Róbinson Castro PucheRubby Castro Puche

Enseñanza de las

Matemáticasa través de la formulación de problemas

Róbinson Castro Puche

Master of Arts Mathematics Education, Ball State University, Indiana, USA, y licenciado en Matemáticas, Universidad Nacional de Colombia, Bogotá.

Ha sido secretario académico de la Facultad de Ciencias, director de

director del Departamento de Matemáticas y profesor titular de la Universidad de Córdoba, Montería. Fue rector del Colegio El Carmen de Cotorra, Córdoba, y docente adscrito a la Universidad Nacional de Colombia (1993-1994).

Rubby Castro Puche

Especialista en Diseño de Textos Escolares, Universidad Externado de Colombia, Bogotá, y especialista en Administración Educativa, Universidad San Buenaventura, Medellín. Máster en Docencia, Universidad de la Salle, Bogotá, y licenciada en Filosofía, Universidad Nacional de Colombia, Bogotá.

Coordinadora del Diplomado en Docencia Universitaria, Universidad de Córdoba, Montería, y docente de tiempo completo, adscrita al Departamento de Artes y Humanidades, Universidad de Córdoba, Montería.

Indice general

PRESENTACION III

PREFACIO VII

1. LA FORMULACION DE PROBLEMAS 1

1.1. El pensamiento creativo . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2. La heurıstica de Polya . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3. Situaciones problemicas como estrategia . . . . . . . . 19

2. PROBLEMAS DE PRIMER NIVEL 31

2.1. Problemas aritmeticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2. Problemas aditivo-sustractivos . . . . . . . . . . . . . . 32

2.3. Procesos heurısticos con la suma . . . . . . . . . . . . . 38

2.4. La propiedad asociativa de la adicion . . . . . . . . . . 44

2.5. La propiedad conmutativa de la adicion . . . . . . . . . 46

2.6. Problemas de multiplicacion-division . . . . . . . . . . 48

2.7. Procesos heurısticos con el producto . . . . . . . . . . . 53

2.8. La propiedad conmutativa del producto . . . . . . . . . 54

2.9. La propiedad asociativa delproducto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.10. La propiedad distributiva . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3. PROBLEMAS DE SEGUNDO NIVEL 59

3.1. Analisis de algunas situaciones . . . . . . . . . . . . . . 62

ii INDICE GENERAL

4. PROBLEMAS DE TERCER NIVEL 69

4.1. Analisis de algunas situaciones . . . . . . . . . . . . . . 704.2. Problemas de razones y proporciones . . . . . . . . . . 76

4.2.1. Actividades para desarrollar el concepto deproporcionalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.2.2. Problemas de porcentaje . . . . . . . . . . . . . 804.2.3. Regla de tres y reparto proporcional . . . . . . 82

5. ECUACIONES CON UNA INCOGNITA 89

5.1. El pensamiento formal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895.2. Situaciones problemicas . . . . . . . . . . . . . . . . . 955.3. Problemas sobre areas y perımetros . . . . . . . . . . . 111

6. ECUACIONES CON DOS INCOGNITAS 119

6.1. El metodo cientıfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

7. ECUACIONES CON TRES INCOGNITAS 129

8. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO 145

8.1. Un metodo alterno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1478.2. Situaciones problemicas . . . . . . . . . . . . . . . . . 1498.3. Estrategias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

8.3.1. Solucion geometrica de la ecuacionx2 + bx− c = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

8.3.2. La razon aurea . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

9. MODELOS 175

9.1. La tecnologıa en el aprendizaje . . . . . . . . . . . . . 195

Bibliografıa 211

PRESENTACION

Nada es mas acertado para comenzar la presentacion del texto En-

senanza de las matematicas a traves de la formulacion de

problemas que citar la respuesta de Albert Einstein en 1921 a laaseveracion de Thomas Edison sobre la inutilidad de la educacion uni-versitaria:

No es trascendental para una persona adquirir infor-macion. Para eso no se necesita ir a la universidad. Unapersona puede aprender eso de los libros. El valor de laeducacion no esta en adquirir informacion sino en entre-nar la mente a pensar sobre las cosas que no se puedenaprender de los libros.

