de

doce por lo que al

multiplicar

14 x 12 = 168


138

O b s e r v e c o n s u s

estudiantes la curiosidad

que se da en esta línea

formada por las piezas;

s i g u i e n d o d e u n a

secuencia desde doble

blanco se aprecia que para

el cero hay una pieza que

en este caso es doble

blanco, para el uno una

pieza para, que el dos tiene

dos piezas, así ocurre con

el tres y que esto, va en

aumento hasta el seis que

tiene cuatro piezas.

Este orden se repite si

seguimos el proceso desde

el extremo del seis hasta el

medio que es el seis.

Esto en matemática se

conoce como sucesión.


139

Haciendo Cuadrados con el Dominó

Ejercicio 1: Construir 2 cuadrados mágicos de lado 4 con las

piezas del dominó.

Para la construcción de cada cuadrado de lado 4 se utilizan:

- Doble dos, doble uno, dos blanco y dos uno.

- Tres uno, cuatro blanco, tres blanco y uno blanco.

En el primero, se observa que comienza en 0 y termina en 2.

Mientras que el otro, lleva una secuencia que el 0 se le suma 1,

luego al uno dos y finalmente, al 3 se le suma 1. Así:

0 + 1 = 1

1 + 2 = 3

3 + 1 = 4

Observe, las páginas siguientes.


140

Ejercicio 2: Hacer 3 cuadrados mágicos de lado 6 con las piezas

del dominó.

Para su construcción se utilizan:

a) Cuatro uno, dos blanco, cinco uno y blanco uno.

b)Doble tres, tres uno, tres blanco y seis blanco.

c)Tres dos, dos uno, doble uno y cuatro blanco.

El c comienza en cero y termina en cuatro.

El a 0 + 1 = 1

1 + 2 = 3

3 + 3 = 6

Para construirlo, se disponen las piezas del dominó como sigue

a continuación. El primer cuadrado queda por ejemplo, así:

6

6

6 6

141


Ejercicio 3: Hacer 2 cuadrados de lado 5 con las piezas del

dominó.

Para su construcción se utilizan:

!Dos uno, dos tres, dos blanco y tres uno.

!Cuatro uno, cinco blanco, cuatro blanco y uno blanco.

El primero comienza en 0 y termina en 2 de uno en uno. Y el

otro, lleva la siguiente secuencia:

0 + 1 = 1

1 + 3 = 4

4 + 1 = 5

Observe como se construye el primer cuadrado colocando de

la siguiente manera las piezas del dominó.

5

5

5 5


142

Anotaciones:

!Para hacer un cuadrado que tenga sus lados par, siempre usa un

doble.

!Para el cuadrado de lado cuatro se usan: doble uno, doble dos,

tres blanco y dos uno.

!Para hacer el de cinco usan: cinco blanco, doble dos, tres blanco

y cuatro uno.

!Para hacer el de seis se usa: seis blanco, cuatro blanco, doble

dos y cuatro dos.

!Para hacer el de siete se usa: seis uno, doble tres, tres uno y

cuatro blanco.

!Para hacer el de once se usa: doble cinco, seis cuatro, cinco uno y

seis uno.

!Para hacer el de trece se usa: seis cinco, seis dos, cinco cuatro y

cuatro tres.

!Para hacer un cuadrado de lado doce, se usa: doble seis, seis

blanco, seis cuatro y cuatro dos.

!Para hacer un cuadrado de lado catorce se usa: seis cinco, seis

tres, doble cuatro y doble cinco.

!Para hacer el de quince se usa: doble cinco, seis cuatro, cuatro

cinco y seis cinco.

Nota: El cuadrado de lado de mayor que se puede hacer con las 28

piezas del dominó es el que tiene por lado 16.


143

Ejercicio 4: Para el cuadrado de lado diez:

a)Doble cinco, cinco blanco, cuatro uno y seis blanco.

b)Seis dos, cinco dos, doble tres y cuatro blanco.

c)Seis tres, cinco uno, cuatro tres y tres uno.

d)Cuatro cinco, dos tres, cinco tres y seis uno.

El d cumple con una secuencia desde uno hasta el seis.

Ejercicio 5: El cuadrado de lado once:

a) Doble cinco, cinco uno, seis uno y seis cuatro.

b) Seis tres, cuatro dos, cinco cuatro, tres dos.

c) Seis dos, cinco tres, doble tres, cinco blanco.

d) Seis cinco, seis blanco, cuatro uno, cinco dos.

El b lleva una secuencia que se inicia en dos y termina en seis.

Explicación:

El de diez sigue una secuencia parecida a la del siete.

1 + 3 = 4 Pero como termina en cinco no se observa tan claro.

4 + 1 = 5 Si observamos los cuadrados de 7 y 10 a este último

se le suma la diferencia que existe entre ellos.

¿Cuál es el mayor número de cuadrados mágicos que pueden

hacerse con las 28 piezas del dominó sin que se repita una misma

pieza?

El de seis, el de doce y el ocho tienen una secuencia de dos en

dos.

Entre el 6 y 8 hay una diferencia de dos y, entre el 8 y 12 se dobla

esta diferencia. José Servelión Graterol Enseñando con Curiosidades Matemáticas

144

Con el dominó se pueden hacer tres cuadrados que casualmente

comienza en uno y terminan por el número de su lado; estos son: el

lado tres, lado cuatro y lado cinco.

El de trece sigue una secuencia que comienza en dos hasta el

seis.