Durante cuatro anos, en mi paso por la Universidad Tecnologica dePereira, tuve a cargo la asignatura Teorıa Electromagnetica, indiscu-tiblemente la asignatura mas complicada del programa de ingenierıaelectrica.

Normalmente los estudiantes llegan a esta asignatura despues decinco cursos de calculo y otros tantos de fısica. No obstante, a juzgarpor los resultados de las evaluaciones, este conocimiento parece serinsuficiente para enfrentar con exito el estudio de la teorıa formalizadapor Maxwell.

Si bien los estudiantes demostraban tener solvencia para calcularel gradiente, la divergencia, el rotacional y el jacobiano, entre muchasotras operaciones matematicas complejas, la dificultad para relacionarla herramienta matematica con las situaciones problematicas propias

iv PRESENTACION

del electromagnetismo era, y sigue siendo, una constante. Este es unproblema sin fronteras que aflige tanto a escolares como a universi-tarios y afecta tanto a los paıses con economıas solidas como a losdenominados en vıa de desarrollo.

Aprender matematica a traves de la mera aplicacion de los al-goritmos es tan poco util como pretender analizar la historia patriamediante la enumeracion de fechas o datos geograficos, estudiar la es-tructura celular sin hacer uso del microscopio o reconocer texturas ysabores sin las tecnicas del catador experto. En el texto los autoreslo han expresado de manera magistral al afirmar que la matematicano consiste en una serie de reglas que hay que memorizar y que lasverdades [matematicas] lo son por sus propios meritos, no porque elprofesor ası lo expuso.

Ensenanza de las matematicas a traves de la formulacion

de problemas propone un cambio de paradigma en la ensenanza delas matematicas con tres directrices claramente visibles: estimulaciony desarrollo del pensamiento creativo, apego y desarrollo integrativodel cerebro.

Entre muchas otras estrategias propuestas, los autores promue-ven estas tres directrices al examinar y resolver un problema por va-rias vıas, al solicitar que el estudiante mismo redacte situaciones pro-blematicas, al examinar con juicio crıtico la eficiencia de las diferentesopciones, al analizar relaciones y discutir tendencias, al propiciar unambiente de analisis.

Mas importante aun, estas estrategias rompen con el esquema tra-dicional de seguir un texto ajeno al contexto del paıs y retan al docentea creer en sı mismo, a hacer ciencia. El impacto que esta posicion cau-sa en el estudiante no puede ser subestimado. El discıpulo aprende adesarrollar autoconfianza y a valorase en la medida en que el maestroy la sociedad en general se la transmitan.

No hay palabras adecuadas para resaltar el valor de la sugerenciade plantear las situaciones problematicas utilizando los nombres de losalumnos y las vivencias personales. Este consejo no es caprichoso niobedece solo a razones de contextualizacion; su valor radica en algomucho mas importante como el apego.

Segun Gordon Neufeld, fundador del Neufeld Institute en Vancou-ver, Canada, existen cuatro elementos fundamentales para lograr una

PRESENTACION v

educacion exitosa en los ninos: explotacion de la curiosidad naturalinfantil, el desarrollo de una mente integrativa, la habilidad del ninopara beneficiase de la correccion y su relacion con el profesor. Estaultima, segun Neufeld, es poco valorada y demuestra la subvaloracionque la sociedad, y en particular el sistema educativo en Norteamerica,le da al apego.

El desapego a la familia y en general a los adultos es, segun Neufeld,la razon por la cual la educacion en Estados Unidos y Canada hadecaıdo y explica por que es cada vez mas difıcil ensenar en las escuelasde estos dos paıses.

En la medida en que el discıpulo desarrolle una estrecha relacioncon su profesor se incrementa su atencion, su curiosidad, su propensional trabajo, el deseo de aprender, la disposicion a pedir ayuda, sus as-piraciones, sus deseos de lograr las expectativas fijadas por el profesory, ante todo, incrementa su capacidad para aprender de la correccionya que el docente deja de ser visto como un antagonico. Estos elemen-tos son imprescindibles para logar el proposito de los autores, esto es,“propiciar un ambiente de analisis”.

Al plantear diferentes opciones de solucion a los problemas y exa-minar la eficiencia de cada una, los autores estimulan el desarrollointegrativo del cerebro, esto es, la capacidad cerebral para procesarsentimientos o pensamientos disonantes.

Para resolver un problema se necesita procesar la informacion, porlo menos, desde dos perspectivas diferentes. Esta practica ayuda adescubrir nuevas relaciones, confrontar significados mas profundos ydesenmascarar principios subyacentes.

Es claro que el pensamiento didactico propuesto en el texto va masalla de la memorizacion de algoritmos matematicos. El planteamientopedagogico de los autores requiere un analisis mas profundo del signi-ficado de la palabra pedagogo, esto es, aquel que sirve de lıder a losninos. Es por ello que al finalizar el estudio del texto es facil concluirque los autores han plasmado la vision de Albert Einstein acerca dela educacion: entrenar la mente a pensar sobre las cosas que no se

pueden aprender de los libros.

La presente obra fue concebida con el objetivo de plantear el desafıopedagogico de la ensenanza de la matematica elemental, teniendo encuenta las propuestas de Piaget, proponiendo guıas para la exposicion

vi PRESENTACION

de los conceptos matematicos. Al seguir los derroteros senalados en ellibro, el maestro tendra a su disposicion una variedad de ejemplos quecautivaran el interes de los estudiantes.

Una vez expuesto el marco conceptual y de trabajo en el primercapıtulo, el libro expone como pueden ser abordados los temas de laaritmetica y el algebra elemental, teniendo en cuenta la capacidadde abstraccion de los estudiantes de acuerdo a su nivel de desarrollocognitivo, pero dirigiendolo en la comprension de la semantica de lasoperaciones hasta su aplicacion a la solucion de problemas.

El texto esta concebido, en primera instancia, para maestros dearitmetica y algebra elemental. Es una valiosa guıa para los estu-diantes de las escuelas normales, de la licenciatura en matematicas,diplomados en docencia universitaria y para todos los interesados enfomentar su habilidad para resolver problemas.

Normalmente, el buen desempeno de los ingenieros que ejercen ladocencia universitaria esta ligado a su pasion y habilidades naturalespara ensenar; sin embargo, no siempre estas actitudes filantropicas songarantıa de exito. Partiendo de la anterior premisa, el texto debe con-vertirse en lectura obligatoria para los ingenieros docentes dispuestosa ejecutar nuevas estrategias que permitan al estudiante relacionar laherramienta matematica con las situaciones probematicas propias dela ingenierıa.

En conclusion: Ensenanza de la matematica a traves de la

formulacion de problemas es una excelente aproximacion para eleducador que quiera acercar de una manera creativa y entretenida asus estudiantes a los conceptos de la matematica teniendo como marcode referencia la solucion de problemas.

MILTON DAVID CASTRO NUNEZ, Ph.D.Universidad de Calgary, Canada.Autor de la Teorıa de Potencia del Dominio Gn.Calgary, Canada, febrero de 2015.

Capıtulo 1LA FORMULACION DE

PROBLEMAS EN EL

APRENDIZAJE

El proceso investigativo que condujo a la elaboracion de la presenteobra permitio la revision de algunos aspectos importantes asociadosa la historia y la epistemologıa de la matematica. Este procedimientono solo aporto los elementos de juicio necesarios para comprenderlos problemas que desde tiempos inmemoriales vienen resolviendo losconocimientos matematicos sino tambien, atendiendo al pensamientode Gonzalez Urbaneja (2004):

Permitio conocer las cuestiones que dieron lugar a losdiversos conceptos, las intuiciones e ideas de donde surgie-ron, [· · · ], los fenomenos fısicos o sociales que explicaban,el marco espacial y temporal en que aparecıan, como fue-ron evolucionando hasta su estado actual, con que temasculturales se vinculaban, y las necesidades cotidianas quesolventaban.

La matematica a traves de todos los tiempos ha sido objeto de estudioy aplicacion. Entre los sacerdotes de la antigua Mesopotamia fue unconocimiento basico en la elaboracion de vaticinios que tenıan impli-caciones profundas en el pensar, sentir y obrar de aquellos pueblos.