El dos seis la secuencia es de dos en dos comenzando en dos

hasta el seis.

El de catorce la secuencia comienza en tres y termina en seis

pero va de uno en uno.

El de cinco la secuencia comienza en uno y termina en cinco y

como cosa curiosa termina en cinco.

El de quince comienza en cuatro y termina en seis. La

secuencia además de ser de uno en uno.

En el de ocho la secuencia comienza en dos y termina en seis

pero al igual que el de seis la secuencia va de dos en dos.

En el de dieciséis va de dos en dos comenzando en dos y

terminando en seis.

En el de cuatro la secuencia comienza en uno y termina también

en cuatro.

El de tres comienza en uno y termina en tres.

En el de nueve la secuencia comienza en dos y termina en seis.


145

El de siete, comienza en uno y se le suma dos para tres y luego,

se le suma uno al tres para cuatro y para llegar al último, se le

suman dos nuevamente y se llega a seis. Dicho de otra forma,

veamos lo que sigue:

1 + 2 = 3 Aquí se observa que a la cantidad se le ha sumado el

primer número.

3 + 1 = 4 Puede ser: 1 + 2 = 3 + 1 = 4 + 2 = 6 + 1 = 7 + 1 = 8 + 2 = 10

4 + 2 = 6

El cuatro, se le sumó la misma cantidad que al primero.

Problemas propuestos con el dominó.

N° 1 Con las siguientes piezas del dominó: cuatro uno, cinco

dos, cinco uno, dos blanco, cuatro dos, seis uno, cinco blanco, dos

uno, seis blanco, uno blanco, doble tres, tres uno, doble dos, cuatro

tres, dos tres y cuatro blanco.

Construir cuatro cuadrados de lado siete.

N° 2 Con las siguientes piezas del dominó: Doble cuatro, tres

blanco, cuatro blanco, doble tres, cinco dos, cuatro uno, tres dos,

seis dos, cinco blanco, cuatro tres, doble uno, seis uno, tres uno,

cuatro dos y dos blanco.

Construir cuatro cuadrados de lado ocho.

Una vez formados los cuadrados el alumno aprecia que hay un

cuadrado que tiene todos los puntos del dominó por cuanto

comienza en cero (blancos) y termina en seis. También hay otro

que sigue una secuencia que comienza en uno y termina en cinco.


146

N° 3 Con las siguientes piezas del dominó construir cuatro

cuadrados de lado nueve: seis dos, cinco uno, seis tres, tres blanco,

doble cuatro, cuatro uno, cinco blanco, cinco cuatro, doble tres,

cinco tres, seis uno, cuatro dos, cinco dos, doble dos, dos tres y

cuatro tres.

Algunas soluciones


147

Otras soluciones


148

REFERENCIAS

Araujo, Z. (2001). Estrategias metodológicas utilizadas por

el docente para Facilitar el Conocimiento lógico-

matemático en alumnos de primer grado de Educación

Básica. Trabajo de grado de maestría no publicado,

Universidad Pedagógica Experimental Libertador, Instituto

Pedagógico de Maracay, Maracay.

Ary, D., Jacobs, L. y Razavieh, A. (1992). Introducción a

la Investigación Pedagógica. Segunda Edición. México: Mc

Graw-Hill.

Corbalán, F.(1995) Matemática, jugos y calculadoras. Aula de

Innovación Educativa, Año II. (34), 29-33.

Estacio. (1991, Diciembre, 6). Resultados del examen de

Admisión en la Universidad Simón Bolívar. El Nacional, p. A-3

González, F. (1993). Aprender a enseñar matemática. Elementos

para configurar una estrategia. Enseñanza de la Matemática,

Universidad Pedagógica Experimental Libertador, 2. (2), 5-20.

González, F. (1995). La investigación en Matemática. Serie

temas de Educación Matemática. Volumen Cuatro.

Guerrero, O. (1994). Propuestas metodológica de la enseñanza de

la matemática en la I y II etapa de Educación Básica.

Enseñanza de la Matemática, Universidad Pedagógica

Experimental Libertador, 3. (3), 51-54.


149

López, R. (2000). Epistemología y Didáctica de las Ciencias. Un

análisis de segundo orden. Enseñanza de las Ciencias. 8 (1),

65- 74.

Ministerio de Educación (1998). Currículo Básico Nacional.

Programa de estudio de Educación Básica II Etapa. Caracas:

Autor.

Mora, D. (2002). Didácticas de las Matemáticas. Caracas:

Ediciones de la Biblioteca De la Universidad Central de

Venezuela.

Oficina Sectorial de Planificación y Presupuesto. SINEA. Sistema

Nacional de Medición y Evaluación del Aprendizaje. (1998).

Informe para el Docente 6°. Corporación Belmont.

Piaget, J. (1975). Psicología de la Inteligencia. Buenos Aires:

Psique.

Stracuzzi, P. y Martins, F. (2003). Metodología de la

Investigación Cuantitativa. Caracas: FEDUPEL.


150


Nació en Tucupido Estado Guárico, Venezuela. Estudió

primaria en el Grupo Escolar Narciso López Camacho y el

Bachillerato en el Liceo Dr. “Victor Manuel Ovalles” de la

misma población donde nació. Profesor del Departamento de

Matemática del Pedagógico de Maracay. Msc. En enseñanza de

la matemática y Doctor en ciencias de la educación.

enseñando con curiosidades matemáticas · dedicatoria a una compañera de estudio de bachillerato...

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