2 CAPITULO 1. LA FORMULACION DE PROBLEMAS

Mas adelante, Pitagoras y sus seguidores concibieron al numero comola esencia de todo lo real. Spengler (1998) juzga que la afirmacion pi-tagorica de considerar al numero como la esencia de todas las cosasaprehensibles por los sentidos sigue siendo la mas valiosa proposicionde la matematica antigua. Es correcto afirmar que la preeminencia dela matematica se mantuvo en el medioevo a pesar de la decadencia detodas las ramas del conocimiento en virtud de una iglesia todopode-rosa que las subordino a sus finalidades.

En el Renacimiento la matematica paso a ser el estudio del numero,la forma, el movimiento, el cambio y el espacio. El calculo se convir-tio en una de las bases del progreso cientıfico que permitio profundizary explicar diversos hechos y fenomenos de la astronomıa, la mecanicay la hidrodinamica. A partir de entonces la matematica continuo es-trechamente asociada al progreso de la ciencia y del “mundo real”.

El giro que permitio incorporar las aplicaciones de la matematica ala ensenanza se concreto con el matematico aleman Felix Klein (1849-1925), quien preconizo que debıan desarrollarse los medios ademas delos contenidos y la necesidad de vincular la matematica abstracta conlas aplicaciones. El anhelo de Klein era que hubiese un equilibrio entrelo formal y las aplicaciones de la matematica a otras ciencias, entre loabstracto y lo intuitivo, lo que de una u otra manera tendrıa que haberevitado que en adelante se continuara presentando a los educandos lamatematica como un sistema de verdades, acabado y ordenado, sinreferencia al origen y proposito de sus conceptos y teorıas. En esesentido, Courant y Fritz (1974), estan de acuerdo con el cientıficoaleman al afirmar que:

Menospreciar las aplicaciones y la intuicion lleva al ais-lamiento y a la atrofia de la matematica.

En el contexto de la didactica de la matematica, ignorar su procesode construccion condujo a la imposicion de la logica de la generali-zacion y a la priorizacion de una metodologıa de corte deductivo queha contribuido con el detrimento de la explicitacion de la logica deconstruccion original de dicha disciplina y en cierta forma ha excluidotambien cualquier proceso de problematizacion de su ensenanza. Dehecho, I. Lakatos (1978) plantea el estilo deductivo como el problemaprincipal de la ensenanza de la matematica, por considerar que ignora

3

la lucha y oculta la aventura. Toda la historia se desvanece, las sucesi-vas formulaciones tentativas del teorema a lo largo del procedimientoprobatorio se condenan al olvido, mientras que el resultado final seexalta al estado de infalibilidad sagrada.

No otro es el panorama que reflejan las palabras de Kline (1992),cuando anota:

Las cuidadas y ordenadas exposiciones que se hacen enlos cursos habituales no muestran en absoluto los conflictosdel proceso creativo, las frustraciones, y el largo y arduocamino que los matematicos han tenido que recorrer parallegar a construir una estructura importante.

Sin duda, un hito en el quehacer de la ensenanza de la matemati-ca lo constituye la teorıa genetica de Jean Piaget, la cual hacia laprimera mitad del siglo XX se constituyo en el punto de partida dealgunas investigaciones relacionadas con la ensenanza y el aprendi-zaje que buscaban una explicacion al desarrollo de la inteligencia enla construccion del conocimiento matematico. En terminos generalesse puede mencionar a Piaget como uno de los pioneros en la expli-cacion sobre el progreso paulatino de las habilidades de pensamientode los aprendices para dar respuesta a situaciones problematicas. Enese sentido, Nickerson (1987) se apoya en el planteamiento de Piagetpara establecer que el desarrollo de los esquemas mentales del sujetose produce mediante un juego constante de procesos que lo llevan deun estadio de conocimiento mas simple a otro mas complejo, y ello setraduce en cambios cualitativos en sus estructuras cognoscitivas.

A mediados del siglo XX, algunos investigadores empezaron a eva-luar el desarrollo de procesos de pensamiento en la escuela. Otros,entre los que se cuentan Bruce y Weil (2002), optaron por desarrollarmanuales y procedimientos pedagogicos de ensenanza para la adqui-sicion de habilidades generales como creatividad y gestion de conoci-mientos, mientras que algunos, como De Amore (2000), centraron elinteres, entre otros aspectos, en el diseno de programas de desarrollode los procesos abstractos del pensamiento, por ejemplo, el uso de lamatematica recreativa para potenciar habilidades pensamiento y deresolucion de problemas cotidianos.

4 CAPITULO 1. LA FORMULACION DE PROBLEMAS

Lo anterior, en cierta medida, constituye la apertura de la en-senanza de la matematica a traves de la formulacion de problemas.De acuerdo con M. Cruz (2006):

No es posible un abordaje del proceso de resolucion deproblemas al margen de la forma en que se despliega elpensamiento correcto.

De acuerdo con este autor, generalmente se delimitan dos tipos depensamiento que no ocurren de manera aislada sino que se combinany complementan, los cuales sirven para caracterizar los esquemas derazonamiento que tienen lugar: el pensamiento convergente, el cualse erige a traves de operaciones logicas claramente identificables yes predominantemente deductivo, y el pensamiento divergente, pre-dominantemente inductivo y creativo por naturaleza; conceptos queabordaremos en la siguiente seccion.

No obstante, y a pesar de que hacia mediados del siglo XIX secomenzo a registrar la tendencia a asociar lo abstracto y lo intuitivo, enColombia, como en otras latitudes, las matematicas continuan siendoensenadas de manera poco significativa como un conocimiento acabadoy estereotipado, pasando por alto que, como todo conocimiento, dichadisciplina se enriquecio a partir del analisis tanto de problemas deocurrencia cotidiana como de caracter teorico, que dieron origen a susprocesos de desarrollo.

Con mas frecuencia de lo esperado se escucha decir, tanto a ma-tematicos como a docentes del area, que los problemas objeto de estu-dio de la ciencia en referencia estan concebidos para ser solucionadosaplicando las formulas y procedimientos deducidos por el profesor odesarrollados en el texto. Con este criterio se adopta como axiomaque el pensamiento matematico consiste en desarrollar, memorizar yaplicar leyes, formulas y procedimientos.

Teniendo presente este pensamiento se estima que solo hay unaforma de abordar acertadamente el analisis de cada problema, quepor lo general es el procedimiento que el profesor expone en clase. Entales condiciones, los problemas se convierten en tareas para aplicarlos algoritmos aprendidos, por tanto, se deben resolver siguiendo elprocedimiento adecuado a cada situacion particular. El libro de textoes usado como material auxiliar con una conexion no muy definida

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educación radica en entrenar la mente a pensar sobre las cosas que no se pueden aprender de los libros. En el campo

la enseñanza de conceptos matemáticos es poco útil si no está ligada al desarrollo de un pensamiento creativo en los estudiantes, que motive a aplicarlos en la solución de problemas cotidianos. Aplicar algoritmos sin una base en la realidad es casi como estudiar la estructura celular sin utilizar el microscopio.

Enseñanza de las

Matemáticasa través de la formulación de problemas

9 789587 712667

ISBN 978-958-771-266-7

e-ISBN 978-958-771-267-4

Ejemplos de ejercicios con las operaciones matemáticas básicas (adición, sustracción, multiplicación y división).Ejemplos de ejercicios con ecuaciones de una, dos y tres incógnitas, y de segundo grado.Modelos de exámenes con problemas matemáticos para estudiantes.

Incluye

Esta obra propone un cambio de paradigma en la enseñanza de las matemáticas al ofrecer guías para la presentación de conceptos matemáticos a partir de las propuestas de desarrollo cognitivo de Jean Piaget. Los autores presentan ejemplos de problemas en tres niveles con las operaciones matemáticas básicas, ecuaciones y los conceptos de proporcionalidad y porcentaje, que buscan motivar a los estudiantes en la selección de estrategias de solución. En este sentido, la obra plantea una visión pedagógica y creativa de la enseñanza de las matemáticas que reta la postura conductista tradicional.

Enseñanza de las matemáticas a través de la formulación de problemas es un texto dirigido a maestros de aritmética y álgebra, así como una valiosa guía para estudiantes de escuelas normales, de pedagogía o con licenciatura en matemáticas y de posgrados y diplomados en docencia universitaria. En suma, a todos los interesados en fomentar el desarrollo del pensamiento creativo y la habilidad para resolver problemas.

Colección: Ciencias basicas Área: Matemáticas

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